第一篇：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 教案[本站推薦]

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

1．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)．

2．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、3．理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會(huì)用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化．

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)是通過復(fù)習(xí)，能運(yùn)用四種三角函數(shù)的性質(zhì)研究復(fù)合三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的特點(diǎn)，特別是三角函數(shù)的周期性，是需要重點(diǎn)明確的問題．

難點(diǎn)是，在研究復(fù)合函數(shù)性質(zhì)時(shí)，有些需要先進(jìn)行三角變換，把問題轉(zhuǎn)化到四種三角函數(shù)上，才能進(jìn)行研究，這就增加了問題的綜合性和難度．

教學(xué)過程

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是三角函數(shù)的核心問題，要熟練、準(zhǔn)確地掌握．特別是三角函數(shù)的周期性，反映了三角函數(shù)的特點(diǎn)，在復(fù)習(xí)“三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象”時(shí)，要牢牢抓住“三角函數(shù)周期性”這一內(nèi)容，認(rèn)真體會(huì)周期性在三角函數(shù)所有性質(zhì)中的地位和作用．這樣才能把性質(zhì)理解透徹． 一、三角函數(shù)性質(zhì)的分析 1．三角函數(shù)的定義域

這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在y軸上的角．

函數(shù)y=cotx的定義域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在x軸上的角．

(2)函數(shù)y=secx、y=cscx的定義域分別與y=tanx、y=cotx相同． 例

1求下列函數(shù)的定義域：

π](k∈Z)．

形使函數(shù)定義域擴(kuò)大． 的某些區(qū)間與-3≤x≤3的交集不空，這些區(qū)間可以通過k取特殊值得到．注意不要遺漏．

(3)滿足下列條件的x的結(jié)果，要熟記(用圖形更便于記住它的結(jié)果)．

是

[

]

所以選C． 2．三角函數(shù)的值域

(1)由|sinx|≤

1、|cosx|≤1得函數(shù)y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥

1、|secx|≥1．

(2)復(fù)合三角函數(shù)的值域問題較復(fù)雜，除了代數(shù)求值域的方法都可以適用外，還要注意三角函數(shù)本身的特點(diǎn)，特別是經(jīng)常需要先進(jìn)行三角變換再求值域． 常用的一些函數(shù)的值域要熟記．

③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 例

4求下列函數(shù)的值域：

(2)y=3cos2x+4sinx ①x∈R；

④x是三有形的一個(gè)內(nèi)角．(3)y=cosx(sinx+cosx)；

(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x)．

若把上式中的sinx換成cosx，解法、答案均與上面相同．

sinx=0時(shí)，ymax=3，所以y∈[-4，3]；

(5)解法一

將cos(50°+x)變?yōu)閟in(40°-x)，和差化積得 y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°，2cos10°]．

解法二

用正弦、余弦的兩角和與差的公式展開，得 y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx =(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx =2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx

=2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°，2cos10°]．

評述

以上是求三角函數(shù)值域的幾種基本情況，它們的共同點(diǎn)在于，經(jīng)過三角變換，都要轉(zhuǎn)化為四種基本三角函數(shù)的值域．

求tanβ的最大值．

解

α為銳角，tanα＞0，所以

3．三角函數(shù)的周期性

(1)對周期函數(shù)的定義，要抓住兩個(gè)要點(diǎn)：

①周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，因此f(x+T)=f(x)必須對定義域中任一個(gè)x成立時(shí)，非零常數(shù)T才是f(x)的周期．

②周期是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值． 因?yàn)閟in(2kπ+x)=sinx對定義域中任一個(gè)x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．

同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．

因?yàn)閠an(kπ+x)=tanx對定義域中任一個(gè)x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．

同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．

(3)三角函數(shù)的周期性在三角函數(shù)性質(zhì)中的作用

①函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間周期性的出現(xiàn)，每一個(gè)三角函數(shù)，都有無數(shù)個(gè)遞增或遞減區(qū)間，這些遞增區(qū)間互不連接，遞減區(qū)間也互不連接．

②函數(shù)的最大、最小值點(diǎn)或使函數(shù)無意義的點(diǎn)周期性變化．

③因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)，所以畫三角函數(shù)圖象時(shí)，只須畫一個(gè)周期的圖象即可．

