題組層級快練(六十七)

1．(2014·新課標全國Ⅱ理)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為()

A.B.C.D.答案　D

解析　先求直線AB的方程，將其與拋物線的方程聯(lián)立組成方程組化簡，再利用根與系數(shù)的關系求解．

由已知得焦點坐標為F(，0)，因此直線AB的方程為y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.方法一：聯(lián)立拋物線方程化簡，得4y2－12y－9＝0.故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.方法二：聯(lián)立方程，得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根據(jù)拋物線的定義有

|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，原點到直線AB的距離為

h＝＝.因此S△OAB＝|AB|·h＝.另解：|AB|＝＝＝12，S△ABO＝·|OF|·|AB|·sinθ＝··12·＝.2．設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標為()

A．(2，±2)

B．(1，±2)

C．(1,2)

D．(2,2)

答案　B

解析　設A(x0，y0)，F(xiàn)(1,0)，＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，·＝x0(1－x0)－y＝－4.∵y＝4x0，∴x0－x－4x0＋4＝0?x＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．∴x0＝1，y0＝±2.3．已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若·＝0，則k＝()

A.B.C.D．2

答案　D

解析　由題意知拋物線C的焦點坐標為(2,0)，則直線AB的方程為y＝k(x－2)，將其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝4.①

由?

∵·＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④

由①②③④式，解得k＝2.故選D.4.(2015·河南豫東、豫北十所名校)如圖所示，過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，交其準線于點C，若|BC|＝|BF|，且|AF|＝4＋2，則p的值為()

A．1

B．2

C.D．3

答案　B

解析　過B作準線的垂線BB′，則|BB′|＝|BF|，由|BC|＝|BF|，得直線l的傾斜角為45°.設A(x0，y0)，由|AF|＝4＋2，得x0－＝|AF|＝2＋2.∴(2＋2)＋p＝4＋2，∴p＝2.5．(2015·江西重點中學盟校聯(lián)考)已知拋物線C：y＝x2－2，過原點的動直線l交拋物線C于A，B兩點，P是AB的中點，設動點P(x，y)，則4x－y的最大值是()

A．2

B．－2

C．4

D．－4

答案　A

解析　設直線l的方程為y＝kx，與拋物線C的方程y＝x2－2聯(lián)立，消去y，得x2－kx－2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝k，所以x＝，y＝，所以4x－y＝2k－＝－(k－2)2＋2.故當k＝2時，4x－y取最大值2.6.(2015·湖南益陽模擬)如圖所示，已知直線l：y＝k(x＋1)(k>0)與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點，且A，B兩點在拋物線C準線上的射影分別是M，N，若|AM|＝2|BN|，則k的值是()

A.B.C.D．2

答案　C

解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組消去x，得ky2－4y＋4k＝0.①

因為直線與拋物線相交，所以有

Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)>0.(*)

y1，y2是方程①的兩個根，所以有

又因為|AM|＝2|BN|，所以y1＝2y2.④

解由②③④組成的方程組，得k＝.把k＝代入(*)式檢驗，不等式成立．所以k＝，故選C.7．設F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝()

A．9

B．6

C．4

D．3

答案　B

解析　焦點F坐標為(1,0)，設A，B，C坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．

∴＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3)．

∵＋＋＝0，∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0.∴x1＋x2＋x3＝3.∴||＋||＋||

＝＋＋

＝＋＋

＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.8．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y＋y的最小值是________．

答案　32

解析　設直線方程為x＝ky＋4，與拋物線聯(lián)立得

y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32.故最小值為32.9.如圖所示，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A.(1)求實數(shù)b的值；

(2)求以點A為圓心，且與拋物C的準線相切的圓的方程．

答案(1)－1(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4

解析(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)

因為直線l與拋物線C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)為x2－4x＋4＝0，解得x＝2.將其代入x2＝4y，得y＝1.故點A(2,1)．

因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2.所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.10.如圖所示，斜率為1的直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，M為拋物線弧AB上的動點．

(1)若|AB|＝8，求拋物線的方程；

(2)求S△ABM的最大值．

答案(1)y2＝4x(2)p2

解析(1)由條件知lAB：y＝x－，與y2＝2px聯(lián)立，消去y，得x2－3px＋p2＝0，則x1＋x2＝3p.由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.又因為|AB|＝8，即p＝2，則拋物線的方程為y2＝4x.(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，設M(，y0)，則M到AB的距離為d＝.因為點M在直線AB的上方，所以－y0－<0，則d＝＝＝＝.當y0＝p時，dmax＝p.故S△ABM的最大值為×4p×p＝p2.方法二：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，設與直線AB平行且于拋物線相切的直線方程為y＝x＋m，代入拋物線方程，得x2＋2(m－p)x＋m2＝0.由Δ＝4(m－p)2－4m2＝0，得m＝.與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y＝x＋，兩直線間的距離為d＝＝p，故S△ABM的最大值為×4p×p＝p2.11．(2015·廣東百所高中聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點K(－1,0)為直線l與拋物線C準線的交點，直線l與拋的線C相交于A，B兩點．

(1)求拋物線C的方程；

(2)設·＝，求直線l的方程．

答案(1)y2＝4x

(2)3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0

解析(1)依題意知－＝－1，解得p＝2.所以拋物線C的方程為y2＝4x.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，且設直線l的方程為x＝my－1(m≠0)．

將x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.由Δ>0，得m2>1，從而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1.因為＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m＝±滿足m2>1.所以直線l的方程為x＝±y－1.即3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.12．(2015·山東萊蕪期末)已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點F(0，c)(c>0)到直線y＝2x的距離是.(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線y＝kx＋1(k≠0)與拋物線C交于A，B兩點，設線段AB的中垂線與y軸交于點P(0，b)，求實數(shù)b的取值范圍．

答案(1)x2＝2y(2)b∈(2，＋∞)

解析(1)由題意，＝，故c＝.所以拋物線C的方程為x2＝2y.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由得x2－2kx－2＝0.所以Δ＝4k2＋8>0.所以x1＋x2＝2k，所以線段AB的中點坐標為(k，k2＋1)．

線段AB的中垂線方程為y＝－(x－k)＋k2＋1，即y＝－x＋k2＋2.令x＝0，得b＝k2＋2.所以b∈(2，＋∞)．

1．平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等，若機器人接觸不到過點P(－1，0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是________．

答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析　由題意可知機器人的軌跡為一拋物線，其軌跡方程為y2＝4x，過點P(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)，由題意知直線與拋物線無交點，聯(lián)立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，則Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，得k>1或k<－1.2．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為()

A.B.C.D．2

答案　C

解析　由題意，拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為l：x＝－1，可得A點的橫坐標為2，不妨設A(2,2)，則直線AB的方程為y＝2(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立得2x2－5x＋2＝0，可得B(，－)，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝.