初中數(shù)學(xué)第一輪
總復(fù)習(xí)教案
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第一部分 數(shù)與代數(shù)
第一章
數(shù)與式
第1講 實數(shù)
考點一、實數(shù)的概念及分類
（3分）
1、實數(shù)的分類
正有理數(shù)
有理數(shù)
零
有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)
實數(shù)
負(fù)有理數(shù)
正無理數(shù)
無理數(shù)
無限不循環(huán)小數(shù)
負(fù)無理數(shù)
2、無理數(shù)
在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一實質(zhì)，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數(shù)，如等；
（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+8等；
（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函數(shù)，如sin60o等
3.數(shù)軸
：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸
注意：⑴
一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來。
⑵
在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大。
⑶
正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。
⑷
注意：數(shù)軸上的點不都代表有理數(shù)，如。
考點二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值
（3分）
1、相反數(shù)
實數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)（零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=
-b，反之亦成立。
2、絕對值
一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，絕對值的性質(zhì)：
⑴
絕對值的非負(fù)性，可以用下式表示：，這是絕對值非常重要的性質(zhì)
⑵
⑶
若，則；若，則；
⑷
若，則或；
⑸；
⑹
表示數(shù)
與數(shù)
兩點之間的距離且。
⑺當(dāng)時，；當(dāng)時。（主要考察分類討論）
⑻零點分段討論、絕對值的幾何意義:的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離原點的距離。的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)、對應(yīng)數(shù)軸上兩點間的距離。
零點分段討論的步驟：
1．找零點，畫數(shù)軸
2．分類
3．代入化簡
【例1】化簡：
【例2】（淮安中考）化簡：
【例3】化簡：
3、倒數(shù)
如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。0沒有倒數(shù)。
【例1】已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖。則在，，中，最大的一個是（）
A．
B．
C．
D．
【例2】三個有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（）
A．
B．
C．
D．
【例3】，。
【例4】（北京四中）計算：。
【例5】（一零一中學(xué)）若，則化簡的結(jié)果為。
【例6】若，化簡。
【例7】（2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽黃岡市選拔賽試題）若，則的值是（）
A．0
B．-1
C．-3
D．-4
【例8】下列可能正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【例9】已知a、b、是不為0的有理數(shù)，求的值。
c
0
b
a
【例10】（2009-2010北京四中期中考試第12題3分）已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）。
A．
B．
C．
D．
【例11】（2009-2010北師大附屬實驗期中考試第24題4分）已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖所示，化簡：。
【例12】如圖所示，根據(jù)數(shù)軸上給出的a、b、c的條件，試說明的值與c無關(guān)。
考點三、平方根、算數(shù)平方根和立方根
（3—10分）
1、平方根
如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方根）。
一個非負(fù)數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的平方根記做“”。
2、算術(shù)平方根
正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。
正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。
（0）；
注意的雙重非負(fù)性：
-（<0）
03、立方根
如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。
注意：，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。
考點四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)
（3—6分）
1、有效數(shù)字
一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。
2、科學(xué)記數(shù)法
把一個數(shù)寫做的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。
考點五、實數(shù)大小的比較
（3分）
1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。
2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法
（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則。
（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則。
考點六、實數(shù)的運算
（做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大）
1、加法交換律
2、加法結(jié)合律
3、乘法交換律
4、乘法結(jié)合律
5、乘法對加法的分配律
6、實數(shù)的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。
【例1】-a的相反數(shù)為
5，b的倒數(shù)是c，c的負(fù)倒數(shù)是2，d在數(shù)軸的左邊且與原點的距離為3，求的值。
【例2】已知a，b
互為相反數(shù)，x的絕對值為2，c、d互為倒數(shù)，試求的值。
【例3】若有
x，y
滿足，則
【例4】式子的最小值是，這時。
【例5】已知，則。
【例6】改革開放以來，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值由1978年的3645億元增長到2008年的300670億元。將300670億元用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為
元，保留兩個有效數(shù)字結(jié)果為
元，精確到萬億元結(jié)果為
元。
【例7】如果，那么()
A．139800000
B．13980000
C．1398000
D．139800
【例8】已知，，比較a，b，c的大小。
【例9】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，若，比較a，b，c的大小。
A級 基礎(chǔ)題
1．在－1,0,1,2這四個數(shù)中，既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的是()
A．－1
B．0
C．1
D．2
2．－2的絕對值等于()
A．2
B．－2
C.D．±2
3．－4的倒數(shù)的相反數(shù)是()
A．－4
B．4
C．－
D.4．－3的倒數(shù)是()
A．3
B．－3
C.D．－
5．無理數(shù)－的相反數(shù)是()
A．－
B.C.D．－
6．下列各式，運算結(jié)果為負(fù)數(shù)的是()
A．－(－2)－(－3)
B．(－2)×(－3)
C．(－2)2
D．(－3)－3
7．某天最低氣溫是－5
℃，最高氣溫比最低氣溫高8
℃，則這天的最高氣溫是________℃.8．如果x－y＜0，那么x與y的大小關(guān)系是x____y(填“＜”或“＞”)．
9．(山東泰安)已知一粒米的質(zhì)量是0.000
021千克，這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為()
A．21×10－4千克
B．2.1×10－6千克
C．2.1×10－5千克
D．2.1×10－4千克
10．(河北)計算：|－5|－(－3)0＋6×＋(－1)2
B級 中等題
11．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列式子錯誤的是()
A．a(chǎn) B．|a|>|b| C．－a<－b D．b－a>0 12．北京時間2011年3月11日，日本近海發(fā)生9.0級強烈地震．本次地震導(dǎo)致地球當(dāng)天自轉(zhuǎn)快了0.000 001 6秒．這里的0.000 0016秒請你用科學(xué)記數(shù)法表示_____________秒． 13．將1，，按下列方式排列．若規(guī)定(m，n)表示第m排從左向右第n個數(shù)，則(5,4)與(14,5)表示的兩數(shù)之積是________． 14．計算：|－3 |－2cos30°－2－2＋(3－π)0.15．計算：－22＋－2cos60°＋|－3|.C級 拔尖題 16．如圖，矩形ABCD的頂點A，B在數(shù)軸上，CD＝6，點A對應(yīng)的數(shù)為－1，則點B所對應(yīng)的數(shù)為__________． 17．觀察下列等式： 第1個等式：a1＝＝×； 第2個等式：a2＝＝×； 第3個等式：a3＝＝×； 第4個等式：a4＝＝×； … 請解答下列問題： (1)按以上規(guī)律列出第5個等式： a5＝______________＝______________； (2)用含有n的代數(shù)式表示第n個等式： an＝______________＝______________(n為正整數(shù))； (3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值． 選做題 18．請你規(guī)定一種適合任意非零實數(shù)a，b的新運算“a⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2＝2⊕1＝3，(－3)⊕(－4)＝(－4)⊕(－3)＝－，(－3)⊕5＝5⊕(－3)＝－，… 你規(guī)定的新運算a⊕b＝________(用a，b的一個代數(shù)式表示)． 測試題 1．下列說法中正確的是 （） A.小數(shù)3.14不是分?jǐn)?shù) B.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù) C.正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) D．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù) 2．比大的負(fù)整數(shù)有（） A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 3．?dāng)?shù)軸上，若點表示的數(shù)為，點與點 關(guān)于原點對稱，點與點距離為2，則點表示的有 理數(shù)為。 4．如果與互為相反數(shù)，那么的值為（） A.B.10 C.D.-10 5．已知，是的倒數(shù)，且，則等于（） A． B．7或 C．或1 D．1 6．計算： 7．計算：。 8．、、在數(shù)軸上的位置如圖所示．則在，中，最大的是。 9．如圖所示，圓的周長為個單位長度，在圓的等分點處 標(biāo)上數(shù)字，。先讓圓周上數(shù)字所對應(yīng)的點與 數(shù)軸上的數(shù)所對應(yīng)的點重合，再讓數(shù)軸按逆時針方向 繞在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)將與圓周上的數(shù)字 重合。 10．已知，求的值。 11．有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示：若，則。 12．若，試化簡。 13．a(chǎn)是有理數(shù)，下列結(jié)論一定正確的是（） A.>- B.C.| |= D.14．①；②；③；④一定是負(fù)數(shù)的是 （填序號）。 15．16．[55-()](-3) 17．有理數(shù)，，滿足，求的值。 18．求的值。 19．如圖，在一條數(shù)軸上有依次排列的臺機床在工作，現(xiàn)要設(shè)置一個零件供應(yīng)站，使這臺機床到供應(yīng)站的距離總和最小，點建在哪？最小值為多少？ 答案1．D 2．D 3．2或6 4．A 5．A 6．7． 8．9．2 10．3或者-1 11．-2000 12．13．D 14．② 15．16． 17．2或者-2 18．，，19．P建在數(shù)軸上的點C處，總距離和最小，為12 第2講 代數(shù)式 考點一、整式的有關(guān)概念 （3分） 1、代數(shù)式 用運算符號（加、減、乘、除、乘方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。 2、單項式 只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式,如，。 注意：單項式是由系數(shù)（單項式中的數(shù)字因數(shù)）、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成。一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)。如是6次單項式。 考點二、多項式 （11分） 1、多項式 幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。單項式和多項式統(tǒng)稱整式。 用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。 注意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。 （2）求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入。 2、同類項 所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。 3、去括號法則 （1）括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號一起去掉，括號里各項都不變號。 （2）括號前是“﹣”，把括號和它前面的“﹣”號一起去掉，括號里各項都變號。 4、整式的運算法則 整式的加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。 整式的乘法：1.2.3.4.5.6.7.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 8.a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 整式的除法： 注意：（1）單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式。 （2）單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同。 （3）計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號。 （4）多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項。 （5）公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式。 （6） （7）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除以多項式是不能這么計算的。 【例1】下列說法正確的是（） A．單項式的系數(shù)是 B．單項式的指數(shù)是 C．是單項式 D．單項式可能不含有字母 【例2】已知單項式的次數(shù)與多項式的次數(shù)相同，求的值。 【例3】(2010西城區(qū)期末考試A卷第15題2分)若與是同類項，則。 【例4】單項式與是同類項，則（） A．無法計算 B． C． D． 【例5】(2009-2010崇文區(qū)初一期末考試第15題2分)若的和是單項式，則。 考點三、整體思想 整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，把某些式子或圖形看成一個整體，進行有目的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值有廣泛的應(yīng)用，整體代入、整體設(shè)元、整體處理等都是整體思想方法在解代數(shù)式的化簡與求值中的具體運用。 【例1】把當(dāng)作一個整體，合并的結(jié)果是（） A． B． C． D． 【例2】(北大附中初一期中考試第29題5分)已知，求代數(shù)式的值。 【例3】如果，則。 【例4】己知：，；求的值。 A級 基礎(chǔ)題 1．某省初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試的同學(xué)約有15萬人，其中男生約有a萬人，則女生約有() A．(15＋a)萬人 B．(15－a)萬人 C．15a萬人 D.萬人 2．若x＝－，y＝＋，則xy的值是() A．2 B。2 C．m＋n D．m－n 3．若x＝1，y＝，則x2＋4xy＋4y2的值是() A．2 B．4 C.D .4．已知a－b＝1，則代數(shù)式2a－2b－3的值是() A．－1 B．1 C．－5 D．5 5．已知實數(shù)x，y滿足＋(y＋1)2＝0，則x－y等于() A．3 B．－3 C．1 D．－1 6．若|x－3|＋|y＋2|＝0，則x＋y的值為__________． 7．通信市場競爭日益激烈，某通信公司的手機市話費標(biāo)準(zhǔn)按原標(biāo)準(zhǔn)每分鐘降低a元后，再次下調(diào)了20%，現(xiàn)在收費標(biāo)準(zhǔn)是每分鐘b元，則原收費標(biāo)準(zhǔn)每分鐘是____________元． 8．已知代數(shù)式2a3bn＋1與－3am＋2b2是同類項，2m＋3n＝________.9．如圖，點A，B在數(shù)軸上對應(yīng)的實數(shù)分別為m，n，則A，B間的距離是________(用含m，n的式子表示)． 10．已知2x－1＝3，求代數(shù)式(x－3)2＋2x(3＋x)－7的值． B級 中等題 11．若a2－b2＝，a－b＝，則a＋b的值為() A．－ B.C．1 D．2 12．化簡得____________ ；當(dāng)m＝－1時，原式的值為________ ． 13．把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片不重疊的放在一個底面為長方形(長為m cm，寬為n cm)的盒子底部[如圖X1－2－1(2)]，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖X1－2－1(2)中兩塊陰影部分的周長和是() A．4m cm B．4n cm C．2(m＋n) cm D．4(m－n) cm 14．若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個代數(shù)式為完全對稱式，如a＋b＋c就是完全對稱式．下列三個代數(shù)式： ①(a－b)2；②ab＋bc＋ca；③a2b＋b2c＋c2a.其中是完全對稱式的是() A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．已知A＝2x＋y，B＝2x－y，計算A2－B2.C級 拔尖題 16．若3x＝4,9y＝7，則3x－2y的值為() A.B.C．－3 D.第3講 整式與分式 第1課時 整式 A級 基礎(chǔ)題 1．計算(－x)2·x3的結(jié)果是() A．x5 B．－x5 C．x6 D．－x6 2．下列運算正確的是() A．3a－a＝3 B．a(chǎn)2·a3＝a5 C．a(chǎn)15÷a3＝a5(a≠0) D．(a3)3＝a6 3．下列運算正確的是() A．a(chǎn)＋a＝a2 B．(－a3)2＝a5 C．3a·a2＝a3 D．(a)2＝2a2 4．在下列代數(shù)式中，系數(shù)為3的單項式是() A．xy2 B．x3＋y3 C．x3y D．3xy 5．下列計算正確的是() A．(－p2q)3＝－p5q3 B．(12a2b3c)÷(6ab2)＝2ab C．3m2÷(3m－1)＝m－3m2 D．(x2－4x)x－1＝x－4 6．下列等式一定成立的是() A．a(chǎn)2＋a3＝a5 B．(a＋b)2＝a2＋b2 C．(2ab2)3＝6a3b6 D．(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab 7．計算(－5a3)2的結(jié)果是() A．－10a5 B．10a6 C．－25a5 D．25a6 8．