第一篇：數(shù)學(xué)物理方程小結(jié)

數(shù)學(xué)物理方程小結(jié)

第七章

數(shù)學(xué)物理定解問題

數(shù)學(xué)物理定解問題包含兩個部分：數(shù)學(xué)物理方程（即泛定方程）和定解條件。

§7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出

一般方法： 第一確定所要研究的物理量u ,第二 分析體系中的任意一個小的部分與鄰近部分的相互作用,根據(jù)物理規(guī)律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在數(shù)學(xué)上為忽略高級小量.）第三 然后再把物理量u隨時間，空間的變?yōu)橥ㄟ^數(shù)學(xué)算式表示出來, 此表示式即為數(shù)學(xué)物理方程。

（一）三類典型的數(shù)學(xué)物理方程

??2u2三維:2?a?u?f(r,t)?t2?2u?u2一維:2?a?f(x,t)2（1）波動方程：

?t?x當(dāng)無外力時:f?0 此方程 適用于各類波動問題。（特別是微小振動情況.）

??u2三維:?a?u?f(r,t)?t2?u?u2一維:?a?f(x.t)2（2）輸運方程：

?t?x無外源時:f?0此方程 適用于熱傳導(dǎo)問題、擴散問題。

拉氏方程:?u?0（3）Laplace 方程：

泊松方程:?u?f(r.t)?

f?0時泊松方程退化拉程氏.方穩(wěn)定的溫度和濃度分布適用的數(shù)學(xué)物理方程為Laplace 方程, 靜電勢u在電荷密度為零處也滿足Laplace 方程。§7.2定解條件

定解條件包含初始條件與邊界條件。

（1）初始條件的個數(shù)等于方程中對時間最高次導(dǎo)數(shù)的次數(shù)。例如波動方程應(yīng)有二個初始條件, 一般選初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而輸運方程只有一個初始條件選為初始分布u（x,o）,而Laplace 方程沒有初始條件。

（2）三類邊界條件

第一類邊界條件： u(r ,t)|Σ = f

（1）第二類邊界條件： u n|Σ = f

（2）第三類邊界條件：(u+Hun)|Σ= f

（3）

其中H為常數(shù).7.3 二階線性偏微分方程分類

2??a12?a11a22?0,雙曲型,2?a11a22?0,橢圓型, 判別式 ??a122??a12?a11a22?0,拋物型,波動方程是雙曲型的,輸運方程為拋物型的,而拉普拉斯方程為橢圓型的.7.4 達朗貝爾公式

對一維無界的波動方程,當(dāng)不考慮外力時,定解問題為

2?2u2?u?a?022?t?xu?x,0????x?ut?x,0????x?

11x?at解為:u?x,t?????x?at????x?at???????d??x?at22a對半無界問題作延拓處理: 對第一類齊次邊界條件作奇延拓,而對第二類齊次邊界條件作偶延拓.第八章 分離變量法

8.1 分離變量法

主要步驟:

1.邊界條件齊次化,對非齊次邊界條件首先把它化為齊次的.?2.分離變量 u(x,t)=X(x)T(t)（1）

[以后對三維問題也是如此] ?3.將（1）式代入原方程得出含任意常數(shù)λ的常微分方程,(稱為本征方程)而λ為本征值.?4.由齊次邊界條件確定本征值,并求出本征方程.(得出的解為本征函數(shù))?5.根據(jù)迭加原理把所有滿足方程的線性無關(guān)解迭加后,就能得通解.?6.再由初始條件確定系數(shù).一維波動方程在第一類齊次邊界條件下的

n?atn?at?n?x?通解:u?x,t????ancos?bnsin,?1??sinll?ln?1??n?x代入邊入邊界:u?x,0???ansin???x?,?2?ln?1?2n??an??????sind?,?3?l0l2n????同樣:bn???sind?,?4??n?a0l一維波動方程在第二類齊次邊界條件下的通解:

ll

n?atn?at?n?x?u?x.t??A0?B0t???Ancos?Bnsin,?5??cosll?ln?1?? 11A0??????d?,B0??????d?.?6?l0l02n??2n??An??????cosd?,Bn?????cosd?.?7??l0ln?a0lllll

一維輸運方程在第一類齊次邊界條件下的通解: u?x,t???cnen?1l??n?a????t?l?2n?xsin,?8?l 2n??cn??????sind?,?9?l0l

