第一篇：高一數(shù)學(xué)《第4章章末小結(jié)與復(fù)習(xí)(二)(三)》

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第四章 三角函數(shù)

章末小結(jié)與復(fù)習(xí)

（二）例1.已知?，?都是銳角，且sin??510?,sin??,求證????.5104練習(xí)

教材P98頁(yè)第16、17、18題.1.(1)已知A?B??4，求證(1?tanA)(1?tanB)?2.?(2)已知A,B都是銳角，且(1?tanA)(1?tanB)?2，求證A?B?.4(3)根據(jù)(1),(2)小題，可以說(shuō)“銳角A，B之和為直角之半的充要條件是(1?tanA)(1?tanB)?2”嗎？可以說(shuō)“兩個(gè)角A，B之和為的充要條件

4是(1?tanA)(1?tanB)?2”嗎？為什么？2.如圖，三個(gè)相同的正方形相接，求證????45?.??1113.如果?，?，?都是銳角，并且它們的正切分別為，，求證??????45?.2581?sin??cos??2sin?cos??sin??cos?.例2.求證1?sin??cos??練習(xí)

教材P101頁(yè)第7題.求證

1?tan2A1?tanA2tanA?tanBtanB(1)?();(2)?.1?cot2A1?cotAcotB?cotAcotA例3.已知tan??sin??a,tan??sin??b,求證(a2?b2)2?16ab.練習(xí)

教材P101頁(yè)第6題.x2y2已知xcos??a,ycot??b(a?0,b?0),求證2?2?1.ab湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第四章 三角函數(shù)

例4.已知sin??msin(2???),且m?1,??tan(???)?課外作業(yè)

教材P99頁(yè)第21、22、23題.1?mtan?.1?mk??,?????k?(k?Z),求證22

章末小結(jié)與復(fù)習(xí)

（三）例1.求下列函數(shù)的定義域：

(1)y?1x;(2)y?tan.1?tanx2練習(xí)

教材P101頁(yè)第12題.lgcos(2x?)3的定義域.求函數(shù)y?tanx?1例2.求下列函數(shù)的最大值、最小值，并且求使函數(shù)取得最大、最小值的x的集合：

(1)y?2?sinx??,x?R;(2)y?3?2cosx,x?R.練習(xí)

教材P99頁(yè)第27、25、34題.1.求下列函數(shù)的最大值、最小值：

(1)y?sinx?3cosx,x?R;(2)y?sinx?cosx,x?R.2.下列各式能否成立？為什么？

(1)cos2x?1.5;(2)sinx?cosx?2.5;(3)tanx?1??2;(4)sin3x??.tanx43.在閉區(qū)間[0，2π]上，求適合下列條件的角x的集合：

(1)sinx?0;(2)cosx??0.6124;(3)cos?0;

(4)sinx?0.1011;(5)tanx??4;(6)cosx?1.(對(duì)于第（2），（4），（5）小題，先將結(jié)果寫(xiě)成精確到0.01π，然后用“arc”符號(hào)湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第四章 三角函數(shù)

表示結(jié)果.)

例3.已知0?x?2?,求適合下列條件的角x的集合：(1)角x的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是增函數(shù)；(2)角x的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是減函數(shù)；(3)角x的正弦函數(shù)是增函數(shù)，而余弦函數(shù)是減函數(shù)；(4).角x的正弦函數(shù)是減函數(shù)，而余弦函數(shù)是增函數(shù).例4.不通過(guò)畫(huà)圖，寫(xiě)出下列函數(shù)的振幅、周期、初相，并說(shuō)明如何由正弦曲線得出他們的圖象：

(1)y?sin(5x??1),x?R;(2)y?2sinx,x?R.66練習(xí)

教材P100頁(yè)第33題.如圖，彈簧掛著的小球作上下振動(dòng)，時(shí)間t(s)與小球相對(duì)于平衡位置(即靜止時(shí)的位置)的高度h(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式是

h?2sin(t??4),t?[0,??).以t為橫坐標(biāo)，h為縱坐標(biāo)，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，并且回答下列問(wèn)題:](1)小球開(kāi)始振動(dòng)（即t=0）時(shí)的位置在哪里？(2)小球最高、最低點(diǎn)與平衡位置的距離分別是多少？(3)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次（即周期是什么）？(4)小球每1s能往復(fù)振動(dòng)多少次？

