?高等數(shù)學(xué)?知識在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例

復(fù)利與貼現(xiàn)問題

復(fù)利公式

實(shí)利率與虛利率

數(shù)e的經(jīng)濟(jì)解釋

貼現(xiàn)問題

增長率

級數(shù)應(yīng)用舉例

銀行通過存款和放款“創(chuàng)造〞貨幣問題

投資費(fèi)用

庫存問題

〔一〕

成批到貨，不允許短缺的庫存模型

〔二〕

陸續(xù)到貨，不允許短缺的模型

〔三〕

成批到貨，允許短缺的模型

由于現(xiàn)代化生產(chǎn)開展的需要，經(jīng)濟(jì)學(xué)中定量分析有了長足的進(jìn)步，數(shù)學(xué)的一些分支如數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、微分方程等等已進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)，出現(xiàn)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)、經(jīng)濟(jì)控制論等新分支，這些新分支通常成為數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的目的在于探索客觀經(jīng)濟(jì)過程的數(shù)量規(guī)律，以便用來知道客觀經(jīng)濟(jì)實(shí)踐。應(yīng)用數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的關(guān)鍵就是要把所考察的對象描述成能夠用數(shù)學(xué)方法來解答的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型。這里我們簡單介紹一下一元微積分與多元微積分在經(jīng)濟(jì)中的一些簡單應(yīng)用。

復(fù)利與貼現(xiàn)問題

復(fù)利公式

貨幣所有者〔債權(quán)人〕因貸出貨幣而從借款人〔債務(wù)人〕手中所得之報(bào)酬稱為利息。利息以“期〞，即單位時(shí)間〔一般以一年或一月為期〕進(jìn)行結(jié)算。在這一期內(nèi)利息總額與貸款額〔又稱本金〕之比，成為利息率，簡稱利率，通常利率用百分?jǐn)?shù)表示。

如果在貸款的全部期限內(nèi)，煤氣結(jié)算利息，都只用初始本金按規(guī)定利率計(jì)算，這種計(jì)息方法叫單利。在結(jié)算利息時(shí)，如果將前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和為下一期計(jì)算利息的新本金，這就是所謂的復(fù)利。通俗說法就是“利滾利〞。

下面推出按福利計(jì)息方法的復(fù)利公式。

現(xiàn)有本金A0，年利率r=p%，假設(shè)以復(fù)利計(jì)息，t年末A0將增值到At，試計(jì)算At。

假設(shè)以年為一期計(jì)算利息：

一年末的本利和為A1=A0〔1+r〕

二年末的本利和為A2=A0〔1+r〕+A0〔1+r〕r=

A0〔1+r〕2

類推，t年末的本利和為At=

A0〔1+r〕t

〔1〕

假設(shè)把一年均分成m期計(jì)算利息，這時(shí)，每期利率可以認(rèn)為是，容易推得

〔2〕

公式〔1〕和〔2〕是按離散情況——計(jì)息的“期〞是確定的時(shí)間間隔，因而計(jì)息次數(shù)有限——推得的計(jì)算At的復(fù)利公式。

假設(shè)計(jì)息的“期〞的時(shí)間間隔無限縮短，從而計(jì)息次數(shù)，這時(shí)，由于

所以，假設(shè)以連續(xù)復(fù)利計(jì)算利息，其復(fù)利公式是

例1

A0＝100元，r=8%，t＝1，那么

一年計(jì)息1期

一年計(jì)息2期

一年計(jì)息4期

一年計(jì)息12期

一年計(jì)息100期

連續(xù)復(fù)利計(jì)息

實(shí)利率與虛利率

由例1知，年利率相同，而一年計(jì)息期數(shù)不同時(shí)，一年所得之利息也不同。當(dāng)年利率為8％，一年計(jì)息1期，確實(shí)按8％計(jì)算利息；一年計(jì)息2期，實(shí)際上所得利息是按8.16％計(jì)算的結(jié)果；一年計(jì)息4期，實(shí)際上所得利息是按8.243％計(jì)算；一年計(jì)息12期，實(shí)際上是按8.3％計(jì)算；一年計(jì)息100次，實(shí)際所得利息是按8.325計(jì)算利息。

這樣，對于年期以下的復(fù)利，我們稱年利率8％為虛利率或名義利率，而實(shí)際計(jì)算利息之利率稱為實(shí)利率。如8.16％為一年復(fù)利2期的實(shí)利率，8.3％為一年復(fù)利12期的實(shí)利率，8.329％為一年連續(xù)復(fù)利的實(shí)利率。