(湖北荊州)將代數(shù)式x2＋4x－1化成(x＋p)2＋q的形式為() A．(x－2)2＋3 B．(x＋2)2－4 C．(x＋2)2－5 D．(x＋2)2＋4 9．計算： (1)(＋1)(－1)＝____________； (2)(山東德州)化簡：6a6÷3a3＝________.(3)(－2a)·＝________.10．化簡：(a＋b)2＋a(a－2b)． B級 中等題 11．已知一個多項式與3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，則這個多項式是() A．－5x－1 B．5x＋1 C．13x－1 D．13x＋1 12．(安徽蕪湖)如圖，從邊長為(a＋4) cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a＋1) cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，則矩形的面積為()． A．(2a2＋5a) cm2 B．(3a＋15) cm2 C．(6a＋9) cm2 D．(6a＋15) cm2 13．(湖南株洲)先化簡，再求值：(2a－b)2－b2，其中a＝－2，b＝3.14．(吉林)先化簡，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中a＝1，b＝.15．先化簡，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－.C級 拔尖題 16．(四川宜賓)將代數(shù)式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式為() A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4 17．若＋|y＋2|＝0，求代數(shù)式[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x的值． 18．(江蘇蘇州)若3×9m×27m＝311，則m的值為____________． 第2課時 因式分解 考點三、因式分解 （11分） 1、因式分解 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。 2、因式分解的常用方法 （1）提公因式法： （2）運用公式法： （3）分組分解法： （4）十字相乘法： 3、因式分解的一般步驟： （1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式 （3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。 A級 基礎(chǔ)題 1．(四川涼山州)下列多項式能分解因式的是() A．x2＋y2 B．－x2－y2 C．－x2＋2xy－y2 D．x2－xy＋y2 2．(年山東濟寧)下列式子變形是因式分解的是() A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3) 3．(內(nèi)蒙古呼和浩特)下列各因式分解正確的是() A．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2) B．x2＋2x－1＝(x－1) C．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 D．x2－4x＝x(x＋2)(x－2) 4．(湖南邵陽)因式分解：a2－b2＝______ 5．(遼寧沈陽)分解因式：m2－6m＋9＝______.6．(廣西桂林)分解因式：4x2－2x＝________.7．(浙江麗水)分解因式：2x2－8＝ ________.8．(貴州六盤水)分解因式：2x2＋4x＋2＝________.9．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形(a>b)[如圖X1－3－2(1)]，把余下的部分拼成一個矩形，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證() A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 10．若m2－n2＝6且m－n＝3，則m＋n＝________.B級 中等題 11．對于任意自然數(shù)n，(n＋11)2－n2是否能被11整除，為什么？ 12．(山東臨沂)分解因式：a－6ab＋9ab2＝____________.13．(四川內(nèi)江)分解因式：ab3－4ab＝______________.14．(山東濰坊)分解因式：x3－4x2－12x＝______________.15．(江蘇無錫)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的結(jié)果是() A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 16．(山東德州)已知：x＝＋1，y＝－1，求的值． C級 拔尖題 17．(江蘇蘇州)若a＝2，a＋b＝3，則a2＋ab＝________.18．(湖北隨州)設(shè)a2＋2a－1＝0，b4－2b2－1＝0，且1－ab2≠0，則＝________.選做題 19．分解因式：x2－y2－3x－3y＝______________.20．已知a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷△ABC的形狀． 21．(貴州黔東南州)分解因式x3－4x＝______________________.第3課時 分式 考點一、分式 （8~10分） 1、分式的概念 一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。 2、分式的性質(zhì) （1）分式的基本性質(zhì)： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。 （2）分式的變號法則： 分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。 3、分式的運算法則 （1），（2）。 （3） （4） A級 基礎(chǔ)題 1．(浙江湖州)要使分式有意義，x的取值范圍滿足() A．x＝0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0 2．(四川德陽)使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是() A．x≥0 B．x≠ C．x≥0且x≠ D．一切實數(shù) 3．在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，是下列等式成立： (1)＝ b (2)＝ 4．約分：＝____________； ＝____________.5．已知＝，則＝__________.6．當(dāng)x＝______時，分式的值為零． 7．(福建漳州)化簡：÷.8．先化簡，再求值：－，其中x＝2.9．(山東泰安)化簡：÷＝____________________.B級 中等題 10．先化簡，再求值：÷.11．(四川資陽)先化簡，再求值：÷，其中a是方程x2－x＝6的根． C級 拔尖題 12．先化簡再求值：＋，其中＋36a2＋b2－12ab＝0.選做題 13．已知x2－3x－1＝0，求x2＋的值． 第4講 二次根式 考點一、二次根式 （初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，分值很大） 1、二次根式 式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。 2、最簡二次根式 若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。 化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟： （1）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡。 （2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。 3、同類二次根式 幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。 4、二次根式的性質(zhì) （1） （2） （3） （4） 5、二次根式混合運算 二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。 A級 基礎(chǔ)題 1．下列二次根式是最簡二次根式的是() A.B.C.D.2．下列計算正確的是() A.＝2 B.·＝ C.－＝ D.＝－3 3．若a＜1，化簡－1＝() A．a(chǎn)－2 B．2－a C．a(chǎn) D．－a 4．(廣西玉林)計算：3 －＝() A．3 B.C．2 D．4 5．(湖南衡陽)計算：＋＝__________.7．(遼寧營口)計算－2 ＝________.6．已知一個正數(shù)的平方根是3x－2和5x＋6，則這個數(shù)是__________． 7．(四川內(nèi)江)計算：tan30°－(π－2 011)0＋－|1－|.B級 中等題 8．(安徽)設(shè)a＝－1，a在兩個相鄰整數(shù)之間，則這兩個整數(shù)是() A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 9．(山東煙臺)如果＝1－2a，則() A．a(chǎn)＜ B．a(chǎn)≤ C．a(chǎn)＞ D．a(chǎn)≥ 10．(浙江)已知m＝1＋，n＝1－，則代數(shù)式的值為() A．9 B．±3 C．3 D．5 11．(福建福州)若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為________． 12．(四川涼山州)計算：(sin30°)－2＋－|3－|＋83×(－0.125)3.C級 拔尖題 13．(湖北荊州)若與|x－y－3|互為相反數(shù)，則x＋y的值為() A．3 B．9 C．12 D．27 14．(山東日照)已知x，y為實數(shù)，且滿足－(y－1)＝0，那么x2 011－y2 011＝______.選做題 15．(四川涼山州)已知y＝＋－3，則2xy的值為() A．－15 B．15 C．－ D.第二章 方程與不等式 第1講 方程與方程組 第1課時 一元一次方程與二元一次方程組 考點一、一元一次方程的概念 （6分） 1、方程 含有未知數(shù)的等式叫做方程。 2、方程的解 能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 3、等式的性質(zhì) （1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。 （2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。 4、一元一次方程 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項。 考點二、二元一次方程組 （8~10分） 1、二元一次方程 含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解 使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。 3、二元一次方程組 兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。 4二元一次方程組的解 使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。 5、二元一次方正組的解法 （1）代入法（2）加減法 6、三元一次方程 把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。 7、三元一次方程組 由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組 A級 基礎(chǔ)題 1．(山東棗莊)“五一”節(jié)期間，某電器按成本價提高30%后標(biāo)價，再打8折(標(biāo)價的80%)銷售，售價為2 080元．設(shè)該電器的成本價為x元，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是() A．x(1＋30%)×80%＝2 080 B．x×30%×80%＝2 080 C．2 080×30%×80%＝x D．x×30%＝2 080×80% 2．(廣西桂林)二元一次方程組的解是() A.B.C.D.3．(湖南衡陽)為了豐富同學(xué)們的課余生活，體育委員小強到體育用品商店購羽毛球拍和乒乓球拍，若購1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小強一共用320元購買了6副同樣的羽毛球拍和10副同樣的乒乓球拍．若設(shè)每副羽毛球拍為x元，每副乒乓球拍為y元，列二元一次方程組得() A.B.C.D.4．(貴州銅仁)銅仁市對城區(qū)主干道進行綠化，計劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等．如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完．設(shè)原有樹苗x棵，則根據(jù)題意列出方程正確的是() A．5(x＋21－1)＝6(x－1) B．5(x＋21)＝6(x－1) C．5(x＋21－1)＝6x D．5(x＋21)＝6x 5．已知關(guān)于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，則m的值是________． 6．方程組的解是__________． 7．(湖南湘潭)湖南省2011年赴臺旅游人數(shù)達7.6萬人．我市某九年級一學(xué)生家長準(zhǔn)備中考后全家3人去臺灣旅游，計劃花費20 000元．設(shè)每人向旅行社繳納x元費用后，共剩5 000元用于購物和品嘗臺灣美食．根據(jù)題意，列出方程為__________________． 8．(年江蘇蘇州)我國是一個淡水資源嚴(yán)重缺乏的國家．有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國人均淡水資源占有量僅為美國人均淡水資源占有量的，中、美兩國人均淡水資源占有量之和為13 800 m3.問中、美兩國人均淡水資源占有量各為多少(單位：m3)? B級 中等題 9．(貴州黔西南)已知－2xm－1y3與xnym＋n是同類項，那么(n－m)2 012＝______.10．(山東菏澤)已知是二元一次方程組的解則2m－n的算術(shù)平方根為() A．± B.C．2 D．4 11．(湖北咸寧)某賓館有單人間和雙人間兩種房間，入住3個單人間和6個雙人間共需1 020元，入住1個單人間和5個雙人間共需700元，則入住單人間和雙人間各5個共需____________元． 12．(內(nèi)蒙古呼和浩特)解方程組： C級 拔尖題 13．如圖X2－1－1，直線l1：y＝x＋1與直線l2：y＝mx＋n相交于點P(1，b)． (1)求b的值． (2)不解關(guān)于x，y的方程組請你直接寫出它的解． (3)直線l3：y＝nx＋m是否也經(jīng)過點P？請說明理由． 圖X2－1－1 14．(江西南昌)小明的媽媽在菜市場買回3斤蘿卜、2斤排骨，準(zhǔn)備做蘿卜排骨湯． 媽媽說：“今天買這兩樣菜共花了45元，上月買同重量的這兩樣菜只要36元”； 爸爸說：“報紙上說了蘿卜的單價上漲50%，排骨的單價上漲20%”； 小明說：“爸爸、媽媽，我想知道今天買的蘿卜和排骨的單價分別是多少？” 請你通過列方程(組)求解這天蘿卜、排骨的單價(單位：元/斤)． 選做題 15．(上海)解方程組： 16．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，則k的值為() A．－ B.C.D．－ 第2課時 分式方程 考點一、分式方程 （8分） 1、分式方程 分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母 （2）解所得的整式方程 （3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。 3、分式方程的特殊解法 換元法： 換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。 A級 基礎(chǔ)題 1．(廣西北海)分式方程＝1的解是() A．－1 B．1 C．8 D．15 2．(浙江麗水)把分式方程＝ 化為一元一次方程時，方程兩邊需同乘以() A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 3．(湖北隨州)分式方程＝的解是() A．v＝－20 B．v＝5 C．v＝－5 D．v＝20 4．(四川成都)分式方程＝的解為() A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 5．(四川內(nèi)江)甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用的時間相同．已知乙車每小時比甲車多行駛15千米，設(shè)甲車的速度為x千米/時，依題意列方程正確的是() A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 6．方程 ＝0的解是________． 7．(江蘇連云港)今年6月1日起，國家實施了《中央財政補貼條例》，支持高效節(jié)能電器的推廣使用．某款定速空調(diào)在條列實施后，每購買一臺，客戶可獲財政補貼200元，若同樣用1萬元所購買的此款空調(diào)臺數(shù)，條例實施后比條例實施前多10%，則條例實施前此款空調(diào)的售價為 __________元． 8．(山東德州)解方程：＋＝1.9．(江蘇泰州)當(dāng)x為何值時，分式的值比分式的值大3? 10．(北京)據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1 000毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國槐樹葉的片數(shù)相同．求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量． B級 中等題 11．(山東萊蕪)對于非零實數(shù)a，b，規(guī)定a⊕b＝－.若2⊕(2x－1)＝1，則x的值為() A.B.C.D．－ 12．(四川巴中)若關(guān)于x的方程＋＝2有增根，則m的值是________． 13．(山東菏澤改編)我市某校為了創(chuàng)建書香校園，去年購進一批圖書．經(jīng)了解，科普書的單價比文學(xué)書的單價多4元，用12 000元購進的科普書與用8 000元購進的文學(xué)書的本數(shù)相等． C級 拔尖題 15．(江蘇無錫)某開發(fā)商進行商鋪促銷，廣告上寫著如下條款： 投資者購買商鋪后，必須由開發(fā)商代為租賃5年，5年期滿后由開發(fā)商以比原商鋪標(biāo)價高20%的價格進行回購．投資者可在以下兩種購鋪方案中做出選擇： 方案一：投資者按商鋪標(biāo)價一次性付清鋪款，每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價的10%； 方案二：投資者按商鋪標(biāo)價的八五折一次性付清鋪款，2年后每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價的10%，但要繳納租金的10%作為管理費用． (1)請問：投資者選擇哪種購鋪方案，5年后所獲得的投資收益率更高？為什么(注：投資收益率＝×100%)? (2)對同一標(biāo)價的商鋪，甲選擇了購鋪方案一，乙選擇了購鋪方案二，那么5年后兩人獲得的收益將相差5萬元．問：甲、乙兩人各投資了多少萬元？ 選做題 14．(山東日照)某學(xué)校后勤人員到一家文具店給九年級的同學(xué)購買考試用文具包，文具店規(guī)定一次購買400個以上，可享受8折優(yōu)惠．若給九年級學(xué)生每人購買一個，不能享受8折優(yōu)惠，需付款1 936元；若多買88個，就可享受8折優(yōu)惠，同樣只需付款1 936元．請問該學(xué)校九年級學(xué)生有多少人？ 15．(湖北黃岡)某服裝廠設(shè)計了一款新式夏裝，想盡快制作8 800 件投入市場，服裝廠有A，B兩個制衣車間，A車間每天加工的數(shù)量是B車間的1.2 倍，A，B 兩車間共同完成一半后，A車間出現(xiàn)故障停產(chǎn)，剩下全部由B車間單獨完成，結(jié)果前后共用20 天完成，求A，B兩車間每天分別能加工多少件． 第3課時 一元二次方程 考點一、一元二次方程 （6分） 1、一元二次方程 含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。 考點二、一元二次方程的解法 （10分） 1、直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時，，當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。 2、配方法 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。 考點三、一元二次方程根的判別式 （3分） 根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即 考點四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 （3分） 如果方程的兩個實數(shù)根是，那么。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。 A級 基礎(chǔ)題 1．(江蘇泰州)一元二次方程x2＝2x的根是() A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2 2．方程x2－4＝0的根是() A．x＝2 B．x＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝4 3．(安徽)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是() A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2 4．