課外作業(yè)

教材P99頁(yè)第3題，P100頁(yè)第13題.h?0h?0h?0

第二篇：7415 章小結(jié)與復(fù)習(xí)(教師用)

章小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）

姓名

座號(hào)

月

日

1、（教材P153第8題）判斷題：

⑴ 銳角的補(bǔ)角一定是鈍角；

（√）⑵ 一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角；

（×）⑶ 如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等；

（√）⑷ 銳角和鈍角互補(bǔ)。

（×）

2、（教材P153第7題）如圖，O是直線AB上的一點(diǎn)，OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB 的平分線，求∠DOE的度數(shù)。

CDAOBE解：∠DOE＝∠DOC＋∠COE ＝0.5∠AOC＋0.5∠COB ＝0.5（∠AOC＋∠COB）＝0.5∠AOB＝0.5×180°＝90°

答：∠DOE的度數(shù)為90°。

3、（教材P153第4題）如圖，右面哪一個(gè)圖形是左面正方體的展開(kāi)圖？（1）

答：

D

；（2）

答：

C。

ABCDABCD4、（教材P154-155第12題）如圖，A、B兩地隔著池塘，從C地側(cè)得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1cm代表10m，畫(huà)出類似的圖形，量出AB的長(zhǎng)（精確到1mm），再換算出A、B兩地的實(shí)際距離。

CC145?60mBAAB50m答：如圖，量得AB≈10.5cm，換算得出A、B兩地的實(shí)際距離約為105m。

117

5、（教材P155第13題）如圖，這是一幅動(dòng)物園某一景區(qū) 的示意圖，海洋世界、獅虎園、猴山、大象館分別在大門(mén) 的什么方向？（精確到1°）

答：海洋世界在大門(mén)的南偏東83°方向；獅虎山在大門(mén)的

南偏東8°方向；猴山在大門(mén)的北偏東2°方向；大象 館在大門(mén)的北偏東43°方向。

6、（教材P154第9題）已知∠α和∠β互為補(bǔ)角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α、∠β。

解：設(shè)∠α的度數(shù)為x°，則∠β的度數(shù)為（180－x）°

依題意得：???????x?????x

解得：x＝80；這時(shí)：180－x＝100

答：∠α＝80°，∠β＝100°。

7、（教材P154第10題）如圖，⑴中

（1）左面的圓錐，正好能通過(guò)右邊圖中 的兩個(gè)空洞，正好能通過(guò)⑵、⑶中 右面兩個(gè)空洞的，可能是什么樣的 立體圖形？你能畫(huà)出它們的草圖嗎？（2）

（2）答：立體圖形是圓柱

（3）

（3）答：立體圖形是三棱柱

8、（教材P155第14題）任意畫(huà)一個(gè)四邊形ABCD，四邊形的四邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE，并量出它們的長(zhǎng)，你發(fā)現(xiàn)了什么？量出∠

1、∠

2、∠

3、∠4的 度數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？多畫(huà)幾個(gè)四邊形試試。你能得到什么猜想？

BEA4132FCGHD答：畫(huà)圖、測(cè)量（略）。猜想：⑴ EF＝GH，F(xiàn)G＝EH；

⑵ ∠1＝∠3，∠2＝∠4。

118

第三篇：章末小結(jié)與測(cè)評(píng)

章末小結(jié)與測(cè)評(píng)

命題人：邵玉春 時(shí)間：2010.8.28

【 知識(shí)要點(diǎn)歸納】

【考綱考情點(diǎn)擊】

★ 知考綱

（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示法(列表法、圖象法、通項(xiàng)公式),了解數(shù)列是種特殊函數(shù).（2）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式.（3）能運(yùn)用等差數(shù)列或等比數(shù)列及相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.★ 明考情

