第一篇：三角函數(shù)周期與最值教案

三角函數(shù)的周期與最值，授課人：王俊

時間：2017-9-12 授課班級：高三（5）班

授課內(nèi)容：三角函數(shù)的周期與最值 教學目標： 掌握三角函數(shù)的最小正周期的求法。掌握能化成形如y?Asin(?x??)?b的三角函數(shù)的最值的求法。3 有范圍限制的三角函數(shù)最值的求法

教學重點：把形如y?asinx?bcosx的三角函數(shù)化成y?Asin(?x??)?b的形式的方法與技巧。

教學過程：

回顧上節(jié)課內(nèi)容，導(dǎo)入新課

復(fù)習上節(jié)課三角函數(shù)的圖像以及求單調(diào)區(qū)間，對稱軸，對稱中心。

新課講授：

一．三角函數(shù)的周期（最小正周期）

2?(x??)?b

T=

1.y?Asin?（w>0）

?2? 2.y?Acos(?x??)?b

T=（w>0）

???x??)?b

T=（w>0）3.y?Atan(?

二.三角函數(shù)的最值

1.形如y?Asin(?x??)?b（x∈R）的最值

若A>0時，ymax?A

ymin??A

若A<0時，ymax??A

ymin?A 注:有范圍限制時需結(jié)合圖像求值域

2.輔助角公式

y?asinx?bcosxab?a2?b2(sinx?cosx)

2222a?ba?b?a2?b2sin(x??)

(其中cos??aa?b22，sin?ba?b22)y?asinx?bcosx?a?bcos(x—?)22

（其中sin??aa?b22，cos??ba?b22）

三.例題：

1.選擇題

??x)+1是（）4

A

最小正周期為?的奇函數(shù)

B

最小正周期為?的偶函數(shù)

?C

最小正周期為的奇函數(shù)

?D

最小正周期為的非奇非偶函數(shù)

2.填空題

sin2x?cos2x函數(shù)y=的最小正周期

cos2x?sin2x

3.解答題

?已知函數(shù)f(x)=sin2x?sinxsin(x?)

（1）求f(x)的最小正周期

?

（2）當x∈﹝0，）時，求f（x）的值域

2函數(shù)y=-2cos2（練習題:

求y?23sinx?2cos(x??),x??0,??的最大值 3

備課組長簽字：

第二篇：簡評“三角函數(shù)最值求法”(張輝老師執(zhí)教)

評課稿

2013年4月22日下午，赴陳經(jīng)綸中學聽張輝老師執(zhí)教高一數(shù)學“三角函數(shù)最值求法”習題課。感受頗深，很受啟發(fā)。覺得張老師采用的是教師引領(lǐng)學生探究式教學，學生參與度高，是一堂培養(yǎng)學生思維能力的成功的習題課。

課堂以求函數(shù)最值為主線，選擇三個典型的例子作為題材很恰當，雖然還有其他最值形式，但都可以練習的方式滲透、訓練。

好的方面不多說，主要有以下兩點看法：

1．從課堂引入的問題“求三角函數(shù)最值有哪些方法？”

從學生回答看來，學生對這樣的問題不好回答，其實，老師想要學生說的東西有些就不是一個方法，似乎是一個“目標模式”。因此，如果把提問調(diào)整為“就自己的親歷過的學習、練習、閱讀等，誰能說出一些求三角函數(shù)最值的目標模式，說多少都可以，其他同學也可以補充?！?，我想學生就可以回答的比較具體，雖不一定說得全面，參與的同學多了，典型的目標模式是一定能收集到的。另外，教師這么問，是不是也意味著本節(jié)課要講的方法只是一個綜述呢，還是除了學生熟悉的方法，老師還有新方法傳授？