例6 求下列函數(shù)的周期：

上式對定義域中任一個(gè)x成立，所以T=π；

4．三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性

研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

[

]

A．②

B．①②

C．②③

D．①②③

原點(diǎn)不對稱，所以函數(shù)①既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；②因?yàn)閒(-x)=-f(x)，所

但是周期函數(shù)，T=2π．因此選C．

評述

在判定函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)時(shí)，一定要注意函數(shù)的定義域，一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．因此對①，不能根據(jù)f(-x)+f(x)=0就判定①為奇函數(shù)．

原來的函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．因此在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，若將函數(shù)變形，必須保持變形后的函數(shù)與原來的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，例8

給出4個(gè)式子：①sin2＞cos2＞tan2；②sin2＞sin3＞sin4；③tan1＞sin1＞cos1；④cos1＞cos2＞cos3．正確的序號(hào)是______．

而(0，π)是y=cosx的遞減區(qū)間，所以④正確．

例9

函數(shù)y=-cosx-sin2x在[-π，π)的遞增區(qū)間是______．

評述

研究函數(shù)的性質(zhì)首先要注意函數(shù)的定義域．

[

] A．是增函數(shù)

B．是減函數(shù)

C．可以取得最大值M

D．可以取得最小值-M

5．三角函數(shù)的圖象

(1)畫三角函數(shù)的圖象應(yīng)先求函數(shù)的周期，然后用五點(diǎn)法畫出函數(shù)一個(gè)周期的圖象．

(2)函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx

圖象的對稱中心分別為

∈Z)的直線．

例1

2畫出下列函數(shù)在一個(gè)周期的圖象：

解(1)T=π．

如圖10．

(2)T=2π．如圖11．

[

]

最大或最小值的即是，所以選A．

(4)三角函數(shù)圖象的平移變換，伸縮變換．

一個(gè)周期的圖象，則圖象的解析式為______．

還可以這樣研究：

二、綜合題分析

例17

方程sinx=log20x根的個(gè)數(shù)是______．

分析

在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx、y=log20x的圖象．

(2π，4π)，(4π，6π)中，兩圖象分別有1個(gè)、2個(gè)、2個(gè)交點(diǎn)，因此方程根的個(gè)數(shù)為5個(gè)．

例18

已知函數(shù)y=sinx·cosx

+sinx+cosx，求y的最大、最小值及取得最大、最小值時(shí)的x值．

解

令sinx+cosx=t．

(k∈Z)時(shí)，ymin=-1；

求：(1)函數(shù)的取值范圍；

(2)函數(shù)的遞減區(qū)間． 解

sin3x·sin3x+cos3x·cos3x

實(shí)數(shù)．

π](k∈Z)． 的最小正周期．

有一動(dòng)點(diǎn)P，過P引平行于OB的直線交OA于Q，求△POQ面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的位置．

解

如圖13．

設(shè)∠POB=θ∈(0°，120°)，則∠QPO=θ．

能力訓(xùn)練

2．設(shè)θ是第二象限角，則必有

[

]

[

]

A．y=tanx

B．y=cos2x

4．函數(shù)f(cosC)=cos2C-3cosC，則f(sinC)的值域是

[

]

5．(1)函數(shù)y=cos(tanx)的定義域是______，值域是______；

(7)設(shè)a=tan48°+cot48°，b=sin48°+cos48°，c=tan48°+cos48°，d=cot48°+sin48°．將a，b，c，d從小到大排列的結(jié)果是______．

6．將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大兩倍，縱坐標(biāo)不變，然 的圖象完全相同，則函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式是______．

7．(1)已知sinα+sinβ=1，則cosα+cosβ的取值范圍是______；(2)已知3sin2α+2sin2β=2sinα，則sin2α+sin2β的取值范圍是______． 8．求下列函數(shù)的周期：(1)y=cot2x-cotx；

(3)y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x．

9．求函數(shù)y=sin4x+cos4x-2cos2x的周期、最大值和最小值．

11．設(shè)f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)，求使f(x)為偶函數(shù)的充分必要條件．