一維輸運方程在第二類齊次邊界條件下的通解: u?x,t???cnen?0l??n?a????t?l?2n?xcos,?10?ll12n??c0??????d?,cn??????cosd?,?11?

l0l0l

對其他的齊次邊界條件,如本征函數(shù)已知也可直接求解,而對本征函數(shù)不熟則只能用分離變量法來求解.8.2 非齊次邊界條件的處理

常用方法有 1)直線法 : 對邊界條件為: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t).h?t??g?t?x

,可把邊界條件化為齊次,令

v?x,t??u?x,t??g?t??L但一般情況下方程變?yōu)榉驱R次.?只有當(dāng)g,h為常數(shù)時,方程才不變.2)特解法

?把 u化為兩部分,令 u=v+w 使v滿足齊次邊界條件與齊次方程,而使w滿足齊次方程與非齊次邊界條件.下面通過實例來介紹此方法.? 例題

求解下列定解問題

Utt－a2 Uxx

= 0

U|x=0

=0, U|x=L= ASinωt ?

U|t=0

= 0 , Ut∣t=0 = 0 ?(其中A、ω為常數(shù)，0＜x＜L , 0＜ t）

?解：令 u=v+w ,使w滿足波動方程與非齊次邊界條件, ?得出

w?x,t?Asin?xasin?t

sin?la第九章

二階常微分方程的級數(shù)解法

本征值問題

一.拉普拉斯方程與亥姆霍斯方程在球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)下分

離變量結(jié)果.1.拉普拉斯方程在球坐標(biāo)下的通解:

1??u?r,?,?????Alrl?BLl?1?Yim??,??,?1?

r?l,m?其中Y

lm

為球函數(shù),拉普拉斯方程在球坐標(biāo)下的解不依賴于邊界條件.在軸

對

?稱時(1)式退化為

Bl??u?r,?????Alrl?l?P?cos??,?2? 1?lr?l?0?2.拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)下: 6 u??,?,z??R?r?Z?z??????.1??????acosm??bsinm?,??m2?m?0,1,2???2?22??dR1dRm''Z??Z?0.?3?.2?????2?R?0.?4???d??d??????0,?3?的解為:Z?z??A?Bz;?4?式解為:R?E?Fln?,?m?0?,今x???,?4?式為:x2d2RdR22dx2?xdx??x?m?R?0.?5??5?為m階Bessel方程..(5)式其解為m階Bessel函數(shù), 解依賴于邊界條件,當(dāng)上下底為邊界條件是齊次時, μ<0.對應(yīng)的解是虛貝塞爾函數(shù).3）亥姆霍斯方程在球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)下分離變量結(jié)果.在球坐標(biāo)下:

u?r,?,???R?r?Y??,??

其中Y為球函數(shù),R為球貝塞爾函數(shù).在柱

坐

標(biāo)

下

: u??,?,z??R?r?Z?z??????.1??????acosm??bsinm?,??m2?m?0,1,2???2?Z''??2Z?0.?3?.d2Rd??1dR?d??????k2??2m2?2??2???R?0.?4?令??k2??2;今x???,?4?式為:x2d2RdR22dx2?xdx??x?m?R?0.?5?(5)式其解為m階Bessel函數(shù)，二、常微分方程的級數(shù)解法

.1.掌握常點鄰域的級數(shù)解法.2.掌握正則奇點鄰域的級數(shù)解法.3.知道無窮級數(shù)退化為多項式的方法.三.知道Sturm-Livouville本征值問題的共同性質(zhì)

?當(dāng)k(x),q(x)和ρ(x)都只取非負的值(≥0), Sturm-Livouville方程共同性質(zhì)為: ?1)當(dāng)k(x),k’(x)和q(x)連續(xù)且x=a和x=b最多為一階極點時,存在無限

?1??2??3????k??多個本征值及對應(yīng)的本征函數(shù):

y1?x?,y2?x?,y3?x??yk?x??

2)所有本征值λn≥03)對應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交?y?x?y?x???x?dx?0,?n?m?4)本征函數(shù)族構(gòu)成完備系mnabf?x???n?1?fnyn?x?