2．關(guān)于例2，張老師引領(lǐng)學生“完成解答”之后，我覺得她有點急于揭示解法之錯誤。由于?2?cos2x?cos2y?2，而學生跟著老師走過來的解法得到最大值是5，這明顯存在有“認知沖突”。因此，如果這時張老師放手讓學生交流做“合作交流，題后反思”，學生應(yīng)該很快發(fā)現(xiàn)錯誤，形成“沖突”之后更有利于學生“求真欲望”，繼續(xù)放手讓學生找到可能出錯之處，再讓學生合作修復(fù)。我覺得對陳經(jīng)綸中學的學生來說，這些做法在課堂上是可以完成的，哪怕是把例3留作作業(yè)也好。這樣處理可以使得教師掌控的時間縮短，給學生留下整理反思的時間，教師也能夠贏得“小結(jié)學生感受收獲”的時間。

以上寫出了我自己的所思所想。每個做課教師都是下過很大功夫的，通常是幾易其稿，最后實施教學。我們聽課者通常中午沒有休息，聽課的時候真的比較困，如果課堂上沒有抑制住疲勞，尤其是對課堂索然乏味的時候，既使在評課的時候，也還是很疲勞，精力得不到回復(fù)，大腦不聽使喚。在這種狀態(tài)下，教師評課積極性不高是可以理解的。所以，我倡議同仁們，加入到聽課后評課中來，以期大家智慧共享，改善我們的課堂教學。

清華附中朝陽學校王慧興

2013年4月22日星期一

第三篇：函數(shù)的值域與最值教案

專題課

函數(shù)的值域與最值

教材分析：1.值域是函數(shù)的三要素之一，函數(shù)的值域與最值，特別是最值是高考重點，而且考察的題型涉及選擇、填空、解答題.2.值域與最值知識在教材中比較分散，且方法較多，因此教學中要善于總結(jié).教學設(shè)計：通過對例題的變式訓練，讓學生在問題的認知、探索、發(fā)現(xiàn)、設(shè)計、解決、創(chuàng)造等全過程、全方位、深層次中進行主體性、實質(zhì)性的參與.教學目標：1.知識目標：讓學生掌握求值域的基本方法及基本函數(shù)的的值域.2.能力目標：培養(yǎng)學生觀察、分析、總結(jié)、化歸的能力，熟練各種方法.3.情感目標：在探究的過程中形成良好的數(shù)學素質(zhì)和正確的學習態(tài)度.教學重點：求值域的方法.教學難點：判別式法、單調(diào)性法.教學方法：導(dǎo)練法 教學過程： 一.知識提煉：

1.函數(shù)的值域

值域是__________組成的集合，它是由_________和______________確定的.2.基本函數(shù)的值域

（1）.一次函數(shù)y?kx?b?k?0?的值域是______.（2）.二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0),當a?0時，值域是_______________，當a?0時，值域是_______________.（3）.反比例函數(shù)y?kx?k?0?的值域是__________________.（4）.指數(shù)函數(shù)y?ax?a?0且a?1?的值域是_____________.（5）.對數(shù)函數(shù)y?logax?a?0且a?1?的值域是_____________.3.求值域的基本方法（1）.形如y?ax?bmx?n?mn?0?的函數(shù)，用________________________________求值域.（2）.形如y?ax2?bx?c(a?0)的函數(shù)，用___________求值域，要特別注意定義域.二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：

一是求閉區(qū)間?a,b?上函數(shù)的最值問題；

二是求區(qū)間確定（運動），對稱軸運動（確定）時函數(shù)的最值問題。在求二次函數(shù)的最值問題時，一定要注意數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”： 一看開口方向；

二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系。

（3）.形如y?ax2?bx?cmx2?nx?e?m,a至少一個不為0?的函數(shù)，可用____________求值域.（4）.形如y?f?x??g?x?的函數(shù)用_______________求值域.（5）.其它方法：不等式法，導(dǎo)數(shù)法，單調(diào)性法，函數(shù)的有界性，圖象法等.二.典例示范：

例1.求下列各函數(shù)的值域.（1）y?x2?4x?3?x?R?

變式1：當x??－1,3?時，求函數(shù)值域.變式2：當x??t，t?1??t?R?時，求函數(shù)的最小值.點評：（2）y?x?4x?x?0?

