第一篇：新人教版四年級《點到直線的距離》教學(xué)設(shè)計與反思（最終版）

教學(xué)內(nèi)容：第59頁

教學(xué)目標

1、讓學(xué)生經(jīng)歷垂直線段的性質(zhì)的探索過程，知道從直線外一點到已知直線所畫的線段中垂直線段最短，知道點到直線的距離。

2、會測量點到直線的距離，會利用垂直線段的性質(zhì)解釋一些生活現(xiàn)象。

3、讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進一步發(fā)展觀察能力、實踐能力，體會數(shù)與形的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念。

4、讓學(xué)生進一步體會數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感。

教學(xué)重點、難點：

認識點到直線的距離，并能解決一些實際的問題。教學(xué)準備：課件

教學(xué)過程設(shè)計

一、導(dǎo)入

1、提問：在同一個平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種特殊情況？特殊在哪兒？

2、談話：請大家在白紙上畫一條直線，在較遠處畫一個點A，并利用工具經(jīng)過A點畫出已知直線的垂線。

學(xué)生畫圖，指名到黑板上板演。指出垂足。

3、談話：今天這節(jié)課我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)垂直的重要知識——點到直線的距離（板書課題）

二、新授

（一）認識“點到直線的距離”

1、剛才大家過A點作直線的垂線，那么，從A點到垂足之間的這條線是線段？還是射線？還是直線？

2、教師指出：從A點到垂足之間這條垂直線段的長度，叫做這點到這條直線的距離。

指明學(xué)生說說什么叫“點到直線的距離”

（二）認識垂直線段的性質(zhì)

1、談話：剛才我們畫了從A點到直線的垂直線段。你能從A點向直線畫幾條不垂直的線段嗎？任意畫幾條。

2、把這些線段的長度與剛才那條垂直線段的長度比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么？

3、把你的發(fā)現(xiàn)與同桌交流一下。

4、指名交流。

5、小結(jié)：正因為這條垂直的線段最段，所以“點到直線的距離”其實就是指這個點到這條直線的垂直線段的長度。

三、鞏固練習(xí)：第59頁上“做一做”

（一）第1題：

1、出示題目，談話：題目要求我們量出點到直線的距離，那么什么是點到直線的距離？

2、學(xué)生動手作圖，測量。

3、匯報測量結(jié)果。

（二）第2題：

1、指明說明題目要求

2、學(xué)生操作

3、交流操作結(jié)果。

4、你發(fā)現(xiàn)了什么？先和同桌說一說，再指名交流。

5、小結(jié)：兩條平行線之間可以畫無數(shù)條垂直線段，這些垂直線段的長度都相等。我們也可以說：平行線之間的距離處處相等。這個結(jié)論很重要，而且在生活中廣泛的運用。

6、到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)研究了關(guān)于圖形距離的三種情況：（1）兩點之間的距離

（2）點到直線的距離

（3）兩條平行線之間的距離。

你能畫圖表示這三種距離嗎？

學(xué)生畫圖表示，同桌交流，展出學(xué)生畫圖情況。

四、練習(xí)十第7-11題

五、總結(jié)全課：這節(jié)課你學(xué)會了什么知識?

課前思考：

本節(jié)課的重點是點到直線的距離，課堂上要通過討論讓學(xué)生明確：一個點到一條直線可以畫出無數(shù)條直線，但是這個點到已知直線的距離只有一條，而這條就是可以借助畫垂線得到，課堂上引導(dǎo)學(xué)生通過親自測量、比較自己得出結(jié)論：從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長度最短。

本節(jié)課還有一個不是新授的重點是畫出平行線之間的距離，需要讓學(xué)生在動手畫垂線的過程中體會，（1）像這樣的垂線可以畫出無數(shù)條，（2）當一條垂線與一組平行線中的一條直線垂直，那么這條垂線與另一條直線也是垂直的，（3）通過測量發(fā)現(xiàn)平行線之間的距離是處處相等的。

本節(jié)課還有一個不是新授的重點是畫出平行線之間的距離，需要讓學(xué)生在動手畫垂線的過程中體會，（1）像這樣的垂線可以畫出無數(shù)條，（2）當一條垂線與一組平行線中的一條直線垂直，那么這條垂線與另一條直線也是垂直的，（3）通過測量發(fā)現(xiàn)平行線之間的距離是處處相等的。