數(shù)a的取值范圍．

實(shí)數(shù)m的取值范圍．

答案提示

1．B

2．C

3．D

4．B

(3)奇函數(shù)，R

(7)d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°＞0，所以d＞b；c-

7．(1)設(shè)cosα+cosβ=x，則(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α

3]

11．sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)=sin(x+θ)+sin(x-θ)

-2sinx·sinθ=2sinx·cosθ

cos(x+θ)-cos(x-θ)-sinθ=cosθ

14．設(shè)sinθ=t∈[0，1]，題目變成t2-2mt+2m+1＞0對t∈[0，1]

設(shè)計(jì)說明

三角函數(shù)的每一條性質(zhì)都要求記憶和理解，每一個(gè)函數(shù)的圖象也要求熟練掌握，因此在復(fù)習(xí)時(shí)，首先以一些小題為主，使學(xué)生把每一條性質(zhì)都弄清楚．由于在研究性質(zhì)時(shí)必然要涉及三角變換，而這一點(diǎn)對學(xué)生來說是難點(diǎn)，所以在復(fù)習(xí)時(shí)不要由于三角變換削弱了性質(zhì)的復(fù)習(xí)．

在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)抓住核心的兩點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和三角函數(shù)的周期性．

第二篇：三角函數(shù)圖像和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)校：沙雅縣第二中學(xué) 年級(jí)：高中 電話：*** 內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)必修四第一章1.4三角函數(shù)的圖像性質(zhì)第一課時(shí) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（一）本節(jié)課教材是人教版必修四第四課（1.4）<<三角函數(shù)圖像與性質(zhì)>>，可將其劃分為三小節(jié)來設(shè)計(jì)，即：<<正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像>>、<<正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)>>、<<正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象>>。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，掌握了研究函數(shù)的一般思路，并對三角函數(shù)的基本知識(shí)比較熟悉的情況下，進(jìn)一步利用函數(shù)圖象來研究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，為學(xué)生以后利用數(shù)形結(jié)合的方式來解決有關(guān)三角函數(shù)方面的知識(shí)做鋪墊,同時(shí)，可以對高中階段系統(tǒng)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)等做鋪墊，進(jìn)一步鞏固和深化三角函數(shù)的概念和性質(zhì)等知識(shí)，融會(huì)貫通前面所學(xué)的函數(shù)的基本性質(zhì)，使學(xué)生得到較系統(tǒng)的掌握函數(shù)知識(shí)和研究函數(shù)的方法，掌握運(yùn)用三角函數(shù)圖像來解決有關(guān)問題。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能：（1）．能畫出y=sin x, y=cos x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；（2）．借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]（如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)及奇偶性等）；

2、過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，獨(dú)立思考能力，規(guī)范解題的標(biāo)準(zhǔn)。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生全面的分析問題和認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度，滲透辯證唯物主義思想。

三、學(xué)情分析 教學(xué)背景

本課是高一年級(jí)必修四的一堂數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)通過圖像來研究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。在通過簡諧運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，得到正弦或余弦函數(shù)圖像。在運(yùn)用五點(diǎn)法作出它們的圖像，讓學(xué)生分小組討論，總結(jié)和概括它們的性質(zhì)，后期會(huì)用同樣方法來研究正切圖像和它的相關(guān)性質(zhì)。

學(xué)生背景：

高一學(xué)生已具備一定的教學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)能力，所教的班是重點(diǎn)班,對于知識(shí)的歸納總結(jié)也有一定的能力，對于新問題，有主動(dòng)思考問題、探索問題的信習(xí)和勇氣，因此，本課遵循“以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”，“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”等教學(xué)思想，把提問題作為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，指導(dǎo)嘗試，總結(jié)反思。

四、教學(xué)手段，教學(xué)方法

講練結(jié)合，教師引入，提出問題，學(xué)生探究通過五點(diǎn)法做出正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖像。并且能夠運(yùn)用圖像變換，得到其他形式的函數(shù)圖像。通過圖像，總結(jié)概括出正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)的性質(zhì)，即周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值。同時(shí)，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，探究利用單位圓中的三角函數(shù)線研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)。

五、教學(xué)重難點(diǎn)分析

（一）教學(xué)重點(diǎn)

（1）學(xué)會(huì)運(yùn)用五點(diǎn)法畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像。

（2）掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，即（周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域、最值等）。