(貴州安順)已知1是關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一個根，則m的值是() A．1 B．－1 C．0 D．無法確定 5．(湖北武漢)若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的兩根，則x1＋x2的值是() A．－2 B．2 C．3 D．1 6．(湖南常德)若一元二次方程x2＋2x＋m＝0有實數(shù)解，則m的取值范圍是() A．m≤－1 B．m≤1 C．m≤4 D．m≤ 7．(江西南昌)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是() A．1 B．－1 C.D．－ 8．(上海)如果關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常數(shù))沒有實根，那么c的取值范圍是__________． 9．(山東濱州)某商品原售價為289元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為256元，設(shè)平均每次降價的分率為x,可列方程為_______________________________________________。 10．解方程： (x－3)2＋4x(x－3)＝0.B級 中等題 11．(內(nèi)蒙古呼和浩特)已知：x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的兩個根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，則a，b的值分別是() A．a(chǎn)＝－3，b＝1 B．a(chǎn)＝3，b＝1 C．a(chǎn)＝－，b＝－1 D．a(chǎn)＝－，b＝1 12．(山東濰坊)關(guān)于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情況描述正確的是() A．k為任何實數(shù)，方程都沒有實數(shù)根 B．k為任何實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根 C．k 為任何實數(shù)，方程都有兩個相等的實數(shù)根 D．根據(jù) k的取值不同，方程根的情況分為沒有實數(shù)根、有兩個不相等的實數(shù)根和有兩個相等的實數(shù)根三種 13．(山東德州)若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的兩個實數(shù)根，則x＋x＝__________.14．(2011年江蘇蘇州)已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式(a－b)(a＋b－2)＋ab的值等于________． 15．(山西)山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克．若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2 240元，請回答： (1)每千克核桃應(yīng)降價多少元？ (2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？ 16．(湖南湘潭)如圖X2－1－2，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD(圍墻MN最長可利用25 m)，現(xiàn)在已備足可以砌50 m長的墻的材料，試設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2.X2－1－2 C級 拔尖題 17．(湖北襄陽)如果關(guān)于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是() A．k＜ B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0 選做題 18．(江蘇南通)設(shè)α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的兩個根，則α2＋4α＋β＝________.19．三角形的每條邊的長都是方程x2－6x＋8＝0的根，則三角形的周長是________． 第2講 不等式與不等式組 考點一、不等式的概念 （3分） 1、不等式 用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。 對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。 求不等式的解集的過程，叫做解不等式。 3、用數(shù)軸表示不等式的方法 考點二、不等式基本性質(zhì) （3~5分） 1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。 2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。 3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。 考試題型： 考點三、一元一次不等式 （6~8分） 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步驟： （1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1 考點四、一元一次不等式組 （8分） 1、一元一次不等式組的概念 幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。 幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。 求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。 當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。 2、一元一次不等式組的解法 （1）分別求出不等式組中各個不等式的解集 （2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集 A級 基礎(chǔ)題 1．不等式3x－6≥0的解集為() A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 2．(湖南長沙)一個不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來如圖X2－2－1，則下列符合條件的不等式組為() 圖X2－2－1 圖X 2－2 A.B.C.D.3．函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖X2－2－2，則當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是() A．x＜－2 B．x＞－2 C．x＜－1 D．x＞－1 4．直線l1：y＝k1x＋b與直線l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖X2－2－3，則關(guān)于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集為（） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞－2 D．x＜－2 5．若關(guān)于x的不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是________． 6．(江蘇揚州)在平面直角坐標(biāo)系中，點P(m，m－2)在第一象限內(nèi)，則m的取值范圍是________． 7．不等式組的整數(shù)解是__________ 8．8．(江蘇蘇州)解不等式組： 9．某校志愿者團隊在重陽節(jié)購買了一批牛奶到“夕陽紅”敬老院慰問孤寡老人．如果給每個老人分5盒，則剩下38盒，如果給每個老人分6盒，則最后一個老人不足5盒，但至少分得1盒． (1)設(shè)敬老院有x名老人，則這批牛奶共有多少盒(用含x的代數(shù)式表示)? (2)該敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？ B級 中等題 11．(湖北荊門)已知點M(1－2m，m－1)關(guān)于x軸的對稱點在第一象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是() 12．(湖北恩施)某大型超市從生產(chǎn)基地購進一批水果，運輸過程中損失10%，假設(shè)不計超市其他費用，如果超市要想至少獲得20%的利潤，那么這種水果的售價在進價的基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高() A．40% B．33.4% C．33.3% D．30% 13．(湖北黃石)若關(guān)于x的不等式組有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是____________． 14．為了對學(xué)生進行愛國主義教育，某校組織學(xué)生去看演出，有甲、乙兩種票，已知甲、乙兩種票的單價比為4∶3，單價和為42元． (1)甲乙兩種票的單價分別是多少元？ (2)學(xué)校計劃拿出不超過750元的資金，讓七年級一班的36名學(xué)生首先觀看，且規(guī)定購買甲種票必須多于15張，有哪幾種購買方案？ C級 拔尖題 15．試確定實數(shù)a的取值范圍，使不等式組恰有兩個整數(shù)解． 16．(四川德陽)今年南方某地發(fā)生特大洪災(zāi)，政府為了盡快搭建板房安置災(zāi)民，給某廠下達了生產(chǎn)A種板材48 000 m2和B種板材24 000 m2的任務(wù)． (1)如果該廠安排210人生產(chǎn)這兩種板材，每人每天能生產(chǎn)A種板材60 m2或B種板材40 m2.請問：應(yīng)分別安排多少人生產(chǎn)A種板材和B種板材，才能確保同時完成各自的生產(chǎn)任務(wù)？ (2)某災(zāi)民安置點計劃用該廠生產(chǎn)的兩種板材搭建甲、乙兩種規(guī)格的板房共400間，已知建設(shè)一間甲型板房和一間乙型板房所需板材及安置人數(shù)如下表所示： 板房 A種板材/m2 B種板材/m2 安置人數(shù)/人 甲型 乙型 156 問這400間板房最多能安置多少災(zāi)民？ 選做題 17．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x＋y＜2，則實數(shù)a的取值范圍為______． 18．(2011年福建泉州)某電器商城“家電下鄉(xiāng)”指定型號冰箱、彩電的進價和售價如下表所示： 類別 冰箱 彩電 進價(元/臺) 320 900 售價(元/臺) 420 980 (1)按國家政策，農(nóng)民購買“家電下鄉(xiāng)”產(chǎn)品享受售價13%的政府補貼．農(nóng)民田大伯到該商場購買了冰箱、彩電各一臺，可以享受多少元的補貼？ (2)為滿足農(nóng)民需求，商場決定用不超過85 000元采購冰箱、彩電共40臺，且冰箱的數(shù)量不少于彩電數(shù)量的.若使商場獲利最大，請你幫助商場計算應(yīng)該購進冰箱、彩電各多少臺？最大獲利是多少？ 第三章 函數(shù) 第1講 函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系 考點一、平面直角坐標(biāo)系 （3分） 1、平面直角坐標(biāo)系 在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。 其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。 為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。 2、點的坐標(biāo)的概念 點的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標(biāo)。 考點二、不同位置的點的坐標(biāo)的特征 （3分） 1、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征 點P(x,y)在第一象限 點P(x,y)在第二象限 點P(x,y)在第三象限 點P(x,y)在第四象限 2、坐標(biāo)軸上的點的特征 點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù) 點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù) 點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標(biāo)為（0，0） 3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征 點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等 點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù) 4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征 位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。 位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。 5、關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標(biāo)的特征 點P與點p’關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù) 點P與點p’關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù) 點P與點p’關(guān)于原點對稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù) 6、點到坐標(biāo)軸及原點的距離 點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離： （1）點P(x,y)到x軸的距離等于 （2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于 （3）點P(x,y)到原點的距離等于 A級 基礎(chǔ)題 1．(山東荷澤)點(－2,1)在平面直角坐標(biāo)系中所在的象限是() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(四川成都)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(－3,5)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為() A．(－3，－5) B．(3,5) C．(3，－5) D．(5，－3) 3．已知y軸上的點P到x軸的距離為3，則點P的坐標(biāo)為() A．(3,0) B．(0,3) C．(0,3)或(0，－3) D．(3,0)或(－3,0) 4．(浙江紹興)在如圖X3－1－1所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫在透明膠片上的?ABCD，點A的坐標(biāo)是(0,2)．現(xiàn)將這張膠片平移，使點A落在點A′(5，－1)處，則此平移可以是() 圖X3－1－1 圖X3－1－2 A．先向右平移5個單位，再向下平移1個單位 B．先向右平移5個單位，再向下平移3個單位 C．先向右平移4個單位，再向下平移1個單位 D．先向右平移4個單位，再向下平移3個單位 5．(山東棗莊)在平面直角坐標(biāo)系中，點P(－2，x2＋1)所在的象限是() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(湖北孝感)如圖X3－1－2，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)，頂點A的坐標(biāo)是(－2,3)，先把△ABC向右平移4個單位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1關(guān)于x軸的對稱圖形△A2B2C2，則頂點A2的坐標(biāo)是() A．(－3,2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1) 7.(貴州畢節(jié))如圖X3－1－3，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為中心，將△ABO擴大到原來的2倍，得到△A′B′O.若點A的坐標(biāo)是(1,2)，則點A′的坐標(biāo)是() A．(2,4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1) X3－1－3 8．(浙江衢州)小亮同學(xué)騎車上學(xué)，路上要經(jīng)過平路、下坡、上坡和平路(如圖X3－1－4)．若小亮上坡、平路、下坡的速度分別為v1、v2、v3，且v1 圖X3－1－4 9．(山東濰坊)甲、乙兩位同學(xué)用圍棋子做游戲，如圖X3－1－5，現(xiàn)輪到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5個棋子組成軸對稱圖形，白棋的5個棋子也成軸對稱圖形．則下列下子方法不正確的是() [說明：棋子的位置用數(shù)對表示，如A點在(6,3)] 圖X3－1－5 A．黑(3,7)；白(5,3) B．黑(4,7)；白(6,2) C．黑(2,7)；白(5,3) D．黑(3,7)；白(2,6) 10．(山東德州)點P(1,2)關(guān)于原點的對稱點P′的坐標(biāo)為__________． B級 中等題 11．(四川內(nèi)江)已知點A(1,5)，B(3，－1)，點M在x軸上，當(dāng)AM－BM最大時，點M的坐標(biāo)為____________． 13．(四川達州)將邊長分別為1,2,3,4，…，19,20的正方形置于直角坐標(biāo)系第一象限，如圖X3－1－6中的方式疊放，則按圖示規(guī)律排列的所有陰影部分的面積之和為__________． 圖X3－1－6 圖X3－1－7 14．(江蘇南京)在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定把一個三角形先沿著x軸翻折，再向右平移兩個單位稱為一次變換．如圖X3－1－7，已知等邊三角形ABC的頂點B、C的坐標(biāo)分別是(－1，－1)，(－3，－1)，把△ABC經(jīng)過連續(xù)九次這樣的變換得到△A′B′C′，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是__________． 15．(吉林)在平面直角坐標(biāo)系中，點A關(guān)于y軸的對稱點為點B，點A關(guān)于原點O的對稱點為點C.(1)若點A的坐標(biāo)為(1,2)，請你在給出的圖X3－1－8，坐標(biāo)系中畫出△ABC.設(shè)AB與y軸的交點為D，則＝__________； (2)若點A的坐標(biāo)為(a，b)(ab≠0)，則△ABC的形狀為____________． 圖X3－1－8 C級 拔尖題 16．(貴州貴陽)【閱讀】在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點P(x1，y1)、Q(x2，y2)為端點的線段中點坐標(biāo)為.【運用】(1)如圖X3－1－9，矩形ONEF的對角線交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標(biāo)原點，點E的坐標(biāo)為(4,3)，求點M的坐標(biāo)； (2)在直角坐標(biāo)系中，有A(－1,2)，B(3,1)，C(1,4)三點，另有一點D與點A，B，C構(gòu)成平行四邊形的頂點，求點D的坐標(biāo)． 圖X3－1－9 選做題 17．(江蘇蘇州)已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個如圖X3－1－10所示的正方形(用陰影表示)，點B1在y軸上，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上．若正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，則點A3到x軸的距離是() 圖X3－1－10 A.B.C.D.第2講 一次函數(shù) 函數(shù)及其相關(guān)概念 （3~8分） 1、變量與常量 在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。 一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。 2、函數(shù)解析式 用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。 使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。 3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點 （1）解析法 兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。 （3）圖像法 用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。 4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟 （1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值 （2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點 （3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。 考點一、正比例函數(shù)和一次函數(shù) （3~10分） 1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念 一般地，如果（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。 