知識(shí)能力層次
一、填空（每題2分）
１．設(shè)方程組有非零解，則
。
2．線(xiàn)性方程組有非零解，則 。
3．方程組有無(wú)窮多解，則
。
4．非齊次線(xiàn)性方程組（為矩陣）有惟一解的的充分必要條件是
____________。
5．設(shè)是階方陣,是齊次線(xiàn)性方程組的兩個(gè)不同的解向量,
則
。
6．設(shè)為三階方陣，秩，是線(xiàn)性方程組的解，已知
，則線(xiàn)性方程組的通解為
。
7．三元線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的秩，已知該方程組的兩個(gè)解分別
為
，，則的全部解可表為
。
8．設(shè)，欲使線(xiàn)性齊次方程組的基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量，
則=
。
9．當(dāng)
時(shí)，線(xiàn)性方程組無(wú)解。
10．方程組=的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)是___
_1______。
11．若5元線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，
則
3
。
12．設(shè)線(xiàn)性方程組有解，則應(yīng)滿(mǎn)足條件。
13．設(shè)齊次線(xiàn)性方程組為，則它的基礎(chǔ)解系中所包含的向量個(gè)數(shù)為
n-1 。
14．設(shè)是非齊次線(xiàn)性方程組的解向量，則是方程組 的
解向量．
15．設(shè)為非齊次線(xiàn)性方程組的一組解，如果也是該方程組的一個(gè)解，則 ?。薄 ?。
16．設(shè)矩陣，則齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為。
17．若方程組有惟一解，則所滿(mǎn)足的條件是。
18．設(shè)n元齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系中線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量個(gè)數(shù)是n，則為
零矩陣
。
19．設(shè)是階矩陣，如果，則任何 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的n維向量 都是
的基礎(chǔ)解系。
20．設(shè)n階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為n-1，則線(xiàn)性方程組的通解為
。
二、單項(xiàng)選擇填空題（每題2分）
1．線(xiàn)性方程組
（
A
）
A.
無(wú)解
B.
只有0解
C.
有惟一解
D.
有無(wú)窮多解
2．設(shè)方程組，
當(dāng)=（
B
）時(shí)，方程組有非零解。
A.0
B.
±1
C.
2
D.
任意實(shí)數(shù)
3．已知非齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為0，則
（
D
）
A．方程組有無(wú)窮多解
B.
方程組無(wú)解
C.
方程組有惟一解或無(wú)窮多解
D.
方程組可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多解
4.
若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則的值為（
C ?。?/p>
A．
B．
C．
D．
5．當(dāng)（
C
）時(shí)，僅有零解。
A．
B．
C．
D．
6．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)
B．的行向量組線(xiàn)性相關(guān)
C．的列向量組線(xiàn)性相關(guān)
D．的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)
7．設(shè)A為m×n矩陣，且非齊次線(xiàn)性方程組有惟一解，則必有（ C ?。?/p>
A．m=n B．r
(A)=
m C．r
(A)=n
D．r
(A)<
n
8．若方程組存在基礎(chǔ)解系，則λ等于 ?。ā 。摹 。?/p>
A．2 B．3 C．4
D．5
9.
設(shè)矩陣，，則非齊次線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
10．若，則元線(xiàn)性方程組 ?。?/p>
D
）
A．有無(wú)窮多解
B．有唯一解
C．無(wú)解
D．不一定
11.
設(shè)齊次線(xiàn)性方程組是非齊次線(xiàn)性方程組的導(dǎo)出組，，是
的解，則下列正確的是
（
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
12．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)
B．的行向量組線(xiàn)性相關(guān)
C．的列向量組線(xiàn)性相關(guān)
D．的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)
13．設(shè)齊次線(xiàn)性方程組是非齊次線(xiàn)性方程組的導(dǎo)出組，
，是的解，則下列正確的是 ?。?/p>
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
14．已知非齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為0，則
(
D
)
A．方程組有無(wú)窮多解
B．
方程組無(wú)解
C．方程組有唯一解或無(wú)窮多解
D．方程組可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多解
15．是n元線(xiàn)性方程組有惟一解的 ?。ā 。谩 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無(wú)關(guān)條件
16．已知線(xiàn)性方程組無(wú)解，則 ?。ā 。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
17．為矩陣，是非齊次線(xiàn)性方程組的導(dǎo)出組，則下列結(jié)論正確
的是 （
A
）
A．有無(wú)窮多解，則有非零解
B．有無(wú)窮多解，則僅有零解
C．僅有零解，則有唯一解
D．有非零解，則有無(wú)窮多解
18．設(shè)為矩陣，有解，則 ?。ā 。隆 。?/p>
A．當(dāng)有惟一解時(shí)，
B．當(dāng)有惟一解時(shí)，
C．當(dāng)有無(wú)窮解時(shí),只有零解
D.當(dāng)有無(wú)窮解時(shí)，
19．線(xiàn)性方程組
有解的充分必要條件是 ?。ā 。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
20．齊次線(xiàn)性方程組，（
Ｃ
）是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
A.
B.
C.
D.