數(shù)列是每年必考的內(nèi)容之一，其中等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式和性質(zhì)的應(yīng)用是考查的熱點(diǎn)與重點(diǎn).縱觀近幾年的高考，該章在選擇、填空、解答三種題型中均有體現(xiàn)，一般情況下，題目為一大、一小兩題，分值在11%左右，主要考查：①等差（比）數(shù)列的公式、性質(zhì)的應(yīng)用；②一般數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和公式的求解；③數(shù)列的知識(shí)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用.【熱點(diǎn)專題例析】

專題一：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法

數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心之一，它如同函數(shù)中解析式一樣，有解析式便可研究其性質(zhì)等，而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可求出數(shù)列的任何一項(xiàng)及前n項(xiàng)和等，現(xiàn)將求數(shù)列的通項(xiàng)公式的幾種常見(jiàn)類型及方法總結(jié)如下： 1．利用an與Sn的關(guān)系

利用an與Sn的關(guān)系求an有兩種形式：

一種是已知S的關(guān)系式，可由公式a?S1(n?1)n與nn?? ?Sn?S n?1(n?2)直接求出通項(xiàng)an，但要注意

n?1與n?2兩種情況能否統(tǒng)一；

另一種是已知Sn與an的關(guān)系式，記為f(an,Sn)?0，求它的通項(xiàng)公式an.例

1、已知數(shù)列{an}中，an?0，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1n?a?2Sn，求an.n2．累加法

例

2、已知數(shù)列{an}中，a1?1，且an?1?an?3n?n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.3．累乘法 對(duì)于由形如

an?1an?f(n)型的遞推公式求通項(xiàng)公式.（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí)，即

an?1an，此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列，?q（其中q是不為0的常數(shù)）

an?a1?qn?1.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí)，用累乘法.an?1ananan?1由?f(n)，得n?2時(shí)，?f(n?1)，?an?

（3）已知a1?a,an?1?an?f(n)（其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)），求通項(xiàng)an.①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和； ②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和； ④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.aa?n?1?????2?a1?f(n?1)?????f(1)?a1.an?1an?2a1an22例

3、設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0(n?1,2,3???)，求通項(xiàng)公

式an.4．構(gòu)造法

2．拆項(xiàng)求和法

如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)是由幾個(gè)獨(dú)立的項(xiàng)組合而成，并且各獨(dú)立項(xiàng)也可組成等差或等比數(shù)列，形如，已知a1且an?1?pan?q(p、q為常數(shù))的形式均可用構(gòu)造等比數(shù)列法，即

則該數(shù)列的前n項(xiàng)和可考慮利用拆項(xiàng)求解.an?1?x?p(an?x),{an?x}為等比數(shù)列，或an?2?an?1?p(an?1?an),{an?1?an}為等比數(shù)列.例

6、求數(shù)列1,1112,24,318,???,(n?12n),???的前n項(xiàng)和.例

4、若數(shù)列{an}滿足a1?1，an?1?2an?1，求an.專題二：數(shù)列求和的方法

數(shù)列的求和是數(shù)列運(yùn)算中的重要內(nèi)容，對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列可直接利用公式計(jì)算，對(duì)于

有具體特征的非等差、等比數(shù)列可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法.常用的求和方3．例序相加法

法有公式法、拆項(xiàng)法、裂項(xiàng)法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法等，解題時(shí)要認(rèn)真研究數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，如要在求和的結(jié)構(gòu)中，“每?jī)身?xiàng)”的和為同一常數(shù)可以用倒序相加法求解.從而確定恰當(dāng)?shù)那蠛头椒?1．公式法

例

7、設(shè)f(x)?2，類比推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，如果所給數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列或者經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃嗡o數(shù)列可化為等差數(shù)列、等比數(shù)2?2x列，從而可利用等差、等比數(shù)列的求和公式來(lái)求解.例

5、設(shè){aSf(?200?8f)?(20?0?7?f?)?f?(0)?f?(1??)?f(2?nn}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S7?7,S15?75,Tn為數(shù)列{n}的 前n項(xiàng)和，求T n.求4．裂項(xiàng)相消法

（1）對(duì)于裂項(xiàng)后明顯有能夠相消項(xiàng)的一類數(shù)列，在求和時(shí)常用“裂項(xiàng)法”，分式的求和多利用此法.可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng)，相消時(shí)應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng).常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：

5．錯(cuò)位相減法

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為

{anbn}，當(dāng)求該數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常常采用將數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和的各項(xiàng)乘以公比，并向后借

一項(xiàng)與數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和的同項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)為特征數(shù)列的求和，這種求和的方法稱為錯(cuò)位相減法.例

9、求和Sn?