第十章 球函數(shù)

1.軸對稱的球函數(shù)

當(dāng)物理問題繞某一軸轉(zhuǎn)動不變時,選此軸為z軸這時物理量u就與φ無關(guān),m=0.此時球函數(shù)Y(θ,φ)就為L階勒讓德多項式.即Y=Pl(cosθ)1)勒讓德多項式

1.勒讓德多項式級數(shù)形式: 8 Pl?x??ll?1或22?2l?2n?!l?2n???1x.?1? ?ln!2?l?n?!?l?2n?!n?0n2.勒讓德多項式微分形式:

l1dl2Px?1.?2? l?x??ll2l!dx??3.前幾項為: P0(x)= 1, P1(x)=x=cosθ, ?P2(x)=(3x-1)/2, ….?一般勒讓德多項式的冪次取決L ?當(dāng)L為偶數(shù)時都為偶次冪項,L為奇數(shù)時都為奇次冪項.對特殊點x=1,0.2Pl?1??1,Pl??x????1?Pl?x?,l?2n?1?！P2n?1?0??0,P2n?0????1?,?2n?！n?4.勒讓德多項式正交關(guān)系

?12??P(x)Pxdx?N?lk

(3)

lkl?1?5.勒讓德多項式的模 Nl2?2

2(4),Nl?2l?12l?16.廣義傅里葉級數(shù) :當(dāng)f(x)在[-1,1]連續(xù)可導(dǎo),且在x=-1與1有限時.f?x???flPl?x?l?1?

(5)2l?1fl?f?x?Pl?x?dx,?2?11?7.在球坐標(biāo)下Laplace方程: △u= 0的通解為:

軸對稱

?lBl?u?r,??????Alr?l?1?Ylm??,???6?r?l?0m??l?? ?lBl?u???Alr?l?1?Pl?cos??,?7?r?l?0?(6)式有兩系數(shù)需要兩條件來確定,對球坐標(biāo)有兩自然邊界條件,r=0與r→∞,球內(nèi)解包含r=0，l?u有限, Bl?0,u??AlrPl?cos??

(7)

l?0??l?而Al由球面的邊界條件確定,同樣對球外區(qū)域兩系數(shù)由球面的邊界條件與r→∞，兩個條件確定.8.母函數(shù)

11?2rcos??r2??rlPl?cos??

(8)

l?0?9.遞推公式

?2l?1?xPl?x??lPl?1?x???l?1?Pl?1?x?,Pl?Pl'?1?Pl'?1?2xPl'.?2l?1?Pl?Pl'?1?Pl'?1.?l?0?

二.連帶勒讓德函數(shù)

?在一般情況下,物理量u與φ有關(guān),故球函數(shù)Y是連帶勒讓德函數(shù)與周期函數(shù)的乘積.1.連帶勒讓德函數(shù) ??1?x?m22?Pl?m??x?

(1)

?2.連帶勒讓德函數(shù)的微分表示

Plm?1?x??2l!lm22dl?m2l1?x.(2)l?mdx?從(2)可得當(dāng)L一定時,m的取值為

m=0,1,2…L.共有L+1個值.而三角形式球函數(shù)Y（θ,φ）中,cosmφ,sinmφ為不同態(tài),共有2L+1個態(tài).3.正交關(guān)系

mm2????PxPxdx?Nml?lk.?3??lk1 ??2l?m!2模平方Nml?2l?1?l?m?!4.球函數(shù)Y的兩種表示形式.第十一章

柱函數(shù)

一、掌握三類柱函數(shù)的基本性質(zhì)

一般我們稱Bessel函數(shù)Jm(x)為第一類柱函數(shù).而把Neumann函數(shù)Nm(x)稱為第二類柱函數(shù).1）對于第一類柱函數(shù)與第二類柱函數(shù)的線性組合.1?x??Jm?x??iNm?x?Hm?1H?x??Jm?x??iNm?x?2m

稱為第一種與第二種漢克爾函數(shù).而漢克爾函數(shù)稱為第三類柱函數(shù)

2)x?0和x??時的行為

limJ0?x??1,limJm?x??0.?m?0?x?0x?0x?0limNm?x???,limJ?m?x???x?0limJm?x??x??2m????cos?x???,?x?24?2m????sin?x????x?24??m?????24?x?2?i??2??,limHm?x??ex???x?m?????24?