特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為0時，（k為常數(shù)，k0）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。 2、一次函數(shù)的圖像 所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線 3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征： 一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。 k的符號 b的符號 函數(shù)圖像 圖像特征 k>0 b>0 y 0 x 圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。 b<0 y 0 x 圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。 K<0 b>0 y 0 x 圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小 b<0 y 0 x 圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。 注：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。 4、正比例函數(shù)的性質(zhì) 一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)： （1）當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大； （2）當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。 5、一次函數(shù)的性質(zhì) 一般地，一次函數(shù)有下列性質(zhì)： （1）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大 （2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小 6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定 確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。 A級 基礎(chǔ)題 1．(江西)已知一次函數(shù)y＝－x＋b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則b的值可能是() A．－2 B．－1 C．0 D．2 2．(重慶)直線y＝x－1的圖象經(jīng)過的象限是() A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 3．(廣西桂林)直線y＝kx－1一定經(jīng)過點() A．(1,0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1) 4．(湖南懷化)在平面直角坐標(biāo)系中，把直線y＝x向左平移一個單位長度后，其直線解析式為() A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2 5．(黑龍江牡丹江)在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，直線y＝kx＋b交x軸于點A(－2,0)，交y軸于點B.若△AOB的面積為8，則k的值為() A．1 B．2 C.－2或4 D．4或－4 6．(湖南張家界)關(guān)于的一次函數(shù)y＝kx＋k2＋1的圖象可能是() 7．(山東濟南)一次函數(shù)y＝(k－2)x＋b的圖象如圖X3－2－1所示，則k的取值范圍是() A．k＞2 B．k＜2 C．k＞3 D．k＜3 圖X3－2－2 圖X3－2－1 8．(湖南懷化)一次函數(shù)y＝－2x＋3中，y的值隨x值增大而__________(填“增大”或“減小”)． 9．(浙江義烏)一次函數(shù)y＝2x－1的圖象經(jīng)過點(a,3)，則a＝________.10．(江蘇淮安)國家和地方政府為了提高農(nóng)民種糧的積極性，每畝地每年發(fā)放種糧補貼120元．種糧大戶老王今年種了150畝地，計劃明年再承租50～150畝土地種糧以增加收入．考慮各種因素，預(yù)計明年每畝種糧成本y(單位：元)與種糧面積x(單位：畝)之間的函數(shù)關(guān)系如圖X3－2－2所示： (1)今年老王種糧可獲得補貼多少元？ (2)根據(jù)圖象，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式． B級 中等題 11．(山西)如圖X3－2－3，一次函數(shù)y＝(m－1)x－3的圖象分別與x軸、y軸的負(fù)半軸相交于A，B，則m的取值范圍是()A．m＞1 B．m＜1 C．m＜0 D．m＞0 圖X3－2－4 圖X3－2－5 圖X3－2－3 12．(廣西玉林)一次函數(shù)y＝mx＋|m－1|的圖象過點(0,2)且y隨x的增大而增大，則m＝() A．－1 B．3 C．1 D．－1或3 13．如圖X3－2－4，直線y1＝與y2＝－x＋3相交于點A，若y1＜y2，那么() A．x＞3 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 14．(湖南衡陽)如圖經(jīng)3－2－5，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象平行且經(jīng)過點A(1，－2)，則kb＝________ C級 拔尖題 15．(廣西北海)如圖X3－2－6，點A的坐標(biāo)為(－1,0)，點B在直線y＝2x－4上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)是__________．圖X3－2－6 16．某商店經(jīng)營一種小商品，進價為每件20元，據(jù)市場分析，在一個月內(nèi)，售價定為每件25元時，可賣出105件，而售價每上漲1元，就少賣5件． (1)當(dāng)售價定為每件30元時，一個月可獲利多少元？ (2)當(dāng)售價定為每件多少元時，一個月的獲利最大？最大利潤是多少元？ 17．(山東濟寧)“五一”期間，為了滿足廣大人民的消費需求，某商店計劃用160 000元購進一批家電，這批家電的進價和售價如下表： 類別 彩電(元/臺) 冰箱(元/臺) 洗衣機(元/臺) 進價 000 600 000 售價 200 800 (1)若全部資金用來購買彩電和洗衣機共100臺，問商家可以購買彩電和洗衣機各多少臺？ (2)若在現(xiàn)有資金160 000元允許的范圍內(nèi)，購買上表中三類家電共100臺，其中彩電臺數(shù)和冰箱臺數(shù)相同，且購買洗衣機的臺數(shù)不超過購買彩電的臺數(shù)，請你算一算有幾種進貨方案？哪種進貨方案能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大？請求出最大利潤(利潤＝售價－進價)． 選做題 18．某電器商城“家電下鄉(xiāng)”指定型號冰箱、彩電的進價和售價如下表所示： 類別 冰箱 彩電 進價(元/臺) 320 900 售價(元/臺) 420 980 (1)按國家政策，農(nóng)民購買“家電下鄉(xiāng)”產(chǎn)品享受售價13%的政府補貼．農(nóng)民田大伯到該商場購買了冰箱、彩電各一臺，可以享受多少元的補貼？ (2)為滿足農(nóng)民需求，商場決定用不超過85 000元采購冰箱、彩電共40臺，且冰箱的數(shù)量不少于彩電數(shù)量的.若使商場獲利最大，請你幫助商場計算應(yīng)該購進冰箱、彩電各多少臺？最大獲利是多少？ 第3講 反比例函數(shù) 1、反比例函數(shù)的概念:(考點、反比例函數(shù) 3~10分） 一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。 2、反比例函數(shù)的圖像 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠達不到坐標(biāo)軸。 3、反比例函數(shù)的性質(zhì) 反比例函數(shù) k的符號 K 0 K 0 圖像 Y O x y O x 性質(zhì) ①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0； ②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別 在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y 隨x的增大而減小。 ①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0； ②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別 在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y 隨x的增大而增大。 4、反比例函數(shù)解析式的確定 確定及誒是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。 5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義 如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。 A級 基礎(chǔ)題 1．(甘肅蘭州)如圖X3－3－1，某反比例函數(shù)的圖象過點(－2,1)，則此反比例函數(shù)表達式為() 圖X3－3－1 A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 2．(山東棗莊)對反比例函數(shù)y＝，下列結(jié)論中不正確的是() A．圖象經(jīng)過點(－1，－1) B．圖象在第一、三象限 C．當(dāng)x>1時，0 D．當(dāng)x<0時，y隨著x的增大而增大 3．(江蘇南京)若反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝x＋2的圖象沒有交點，則k的值可能是() A．－2 B．－1 C．1 D．2 4．(山西)已知直線y＝ax(a≠0)與雙曲線y＝(k≠0)的一個交點坐標(biāo)為(2,6)，則它們的另一個交點坐標(biāo)是() A．(－2,6) B．(－6，－2) C．(－2，－6) D．(6,2) 5．(江蘇淮安)已知反比例函數(shù)的圖象y＝如圖X3－3－2所示，則實數(shù)m的取值范圍是() A．m>1 B．m>0 C．m<1 D．m<0 圖X3－3－2 6．(江蘇無錫)若雙曲線y＝與直線y＝2x＋1一個交點的橫坐標(biāo)為－1，則k的值為() A．－1 B．1 C．－2 D．2 7．(四川南充)矩形的長為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致為() 8．(四川達州)一次函數(shù)y1＝kx＋b(k≠0)與反比例函數(shù)y2＝(m≠0)，在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖X3－3－3所示，若y1>y2，則x的取值范圍是() 圖X3－3－3 A．－2 B．x<－2或0 C．x>1 D．－2 9．(四川瀘州)已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(1，－2)，則k＝________.10．(貴州黔西南州)已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(m,2)和(－2,3)，則m的值為__________． 11．(內(nèi)蒙古呼和浩特)如圖X3－3－4，一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象交于A(m,6)，B(n,3)兩點． (1)求一次函數(shù)的解析式； (2)根據(jù)圖象直接寫出，當(dāng)kx＋b－>0時，x的取值范圍． 圖X3－3－4 B級 中等題 12.(山東青島)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若x1 A．y3 B．y1 C．y3 D．y2 13．(貴州貴陽)如圖X3－3－5，反比例函數(shù)y1＝和正比例函數(shù)y2＝k2x的圖象交于A(－1，－3)，B(1,3)兩點，若＞k2x，則x的取值范圍是() A．－1＜x＜0 B．－1＜x＜1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1 圖X3－3－5 圖X3－3－6 圖X3－3－7 14．(江蘇連云港)如圖X3－3－6，直線y＝k1x＋b與雙曲線y＝交于A，B兩點，其橫坐標(biāo)分別為1和5，則不等式k1x＜＋b的解集是____________． 15．(湖北黃岡)如圖X3－3－7，點A在雙曲線y＝上，AB⊥x軸于B，且△AOB的面積S△AOB＝2，則k＝________.16．(四川巴中)如圖X3－3－8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1＝k1x＋1的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，與反比例y2＝的圖象分別交于點M，N，已知△AOB的面積為1，點M的縱坐標(biāo)為2.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式； (2)直接寫出y1＞y2時，x取值范圍． 圖X3－3－8 C級 拔尖題 17．(2012年廣西玉林)如圖X3－3－9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線y＝的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D，交邊BC于點E.(1)填空：雙曲線的另一支在第________象限，k的取值范圍是________； (2)若點C的坐標(biāo)為(2,2)，當(dāng)點E在什么位置時？陰影部分面積S最小？ (3)若＝，S△OAC＝2，求雙曲線的解析式． 圖X3－3－9 18．(安徽)甲、乙兩家商場進行促銷活動，甲商場采用“滿200減100”的促銷方式，即購買商品的總金額滿200元但不足400元，少付100元；滿400元但不足600元，少付200元；…，乙商場按顧客購買商品的總金額打6折促銷． (1)若顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應(yīng)付多少錢？ (2)若顧客在甲商場購買商品的總金額為x(400≤x＜600)元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p(p＝)，寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明p隨x的變化情況； (3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲乙兩商場的標(biāo)價都是x(200≤x＜400)元，你認(rèn)為選擇哪家商場購買商品花錢較少？請說明理由． 選做題 19．(浙江嘉興)如圖X3－3－10，一次函數(shù)y1＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象相交于點A(2,3)和點B，與x軸相交于點C(8,0)． (1)求這兩個函數(shù)的解析式； (2)當(dāng)x取何值時，y1>y2.圖X3－3－10 20．(四川攀枝花)據(jù)媒體報道，近期“手足口病”可能進入發(fā)病高峰期，某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》，為預(yù)防“手足口病”，對教室進行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒機釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量(單位；毫克)與燃燒時間(單位；分鐘)之間的關(guān)系如圖X3－3－11所示(即圖中線段OA和雙曲線在A點及其右側(cè)的部分)，根據(jù)圖象所示信息，解答下列問題： (1)寫出從藥物釋放開始，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時，對人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在多長時間內(nèi)，師生不能進入教室？ 圖X3－3－11 第4講 二次函數(shù) 考點一、二次函數(shù)的概念和圖像 （3~8分） 1、二次函數(shù)的概念 一般地，如果，那么y叫做x的二次函數(shù)。 叫做二次函數(shù)的一般式。 2、二次函數(shù)的圖像 二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。 拋物線的主要特征： ①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。 3、二次函數(shù)圖像的畫法 五點法： （1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸 （2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點： 當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。 當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。 考點二、二次函數(shù)的解析式 （10~16分） 二次函數(shù)的解析式有三種形式： （1）一般式： （2）頂點式： （3）當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。 考點三、二次函數(shù)的最值 （10分） 如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時。 如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，當(dāng)時。 考點四、二次函數(shù)的性質(zhì) （6~14分） 1、二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 二次函數(shù) 圖像 a>0 a<0 y 0 x y 0 x 性質(zhì) （1）拋物線開口向上，并向上無限延伸； （2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）； （3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增； （4）拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸； （2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）； （3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減； （4）拋物線有最高點，當(dāng)x=時，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義： 表示開口方向：>0時,拋物線開口向上 <0時，拋物線開口向下 與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x= 表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：（0，） 3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。 因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。 當(dāng)>0時，圖像與x軸有兩個交點； 當(dāng)=0時，圖像與x軸有一個交點； 當(dāng)<0時，圖像與x軸沒有交點。 補充： 1、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） 如圖：點A坐標(biāo)為（x1，y1）點B坐標(biāo)為（x2，y2） 則AB間的距離，即線段AB的長度為 A2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間） 左加右減、上加下減 0 x A級 基礎(chǔ)題 1．(上海)拋物線y＝－(x＋2)2－3的頂點坐標(biāo)是() A．(2，－3) B．(－2,3) C．(2,3) D．(－2，－3) 2．(山東泰安)將拋物線y＝3x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為() A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3 3．(重慶)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖X3－4－1所示，則下列結(jié)論中，正確的是() A．a(chǎn)＞0 B B．b＜0 C．c＜0 D．a(chǎn)＋b＋c＞0 圖X3－4－1 圖X3-4－2 4．(山東泰安)二次函數(shù)y＝a(x＋m)2＋n的圖象如圖X3－4－2，則一次函數(shù)y＝mx＋n的圖象經(jīng)過() A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 5．(山東濟南)如圖X3－4－3，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(－2，－1)，(1,1)兩點，則下列關(guān)于此二次函數(shù)的說法正確的是() A．y的最大值小于0 B．當(dāng)x＝0時，y的值大于1 C．當(dāng)x＝－1時，y的值大于1 D．當(dāng)x＝－3時，y的值小于0 圖X3－4－3 圖X3－4－4 6．