記r為名義年利率，rm為一年計(jì)息m期的實(shí)利率，本金A0，按名義利率一年計(jì)息m期，一年末將增值到A0〔1+〕m，按實(shí)利率計(jì)息，一年末將增值到A0〔1+rm〕。于是，有

1+rm＝〔1+〕m，即是離散情況下實(shí)利率與虛利率之間的關(guān)系式。

假設(shè)記rm為連續(xù)復(fù)利的實(shí)利率，由于

所以，實(shí)利率與虛利率之間的關(guān)系為。

數(shù)e的經(jīng)濟(jì)解釋

設(shè)年利率為100%，連續(xù)復(fù)利計(jì)息，一元本金到年末的本利和為

這就是說，按名義利率100%，連續(xù)復(fù)利計(jì)息，一元本金年末將增長到e元。這可作為數(shù)e的經(jīng)濟(jì)解釋。

由于，所以，這是的實(shí)利率大約為172％。

貼現(xiàn)問題

我們已經(jīng)知道，初時(shí)本金A0，年利率r，t年末的本利和At，以年為期的復(fù)利公式是，一年均分為m期的復(fù)利公式是，連續(xù)復(fù)利公式是。

假設(shè)稱A0為現(xiàn)在之，At為未來值，一只現(xiàn)在值求未來值是復(fù)利問題，與此相反，假設(shè)未來值A(chǔ)t求現(xiàn)在值A(chǔ)0，那么稱貼現(xiàn)問題，這時(shí)利率r稱為貼現(xiàn)率。

由復(fù)利公式，容易推得：

離散的貼現(xiàn)公式為

連續(xù)的貼現(xiàn)公式為

例2

設(shè)年利率為6.5％，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)投資多少元，16年之末可得1200元。

這里，貼現(xiàn)率r=6.5％，未來值A(chǔ)t=1200，t=16。所以，現(xiàn)在值

增長率

設(shè)變量y是時(shí)間t的函數(shù)y

=

f

（t），那么比值

為函數(shù)f

（t）在時(shí)間區(qū)間上的相對改變量；如果f

（t）可微，那么定義極限

為函數(shù)f

（t）在時(shí)間點(diǎn)t的瞬時(shí)增長率。

對指數(shù)函數(shù)而言，由于，因此，該函數(shù)在任何時(shí)間點(diǎn)t上都以常數(shù)比率r增長。

這樣，關(guān)系式

〔*〕

就不僅可作為復(fù)利公式，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有廣泛的應(yīng)用。如企業(yè)的資金、投資、國民收入、人口、勞動力等這些變量都是時(shí)間t的函數(shù)，假設(shè)這些變量在一個(gè)較長的時(shí)間內(nèi)以常數(shù)比率增長，都可以用〔*〕式來描述。因此，指數(shù)函數(shù)中的“r〞在經(jīng)濟(jì)學(xué)中就一般的解釋為在任意時(shí)刻點(diǎn)t的增長率。

如果當(dāng)函數(shù)中的r取負(fù)值時(shí)，也認(rèn)為是瞬時(shí)增長率，這是負(fù)增長，這時(shí)也稱r為衰減率。貼現(xiàn)問題就是負(fù)增長。

例3

某國現(xiàn)有勞動力兩千萬，預(yù)計(jì)在今后的50年內(nèi)勞動力每年增長2%，問按預(yù)計(jì)在2056年將有多少勞動力。

由于未來值A(chǔ)0=2000，r=0.02，t=50，所以，50年后將有勞動力

例4

某機(jī)械設(shè)備折舊率為每年5％，問連續(xù)折舊多少年，其價(jià)值是原價(jià)值的一半。

假設(shè)原價(jià)值為A0，經(jīng)t年后，價(jià)值為，這里r=-0.05。由，假設(shè)取，易算出t=13.86〔年〕，即大約經(jīng)過13.86年，機(jī)械設(shè)備的價(jià)值是原價(jià)值的一半。

級數(shù)應(yīng)用舉例

銀行通過存款和放款“創(chuàng)造〞貨幣問題

商業(yè)銀行吸收存款后，必須按照法定的比率保存規(guī)定數(shù)額的法定準(zhǔn)備金，其余局部才能用作放款。得到一筆貸款的企業(yè)把它作為活期存款，存入另一家銀行，這銀行也按比率保存法定準(zhǔn)備金，其余局部作為放款。如此繼續(xù)下去，這就是銀行通過存款和放款“創(chuàng)造〞貨幣。