教后反思：

第59頁例題從Ａ點向一條已知直線畫出了一些線段，其中有一條線段與已知直線垂直，其他線段都不和已知直線垂直。讓學(xué)生量一量畫出的這些線段的長度，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)垂直線段的長度最短，并體會到這個發(fā)現(xiàn)是合理的。教材適時告訴學(xué)生“所畫的垂直線段的長度，是點到已知直線的距離”，并通過第59頁第１題鞏固這個知識。第59頁第２題在兩條平行線中間，畫幾條與平行線都垂直的線段，并量量畫出的線段的長度。學(xué)生能從中發(fā)現(xiàn)，畫出的這些線段的長度都相等，從而進一步體會兩條互相平行的直線為什么永遠不會相交，也為畫已知直線的平行線增添了新的操作方法。

第二篇：《畫垂線、點到直線距離》教學(xué)設(shè)計

《畫垂線、點到直線的距離》教學(xué)設(shè)計

教學(xué)內(nèi)容：人教版四年級上冊P58頁例

2、P59例3 教學(xué)目標：

1、使學(xué)生經(jīng)歷畫垂線的過程，正確掌握畫垂線的方法。

2、通過動手操作活動，學(xué)會用三角板準確的畫垂線，會驗證兩條直線是否互相垂直。培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力。

3、認識垂線的性質(zhì)。

4、培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察能力、作圖能力和應(yīng)用意識。教學(xué)重難點：

1、畫垂線，使學(xué)生明確垂線的重要性質(zhì)，直線外一點到這條直線間的距離垂線最短。

2、垂線的畫法。

教學(xué)準備：課件、三角板、直尺 教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

生成問題

1、回憶一下，你記得什么叫垂直嗎？

2、看我們的數(shù)學(xué)書，每兩條邊都是怎樣的？怎樣用三角板畫垂線呢？這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)畫垂線

板書課題：畫垂線

二、探索交流，解決 問題。

1、過直線上一點畫這條直線的垂線三角板上有一個角是直角，通?？梢杂萌浅邅懋嫶咕€。（1）先畫一條直線。（2）把三角板的一條直角邊與這條直線重合，沿著另一條直角邊畫出的直線就是前一條直線的垂線（直角頂點是垂足）。強調(diào)：讓三角板的直角頂點落在給定的這點上。（3）學(xué)生嘗試畫過直線上一點畫這條直線的垂線

2、過直線外一點畫這條直線的垂線（1）學(xué)生先嘗試畫（2）師示范：

畫線前讓三角尺的另一條直角邊通過這個已知點。

一般用左手持三角板，右手畫線。當要求直線通過其一點時，要考慮到筆畫的粗細度，三角板的邊與已知點之間可稍留一些空隙。

3、教師講解示范后，學(xué)生自己動手嘗試著畫一個，然后互相交流一下。

過直線外一點畫這條直線垂線，該怎么畫呢？學(xué)生動手嘗試，小組內(nèi)交流。

4、直線外一點Ａ與直線上任意一點連接起來，可以畫出很多條線段。（1）學(xué)生獨立的畫出幾條線段，其中包括一條垂線。（2）小組內(nèi)研究交流：這幾條線段在長度上有什么特點？（3）匯報：

小結(jié)：從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做這點到直線的距離。

三、鞏固應(yīng)用

內(nèi)化提高

1、６８頁４題畫一畫（1）

2、６９頁５題 我們在測定跳遠成績時，怎樣測量比較準確呢？為什么？

3、６９頁６題：怎樣修路最近呢？

四、回顧整理

反思提升

通過學(xué)習(xí)畫垂線，你有什么體會？

拓展延伸：課本第69頁第8題

你能用一把直尺和一個量角器畫一條直線的垂線嗎？

第三篇：《點到直線的距離》教學(xué)設(shè)計人教版原創(chuàng)

《點到直線的距離》教學(xué)設(shè)計

常州市第二中學(xué) 季明銀

一、教學(xué)設(shè)計意圖：

本節(jié)內(nèi)容是“直線的方程”的最后一個內(nèi)容，它是在研究了直線的方程和兩直線的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，探索如何用坐標和方程來定量研究距離問題，既是對前面知識體系的完善，又為后面研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系奠定基礎(chǔ)。具有承上啟下的作用。同時，教材通過讓學(xué)生經(jīng)歷點到直線的距離公式的探究與應(yīng)用過程，進一步體會解析幾何的本質(zhì)：用代數(shù)方法解決幾何問題。

