第一篇：2變式教學(xué)論文

變式教學(xué)優(yōu)化思維品質(zhì)

———高一一節(jié)二次函數(shù)求最值的變式教學(xué)課有感

摘要：本文通過引用一節(jié)二次函數(shù)求最值的變式教學(xué)課，著重論述了變式教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫性，嚴(yán)密性，深刻性，廣闊性，變通性，雙向性，靈活性，發(fā)散性和創(chuàng)造性等方面來闡述變式教學(xué)的優(yōu)越性，優(yōu)化課堂效率。

關(guān)鍵詞：變式教學(xué)，培養(yǎng)，思維

變式教學(xué)是指教師將數(shù)學(xué)中各種知識點(diǎn)有效地組合起來，從最簡單的命題入手，不斷變換問題的條件或者結(jié)論或者情景，層層推進(jìn)，逐漸揭示出問題的本質(zhì)特征的一種教學(xué)方式。在不斷的變化中去尋找數(shù)學(xué)的規(guī)律性，使學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，使所有知識點(diǎn)融會貫通，從而透過現(xiàn)象，看到本質(zhì)，這就是人們常講的“萬變不離其宗”。通過變式對數(shù)學(xué)問題多角度、多方位、多層次的討論和思考，能幫助學(xué)生打通知識關(guān)節(jié)，找到解題方法，拓寬解題思路，對于優(yōu)化課堂效率，提高解題能力，培養(yǎng)思維的連貫性，嚴(yán)密性，深刻性，廣闊性，變通性，雙向性，靈活性，發(fā)散性和創(chuàng)造性等方面都是大有益處的。

引例（1）求f(x)?x2?2x?1在R上的最小值

（2）求f(x)?x2?2x?1在[2,3]上的最小值（3）求f(x)?x2?2x?1在[0,3]上的最小值

本堂課由一個(gè)二次函數(shù)，在三個(gè)不同的區(qū)間上求最小值的問題引入，揭露出二次函數(shù)求最值的本質(zhì)，于何處取得最值？關(guān)鍵是圖像對稱軸與區(qū)間的關(guān)系的討論。區(qū)間不同，結(jié)果也不同，體現(xiàn)出在解決函數(shù)問題時(shí)，定義域的重要性，即所研究問題的范圍。問題串式編題，既有相同之處，又有細(xì)微區(qū)別，區(qū)別之處揭露本質(zhì)。

一、改變條件加入討論構(gòu)造變式，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性和深刻性

變式教學(xué)不是為了變式而變式，而是要根據(jù)教學(xué)與學(xué)習(xí)的需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在重要處和關(guān)鍵處進(jìn)行變式，讓學(xué)生充分領(lǐng)會問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

變式一

求f(x)?x?2x?1在[0,a]上的值域

(1)當(dāng)0

(3)當(dāng)a>2時(shí),min=0,max=f(a),? 值域?yàn)閇0,a2-2a+1]

變式二

求f(x)?x2?2x?1在[a,a+2]上的值域

，當(dāng)a??1時(shí)，f(x)?[f(a?2),f(a)]當(dāng)?1?a?0時(shí)，f(x)?[0,f(a)]當(dāng)0

二、調(diào)換參數(shù)位置構(gòu)造變式，培養(yǎng)思維的廣闊性和變通性

數(shù)學(xué)教學(xué)中由一個(gè)基本問題出發(fā)，運(yùn)用類比，聯(lián)想等思維方式，可以構(gòu)造出很多數(shù)學(xué)問題情境。在類比的變式中，引導(dǎo)學(xué)生在變中看到不變的本質(zhì)，找到解決問題的主思路。

變式三

求f(x)?x?2kx?1在[-1,1]上的最小值m(k)

當(dāng)k<-1時(shí)，m(k)=f(-1)=2+2k當(dāng)-1?k?1時(shí)，m(k)=f(k)=-k2?1當(dāng)k>1時(shí)，m(k)=f(1)=2-2k?2+2k,k<-1?綜上：m(k)=?-k2?1,-1?k?1?2-2k,k>1?

變式四

求f(x)?kx?2x?1在[-1,1]上的最大值M(k)當(dāng)k=0時(shí)，M(k)=f(-1)=3當(dāng)k>0時(shí)，M(k)=f(-1)=k+3