變式：當x??1，5?時，求函數(shù)的值域.點評：

（3）y?x2?x?1x?1

變式1：將函數(shù)式改為y?x2－x－2x?1，值域如何求？

變式2：將函數(shù)式改為y?x2?x?1x2?1，值域如何求？

點評：

（4）y?x?1?x

變式1：將函數(shù)式改為y?x－1?x，值域如何求？

變式2：將函數(shù)式改為y?x?1?x2，值域如何求？

點評：

例2.已知f(x)?2?log3x(1?x?9)，求函數(shù)g(x)?f2(x)?f(x2)的最大值與最小值.點評：

探究題.已知函數(shù)f(x)?x2?2x?ax,x?[1,??)（1）當a?

時，求函數(shù)f(x)的最小值 ；（2）若對任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.三.基礎(chǔ)練習：

1.函數(shù)y?x2?5的值域為x2______________.?42.y?3?2x?x2 的值域是______________.3.y?x?2x?1的最小值是______________.4.y?2x?1x?3的值域是______________.5.函數(shù)f?x??2x2?13x3在區(qū)間[－1，5]上的最大值是______

6.函數(shù)y?2?2x2x?1的值域為（）

A．（??,?2]?[?1,??)B．(??,?2)?(?1,??)

C．?yy??1,y?R? D．?yy??2,y?R?

7.已知函數(shù)f(x)的值域是[3,489]，試求y?f(x)?1?2f(x)的值域.8.已知函數(shù)f?x??logmx2?8x?n3x2?1的定義域為R，值域為?0,2?，求實數(shù)m,n的值.四.歸納總結(jié)：

1.求值域時不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域的制約作用.2.求值域問題的結(jié)果要寫成集合或區(qū)間形式.3.熟練掌握求值域的幾種方法，積累經(jīng)驗，掌握規(guī)律，根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地運用條件選擇方法求之.五.布置作業(yè)

第四篇：三角函數(shù)教案

三角函數(shù)

1教學目標

⑴: 使學生理解直角三角形中五個元素的關(guān)系，會運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形

⑵: 通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力． ⑶: 滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的學習習慣．

2學情分析

學生在具備了解直角三角形的基本性質(zhì)后再對所學知識進行整合后利用才學習直角三角形邊角關(guān)系來解直角三角形。所以以舊代新學生易懂能理解。

3重點難點

重點：直角三角形的解法

難點：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用 以實例引入，解決重難點。

4教學過程 4.1 第一學時 教學活動 活動1【導(dǎo)入】

一、復(fù)習舊知，引入新課

一、復(fù)習舊知，引入新課

1．在三角形中共有幾個元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關(guān)系呢？

答：(1)、三邊之間關(guān)系 ： a2 +b2 =c2(勾股定理)(2)、銳角之間關(guān)系：∠A+∠B=90°(3)、邊角之間關(guān)系

以上三點正是解的依據(jù)．

3、如果知道直角三角形2個元素，能把剩下三個元素求出來嗎？經(jīng)過討論得出解直角三角形的概念。

復(fù)習直角三角形的相關(guān)知識，以問題引入新課

注重學生的參與，這個過程一定要學生自己思考回答，不能讓老師總結(jié)得結(jié)論。

PPT，使學生動態(tài)的復(fù)習舊知

活動2【講授】

二、例題分析教師點撥

例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且b=，a=，解這個直角三角形． 例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解這個直角三角形

活動3【練習】

三、課堂練習學生展示

完成課本91頁練習

1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解這個直角三角形.3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周長和tanA的值

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解這個直角三角形（結(jié)果保留三位小數(shù)）.活動4【活動】

四、課堂小結(jié)

1)、邊角之間關(guān)系 2)、三邊之間關(guān)系

3)、銳角之間關(guān)系∠A+∠B=90°．

4)、“已知一邊一角，如何解直角三角形？”

活動5【作業(yè)】

五、作業(yè)設(shè)置

課本 第96頁習題28．2復(fù)習鞏固第1題、第2題．

第五篇：兩角和與差的三角函數(shù) 解斜三角形 三角變換中的最值問題 教案

兩角和與差的三角函數(shù)，解斜三角形·三角變換中的最值問題·教案

北京市第一七一中學 許綺菲

教學目標

1．復(fù)習、鞏固和、差、倍、半角公式，使學生能夠熟練運用公式解決典型的三角函數(shù)式的最值問題． 2．在學生掌握三角函數(shù)式最值的基本求解方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生在解決最值應(yīng)用問題時，會引入角做變量列出目標函數(shù)，借助繁多的三角公式求解函數(shù)最值．