設(shè)R表示最初存款，D表示存款總額〔即最初存款“創(chuàng)造〞的貨幣總額〕，r表示法定準(zhǔn)備金占存款的比例，r<1。當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，那么有

假設(shè)記

它稱為貨幣創(chuàng)造乘數(shù)。顯然，假設(shè)最初存款是既定的，法定準(zhǔn)備率r越低，銀行存款和放款的總額越大。

這是一個(gè)等比級數(shù)問題。

例如

設(shè)最初存款為1000萬元，法定準(zhǔn)備率20%，求銀行存款總額和貸款總額。

這里，R=1000，r=0.2，存款總額D1由級數(shù)

1000+1000（1-0.2）+1000（1-0.2）2+…

決定，其和

貸款總額D2由級數(shù)

1000（1-0.2）+1000（1-0.2）2+…

決定，顯然

D2=4000〔萬元〕

投資費(fèi)用

這里，投資費(fèi)用是指每隔一定時(shí)期重復(fù)一次的一系列效勞或購進(jìn)設(shè)備所需費(fèi)用的現(xiàn)在值。將各次費(fèi)用化為現(xiàn)值，用以比擬間隔時(shí)間不同的效勞工程或具有不同使用壽命的設(shè)備。

設(shè)初期投資為p，年利率為r，t年重復(fù)一次投資。這樣，第一次更新費(fèi)用的現(xiàn)值為,第二次更新費(fèi)用的現(xiàn)值為，以此類推。如此，投資費(fèi)用D為以下等比級數(shù)之和：

于是

例如，建造一座鋼橋的費(fèi)用為380000元，每隔10年需要油漆一次，每次費(fèi)用為40000元，橋的期望壽命為40年；建造一座木橋的費(fèi)用為200000元，每隔2年需油漆一次，每次費(fèi)用為20000元，其期望壽命為15年，假設(shè)年利率為10%，問建造哪一種橋較為經(jīng)濟(jì)？

鋼橋費(fèi)用包括兩局部：建橋的系列費(fèi)用和油漆的系列費(fèi)用。

對建鋼橋，p=380000，r=0.1，t=40，因，那么建橋費(fèi)用

查表知，于是

同樣，油漆鋼橋費(fèi)用

故建鋼橋總費(fèi)用的現(xiàn)值

類似的，建木橋費(fèi)用

油漆木橋費(fèi)用

故建木橋總費(fèi)用的現(xiàn)值

由計(jì)算知，建木橋有利。

現(xiàn)假設(shè)價(jià)格每年以百分率i漲價(jià)，年利率為r，假設(shè)某種效勞或工程的現(xiàn)在費(fèi)用為p0時(shí)，那么t年后的費(fèi)用為

其現(xiàn)值為

。這說明，在通貨膨脹情況下，計(jì)算總費(fèi)用D的等比級數(shù)是

例如，在上述建橋問題中，假設(shè)每年物價(jià)上漲7%，試重新考慮建木橋還是建鋼橋經(jīng)濟(jì)？

這里，r=0.1，i=0.07，r-i=0.03，此時(shí)，對鋼橋，建橋費(fèi)用和油漆費(fèi)用分別為

建鋼橋總費(fèi)用的現(xiàn)在值

D=D1+D2=698100〔元〕

對木橋，建橋費(fèi)用和油漆費(fèi)用分別為

建鋼橋總費(fèi)用的現(xiàn)在值

D=D3+D4=895550〔元〕

根據(jù)以上計(jì)算，在每年通貨膨脹7%的情況下，建鋼橋經(jīng)濟(jì)。

庫存問題

庫存或存貯在生產(chǎn)系統(tǒng)，商業(yè)系統(tǒng)，乃至各個(gè)系統(tǒng)中都是一個(gè)重要的問題。需求可由庫存的輸出來供給和滿足，庫存也要由輸入來維持和補(bǔ)充，庫存起到調(diào)節(jié)供給與需求，生產(chǎn)與銷售之間不協(xié)調(diào)的作用。

我們的問題是庫存數(shù)量為多少時(shí)最適宜?？刂拼尕洈?shù)量的目的是把存貨總費(fèi)用降低到最小。這里，假設(shè)存貨總費(fèi)用包括如下三個(gè)方面的費(fèi)用：