（2）裂項(xiàng)原則：前邊裂幾項(xiàng),后邊就裂幾項(xiàng)，裂項(xiàng)不論為多少，只要能發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律就行.（3）消項(xiàng)后的結(jié)果規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).例

8、已知數(shù)列{an}：1,1a?2a2?3a3?????nan.11?21?2?3,1,???,11?2?3?????n,???求它的前n項(xiàng)和.

第四篇：7318 章小結(jié)與復(fù)習(xí)⑵(教師用)

章小結(jié)與復(fù)習(xí)⑵

姓名 座號(hào) 月 日

1、填空題: ⑴若x=-2是方程12x+2mx-4=0的解，則m=_-7__． ⑵當(dāng)x=?1時(shí)，代數(shù)式2x-3與5+6x的值互為相反數(shù)． 4⑶當(dāng)k=_10__時(shí)，方程5x+3k=27與5x+3=0的解相同．

⑷小華第一天看了全書(shū)的一半，第二天看了剩下的一半還多25歲，還剩36頁(yè)沒(méi)有看，若設(shè)全書(shū)共有x頁(yè)，則第二天看的頁(yè)數(shù)可表示為

111x?25，列出方程為x?x?25?36?x．

2442、某機(jī)關(guān)現(xiàn)有工作人員x人，現(xiàn)在的人數(shù)比三年前減少40%，三年前有人數(shù)（C）A．xx B．(1?40%)x

C．

D．(1?40%)x1?40%1?40%

3、兒子今年13歲，父親今年40歲，父親的年齡可能是兒子4倍嗎？

解：設(shè)過(guò)x年父親的年齡是兒子的4倍，則 x年后兒子(13?x)歲，父親(40?x)歲，依題意得：40?x?4(13?x)

解得：x??4

過(guò)-4年就是4年前，答：4年前父親的年齡是兒子年齡的4倍．

4、某車間加工螺絲和螺母，一個(gè)螺絲配兩個(gè)螺母就可以包裝運(yùn)進(jìn)庫(kù)房，該車間現(xiàn)有工人60名，一個(gè)工人每小時(shí)能加工15個(gè)螺絲或10個(gè)螺母，問(wèn)：工人怎樣分配工作，才能保證生產(chǎn)出的產(chǎn)品及時(shí)包裝運(yùn)進(jìn)庫(kù)房？ 解：設(shè)生產(chǎn)螺絲的工人有x名，則生產(chǎn)螺母的工人有(60?x)名，依題意得：

2?15x?10(60?x)

解得：x?15

∴60?x?45

答：生產(chǎn)螺絲的工人有15名，生產(chǎn)螺母的工人有45名.79

5、（教材P113第7題）一家游泳館每年６～８月出售夏季會(huì)員證，每張會(huì)員證80元，只限本人使用，憑證入場(chǎng)券每張1元，不憑證購(gòu)入場(chǎng)券每張3元.試討論并回答： ⑴什么情況下，購(gòu)會(huì)員證與不購(gòu)會(huì)員證付一樣的錢(qián)？

解：設(shè)在累計(jì)購(gòu)入場(chǎng)券x張時(shí)，購(gòu)會(huì)員證與不購(gòu)會(huì)員證付一樣的錢(qián)，依題意得：

80?x?3x

解得：x?40

答：在累計(jì)購(gòu)入場(chǎng)券40張時(shí)，購(gòu)會(huì)員證與不購(gòu)會(huì)員證付一樣的錢(qián).⑵當(dāng)在累計(jì)購(gòu)入場(chǎng)券 多于40張 時(shí)，購(gòu)會(huì)員證比不購(gòu)會(huì)員證更合算； ⑶當(dāng)在累計(jì)購(gòu)入場(chǎng)券 少于40張 時(shí)，不購(gòu)會(huì)員證比購(gòu)會(huì)員證更合算.*

