第一篇：微積分總結(jié)

第一章知識點

1.極限的定義(ε-δ定義）：

（重在理解)2.兩邊夾法則

先看它是否有明顯的界限，再有極限相同入手。

但要注意：夾的時候一定要保證不等關(guān)系一直成立 3.在證明不等關(guān)系時，二項式定理是一個不錯的工具，尤其是涉及到n次冪的問題（P9 例題3）

4.復(fù)合函數(shù)問題中Df∩Zg≠Φ對于一個復(fù)合函數(shù)f(g(x)),那么g(x)的值域與f(x)的定義域必須要有交集（小錯誤）

5.有基本初等函數(shù)(反對冪指三）經(jīng)過有限次變換得到的函數(shù)均為初等函數(shù)（定理：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均連續(xù)）6.鄰域均為開區(qū)間

7.用ε-ε-δ定義定義證明極限等于某個常數(shù)，其關(guān)鍵是找出一個符合要求的δ，并要充分利用lim=n這一條件。P30 例1 8.Limf(x)=∞時，f(x)的極限不存在，只是借用這一符號。在此處有垂直漸近線

9.左右極限存在且相等==> 函數(shù)在這一點極限存在 10.函數(shù)極限存在則必有唯一性（反證法，與定義矛盾)11.連續(xù)可推出極限存在

12.連續(xù)性的條件：1.f(x0)有意義

2.f(x0)在此處的極限存在 3.此處limf（x）=f（x0）13.換元要換限，取值范圍要跟著變。

14.無窮小性質(zhì)：

1.有限個無窮小之和與乘積是無窮小

2.有界函數(shù)和常數(shù) 與無窮小的乘積是無窮小

（用于簡化求極限的式子）

15.利用無窮小求極限就是丟掉不影響的無窮?。ǜ唠A無窮小），再用等價無窮小替換。

16.若f(x)在x0處可微，則f(x)在處連續(xù)，其極限也必定存在 17.可微=左右微商相等

（不等即微商不存在）

18.因此求分段點出的微商的步驟是：先求左微商，再求右微商，再看其等不等。等便存在，不等便不存在

19.連續(xù)點處或左右微商：1.先求增量Δy

2.再求Δy/Δx 3.求極限（極限為無窮則稱其不可微）20.切線方程，法線方程 21.求極限時注意誰是變量。

22.無窮小等價代換 乘除可換 加減不能

在對無窮小比無窮小求極限的過程中，可以把分子或分母中的某個因子用等價無窮小替換，加減時一般不能用等價無窮小替換，加減時候等價無窮小替換的條件是：lim a/b中極限存在，且極限不等于-1，則a+b中的無窮小a和b可以用它們的等價無窮小替換。

23.間斷點類型：第一類間斷點：1.左右極限存在且相等但不等與

f(x0)(可取間斷點）

2.左右極限不等（跳躍間斷點）第二類間斷點：

左右極限至少有一個不存在 24.極限比值為常數(shù)且分子或分母也為0，則另一個也為0（分子分母為同階無窮?。?5.(1)limsinx?1x?0x1x比較limx??sinx?0x(2)lim(1?x)x?0?e或lim(1?x??1x)?ex

26.極限的性質(zhì)：1.唯一性 2.局部保號性 3.兩邊夾法則 4.比值極限性質(zhì) 27.僅個人小小理解，當(dāng)作總結(jié)，若有錯誤還請及時與我交流，愿大家共同進(jìn)步?。?/p>

第二篇：微積分教案

§1.6 微積分基本定理的應(yīng)用

課型：新授課

一．教學(xué)目標(biāo)

1．.會利用微積分基本定理求函數(shù)的積分.2．通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。

二．溫故知新：

1.微積分基本定理 2.定積分的簡單性質(zhì)

3.導(dǎo)數(shù)公式

三．探究導(dǎo)航

探究1 例1．計算下列定積分：（1）?2021311dx；

（2）?(2x?2)dx。

1xx例2．求下列定積分：

?（1）?(3x?4x)dx

（2）?2sin202xdx 2分析：利用定積分的性質(zhì)及微積分基本定理求定積分時，有時需先化簡，再積分！

探究二：??0sinxdx,?sinxdx,?sinxdx。

?02?2?由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 ? 計算定積分的一般步驟：

?(1)把被積函數(shù)能化簡的先化簡，不能化簡的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；

?(2)利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個定積分的和與差； ?(3)分別利用求導(dǎo)公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)； ?(4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值； ?(5)計算所求定積分的值．

四．課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)

A

組

1．?(ex?e?x)dx=（）

01121（A）e+

（B）2e

（C）

（D）e-

eee2．?(3x2?k)dx=10，則k=____________ 023．計算定積分：（1）?(4?2x)(4?x)dx

（2）?02221x2?2x?3dx

x3（3）?