1.生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購費(fèi)：工廠生產(chǎn)產(chǎn)品成批投產(chǎn)，每次投產(chǎn)要支付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)；商店向外訂貨，每次訂貨都要支付訂購費(fèi)。假設(shè)每次投產(chǎn)的準(zhǔn)備費(fèi)或每次的訂購費(fèi)與投產(chǎn)或訂貨數(shù)量無關(guān)。

2.貨物的庫存費(fèi)用：貨物存放倉庫的保管費(fèi)。假設(shè)在某一時(shí)間內(nèi)單位產(chǎn)品的庫存費(fèi)不變。

3.缺貨損失費(fèi)：因不能及時(shí)滿足需求而帶來的損失。

另外，還假設(shè)需求是連續(xù)的，均勻的，即單位時(shí)間內(nèi)的需求是常數(shù)，因而在一個(gè)方案期內(nèi)需求的總量是的，簡言之，需求是一致的，這是確定性庫存模型。

我們討論以下模型：

1)

成批到貨，不允許短缺的庫存模型

2)

陸續(xù)到貨，不允許短缺的庫存模型

3)

成批到貨，允許短缺的庫存模型

（一）成批到貨，不允許短缺的庫存模型

所謂成批到貨，不允許短缺，就是每批產(chǎn)品或每次訂購的貨物整批存入倉庫，由倉庫均勻提取〔因需求是一致的〕投放市場，當(dāng)前一批庫存提取完后，下一批貨物立即補(bǔ)足。在這種理想情況下，庫存水平變動情況如圖1所示：庫存量由最高水平逐漸〔或線性〕的減少到0，此時(shí)，庫存水平又立即到達(dá)最高水平，再循環(huán)前過程。這樣，在一個(gè)方案期內(nèi)，平均庫存量可以認(rèn)為是最高庫存量的一半。圖中的t表示一個(gè)存貯循環(huán)延續(xù)時(shí)間。

Q〔庫存水平〕

每批數(shù)量

O

t

t

t

最高庫存水平

平均庫存水平

T〔時(shí)間〕

圖1

由于在一個(gè)方案期內(nèi)需求量是固定的，在這方案期內(nèi)，如果每批投產(chǎn)或每次訂購數(shù)量多，自然庫存量多，自然庫存量多，因而庫存費(fèi)多；但是，這時(shí)因投產(chǎn)或訂購數(shù)少，因此生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購費(fèi)少。如果每批投產(chǎn)或每次訂購量少，庫存費(fèi)減少，但因投產(chǎn)或訂購次數(shù)多，自然，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購費(fèi)增多。在這兩種費(fèi)用一多一少的矛盾情況下，我們的問題是，如何確定每批投產(chǎn)或每次訂購的數(shù)量，即選擇最有批量以使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和為最小。

假設(shè)

D：一個(gè)方案期內(nèi)的需求數(shù)量，即生產(chǎn)或訂貨的總量；

C1：一個(gè)方案期內(nèi)每件產(chǎn)品所付庫存費(fèi)；

C2：每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或每次訂購費(fèi)；

Q：每批投產(chǎn)或每次訂貨的數(shù)量，即批量；

E：一個(gè)方案期內(nèi)存貨總費(fèi)用，即生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購費(fèi)與庫存費(fèi)之和。

這樣，在一個(gè)方案期內(nèi)，自始至終，按圖1之分析，庫存數(shù)量應(yīng)認(rèn)為是，即庫存量恰是批量之半，所以庫存費(fèi)為；生產(chǎn)次數(shù)或訂購次數(shù)，即批數(shù)應(yīng)為，因此，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購費(fèi)為。于是，存貨總費(fèi)用E與每批數(shù)量Q的函數(shù)關(guān)系為

現(xiàn)存的問題是：決策變量Q，使目標(biāo)函數(shù)取極小值。

由極值存在的必要條件：

或

〔1〕

由上式解得

〔2〕

由極值的充分條件：

所以，當(dāng)批量時(shí)，總費(fèi)用最小，其值：

即

（3）

這就得到了求最優(yōu)批量及最小總費(fèi)用的一般表達(dá)式〔2〕和〔3〕。

表達(dá)式〔2〕在庫存理論中稱為“經(jīng)濟(jì)訂購量〞或“經(jīng)濟(jì)批量〞公式。簡稱為“EOQ〞公式。

注意到〔1〕式：〔極值存在的必要條件〕可寫作：

〔4〕

〔4〕式左端正式一個(gè)方案期內(nèi)的庫存費(fèi)，而右端那么是一個(gè)方案期內(nèi)的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購費(fèi)，因此，對“一致需求，成批到貨，不許短缺〞的庫存模型有如下結(jié)論：