（二）教學(xué)難點(diǎn)

（1）正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)應(yīng)用方法和技巧。

（2）學(xué)會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)圖像來正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，把數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用到問題求解上。

課時(shí)安排：（需上3課時(shí)）第一課時(shí)：正弦、余弦的圖像 第二課時(shí)：正弦、余弦的圖像和性質(zhì)一 第三課時(shí)：正弦、余弦的圖像和性質(zhì)二 教學(xué)設(shè)計(jì)為第一課時(shí)

六、教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1． 弧度定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。

2.正、余弦函數(shù)定義：設(shè)?是一個(gè)任意角，在?的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）

P與原點(diǎn)的距離r(r?x?y?x2?y2?0)

r22P(x,y)?yy則比值叫做?的正弦 記作： sin??

rr 比值xx叫做?的余弦 記作： cos?? rr3.正弦線、余弦線：設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，過P作x軸的垂線，垂足為M，則有

sin??yx?MP，cos???OM rr向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線．

二、講解新課：

1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)．在一般情況下，兩個(gè)坐標(biāo)軸上所取的單位長度應(yīng)該相同，否則所作曲線的形狀各不相同，從而影響初學(xué)者對曲線形狀的正確認(rèn)識(shí)．

（1）函數(shù)y=sinx的圖象

第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的交點(diǎn)A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預(yù)備：取自變量x值—弧度制下角與實(shí)數(shù)的對應(yīng)）.第二步：在單位圓中畫出對應(yīng)于角0,?6，??，,?，2π的正弦線正弦線（等價(jià)于32“列表”）.把角x的正弦線向右平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（等價(jià)于“描點(diǎn)”）.第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．

根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象.把角x(x?R)的正弦線平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象.（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象

探究1：你能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，通過適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖象？

根據(jù)誘導(dǎo)公式cosx?sin(x??2),可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

?單位即2得余弦函數(shù)y=cosx的圖象.（課件第三頁“平移曲線”）

-6?-5?-4?-3?-2?-?y1o-1y1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1?2?3?4?5?6?xy=sinx y=cosx?2?3?4?5?6?x正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線． 思考：在作正弦函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？ 2．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點(diǎn)法）：

正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)((3?,-1)(2?,0)2?,1)(?,0)2余弦函數(shù)y=cosx x?[0,2?]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？(0,1)((2?,1)

?3?,0)(?,-1)(,0)22只要這五個(gè)點(diǎn)描出后，圖象的形狀就基本確定了．因此在精確度不太高時(shí)，常采用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖，要求熟練掌握． 優(yōu)點(diǎn)是方便，缺點(diǎn)是精確度不高，熟練后尚可以

3、講解范例： 例1 作下列函數(shù)的簡圖

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-COSx ●探究2． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來得到

（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的圖象；（2）y=sin(x-π/3)的圖象？

小結(jié)：函數(shù)值加減，圖像上下移動(dòng)；自變量加減，圖像左右移動(dòng)。

● 探究３．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來得到y(tǒng)＝-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象？ 小結(jié)：這兩個(gè)圖像關(guān)于X軸對稱?！裉骄浚矗?/p>

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來得到y(tǒng)＝2-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象？ 小結(jié)：先作 y=cos x圖象關(guān)于x軸對稱的圖形，得到 y＝-cosx的圖象，再將y＝-cosx的圖象向上平移2個(gè)單位，得到 y＝2-cosx 的圖象。

●探究５．

不用作圖，你能判斷函數(shù)y=sin(x3π/2)= sin[(x-3π/2)+2 π] =sin(x+π/2)=cosx 這兩個(gè)函數(shù)相等，圖象重合。

例2 分別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合：

(1)sinx?115?;(2)cosx?,(0?x?).2 2

2三、鞏固與練習(xí)

數(shù)學(xué)必修四P34 練習(xí)1、2

四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1．正弦、余弦曲線 幾何畫法和五點(diǎn)法 2．注意與誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)線的知識(shí)的聯(lián)系