limNm?x??x??x?2i??1??limHm?x??ex???x3)遞推公式

m?2kk??d?Jm?d???1??1?2k?x?????m??dx?x?dx???k?0k!??m?k?1??2??m?2kk??1?2k1????x2k?1??k?0k!??m?k?1??2??Jm?1?x???.?1?mx dxmJm?x??xmJm?1?x??.2?dx把?1?與?2?展開??Jm?x???Jm?1?x??.3?xJm?x?'Jm?x??m?Jm?1?x??.4?x'?x??mJm4）貝塞爾函數(shù)的零點

對m階貝塞爾方程

dxdx2當(dāng)??0時,對柱側(cè)面的齊次邊界條件.R????JJmx2d2R?xdR?x?2?m2R?0.x???????m??0??????0.?1??m?xn?m?記:xn?m?本征值:?n?（J'm???0???0)20

對第一類齊次邊界條件

得出第n個零點

對第二類齊次邊界條件 二．貝塞爾函數(shù)的正交關(guān)系.? 對于不同本征值的同階貝塞爾函數(shù)在區(qū)間 ? [0,ρ0]上帶權(quán)重ρ正交.?0J? ?m0??m??n?Jm???m?2?k?m???d??[Nn]?nk.?1?

??

? 2）廣義傅里葉-貝塞爾級數(shù)

f?????fnJmn?1?

fn????.?2? 1?f???J?????d?.?3???N???m?n?0?m??m?20mnn 13 ? 3）Laplace在柱坐標(biāo)下的通解 ? 軸對稱m=0,柱內(nèi)解為

? 在側(cè)面為第一類齊次邊界條件時

?0???xnu??,z????Ansh??Rn?1?????0???xnz???Bnch??R???0????xn???z??J0???.?1??????R??1????xn???z???J0?R??.?2??????側(cè)面為第二類齊次邊界條件時?

?1???xnu??,z??A0?B0z???Anch??Rn?1?????1???xn?z???Bnsh?R??

? 其中系數(shù)An,Bn由上下底邊界條件確定.? 在上下底為齊次邊界條件時, μ? 0,R的解為虛宗量貝塞爾函數(shù).記為Im(x)? 同樣可得Laplace方程在柱內(nèi)解 ? 當(dāng)軸對稱時m=0 ? 上下底滿足第一類齊次邊界條件時解為

u??,z???

n?z?sin.?2??H?對第二類齊次邊界條件:???n??AI?n0??Hn?1n?z?n???u??,z???AnI0?.?3??cosH?H?n?0

? 輸運方程與波動方程在柱坐標(biāo)下的解 ?

1)解的形式:

u(r,t)=T(t)v(r)? V滿足亥姆霍茲方程.在側(cè)面與上下底齊次邊界條件下能完全確定本征值,例如上下底滿足 第一類齊次邊界條件.在軸對稱情況下m=0 對輸運方程柱內(nèi)的解: 上下底滿足第一類齊次邊界條件

0?xn?l?z?u??,z,t???anlJ0?????sinHen?1,l?1?0????02??xn?a?????02??l??2??t?????H?????.?1?

波動方程在柱內(nèi)的解: ? 在上下底滿足第一類齊次邊界條件下

u??,z,t???nl??0??xl?z00n??.?2?anlcosknlat?bnlsinknlatsinJ0??H??0????

0??xl?02n?knl?()????H??0?2

? 二維極坐標(biāo)下的解: ? 側(cè)面滿足第一類齊次邊界條件

000??u?,t?ccoskat?dsinkatJk?nnnn0n?

（3）?

n?1?????? 側(cè)面滿足第二類齊次邊界條件

? u??,t??a0?b0t??cncoskat?dnsinkatJ0k?.?4?

1n1n1nn?1??????

第十二章

積分變換法 ?

一、傅里葉變換法 ? 1。掌握傅里葉變換法的適用條件，即方程中的一個變量是在(-∞,∞)范圍內(nèi)時,可用Fourier 變換法.? 2。能用傅里葉變換法求解一些筒單的偏微分方程。?

二、Laplace變換法

? 1。掌握Laplace變換法的適用條件，即方程有初值情況,且一個變量 的變化范圍在(0, ∞)

? 2。能用Laplace變換法求解一些筒單的偏微分方程。?