(山東日照)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖X3－4－4所示，給出下列結(jié)論：①b2－4ac>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正確的是() A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．(廣西玉林)已知拋物線y＝－x2＋2，當(dāng)1≤x≤5時，y的最大值是() A．2 B.C.D.8．(山東濱州)拋物線y＝－3x2－x＋4與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是() A．3 B．2 C．1 D．0 9．(江蘇淮安)拋物線y＝x2－2x－3的頂點坐標(biāo)是__________． 10．(山東棗莊)二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象如圖X3－4－5所示．當(dāng)y＜0時，自變量x的取值范圍是____________． 圖X3－4－5 11．(江蘇鹽城)已知二次函數(shù)y＝－x2－x＋.(1)在如圖X3－4－6的直角坐標(biāo)系中，畫出這個函數(shù)的圖象； (2)根據(jù)圖象，寫出當(dāng)y＜0時，x的取值范圍； (3)若將此圖象沿x軸向右平移3個單位，請寫出平移后圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式． 圖X3－4－6 B級 中等題 12．(山東棗莊)拋物線y＝ax2＋bx－3經(jīng)過點(2,4)，則代數(shù)式8a＋4b＋1的值為() A．3 B．9 C．15 D．－15 13．(湖北襄陽)已知二次函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是() A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3 14．(甘肅蘭州)如圖X3－4－7所示的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你認(rèn)為其中錯誤的有() A．2個 B．3個 C．4個 D．1個 圖X3－4－7 圖X3－4－8 15．(安徽蕪湖)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖X3－4－8所示，則反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝bx＋c在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是() A B C D 16．某商場購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元出售，那么每月可售出500個，根據(jù)銷售經(jīng)驗，售價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10個． (1)假設(shè)銷售單價提高x元，那么銷售每個籃球所獲得的利潤是__________元；這種籃球每月的銷售量是__________個；(用含x的代數(shù)式表示) (2)8 000元是否為每月銷售這種籃球的最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，并求出此時籃球的售價應(yīng)定為多少元． C級 拔尖題 17．(山東濟南)如圖X3－4－10，拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸相交于點A(－3,0)，B(－1,0)，與y軸相交于點C，⊙O1為△ABC的外接圓，交拋物線于另一點D.(1)求拋物線的解析式； (2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半徑； (3)如圖X3－4－11，拋物線的頂點為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點，若點N在坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足△BMN∽△BPC，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)． 圖X3－4－10 圖X3－4－11 18．(廣東肇慶)已知二次函數(shù)y＝mx2＋nx＋p圖象的頂點橫坐標(biāo)是2，與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0 (2)求m，n的值； (3)當(dāng)p>0且二次函數(shù)圖象與直線y＝x＋3僅有一個交點時，求二次函數(shù)的最大值． 選做題 19．(浙江溫州)如圖X3－4－12，經(jīng)過原點的拋物線y＝－x2＋2mx(m>0)與x軸的另一個交點為A.過點P(1，m)作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B.記點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C(B，C不重合)．連結(jié)CB，CP.(1)當(dāng)m＝3時，求點A的坐標(biāo)及BC的長； (2)當(dāng)m>1時，連結(jié)CA，問m為何值時CA⊥CP? (3)過點P作PE⊥PC且PE＝PC，問是否存在m，使得點E落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并寫出相對應(yīng)的點E坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 圖X3－4－12 20．(廣東廣州)如圖X3－4－13，拋物線y＝－x2－x＋3與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C.(1)求點A，B的坐標(biāo)； (2)設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標(biāo)； (3)若直線l過點E(4,0)，M為直線l上的動點，當(dāng)以A，B，M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式． 圖X3－4－13 第二部分 空間與圖形 第四章 三角形與四邊形 第1講 相交線和平行線 考點一、直線、射線和線段 （3分） 1、幾何圖形 從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。 立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。 平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。 2、點、線、面、體 （1）幾何圖形的組成點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。 線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。 面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。 體：幾何體也簡稱體。 （2）點動成線，線動成面，面動成體。 3、直線的概念 一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。 4、射線的概念 直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。 5、線段的概念 直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。 6、點、直線、射線和線段的表示 在幾何里，我們常用字母表示圖形。 一個點可以用一個大寫字母表示。 一條直線可以用一個小寫字母表示。 一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。 一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。 注意： （1）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。 （2）直線和射線無長度，線段有長度。 （3）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。 （4）點和直線的位置關(guān)系有線面兩種： ①點在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點。 ②點在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點。 7、直線的性質(zhì) （1）直線公理：經(jīng)過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點有且只有一條直線。 （2）過一點的直線有無數(shù)條。 （3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。 （4）直線上有無窮多個點。 （5）兩條不同的直線至多有一個公共點。 8、線段的性質(zhì) （1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。 （2）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。 （3）線段的中點到兩端點的距離相等。 （4）線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。 9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理 垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。 線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。 逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 考點二、角 （3分） 1、角的相關(guān)概念 有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。 當(dāng)角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。 如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角。 如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角。 2、角的表示 角可以用大寫英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法： ①用數(shù)字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。 3、角的度量 角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。 把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。 1°=60’=60” 4、角的性質(zhì) （1）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。 （2）角的大小可以度量，可以比較 （3）角可以參與運算。 5、角的平分線及其性質(zhì) 一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。 角的平分線有下面的性質(zhì)定理： （1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 （2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。 考點三、相交線 （3分） 1、相交線中的角 兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補角。 臨補角互補，對頂角相等。 直線AB，CD與EF相交（或者說兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個角。其中∠1與∠5這兩個角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；∠3與∠5這兩個角都在AB，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)錯角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做同旁內(nèi)角。 2、垂線 兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 垂線的性質(zhì)： 性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。 性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。 考點四、平行線 （3~8分） 1、平行線的概念 在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。 同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。 注意： （1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。 （2）當(dāng)遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。 2、平行線公理及其推論 平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。 推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 3、平行線的判定 平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。 平行線的兩條判定定理： （1）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。 （2）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么兩直線平行。簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。 補充平行線的判定方法： （1）平行于同一條直線的兩直線平行。 （2）垂直于同一條直線的兩直線平行。 （3）平行線的定義。 4、平行線的性質(zhì) （1）兩直線平行，同位角相等。 （2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。 （3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。 考點五、命題、定理、證明 （3~8分） 1、命題的概念 判斷一件事情的語句，叫做命題。 理解：命題的定義包括兩層含義： （1）命題必須是個完整的句子； （2）這個句子必須對某件事情做出判斷。 2、命題的分類（按正確、錯誤與否分） 真命題（正確的命題） 命題 假命題（錯誤的命題） 所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。 所謂錯誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。 3、公理 人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。 4、定理 用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。 5、證明 判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。 6、證明的一般步驟 （1）根據(jù)題意，畫出圖形。 （2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。 （3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。 考點六、投影與視圖 （3分） 1、投影 投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。 平行投影：由平行光線（如太陽光線）形成的投影稱為平行投影。 中心投影：由同一點發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。 2、視圖 當(dāng)我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。 主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。 俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。 左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時也叫做側(cè)視圖。 A級 基礎(chǔ)題 1．(廣西桂林)如圖X4－1－1，與∠1是內(nèi)錯角的是() A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 圖X4－1－1 圖X4－1－2 2．(福建福州)如圖X4－1－2，直線a∥b，∠1＝70°，那么∠2的度數(shù)是() A．50° B．60° C．70° D．80° 3．(吉林長春)如圖X4－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°.D為邊CA延長線上的一點，DE∥AB，∠ADE＝42°，則∠B的大小為() A．42° B．45° C．48° D．58° 圖X4－1－3 圖X4－1－4 4．如圖X4－1－4，已知直線a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°.則∠3＝() A．100° B．60° C．40° D．20° 5．(浙江麗水)如圖X4－1－5，小明在操場上從點A出發(fā)，先沿南偏東30°方向走到點B，再沿南偏東60°方向走到點C.這時，∠ABC的度數(shù)是() A．120° B．135° C．150° D．160° 圖X4－1－5 圖X4－1－6 6．(四川內(nèi)江)如圖X4－1－6，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，則∠3＝() A．100° B．105° C．110° D．115° 7．下列命題中，屬于真命題的是() A．相等的角是直角 B．不相交的兩條線段平行 C．兩直線平行，同位角互補 D．經(jīng)過兩點有且只有一條直線 8．(四川宜賓)如圖X4－1－7，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，則∠4＝________.圖X4－1－7 圖X4－1－8 9．(浙江湖州)如圖X4－1－8，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，點F在BC的延長線上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，則∠2＝______度． 10．(四川綿陽)如圖X4－1－9，AB∥CD，AD與BC交于點E，EF是∠BED的平分線，若∠1＝30°，∠2＝40°，則∠BEF＝________度． 圖X4－1－9 圖X4－1－10 11．(湖南長沙)如圖X4－1－10，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________度． 12．(山東淄博)如圖X4－1－11，直線AB，CD分別與直線AC相交于點A，C，與直線BD相交于點B，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度數(shù)． 圖X4－1－11 B級 中等題 13．(2012年湖北襄陽)如圖X4－1－12，直線l∥m，將含有45°角的三角板ABC的直角頂點C放在直線m上，若∠1＝25°，則∠2的度數(shù)為() 圖X4－1－12 A．20° B．25° C．30° D．35° 4．(四川廣元)一輛汽車在公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行行駛，那么兩個拐彎的角度為() A．先向左轉(zhuǎn)130°，再向左轉(zhuǎn)50° B．先向左轉(zhuǎn)50°，再向右轉(zhuǎn)50° C．先向左轉(zhuǎn)50°，再向右轉(zhuǎn)40° D．先向左轉(zhuǎn)50°，再向左轉(zhuǎn)40° 15．觀察下列各圖(如圖X4－1－13)，尋找對頂角(不含平角)： ① ② ③ 圖X4－1－13 (1)如圖①，圖中共有________ 對對頂角； (2)如圖②，圖中共有________ 對對頂角； (3)如圖③，圖中共有________ 對對頂角； (4)研究(1)～(3)小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線相交于一點，則可形成________對對頂角； (5)若有2 008條直線相交于一點，則可形成______對對頂角． C級 拔尖題 16．如圖X4－1－14，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射線OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1)求∠MON的度數(shù)； (2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)； (3)如果(1)中，∠BOC＝β(β為銳角)，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)； (4)從(1)，(2)，(3)的結(jié)果中，你能看出什么規(guī)律？ 圖X4－1－14 選做題 17．