1當(dāng)k<0時(shí)，當(dāng)<-1時(shí)，即-1

k1 當(dāng)-1?<0時(shí)，即k?-1時(shí)，M(k)=f(k)=1-

kk?k?3k??1?綜上M(k)??1

1?k??1??k變式三和變式四將參數(shù)從區(qū)間的位置轉(zhuǎn)移到解析式處，變成軸變區(qū)間定的模型，訓(xùn)練思維的變通性。但是變題的本質(zhì)仍然沒有變，最關(guān)鍵的仍是何處取得最大值或者最小值，仍然是圖像的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系。變式三和變式四比變式一和變式二在思維上實(shí)現(xiàn)了一點(diǎn)跳躍，一個(gè)是軸定區(qū)間動，一個(gè)是軸動區(qū)間定，要求學(xué)生思維上能靈活變通，善于抓住最本質(zhì)不變的特征。但是從變式三到變式四，難度上又有稍稍遞進(jìn)，從分類討論的角度，變式四要比變式三更復(fù)雜些，既要討論二次項(xiàng)系數(shù)為零，為正，為負(fù)等各種情況，又要討論各種情況下的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即在左邊，在中間或者在右邊，在運(yùn)算的過程中，根據(jù)參數(shù)的范圍，有時(shí)又可以省略掉一些討論，對于訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性和變通性大有益處。

二、已知最值反求參數(shù)構(gòu)造變式，培養(yǎng)思維的雙向性和靈活性 此變式屬于逆向思維的變式，從已知參數(shù)求最值，到已知最值反過來求參數(shù)的變題訓(xùn)練，可以有效的訓(xùn)練思維的靈活性，防止僵化。但問題的關(guān)鍵仍然是函數(shù)在區(qū)間上的何處取得最大值，仍是討論圖像對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，讓學(xué)生體會從變種掌握不變的本質(zhì)。

變式五

已知f(x)?kx?2x?1在[-1,1]上的最大值為，求k的值

252?k?3k??151?解法一：在變式四時(shí)已解得M(k)??1，當(dāng)M(k)?時(shí)，得 k??

221?k??1??k解法二：經(jīng)圖像的分析，得到最大值取得無非是在區(qū)間端點(diǎn)處或者對稱軸處

57若f(?1)?,則k?,檢驗(yàn)得不滿足22511若f(1)?,則k??,檢驗(yàn)得滿足情況 綜上得k??222 157若f()?,則k?，檢驗(yàn)得不滿足k22變式五與變式四是倆逆向思維的變題，在解決變式五中又從一題多解的角度體現(xiàn)了方法的多樣性與思維的靈活性。變式五在變式四的基礎(chǔ)上進(jìn)行編排，省去了準(zhǔn)備工作階段的很多重復(fù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)課堂效率的優(yōu)化。方法一重分類討論解決二次函數(shù)最值的問題，方法二具有一定的巧妙性，是一種特殊法思想，體會樹形結(jié)合解決問題。分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想都是高中階段需要好好培養(yǎng)的兩種思想方法，說明本堂課的內(nèi)容是豐富飽滿的。特殊法思想讓學(xué)生體驗(yàn)常規(guī)之外的靈活多樣，訓(xùn)練思維的靈活性。

四、轉(zhuǎn)變函數(shù)形式構(gòu)造變式，培養(yǎng)思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象的說：“好問題同某種蘑菇有些相似，它們大多成堆的成長，找到一個(gè)后，你應(yīng)該在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè)?！闭莆丈鲜鲱}型的求解之后，我們還應(yīng)舉一反三，經(jīng)過適當(dāng)變化之后，能看出問題考察的知識點(diǎn)本質(zhì)是什么，將貌似不熟悉的題目化歸到我們所熟悉的題型；反之對于我們所熟悉的題型，也能發(fā)散出去，編寫創(chuàng)造出與其它知識點(diǎn)相聯(lián)系的變題。

變式六：（1）求f(x)??cosx2?2asinx?a的最小值

令t?sinx,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y?t2?2at?a?1在[?1,1]上的最小值，與變式三同類型。

（2）設(shè)a?0,若f(x)??cosx2?2asinx?b的最大值為0，最小值為-4,求a,b的值

令t?sinx,轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)y?t2?2at?b?1在[?1,1]上的最小值為-4，最大值為1，求a,b的值，與變式五同類型.（3）求f(x)??（asinx+cosx）+sinxcosx的最小值

t21令t?sinx?cosx,t?[?2,2],轉(zhuǎn)化為求y??at?在[?2,2]上的最小值

22變式六重視培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和化歸的思想，經(jīng)過變形仍轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間的何處取得最值的問題。第（3）小題在難度和思維的發(fā)散上均達(dá)到一個(gè)高峰，要求學(xué)生既能領(lǐng)會問題的本質(zhì)，又有較大的創(chuàng)新和變通能力，綜合性較強(qiáng)。變式六的類型其實(shí)與變式三和變式五同類型，只是結(jié)合了三角函數(shù)的知識，可以教師給出這些題讓學(xué)生通過適當(dāng)換元看出問題的本質(zhì)，也可以讓學(xué)生自己編出與上述題類似的變題。