三、判斷題（每題2分）
1．若是的解，則也是它的解。
（
是
）
2．若是齊次線(xiàn)性方程組的解向量的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則
是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
（
是
）
3．若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則線(xiàn)性方程組就一定有解。（
否
）
4．若有無(wú)窮多組解，則有非零解。
（
是
）
5．n線(xiàn)性非齊次方程組只要其系數(shù)矩陣的A秩,就一定有無(wú)窮多組解。
（
否
）
6．齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系不是惟一的。
7．是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（
是
）
8．方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量。
（
是
）
9．線(xiàn)性方程組在時(shí)，是有解的。
（
是
）
10．任何齊次線(xiàn)性方程組都有基礎(chǔ)解系。
（
否
）
11．是方程組的一般解。
（
是
）
12．方程組的一般解可表示為。
（
否
）
13．時(shí)，方程組有解。
（
否
）
14．與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系。
（
是
）
15．若是一個(gè)線(xiàn)性方程組的解，那么
（其中）也是它的一個(gè)解。
（
是
）
16．方程組有非零解。
（
否
）
17．方程組與方程組是同解的方程組。
（
是
）
18．用初等變換解，可以對(duì)實(shí)行列等行變換。
（
否
）
19．若是的解，是的解，則是的解。
（
否
）
20．給定方程組，當(dāng)時(shí)，方程組有解。
（
否
）
理解能力層次
一、填空（每題2分）
1．已知方程組有無(wú)窮多解，則
-1
或3
。
2．設(shè)是的解向量，是其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則必線(xiàn)性 無(wú)關(guān) 。
3.
設(shè)四階方陣且，則方程組的
一個(gè)解向量為
。
4.
設(shè)方程組有解，則其增廣矩陣的行列式=
0
。
5．設(shè)，且方程組的解空間的維數(shù)為2，則 1 。
6．設(shè)為n階方陣，方程組有非零解，則必有一個(gè)特征值等于
０
。
7．設(shè)，B是三階矩陣，且，若，則
4
。
8．設(shè)為矩陣，，為是矩陣，的列向量是的解，則的最大數(shù)為 3 。
9．若齊次線(xiàn)性方程組中的系數(shù)矩陣的秩，且的代數(shù)余子式，則該方程組的通解可以表示為。
10．已知四元非齊次線(xiàn)性方程組，是它的三個(gè)解向量，且
，則齊次線(xiàn)性方程組的通解為
_____________。
11．齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則應(yīng)滿(mǎn)足條件。
12．已知四元線(xiàn)性方程組的三個(gè)解為，且
，，則方程組的通解是
。
13．已知線(xiàn)性方程組的兩個(gè)解為
則該方程組的全部解為
。
14．設(shè)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系中含有三個(gè)解向量，其中矩陣，則
2
。
15．設(shè)四元非齊次線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，且，
，其中是它的的三個(gè)解向量，則方程組的通解為
。
16．設(shè)，，則齊次線(xiàn)性方程組的解空間的一組基為
。
17．已知是非齊次線(xiàn)性方程組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，矩陣，且，若是方程組的通解，則常數(shù)須滿(mǎn)足關(guān)系式
。
18．設(shè)是實(shí)正交矩陣，且，則線(xiàn)性方程組的解是
。
19．設(shè)矩陣，其中
則線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)是
n-1
。
20．設(shè)為階方陣，若齊次線(xiàn)性方程組只有零解，則的解是
只有零解
。
21．設(shè)任意一個(gè)維向量都是方程組的解，則
0
。
22．設(shè)非齊次線(xiàn)性方程組有兩個(gè)解，，則該方程組的通解為
。
23．已知齊次線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解，則
-5或-6
。24．若線(xiàn)性方程組
無(wú)解，則常數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是 .
25．3元非齊次線(xiàn)性方程組有3個(gè)解為，，，則系數(shù)矩陣=
。
26．若向量，都是線(xiàn)性方程組的解，則系數(shù)矩陣
=
。
27．方程組有解的充分必要條件為
。
28．設(shè)元非齊次線(xiàn)性方程組有解，其中為階矩陣，則
0
。
29.
已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線(xiàn)性方程組的通解為
是的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組
。
30.
設(shè)，，，
其中，則線(xiàn)性方程組的解是。
二、單項(xiàng)選擇填空題（每題2分）
1．齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是
（
C
）
A．的任意兩個(gè)列向量線(xiàn)性相關(guān)
B．的任意兩個(gè)列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)
C．中必有一列向量是其余列向量的線(xiàn)性組合
D．中任一列向量是其余列向量的線(xiàn)性組合
2．設(shè)矩陣，且，則線(xiàn)性方程組
（
D
）
A．可能無(wú)解；
B．一定無(wú)解；
C．可能有解；
D．一定有解
3．當(dāng)
=（ Ａ ）時(shí)，方程組無(wú)解
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4．為矩陣，秩(A)
=，下列結(jié)論正確的是 ?。ā 。隆 。?/p>
A．齊次線(xiàn)性方程組僅有零解
B．非齊次線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解
C．中任一個(gè)階子式均不等于零
D．中任意個(gè)列向量必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
5．是個(gè)m方程n個(gè)未知量的齊次線(xiàn)性方程組有非零解的 ?。ā 。隆 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無(wú)關(guān)條件
6．設(shè)為矩陣，則齊次線(xiàn)性方程組有結(jié)論 ?。ā 。谩 。?/p>
A．時(shí)，方程組僅有零解
B．時(shí)，方程組有非零解，且基礎(chǔ)解系含個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量
C．若有n階子式不為零，則方程組僅有零解
D．若中所有n
-
1階子式不為零，則方程組僅有零解
7．n元線(xiàn)性方程組有惟一解的充分必要條件是 ?。ā 。摹 。?/p>
A．導(dǎo)出組僅有零解
B．為方陣，且時(shí)，
C.