6、（教材P113第8題）你能利用一元一次方程解決下面的問(wèn)題嗎？

在3時(shí)和4時(shí)之間的哪個(gè)時(shí)刻（精確到0.1分），鐘的時(shí)針與分針： ⑴重合； ⑵成平角； ⑶成直角.熱身運(yùn)動(dòng)

①1小時(shí)分針走 360 度，那么1分鐘分針走 6 度，②1小時(shí)時(shí)針走 30 度，那么 1分鐘時(shí)針走 0.5 度.③3：00時(shí)鐘表上的分針與時(shí)針的夾角為90.④3點(diǎn)12分時(shí)鐘表上的分針與時(shí)針的夾角為24.解：(1)設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)針與分針重合，根據(jù)題意得：

00(6?0.5)x?90 解得: x?16.4

(2)設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)針與分針成平角，根據(jù)題意得：

(6?0.5)x?90?180 解得: x?49.1

(3)設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)針與分針成直角，根據(jù)題意得：

(6?0.5)x?90?90 解得: x?32.7

答：⑴3點(diǎn)16.4分時(shí)針與分針重合；

⑵3點(diǎn)49.1分時(shí)針與分針平角； ⑶3點(diǎn)32.7分時(shí)針與分針平角.80

第五篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)第二章 小結(jié)與復(fù)習(xí)專題

九年級(jí)數(shù)學(xué)第二章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

【本講教育信息】

一.教學(xué)內(nèi)容：

第二章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解命題的概念，知道什么是命題，真命題、假命題、逆命題，能區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論，會(huì)把一個(gè)命題寫(xiě)成“如果??，那么??”的形式。

2.了解定義、公理、定理的概念以及公理與定理的區(qū)別，能舉例將所學(xué)過(guò)的定理、公理進(jìn)行說(shuō)明，能較準(zhǔn)確地表達(dá)學(xué)過(guò)的定義、定理等。

3.了解證明的必要性、公理的方法，綜合證明的格式，理解推理中要步步有據(jù)，會(huì)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證，并完成一個(gè)簡(jiǎn)單命題的證明。

4.通過(guò)舉反例判定一個(gè)命題是假命題，能掌握用反證法證明的思想方法。

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1.教學(xué)重點(diǎn)：

理解證明的必要性；了解定義、命題的概念并會(huì)判斷真假命題，理解本節(jié)所給出的公理及相關(guān)定理。2.教學(xué)難點(diǎn)：

對(duì)證明的邏輯推理過(guò)程要熟練掌握，并能較嚴(yán)密地寫(xiě)出證明過(guò)程。3.思想方法：

經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，體會(huì)證明的必要性，發(fā)展學(xué)生初步的演繹推理能力；分析、解決問(wèn)題時(shí)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的思想、化難為易、轉(zhuǎn)化的方式有代換轉(zhuǎn)化，已知與未知的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化等。

三.主要內(nèi)容：

（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

定義 綜合法 真 公理 推 出 命題 定理 依據(jù) 方法 分析法 反證法 證明 假 舉反例

（二）基本內(nèi)容

1.理解推理證明的必要性 2.定義：

對(duì)一個(gè)概念的特征本質(zhì)的描述，稱為它的定義。

3.命題：

（1）定義：判斷一件事情的句子，叫做命題。

（2）結(jié)構(gòu)：每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成。

命題一般可以寫(xiě)作“如果??，那么??”或“若??，則??”的形式。

（3）分類：命題包括真命題和假命題兩類。4.公理、定理、證明：

人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的公認(rèn)的真命題，稱為公理。

通過(guò)推理論證、判斷其為真命題，稱為定理。

推理的過(guò)程叫做證明。5.命題與逆命題：

兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題。

其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。

任何一個(gè)命題都有其逆命題，但一個(gè)真命題的逆命題不一定是真命題，所以，不是所有的定理都有其逆定理。6.證明的一般步驟：

（1）弄清題意，能正確畫(huà)出圖形。

（2）根據(jù)題意和圖形，寫(xiě)出“已知”和“求證”。

（3）條理清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程。

（4）檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善。

【典型例題】

例1.請(qǐng)寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷是真命題還是假命題。

（1）直角都相等。

（2）如果兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)之和是正數(shù)。

（3）對(duì)角相等的平行四邊形是矩形。

分析：寫(xiě)逆命題應(yīng)先弄清命題的條件和結(jié)論。

解：（1）相等的角是直角。（假命題）

（2）如果兩個(gè)數(shù)之和是正數(shù)，那么兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是正數(shù)。（真命題）