試看我們平常的教學(xué)，師生往往陷于題海戰(zhàn)術(shù)中不能自拔，這種沙里淘金的方式，效果很不理想。變式教學(xué)運(yùn)用各種變式挖掘、延伸、改造，即能運(yùn)用較少的時(shí)間，將所學(xué)的知識條理化，系統(tǒng)化，揭露出問題最本質(zhì)的特征，又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高解決問題的應(yīng)變能力，是一種能大大提高課堂效率為廣大學(xué)生所接受并喜愛的一種教學(xué)方式。減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，形成高超數(shù)學(xué)能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，變式教學(xué)功不可沒。

參考文獻(xiàn)：

[1]中學(xué)數(shù)學(xué)，湖北大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)雜志社，2009，（7）[2]中學(xué)數(shù)學(xué)，湖北大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)雜志社，2009，（12）[3]中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，蘇州大學(xué)出版社，2009，（11）

第二篇：變式教學(xué)

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怎樣進(jìn)行變式教學(xué)

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過變更概念非本質(zhì)的特征、改變問題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究 “變”的規(guī)律的一種教學(xué)方式。數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過一個(gè)問題的變式來達(dá)到解決一類問題的目的，對引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)“雙基”，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力都具有很好的積極作用。

一、類比變式，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的含義

初中數(shù)學(xué)具有一定的抽象性，許多數(shù)學(xué)概念概括性比較強(qiáng)，學(xué)生理解非常困難；有些知識包含了隱性內(nèi)容，有僅僅依靠老師的情景創(chuàng)設(shè)和知識講解學(xué)生可能無法全面理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵的，所以需要運(yùn)用更加豐富的教學(xué)手段幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識。

例如在學(xué)習(xí)“分式的意義”時(shí)，一個(gè)分式的值為零是包含兩層含義：(1)分式的分子為零(2)分母不為零。因此，如果僅有“當(dāng)x為何值時(shí)分式 的值為零”，此類簡單模仿性的問題，學(xué)生對“分子為零且分母不為零”這個(gè)條件還是很不清晰的，考慮“分母不為零” 意識還不會很強(qiáng)。但如果以下的變形訓(xùn)練，教學(xué)效果會大不相同：

變形1：當(dāng)x______時(shí)，分式 的值為零？

變形2：當(dāng)x______時(shí)，分式 的值為零？

變形3：當(dāng)x______時(shí)，分式 的值為零？ 通過以上的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質(zhì)的東西有個(gè)非常清晰的認(rèn)識，因此，數(shù)學(xué)變式教學(xué)有助于養(yǎng)成學(xué)生深入反思數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，善于抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律，探索相關(guān)數(shù)學(xué)問題間的內(nèi)涵聯(lián)系以及外延關(guān)系。

二、模仿變式，更快熟悉數(shù)學(xué)的基本方法

數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，而這些數(shù)學(xué)方法的掌握往往需要通過適當(dāng)改變問題的背景或者提問方式，通過模仿訓(xùn)練來熟悉。所以，在教學(xué)中通過精心設(shè)計(jì)變式問題，或挖掘教材自身的資源可以更快地幫助學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)的基本方法。

例如人教版課標(biāo)教材八年級《數(shù)學(xué)》（上）中，為了使學(xué)生更好地掌握三角形全等的判定的“SSS”方法的運(yùn)用，就很好地采用了變式教學(xué)的設(shè)計(jì)形式。

（1）如圖(1)，△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A和BC的中點(diǎn)D的支架，求證：△ABD≌△ACD；（例題1）

（2）如圖(2)，AB=AD,CB=CD,△ABC與△ADC全等嗎？(習(xí)題13.2中的復(fù)習(xí)鞏固)（3）如圖(3)，C是AB的中點(diǎn)，AD=CE,CD=BE，求證△ACD≌△CBE；(習(xí)題13.2中的復(fù)習(xí)鞏固)（4）如圖(4)，B、E、C、F在一條直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證∠A＝∠D.(習(xí)題13.2中的綜合運(yùn)用)教材中為了讓學(xué)生掌握“SSS”方法，首先安排了（1）中的簡單訓(xùn)練，其中全等的兩個(gè)三角形有公共邊的三角形，相等關(guān)系較為直接，只要驗(yàn)證全等的條件是否齊全、是否對應(yīng)即可以；而（2）則是例1的圖形略為變形，旨在增強(qiáng)學(xué)生針對圖形變化應(yīng)注意全等條件的驗(yàn)證意識；（3）、（4）中的兩個(gè)三角形雖然已經(jīng)一對邊之間有直接關(guān)系，但其中一對邊的相等關(guān)系需要經(jīng)過簡單的推理而得到，難度有所加強(qiáng)，對學(xué)生是否掌握“SSS”方法的要求更高。這樣的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生通過模仿逐步掌握數(shù)學(xué)的基本方法，對初中學(xué)生有著更普遍的意義。