五、作業(yè)：數(shù)學(xué)必修四p46頁習(xí)題1.4A組

1、同步練習(xí)冊當(dāng)堂鞏固1.2.3.4

七、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

反思學(xué)習(xí)過程，對研究正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖像，性質(zhì)，進(jìn)行概括，深化認(rèn)識(shí)。三角函數(shù)是一類特殊的周期函數(shù)，在研究三角函數(shù)時(shí)，既可以聯(lián)系物理、生物、自然界中的周期現(xiàn)象，也可以從已學(xué)過的指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等得到啟發(fā)，還要注意與銳角三角函數(shù)建立聯(lián)系。

第三篇：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案

對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（第一課時(shí)）

數(shù)學(xué)科組 林榮界

一、教學(xué)目的：

1．了解對數(shù)函數(shù)的定義、圖象及其性質(zhì)以及它與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系； 2．會(huì)求對數(shù)函數(shù)的定義域；

3．滲透類比應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)歸納思維能力和邏輯推理能力，提高數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力

二、教學(xué)重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三、教學(xué)難點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系.四、教學(xué)過程：

第四篇：正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像教案

1．4．3 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像

一、教學(xué)目標(biāo)

1.用單位圓中的正切線作正切函數(shù)的圖象；2.用正切函數(shù)圖象解決函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)；

二、課時(shí) 1課時(shí)

三、教學(xué)重點(diǎn) 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的簡單應(yīng)用.四、教學(xué)難點(diǎn) 正切函數(shù)性質(zhì)的深刻理解及其簡單應(yīng)用.五、教具

多媒體、實(shí)物投影儀

六、教學(xué)過程 導(dǎo)入新課

思路1.(直接導(dǎo)入)常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù),前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？由此展開新課.思路2.先由圖象開始,讓學(xué)生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來畫出正切函數(shù)的圖象.這也是一種不錯(cuò)的選擇,這是傳統(tǒng)的導(dǎo)入法.推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

①我們通過畫正弦、余弦函數(shù)圖象探究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì).正切函數(shù)是我們高中要學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù).你能運(yùn)用類比的方法先探究出正切函數(shù)的性質(zhì)嗎？都研究函數(shù)的哪幾個(gè)方面的性質(zhì)？②我們學(xué)習(xí)了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個(gè)象限的正切線嗎？③我們知道作周期函數(shù)的圖象一般是先作出長度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象,然后向左、右擴(kuò)展,這樣就可以得到它在整個(gè)定義域上的圖象.那么我們先選哪一個(gè)區(qū)間來研究正切函數(shù)呢？為什么？④我們用“五點(diǎn)法”能簡捷地畫出正弦、余弦函數(shù)的簡圖,你能畫出正切函數(shù)的簡圖嗎？

你能類比“五點(diǎn)法”也用幾個(gè)字總結(jié)出作正切簡圖的方法嗎？

活動(dòng):問題①,教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)是從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性這幾個(gè)方面來研究的,有了這些知識(shí)準(zhǔn)備,然后點(diǎn)撥學(xué)生也從這幾個(gè)方面來探究正切函數(shù)的性質(zhì).由于還沒有作出正切函數(shù)圖象,教師指導(dǎo)學(xué)生充分利用正切線的直觀性.(1)周期性 由誘導(dǎo)公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠

?+kπ,k∈Z

2可知,正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是π.這里可通過多媒體課件演示,讓學(xué)生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數(shù)的周期性,后面的正切函數(shù)圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數(shù)的這一周期性.(2)奇偶性 由誘導(dǎo)公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠

?+kπ,k∈Z 2

可知,正切函數(shù)是奇函數(shù),所以它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過圖象還能發(fā)現(xiàn)對稱點(diǎn)嗎？與正余弦函數(shù)相對照,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對稱函數(shù),它的對稱中心是(k?,0)k∈Z.2(3)單調(diào)性

通過多媒體課件演示,由正切線的變化規(guī)律可以得出,正切函數(shù)在(?又由正切函數(shù)的周期性可知,正切函數(shù)在開區(qū)間(???22,)內(nèi)是增函數(shù),?2+kπ,?+kπ),k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).2(4)定義域

根據(jù)正切函數(shù)的定義tanα=

y,顯然,當(dāng)角α的終邊落在y軸上任意一點(diǎn)時(shí),都有x=0,這時(shí)x正切函數(shù)是沒有意義的；又因?yàn)榻K邊落在y軸上的所有角可表示為kπ+數(shù)的定義域是{α|α≠kπ+