D．的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且可由的列向量線(xiàn)性表示
8．設(shè)為矩陣，，則方程組
(
A
)
A.
當(dāng)時(shí)，有解
B.
當(dāng)時(shí)，有惟一解
C.
當(dāng)時(shí)，有惟一解
D.
當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)解
9．設(shè)為矩陣，且，若的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則
（
A
）
A、方程組有無(wú)窮多解
B、方程組有唯一解
C、方程組無(wú)解
D、方程組僅有零解
10.
設(shè)矩陣，且，則線(xiàn)性方程組
（
D
）
A．可能無(wú)解；
B．一定無(wú)解；
C．可能有解；
D．一定有解
11．若線(xiàn)性方程組有惟一解，則的值為 ?。?/p>
D
）
A．
B．
C．
D．異于與的數(shù)
12.設(shè)是四元非齊次線(xiàn)性方程組的三個(gè)解向量，且，，(C為任常數(shù))，則線(xiàn)性方程組的通
解是
(
C
)
A.
B.
C.
D.
13．設(shè)矩陣，齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式，則這個(gè)方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)都是
（
A
）
A．
B．
C．
D．
14.設(shè)向量組中是齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則向量組
(
D
)
也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系
A.
B.
C.
D.
15．設(shè)為矩陣，
，是非齊次方程組的三個(gè)不同的解，則正確的結(jié)論是
(
D
)
A.
線(xiàn)性相關(guān)
B.
是的基礎(chǔ)解系
C.
的任何線(xiàn)性組合是的解
D.
當(dāng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)，則是的通解,,其中是滿(mǎn)足的任何數(shù)
16．要使都是線(xiàn)性方程組的解，只要系數(shù)矩陣A為
(
B
)
A.
B.
C.
D.
17．設(shè)為矩陣，若有解，是其兩個(gè)特解，的基礎(chǔ)解系是，則
(
B
)
A.
的通解是
B.
的通解是
C.
的通解是
D.
的通解是
上述四項(xiàng)中均為任意常數(shù)
18．已知是齊次方程的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系也可以是 (
B
)
A．
B．
C．
D．
19．齊次線(xiàn)性方程組
的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則
(
C
)
A．
B．
C．
D．
20．已知，，，
，則齊次線(xiàn)性方程組
的通解為
（
Ｂ
）
A．
B．
C．
D．
三、判斷題（每題2分）
1．齊次線(xiàn)性方程組只有零解，則應(yīng)滿(mǎn)足的條件是。（
否
）
2．若非齊次線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣的秩小于n，則方程組有無(wú)窮多解。（
否
）
3．設(shè)為n階方陣，且，是的兩個(gè)不同的解向量，則的通解為。 ?。?/p>
否
）
4．設(shè)齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式
，則這個(gè)方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)都是1。
（
是
）
5．設(shè)為矩陣，若非齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則時(shí)，
方程組有解。
（
是
）
6．設(shè)A，B都是n階非零矩陣，且，則的秩都小于n。
（
是
）
7．設(shè)A為n階奇導(dǎo)方陣，A中有一個(gè)元素的代數(shù)余子式，則齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為n
?！ 。?/p>
否
）
8．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
（
否
）
9．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
（
是
）
10．設(shè)為階方陣，，且是的三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，則是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 ?。?/p>
是
）
11．設(shè)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的n維列向量，，則非齊次線(xiàn)性方程組有惟一解?！ 。?/p>
是
）
12．設(shè)是的基礎(chǔ)解系，則為的通解。
（
否
）
13．已知為非齊次線(xiàn)性方程組的兩個(gè)不同的解，為對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，則（其中）是
的通解?！ 。?/p>
是
）
14．設(shè)4階方陣的秩是3，且每行元素的和為零，則方程組的基礎(chǔ)解系為
?！ 。?/p>
是
）
15．設(shè)為的基礎(chǔ)解系，為一n維列向量，若，則可由線(xiàn)性表示?！ 。?/p>
是
）
16．給定方程組，則對(duì)任意的，方程組均有解，且有無(wú)窮多解?！ 。?/p>
是
）
17．設(shè)為矩陣，為維列向量，則當(dāng)方程組有解時(shí)，加入一個(gè)方程
后方程組也有解。 ?。?/p>
否
）
18．設(shè)為矩陣，為維列向量，則當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)，加入一個(gè)方程
后方程組也無(wú)解。 ?。?/p>
是
）
19．設(shè)線(xiàn)性方程組，當(dāng)時(shí)，方程組僅有零解。
（
否
）
20．設(shè)為矩陣，非齊次線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣的秩，則方程組有解?！ 。?/p>
是
）
簡(jiǎn)單應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題5分）
1．求線(xiàn)性方程組
的一般解．
解：
因?yàn)橄禂?shù)矩陣
……3分
所以一般解為：，
其中，是自由未知量。
…….……5分
2．求線(xiàn)性方程組的一般解。
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
…………3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）。
…………5分
3．當(dāng)取何值時(shí)，線(xiàn)性方程組有非零解？并求一般解．
解：
因?yàn)樵鰪V矩陣
………3分
所以當(dāng)=
-2時(shí)，線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解，且一般解為：
是自由未知量)
…………5
4．當(dāng)取何值時(shí)，線(xiàn)性方程組
有解？并求一般解．
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
……3分
當(dāng)=3時(shí)，線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解，且一般解為：
是自由未知量)。
…………5分
5．求線(xiàn)性方程組的一般解。
解：
因?yàn)橄禂?shù)矩陣
……3分
所以一般解為
（其中，是自由未知量）。
.......................……5分
6．設(shè)齊次線(xiàn)性方程組
問(wèn)取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解.