41x(1?x)dx

（4）?(x?21x)2dx

B組

1．計算定積分：

（1）?edx

（2）??4cos2xdx

01?2x6

2．設(shè)m是正整數(shù)，試證下列等式：（1）??sinmxdx?0??

（2）

3．已知f（x）是一次函數(shù)，其圖象過點（3，4）且????cos2mxdx??

?10f(x)dx?1求f（x）的解析式

五．課后作業(yè)

已知f（x）=ax?bx?c且f（1）=2，f?(0)?0，?f(x)dx??4

?121求a，b，c的值

第三篇：微積分發(fā)展史

微積分發(fā)展史

一、微積分學(xué)的創(chuàng)立

微積分作為一門學(xué)科，是在十七世紀(jì)產(chǎn)生的。它的主要內(nèi)容包括兩部分：微分學(xué)和積分學(xué)。然而早在古代微分和積分的思想就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積等問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代就有了比較清楚的論述。如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。這些都是樸素的極限概念。

到了十七世紀(jì)，人們因面臨著有許多科學(xué)問題需要解決，如研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題；求曲線的切線的問題等，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。

十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。在創(chuàng)立微積分方面，萊布尼茨與牛頓功績相當(dāng)。這兩位數(shù)學(xué)家在微積分學(xué)領(lǐng)域中的卓越貢獻(xiàn)概括起來就是：他們總結(jié)出處理各種有關(guān)問題的一般方法,認(rèn)識到求積問題與切線問題互逆的特征，并揭示出微分學(xué)與積分學(xué)之間的本質(zhì)聯(lián)系。兩人各自建立了微積分學(xué)基本定理，并給出微積分的概念、法則、公式及其符號。有了這些理論知識作為前提為以后的微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅實而重要的基礎(chǔ)。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力?？梢哉f微積分學(xué)的誕生是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個里程碑式的事件。

二、微積分誕生的重要意義

微積分誕生之前，人類基本上還處在農(nóng)耕文明時期。微積分學(xué)是繼解析幾何產(chǎn)生后的又一個偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。微積分為創(chuàng)立許多新的學(xué)科提供了源泉。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強與加深了數(shù)學(xué)的作用。微積分的產(chǎn)生不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠(yuǎn)的社會影響。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了。微積分學(xué)強有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。這一切都表明微積分學(xué)的產(chǎn)生是人類認(rèn)識史上的一次空前的飛躍。

三、微積分理論的基本介紹

微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)是互為逆運算的過程，而把上下限代入不定積分即得到積分值，微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積。作為一種數(shù)學(xué)的思想微分就是“無限細(xì)分”，而積分就是“無限求和”。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因為，代數(shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以，必須要利用代數(shù)處理代表無限的量，這時就精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數(shù)除以0的麻煩，相反引入了一個過程任意小量ε。就是說，除的數(shù)不是零，所以有意義，同時ε可以取任意小，只要滿足在δ區(qū)間，都小于ε，我們就說他的極限就是這個數(shù)。雖然這個概念給出的比較取巧，但是，它的實用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。因此這個概念是成功的。

五、微積分的不斷發(fā)展完善

隨著社會的進(jìn)步，科學(xué)的發(fā)展，微積分學(xué)也在不斷的發(fā)展與完善。微積分學(xué)是與科學(xué)應(yīng)用緊密聯(lián)系著發(fā)展起來的。最初，牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對天文觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析運算，得到了萬有引力定律，并進(jìn)一步導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。微積分學(xué)成了推動近代數(shù)學(xué)發(fā)展強大的引擎，同時也極大的推動了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展，并在這些學(xué)科中有著越來越廣泛的應(yīng)用。

