《應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)》綜合作業(yè)二
一、填空題（每小題2分，共20分）
1．某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別為80，10和10件，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一件，記，則，的聯(lián)合分布律為
（X1，X2）～
(0，0)
(0，1)
(1，0)
(1，1)
0.1
0.1
0.8
0
.2．設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合密度函數(shù)為其中為常數(shù)，則=
.3．設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且，則（，）的聯(lián)合密度函數(shù)為
f(y)=?*＇(lny)×(lny)＇=N(μ,σ^2)|x=lny
×1/y
.4．設(shè)隨機(jī)變量和同分布，的密度函數(shù)為若事件，相互獨(dú)立，且，4^(1/3)
.5．設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量和具有同一分布律，且
0
0.5
0.5
則隨機(jī)變量的分布律為
Z=0，P=14
Z=1，P=34
.6．設(shè)表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，則的數(shù)學(xué)期望
18.4
.7．設(shè)離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)的泊松分布，且已知，則參數(shù)=
.8．設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
2/（√（2pai））
.9．設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，其中服從正[0，6]區(qū)間上的均勻分布，服從正態(tài)分布，服從參數(shù)的泊松分布，記隨機(jī)變量，則
.10．設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差，則由切貝雪夫（Chebyshev）不等式，有
1/9
.二、選擇題（每小題2分，共20分）
1．設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立且同分布，，則下列各式成立的是（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．設(shè)隨機(jī)變量的分布律為：
且滿足，則等于（B）
（A）0
（B）
（C）
（D）1
3．設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且都服從（0，1）區(qū)間上的均勻分布，則服從相應(yīng)區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的隨機(jī)變量是（D）
（A）
（B）
（C）
（D）（）
4．設(shè)離散型隨機(jī)變量（）的聯(lián)合分布律為
若和相互獨(dú)立，則和的值為（A）
（A），（B），（C）
（D），5．設(shè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為與，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)
是（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量和，若，則下列結(jié)論正確的是（B）
（A）
（B）
（C）和相互獨(dú)立
（D）和不相互獨(dú)立
7．設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則參數(shù)，的值等于（B）
（A），（B），（C），（D），8．設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量和的方差存在且不等于零，則是和的（C）
（A）不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件
（B）獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件
（C）不相關(guān)的充分必要條件
（D）獨(dú)立的充分必要條件
9．設(shè)隨機(jī)變量（，）的方差，相關(guān)系數(shù)，則方差（C）
（A）40
（B）34
（C）25.6
（D）17.6
10．設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且在（0，）上服從均勻分布，則（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
三、（10分）設(shè)隨機(jī)變量，，相互獨(dú)立，且同分布：，0.4，=1，2，3，4．
求行列式的概率分布.解答：
Y1=X1X4
Y2=X2X3
Z=Y1-Y2
P{Y1=1}=P{Y2=1}={X2=1,X3=1}=0.16
P{Y1=0}P{Y2=0}=1-0.16=0.84
Z有三種可能-1,0,1
P{Z=-1}={Y1=0,Y2=1}=0.84×0.16=0.1344
P{Z=1}P{Y1=1,Y2=0}=0.16×0.84=0.1344
P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312
Z
0
P
0.1344
0.7312
0.1344
四、（10分）已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，；
（1）求的數(shù)學(xué)期望和方差.（2）求與的協(xié)方差，并問與是否不相關(guān)？
（3）問與是否相互獨(dú)立？為什么？
解答：
五、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量（）的聯(lián)合密度函數(shù)為試求：
（1）常數(shù)；
（2），；
（3），；
（4）.解答：
(1)由概率密度函數(shù)的性質(zhì)∫+∞?∞∫+∞?∞f(x,y)dxdy=1，得
∫+∞0dy∫y0cxe?ydx=c2∫+∞0y2e?ydy=c=1，即c=1
(2)由于為判斷X與Y的相互獨(dú)立性,先要計(jì)算邊緣密度fX(x)與fY(y).fX(x)=∫+∞?∞f(x,y)dy={xe?x0amp;,x>0amp;,x?0
類似地,有fY(y)=???12y2e?y0amp;,y>0amp;,y?0
由于在0 因此隨機(jī)變量X與Y不是相互獨(dú)立的。 (3)當(dāng)y>0時(shí),fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)=?????2xy20amp;,0 (4)P{X<1|Y<2}=P(X<1,Y<2)P(Y<2)=∫1?∞∫2?∞f(x,y)dxdy∫2?∞fY(y)dy =∫10dx∫2xxe?ydy∫2012y2e?ydy=1?2e?1?12e?21?5e?2，由條件密度的性質(zhì)知P{X<1|y=2}=∫1?∞fx|y(x|2)dx，而fx|y(x|2)=???x20amp;,0 用X1,X2表示兩臺(tái)機(jī)器先后開動(dòng)的記錄儀無故障工作的時(shí)間，則：T=X1+X2.由已知條件,X1與X2相互獨(dú)立,且Xi(i=1,2)的概率密度為： p(x)={5e?5x,x>00,x?0，利用兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和的密度公式可得： ①對(duì)于任意t>0，T的概率分布： f(t)=∫∞?∞p1(x)p2(t?x)dx=25∫ t0e?5xe?5(t?x)dx=25e?5t∫ t0dx=25te?5t ②當(dāng)t?0時(shí),顯然有：f(t)=0.于是，f(t)={25te?5t,t>00,t?0.由于Xi(i=1,2)服從參數(shù)為λ=5的指數(shù)分布，所以：EXi=15,DXi=125.因此,ET=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=25 因?yàn)閄1與X2相互獨(dú)立，所以： DT=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=225 七、（10分）設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，服從[0，1]上的均勻分布，的密度函數(shù)為試求隨機(jī)變量的密度函數(shù).解答： 八、（10分）某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取一件，記.試求：（1）隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布律； （2）隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù).解答：
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