第十三章

格林函數(shù)法 ? 1。知道格林函數(shù)的定義及物理意義 ? 2。知道泊松方程解的積分形式

? 3。能用電像法求解泊松方程的格林函數(shù)。

第二篇：《數(shù)學(xué)物理方程》教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)物理方程》教學(xué)大綱

（Equations of Mathematical Physics）

一.課程編號：040520 二.課程類型：限選課

學(xué)時/學(xué)分：40/2.5

適用專業(yè)：信息與計算科學(xué)專業(yè)

先修課程：數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，常微分方程、復(fù)變函數(shù) 三.課程的性質(zhì)與任務(wù)：

本課程是信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門限選課程。數(shù)理方程主要是指在物理學(xué)、力學(xué)以及工程技術(shù)中常見的一些偏微分方程。通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)物理方程的基本知識、解偏微分方程的經(jīng)典方法與技巧。本課程主要講述三類典型的數(shù)學(xué)物理方程，即波動方程、熱傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程的物理背景、定解問題的概念和古典的求解方法, 如波動方程的分離變量法、D`Alembert解法、積分變換法、Green函數(shù)法，變分法等。

四、教學(xué)主要內(nèi)容及學(xué)時分配

（一）典型方程和定解條件的推導(dǎo)（7學(xué)時）

一些典型方程的形式, 定解條件的推導(dǎo)。偏微分方程基本知識、方程的分類與化簡、迭加原理與齊次化原理。

（二）分離變量法（7學(xué)時）

三類邊界條件下的分離變量法, 圓域內(nèi)二維拉普拉斯方程定解問題的求法,求解一類非齊次方程的定解問題,非齊次邊界條件的處理方法.（三）積分變換法（8學(xué)時）

Fourier變換和Laplace變換的定義和基本性質(zhì)，F(xiàn)ourier變換和Laplace變換的在求解數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用。

（四）行波法（7學(xué)時）

一維波動方程的求解方法，高維波動方程的球面平均法，降維法

（五）格林函數(shù)（6學(xué)時）

微積分中學(xué)中的幾個重要公式；調(diào)和函數(shù)的Green公式和性質(zhì)；格林函數(shù)；格林函數(shù)的性質(zhì)；格林函數(shù)的求解方法。

（六）變分法（5學(xué)時）

變分法的一些基本概念，泛函極值的必要條件、泛函的條件極值問題

五、教學(xué)基本要求

通過教師的教學(xué)，使學(xué)生達到下列要求

（一）掌握典型方程和定解條件的表達形式，了解一些典型方程的推導(dǎo)過程，會把一個物理問題轉(zhuǎn)化為定解問題。掌握偏微分方程的基本概念，掌握關(guān)于兩個變量的二階線性偏微分方程的分類和化簡，掌握迭加原理與齊次化原理。

（二）掌握分離變量法在三種定解條件下的求解步驟，理解圓域內(nèi)二維拉普拉斯方程定解問題的求法, 會求解非齊次方程的定解問題,掌握非齊次邊界條件的處理方法。

（三）掌握達朗貝爾公式的推導(dǎo)過程和物理意義，掌握解決柯西始值問題的行波法。了解依賴區(qū)間、決定區(qū)域、特征線、影響區(qū)域和決定區(qū)域的概念。掌握三維波動方程的初值問題的徑向?qū)ΨQ解，了解高維波動方程初值問題的球面平均法和降維法。

（四）掌握Fourier變換和Laplace變換的定義和基本性質(zhì)，會Fourier變換和Laplace變換的在求解某些簡單的數(shù)學(xué)物理方程定解問題。

（五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握調(diào)和函數(shù)的Green公式和性質(zhì)，理解格林函數(shù)的基本性質(zhì)。會求半空間和球域上的格林函數(shù)。

（六）掌握變分法的基本概念，會求解幾類典型的變分問題的解。

六、課程內(nèi)容的重點和深廣度要求

教學(xué)基本要求中的數(shù)學(xué)物理方程的基本知識、解偏微分方程的經(jīng)典方法與技巧是本課程的重點，此外，學(xué)生對下列各項也應(yīng)給予注意：

1.線性偏微分方程的分類與化簡。

2.固有值問題，關(guān)于固有值與固有函數(shù)討論。3.方程與邊界條件同時齊次化的簡易方法。4.Fourier變換和Laplace變換的定義和基本性質(zhì)。5.格林函數(shù)的定義和基本性質(zhì)