三、階梯變式，訓(xùn)練中總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律

初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式化趨勢比較明顯，而學(xué)生的對形式化的數(shù)學(xué)知識理解普遍感到困難，對某些規(guī)律的形式化的歸納往往更是無從下手，所以，適當(dāng)?shù)貜膶W(xué)生的實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)變式教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生從變式問題中“變化量”的相互關(guān)系中，幫助學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律。

例如人教版課標(biāo)教材九年級《數(shù)學(xué)》（下）關(guān)于二次函數(shù)y=ax2的圖像的對稱軸、頂點(diǎn)、開口等變化規(guī)律與a的取值的的關(guān)系時(shí)就是采用變式教學(xué)的形式，讓學(xué)生通過類比推理總結(jié)出這類函數(shù)的性質(zhì)的規(guī)律的。

首先，用描點(diǎn)法分別畫出兩個(gè)簡單的二次函數(shù)“y= x2”和“ y=2x2”的圖像，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察它們與“y=x2”的圖像的不同點(diǎn)、共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

（1）三個(gè)函數(shù)對稱軸都是y軸；（2）三個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)；（3）開口均向上。

其次，進(jìn)行變式后再嘗試驗(yàn)證。同樣用描點(diǎn)法別畫出兩個(gè)簡單的二次函數(shù)“y=-x2”、“y=-x2”、“ y=-2x2”的圖像引導(dǎo)學(xué)生通過觀察它們與圖像的不同點(diǎn)、共同點(diǎn)的系數(shù)的可以引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證上述結(jié)論，發(fā)現(xiàn)（1）、（2）依然成立，而（3）有了不同的變化，就是拋物線的開口方向?qū)嶋H上與函數(shù)中系數(shù)的正負(fù)有關(guān)，當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)開口向下。

這樣，因?yàn)樾枰獙D形的幾何性質(zhì)等規(guī)律性知識進(jìn)行總結(jié)或驗(yàn)證時(shí)，從簡單的一類問題開始進(jìn)行變式，借助變式教學(xué)的方法可以很好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，數(shù)學(xué)中其它規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證都可以使用變式教學(xué)。

四、拓展變式，有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系往往不是十分明顯，經(jīng)常隱藏于例題或習(xí)題之中，教學(xué)中如果重視對課本例題和習(xí)題的“改裝”或引申，進(jìn)行必要的挖掘，即通過一個(gè)典型的例題進(jìn)行拓展，最大可能的覆蓋知識點(diǎn)，把分散的知識點(diǎn)串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于學(xué)生知識的建構(gòu)。

? 例如下面問題可以進(jìn)行充分運(yùn)用會有更加意想不到的效果：

如圖

（一）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，DE^AC，DF^AB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。

上題通過連接AD分割成兩個(gè)以腰為底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結(jié)論，不難求的AB上的高為8cm。我在教學(xué)中并未把求得結(jié)論作為終極目標(biāo)，而是繼續(xù)問：3+5=8，在此題中是否是一個(gè)巧合？探究DE、DF、CH之間的內(nèi)在聯(lián)系，（引導(dǎo)學(xué)生猜想CH=DE+DF）。

引出變式題（1）如圖

（二）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，點(diǎn)D是邊BC上的任一點(diǎn)，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分別是E、F、H，求證：CH=DE+DF 在計(jì)算例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯(lián)系起來的意識，此題的證明很容易解決。

在學(xué)生思維的積極性充分調(diào)動起來的此時(shí)，我又借機(jī)給出變式（2）如圖

（三）在等邊DABC中，P是形內(nèi)任意一點(diǎn)，PD^AB于D，PE^BC于E，PF^AC于F，求證PD+PE+PF是一個(gè)定值。通過這組變式訓(xùn)練，面積法在幾何計(jì)算和證明中的應(yīng)用得到了很好的體現(xiàn)，同時(shí)這一組變式訓(xùn)練經(jīng)歷了一個(gè)特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識，學(xué)生猜想、歸納能力也有了進(jìn)一步提高，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和探究意識。

五、背景變式，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練

在解題教學(xué)的思維訓(xùn)練中，通過改變問題背景進(jìn)行變式訓(xùn)練是一種很有效的方法。通過從不同角度去改變題目，通過解題后的反思，歸納出同一類問題的解題思維的形成過程與方法的采用，通過改變條件，可以讓學(xué)生對滿足不同條件的情況作出正確的分析，通過改變結(jié)論等培養(yǎng)學(xué)生推理、探索的思維能力，使學(xué)生的思維更加靈活性和嚴(yán)密性。

例如：已知等腰三角形的腰長是5，底長為6，求周長。我們可以將此例題進(jìn)行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長為5，周長為16，求底邊長。變式2：已等腰三角形一邊長為5；另一邊長為

6，求周長。

變式3：已知等腰三角形的一邊長為2，另一邊長為16，求周長。

變式4：已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是16。請先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出二者的圖象。