解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣
A
=
……3分
所以當(dāng)l
=
5時(shí)，方程組有非零解.
且一般解為：
（其中是自由未知量）。
.......................……5分
7．設(shè)線(xiàn)性方程組
，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.
解
因?yàn)?/p>
.......................……3分
所以
r(A)
=
2，r()
=
3.
又因?yàn)閞(A)
<
r()，所以方程組無(wú)解。
.......................……5分
8．求下列線(xiàn)性方程組的一般解。
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
.......................……3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）
.......................……5分
9．設(shè)線(xiàn)性方程組討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程組無(wú)解，有惟一解，有無(wú)窮多解。
.......................……3分
所以當(dāng)且時(shí)，方程組無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；
當(dāng)且時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。.
......................……5分
10．當(dāng)取何值時(shí)，線(xiàn)性方程組
有解？并求一般解.
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
................…3分
所以當(dāng)=0時(shí)，線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解，且一般解為：
是自由未知量〕。
......................……5分
11．已知線(xiàn)性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為
問(wèn)取何值時(shí)，方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組的一般解。
解：當(dāng)=3時(shí)，，方程組有解.
當(dāng)=3時(shí)，..............…3分
一般解為，
其中,
為自由未知量。
.....................……5分
12．當(dāng)為何值時(shí)，方程組有解，并求其通解。
解：
..............…3分
當(dāng)，同解方程組為令，
令
....................……5分
13.
設(shè)線(xiàn)性方程組為，問(wèn)：、取何值時(shí)，方程組無(wú)解、
有惟一解、有無(wú)窮多解？
在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。
解：
..............…2分
當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解
當(dāng)，時(shí)，方程組無(wú)解
當(dāng)，時(shí)，=＝2<3，方程組有無(wú)窮多組解,
其通解為，為任意常數(shù)。
....................……5分
14.線(xiàn)性方程組為
，問(wèn),各取何值時(shí)，線(xiàn)性方程組無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。
解：
..............…3分
當(dāng)2時(shí)，方程組有唯一解
當(dāng)2，1時(shí)，方程組無(wú)解
當(dāng)2，1時(shí)，＝2<3，方程組有無(wú)窮多組解,其通解為
(為任意常數(shù))。
....................……5分
15．已知是齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)解，試求方程組的一個(gè)包含的基礎(chǔ)解系。
解：，，..............…2分
令，得方程組的兩個(gè)解為：，，
從而所求基礎(chǔ)解系即為和。
..............…5分
16．求解線(xiàn)性方程組。
解
：將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即
， ..............…3分
因?yàn)?/p>
，r(`A)
=
r(A)
=
3，所以，方程組有解．
一般解為:
(x4是自由未知量)。
..............…5分
17．設(shè)線(xiàn)性方程組
試問(wèn)c為何值時(shí)，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。
解：因?yàn)?/p>
..............…2分
所以當(dāng)c
=
0時(shí)，方程組有解．且
..............…3分
所以，原方程組的一般解為：
（x3是自由未知量）。
..............…5分
18．試討論a取什么值時(shí)，線(xiàn)性方程組有解，并求出解。
解：
..............…3分
當(dāng)時(shí)，方程組有解，解為
..............…5分
19．試討論a取什么值時(shí)，線(xiàn)性方程組有解，并求出解。
..............…3分
當(dāng)時(shí)，方程組有解，解為
..............…5分
20．設(shè)為４階矩陣，且，試問(wèn)的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)。
解：，，又因?yàn)椋措A矩陣，故中至少有一個(gè)３階子式不為０，則中至少有一個(gè)非零元素，則，
..............…2分
又，所以，
..............…4分
從而有，故的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為4-1=3個(gè)。..............…5分
二、證明題（每題5分）
1.