二、教學(xué)目標描述：

知識與技能：探索并掌握點到直線的距離公式，會求兩平行線間的距離。能力與方法：經(jīng)歷點到直線的距離公式的探究與應(yīng)用過程，體驗用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想來解決數(shù)學(xué)問題的方法，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力；通過不同形式的自主學(xué)習(xí)和探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，提高抽象概括，分析總結(jié)，數(shù)學(xué)表達等基本數(shù)學(xué)思維能力。

情感、態(tài)度與價值觀：通過師生互動、生生互動的教學(xué)活動過程，形成學(xué)生的體驗性認識，體會成功的愉悅，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度。

三、教學(xué)過程設(shè)計

1、創(chuàng)設(shè)問題情境

本節(jié)課的課題引入方式有多種，可以通過實際問題引題，也可以直接引題。我設(shè)計通過提出問題：“初中平面幾何中，已知一點和一條直線，如何求點到直線的距離？”來創(chuàng)設(shè)問題情景，調(diào)動學(xué)生積極思維，盡快投入到課堂中來，同時通過復(fù)習(xí)，再現(xiàn)點到直線距離公式的幾何特征，為一部分同學(xué)掃除知識障礙，為后面“學(xué)生自主探索”環(huán)節(jié)中“幾何問題代數(shù)化”埋下伏筆。

2、知識建構(gòu)

（1）、自主探究與研討

在上一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，建立坐標系，提出：“如何用解析幾何的方法解決上述問題？”引出本節(jié)課要研究的主要問題，通過大屏幕展示出來，布置學(xué)生自主探究，這一過程分兩個階段，一是獨立思考階段：首先給學(xué)生2-3分鐘獨立思考的時間，使學(xué)生完成從“形”到“數(shù)”的思維轉(zhuǎn)化，初步形成自己的思路；二是合作交流階段：按學(xué)習(xí)小組交流、討論，最后整理出本組同學(xué)所想到的各種解決教師所提問題的思路。這樣設(shè)計的目的是：通過不同形式，給學(xué)生探索的空間，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，提高分析問題的能力。

（2）、師生共同辨析研討

（1）、通過多種方法的呈現(xiàn)，使學(xué)生逐步體會到用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想解決問題的方法，提高學(xué)生發(fā)散思維。

（2）、在整個交流討論中，教師既有對正確認識的贊賞，又有對錯誤見解的分析及對本人的鼓勵，使學(xué)生在合作交流、與人分享、探討的氛圍中傾聽、質(zhì)疑、表述，體驗成功的喜悅，學(xué)會合作，并在合作中懂得欣賞他人。

（3）、教師在展示各種思路時，有意識的以程序框圖的形式出現(xiàn)，融入算法思想，符合教材特點，為以后學(xué)習(xí)算法作鋪墊。

教材中給出的推導(dǎo)方法，技巧性強，學(xué)生不易想到，需要教師進行引導(dǎo)，思路一雖然運算過程繁雜，但對教材中的思路有一定的啟迪作用。因此，對思路一給學(xué)生一定的時間進行求解，有的學(xué)生能夠推導(dǎo)出來，但是大多數(shù)學(xué)生則在得到（1），（2）兩式后遇到障礙，此時教師加以引導(dǎo)“P0點的坐標能否設(shè)而不求？” 并且引導(dǎo)學(xué)生作如下分析：要求點到直線的距離d，就要求，也就是要求 =，由此想到，能否將 或 或 作為整體出現(xiàn)？再觀察（1）、（2）兩式的特點，從而想到將（2）式變形，湊成(3)，觀察（1）、（3）系數(shù)的特點，就能想到兩式平方相加，使難點得以突破。這一方法既簡化了運算過程；又不需要對A、B是否為零進行討論。（3）、能力提升

1、推導(dǎo)出公式后，本環(huán)節(jié)通過例題解答和鞏固練習(xí)，得到求點到直線的距離的計算步驟。使學(xué)生悟出公式特征及使用公式時應(yīng)注意的問題，通過不同形式的練習(xí)讓學(xué)生掌握公式結(jié)構(gòu)，能熟練運用公式。其中，練習(xí)第一題可直接帶入公式計算；第二題中直線與x軸垂直，學(xué)生可以帶入公式求解，2、將教材中的例題2改為“開放式”，提出問題2：探究兩平行直線：，之間的距離公式，并給出證明。使學(xué)生在上次成功體驗的基礎(chǔ)上，再次探究，將兩平行線間的距離化為點到直線的距離，既是對點到直線距離的靈活運用，又使學(xué)生充分體驗數(shù)學(xué)中的類比、轉(zhuǎn)化思想。學(xué)生得出兩平行線間的距離公式引導(dǎo)學(xué)生分析公式特點，說明用途并進行練習(xí)。至此，基本完成本節(jié)課的預(yù)定目標。