6.泛函極值的必要條件、泛函的條件極值問題。

七、作業(yè)、輔導(dǎo)與考試

作業(yè)與輔導(dǎo)：作業(yè)次數(shù)或作業(yè)量：每學(xué)期約布置20—24次作業(yè)，每次平均4題左右。每周一次課外輔導(dǎo)。

考核方法：平時考核占總成績30%，期末考試占70%。

八、本課程與后續(xù)課程的關(guān)系

本課程是繼數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、常微分方程、實變函數(shù)與泛函分析、復(fù)變函數(shù)和普通物理之后的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，它既廣泛地應(yīng)用上述基礎(chǔ)課程的基本理論、數(shù)學(xué)思想、解題方法與技巧，又以新的研究對象，發(fā)展了這些基礎(chǔ)學(xué)科的基本理論，形成研究經(jīng)典偏微分方程的一系列新的理論和解決問題的方法。為進一步學(xué)習(xí)偏微分方程專業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)。

九、對學(xué)生能力培養(yǎng)的要求

學(xué)生能夠從物理問題中提煉出方程模型，并能用本課程所學(xué)方法解決問題。

十、使用教材及主要參考書

[1] 胡學(xué)剛等.數(shù)學(xué)物理方法.機械工業(yè)出版社，1997.[2] 吳方同編著.數(shù)學(xué)物理方程.武漢大學(xué)出版社，2001.[3] 谷超豪、李大潛等.數(shù)學(xué)物理方程（第二版）.高等教育出版社，2002.[4] 姜禮尚等.數(shù)學(xué)物理方程講義（第二版）.高等教育出版社，1996.[5] 陳恕行等.數(shù)學(xué)物理方程.復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.[6] 王元明.工程數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)（第三版）.高等教育出版社，2004.[7] 王元明.工程數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)學(xué)習(xí)指南.高等教育出版社，2004.[8] 戴嘉尊.數(shù)學(xué)物理方程.東南大學(xué)出版社，2002 [9] Lawrence C Evans.Partial Differential Equations.American Mathematical Society, Provodence, Rhode Island，1998.十一、教學(xué)方法和教學(xué)媒體的使用

采用啟發(fā)式、提問式等教學(xué)方法，輔以板書和多媒體相結(jié)合的教學(xué)手段。

十二、學(xué)習(xí)方法與建議

建議學(xué)生采取課前閱讀，上課時認(rèn)真聽講，課后多作練習(xí)的學(xué)習(xí)方法。

第三篇：用方程解決問題(小結(jié))

4.3用方程解決問題（小結(jié)）

班級 姓名 學(xué)號

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用方程進行描述，讓學(xué)生體驗方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效模型。

2．進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析問題、解決問題的能力，滲透建模的數(shù)學(xué)思想。3.感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)習(xí)難點：

分析與確定問題中的等量關(guān)系，能用方程來描述和刻畫事物間的等量關(guān)系。教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 問題一：

1.家電下鄉(xiāng)是我國應(yīng)對當(dāng)前國際金融危機，惠農(nóng)強農(nóng)，帶動工業(yè)生產(chǎn)，促進消費，拉動內(nèi)需的一項重要舉措．國家規(guī)定，農(nóng)民購買家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品將得到銷售價格13%的補貼資金．今年5月1日，甲商場向農(nóng)民銷售某種家電下鄉(xiāng)手機20部．已知從甲商場售出的這20部手機國家共發(fā)放了2340元的補貼，若設(shè)該手機的銷售價格為x元，以下方程正確的是（）A．20x?13%?2340

C．20x(1?13%)?2340

B．20x?2340?13%

D．13%?x?2340

2.A種飲料比B種飲料單價少1元，小峰買了2瓶A種飲料和3瓶B種飲料，一共花了13元，如果設(shè)B種飲料單價為x元/瓶，那么下面所列方程正確的是（）A．2(x?1)?3x?13 C．2x?3(x?1)?13

B．2(x?1)?3x?13 D．2x?3(x?1)?13

3.動物園的門票售價：成人票每張50元，兒童票每張30元。某日動物園售出門票700張，共得29000元。設(shè)兒童票售出x張，依題意可列出下列哪一個一元一次方程式？（）A．30x?50(700?x)=29000