設(shè)是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：也是
的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
證明：是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，都是的解，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而都是的解，…………….2分
設(shè)
即
由線(xiàn)性無(wú)關(guān)，得，，
僅有零解，
從而線(xiàn)性無(wú)關(guān)，
也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。…………….5分
2．證明方程組有解的充要條件是。
證明：……3分
方程組有解，即，即…………5分
3．設(shè)n階矩陣可逆，
證明：線(xiàn)性方程組
無(wú)解。
證明：線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣為，因?yàn)榫仃嚕裕?/p>
…………….2分
又因?yàn)樵摲匠探M的增廣矩陣為，而是可逆的，，
…………….4分
從而系數(shù)矩陣的秩<增廣矩陣的秩，所以非齊次線(xiàn)性方程組無(wú)解?！?5分
4．設(shè)實(shí)數(shù)域上的線(xiàn)性方程組，證明：
（1）如果，則方程組有惟一解；
（2）如果則方程組無(wú)解；
（3）如果則方程組有無(wú)窮多解。
證明：（1）令，，
因?yàn)?，，從而方程組有惟一解，由克萊姆法則得其解為：
；
（2），從而方程組無(wú)解；
（3），從而方程組有無(wú)窮多解?！?5分
5．
證明：含有n個(gè)未知量n+1個(gè)方程的線(xiàn)性方程組
若有解，則行列式
證明：易知方程組的系數(shù)矩陣為矩陣，所以，又因?yàn)樵摲驱R次線(xiàn)性方程組有解，所以必須滿(mǎn)足關(guān)系式：增廣矩陣的秩，而增廣矩陣為階方陣，且，。
………….5分
6．設(shè)是矩陣，是矩陣，證明線(xiàn)性方程組，當(dāng)時(shí)，必有非零解。
證明：是矩陣，是矩陣，且
，，
，由，得，
而是，所以當(dāng)時(shí)，必有非零解。
……………….5分
7．已知行列式，證明方程組無(wú)解。
證明：由題設(shè)知方程組的增廣矩陣的秩，
……………….2分
而系數(shù)矩陣是矩陣，，
……………….4分
故，方程組無(wú)解。
……………….5分
8．設(shè)是階矩陣，若存在正整數(shù)，使線(xiàn)性方程組有解向量，
且，證明：向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。
證明：設(shè)有常數(shù)，使得，
上式左乘，，得，………….3分
以此類(lèi)推，分別左第乘，得，
故向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
……………….5分
9．設(shè)是矩陣，，且有惟一解，證明：為可逆矩陣，且的解為。
證明：有惟一解，僅有零解，故，
即為可逆矩陣，
……………….3分
于是由，得，所以。
……………….5分
10．設(shè)是矩陣，且,若滿(mǎn)足,證明:。
證明：設(shè)，其中為維列向量，，
，故線(xiàn)性無(wú)關(guān)，
由于，即=，
……………….3分
所以，由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，
故，所以。
……………….5分
綜合應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題8分）
1.設(shè)線(xiàn)性方程組，
討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有惟一解？有無(wú)窮多解？（不必求解）
解：……5分
當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；
當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解
………….……8分
2.設(shè)線(xiàn)性方程組，
討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？（不必求解）
解：……5分
當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；
當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解
………….……8分
3.設(shè)線(xiàn)性方程組，
討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？（不必求解）
解：因?yàn)閷?duì)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
所以，當(dāng)時(shí)，，方程組有唯一解?！?.5分
而當(dāng)時(shí)，由上面的結(jié)果可知：
所以，當(dāng)且時(shí)，，方程組無(wú)解；
當(dāng)且時(shí)，，方程組有無(wú)窮多解?！?8分
4.
設(shè)線(xiàn)性方程組，
討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？（不必求解）
解：對(duì)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，
…………………
5分
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有唯一解；
當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?，所以方程組無(wú)解；
當(dāng)且時(shí)，因?yàn)椋苑匠探M有無(wú)窮多解?！?8分
5.
當(dāng)，為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組
有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解？（不必求出解）
解：對(duì)方程組系數(shù)的增廣矩陣施行初等行變換：
…….5分
由階梯形矩陣可見(jiàn)：
(1)當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)方程組有唯一解;
(2)當(dāng)且時(shí)，，，故此時(shí)方程組無(wú)解;
(3)當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)方程組有無(wú)窮多解.…….8分
6當(dāng)為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組
有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解？在有解時(shí)，求出方程的通解。
解：
設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換
=
…….…….4分
當(dāng)a=－3時(shí)，
方程組無(wú)解。
當(dāng)a－3且a2時(shí)，
方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為
，
則方程組的解為。
…….…….6分
當(dāng)a=2時(shí)，
方程組有無(wú)窮多個(gè)解。此時(shí)梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為
則方程組的解為 ?。╟為任意常數(shù)）?！ ?…….8分
7.
求線(xiàn)性方程組的全部解(用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).解：
….……5分
全部解為：…8分
8.