（4）總結(jié)和評估

讓學(xué)生大膽發(fā)言，歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲，教師及時點評并歸納總結(jié)，通過大屏幕展示出來，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有一個系統(tǒng)的認識。在本節(jié)課中充分體現(xiàn)了“整體代換”的運算技巧。掌握這一技巧，對后面選修教材中《圓錐曲線》的學(xué)習(xí)具有一定啟迪作用；同時，培養(yǎng)學(xué)生在《解析幾何》的學(xué)習(xí)中優(yōu)化運算過程的意識。在情感態(tài)度方面，鼓勵學(xué)生在困難面前要樹立信心，多角度分析問題，形成鍥而不舍的鉆研精神。

四、教后反思

學(xué)生在解決問題的的過程中，由于課堂時間有限，學(xué)生討論給出的方法在課堂上不能一一實現(xiàn)，根據(jù)學(xué)生的認知水平，思路一學(xué)生很容易想到，所以從思路一入手進行公式推導(dǎo)。其他方法作為課后研究性學(xué)習(xí)的作業(yè)，學(xué)生在課堂研究的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，尋求更多的解決問題的方法，并用各種方法完成公式的推導(dǎo)，將該部分知識加以升華。同時鼓勵學(xué)生自己動手學(xué)寫論文：《求點到直線的距離方法種種》，使學(xué)生將課堂所學(xué)內(nèi)容進一步認識和升華。

第四篇：高中數(shù)學(xué) 點到直線的距離教案 新人教A版必修2

點到直線的距離

一、教材分析

1．教學(xué)內(nèi)容

《點到直線的距離》是全日制普通高級中學(xué)教科書（必修·人民教育出版社）第二冊（上），“§7．3兩條直線的位置關(guān)系”的第四節(jié)課，主要內(nèi)容是點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程和公式應(yīng)用．

2．地位與作用

本節(jié)對“點到直線的距離”的認識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了高中解析幾何的定量計算，其學(xué)習(xí)的平臺是學(xué)生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關(guān)系等相關(guān)知識．對本節(jié)的研究，為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進一步學(xué)習(xí)，奠定了基礎(chǔ)，具有承上啟下的重要作用．

二、目標分析

１．學(xué)情分析

我校高二年級學(xué)生已掌握了三角函數(shù)、平面向量等有關(guān)知識，具備了一定的利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力．我班學(xué)生基礎(chǔ)知識比較扎實、思維較活躍，但處理抽象問題的能力還有待進一步提高．

２．教學(xué)目標

根據(jù)新課程標準的理念以及前面對教材、學(xué)情的分析，我制定了如下教學(xué)目標．

【知識技能】

⑴ 理解點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程；

用心

愛心

專心 ⑵ 掌握點到直線的距離公式； ⑶ 掌握點到直線的距離公式的應(yīng)用． 【數(shù)學(xué)思考】

⑴ 通過探索點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程，滲透算法的思想；

⑵ 通過自學(xué)教材上利用直角三角形的面積公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力；

⑶ 通過靈活運用公式的過程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力． 【解決問題】

由探索點到直線的距離，推廣到探索點到直線的距離的過程中，使學(xué)生體會由特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法，并使學(xué)生在經(jīng)歷反饋練習(xí)的過程中，進一步提高靈活運用公式，解決問題的能力．

【情感態(tài)度】

結(jié)合現(xiàn)實模型，將教材知識和實際生活聯(lián)系起來，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實用性，有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．

３．教學(xué)重點、難點

為更好地完成教學(xué)目標，本課教學(xué)重點設(shè)置為： 【重點】

⑴ 點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析； ⑵ 點到直線的距離公式的應(yīng)用．

用心

愛心

專心 【難點】

點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路和算法分析． 【難點突破】

本課在設(shè)計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略．利用類比歸納的思想，由淺入深，讓學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同算法思路．同時，借助于多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過逐步深入的課堂練習(xí)，師生互動、講練結(jié)合，從而突出重點、突破教學(xué)難點．

三、教學(xué)方法

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、認知特點，本課采用類比發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式．從學(xué)生熟知的實際生活背景出發(fā)，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生探索點到直線的距離的求法．讓學(xué)生在合作交流、共同探討的氛圍中，認識公式的推導(dǎo)過程及知識的運用，進一步提高學(xué)生幾何問題代數(shù)化的數(shù)學(xué)能力．