3．在教學過程中突出三角函數(shù)式與代數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，訓練學生靈活選擇代數(shù)與三角變換兩種工具，滲透“轉(zhuǎn)化”數(shù)學思想．

教學重點與難點

重點是教會學生把三角函數(shù)式最值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的最值問題，同時能夠利用三角變換知識解決代數(shù)式的最值問題，恰當選取方法解決問題．

難點是培養(yǎng)學生利用三角變換工具解決問題的意識，體現(xiàn)三角變換的工具性．講授難點是引導(dǎo)學生全面分析題目，恰當選取變量，正確列出較易求最值的目標函數(shù)．

教學過程設(shè)計

師：我們已經(jīng)學過了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，變換多端，同時三角函數(shù)還具有單調(diào)性及有界性．今天我們來共同探討三角變換中的最值問題．首先我請一位同學回答代數(shù)式的最值問題有哪些基本求解方法．

生：有利用函數(shù)單調(diào)性的方法，如最常用的二次函數(shù)法、復(fù)合函數(shù)法、分離變量法、方程法、換元法等． 師：這位同學回答很好．我們在學習三角函數(shù)式的最值問題時也希望大家注意總結(jié)方法．下面讓我們看第一個例題．

例1 求y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值．

分析：這個函數(shù)式變量形式不統(tǒng)一，我們首先要設(shè)法統(tǒng)一變量再求其最值． 生：可以利用倍角公式統(tǒng)一變量，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解．

因為cosx∈[-1，1]，所以ymax=12，ymin=0．

師：這個題目我們借助二次函數(shù)這一工具求最值，注意到了代數(shù)與三角變換間的溝通．下面我們看例2． 例2 求函數(shù)y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值與最小值． 生：這個題目既有“sinx”又有“cosx”，若用sin2x+cos2x=1求解，會出現(xiàn)根式，所以考慮把角度取半使其次數(shù)升高．

解

y=sinx·（1+cosx）+1+cosx =（1+cosx）·（1+sinx）

師：這位同學為了不出現(xiàn)根式而把角度減半以達到升次的目的，很好．但若把題目改為y=sinx+cosx+3sinxcosx+1，這樣能否可行？對例2有沒有更具有普遍意義的做法？

生：觀察到（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故聯(lián)

函數(shù)求解．于是得到例2的又一解法． 解

師：這位同學的解法更具有普遍意義，特別值得表揚的是這位同學在換元時注意到了等價性，即求出了t的取值范圍．下面我們看例3．

例3 已知x2+y2=1，求u=3x+4y的值域．

分析：這個題目是代數(shù)式的最值問題，若用代數(shù)方法求解，要首先統(tǒng)一變元，這樣就會出現(xiàn)根式，運算不夠簡潔．觀察到x2+y2=1這一制約條件，聯(lián)想到sin2x+cos2x=1，可令x=cosα，y=sinα．進行三角換元，利用三角公式求最值．

解 令x=cosα，y=sinα．則

所以u∈[-5，5]．

下面我們做三個練習：

練習1 已知x2+y2=4，求μ=3x+4y的值域．

（分別請三位同學板演．）

解1 令x=2cosα，y=2sinα，則

所以μ∈[-10，10]．

師：這三位同學都注意到所求函數(shù)的定義域，利用三角換元求解最值．一般來說，利用三角換元求解y=f（x）的最值問題的步驟為：1°求函數(shù)y=f（x）的定義域；2°根據(jù)求出的定義域設(shè)計換元，注意換元后給出一個能夠保證其值域充滿給定函數(shù)y=f（x）的定義域的新變量的最小取值范圍，如練習2中要求x∈[-1，1]，令x=sinα后給出α∈