B．50x?30(700?x)=29000 C．30x?50(700?x)=29000

D．50x?30(700?x)=29000。

二、合作質(zhì)疑，探索新知 問題二：

據(jù)寧德網(wǎng)報道：

問題三：

整理一批圖書，如果由一個人單獨做要花60小時。現(xiàn)先由一部分人用一小時整理，隨后增加15人和他們一起又做了兩小時，恰好完成整理工作。假設(shè)每個人的工作效率相同，那么先安排整理的人員有多少人？ 問題四：

某中學(xué)擬組織九年級師生去韶山舉行畢業(yè)聯(lián)歡活動．下面是年級組長李老師和小芳、小明同學(xué)有關(guān)租車問題的對話： 李老師：“平安客運公司有60座和45座兩種型號的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金比45座的貴200元．” 小芳：“我們學(xué)校八年級師生昨天在這個客運公司租了4輛60座和2輛45座的客車到韶山參觀，一天的租金共計5000元．” 小明：“我們九年級師生租用5輛60座和1輛45座的客車正好坐滿．” 根據(jù)以上對話，解答下列問題：

（1）平安客運公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？

（2）按小明提出的租車方案，九年級師生到該公司租車一天，共需租金多少元？

三、自主歸納，形成方法

學(xué)生自主歸納：如何用方程解決問題？ 鞏固練習(xí)：

1．請你閱讀下面的詩句:“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，三只棲一樹，五只沒去處，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細數(shù)，鴉樹各幾何？” 詩句中談到的鴉為 只、樹為 棵.2．某商品的價格標(biāo)簽已丟失，售貨員只知道“它的進價為80元，打七折售出后，仍可獲利5%”．你認(rèn)為售貨員應(yīng)標(biāo)在標(biāo)簽上的價格為

元．

四、反思設(shè)計，分組活動

1、列方程解應(yīng)用題的一般步驟。

2、列方程解應(yīng)用題的注意事項。

五、發(fā)展能力，拓展延伸

為了拉動內(nèi)需，全國各地汽車購置稅補貼活動在2009年正式開始．某經(jīng)銷商在政策出臺前一個月共售出某品牌汽車的手動型和自動型共960臺，政策出臺后的

班長應(yīng)付（A．45元）

B．90元

C．10元

D．100元

2．有大小兩種船，1艘大船與4艘小船一次可以載乘客46名，2艘大船與3艘小船一次可以載乘客57人．綿陽市仙海湖某船家有3艘大船與6艘小船，一次可以載游客的人數(shù)為（）

A．129

B．120

C．108

D．96 3．小悅買書需用48元錢，付款時恰好用了1元和5元的紙幣共12張．設(shè)所用的1元紙幣為x張，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是 A．x?5(12?x)?48

B．x?5(x?12)?48

C．x?12(x?5)?48

D．5x?(12?x)?48

4.已知有10包相同數(shù)量的餅干，若將其中1包餅干平分給23名學(xué)生，最少剩3片。若將此10包餅干平分給23名學(xué)生，則最少剩多少片？（）

A．0

B．3

C．7

D．10

5．某種襯衫每件的標(biāo)價為150元，如果每件以8折（即按標(biāo)價的80％）出售，那么這種襯衫每件的實際售價應(yīng)為

元．

6.某商店一套服裝的進價為200元，若按標(biāo)價的80％銷售可獲利72元，則該服裝的標(biāo)價為 _ 元．

7.“家電下鄉(xiāng)”農(nóng)民得實惠．村民小鄭購買一臺雙門冰箱，在扣除13%的政府財政補貼后，再減去商場贈送的“家電下鄉(xiāng)”消費券100元，實際只花了1 726.13元錢，那么他購買這臺冰箱節(jié)省了

元錢．

8.為迎接“建國60周年”國慶，我市準(zhǔn)備用燈飾美化紅旗路，需采用A、B兩種不同類型的燈籠200個，且B燈籠的個數(shù)是A燈籠的2。3（1）求A、B兩種燈籠各需多少個？

（2）已知A、B兩種燈籠的單價分別為40元、60元，則這次美化工程購置燈籠需多少費用？

9.某超市為“開業(yè)三周年”舉行了店慶活動．對A、B兩種商品實行打折出售．打折前，購買5件A商品和1件B商品需用84元；購買6件A商品和3件B商品需用108元．而店慶期間，購買50件A商品和50件B商品僅需960元，這比不打折少花多少錢？