四、過程設(shè)計

結(jié)合教材知識內(nèi)容和教學(xué)目標，本課分為以下四個教學(xué)環(huán)節(jié)．

用心

愛心

專心 環(huán)節(jié)１ 創(chuàng)設(shè)情境

在教學(xué)環(huán)節(jié)1中，以學(xué)生熟知的地質(zhì)勘探、鐵軌寬度、人離高壓電線的安全距離等生活圖片的欣賞，以及一個具體實例：當火車在高速行駛時，如果旅客離鐵軌中心的距離小于的安全距離時，就可能被吸入車輪下而發(fā)生危險．創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生直觀感受幾何要素——“點到直線的距離”，從而有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

（設(shè)計意圖：以學(xué)生熟悉的實際生活為教學(xué)背景，引入新課，有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．）

那么“應(yīng)該如何求點到直線的距離呢？”帶著這個問題，教學(xué)進入環(huán)節(jié)2．

環(huán)節(jié)２ 點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程

首先，由學(xué)生回答，初中有關(guān)“點到直線的距離”的定義：過點垂線，垂足為點，線段的長度叫做點

到直線的距離．

作直線的（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，為新課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．）

接著，師生共同探討如何求點到直線的距離．由于點和直線處在一般位置，所以公式的推導(dǎo)過程含有字母運算，比較抽象．為幫助學(xué)生更好地理解，可以補充兩個由淺入深的具體問題，為后面推廣到一般情況作好鋪墊．

問題1 如何求點到直線的距離？

補充的問題1，由于點和直線的位置非常特殊，所以學(xué)生容易回答，應(yīng)該鼓勵學(xué)生利用多種解法解決本問．

方法① 利用定義

由于本課之前，學(xué)生已掌握了兩條直線交點的求法等知識，所以容易通過定義，用心

愛心

專心 將點到直線的距離，轉(zhuǎn)化為點、垂足兩點之間距離來解決．

解：過點作的垂線，設(shè)垂足為

方法② 利用直角三角形的面積公式

結(jié)合圖形，學(xué)生也能利用面積構(gòu)造法來解決，這一方法的難點是如何添作輔助線．教學(xué)時給予提示：由垂直條件，可以聯(lián)想到三角形的高或直角三角形等相關(guān)知識．

解：過點

作的垂線

用心

愛心

專心，交點為點在Rt方法③ 利用三角函數(shù)

根據(jù)定義作出圖象后，由于涉及到Rt利用三角函數(shù)知識解決問題．

和直線傾斜角，學(xué)生容易聯(lián)想

解：過點作的垂線，垂足為

方法④ 利用函數(shù)的思想

在初中，學(xué)生已初步認識了點到直線的距離的幾何特征：連接直線外一點與直線上任意點，所得線段中垂線段最短．以此為背景，學(xué)生可能通過函數(shù)的思想來解決．

用心

愛心

專心

解：設(shè)直線上的點，則

當時，取得等號，即此時點

對于問題1，學(xué)生可能提供的解法不完全，我要引導(dǎo)學(xué)生補充完整．改變點和直線的位置，引出補充問題2．

問題2 如何求點到直線的距離？

組織學(xué)生類比問題1，獨立思考本問的解決方法．在課堂上只要求學(xué)生說明解法思路，而不要求解題過程．

用心

愛心

專心（設(shè)計意圖：為了推導(dǎo)點到直線的距離公式，學(xué)生會面臨比較抽象的字母運算．通過補充兩個由淺入深的具體問題，使學(xué)生能夠類比思考，解決當點和直線處在一般位置時，點到直線的距離的求法．）

在解決問題1、2的基礎(chǔ)上，將點和直線的位置推廣到一般情況，進一步提出問題3．

問題3 如何求點到直線（）的距離？

方法① 利用定義的推導(dǎo)方法

通過前面兩個補充問題，學(xué)生已經(jīng)積累了一些求點到直線距離的經(jīng)驗和方法，學(xué)生可能會類比考慮利用定義，將點

到直線的距離轉(zhuǎn)化為點

與垂足，兩點之間距離來處理．這種方法雖然思路自然，但運算較繁瑣，所以只要求學(xué)生結(jié)合教材，說明算法步驟、明確算法框圖，而不要求推導(dǎo)過程．盡管在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已掌握了兩條直線垂直的充要條件，但學(xué)生仍然可能忽略，這一前提條件，而直接得到與垂直直線的斜率為．我要加以糾正，并強調(diào)對于的特殊情況，可以結(jié)合圖象直接得出結(jié)論，所以在算法中暫不考慮．