第四篇：微積分學(xué)習(xí)心得

既然叫心得，就先從老師的教學(xué)感受說起吧，劉老師喜歡講課外的故事，我很喜歡這種提神的插曲還能了解專業(yè)和學(xué)校以及數(shù)學(xué)方面的知識，劉老師與高中不同之處或是說講課目的差別，就在于講課的實質(zhì)性，不像原來我們只是學(xué)方法和題型，不需要在常規(guī)題型上問為什么，這節(jié)約了復(fù)習(xí)時間，但現(xiàn)在終于知道好多原來不解的原因，比如，高中定義e為計算機常數(shù)，而如今卻從極限的角度來定義，還有正態(tài)分布，高中只是略過一遍，現(xiàn)在看來，自然界以正態(tài)分布居多和許多的統(tǒng)計，函數(shù)等，著實擴充了自己的知識層面，自己沒有數(shù)學(xué)系中同學(xué)的天分，但在數(shù)學(xué)思想上還是喜歡學(xué)習(xí)的，技不如人也好，幾個月的微積分還是有些感悟的。

從極限學(xué)起，似乎還是遠(yuǎn)來的知識，加上導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用，但還是不同，第一次作業(yè)中有一道題

讓我不會只相信那答案了。

1.收斂數(shù)列A與發(fā)散數(shù)列B之和A+B必為發(fā)散數(shù)列，正確答案是命題正確，可是參考答案是

錯，我還糾結(jié)找例子推反，最后還是錯了，還有一題是

2.設(shè)F（x）在x＝a處可導(dǎo)，求h－0時，F(xiàn)（a+3h）-F（a-h）／h

本題按照分子加上再減去一項F（a）即可得到答案，可是盲目相信答案，沒有堅持自己的答案，太依賴這種保守性的更正反而不如沒有更正來的好些，正如曾經(jīng)有個老師說的，看答

案看久了，考試只能是一片空白。

極限一節(jié)和洛必達(dá)法則應(yīng)用在微積分的課程中是很重要的，比如求x㏑x在x－0時的極限，原來是做不的，但定積分時這類題很多，洛必達(dá)法則的應(yīng)用就使問題迎刃而解了，稍加變化成分?jǐn)?shù)形式就解出了。無窮小量的提出為爾后的微分奠定了基礎(chǔ)，也是求極限比大小的一種手段，同時也為等價替換這一技巧留下余地，夾擠原理也解決了不能計算的一些題，如一定

物理定理的基礎(chǔ)證明

1.x－0時sinx／x極限為1，物理學(xué)家在研究單擺原理繼而引申到簡諧震動時，小角或是小位移關(guān)系是大量統(tǒng)計的出sinx≈x的結(jié)論，從而得出公式，而單位圓法夾擠原理應(yīng)用利用，x－0時cosx－1.再求解，根存在問題與零點和介值定理應(yīng)用我個人也是有所收獲的，根有與否可以應(yīng)用圖像或是構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)的方法，零點定理是基礎(chǔ)，常見的有幾個根和其范圍，用中點試法可以得到更精確的值，微分的引入解決了我以前求值不出啊，如求arctan1.01現(xiàn)在可以依靠特殊點近似求角和差量了，無窮小量的舍棄，求出主體部分，微分與導(dǎo)數(shù)密不可分，而積分的特殊公式也在這節(jié)提出，求切線問題，算是老題型了，但骨子里數(shù)形結(jié)合思想不變，微分中值定理在證

明題中作用很大，構(gòu)造函數(shù)也很重要如

1.求證x＞1時，e的x次方大于x.e，構(gòu)造F（x）＝e∧x－ex.求導(dǎo)即可，2.已知函數(shù)f（x）在0≦x≦1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）＝0.求證在（0，1）內(nèi)

至少有一點a使af（a）＋f（a）＝0

注意到這個式子導(dǎo)數(shù)于變量乘積，于是構(gòu)造F（x）＝xf（x）.又∵F（1）＝F（0）＝0.則必有F＇＇（?）＝0即求導(dǎo)后可證。