變式1是在原問題的基礎(chǔ)上訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，變式2與前兩題相比需要改變思維策略，進(jìn)行分類討論，而變式3中的“5”顯然只能為底的長，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性，變式4與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0﹤y﹤2x的理解運(yùn)用，是完成此問題的關(guān)鍵。通過問題的層層變式，學(xué)生對三邊關(guān)系定理的認(rèn)識又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成思維定勢，而又打破思維定勢，有利于培養(yǎng)思維的靈活性和嚴(yán)密性。

變式教學(xué)實(shí)際上是在教學(xué)中根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)要求、授課對象、數(shù)學(xué)教材內(nèi)容和教學(xué)環(huán)境形成的一種教學(xué)方法。變式教學(xué)是一種教學(xué)形式,要想它能取得較好的課堂教學(xué)效益，必須充分考慮上述教學(xué)因素；變式教學(xué)就是外因，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動則是內(nèi)因，變式教學(xué)能為學(xué)生提供更多的主動參與學(xué)習(xí)的時(shí)間、空間,促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)化的機(jī)會。

第三篇：變式論文變式教學(xué)論文：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的變式和實(shí)踐

變式論文變式教學(xué)論文：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的變式和實(shí)踐 【摘 要】介紹變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)，用實(shí)際教學(xué)中的案例介紹了教學(xué)中的變式練習(xí)實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】變式 高中數(shù)學(xué)知識 變式教學(xué)

眾所周知，在我國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，十分注重“變式教學(xué)”。正是因?yàn)檫\(yùn)用了“變式教學(xué)”。我國學(xué)生在具有良好的基礎(chǔ)知識和熟練的基本技能方面大大超過了西方國家學(xué)生，但是我國學(xué)生在動手能力和解決比較復(fù)雜、開放的數(shù)學(xué)問題上卻遜于西方學(xué)生也是不爭的事實(shí)。變式是指變換問題的條件或表征，而不改變問題的實(shí)質(zhì)，只改變其形態(tài)。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容跨度大、抽象性強(qiáng)，只有促進(jìn)高中學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深刻理解，才能達(dá)到掌握和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的目的。人們對知識的深刻理解都具有一定的時(shí)空性、階段性和漸進(jìn)性，因此，只有在變化環(huán)境下反復(fù)理解，學(xué)生的認(rèn)識才能不斷深入。

在變式教學(xué)中，變式練習(xí)是陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識點(diǎn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。變式練習(xí)就是指在其他教學(xué)條件不變的情況下，概念和規(guī)則等程序性知識的例證的變化。變式練習(xí)可以讓學(xué)生在練習(xí)過程中，通過多角度的分析、比較、聯(lián)系，去深刻理解問題的結(jié)構(gòu)和解決策略。下面通過兩個(gè)例子來談一下變式練習(xí)在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用。

題目1：（高中數(shù)學(xué)新教材第二冊（上）p130 例2）直

線y=x-2與拋物線y=2x相交于a、b兩點(diǎn)，求證：oa⊥ob。

本題是課本上一道習(xí)題，下面對其進(jìn)行變式探究。推廣變式：由原式知y=x-2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對拋物線y=2x中p=1，將此拋物線方程推向一般情況，則得到下列變式：

變式1：直線l過定點(diǎn)（2p，0），與拋物線y=2px（p＞0）交于a、b兩點(diǎn)，o為原點(diǎn)，求證：oa⊥ob。

證明：設(shè)l的一般方程式為x=ky+2p，代入題目中的拋物線方程中，化簡得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，yy=-4p，所以xx=（）=4p，所以=xx+yy=0，所以⊥，即oa⊥ob。

如果我們將上題中的圖形中新加載另一個(gè)圖形圓，則可有下面的試題：

變式2：（2004年重慶高考理科卷）設(shè)p＞0是一常數(shù)，過點(diǎn)q（2p，0）的直線與拋物線y=2px交于相異兩點(diǎn)a、b，以線段ab為直徑作圓h（h為圓心）。試證拋物線頂點(diǎn)在圓h的圓周上；并求圓h的面積最小時(shí)直線ab的方程。

由變式1可知oa⊥ob，即點(diǎn)o在圓h上，因h為圓心，故h為ab的中點(diǎn)。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出x=(x+x)=(4p+n(y+y))=(2+p)p，y=(y+y)=pn。

顯然oh為圓的半徑，且oh==，所以當(dāng)n=0時(shí)，圓的半徑最小。此時(shí)ab的方程為x=2p。

當(dāng)然我們還可以對此題進(jìn)行逆向研究，即將此題變式

1的條件和結(jié)論進(jìn)行互換得到下列命題：

變式3：若a、b為拋物線y=2px(p＞0)上兩個(gè)動點(diǎn)，o為原點(diǎn)，且oa⊥ob，求證：直線ab過定點(diǎn)。

過定點(diǎn)問題是一個(gè)高考中的熱點(diǎn)，而通過這樣的變式不僅讓學(xué)生的思維活躍起來，而且能引發(fā)學(xué)生去主動地思考問題和解決問題。本題只要設(shè)出a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這兩點(diǎn)滿足拋物線方程和垂直的條件即可證明此問題。對本問題稍微改變一下設(shè)問則可得到下面試題：