用心

愛心

專心

方法② 利用直角三角形的面積公式的的推導(dǎo)方法

學(xué)生也可能類比補充問題1、2中，添作輔助線的方式，構(gòu)造直角三角形，通過面積構(gòu)造法解決問題．對于這種方法，由于教材已經(jīng)給出了推導(dǎo)過程，所以學(xué)

用心

愛心

專心 生代表可以只說明算法步驟．與傳統(tǒng)教材相比，新教材更關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，淡化形式、注重實質(zhì)．由于新教材刪減了一些同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，所以舊教材利用三角函數(shù)的方法推導(dǎo)公式就顯得繁雜，教科書選擇的借助直角三角形的面積公式推導(dǎo)公式的方法，簡潔、明了．所以，可以讓學(xué)生根據(jù)算法框圖，自學(xué)教材的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力．在此過程中，應(yīng)該提醒學(xué)生注意Rt三邊邊長的求法．

用心

愛心

專心 方法③ 利用平面向量的推導(dǎo)方法

由于在前面直線方程的學(xué)習(xí)中，教材引入了直線方向向量的概念，并運用了向量的有關(guān)知識討論直線的一些問題．所以我班部分思維能力較強的學(xué)生，可能會提出利用向量知識推導(dǎo)公式，我要給予肯定．盡管這種方法具有一定難度，但根據(jù)我班學(xué)生思維能力較強的特點，可以先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)向量有關(guān)知識，使學(xué)生明確向量數(shù)量積的兩種表示方式及其幾何意義，再結(jié)合圖象，師生互動，共同討論得出，利用向量數(shù)量積推導(dǎo)公式的算法步驟、算法框圖．在這一過程中，學(xué)生可能會遇到，無法表示與直線垂直的向量的坐標的困難，我給予提示：可以借助于，向量與直線的方向向量互相垂直的充要條件來解決．對于這種方法的具體推導(dǎo)過程，要求學(xué)生課后，在自學(xué)教材

閱讀材料“向量與直線”的基礎(chǔ)上，作為思考作業(yè)完成．這種利用向量的算法，為今后在立體幾何中，利用這種方法得到點到平面的距離公式奠定了基礎(chǔ)．

用心

愛心

專心

（設(shè)計意圖：在點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程中，通過問題獲得知識，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題”的過程，使學(xué)生感受到用坐標的方法研究幾何問題是一種重要的數(shù)學(xué)方法．由于點和直線處在一般位置，所以公式的推導(dǎo)中會涉及字母運算，比較抽象．為幫助學(xué)生理清思路，在教學(xué)中強調(diào)了算法的思想，讓學(xué)生在明確算法步驟和算法框圖的前提下，再進行有效的公式證明和自學(xué)閱讀．）

點到直線的距離公式

點到直線（其中）的距離

在學(xué)生通過多種方法推導(dǎo)得出公式后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)公式的形式特點，記憶公式．同時強調(diào)：當論．

用心

愛心

專心

時，公式仍然適用，也可以結(jié)合圖象直接求出結(jié)在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生利用公式計算補充問題1、2，并與前面的計算結(jié)果進行比較，前后呼應(yīng)，使學(xué)生體會運用公式計算的簡便性．點到直線的距離公式的應(yīng)用是本課的一個重點，為了強化學(xué)生對公式的記憶和運用，教學(xué)進入環(huán)節(jié)3．

環(huán)節(jié)３ 點到直線的距離公式的應(yīng)用

在本環(huán)節(jié)，我安排了三個典型例題．其中例1是引用教材，由于例題中所給直線的方程已經(jīng)是一般式，所以學(xué)生容易忽略運用公式的前提：首先應(yīng)將直線方程化為一般式，在確定了系數(shù)的值之后，再代入公式進行計算．這一點對于直線方程中含參數(shù)的問題尤為重要．為了強調(diào)運用公式的這一前提條件，我在例1中補充設(shè)置了⑶、⑷兩個小問．

例1 求點到下列直線的距離：

⑴ ⑵

⑶

⑷

（設(shè)計意圖：通過例題練習(xí)，強化學(xué)生對公式的記憶和應(yīng)用．同時，“代入公式計算前，首先應(yīng)將直線方程化為一般式，以便確定系數(shù)的值”是學(xué)生在應(yīng)用公式中，容易忽略的環(huán)節(jié)．將這一薄弱環(huán)節(jié)設(shè)置在補充例題中，使學(xué)生在“錯誤體驗”加深記憶，以期達到強化訓(xùn)練的目的．）