高階導(dǎo)數(shù)的計算是個技巧，尤其在參數(shù)函數(shù)和隱函數(shù)結(jié)合上，對于一般的高階可以結(jié)合洛必達(dá)法則，參數(shù)函數(shù)與隱函數(shù)則復(fù)雜些，這也引出了對數(shù)求導(dǎo)法，很好用，但也有限制他，那些復(fù)雜多因式可以很好解決，特別指出二階求導(dǎo)的應(yīng)用，對于函數(shù)單調(diào)性與極值和凹凸性的運用其很大作用，記得高中常有題目一階導(dǎo)數(shù)是解不出函數(shù)在某個范圍內(nèi)的單調(diào)性的，借助二階導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)本身才能得出答案，與此不得不提的泰勒公式，給人很大的數(shù)學(xué)沖擊，解決所有函數(shù)式的差量與具體讓人可以想更多的統(tǒng)計與得出規(guī)律性結(jié)論，看懂還是不容易的，畢竟我們都遠(yuǎn)比上那個天才，最優(yōu)化問題很實用，自然可以產(chǎn)生一定的經(jīng)濟效益，修路打藥甚至是公司的前景應(yīng)用都很重要，在最小值計算中導(dǎo)數(shù)有時和多項均值定理有異曲同工之效，但項數(shù)改變運用均值定理一般要比導(dǎo)數(shù)簡單 積

分是在最近我發(fā)現(xiàn)大家普遍頭疼的一章，不管是哪個學(xué)校的同學(xué)都發(fā)表說忙于計算積分掌握技巧包括我在內(nèi)，的確是考驗勤奮度與思維靈活度的一章知識，我決定必要的公式一定要記這樣就不必做一道翻一下書了，

第五篇：微積分教案

微積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用

微分模型

一、光纖收費標(biāo)準(zhǔn)模型

某地有多家有線電視公司。有線電視公司A的光纖收費標(biāo)準(zhǔn)為14元/（月。戶），目前它擁有5萬個用戶。某位投資顧問預(yù)測，若公司每月降低1元的光纖收費，則可以增加5000個新用戶。1）請根據(jù)這一預(yù)測，為公司制定收費標(biāo)準(zhǔn)，以獲得最大收益

2）如果公司每月每戶降低一元的光纖收費，只增加1000個新用戶，問該如何制定收費標(biāo)準(zhǔn)？

一、模型假設(shè)與符號說明

1、假設(shè)該地的用戶數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5萬

2、假設(shè)只考慮公司降價而不考慮提價的情況

3、若公司每月每戶降低1元的光纖收費，可增加a個新用戶，公司每月每戶降低x的光纖收費，公司的月收益為P(x)。

二、模型建立

P(x)?每月每戶交納的費用?總用戶數(shù)，即

P(x)=(14-x)(50000+ax)=700000+(14a-50000)x-ax

三、模型求解

（1）當(dāng)a?5000時，P(x)=700000+20000x-5000x，求導(dǎo)得

P'(x)=20000-10000x

令P(x)?0，得駐點x?2。

根據(jù)實際問題的分析知道：當(dāng)公司定價為12元時，公司擁有60000用戶，此時公司每月的最大收益為72萬元。

（2）1）當(dāng)a?1000時，p(x)?700000?36000x?1000x，求導(dǎo)得

2'P'(x)=-36000-2000x

令P(x)?0，得駐點x??18。

根據(jù)實際問題知：x?0，故與實際情況不吻合

二、存貯模型

（一）不允許缺貨的存貯模型 1.問題的提出 存貯問題廣泛存在于工廠的原材料貯備，商店的商品貯備、水庫蓄水等現(xiàn)實問題'中．這里的關(guān)鍵是存貯量的大小，存貯量過大則需付出過高的存貯費用；存貯量不足又可能導(dǎo)致不能滿足需求從而造成損失．因此，確定一個最優(yōu)的貯存策略是具有重要意義的． 2.模型的構(gòu)建

下面假定需求量是確定的，并且不允許缺貨現(xiàn)象出現(xiàn)，如鋼廠訂購廢鋼供煉鋼就是這種情況，因為鋼生產(chǎn)對原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料將造成巨大的損失． 在不允許缺貨的情況下我們可以考慮兩種費用：訂貨時需付的一次性訂貨費，貨物的貯存費．建立模型的目的是在單位時間的需求量為常數(shù)的情況下制定最優(yōu)存貯策略，即多長時間訂一次貨，每次訂多少貨，使總費用最小．