使庫存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)〔或訂購費(fèi)〕相等的批量，是經(jīng)濟(jì)批量。

這樣，對上述庫存問題，我們也可直接由公式〔4〕來經(jīng)濟(jì)批量。

例1

某廠生產(chǎn)攝影機(jī)，年產(chǎn)量1000臺，每臺本錢800元，每一季度每臺攝影機(jī)的庫存費(fèi)是本錢的5％；工廠分批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為5000元；市場對產(chǎn)品一致需求，不許缺貨，產(chǎn)品整批存入倉庫。試確定經(jīng)濟(jì)批量及一年最小存貨總費(fèi)用。

解

由題設(shè)知，D＝1000臺，C2＝5000元，每年每臺庫存費(fèi)

C1＝800×5%×4＝160〔元〕

存貨總費(fèi)用E與每批生產(chǎn)臺數(shù)Q的函數(shù)關(guān)系：

由〔2〕式，經(jīng)濟(jì)批量

一年最小存貨總費(fèi)用

圖

E

=

E1

+

E2

200

300

400

250

Q〔臺〕

O

E〔萬元〕

由圖2可知，庫存費(fèi)用曲線與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用曲線：

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是經(jīng)濟(jì)批量，其縱坐標(biāo)剛好是存貨總費(fèi)用的一半。

（二）陸續(xù)到貨，不允許短缺的模型

陸續(xù)到貨，就是每批投產(chǎn)或每次訂購的數(shù)量Q，不是整批到貨，立即補(bǔ)足庫存，而是從庫存為零時(shí)起，經(jīng)過時(shí)間t1才能全部到貨。

在此，需補(bǔ)充假設(shè)

P：每單位時(shí)間內(nèi)的到貨量，即到貨率；

u：每單位時(shí)間內(nèi)的需求量，即需求率。

顯然，假設(shè)P>u，每單位時(shí)間內(nèi)凈增加存貨為P-u，到時(shí)刻t1終了庫存出現(xiàn)一個(gè)頂點(diǎn)，這時(shí)，庫存量為t1（P-u）。

由于經(jīng)歷時(shí)間t1到貨總量為Q，因此，從而最大庫存量為

這種庫存模型的庫存水平變動情況如圖3所示。

T〔時(shí)間〕

圖3

Q〔庫存水平〕

O

t

t

t

t1（P-u）

平均庫存水平

t1

t1

t1

這樣，在一個(gè)方案期內(nèi)，平均庫存量應(yīng)為最大庫存量之半，因而庫存費(fèi)為。

本問題中，因?yàn)樯a(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購費(fèi)與“成批到貨，不許短缺〞庫存模型一樣，因此，存貨總費(fèi)用E與每批數(shù)量Q的函數(shù)關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)是

為決策變量Q，由極值的必要條件和充分條件，容易算得，經(jīng)濟(jì)批量

這時(shí)，庫存總費(fèi)用的最小值

最優(yōu)批量Q*的表達(dá)式〔6〕也可由下式得到：

例2

同例1，但產(chǎn)品陸續(xù)存入倉庫，每月到貨200臺，試確定經(jīng)濟(jì)批量和最正確費(fèi)用。

解

條件是：

由〔5〕〔6〕〔7〕可得經(jīng)濟(jì)批量為327.3臺，這時(shí)最正確費(fèi)用為30550元。

（三）成批到貨，允許短缺的模型

前面討論的兩個(gè)庫存模型是不允許缺貨。允許缺貨是指，缺貨時(shí)未能滿足的需求，在下一批貨物到貨時(shí)要予以滿足，而且缺貨時(shí)的需求直接輸出而不經(jīng)過庫存。其它情況同模型一。如果缺貨帶來的損失很小，且不會因暫時(shí)缺貨而失去銷售時(shí)機(jī)，缺貨現(xiàn)象是允許存在的。

允許缺貨情況，庫存水平變動情況見圖4。圖中的t是一個(gè)存貯循環(huán)延續(xù)時(shí)間，從前一批到貨至庫存量減少為0的時(shí)間為t1，從庫存是0至下一批貨物到達(dá)的時(shí)間為t2。

Q〔庫存水平〕

批量Q

O

t2

t

t

最高庫存水平

T〔時(shí)間〕

圖4

t2

t1

t1

B

Q－B

這里尚需補(bǔ)充假設(shè)

