2004年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（文史）（北京卷）

一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在函數(shù)中，最小正周期為的函數(shù)是（）

A.B.C.D.2.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.雙曲線的漸近線方程是（）

A.B.C.D.4.一個(gè)圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為（）

A.B.C.D.5.已知，則下列不等關(guān)系中必定成立的是（）

A.，B.C.D.6.在拋物線上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為（）

A.B.1

C.2

D.4

7.已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：

<1>若，則；

<2>若，則

<3>若，則

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

8.兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5cm，4cm，3cm，把它們重疊在一起組成一個(gè)新長(zhǎng)方體，在這些新長(zhǎng)方體中，最長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)度是（）

A.B.C.D.9.在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，恰有1件次品的不同取法的種數(shù)是（）

A.B.C.D.10.期中考試以后，班長(zhǎng)算出了全班40個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為M，如果把M當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來(lái)的40個(gè)分?jǐn)?shù)一起，算出這41個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為N，那么M:N為（）

A.B.1

C.D.2

二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上

11.直線（a為實(shí)常數(shù)）的傾斜角的大小是_________

12.的值為____________

13.若為函數(shù)的反函數(shù)，則的值域是_______

14.若直線與圓沒有公共點(diǎn)，則m，n滿足的關(guān)系式為____________；以（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)有_________個(gè)

三.解答題：本大題共6小題，共84分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟

15.（本小題滿分13分）

解不等式

16.（本小題滿分13分）

在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值

17.（本小題滿分15分）

如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，（I）求證；

（II）求面ASD與面BSC所成二面角的大??；

18.（本小題滿分14分）

2003年10月15日9時(shí)，“神舟”五號(hào)載人飛船發(fā)射升空，于9時(shí)9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道，開始巡天飛行該軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓選取坐標(biāo)系如圖所示，橢圓中心在原點(diǎn)近地點(diǎn)A距地面200km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面350km已知地球半徑R＝6371km

（I）求飛船飛行的橢圓軌道的方程；

（II）飛船繞地球飛行了十四圈后，于16日5時(shí)59分返

回艙與推進(jìn)艙分離，結(jié)束巡天飛行，飛船共巡天飛行了約，問飛船巡天飛行的平均速度是多少km/s？

（結(jié)果精確到1km/s）（注：km/s即千米/秒）

19.（本小題滿分15分）

某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過(guò)100件時(shí)，每多訂購(gòu)一件，訂購(gòu)的全部服裝的出廠單價(jià)就降低0.02元根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售商一次訂購(gòu)量不會(huì)超過(guò)500件

（I）設(shè)一次訂購(gòu)量為x件，服裝的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)的表達(dá)式；

（II）當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)了450件服裝時(shí)，該服裝廠獲得的利潤(rùn)是多少元？

（服裝廠售出一件服裝的利潤(rùn)＝實(shí)際出廠單價(jià)－成本）

20.（本小題滿分14分）

下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：

（）

（）

（）

……

……

（）

（）

（）

……

……

（）

（）

（）

（）

（）

……

……

（）

（）

（）

（）

（）

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)

（I）寫出的值；

（II）寫出的計(jì)算公式以及2008這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置

2004年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（文史）（北京卷）參考解答

一.選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿分50分

1.A

2.D

3.A

4.C

5.B

6.C

7.D

8.C

9.A

10.B

二.填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題4分，滿分16分

11.12.1

13.14.2

三.解答題：本大題共6小題，共84分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟

15.本小題主要考查不等式的解法等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力，滿分13分

解：原不等式的解集是下面不等式組(1)及(2)的解集的并集：

或

解不等式組(1)得解集

解不等式組(2)得解集

所以原不等式的解集為

16.本小題主要考查解斜三角形等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力滿分13分

解：（I）成等比數(shù)列

又

在中，由余弦定理得

（II）解：在中，由正弦定理得

17.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力滿分15分

（I）證明：如圖1

圖1

底面ABCD是正方形

底面ABCD

DC是SC在平面ABCD上的射影

由三垂線定理得

（II）解：

底面ABCD，且ABCD為正方形

可以把四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖2

面ASD與面BSC所成的二面角就是面與面所成的二面角，又

為所求二面角的平面角

在中，由勾股定理得

在中，由勾股定理得

即面ASD與面BSC所成的二面角為

圖2

圖3

18.本小題主要考查橢圓等基本知識(shí)，考查分析問題和解決問題的能力滿分14分

解：（I）設(shè)橢圓的方程為

由題設(shè)條件得

解得

所以

所以橢圓的方程為

（注：由得橢圓的方程為，也是正確的）

（II）從15日9時(shí)到16日6時(shí)共21個(gè)小時(shí)，合21×3600秒

減去開始的9分50秒，即9×60＋50＝590（秒），再減去最后多計(jì)的1分鐘，共減去590＋60＝650（秒）

得飛船巡天飛行的時(shí)間是

（秒）

平均速度是（千米/秒）

所以飛船巡天飛行的平均速度是8km/s

19.本小題主要考查函數(shù)的基本知識(shí)，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力滿分15分

解：（I）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以

（II）設(shè)銷售商的一次訂購(gòu)量為x件時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則

當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)了450件服裝時(shí)，該廠獲利的利潤(rùn)是5850元

20.本小題主要考查等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力滿分14分

解：（I）

（II）該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列：

第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列：

……

第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此

要找2008在該等差數(shù)陣中的位置，也就是要找正整數(shù)i，j，使得

所以

當(dāng)時(shí)，得

所以2008在等差數(shù)陣中的一個(gè)位置是第1行第669列