模型假設(shè)：（1）每天貨物需求量為r噸．

（2）每隔T天訂一次貨（稱T為訂貨周期），訂貨量是Q噸，當(dāng)貯存量降到零時新一批訂貨恰好到達(dá)．（3）每次訂貨費為C1（與訂貨量無關(guān)，也與貨物本身的價格無關(guān)），每天每噸貨物貯存費為C2． 模型建立：訂貨周期T、訂貨量Q與每天需求量r之間應(yīng)滿足關(guān)系 Q?rT ．

訂貨后貯存量由Q均勻地下降，設(shè)任意時刻的貯存量為q(t)，則q(t)是t的線性遞減函數(shù)，其變化規(guī)律如圖10－1． 考慮一個訂貨周期的總費用C(T)：訂貨費C1與貯存費．

__貯存費＝每天每噸貨物的貯存費?平均每天的存貯噸數(shù)?天數(shù) ＝C2?Q?0?T 2

圖10－1

＝于是得

1C2QT．

21C(T)＝C1?C2QT，2__1C(T)＝C1?C2rT2．

2__

（2）

顯然，不能以一個周期內(nèi)的費用為目標(biāo)函數(shù)，這樣會導(dǎo)致訂貨周期越短越省錢的錯誤結(jié)論，而應(yīng)以每天的平均費用（記作C(T))為目標(biāo)函數(shù)，于是

C(T)? C(T)C11＝?C2rT． TT2__

（3）

制定最優(yōu)存貯策略歸結(jié)為求訂貨周期T使C(T)最?。? 3.模型求解 利用微分法，令

?C1dC(T)?0，得21?C2r?0，2dTT解得 最佳進(jìn)貨周期

T?2C1． rC（4）

將Q?rT代入上式得最佳進(jìn)貨量

Q?2C1r．

C2

（5）

式（8）就是經(jīng)濟理論中著名的經(jīng)濟訂貨批量公式． 4.模型應(yīng)用

訂貨批量公式（5）表明，訂貨費C1越高，需求量越大，則訂貨批量Q應(yīng)越大；貯存費C2越高，則訂貨批量Q應(yīng)越?。@些結(jié)論都可以由常識得到，不過公式在定量上表明的平方根關(guān)系卻是憑常識無法得到的．

例 1 一鞋店平均每天賣出110雙鞋，批發(fā)手續(xù)為每次200元，每雙鞋每儲存一天的費用為0.01元，該商店多少天進(jìn)一次貨最好，進(jìn)貨量為多少？

解 本題中r=110，C1?200,C2?0.01.于是得最佳進(jìn)貨量 Q?最佳進(jìn)貨天數(shù) 2C1r?C22?200?110?2098?雙?，0.01T= Q2098??20?天?r110即20天進(jìn)貨2098雙最好?

（二）允許缺貨的存貯模型.問題的提出 考察一個商店經(jīng)理制定最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂貨批量時碰到的問題．設(shè)市場對某種商品的需求是確定的和已知的，市場對某種商品的需求仍為每天r噸，但允許缺貨．缺貨時因失去銷售機會而使利潤減少，減少的利潤可以視為因缺貨而付出的費用，稱缺貨損失費．于是這個模型的第（1）、第（3）條假設(shè)與不允許缺貨時相同，而第（2）條改為(2)?每隔T天訂貨Q噸，允許缺貨，每天每噸貨物的缺貨損失費為C3．

2.模型的構(gòu)建

缺貨時貯存量q(t)視作負(fù)值，則q(t)的圖形

如圖10－2．貨物在t?T1時售完，但每天需求量仍為r，在?T1,T?這段時間內(nèi)缺貨，可視存貯量q(t)為負(fù)值，于

是在t?T時下一次訂貨量Q一次到達(dá)，且Q?rT1．

圖10－2 一個訂貨周期內(nèi)總費用C：訂貨費C1，貯存費C2__?T10q(t)dt，缺貨損失費．

貯存費?每天每噸貨物的存貯費?從第一天到第T1天總共存貯的貨物噸數(shù)的和

＝C2?T10q(t)dt?C2?Q(1?0T1t1)dt?C2QT1． T12tdt(T1?T)T1 缺貨損失費＝C3 ＝C3＝?TT1q(t)dt＝C3?Q(1?T1T ?TT1(rT1?rtdt(Q?rT1)