（3）矩形是對(duì)角相等的平行四邊形。（假命題）

說(shuō)明：一個(gè)命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。

例2.有一次四人游泳比賽，比賽前，四名選手A、B、C、D進(jìn)行預(yù)測(cè)性會(huì)談，A說(shuō)：“我肯定得第一名”，B說(shuō)：“我絕對(duì)不會(huì)得最末名”，C說(shuō)：“我不可能是第一名，也不會(huì)得最后一名”，D說(shuō)：“那只有我是最末的！”。經(jīng)過(guò)比賽成績(jī)揭曉，發(fā)現(xiàn)他們之中只有一位預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，請(qǐng)指出是哪一位選手？

分析：我們先將四人談話內(nèi)容列出表格，再來(lái)討論。A B C D 第一名 √ √ 第二名 √ √ 第三名 √ √ 第四名 √

解：從表中可看出D沒(méi)有估計(jì)錯(cuò)誤。

如果D預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，那么自然另有一個(gè)選手預(yù)測(cè)錯(cuò)了，否則就不會(huì)出現(xiàn)最末名；如果C預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則他在這次比賽中應(yīng)得第一名或第四名，但在此情況下，第一名和第四名已分別由A和D占據(jù)；如果B預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則他只能是第四名，這里D也成了預(yù)測(cè)者，但按條件，預(yù)測(cè)錯(cuò)誤的只有一人。

因此預(yù)測(cè)錯(cuò)誤的只能是A，他應(yīng)是第二名或第三名。

這樣，名次可能是：

（1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D；

（2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。

這類題型主要是訓(xùn)練同學(xué)們的邏輯推理能力，讓同學(xué)們看到邏輯推理在解決問(wèn)題的價(jià)值，同時(shí)體驗(yàn)到用邏輯思維方法成功的快樂(lè)。

例3.有一矩形鋼板ABNM，現(xiàn)加工成零件形狀，如圖，按規(guī)定∠ADE、∠BCE應(yīng)分別是45°和55°，檢驗(yàn)工人量得∠DEC＝95°，就非?？隙ǖ嘏卸ㄟ@個(gè)零件不合格，你能說(shuō)明這是為什么嗎？

M N D F C E A B

分析：這也是一道訓(xùn)練邏輯思維的題目，零件是否合格、取決于角度之間是否相等。

即若∠ADE＋∠BCE＝∠DEC，則零件合格，否則零件不合格。

解：過(guò)E作EF∥AD ∴∠ADE＝∠FED 又AM∥BN，∴EF∥BC ∴∠FEC＝∠ECB ∴∠DEC?∠ADE?∠ECB?55?45?100?9

5現(xiàn)量得∠DEC＝95°

∴這個(gè)零件不合格

oooo

例4.如圖，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足為G，若∠GHE＝125°，求∠FEG的度數(shù)。

E A I G B C H D F

分析：略

解：∵AB∥CD，∠CHE＝125°（已知）

∴∠AIE＝∠CHE＝120°

又EG⊥AB（已知）

∴∠EGI＝90°（垂直定義）

又∠AIE是△EIG的一個(gè)外角

∴∠AIE＝∠FEG＋∠EGI ∴∠FEG?∠AIE?∠EGI?125?90?35

例5.證明：順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形。

已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC⊥BD。

求證：四邊形EFGH是矩形。

D G C H F 1 2 A E B ooo

分析：要證四邊形EFGH是矩形，先需證明它是平行四邊形。

由于E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)。

由三角形中位線定理易證EFGH是平行四邊形，再根據(jù)AC⊥BD去證明EFGH中有一個(gè)角為直角即可。

證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（已知）

∴EF//11AC，HG//AC（三角形中位線定理）?2?2 ∴EF//HG（等量代換）? ∴四邊形EFGH是平行四邊形

又∵AC⊥BD，EF∥AC ∴∠1＝90°

又EH∥BD（三角形中位線定理）

∴∠2＋∠1＝180°

即∠2＝90°

∴四邊形EFGH是矩形

例6.先閱讀第（1）問(wèn)的題目及證明過(guò)程，然后完成（2）問(wèn)的問(wèn)題。

（1）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E為CD中點(diǎn)。

求證：AE⊥BE

A D F E B C

證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F ∵E是CD的中點(diǎn)