變式4：(2001春季高考題)設(shè)點(diǎn)a、b為拋物線y=4px（p＞0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動點(diǎn)，已知oa⊥ob，om⊥ab，求點(diǎn)m的軌跡方程，并說明軌跡表示什么曲線。

解有上面的變式可知ab過定點(diǎn)n（4p，0），om⊥ab? om⊥mn，所以點(diǎn)m的軌跡是以on為直徑的圓（除原點(diǎn)），其方程也可求出。

思考：直線與圓錐的位置的關(guān)系問題是多年來高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，該題以拋物線和直線為載體全面考查解析幾何的思想與方法，通過變式練習(xí)層層推進(jìn)知識的發(fā)生發(fā)展過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使得學(xué)生在知識和能力上有一定的收獲和提高。

題目2：（高中數(shù)學(xué)新教材第二冊（下a、b）p131 例2）在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動控制的常開開關(guān)，只要其中有一個(gè)開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作。假定在某段時(shí)間內(nèi)

每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率。

本題比較容易，但是我們可借助本題進(jìn)行如下變式探究：

將已知中的條件變形如下：

變式1：假設(shè)三個(gè)開關(guān)全部串聯(lián)，在其余條件不變的情況下，怎樣求線路正常工作的概率？

解：設(shè)這三個(gè)開關(guān)能閉合為事件a，b，c，則可求得概率為p(a)p（b）p（c）=0.7=0.343。

變式2：若其中2個(gè)開關(guān)串聯(lián)后再與兩外一個(gè)并聯(lián)，在其余條件不變的情況下，如何求線路正常工作的概率？

假設(shè)三個(gè)開關(guān)為m，m，m由已知m，m串聯(lián)，再與m并聯(lián)，則線路正常工作的概率為1-［1-p(a)p（b）］［1-p(c)］=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。

變式3：若其中兩個(gè)開關(guān)并聯(lián)后與另一個(gè)開關(guān)串聯(lián)，在其余條件不變的情況下如何求線路正常工作的概率？

假設(shè)由已知并聯(lián)，再與串聯(lián)，則得

（1-［1-p(a)］［1-p（b）］)p(c)=［1-（1-0.7）］0.7=0.637 以上3個(gè)變式只是對3個(gè)開關(guān)的連接，假設(shè)有4個(gè)或者多個(gè)呢？會有怎樣的情況發(fā)生？將上述題目題變成開放式的問題：

著名的教育家波利亞曾說：“好問題跟某種蘑菇有些像，它們都成堆生長，找到一個(gè)以后，應(yīng)該在周圍再找找，很可能附近就有好幾個(gè)。”由此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若通過變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)問題出發(fā)，運(yùn)用類比、特殊化，一般化的方法去探索問題的變化，則能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，去揭示其中的數(shù)學(xué)思想。所以恰當(dāng)合理深入的變式教學(xué)使得課堂變得生動活潑，學(xué)生愛學(xué)，老師樂教，這樣既有利于學(xué)生學(xué)習(xí)知識，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］謝景力.數(shù)學(xué)教學(xué)的變式及實(shí)踐研究［d］.2006.

第四篇：變式教學(xué)釋義

變式教學(xué)釋義

1引言

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個(gè)狹窄的課本知識領(lǐng)域里，應(yīng)該是讓學(xué)生對知識和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運(yùn)用課本的知識舉一反三，應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化。即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性。在學(xué)校做了幾年的數(shù)學(xué)教師，下面我結(jié)合自己的教學(xué)對數(shù)學(xué)變式教學(xué)談幾點(diǎn)看法。

變式教學(xué)的原則

1.1 針對性原則 數(shù)學(xué)課通常有新授課、習(xí)題課和復(fù)習(xí)課，數(shù)學(xué)變式教學(xué)中遇到最多的是概念變式和習(xí)題變式。對于不同的授課，變式教學(xué)服務(wù)的對象也應(yīng)不同。例如，新授課的習(xí)題或概念變式應(yīng)服務(wù)于本節(jié)課的教學(xué)目的；習(xí)題課的習(xí)題變式應(yīng)以本章節(jié)內(nèi)容為主，適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法；復(fù)習(xí)課的習(xí)題變式不但要滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，還要進(jìn)行縱向和橫向的聯(lián)系。