的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：5分
全部解為：
………8分
9．求線(xiàn)性方程組的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：對(duì)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換得：
，
…………………………5分
令自由未知量，，得方程組的一個(gè)特解：，
令分別?。海?，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：
；
所以，方程組的全部解為：
（其中、為任意常數(shù)）?！?分
10.
求線(xiàn)性方程組的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：對(duì)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，…………..5分
令自由未知量，，，得到一個(gè)特解
，
再取分別為，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：
，
所以方程組的全部解為
，（為任意常數(shù)）….8分
11.
用基礎(chǔ)解系表示線(xiàn)性方程組的全部解。
解：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為，對(duì)其增廣矩陣作初等變換，得：
………………..
5分
原方程組同解于，取得方程組一個(gè)特解。
導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣可化為，
導(dǎo)出組與方程組同解，
取，得基礎(chǔ)解系：。
故原方程組的全部解為:，（為任意系數(shù)）……..8分12．已知方程組(Ⅰ)
的解都是方程組
(Ⅱ)
的解，試確定。
解：=，
于是得方程組(Ⅰ)的全部解：
，…………..3分
將代入(Ⅱ)的導(dǎo)出組得，
將代入(Ⅱ)得，
解此四式得。
…………..8分
13．已知非齊次線(xiàn)性方程組
有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，
(1)證明此方程組的系數(shù)矩陣的秩為2.
(2)求的值和方程組的通解.
解:(1)
設(shè)a1,a2,a3是方程組的3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解,則a2-a1,a3-a1是的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.于是的基礎(chǔ)解系中解的個(gè)數(shù)不少于2,即,從而,
又因?yàn)榈男邢蛄渴莾蓛删€(xiàn)性無(wú)關(guān)的,所以,
兩個(gè)不等式說(shuō)明.
(2)對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換:
…………..3分
由,得出,代入后繼續(xù)作初等行變換:
…………..5分
得同解方程組,
得到方程組的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,
c1,c2為任常數(shù).
…………..8分
14．設(shè),.討論為何值時(shí),方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解?
并在有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解.
解：經(jīng)計(jì)算
因此方程組有唯一解
…..……..2分
時(shí)，對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因
，即時(shí)無(wú)解。
…..……..5分
時(shí)，同樣對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因，所以時(shí)有無(wú)窮多解。等價(jià)方程組為:
得通解為：，（為任意系數(shù)）
…..……..8分
15．已知線(xiàn)性方程組
，試討論：
(1)取何值時(shí)，方程組無(wú)解；
(2)取何值時(shí),方程有唯一解，并求出其解；
(3)取何值時(shí),方程有無(wú)窮多解，并求出其通解。
解：
(1)時(shí)，
，無(wú)解；
…..……..2分
(2)時(shí)，，唯一解
.……..5分
(3)時(shí)，，無(wú)窮多解,
通解。
…..……..8分
16．已知4階方陣均為4維列向量，其中線(xiàn)性無(wú)關(guān),如果,求方程組的通解。
解：令，則由
得，
將代入上式，整理后得，
由線(xiàn)性無(wú)關(guān)，知，
…..……..5分
解此方程組得，其中k為任意常數(shù)。
…..……..8分17．已知線(xiàn)性方程組解：，討論取何值時(shí)，方程無(wú)解；有惟一解；有無(wú)窮多解（不必求解）。
解：
…..……..4分
由于方程有解0，1，
故得時(shí)有惟一解；
時(shí)有無(wú)窮多解；
時(shí)無(wú)解。
…..……..8分
18．設(shè)線(xiàn)性方程組為：，試討論下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)取什么值時(shí)，線(xiàn)性方程組有唯一解？
（2）當(dāng)取什么值時(shí)，線(xiàn)性方程組無(wú)解？
（3）當(dāng)取什么值時(shí)，線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求其解．（要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解）。
解
：線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為
…..……..2
（1）當(dāng)，即且時(shí)，線(xiàn)性方程組有唯一解；
…..……..4分
（2）當(dāng)時(shí)，，線(xiàn)性方程組無(wú)解；….…..
6分
（3）當(dāng)時(shí)
線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解，且其通解為。
…..……..8分
19．設(shè)線(xiàn)性方程組，已知是該方程組的一個(gè)解，求方程組的全部解。
解：將代入方程組中得，
…..……..2分
…..……..4分
當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，此時(shí)
，
方程組的全部解為：（c為任常數(shù)），
…..……..6分
當(dāng)時(shí)，，于是，故方程組有無(wú)窮多解，
全部解為：。
…..……..8分
20．求一齊次線(xiàn)性方程組，使，構(gòu)成它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
解：顯然，所求的方程組是一個(gè)5元線(xiàn)性方程組，且，
另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程組的解，且該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為，故只要求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則以為系數(shù)矩陣的方程組即滿(mǎn)足要求，為此對(duì)矩陣施行初等行變換，得
，
…..…….
4分
由此得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：，
…..…….
6分
故所求的線(xiàn)性方程組為，即。
…..…….
8分
二、證明題（每題8分）
1．已知三階矩陣且的每一個(gè)列向量都是方程組的解，
求
(1)的值；(2)證明。
(1)解：由得中至少有一非零列向量，
的每一個(gè)列向量都是方程組的解，所給齊次方程組有非零解，則它的行列式
，。
………………..