10.2009年北京市生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水各多少億立方

米

11．受氣候等因素的影響，今年某些農(nóng)產(chǎn)品的價格有所上漲.張大叔在承包的10畝地里所種植的甲、乙兩種蔬菜共獲利13800元.其中甲種蔬菜每畝獲利1200元，乙種蔬菜每畝獲利1500元.則甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

12.北京市實施交通管理新措施以來，全市公共交通客運量顯著增加.據(jù)統(tǒng)計，2008年10月11日到2009年2月28日期間，地面公交日均客運量與軌道交通日均客運量總和為1696萬人次，地面公交日均客運量比軌道交通日均客運量的4倍少69萬人次.在此期間，地面公交和軌道交通日均客運量各為多少萬人次？

第四篇：數(shù)學(xué)物理方程課程組教學(xué)研討會 - 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)教務(wù)處

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科教育

教 學(xué) 簡 報

2011年第8期(總第498期)中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)教務(wù)處 6月1日

“數(shù)學(xué)物理方程”課程組第二次教學(xué)研討會召開

5月20日下午，我院“數(shù)學(xué)物理方程”課程組召開了本學(xué)期第二次課程組教學(xué)研討會。

本次會議，圍繞著部分學(xué)生與老師對本課程教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)要求等提出的建議展開激烈討論。課程組教師都注意到，“數(shù)學(xué)物理方程”課程既作為非數(shù)學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)課程的結(jié)束課程，又作為量子力學(xué)等現(xiàn)代物理課程的基礎(chǔ)課程，教學(xué)中不僅需要綜合利用前期所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，特別是微積分學(xué)以及線性代數(shù)的有關(guān)知識，同時還涉及力學(xué)、熱學(xué)等多門物理學(xué)科的知識，因此對學(xué)生前期學(xué)習(xí)程度有著較高的要求，對授課教師的知識面也提出了較高要求。

研討會上，有教師提出可以邀請物理等學(xué)科的教師參與到本課程組的建設(shè)中來，邀請有關(guān)物理學(xué)科的專家就“數(shù)學(xué)物理方程”在物理中的應(yīng)用作些科普性的報告，增強學(xué)生以及數(shù)學(xué)老師對于本課程應(yīng)用背景的了解，同時鼓勵組內(nèi)成員參加微積分以及線性代數(shù)等前期數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，以對數(shù)學(xué)公共課程有一個宏觀掌控，對本課程的教學(xué)會大有幫助。

研討會還就學(xué)期末有關(guān)事宜作出安排，就考試內(nèi)容作出統(tǒng)一部署，同時安排有關(guān)教員準(zhǔn)備試卷初稿，以供大家討論。最后，課程組向大家通報今年暑期即將在內(nèi)蒙古大學(xué)召開的“全國數(shù)學(xué)物理方法年會”情況，鼓勵課程組教師積極參加該會議，與國內(nèi)同行專家交流學(xué)習(xí)，開闊視野，從而進一步提高自己的授課水平。

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

第五篇：四年級數(shù)學(xué)《方程》說課稿

大家好！今天我說課的內(nèi)容是《方程》。

在本節(jié)課中，充分體現(xiàn)“以學(xué)生的發(fā)展為本，著眼于學(xué)生終身學(xué)習(xí)的愿望和能力”這一教學(xué)理念。牢固樹立以學(xué)生為中心的教育主體觀，以學(xué)生能力發(fā)展為重點的教育質(zhì)量觀，為學(xué)生的發(fā)展而教！

首先，為滿足學(xué)習(xí)需要而教。面對不同的課堂、不同的學(xué)生，如何讓學(xué)生獲得更好的發(fā)展，重要的是了解學(xué)生的需要，激發(fā)認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力。如：課始，提出問題：關(guān)于方程，你想知道些什么？引起學(xué)生強烈的求知欲。

其次，為發(fā)展數(shù)學(xué)思維而教。通過天平直觀演示，教師一步一步地引導(dǎo)學(xué)生找出相等的數(shù)量關(guān)系，并討論如何用式子表示。然后，脫離天平的直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相等的數(shù)量關(guān)系，嘗試用式子表示。接著，學(xué)生自主找出相等的數(shù)量關(guān)系，并用式子表示。層層遞進，從直觀到抽象、由扶到放。最后，通過觀察、分析、合作分類，自主建立關(guān)于方程的數(shù)學(xué)模型，揭示方程的意義，在主動獲取新知的同時，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。