在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，補充了直線方程含有參數(shù)的例2，進一步提高學(xué)生靈活運用公式的能力．

例2 ⑴ 已知點到直線的距離為，求的值；

⑵ 已知點到直線的距離為，求的值．

用心

愛心

專心 由于例2的兩個問題中，直線方程所含參數(shù)都具有明顯的幾何意義：一個表示直線的斜率，另一個表示直線在軸上的截距．所以解出參數(shù)的值后，在“幾何畫板”中，以數(shù)學(xué)實驗的形式，通過度量進行操作確認．其中⑴隨直線的不斷變化，學(xué)生可觀察點勢．當時，度量出圖1）；在⑵中，學(xué)生可觀察點變化趨勢．當

到直線距離的度量值、直線斜率的度量值的變化趨時，可發(fā)現(xiàn)此時兩條直線的斜率的度量值，與計算結(jié)果吻合．同，說明點

落在兩條直線所成角的角平分線上（如

到直線距離的度量值、直線在軸上截距的時，直線在軸上的截距的度量值，也與計算結(jié)果吻合（如圖2）．本例既考察了學(xué)生對公式的掌握情況，又為下節(jié)課對稱問題和直線系的研究設(shè)下伏筆，并由問題⑵中兩平行線間距離為，引出教材 的例題．

圖

圖2

（設(shè)計意圖：點到直線距離公式的應(yīng)用，是本課的一個重點內(nèi)容．在例1的基礎(chǔ)上，增補直線方程含有參數(shù)的例2，進一步提高學(xué)生靈活運用公式的能力．在幾何畫板的軟件平臺中，通過數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生感受在利用代數(shù)方法研究幾何問題后，再回歸幾何本身的重要性．）

例3 求平行線和的距離．

教材上采用了類比化歸的思想，將兩平行直線之間的距離，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離來解決問題．由于兩平行線間的距離處處相等，所以教材選擇了一條直線

用心

愛心

專心 上的特殊點，便于簡化計算．學(xué)生可能會提出如果在直線上任選一點否得到這兩條平行線之間的距離的問題，由此引出了教材剩余時間，此題作為機動練習(xí)．

此時，本課教學(xué)任務(wù)已基本完成，為進一步鞏固知識，教學(xué)進入環(huán)節(jié)4．

能的習(xí)題15．根據(jù)課堂（設(shè)計意圖：緊扣教材，讓學(xué)生體會類比化歸的思想方法，同時，為課后作業(yè)中推導(dǎo)兩平行線之間的距離公式，設(shè)下伏筆．）環(huán)節(jié)４ 課堂總結(jié)

由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補充說明． ⑴ 點到直線的距離公式的推導(dǎo)中不同的算法思路； ⑵ 點到直線的距離公式；

⑶ 點到直線的距離公式的應(yīng)用前提條件．

（設(shè)計意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生本節(jié)所學(xué)的知識系統(tǒng)化、條理化，進一步鞏固知識，明確方法．）

課后作業(yè)

① 在自學(xué)教材距離公式； 閱讀材料“向量與直線”后，利用向量的方法證明點到直線的② 教材13、14、16

用心

愛心

專心

板書設(shè)計

五、教學(xué)反思

根據(jù)教學(xué)經(jīng)歷和學(xué)生的反饋信息，我對本課有如下五點反思：

1．對于這一節(jié)內(nèi)容，有兩種不同的處理方式：一種是讓學(xué)生理解、記憶公式，直接應(yīng)用而不講公式的探尋過程，這樣的處理不利于我校學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)；二是本課方式，通過強調(diào)對公式的探索過程，提高學(xué)生利用代數(shù)方法處理幾何問題的能力；

2．點到直線的距離的推導(dǎo)過程，含有比較抽象的字母運算．如果沒有整體算法步驟的分析，學(xué)生的思路會缺乏連貫性，所以本課重點分析了三種算法思想：利用定義的算法、利用直角三角形面積的算法、利用平面向量的算法．讓學(xué)生在明了算法步驟的前提下，再進行有效的公式推導(dǎo)和自學(xué)閱讀；

用心

愛心

專心 3．向量是一種重要的運算工具，根據(jù)我班學(xué)生的實際，本課涉及了利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)點到直線的距離公式的方法．實際上，在以后立體幾何的學(xué)習(xí)中，還將利用這種算法思路得到點到平面的距離公式．又由于這種方法在思維上有一定的難度，所以，我根據(jù)學(xué)生的實際情況，提出了分層要求：基本要求是能夠理解教材所給的推導(dǎo)方法，并能夠應(yīng)用公式，較高要求是能夠利用向量的方法推導(dǎo)點到直線的距離公式；