4分
(2)證明：（反證法）若設(shè)，則可逆，因此由題意
與矛盾，所以。
………………..
8分
2．已知方程組，若互不相等，證明方程組無(wú)解。
證明：由于增廣矩陣的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，
故，
……....…4分
則,而系數(shù)矩陣為矩陣,，，方程組無(wú)解…8分
3．設(shè)有兩個(gè)n元齊次線(xiàn)性方程組，。證明：
（1）若的解都是的解，則；
（2）若與同解，則。
證明：（1）由條件知的解空間是的解空間的子空間，因此的解空間的維數(shù)不大于的解空間的維數(shù)，即，于是；
…………….4分
（2）由條件知的解空間與的解空間是同一空間，因而該空間的維數(shù)為
，由此即得。
…………….8分
4．已知非齊次線(xiàn)性方程組
有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，
（1）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；
（2）求的值及方程組的通解。
解：（1）設(shè)是非齊次方程組三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，
令，則是其導(dǎo)出組的兩個(gè)解
設(shè)即
因線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以必有，
即由此得線(xiàn)性無(wú)關(guān)，
因?yàn)閷?dǎo)出組至少有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，所以其基礎(chǔ)解系至少包含兩個(gè)解，故，由此得；
另一方面，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣
存在2階不等于零的子式，
所以，，綜上所述，即得。
…………….4分
（2）因非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，
由（1）得,故增廣矩陣
的秩也為2，
用初等行變換把上述矩陣化為階梯形
由此得?????，即
利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組
即
由此得通解為
：，其中為自由未知數(shù)。
…………….8分
5．設(shè)方程組(1)
及方程組(2)，
其中，證明：方程組(1)有惟一解的充要條件是方程組(2)有惟一解。
證明：記方程組(1)和方程組(2)的系數(shù)矩陣分別為，并令，
則有，即有，于是，若方程組(1)有惟一解，則，即，從而，所以方程組(2)有惟一解?！ ?４分
反之若方程組(2)有惟一解，則，即可逆，所以，若，則，從而由的定義知，因此，矛盾，故，所以方程組(1)有惟一解。
…………….8分
發(fā)展應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題10分）
1．設(shè)有兩個(gè)四元齊次方程組(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
（1）線(xiàn)性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系；
（2）求方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。
解：（1）．方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣，
則得(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為：和；..............…3分
（2）．由（1）的結(jié)果，方程組(Ⅰ)的一般解為：,
若兩個(gè)方程組有公共解，將上式代入方程組(Ⅱ)中，必有，得，
所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解為：
?！ ?.............…10分
2．已知非齊次線(xiàn)性方程組，
；
（1）
求解方程組，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；
（2）
同解，求的值。
解：（1）設(shè)組（I）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，對(duì)作初等行變換，得：
，
因，故（I）有無(wú)窮多解，
且通解為，為任意常數(shù)?！?5分
（2）將通解代入組（II）第一個(gè)方程，得到：
，即，
由得任意性，得。
將通解代入組（II）第二、三個(gè)方程，分別得到。
因此，。
…….…………10分
3．設(shè)非齊次線(xiàn)性方程組有3個(gè)解向量，，求此線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的秩，并求其通解。其中為常數(shù)。
解：設(shè)所給方程為，由題設(shè)可知是的3個(gè)解，因此
，是的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，故，
又中有2階子式，因此，
所以，
…………….5分
由于，所以，是的基礎(chǔ)解系，因此可得線(xiàn)性方程組
的通解為：
（其中為任意常數(shù)）。
…….…………10分
4．設(shè)四元線(xiàn)性齊次方程組，又已知某線(xiàn)性齊次方程組的通解為
，
（1）求線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系；
（2）問(wèn)線(xiàn)性方程組，是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解，若沒(méi)有，則加以證明。
解：（1）的系數(shù)矩陣為
通解為。
…….…………4分
（2）將的通解代入中，則有，得，當(dāng)時(shí)，則向量滿(mǎn)足方程組，，
故方程組，有非零的公共解，所有非零公共解是。
…….…………10分
5．
已知齊次線(xiàn)性方程組
其中
試討論和b滿(mǎn)足何種關(guān)系時(shí)，
(1)
方程組僅有零解；
(2)
方程組有非零解.
在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。
解：
方程組的系數(shù)行列式
=，
…….…………4分
（1）當(dāng)時(shí)且時(shí)，r
(A)=
n，方程組僅有零解；
…….…………6分
（2）當(dāng)b=0
時(shí)，原方程組的同解方程組為：，
由可知，不全為零.
不妨設(shè)，
得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為
，，,
當(dāng)時(shí)，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為
由此得原方程組的同解方程組為:，，
.
原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：。
…….…………10分
6．設(shè),
,
,
,
試討論當(dāng)為何值時(shí),
(1)不能由線(xiàn)性表示；
(2)可由唯一地線(xiàn)性表示,
并求出表示式；
(3)可由線(xiàn)性表示,
但表示式不唯一,
并求出表示式。
解：設(shè)有數(shù)使得
(*)
記.