?,k∈Z,所以正切函2??,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},這個(gè)問題不少初學(xué)者很不理解,在22解題時(shí)又很容易出錯(cuò),教師應(yīng)提醒學(xué)生注意這點(diǎn),深刻明了其內(nèi)涵本質(zhì).(5)值域

由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當(dāng)x大于?切線AT向Oy軸的負(fù)方向無限延伸;當(dāng)x小于向無限延伸.因此,tanx在(??2且無限接近??2時(shí),正

??且無限接近時(shí),正切線AT向Oy軸的正方22??22,)內(nèi)可以取任意實(shí)數(shù),但沒有最大值、最小值.因此,正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.問題②,教師引導(dǎo)學(xué)生作出正切線,并觀察它的變化規(guī)律,如圖1.圖1

問題③,正切函數(shù)圖象選用哪個(gè)區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導(dǎo)學(xué)生在課堂上展開充分討論,這也體現(xiàn)了“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的新課改理念.有的學(xué)生可能選取了［0,π］作為正切函數(shù)的周期選取,這正是學(xué)生作圖的真實(shí)性的體現(xiàn).此時(shí),教師應(yīng)調(diào)整計(jì)劃,把課件中先作出［-??,］內(nèi)的圖象,改為先作出［0,π］內(nèi)的圖象,再進(jìn)行圖象的平移,得到整22??,)的圖象為好.22?+kπ(k∈Z)2個(gè)定義域內(nèi)函數(shù)的圖象,讓學(xué)生觀察思考.最后由學(xué)生來判斷究竟選用哪個(gè)區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖象既簡單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生通過分析得到先作區(qū)間(-這時(shí)條件成熟,教師引導(dǎo)學(xué)生來作正切函數(shù)的圖象,如圖2.根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把圖2向左、右擴(kuò)展,得到正切函數(shù)y=tanx,x∈R,且x≠的圖象,我們稱正切曲線,如圖3.圖2

圖3

問題④,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察正切曲線,點(diǎn)撥學(xué)生討論思考,只需確定哪些點(diǎn)或線就能畫出函數(shù)y=tanx,x∈(???22,)的簡圖.學(xué)生可看出有三個(gè)點(diǎn)很關(guān)鍵:(??4,-1),(0,0),（?,1),還有兩4條豎線.因此,畫正切函數(shù)簡圖的方法就是:先描三點(diǎn)(?x=??4,-1),(0,0),（?,1),再畫兩條平行線4?2,x=?,然后連線.教師要讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫,這對今后解題很有幫助.2討論結(jié)果:①略.②正切線是AT.③略.④能,“三點(diǎn)兩線”法.提出問題

①請同學(xué)們認(rèn)真觀察正切函數(shù)的圖象特征,由數(shù)及形從正切函數(shù)的圖象討論它的性質(zhì).②設(shè)問:每個(gè)區(qū)間都是增函數(shù),我們可以說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？請舉一個(gè)例子.活動(dòng):問題①,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=

?+kπ,k∈Z所隔開的無2窮多支曲線組成的.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,這點(diǎn)反應(yīng)了它的哪一性質(zhì)——定義域；并且函數(shù)圖象在每個(gè)區(qū)間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質(zhì)——值域?yàn)镽；每隔π個(gè)單位,對應(yīng)的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質(zhì)——周期π;在每個(gè)區(qū)間圖象都是上升趨勢,得到它的哪一性

?+kπ),k∈Z,沒有減區(qū)間.它的圖象是關(guān)于原點(diǎn)對稱

22k?的,得到是哪一性質(zhì)——奇函數(shù).通過圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對稱,對稱中心是(,0),k∈Z.2質(zhì)——單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間是(?+kπ,問題②,正切函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).如在區(qū)間(0,π)上就沒有單調(diào)性.討論結(jié)果:①略.②略.應(yīng)用示例 略

課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)到了哪些知識(shí)方法,有哪些啟發(fā)、收獲.本節(jié)課我們是在研究完正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后,研究的又一個(gè)具體的三角函數(shù),與研究正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)有什么不同?研究正、余弦函數(shù),是由圖象得性質(zhì),而這節(jié)課我們從正切函數(shù)的定義出發(fā)得出一些性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上得到圖象,最后用圖象又驗(yàn)證了函數(shù)的性質(zhì).2.(教師點(diǎn)撥)本節(jié)研究的過程是由數(shù)及形,又由形及數(shù)相結(jié)合,也是我們研究函數(shù)的基本方法,特別是又運(yùn)用了類比的方法、數(shù)形結(jié)合的方法、化歸的方法.請同學(xué)們課后思考總結(jié):這種多角度觀察、探究問題的方法對我們今后學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義？ 作業(yè)課本習(xí)題1.4 A組6、8、9.?