取值范圍；3°利用三角公式求函數(shù)的最值．

利用換元法求最值不僅限于把變量x換為sinα或cosα，還可以換元為tanα，cotα等，要依所給函數(shù)而定；三角換元也未必只在代數(shù)式

函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)式求解，在求解最值問題時要恰當選取代數(shù)與三角兩種工具，并能互相轉(zhuǎn)化． 以上我們研究了函數(shù)式的最值問題，下面我們看幾個最值應(yīng)用問題，探討如何利用三角這一工具解決問題． 例4 欲在半圓形鐵皮（如圖1）截取矩形，如何截取利用率最高．（半徑為R）

分析：矩形ABCD的面積取決于CD的位置，而CD∥AB，故C點位置一旦取定，則D點位置也隨之而定．C點在圓周上，連結(jié)圓心O與C點，則∠COB的大小便確定了C點的位置，故引入∠COB作為變量寫出目標函數(shù)．

解

S=Rsinα·2Rcosα=R2sin2α，利用三角變換解最值應(yīng)用問題的一般步驟是：1°全面分析題目，選擇恰當?shù)淖宰兞浚?°列出目標函數(shù)，確定自變量取值范圍；3°利用三角變換公式求最值．

若我們把半圓形鐵皮改為扇形鐵皮，如何求解呢？請同學們練習．

練習4 在半徑為R，中心角為α的扇形鐵皮中（如圖2）截取矩形，何時利用率最高．

（此題可利用正弦定理，即△ABC中，A，B，C為三內(nèi)角，a，（給出時間讓學生獨立思考，請學生回答．）

生：與例4相似的有矩形ABCD面積由CD位置決定，CD∥AB，C點位置決定了矩形ABCD的面積，而∠COB的大小決定了C點位置．故引入∠COB為變量．這個題目與例4的區(qū)別在于目標函數(shù)較例4復(fù)雜．

解 設(shè)∠COB=θ，θ∈（0，α）．

在Rt△COB中，|BC|=Rsinθ，在△COD中，∠CDO=π-α，∠DOC=α-θ，由正弦定理，師：四個題目還可以略加改動．

練習5在中心角為α半徑為R的扇形中如圖截取矩形（如圖3），何時利用率最高．

請同學們課下解決，并且總結(jié)這類有動點在圓周上的題目的解法． 下面我們再看一個例題：

例5 邊長為α的正三角形ABC，其中心為O，過O的直線MN

分析：OM與ON的長度與過O的直線MN的傾斜程度有關(guān)，故引入∠AOM為變量，利用解三角形的知識表示出|OM|及|ON|，求解最值．

解 設(shè)∠AOM=α．

這個題目仍然是引入了角做變量，利用三角變換這一工具求解最值．這個題目限定自變量的取值范圍直接影響結(jié)果，十分重要．

下面我們小結(jié)一下這節(jié)課．這節(jié)課我們主要研究了兩個問題：即函數(shù)式的最值問題及最值應(yīng)用問題．函數(shù)式的最值問題是最值應(yīng)用問題的基礎(chǔ)，解決函數(shù)式的最值問題的關(guān)鍵在于靈活地選用代數(shù)與三角兩種工具，樹立轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，同時應(yīng)注意一些典型方法的總結(jié)．解決最值應(yīng)用問題的關(guān)鍵在于充分分析題目，選擇恰當?shù)淖宰兞?，列出相對簡單的目標函?shù)以便于求解最值．

作業(yè)

1．求下列函數(shù)的值域．

（2）已知（x+2y）2+y2=9，求u=x-y的最值． 3．求周長為定值P的直角三角形面積的最大值．

4．△ABC中，AB=AC=1，△ABC與以BC為邊的正△BCD面積和為S，求S的最大值．

5．如圖5，AB是半圓直徑，延長AB到D，使BD=R，C為半圓上的動點，C在何處時，以DC為邊的正△CDP與△OCD面積和最大．

課堂教學設(shè)計說明

最值問題是學生感到困難的一個內(nèi)容，求最值的方法多樣，不可能一一列舉．這節(jié)課的主要目的是教會學生靈活選用代數(shù)與三角兩種工具解決問題，培養(yǎng)學生“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學思想，體現(xiàn)“三角變換”的工具性．