如圖X4－1－15①，已知直線m∥n，點A，B在直線n上，點C，P在直線m上． (1)寫出圖X4－1中面積相等的各對三角形：________________________________； (2)如圖①，A，B，C為三個頂點，點P在直線m上移動到任一位置時，總有____________與△ABC的面積相等； (3)如圖②，一個五邊形ABCDE，你能否過點E作一條直線交BC(或其延長線)于點M，使四邊形ABME的面積等于五邊形ABCDE的面積． 圖X4－1－15 第2講 三角形 考點一、三角形 （3~8分） 1、三角形的概念 由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。 2、三角形中的主要線段 （1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。 （2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。 （3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。 3、三角形的穩(wěn)定性 三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。 4、三角形的特性與表示 三角形有下面三個特性： （1）三角形有三條線段 （2）三條線段不在同一直線上 三角形是封閉圖形 （3）首尾順次相接 三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。 5、三角形的分類 三角形按邊的關(guān)系分類如下： 不等邊三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形 三角形按角的關(guān)系分類如下： 直角三角形（有一個角為直角的三角形） 三角形 銳角三角形（三個角都是銳角的三角形） 斜三角形 鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形） 把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。 6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論 （1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。 推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。 （2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用： ①判斷三條已知線段能否組成三角形 ②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。 ③證明線段不等關(guān)系。 7、三角形的內(nèi)角和定理及推論 三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。 推論： ①直角三角形的兩個銳角互余。 ②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。 ③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。 注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。 8、三角形的面積 三角形的面積=×底×高 考點二、全等三角形 （3~8分） 1、全等三角形的概念 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。 2、全等三角形的表示和性質(zhì) 全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”） （2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”） （3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定： 對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”） 4、全等變換 只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。 全等變換包括一下三種： （1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。 （2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。 （3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。 考點三、等腰三角形 （8~10分） 1、等腰三角形的性質(zhì) （1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論： 定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角） 推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。 推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。 （2）等腰三角形的其他性質(zhì)： ①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。 ③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則 ④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推論： 定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形 推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 等腰三角形性質(zhì) 等腰三角形判定 中線 1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角； 2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。 1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形 角平分線 1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊； 2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。 1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三角形； 2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形。 高線 1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊； 2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。 1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形； 2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。 角 等邊對等角 等角對等邊 邊 底的一半<腰長<周長的一半 兩邊相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 （1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。 （2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。 三角形中位線定理的作用： 位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。 數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。 常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有： 結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。 結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。 結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。 結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。 結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。 第1課時 三角形 A級 基礎(chǔ)題 1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，則∠C＝() A．35° B．70° C．110° D．140° 2．已知如圖X4－2－1中的兩個三角形全等，則角α的度數(shù)是() 圖X4－2－1 A．72° B．60° C．58° D．50° 3．(湖南懷化)如圖X4－2－2，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是() A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 圖X4－2－2 圖X4－2－3 4．(四川綿陽)王師傅用四根木條釘成一個四邊形木架，如圖X4－2－3.要使這個木架不變形，他至少還要再釘上幾根木條() A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 5．(上海)下列命題中，真命題的是() A．周長相等的銳角三角形都全等 B．周長相等的直角三角形都全等 C．周長相等的鈍角三角形都全等 D．周長相等的等腰直角三角形都全等 6．(江蘇連云港)小華在電話中問小明：“已知一個三角形三邊長分別是4,9,12，如何求這個三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是() A B C D 7．(山東德州)不一定在三角形內(nèi)部的線段是() A．三角形的角平分線 B．三角形的中線 C．三角形的高 D．三角形的中位線 8．(山東濟寧)用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖X4－2－3所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是() A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 圖X4－2－3 圖X4－2－4 圖X4－2－5 9．(山東臨沂)如圖X4－2－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC＝BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF＝5 cm，則AE＝________cm.10．(湖北十堰)如圖X4－2－5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求證：BD＝CE.11．(四川宜賓)如圖X4－2－6，點A，B，D，E在同一直線上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求證：AC＝EF.圖X4－2－6 12．(四川廣元)如圖X4－2－7，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，點A，B，C，D在同一直線上，有如下三個關(guān)系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF.(1)請用其中兩個關(guān)系式作為條件，另一個作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的所有命題(用序號寫出命題書寫形式：“如果?，?，那么?”)； (2)選擇(1)中你寫出的一個命題，說明它正確的理由． 圖X4－2－7 13．如圖X4－2－8所示，兩根旗桿間相距12 m，某人從點B沿BA走向點A，一定時間后他到達點M，此時他仰望旗桿的頂點C和D，兩次視線的夾角為90°，且CM＝DM，已知旗桿AC的高為3 m，該人的運動速度為1 m/s，求這個人運動了多長時間？ 圖X4－2－8 B級 中等題 14．(黑龍江綏化)如圖X4－2－9所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B，D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為________(提示：∠EAD＋∠FAB＝90°)． 圖X4－2－9 圖X4－2－10 圖X4－2－11 15．(年黑龍江)如圖X4－2－10，在四邊形ABCD中，點P是對角線BD的中點，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AD＝BC，∠PEF＝30°，則∠PFE的度數(shù)是() A．15° B．20° C．25° D．30° 16．(湖南衡陽)如圖X4－2－11，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，將△ABC折疊，使點C與點A重合，折痕為DE，則△ABE的周長為________． C級 拔尖題 17．(遼寧阜新)(1)如圖X4－2－12，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.①當(dāng)點D在AC上時，如圖X4－2－12(1)，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論； ②將圖X4－2－12(1)中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角(0°＜α＜90°)，如圖X4－2－12(2)，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由． (2)當(dāng)△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，能使線段BD，CE在(1)中的位置關(guān)系仍然成立？不必說明理由． 甲：AB∶AC＝AD∶AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°； 乙：AB∶AC＝AD∶AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°； 丙：AB∶AC＝AD∶AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°.圖X4－2－12 選做題 18．(山東濱州)如圖X4－2－13(1)，l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰兩條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的四個頂點A，B，C，D都在這些平行線上．過點A作AF⊥l3于點F，交l2于點H，過點C作CE⊥l2于點E，交l3于點G.(1)求證：△ADF≌△CBE； (2)求正方形ABCD的面積； (3)如圖X4－2－13(2)，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S.圖X4－2－13 第2課時 等腰三角形與直角三角形 A級 基礎(chǔ)題 1．(浙江東陽)已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個 等腰三角形的頂角為() A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50° 2．(四川攀枝花)已知實數(shù)x，y滿足|x－4|＋＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是() A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對 3．(廣東深圳)如圖X4－2－14所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，則∠B的度數(shù)是() A．40° B．35° C．25° D．20° 圖X4－2－14 圖X4－2－15 4．(山東濟寧)如圖X4－2－15，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為(－2,3)，以點O為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點A，則點A的橫坐標(biāo)介于() A．－4和－3之間 B．3和4之間 C．－5和－4之間 D．4和5之間 5．如圖X4－2－16，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，則∠B的度數(shù)為() A．50° B．60° C．30° D．40° 圖X4－2－16 圖X4－2－17 6．(河北)如圖X4－2－17，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分別在AB，AC上，將△ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處，若A′為CE的中點，則折痕DE的長為() A.B．2 C．3 D．4 7．(吉林)如圖X4－2－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，則BD＝________.圖X4－2－18 圖X4－2－19 圖X4－2－20 8．(江蘇無錫)如圖X4－2－19，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，若CD＝5 cm，則EF＝_________cm.9．(四川涼山州)把命題“如果直角三角形的兩條直角邊邊長分別為a，b，斜邊邊長為c，那么a2＋b2＝c2”的逆命題改寫成“如果……，那么……”的形式：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.10．(江蘇淮安)如圖X4－2－20，△ABC中，∠C＝90°，點D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度數(shù)． 11．(遼寧沈陽)如圖X4－2－21，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC的度數(shù)； (2)求證：DC＝AB.圖X4－2－21 12．(湖南湘潭)如圖X4－2－22，△ABC是邊長為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使點B與點C重合，得到△DCE，連接BD，交AC于點F.(1)猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)求線段BD的長． 圖X4－2－22 B級 中等題 13．(貴州黔東南州)如圖X4－2－23，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點M，則點M的坐標(biāo)為() A．(2,0) B．(－1,0) C．(－1,0) D．(，0) 圖X4－2－23 圖X4－2－24 14．(貴州黔西南州)如圖X4－2－24，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中點，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，則四邊形ACEB的周長為______． 15．(2011年山東棗莊)如圖X4－2－25，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題： 圖X4－2－25 (1)畫線段AD∥BC且使AD＝BC，連接CD； (2)線段AC的長為________，CD的長為________，AD的長為________； (3)△ACD為________三角形，四邊形ABCD的面積為________； (4)若E為BC的中點，則tan∠CAE的值是______． C級 拔尖題 16．(山東棗莊)如圖X4－2－26，將一副三角尺疊放在一起，若AB＝14 cm，則陰影部分的面積是______cm2.圖X4－2－26 選做題 17．(浙江紹興)小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時，對課本“目標(biāo)與評定”中的一道思考題，進行了認(rèn)真的探索． 【思考題】如圖X4－2－27，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直墻壁AC上，這時B到墻腳C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯腳將從點B往外移動多少米？ 圖X4－2－27 (1)請你將小明對“思考題”的解答補充完整： 解：設(shè)梯腳將從點B往外移動x米到達點B1，即BB1＝x，則B1C＝x＋0.7，A1C＝AC－AA1＝－0.4＝2.而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B，得方程____________________，解方程，得x1＝________，x2＝________，∴點B將向外移動________米． (2)解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題： 【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？ 【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？ 請你解答小聰提出的這兩個問題． 第3講 四邊形與多邊形 考點一、四邊形的相關(guān)概念 （3分） 1、四邊形 在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。 2、凸四邊形 把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其他個邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形。 