B：庫存得到補(bǔ)充之前的允許缺貨量；

C3：在一個(gè)方案期內(nèi)，缺一件產(chǎn)品的損失費(fèi)。

需要注意的是每批投產(chǎn)或每次訂購的數(shù)量Q包括了最大的允許缺貨量B。

本庫存模型中，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與訂購費(fèi)與前面模型相同：

庫存費(fèi)：因有貨時(shí)間t1占一個(gè)存貯循環(huán)時(shí)間的比率為，所以，在一個(gè)時(shí)機(jī)期內(nèi)，有貨時(shí)間所占比率也為。有貨時(shí)，最大庫存量為Q-B，從而平均庫存量為，由圖4中

相似三角形易知

因此，在一個(gè)方案期內(nèi)，庫存費(fèi)為

缺貨費(fèi)：在缺貨時(shí)間t2占一個(gè)存貯循環(huán)時(shí)間的比率為，在一個(gè)方案期內(nèi)，缺貨總時(shí)間所占比例也為。最大缺貨量為B，因此，平均缺貨量為，由圖4的相似三角形得知。因此，在一個(gè)方案期內(nèi)，缺貨量為.綜上，在一個(gè)方案期內(nèi)，庫存總費(fèi)用

或?qū)懽?/p>

這是該問題的目標(biāo)函數(shù)。

現(xiàn)在的問題是決策兩個(gè)變量Q和B，以使目標(biāo)函數(shù)取極小值。

根據(jù)〔8’〕式，由二元函數(shù)極值存在的必要條件，有

解該方程組，可得

可以驗(yàn)證極值存在的充分條件滿足：，因此，將

代入〔8〕式，可得存貨總費(fèi)用的最小值：

比擬〔9〕式和〔3〕式，如果缺一件產(chǎn)品的損失費(fèi)C3為無窮大，因，那么〔9〕式就是〔3〕式，這說明：不允許缺貨可視為缺貨損失為無窮大的情況。此式，又因，由〔10〕式知，恰有缺貨量B*=0。

例3

某廠，一年勞動日為300天，生產(chǎn)率〔單位時(shí)間內(nèi)的產(chǎn)量〕固定，一年可組裝機(jī)床1500臺；假設(shè)組裝一臺機(jī)床的零部件價(jià)值14400元，而一年的保管費(fèi)為其價(jià)值的22％，因缺零部件而停工，少裝一臺機(jī)床的損失費(fèi)為零部件價(jià)值的50％；又每次訂購零部件的手續(xù)費(fèi)為7500元，為使一年存貨總費(fèi)用最小，試就以下各種情況決策最優(yōu)批量和允許缺貨量〔如果允許缺貨的話〕并計(jì)算最正確費(fèi)用：

〔1〕不管每次訂購數(shù)量為多少，都可立即到貨，不允許停工待料；

〔2〕假設(shè)訂貨后，每天可到貨30臺機(jī)床的零部件，不允許停工待料；

〔3〕不管每次訂貨多少，都可立即到貨，允許停工待料，但缺料時(shí)未完成的任務(wù)，當(dāng)?shù)截浐螅刹徽紕趧尤站湍芡瓿伞?/p>

解

由題設(shè)知

〔1〕這是成批到貨，不許缺貨的情況。目標(biāo)函數(shù)為：，由〔2〕式得最優(yōu)批量84.27，可取Q*=84臺；由目標(biāo)函數(shù)可得最正確費(fèi)用E*＝266985元。

〔2〕這是陸續(xù)到貨，不許短缺的情況。目標(biāo)函數(shù)為

由〔6〕式得最優(yōu)批量92.3，取Q*=92臺；最正確費(fèi)用E*＝243723元。

下面，比擬成批到貨和陸續(xù)到貨兩種情況：

成批到貨

陸續(xù)到貨

最優(yōu)批量

最大庫存水平

一年訂購次數(shù)

一年總費(fèi)用

Q=84

Q=84

N=18（實(shí)為17.85）

E=266985

Q=92

Q=77

N=17（實(shí)為16.3）

E=243723

顯然，陸續(xù)到貨總費(fèi)用減少，這是因?yàn)橐荒暧嗁彺螖?shù)減少且平均庫存量減少。

〔3〕這是成批到貨，允許短缺的情況。目標(biāo)函數(shù)

由〔9〕式和〔10〕式可分別得到最優(yōu)批量和最大缺貨量：

由此知，允許停工待料的情況，取，最正確費(fèi)用E＝222487元。這種情況也比第一種情況節(jié)省存貨總費(fèi)用。