1.2 適用性原則 選擇課本內(nèi)容進(jìn)行變式，不能“變”得過于簡單，過于簡單的變式題對學(xué)生來說是重復(fù)勞動，學(xué)生思維的質(zhì)量得不到很好的提高；也不能“變”得過于難，難度太大容易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，起不到很好的教學(xué)效果。因此在選擇課本習(xí)題進(jìn)行變式時(shí)要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)變式。

1.3 參與性原則 在變式教學(xué)中，教師不能總是自己變題，然后讓學(xué)生練，要鼓勵學(xué)生主動參與變題，然后再練習(xí)，這樣能更好鍛煉學(xué)生的思維能力。

變式教學(xué)的方法

下面舉一些具體的例子，談?wù)勛兪浇虒W(xué)的方法。

2.1 變換條件或結(jié)論 變換條件或結(jié)論是將原題的條件或結(jié)論進(jìn)行變動或加深，但所用的知識不離開原題的范圍。

在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，老師可以講解這樣的例題：判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。y=x2，x∈(0，+∞)。變式1：y=x2，x∈（-∞，0）可讓學(xué)生練習(xí)。變式2：y=x2，將后面的條件都去掉，問學(xué)生此時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生要認(rèn)真思考，會發(fā)現(xiàn)此時(shí)這個(gè)函數(shù)不具備單調(diào)性。又如在三角函數(shù)中，已知cosα=-，<α<π，求α的其他三角函數(shù)值。已知了α的范圍，相對來說解題比較簡單。如果作這樣的變式：已知cosα=-，求α的其他三角函數(shù)值，改變后的題少了一個(gè)條件，角α的范圍，這樣就要分情況討論了。這樣的變式可以讓學(xué)生接觸到同一類型題的不同情況，有利于學(xué)生更全面的掌握所學(xué)知識。

2.2 條件一般化 條件一般化是指將原題中特殊條件，改為具有普遍性的條件，使題目具有一般性，這是設(shè)計(jì)變式題經(jīng)?？紤]的一種方法。

已知拋物線的方程是y2=4x，在曲線上求一點(diǎn)M（x，y），使它到原點(diǎn)的距離最短。變式1：已知拋物線的方程是y2=4x，在曲線上求一點(diǎn)M（x，y），使它到點(diǎn)A（a，0）的距離最短。變式2：已知拋物線的方程是y2=2px，在曲線上求一點(diǎn)M（x，y），使它到原點(diǎn)的距離最短。

這種變式將特殊的條件變得更一般，符合由特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，學(xué)生容易接受。

2.3 聯(lián)系實(shí)際 聯(lián)系實(shí)際是將數(shù)學(xué)問題與日常生活中常見的問題聯(lián)系起來，這要求教師要有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，教師在教學(xué)過程中，要創(chuàng)設(shè)情景，引起或指引學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)與生活是緊密聯(lián)系，不可分割的，很多數(shù)學(xué)問題在生活中都能找到模型。通過聯(lián)系實(shí)際的變式教學(xué)來提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

已知拋物線的焦點(diǎn)是F（0，8），準(zhǔn)線方程是y=8，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。這是完完全全的數(shù)學(xué)問題，可將這類題變式為：橋洞是拋物線拱形，當(dāng)水面寬4米時(shí)，橋洞高2米，當(dāng)水面下降1米后，水面的寬是多少？

這樣與實(shí)際結(jié)合的變式練習(xí)，能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而更好的達(dá)到教學(xué)目的。

變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

3.1 運(yùn)用變式教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況，這就首先要求學(xué)生有學(xué)習(xí)的主動性，有了學(xué)習(xí)主動性才能積極參與學(xué)習(xí)。增強(qiáng)學(xué)生在課堂中的主動學(xué)習(xí)意識，使學(xué)生真正成為課堂的主人，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢。變式教學(xué)使一題多用，多題重組，給人一種新鮮、生動的感覺，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，因而能夠產(chǎn)生主動參與學(xué)習(xí)的動力，保持其參與教學(xué)活動的興趣和熱情

3.2 運(yùn)用變式教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。創(chuàng)新，即通過舊的知識，新的組合，得出新的結(jié)果的過程。“新”可以是與別人不一樣的，也可以是自己新的提高，它突出與眾不同。創(chuàng)新學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的“問題’意識，學(xué)生有疑問，才會去思考，才能有所創(chuàng)新。在課堂中運(yùn)用變式教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面，多角度，多渠道地思考問題，讓學(xué)生多探討，多爭論，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)造性，大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3.3 運(yùn)用變式教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。變式教學(xué)變換問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式，但不改變問題的本質(zhì)，使本質(zhì)的東西更全面。使學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)不只是停留于事物的表象，而能自覺地從本質(zhì)看問題，同時(shí)學(xué)會比較全面地看問題，注意從事物之間的聯(lián)系的矛盾上來理解事物的本質(zhì)，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學(xué)的內(nèi)容。