對(duì)矩陣施以初等行變換,
有
…….…………2分
(1)當(dāng)時(shí),
有
.
可知,故方程組(*)無(wú)解,
不能由線(xiàn)性表示；
…….…………4分
(2)當(dāng),
且時(shí),
有
,方程組(*)有唯一解：,
,
．
此時(shí)可由唯一地線(xiàn)性表示,
其表示式為：；……………7分
(3)當(dāng)時(shí),
對(duì)矩陣施以初等行變換,
有
，
,方程組(*)有無(wú)窮多解,其全部解為:
,
,
，
其中為任意常數(shù)．
可由線(xiàn)性表示,
但表示式不唯一, 其表示式為：
。
…….…………10分
7．設(shè)有齊次線(xiàn)性方程組
試問(wèn)取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解
解：方程組的系數(shù)行列式為
當(dāng)，即或時(shí)，方程組有非零解
…….…………4分
當(dāng)時(shí)，
故方程組的同解方程組為：
由此得基礎(chǔ)解系為，
于是方程組的通解為：，其中為任意常數(shù)
.…7分
當(dāng)時(shí)，
故方程組的同解方程組為：
，由此得基礎(chǔ)解系為
于是方程組的通解為：，其中k為任意常數(shù)。
…….…………10分
8．已知3階矩陣的第一行是不全為零，矩陣B＝（k為常數(shù)），且，求線(xiàn)性方程組的通解
解：（1）如果，則,由知，因此，
所以的通解是：，其中為任常數(shù)；
…….……5分
（2）如果k
=9，則,那么，或2
若,則的通解是，其中t為任常數(shù)，
若,對(duì)，設(shè)，
則方程組的通解是，其中為任常數(shù)。
…….…………10分
9．已知線(xiàn)性方程組
（Ⅰ）
的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，，，，試寫(xiě)出線(xiàn)性方程組（Ⅱ）的通解。
解：方程組（Ⅰ），（Ⅱ）的系數(shù)矩陣分別記為，則由題設(shè)可知，于是，可見(jiàn)的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量為（Ⅱ）的n個(gè)解向量，
由于的秩為n，故（Ⅱ）的解空間維數(shù)為，…….…………5分
又的秩為2n與（Ⅰ）的解空間維數(shù)之差，即為n，故的n個(gè)行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成（Ⅱ）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是得到（Ⅱ）的通解：
，
其中為任意常數(shù)。
…….…………10分
10．求以為解向量的齊次線(xiàn)性方程組。
解：因?yàn)椋?/p>
所以的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是，
…….…………3分
作矩陣，
易得線(xiàn)性的基礎(chǔ)解系由決定，
取自由未知量得一基礎(chǔ)解系為，6分
于是所求方程組的系數(shù)矩陣為，
所求的齊次線(xiàn)性方程組為。
…….…………10分
二、證明題（每題10分）
1．已知平面上三條不同直線(xiàn)的方程分別為
試證這三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)的充分必要條件為。
證明：必要性：
設(shè)三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，則線(xiàn)性方程組
有惟一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，
于是，由于
但根據(jù)題設(shè)，故；
………….5分
充分性：
由，則從必要性的證明可知，，故秩()<
3
由于
故秩(A)=2，于是，秩(A)=
秩()=2,
因此方程組（*）有惟一解，即三直線(xiàn)交于一點(diǎn)。
………….10分
2．設(shè)是非齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)解，是對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，證明：線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
證明：（反證法）假設(shè)線(xiàn)性相關(guān)，則必存在一組不全為零的數(shù)，使，
即有，
設(shè)，則，否則由上式知線(xiàn)性相關(guān)，因而與基礎(chǔ)解系矛盾。所以， ………….5分
于是有，從而與是非齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)解矛盾，因此所給向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的?！ ?10分
3．設(shè)是齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，向量滿(mǎn)足，證明：向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
證明：設(shè)數(shù)，使，
即
…………….3分
假設(shè)，則可由線(xiàn)性表示，
即是方程的解，與題設(shè)矛盾，
因此，，
…………….7分
然后由線(xiàn)性無(wú)關(guān)，得，
所以向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
…………….10分
4．設(shè)為實(shí)矩陣，是維實(shí)列向量，證明：
（1）秩；
（2）非齊次線(xiàn)性方程組有解。
證明：（１）先證與是同解方程組，
因?yàn)槿羰堑慕?，即，則，
所以的解都是的解，
當(dāng)是的解時(shí)，即，由，
可知，故的解都是的解，
因此與是同解方程組，
由此，可知它們的基礎(chǔ)解系含個(gè)解，故秩；….5分
（2）由可知
，
因此，故非齊次線(xiàn)性方程組有解?！?10分
5．證明：方程組（其中均為整數(shù)）只有零解。
證明：方程組的系數(shù)行列式為，
若令，則由于均為整數(shù)，得也均為整數(shù)
為整數(shù)，，所以方程組有惟一解，即只有零解?！ ?10分
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