1C3r(T?T1)2． 2于是一個周期內(nèi)的總費用為： 11C?C1?C2QT1?C3r(T?T1)2．

22__ 3 模型的求解

模型的目標(biāo)函數(shù)仍為每天的平均費用C(T,Q)，將T1?__Q代入上式，得 r

C(T,Q)＝

CC11??C1?C2Q2?3(rT?Q)2TT2r2r?，求T、Q使得C(T,Q)最?。?/p>

先求出二元函數(shù)C(T,Q)關(guān)于T、Q的偏導(dǎo)數(shù)

?C?C． ,?T?Q 然后令?C?C?0,?0，?T?Q最后解出最優(yōu)值T與Q，即得 最佳進(jìn)貨周期 **T*?2C1(C2?C3)，rC2C（6）

最佳進(jìn)貨批量

Q*? 4.模型的應(yīng)用 2rC1C3

C2(C2?C3)

（7）

式（6）、（7）表明，缺貨損失費C3越大，訂貨周期應(yīng)越短，訂貨批量越大．當(dāng)C3很大（即缺貨損失變得很大）時，C3??，有

C2?C3C?1?2?1，則允許缺貨的最佳周期和最佳批量與不允C3C3許缺貨的最佳定貨周期和最佳批量有如下關(guān)系 T*?2C1(C2?C3)?rC2C32C1*，Q?rC22rC1C32rC1． ?C2(C2?C3)C2允許缺貨的情形又回到了不允許缺貨的情形，顯然這是符合實際的．

例2 有一酒類批發(fā)商，以每天150瓶的速度供應(yīng)零售商，存儲費用為每天每瓶0.05元，根據(jù)合同如缺貨，每瓶每天必須向零售商賠償0.2元。若批發(fā)商一次的費用為300元，試確定批發(fā)商的最佳批發(fā)周期、進(jìn)貨量。

解 因 r?150,C2?0.05,C3?0.2,C1?300,于是得最佳批發(fā)周期為

T?最佳進(jìn)貨量

Q?

三、生豬的出售時機 1．問題

飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低 0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。

??2C1?C2?C3?rC2C3?2?300?(0.05?0.2)?10?天?，150?0.05?0.22rC1C32?150?300?0.2??1200?瓶?，C2?C2?C3?0.05?(0.05?0.2)2．分析

投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大建模及求解

估計r=2 g=0.1若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元），t 天出售，生豬體重 w=80+rt 銷售收入 R=pw 出售價格 p=8-gt 資金投入 C=4t 利潤 Q=R-C=pw –C Q(t)?(8?gt)(80?rt)?4t

求 t 使Q(t)最大 t?4r?40g?2=10 rgQ(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利潤20元

四、森林救火

當(dāng)森林失火時，消防站應(yīng)派多少消防隊員去滅火呢？派的隊員越多，火災(zāi)損失越小，但救援開支越大.如何確定滅火隊員的人數(shù)，才能使總費用（火災(zāi)損失+救援開支）最?。?/p>

解 1．問題分析

（1）火災(zāi)損失與森林被燒面積有關(guān)，而被燒面積又與從起火到火滅的時間有關(guān)，而這時間又與消防隊員人數(shù)有關(guān).（2）救援開支由兩部分構(gòu)成：①滅火劑的消耗與消防隊員酬金（與人數(shù)和時間有關(guān)）；②運輸費（與人數(shù)有關(guān)）.（3）在無風(fēng)的情況下，可認(rèn)為火勢以失火點為圓心，均勻向四周蔓延.半徑與時間成正比，從而被燒面積應(yīng)與時間的平方成正比.2．模型假設(shè)

（1）火災(zāi)損失與森林被燒面積成正比

記開始失火的時刻為t?0，開始滅火的時刻為t?t1，火被完全撲滅的時刻為t?t2.設(shè)在時刻t森林被燒面積為B?t?，C1表示單位面積被燒的損失，則總損失為C1B(t2).（2）被燒面積與時間關(guān)系

dBdBdB表示單位時間被燒面積(燃燒速度：m2/min),當(dāng)t＝0與t?t2時為零，當(dāng)t?t1時最dtdtdtdBdB|t?t1?b.由前面分析，B?t?與t2成正比,故不妨設(shè)在區(qū)間[0,t1]與[t1,t2]上，大，記 都是t的dtdt線性函數(shù).在[0,t1]上，斜率為??0，?稱為火勢蔓延速度,在[t1,t2] 上,斜率為???x?0,其中x為消防隊員人數(shù).?為隊員的平均滅火速度.（3）救援開支