∴F是AB的中點(diǎn)

∴EF是梯形ABCD的中位線

∴EF?1?AD?BC?2?1?

∵AB?AD?BC

∴EF?1AB2?2?

∵EF是?ABE的邊AB上的中線 ∴?ABE是直角三角形，從而AE?BE?3?

?4?

（2）在第（1）題的證明過(guò)程中，第_________步（填寫(xiě)（1）題中證明步驟中的序號(hào)），我們用到了定理：“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。”

現(xiàn)在請(qǐng)你證明這個(gè)定理（要求寫(xiě)出已知、求證和證明）。

解：本題（1）中第<4>步的理由是定理“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！保C明如下：

已知：如圖?ABC中，CD是AB上的中線，且CD? 求證：△ACB是直角三角形。

1AB。2 C 1 2 A B D

分析：略

證明：∵CD是AB邊上的中線

∴AD?BD? ∵CD?1AB 21AB，∴AD?BD?CD 2 ∴∠1?∠A，∠2?∠B

又∠1?∠2?∠A?∠B?180

∴∠1?∠2?90

即∠ACB＝90°

∴△ACB是直角三角形

說(shuō)明：這類閱讀理解題近年來(lái)越來(lái)越常見(jiàn)，主要考查同學(xué)們閱讀理解和自學(xué)能力，希望同學(xué)們加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。

【模擬試題】（答題時(shí)間：70分鐘）一.選擇題。

1.給出下列語(yǔ)句：

（1）連結(jié)AB并延長(zhǎng)到C；

（2）對(duì)頂角不相等；

（3）求線段AB的長(zhǎng)度；

（4）全等三角形的周長(zhǎng)相等。

其中是命題的有（）A.僅有（4）B.（2）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）

2.下列命題中是真命題的是（）A.同位角相等

B.兩條直線或者相交，或者平行 C.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行

D.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)能作且只能作一條直線與已知直線垂直 3.下列命題正確的有（）

（1）若a//b，b//c，則a//c； oo（2）若∠1＝30°，∠2＝30°，則∠1＝∠2；

（3）若∠1?∠3?90，∠2?∠3?90，則∠1＝∠2；

（4）兩條直線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)。

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

4.“兩直線相交成直角，稱這兩條直線互相垂直”是（）A.公理 B.定理 C.定義 D.命題 5.下列命題的逆命題是假命題的是（）A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

B.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 C.若a?b，則a2?b2

D.矩形的對(duì)角線相等

6.如圖，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，AB∥CD，則∠AEC的度數(shù)為（）

A B E C D oo

A.70° B.80° C.180°

D.90° 7.正方形具有而菱形沒(méi)有的性質(zhì)有（）A.對(duì)角線互相平分

B.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 C.對(duì)角線相等 D.對(duì)邊相等

8.已知：如圖，∠ADB＝∠ACB＝90°，AD＝BC，AC與BD交于O，有下列結(jié)論：

（1）AC＝BD；（2）∠DBC＝∠CAD；

（3）AO＝BO；（4）AB∥CD。

其中正確的是（）

D C O A B

A.（1）（2）（3）

B.（2）（3）（4）C.（1）（2）（4）

D.（1）（2）（3）（4）

9.如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于E，給出三個(gè)論斷：

（1）DE＝EF；（2）AE＝CE；（3）FC∥AB 以其中一個(gè)論斷為結(jié)論，另兩個(gè)論斷為條件，可得出三個(gè)命題，其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）

A D E F B C

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)