第五篇：反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案

《反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)》

授課教師：還地橋鎮(zhèn)松山中學(xué)盧青

【教學(xué)目的】

1、知識(shí)目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、歸納、交流的過程，探索反比例函數(shù)的主要性質(zhì)及其圖像形狀。

2、能力目標(biāo)：提高學(xué)生的觀察、分析能力和對圖形的感知水平。

3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)反比例函數(shù)刻畫現(xiàn)實(shí)生活問題的作用。

【教學(xué)重點(diǎn)】

探索反比例函數(shù)圖象的主要性質(zhì)及其圖像形狀。

【教學(xué)難點(diǎn)】

1、準(zhǔn)確畫出反比例函數(shù)的圖象。

2、準(zhǔn)確掌握并能運(yùn)用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)。

【教學(xué)過程】

活動(dòng)

1、匯海拾貝

讓學(xué)生回憶我們所學(xué)過得一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，說出畫函數(shù)圖像的一般步驟。（列表、描點(diǎn)、連線），對照圖象回憶一次函數(shù)的性質(zhì)。

活動(dòng)

2、學(xué)海歷練

讓學(xué)生仿照畫一次函數(shù)的方法畫反比例函數(shù)y=2/x和y=-2/x的圖像并觀察圖像的特點(diǎn) 活動(dòng)

3、成果展示

將各組的成果展示在大家的面前，并糾正可能出現(xiàn)的問題。

活動(dòng)

4、行家看臺(tái)

1．反比例函數(shù)的圖象是雙曲線

2．當(dāng)k>0時(shí),兩支雙曲線分別位于第一,三象限內(nèi)

當(dāng)k<0時(shí),兩支雙曲線分別位于第二,四象限內(nèi)

3．雙曲線會(huì)越來越靠近坐標(biāo)軸，但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交

活動(dòng)

5、星級(jí)挑戰(zhàn)

1星：

1、反比例函數(shù)y=-5/x的圖象大致是（）

2、函數(shù)y=6/x的圖像在第象限，函數(shù)y=-4/x的圖像在第象限。2星：

1、函數(shù)y=(m-2)/x的圖像在二、四象限，則m的取值范圍是

2、函數(shù)y=(4-k)/x的圖像在一、三象限，則k的取值范圍是3星：

1、下列反比例函數(shù)圖像的一個(gè)分支，在第三象限的是（）

A、y=(3-π)/xB、y=2-1/xC、y=-3/xD、y=k/x2、已知反比例函數(shù)y=-k/x的圖像在第二、四象限，那么一次函數(shù)y=kx+3的圖像

經(jīng)過（）

A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限

C、第一、三、四象限D(zhuǎn)、第二、三、四象限

4星：

1、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=-k/x和y=kx-k的圖像大致是

2、反比例函數(shù)y=ab/x的圖像在第一、三象限，那么一次函數(shù)y=ax+b的圖像大致

是

5星：

1、反比例函數(shù)y?2m?

1xm2?8,它的圖像在一、三象限，則

2、反比例函數(shù)y?

活動(dòng)

6、回味無窮 ?k?4??k?2?，它的圖像在一、三象限，則k的取值范圍是x

1．反比例函數(shù)的圖象是雙曲線

2．當(dāng)k>0時(shí),兩支雙曲線分別位于第一,三象限內(nèi)

當(dāng)k<0時(shí),兩支雙曲線分別位于第二,四象限內(nèi)

3．雙曲線會(huì)越來越靠近坐標(biāo)軸，但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交

活動(dòng)

7、終極挑戰(zhàn)

如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=(k2-5k-10)/x的圖像上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，-2）則k的值為