變式教學(xué)可以讓教師有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，可以幫助學(xué)生使所學(xué)的知識點(diǎn)融會貫通，從而讓學(xué)生在無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣?？傊?，在新課標(biāo)下的教師要不斷更新觀念，因材施教，繼續(xù)完善好“變式”教學(xué)模式，最終達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的，并為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

第五篇：變式教學(xué)讀后感（推薦）

變式教學(xué)研究讀后感

對于一個(gè)毫無毫無教學(xué)經(jīng)歷并且對變式教學(xué)一無所知的我來說,想要讀懂看懂這篇文章無疑是難如登天。在這里，我就大膽的寫下我閱讀時(shí)的聯(lián)想和感想。

文章的開始比較了中國、日本和美國的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就，有些西方學(xué)者認(rèn)為中國數(shù)學(xué)教學(xué)是“被動灌輸”和“機(jī)械訓(xùn)練”的，也有少數(shù)西方學(xué)者認(rèn)為中國數(shù)學(xué)教學(xué)是精心設(shè)計(jì)的而并非是機(jī)械的單純講授式的。我從小學(xué)到大學(xué)都接受著傳統(tǒng)的中國數(shù)學(xué)教學(xué)，我認(rèn)為它就是一門藝術(shù)，一門科學(xué)藝術(shù)，老師對課堂教學(xué)的精心設(shè)計(jì)，使得知識更加容易被理解掌握。

對于變式，我之前的認(rèn)識僅僅就是中學(xué)數(shù)學(xué)題目里的變式

一、變式二等。如，二次函數(shù)定義式的變式：

2f(x)?ax?bx?c，其中a,b,c為常數(shù)且a?0。二次函數(shù)定義式：

2f(x)?a(x?m)?n,其中a，m,n為常數(shù)且a?0，(m,n)為其圖像的頂變式一：點(diǎn)。

變式二：個(gè)根。

變式一和變式二的靈活運(yùn)用為我們的解題帶來的極大的便利，相信這種經(jīng)驗(yàn)大家都是親身感受過的。

到底什么是變式呢？百度百科如是說:變式一是指通過變更對象的非本質(zhì)特征以突出對象的本質(zhì)特征而形成的表現(xiàn)形式。二是指通過變更對象的本質(zhì)特征以突出對象的非本質(zhì)特征，從而顯示概念的內(nèi)涵發(fā)生了變化。它的特點(diǎn)就是變更人們觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。

在學(xué)習(xí)過程中,老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)要舉一反三,只有通過舉一反三，我們才能觸類旁通。而且通過老師精心挑選的的變式題,使我們免于“題海戰(zhàn)術(shù)”的折磨，從而減輕了我們的負(fù)擔(dān)，同時(shí)讓我們深化了對知識點(diǎn)的理解。另外,無論中考高考還是其他的一些考試都要根據(jù)考試大綱出題,而這些考試題目也就是我們課本例題和練習(xí)題的變式,因此變式教學(xué)也是一種高f(x)?a(x?x1)(x?x2)，其中a?0，x1、x22是方程ax?bx?c?0的兩效的應(yīng)試教學(xué)模式。

然而，說到中國教育的不足，文中也提到中國學(xué)生在解決應(yīng)用性和開放性等問題上不盡人意，這也是我國教育不能忽視的問題。因此培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和實(shí)際問題的解決能力是我國教育努力的方向。老師要拋給學(xué)生一些問題但不直接給予答案，讓學(xué)生根據(jù)問題自己動手實(shí)踐、分析探究，自行提取信息，互相交流討論并最終解決問題。在這一環(huán)節(jié)中還應(yīng)注重學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與教師之間的相互協(xié)作關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的人際交往能力以及合作的意識和能力。現(xiàn)在的社會是團(tuán)結(jié)合作共同發(fā)展的社會，學(xué)習(xí)上也要發(fā)展分享和合作的團(tuán)隊(duì)精神。

閱讀了這篇文章之后，對于我自己，我有以下收獲：對變式有了進(jìn)一步的表面認(rèn)識。變式有概念性變式（使學(xué)生獲得對概念的多角度理解）和過程性變式，其中概念變式又分為標(biāo)準(zhǔn)變式和非標(biāo)準(zhǔn)變式，我想對于一個(gè)數(shù)學(xué)師范生來說，這些變式本質(zhì)和作用的清楚理解以及合理運(yùn)用理應(yīng)是我們必備的技能。但對于目前的我們來說，去理解這樣的一篇文章都有很大的難度，可見我們專業(yè)知識的匱乏。而且，隨著教學(xué)模式的進(jìn)一步發(fā)展和改革，未來，我們需要學(xué)習(xí)和掌握的理論也會不斷增加，并且要懂得將理論用于實(shí)踐中去。教育是一門科學(xué)藝術(shù)，想要教書育人，我們必須要有真材實(shí)料并堅(jiān)持持之以恒地學(xué)習(xí)。