10.如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，點(diǎn)P恰在DC上，下面的結(jié)論：（1）AP⊥BP；（2）PD＝PC；（3）點(diǎn)P到直線AD、BC的距離相等。其中正確的結(jié)論是（）

A D P B C

A.（1）（2）（3）

B.（1）（3）C.僅（1）

D.僅（3）

二.填空題。

1.把命題“平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等”改寫(xiě)成“如果??，那么??”的形式是_____________________________。

2.命題“鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”的條件是_____________________________，結(jié)論是_________________________________。3.給出定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題：________________ ____________________________________________。

4.如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝70°，則∠BEC＝___________。

A E B C

5.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC?E，則△CDE的周長(zhǎng)為_(kāi)__________。

3，∠A?30o，D為AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于

B D C E A

6.已知正數(shù)a和b，有下列命題：

（1）若a?b?2，則ab?1；

（2）如果a?b?3，則ab?3； 2（3）如果a?b?6，則ab?3。

根據(jù)以上三個(gè)命題所提供的規(guī)律寫(xiě)出一個(gè)命題：

若a?b?15，則ab?___________，這個(gè)命題是__________命題（填“真”或“假）。

三.解答題。

1.舉反例說(shuō)明下列命題是假命題。

（1）兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和仍是無(wú)理數(shù)。

（2）互補(bǔ)的兩個(gè)角一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角。

2.求證：等腰三角形兩腰上的高的交點(diǎn)與底邊兩端的距離相等。

3.如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交DC延長(zhǎng)線于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根據(jù)上述條件，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并證明你的結(jié)論。

A D E B F C G

4.用反證法證明：一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是直角。

5.A、B、C三人在一起爭(zhēng)論一個(gè)問(wèn)題時(shí)，A指責(zé)B說(shuō)謊話，B指責(zé)C說(shuō)謊話，C指責(zé)A和B都說(shuō)謊話，現(xiàn)請(qǐng)你推測(cè)一下，到底誰(shuí)說(shuō)真話？誰(shuí)說(shuō)謊話？

6.用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一個(gè)含60°角的三角尺與菱形ABCD疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

（1）當(dāng)三角尺兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)［如圖（1）］，通過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論。A D F B E C 圖（1）

（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F時(shí)［如圖（2）］，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。

F A D B C E 圖（2）

試題答案

一.選擇題。

1.B 2.D

3.D

4.C

5.D 6.D 7.C

8.D

9.D

10.A 二.填空題。

1.如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它的兩組對(duì)邊分別相等。2.條件：兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，結(jié)論：它們的平分線互相垂直。

3.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。4.125° 5.3?3 2 6.15，真 2三.解答題。

1.（1）如：兩個(gè)無(wú)理數(shù)分別為5和?5，則5??5?0，是有理數(shù)。

（2）如：90o?90o?180o，但這兩個(gè)角為直角。

2.已知：如圖△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于點(diǎn)O。

求證：OB＝OC

A E D O B C ??

提示：先證△BCE≌△CBD，得∠OBC＝∠OCB即可。

3.提示：△ADE≌△FAB（DE＝DC＝AB，∠AED＝∠B＝90°，∠DAE＝∠BFA，利用AD∥BC可得。）

4.已知：△ABC中

求證：△ABC中不能有兩個(gè)直角

證明：假設(shè)△ABC中能有兩個(gè)角是直角

不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°，則∠A＋∠B＝180°

∴∠A＋∠B＋∠C＞180°

這與“三角形三內(nèi)角和等于180°”相矛盾。

∴假設(shè)△ABC中能有兩個(gè)角是直角不成立

∴△ABC中不能有兩個(gè)直角 5.B說(shuō)真話，A和C說(shuō)謊話。6.（1）如圖（1），BE＝CF

提示：證△ABE≌△ACF（ASA）（2）如圖（2），BE＝CF 證明：∵△ABC、△ACD為等邊三角形

∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADC＝60°

∴∠ACE＝∠ADF＝120°

又∠CAD＝∠EAF＝60°

∴∠CAE＝∠DAF（等量減等量）

∴△ACE≌△ADF（ASA）

∴CE＝DF ∴CE＋BC＝DF＋CD 即BE＝CF