4．現(xiàn)代數(shù)學(xué)認為“幾何是可視邏輯”，所以我重視在補充的例題中，突出幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的思想方法；

5．學(xué)生在練習(xí)中的“錯誤體驗”將會有助于加深記憶，所以我重視在學(xué)生應(yīng)用公式中容易忽略的環(huán)節(jié),并在補充的例題中給予了設(shè)置，以期達到強化訓(xùn)練的目的．

用心

愛心

專心

第五篇：向量與點到直線的距離公式的證明

向量與點到直線的距離公式的證明

安金龍

（蘇州工業(yè)園區(qū)

這樣處理，既避開了分類討論，又體現(xiàn)了平面向量的工具性。當然，解析幾何作為一個內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)分支，它和其它數(shù)學(xué)知識也會有密切的聯(lián)系，下面筆者列舉另外幾種推導(dǎo)方法： 2用習(xí)題結(jié)論巧推點到直線距離公式

老教材代數(shù)課本（人教版，下冊.必修）第15頁習(xí)題十五第6題：

已知：

ad?,求證：（bc

?（a)

2b?2)c?(d當cad?,b即c?，a)bd

ab

?時，有（a2?b2（）c2?d2)?（ac?bd)2.cd

上式實為柯西不等式的最簡形式，很容易證明.故略去。下面給出點到直線的距離公式的最簡推導(dǎo)。

已知點P(x0,y0)和直線l:Ax?By?C?0,則點到直線的距離即為點P到直線l上任意點所連結(jié)的線段中的最短線段.設(shè)M

?x,y?為直線l上任意一點，點P到直線l的距離為d，則：

(Ax?Ax0)2(By?By0)2

PM?PM??22

AB2

(By?By0)222222(Ax?Ax0)?(A?B)PM?(A?B)[?] 22

AB

?(Ax?Ax0?By?By0)2＝(?Ax0?By0?

C)2

AB

??d?PMmin?，當且僅當時等號成立。

x?x0y?y03用直線的參數(shù)方程推導(dǎo)點到直線距離公式

證明：當A?B?0時易驗證公式成立，下證A?B?0時的情形：

（1）B>0時,過點P作直線L的垂線，垂足為H，則直線PH的標準參數(shù)方程為：

?

x?x?t0??(t為參數(shù)）?

?y?y?t0

??

將直線PH的參數(shù)方程代入直線L的方程得：

A（?x0?t+B（?y0?t??x，解之得點H

對應(yīng)的參數(shù)t

?C?0

?PH?d?PH?

（2）當B時，直線PH的標準參數(shù)方程為：

?

x?x?t?0??(t為參數(shù)）

?

?y?y?t0

??

可得?PH

?

?d?PH?

4構(gòu)造引理推導(dǎo)點到直線距離公式

引理：如圖1，直角三角形MPN中，?MPN?90，MP?a,NP?b,則點P到直線MN的距離d滿足

?

a 圖

1N

??.222

dab

證明：由直角三角形的面積公式得：

?MP?NP??MN?d，22

11111即ab?，所以2?2?2.d，即?

dab2dab

下面就用引理證明點P?x0,y0?到直線l：Ax?By?C?0的距d?

證明：當0時易證公式成立.當A?B?0時，如圖2所示,過點

P?x0,y0?分別作平行于x軸,y軸的兩條直線,分別交直線l：Ax?By?C?0

By?CAx?C于點M(-,y0)、N(x0,-)，則AB

B0?yC

M?P0?,AAx?C

NP?y0?0.?MP?NP,?在RT?MPN中，B

點P到直線MN的距離d滿足：

1111

1??＝?22

222dMPNP(x0?0)(y

0?0)BA2?B2,所以d? ＝2(Ax0?By0?C)

參考文獻：

[1] 全日制普通高級中學(xué)教科書（人教版）（試驗修訂本.必修）第二冊（上）第55～56頁.[2] 王國平.中學(xué)生數(shù)學(xué).用習(xí)題結(jié)論巧推點線距離公式2001年1月上 [3] 張乃貴、段萍中學(xué)生數(shù)學(xué).點到直線的距離公式的又一證明.2001年1月上

[4] 陳志新.點到直線距離公式的又一證法.中學(xué)生數(shù)學(xué).2001年6月上

離為

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