設(shè)x為消防隊員人數(shù)，滅火劑消耗與消防隊員酬金每單位時間的費用為C2, 運輸費平均每人費用為C3, 則救援開支為C3x?C2x(t2?t1).3．模型建立與求解

圖14-3 由假設(shè)2，dBdt與t的關(guān)系如圖14-3所示.利用定積分的牛頓-萊布尼茲公式，大面積為

B(tt2dB2)?B(tdt＝?OMN面積＝bt22)?B(0)??0dt2 ∴總費用 C?12C1bt2?C2x(t2?t1)?C3x.此式中t2與x是變量，其余為常數(shù).但t2與x是密切相關(guān)的，由圖可知

b??tb1,t??x??, t?b2?t1?x?? 2?t1從而，總費用可化為一元函數(shù)：

??C2Cx?12C1bt1?1b2??x????C2bx?x???C3x dC2令 ?0，解得唯一駐點 x?1C1?b?2C2?bdx?2C??.3?駐點就是最小值點.4．模型評價

森林被被燒的最 從結(jié)果看，x>??，這表示為了能把火撲滅，派出的消防隊員人數(shù)要大，這保證?-?x?0，使??1燃燒速度趨于零.而x的第一項 ?C1?b2?2C2?b是綜合考慮了各種因素,使總費用最低.2C3積分模型

一、捕魚成本模型 1.問題的提出

在魚塘中捕魚時，魚越少捕魚越困難，捕撈的成本也就越高，一般可以假設(shè)每公斤魚的捕撈成本與當(dāng)時池塘中的魚量成反比。

假設(shè)當(dāng)魚塘中有x公斤魚時，每公斤的捕撈成本是從魚塘中捕撈6000公斤魚需花費多少成本？

2.模型的構(gòu)成與求解

根據(jù)題意，當(dāng)塘中魚量為x公斤時，捕撈成本函數(shù)為 C(x)?2000元。已知魚塘中現(xiàn)有魚10000公斤，問

10?x2000(x?0).10?x假設(shè)塘中現(xiàn)有魚量為A公斤，需要捕撈的魚量為T公斤。當(dāng)我們已經(jīng)捕撈了x公斤魚之后，塘中所剩的魚量為A?x公斤，此時再捕撈?x公斤魚所需的成本為

?C?C(A?x)?x?因此，捕撈T公斤魚所需成本為

2000?x.10?(A?x)C??T0200010?A?Tdx??2000ln[10?(A?x)]x?2000ln(元)x?010?(A?x)10?(A?T)將已知數(shù)據(jù)A?10000kg,T?6000kg代入，可計算出總捕撈成本為 C?2000ln10010?1829.59(元)4010順便可以計算出每公斤魚的平均捕撈成本 C?

二、投資決策模型

某公司投資1860萬元建成一條生產(chǎn)線．投產(chǎn)后，其追加成本和追加收入（分別是成本函數(shù)和收入?1829.59?0.30元

6000函數(shù)對時間t的變化率，類似于邊際函數(shù)概念）分別為G(t)?5?2t（百萬元/年），?(t)?17?t（百萬元/年）．試確定該生產(chǎn)線使用多長時間停產(chǎn)則可使公司獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解

容易看出，追加成本G(t)是單調(diào)增加函數(shù)而追加收入?(t)是單調(diào)遞減函數(shù)，這說明生產(chǎn)費用在逐年增加，而生產(chǎn)收入在逐年減少，二者之差即為生產(chǎn)利潤隨時間的變化率：

2323?(t)?G(t)?(17?t)?(5?2t)?12?3t．

232323與邊際成本和邊際收入的關(guān)系相同，生產(chǎn)利潤最大值存在的必要條件是?(t)?G(t)．解方程得t?8，由于生產(chǎn)利潤對時間的導(dǎo)數(shù)為

??(t)?G(t)?8???2t?13?0，23所以，t?8是生產(chǎn)利潤的最大值點．這樣，生產(chǎn)利潤的最大值為

???(t)?G(t)?dt?18.6??(12?3t008)dt?18.6?38.4?18.6?19.8(百萬元)．