3、對角線 在四邊形中，連接不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線。 4、四邊形的不穩(wěn)定性 三角形的三邊如果確定后，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩(wěn)定性。但是四邊形的四邊確定后，它的形狀不能確定，這就是四邊形所具有的不穩(wěn)定性，它在生產(chǎn)、生活方面有著廣泛的應(yīng)用。 5、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理 四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。 四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。 推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于180°； 多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。 6、多邊形的對角線條數(shù)的計算公式 設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對角線條數(shù)為。 考點二、平行四邊形 （3~10分） 1、平行四邊形的概念 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 平行四邊形用符號“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。 2、平行四邊形的性質(zhì) （1）平行四邊形的鄰角互補，對角相等。 （2）平行四邊形的對邊平行且相等。 推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。 （3）平行四邊形的對角線互相平分。 （4）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。 3、平行四邊形的判定 （1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 （2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 （3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 （4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 （5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 4、兩條平行線的距離 兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。 平行線間的距離處處相等。 5、平行四邊形的面積 S平行四邊形=底邊長×高=ah 第1課時 多邊形與平行四邊形 A級 基礎(chǔ)題 1．(廣東)正八邊形的每個內(nèi)角為() A．120° B．135° C．140° D．144° 2．(湖南益陽)如圖X4－3－1，點A是直線l外一點，在l上取兩點B，C，分別以A，C為圓心，BC，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，分別連接AB，AD，CD，則四邊形ABCD一定是() A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 圖X4－3－1圖X4－3－2圖X4－3－3 3．(四川廣元)若以A(－0.5,0)，B(2,0)，C(0,1)三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(2011年湖南郴州)如圖X4－3－2，下列四組條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是() A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC 5．(2012年江蘇南京)如圖X4－3－3，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的4個外角．若∠A＝120°，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________.6．(2011年山東德州)如圖X4－3－4，D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點，則圖中平行四邊形的個數(shù)為________． 圖X4－3－4圖X4－3－5圖X4－3－6 7．(湖南懷化)如圖X4－3－5，在□ABCD中，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點，則EF＝____________________________________.8．(山東臨沂)如圖X4－3－6，□ABCD中，E是BA延長線上一點，AB＝AE，連接CE交AD于點F，若CF平分∠BCD，AB＝3，則BC的長為________． 9．(四川德陽)已知一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的，則這個多邊形的邊數(shù)是________． 10．(2012年湖南郴州)如圖X4－3－7，已知：點P是□ABCD的對角線AC的中點，經(jīng)過點P的直線EF交AB于點E，交DC于點F.求證：AE＝CF.圖X4－3－7 11．(福建南平)如圖X4－3－8，已知四邊形ABCD是平行四邊形，若點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，連接AE，CF.請再從下列三個備選條件中，選擇添加一個恰當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形AECF是平行四邊形，并予以證明． 備選條件：AE＝CF，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，我選擇添加的條件是：__________.圖X4－3－8 (注意：請根據(jù)所選擇的條件在圖中畫出符合要求的示意圖，并加以證明)． 12．(江蘇泰州)如圖X4－3－9，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點E，CF⊥BC交BD于點F，且AE＝CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形． 圖X4－3－9 B級 中等題 13．(重慶潼南)如圖X4－3－10，在平行四邊形 ABCD中(AB≠BC)，直線EF經(jīng)過其對角線的交點O，且分別交AD，BC于點M，N，交BA，DC的延長線于點E，F(xiàn)，下列結(jié)論：①AO＝BO；②OE＝OF; ③△EAM∽△ EBN；④△EAO≌△CNO，其中正確的是() 圖X4－3－10 A． ①② B．②③ C．②④ D．③④ 14．(遼寧沈陽)如圖X4－3－11，在□ABCD中，延長DA到點E，延長BC到點F，使得AE＝CF，連接EF，分別交AB，CD于點M，N，連接DM，BN.(1)求證：△AEM≌△CFN； (2)求證：四邊形BMDN是平行四邊形． 圖X4－3－11 C級 拔尖題 15．(2012年山東威海)(1)如圖X4－3－12(1)，□ABCD的對角線AC，BD交于點O，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F(xiàn).(1)求證：AE＝CF.(2)如圖X4－3－12(2)，將?ABCD(紙片)沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A1處，點B落在點B1處，設(shè)FB1交CD于點G，A1B1分別交CD，DE于點H，I.求證：EI＝FG.(1) (2) 圖X4－3－12 選做題 16．如圖X4－3－13，已知四邊形ABCD是平行四邊形． (1)求證：△MEF ∽△MBA； (2)若AF，BE分別為∠DAB，∠CBA的平分線，求證：DF＝EC.圖X4－3－13 第2課時 特殊的平行四邊形 考點三、矩形 （3~10分） 1、矩形的概念:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。 2、矩形的性質(zhì):（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）矩形的四個角都是直角（3）矩形的對角線相等 （4）矩形是軸對稱圖形 3、矩形的判定:（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形 （2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形 （3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形 4、矩形的面積: S矩形=長×寬=ab 考點四、菱形 （3~10分） 1、菱形的概念: 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 2、菱形的性質(zhì): （1）具有平行四邊形的一切性質(zhì) （2）菱形的四條邊相等 （3）菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 （4）菱形是軸對稱圖形 3、菱形的判定 （1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 （2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形 （3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 4、菱形的面積: S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半 考點五、正方形 （3~10分） 1、正方形的概念 有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。 2、正方形的性質(zhì) （1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì) （2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等 （3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角 （4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸 （5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。 3、正方形的判定 （1）判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種： 先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。 先證它是菱形，再證有一個角是直角。 （2）判定一個四邊形為正方形的一般順序如下： 先證明它是平行四邊形； 再證明它是菱形（或矩形）； 最后證明它是矩形（或菱形） 4、正方形的面積 設(shè)正方形邊長為a，對角線長為 S正方形= 5、A級 基礎(chǔ)題 1．(湖北宜昌)如圖X4－3－14，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，則△ABC的周長等于() 圖X4－3－14A．20 B．15 C．10 D．5 2．(四川綿陽)下列關(guān)于矩形的說法中正確的是() A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相平分的四邊形是矩形 C．矩形的對角線互相垂直且平分 D．矩形的對角線相等且互相平分 3．(江蘇無錫)菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是() A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角互補 4．(湖南張家界)順次連接矩形四邊的中點所得的四邊形一定是() A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 5．(天津)如圖X4－3－15，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使ME＝MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為() 圖X4－3－15 A.－1 B．3－ C.＋1 D.－1 6．(湖南益陽)如圖X4－3－16，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C，D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是() A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 圖X4－3－16圖X4－3－17圖X4－3－18 7．(吉林長春)如圖X4－3－17，□ABCD的頂點B在矩形AEFC的邊EF上，點B與點E，F(xiàn)不重合，若△ACD的面積為3，則圖中陰影部分兩個三角形的面積和為________． 8．(黑龍江哈爾濱)如圖X4－3－18，四邊形ABCD是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點F，∠AED＝2∠CED，點G是DF的中點，若BE＝1，AG＝4，則AB的長為________． 9．(陜西)如圖X4－3－19，在正方形ABCD中，點G是BC上任意一點，連接AG，過B，D兩點分別作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分別為E，F(xiàn)兩點，求證：△ADF≌△BAE.圖X4－3－19 10．(浙江溫州)如圖X4－3－20，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.將△ABC沿射線BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的對應(yīng)點分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形． 圖X4－3－20 11．(湖北恩施)如圖X4－3－21，在△ABC中，AD⊥BC于D，點D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC的中點．求證：四邊形AEDF是菱形． 圖X4－3－21 12．如圖X4－3－22，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形．求證：四邊形ADCE是矩形． 圖X4－3－22 B級 中等題 13．(湖南衡陽)如圖X4－3－23，菱形ABCD的周長為20 cm，且tan∠ABD＝，則菱形ABCD的面積為________cm2.圖X4－3－23 圖X4－3－24 14．(四川宜賓)如圖X4－3－24，已知正方形ABCD的邊長為1，連接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于點E，則DE＝____________.15．(河南)如圖X4－3－25，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點．點M是AB邊上一動點(不與點A重合)，延長ME交射線CD于點N，連接MD，AN.(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形； (2)填空：①當(dāng)AM的值為________時，四邊形AMDN是矩形； ②當(dāng)AM的值為______時，四邊形AMDN是菱形． 圖X4－3－25 C級 拔尖題 16．(江蘇南通)在菱形ABCD中，∠B＝60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上． (1)如圖X4－3－26(1)，若E是BC的中點，∠AEF＝60°，求證：BE＝DF； (2)如圖X4－3－26(2)，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形． 圖X4－3－26 選做題 17．(黑龍江)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，若點D在線段BC上，以AD為邊長作正方形ADEF，如圖X4－3－27(1)，易證：∠AFC＝∠ACB＋∠DAC； (1)若點D在BC的延長線上，其他條件不變，寫出∠AFC，∠ACB，∠DAC的關(guān)系，并結(jié)合圖X4－3－27(2)給出證明； (2)如圖X4－3－27(3)，若點D在CB的延長線上，其他條件不變，直接寫出∠AFC，∠ACB，∠DAC的關(guān)系式． 圖X4－3－27 第3課時 梯形 考點一、梯形 （3~10分） 1、梯形的相關(guān)概念 一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。 梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。 梯形的兩底的距離叫做梯形的高。 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般地，梯形的分類如下： 一般梯形 梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形 2、梯形的判定 （1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。 （2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。 3、等腰梯形的性質(zhì) （1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。 （3）等腰梯形的對角線相等。 （4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。 4、等腰梯形的判定 （1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 （3）對角線相等的梯形是等腰梯形。 5、梯形的面積 （1）如圖，（2）梯形中有關(guān)圖形的面積： ①； ②； ③ 6、梯形中位線定理 梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。 A級 基礎(chǔ) 1．（四川樂山)下列命題是假命題的是() A．平行四邊形的對邊相等 B．四條邊都相等的四邊形是菱形 C．矩形的兩條對角線互相垂直 D．等腰梯形的兩條對角線相等 2．(山東濱州)如圖X4－3－28，在一張△ABC紙片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位線，現(xiàn)把紙片沿中位線DE剪開，計劃拼出以下四個圖形：①鄰邊不等的矩形；②等腰梯形；③有一個角為銳角的菱形；④正方形．那么以上圖形一定能被拼成的個數(shù)為() A．1 B．2 C．3 D．4 圖X4－3－28 圖X4－3－29 3．(福建漳州)如圖X4－3－29所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝80°，則∠D的度數(shù)是() A．120° B．110° C．100° D．80° 4．（廣西來賓)在直角梯形ABCD中(如圖X4－3－30所示)，已知AB∥DC，∠A＝90°，∠B＝60°，EF為中位線，且BC＝EF＝4，那么AB等于() A．3 B．5 C．6 D．8 圖X4－3－30 圖X4－3－31 5．(江蘇無錫)如圖X4－3－31，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝5，BC＝9，CD的垂直平分線交BC于點E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于() A．17 B．18 C．19 D．20 6．(山東煙臺)如圖X4－3－32，在平面直角坐標(biāo)中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且點B的坐標(biāo)為(4,0)，點D的坐標(biāo)為(0,3)，則AC長為() A．4 B．5 C．6 D．不能確定 圖X4－3－32 圖X4－3－33 7．(江蘇南通)如圖X4－3－33，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＋∠B＝90°，AB＝7 cm，BC＝3 cm，AD＝4 cm，則CD＝______cm.8．(四川內(nèi)江)如圖X4－3－34，四邊形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，則S梯形ABCD＝________.圖X4－3－34 圖X4－3－35 9．(湖南長沙)如圖X4－3－35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，則BC的長為________． 10．(湖北襄陽)如圖X4－3－36，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC＝2AD，EA＝ED，AC與ED相交于點F.求證：梯形ABCD是等腰梯形． 圖X4－3－36 11．(2012年江蘇鹽城)如圖X4－3－37所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC＝90°，E為BC上一點，∠BDE＝∠DBC.(1)求證：DE＝EC； (2)若AD＝BC，試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由． 圖X4－3－37 12．（江蘇蘇州)如圖X4－3－38，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延長線段CB到點E，使得BE＝AD，連接AE，AC.(1)求證：△ABE≌△CDA； (2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度數(shù)． 圖X4－3－38 B級 中等題 13．(湖北咸寧)如圖X4－3－39，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E為CD的中點，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，當(dāng)AD＝2，BC＝12時，四邊形BGEF的周長為________． 圖X4－3－39 圖X4－3－40 14．(四川達州)如圖X4－3－40，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，則下列結(jié)論： ①EF∥AD；②S△ABO＝S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG＝DG；⑤EG＝HF.其中正確的個數(shù)是() A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 15．(河北)如圖X4－3－41，某市A，B兩地之間有兩條公路，一條是市區(qū)公路AB，另一條是外環(huán)公路AD－DC－CB，這兩條公路圍城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB∶AD∶CD＝10∶5∶2.(1)求外環(huán)公路的總長和市區(qū)公路長的比； (2)某人駕車從A地出發(fā)，沿市區(qū)公路去B地，平均速度是40 km/h，返回時沿外環(huán)公路行駛，平均速度是80 km/h，結(jié)果比去時少用了 h，求市區(qū)公路的長． 圖X4－3－41 C級 拔尖題 16．(山東棗莊)如圖X4－3－42所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于點E，DF平分∠EDC交BC于點F，連接EF.(1)證明：EF＝CF； (2)當(dāng)tan∠ADE＝時，求EF的長． 圖X4－3－42 17．（山東濱州)我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似地，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖X4－3－43，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，那么EF就是梯形ABCD的中位線．通過觀察、測量，猜想EF和AD，BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 圖X4－3－43 第五章 圓§4.1 圓的認(rèn)識及有關(guān)概念 一、知識要點 圓的有關(guān)概念，點和圓的位置關(guān)系，圓的對稱性（中心對稱性：弧、弦、圓心角的關(guān)系，軸對稱性：垂徑定理），圓周角定理及推論，確定圓的條件，三角形的外心.二、課前演練 1.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動點，則線段OM的最小值為（） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度數(shù)為（） （第1題圖） （第2題圖） （第3題圖） （第4題圖） A.70 B.35 C.30 D.20 3．如圖，過D、A、C三點的圓的圓心為E，過B、E、F三點的圓的圓心為D，如果∠A=63 o，那么∠B= o． 4．如圖，點A、B、C在圓O上，且∠BAC=40°，則∠BOC= °． 三、例題分析[來源*:中&~#^教網(wǎng)] 例1 如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB為直徑的⊙O 交BC于D，交AC于E． （1）求∠EBC的度數(shù)； （2）求證：BD=CD． 例2 如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，且AC=CD． （1）求證：OC∥BD； （2）若BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形，試確定四邊形OBDC的形狀． 四、鞏固練習(xí) 1．如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（） C B A 56o l2 l1 B C D A （第1題圖） （第2題圖） （第3題圖） （第4題圖） M R Q A B C P B C A D P O A．點P B．點Q C．點R D．點M 2．如圖，直線l1∥l2，以直線l1上的點A為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于點B、C，連接AC、BC．若∠ABC=56o，則∠1= （） A．36o B．68o C．72o D．78o 3.如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點P，若∠A=30°，∠APD=70°，則∠B（） A．30° B．35° C．40° D．50° 4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以點C為圓心，CB長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則AC的長等于_________________。 5．如圖，CD切⊙O于點D，OC交⊙O于B，弦AB⊥OD于點E，若⊙O的半徑為10，sin∠COD=.求：（1）弦AB的長； （2）CD的長.A B C O E D 6.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是的邊BC上的高，AE是⊙O的直徑，連BE． A B E O D C ⑴試說明：△ABE與△ADC相似； ⑵若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面積.§4.2 直線和圓的位置關(guān)系（1） 一、知識要點 直線和圓的位置關(guān)系（相離、相切、相交），切線的性質(zhì)與判定，切線長定理.二、課前演練 1．（2012?宜昌）已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3，則反映直線l與⊙O的位置關(guān)系的圖形是（） A B C D O B C D A 2.已知圓O的半徑為R，AB是直徑，D是AB延長線上一點，DC是 切線，C是切點，連結(jié)AC，若∠CAB=30°，則BD的長為（） A．2R B．R C．R D．R 3．（2012?漳州）如圖，⊙O的半徑為3cm，當(dāng)圓心0到直線AB的距離為______ cm時，直線AB與⊙0相切． 4.如圖，PA是⊙O的切線，直線PBC過點O，交⊙O于B、C，若PA=8cm，PB=4cm，則⊙O的直徑為_________cm． 三、例題分析： 圖1 A B C M D E ． Ｏ 例1 如圖1，AB是⊙O的直徑，射線BM⊥AB，垂足為B，點C為射線BM上的一個動點（點C與點B不重合），連接AC交⊙O于D，切線DE交BC于E.（1）在點C運動過程中，當(dāng)DE∥AB時（如圖2），求∠ACB的度數(shù)； （2）在點C運動過程中，試比較線段CE與BE的大小，并說明理由； 圖2 A B C M D E ． Ｏ 例2 如圖，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F．求證：(1)△BCD∽△ADE； (2)DF是⊙O的切線． 四、練習(xí)鞏固 1．已知⊙O的直徑為12cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的交點個數(shù)為（） A.1 B.2 C.3 D.無法確定 2.設(shè)⊙O的半徑為r，點O到直線a的距離為d，若⊙O與直線a至多只有一個公共點，則d與r的關(guān)系是（） A.d≤r B.d＜r C.d≥r D.d=r 3．如圖，∠APB=30°，圓心在邊PB上的⊙O的半徑為1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，當(dāng)⊙O 與直線PA相切時，圓心O平移的距離為 _____ cm． 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P(3，0)，⊙P是以點P為圓心，2為半徑的圓，若一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點A(-1，0)且與⊙P相切，則k+b的值為___ ． 5．已知⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點A、B． （1）如圖①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大??； （2）如圖②，過點B作BD⊥AC于E，交⊙O于點D，若BD=MA，求∠AMB的大小.6．（2012?無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當(dāng)P運動到C點時，P、Q都停止運動．設(shè)點P運動的時間為ts． （1）當(dāng)P異于A、C時，請說明PQ∥BC； （2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？ §4.3 直線和圓的位置關(guān)系（2） 一、知識要點 切線的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)切圓（內(nèi)心和外心的區(qū)別）。 二、課前演練 1．如圖1，AB與⊙O切于點B，AO=6㎝，AB=4㎝，則⊙O的半徑為（） A.4㎝ B.2㎝ C.2㎝ D.㎝ 2．如圖2，⊙0的直徑AB與弦AC的夾角為35°，切線PC交AB的延長線于P，則∠P（） 圖1 圖2 圖3 A．150 B．200 C．250 D．300 3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為 ． 4．如圖3，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，∠A=100°，∠C=30°，則∠DFE= ． 三、例題分析： 例1（2012·自貢）如圖AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C.（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的長； （2）若D為AP的中點，求證：直線CD是⊙O的切線． 例2（2012·濟寧）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點D，過點A作⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P，連接PC、BC． （1）猜想：線段OD與BC有何數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． （2）求證：PC是⊙O的切線． 四、鞏固練習(xí)： 1.如圖，BC是⊙O直徑，AD切⊙O于A，若∠C=40°，則∠DAC=（） A.50° B.40° C.25° D.20° 2．如圖，正方形ABCD的邊長為2，⊙O過頂點A、B，且與CD相切，則圓的半徑為（） O x y B A (第1題圖) (第2題圖) (第3題圖) P A.B.C.D.1 3.如圖，直線y=x+錯誤！未找到引用源。與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，圓心P的坐標(biāo)為(1,0)，⊙P與y軸相切于點O．若將⊙P沿x軸向左移動，當(dāng)圓P與該直線相交時，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點P的個數(shù)是 （） A.2 B.3 C.4 D.5 4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E． （1）若∠A+∠CDB=90°，求證：直線BD與⊙O相切； （2）若AD:AE=4:5，BC=6，求⊙O的直徑． 5.如圖，⊙O直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=4,D是線段BC中點． （1）試判斷點D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O切線． 6．如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線與BC交于點D，點E在AB上，DE=DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D． （1）AC與⊙D相切嗎？并說明理由． （2）你能找到AB、BE、AC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？為什么？ §4.4 圓與圓的位置關(guān)系 一、知識要點 圓與圓的5種位置關(guān)系；與圓心距、兩圓半徑有關(guān)的計算.二、課前演練 （第1題圖） 1．如圖是一個小熊的頭像，圖中反映出圓與圓的四種 位置關(guān)系，但還有一種位置關(guān)系沒有反映出來，它是兩圓 ． 2．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm、5cm，且它們的圓心距為10cm，則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是（） A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．外離 3.圓心距為2的兩圓相切，若一圓的半徑為1，則另一圓的半徑為（） A．1 B．3 C．1或2 D．1或3 三、例題分析 例1 三角形三邊長為5cm、12cm、13cm，以三角形三個頂點為圓心的三個圓兩兩外切，求此三個圓的半徑.例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P為BC的中點，動點Q從點P出發(fā)，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設(shè)點Q運動的時間為ts． （1）當(dāng)t=1.2s時，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由； （2）已知⊙O為△ABC的外接圓．若⊙P與⊙O相切，求t的值． 四、鞏固練習(xí) 1．相交兩圓的半徑分別為1和3，把這兩個的圓心距的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（） A B C D 2．已知半徑分別是3和5的兩個圓沒有公共點，那么這兩個圓的圓心距d的取值是（） A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或0≤d＜2 3．（已知⊙O1與⊙O2的半徑分別是方程x2-4x+3=0的兩根，且O1O2 =t+2，若這兩個圓相切，則t= ． 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，2），⊙A的半徑是2，⊙P的半徑是1，滿足與⊙A及x軸都相切的⊙P有 個． 5．如圖，某城市公園的雕塑是由3個直徑為1m的圓兩兩相壘立在水平的地面上，求雕塑的最高點到地面的距離.6如圖，點A，B在直線MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半徑均為1cm． ⊙A以2cm/s的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時間t（s）之間的關(guān)系式為r=1+t（t≥0）． （1）試寫出點A、B之間的距離d（cm）與時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）問點A出發(fā)后多少秒兩圓相切？ §4.5 正多邊形與圓 一、知識要點 正多邊形的概念；正多邊形與圓的有關(guān)計算；正多邊形平面鑲嵌.二、課前演練 1．若一個正六邊形的周長為24，則該六邊形的面積為___________.2．半徑為r的圓內(nèi)接正三角形的邊長為________.（結(jié)果可保留根號）． 3．如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則陰影部分的面積為（） A.- B.- C.2- D.2- 4．如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為（） A．(4+)cm B．9cm C．4cm D．6cm 三、例題分析 例1 如圖，已知⊙O的周長等于12πcm，求以它的半徑為邊長的正六邊形ABCDEF的面積.B C D E F A O ·A 例2 （1）如圖1，已知△PAC是⊙O的內(nèi)接正三角形，那么∠OAC=____________； （2）如圖2，設(shè)AB是⊙O的直徑，AC是圓的任意一條弦，∠OAC=α.①如果α=45°，那么AC能否成為圓內(nèi)接正多邊形的一條邊？若有可能，那么此多邊 形是正幾邊形？請說明理由; ②若AC是圓的內(nèi)接正n邊形的一邊，則用含n的代數(shù)式表示α應(yīng)為________.﹒ 新課 標(biāo)第一 網(wǎng) 四、鞏固練習(xí) 1．一正多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)45°后，就第一次與原圖形重合，那么這個多邊形 （） A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形 C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形 2．用兩種正多邊形鑲嵌，不能與正三角形匹配的正多邊形是 （） A．正方形 B．正六邊形 C．正十二邊形 D．正十八邊形 3．一個多邊形的每個外角與它相鄰的內(nèi)角比都是1：3，這個多邊形是_________邊形． 4．如果一個正多邊形的中心角是36°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是__________． 5．如圖，已知⊙O和兩個正六邊形T1，T2． T1的6個頂點都在圓周上，T2的6條邊都和⊙O相切（我們稱T1、T2分別為⊙O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形）． （1）設(shè)T1、T2的邊長分別為a，b，⊙O的半徑為r，求r：a及r：b的值； （2）求正六邊形T1、T2的面積比S1：S2的值． 6．（1）已知：如圖1，△ABC為正三角形，點M為BC邊上任意一點，點N為CA邊上任意一點，且BM=CN，BN、AM相交于Q點，試求∠BQM的度數(shù)． （2）如果將（1）中的正三角形改為正方形ABCD（如圖2），點M為BC上任意一點，點N為CD邊上任意一點，且BM=CN，BNAM相交于Q點，那么∠BQM等于多少度呢？說明理由． （3）如果將(1)中的“正三角形”改為正五邊形…正n邊形(如圖3),其余條件都不變,請你根據(jù)(1)、(2)的求解思路,將你推斷的結(jié)論填入下表：(注：的各個角都相等) 正五邊形 … 正n邊形 ∠BQM的度數(shù) … 岡西初中數(shù)學(xué)組 §4.6 圓的有關(guān)計算 一、知識要點 圓周長、弧長、扇形面積等計算；圓錐的側(cè)面積與全面積的求法.二、課前演練 1．如果一個扇形的半徑是1，弧長是，那么此扇形的圓心角= °.2．一扇形的圓心角為120°,半徑為3,則此扇形面積為_______（結(jié)果保留π）.3．一個扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2．則這個扇形的半徑是_____.4.已知圓錐的底面直徑和母線長都是10cm，則圓錐的側(cè)面積為________.三、例題分析 例1 如圖，有一直徑是1cm的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角 是90°的扇形CAB． （1）被剪掉的陰影部分的面積是多少？ （2）若用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少（結(jié)果可用根號表示）． 例2 如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE和CD的長； （2）求圖中陰影部分的面積．﹒ 四、鞏固練習(xí) 1．一扇形圓心角為60°，它所對的弧長為2πcm，則這個扇形的半徑為（） A．6cm B．12cm C．2cm D．cm 2．如圖,一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿直線滾動一周,圓心移動的距離是（） A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm 3．如圖，半徑為1cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（） A．πcm2 B．πcm2 C．cm2 D．cm2 4．（2012舟山）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦AB⊥半徑OC，沿AB將弓形ACB翻折，使點C與圓心O重合，則月牙形（圖中實線圍成的部分）的面積是________． (第2題圖) (第2題圖) (第3題圖) 5．（2012?岳陽）如圖，⊙O中，弧AD=弧AC，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與AB交于點F，連接BC． （1）求證：AC2=AB?AF； （2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中陰影部分面積． 6．（2012?萊蕪）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以點D為圓心的⊙D與邊AB相切于點E． （1）求證：⊙D與邊BC也相切； （2）設(shè)⊙D交BD于H，交CD于F，連接HF，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）； （3）⊙D上一動點M從點F出發(fā)，按逆時針方向運動半周，當(dāng)S△HDF=S△MDF時，求動點M經(jīng)過的弧長（結(jié)果保留π）．
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