第一篇：選修4-1 幾何證明選講第2講 圓周角定理與圓的切線

第【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 2講 圓周角定理與圓的切線

本講復(fù)習(xí)時(shí)，牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切角等有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握解決問(wèn)題的基本方法.基礎(chǔ)梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． ②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是90°；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關(guān)系

(2)①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

②切線的判定定理

過(guò)半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測(cè)

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長(zhǎng)為_(kāi)_______．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的點(diǎn)，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝2BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測(cè)試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)

A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為_(kāi)_______．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調(diào)研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點(diǎn)D，AD＝2，則∠C的大小為_(kāi)_______．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調(diào)研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長(zhǎng)線與圓

O上過(guò)點(diǎn)P的切線PA相交于點(diǎn)A，若∠M＝30°，AP＝23，則

圓O的直徑為_(kāi)_______．

解析 連接OP，因?yàn)椤螹＝30°，所以∠AOP＝60°，因?yàn)镻A切圓O于P，所以O(shè)P⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

4考向一 圓周角的計(jì)算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點(diǎn)P，若ABAP3tan 60°＝2，故圓O的直徑為4.tan ∠AOP＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點(diǎn)] 連結(jié)AD，BC，結(jié)合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：CDAD＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2以cos∠DAP＝32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝32.2答案

32解決本題的關(guān)鍵是尋找∠APB與∠DAP的關(guān)系以及AD與AB的關(guān)系．

【訓(xùn)練1】 如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因?yàn)椤螦CB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應(yīng)用

【例2】?如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過(guò)B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長(zhǎng)線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

[審題視點(diǎn)] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉(zhuǎn)化為線 段之間的比例關(guān)系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.BEAB又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AF＝AC，∴BC＝AF.，又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF3015∴AB＝CD，∴BCAF86EF＝8415答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從

而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問(wèn)題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫(huà)圓周角或作弦切角．

【訓(xùn)練2】(2010·新課標(biāo)全國(guó))如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因?yàn)锳C＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.BCCD(2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BEBC

即BC2＝BE×CD.高考中幾何證明選講問(wèn)題(二)

從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出，圓的切線的有關(guān)知識(shí)是重點(diǎn)考查對(duì)象，并且多以填空題的形式出現(xiàn)．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

第二篇：【高考精品復(fù)習(xí)】選修4-1 幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線

第【高考會(huì)這樣考】 2講 圓周角定理與圓的切線

考查圓的切線定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

本講復(fù)習(xí)時(shí)，牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切角等有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握解決問(wèn)題的基本方法

.基礎(chǔ)梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． ②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是90°；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關(guān)系

(2)①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

②切線的判定定理

過(guò)半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測(cè)

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長(zhǎng)為_(kāi)_______．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D

是優(yōu)弧BC上的點(diǎn)，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測(cè)試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為_(kāi)_______．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調(diào)研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點(diǎn)D，AD＝2，則∠C的大

小為_(kāi)_______．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調(diào)研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長(zhǎng)線與

圓O上過(guò)點(diǎn)P的切線PA相交于點(diǎn)A，若∠M＝30°，AP＝3，則圓O的直徑為_(kāi)_______．

解析 連接OP，因?yàn)椤螹＝30°，所以∠AOP＝60°，因?yàn)镻A切圓O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圓

O的直徑為4.tan ∠AOP答案

4考向一 圓周角的計(jì)算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點(diǎn)P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點(diǎn)] 連結(jié)AD，BC，結(jié)合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解決本題的關(guān)鍵是尋找∠APB與∠DAP的關(guān)系以及AD與AB的關(guān)系．

【訓(xùn)練1】 如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因?yàn)椤螦CB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應(yīng)用

【例2】?如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過(guò)B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長(zhǎng)線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

[審題視點(diǎn)] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉(zhuǎn)化為線 段之間的比例關(guān)系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?/p>

(2)涉及圓的切線問(wèn)題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫(huà)圓周角或作弦切角．

【訓(xùn)練2】(2010·新課標(biāo)全國(guó))如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因?yàn)锳C＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中幾何證明選講問(wèn)題(二)

從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出，圓的切線的有關(guān)知識(shí)是重點(diǎn)考查對(duì)象，并且多以填空題的形式出現(xiàn)．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

第三篇：幾何證明選講第二講：圓周角與弦切角

幾何證明選講

第二講 圓周角與弦切角

一．考綱要求

掌握?qǐng)A的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解圓周角定理及其推論；理解弦切角定理及其推論；

二．知識(shí)梳理

1.圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

2.圓的切線的性質(zhì)及判定定理

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。

推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。

推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.弦切角的性質(zhì)

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

4.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

5.三角形的五心

(1)內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。性質(zhì)：到三邊距離相等。

(2)外心：三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心。性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。

(3)重心：三條中線的交點(diǎn)。性質(zhì)：三條中線三等分點(diǎn)，到頂點(diǎn)距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離2倍

(4)垂心：三條高所在直線的交點(diǎn)。

(5)旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。性質(zhì)：到三邊的距離相等。

三．診斷練習(xí)

1、下列命題中錯(cuò)誤的是()

（A）過(guò)一個(gè)圓的直徑兩端點(diǎn)的兩條切線互相平行

（B）直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，過(guò)O作AB的垂線，垂足必是A

（C）若同一個(gè)圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)切點(diǎn)所得的線段是該圓的直徑

（D）圓的切線垂直于半徑

2、圖1中圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的直徑為．

3、如圖2，AB是⊙O的直徑，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，PC=3，PB=1，則⊙O的半徑為．

4、如圖3，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于點(diǎn)A，∠BAC=60°，則∠ADB的度數(shù)為

O · B A P O

圖3 C 圖

2-1-

四．范例導(dǎo)析

例1 AE是半圓的一條弦，C是弧AE的中點(diǎn)，弦AE交PC、CB于D、F。

A

CP?AB于P求證：AD

例

2AP2?CDAB是⊙O的直徑，MN 切⊙O的直徑與P，AD?MN于D,求證：?AD?AB

N

例3如圖所示，AB是圓O的直徑，AC是弦，?BAC的平分線AD交圓O于點(diǎn)D，DE?AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：DE是圓O的切線；

（2）若

ACAB?25，求AFDF的值．

五.鞏固練習(xí)

1.(2011年高考廣東卷理科15)（幾何證明選講選做題）如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A,B。且PB

得BC?5?7，C是圓上一點(diǎn)使?，?BAC??APB，則AB.2.(2011年高考湖南卷理科11)如圖，A,E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC=4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則的AF長(zhǎng)為.3.如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上的兩點(diǎn)．如果?E?460，?DCF?320，則?A的大小為_(kāi)________．

4.（2009·遼寧卷）已知?ABC中，AB?ACAC上的，D是?ABC外接圓劣弧?點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長(zhǎng)BD至E（如圖所示）．

（1）求證：AD的延長(zhǎng)線平分?CDE；

（2）若?BAC?30?，?ABC中BC邊上的高為2?3，求?ABC外接圓的面積

第四篇：【創(chuàng)新方案】2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線教案 理 新人教版選修4-1

第2講 圓周角定理與圓的切線

【2013年高考會(huì)這樣考】

考查圓的切線定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

本講復(fù)習(xí)時(shí)，牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切

角等有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握解決問(wèn)題的基本方法

.基礎(chǔ)梳理

1．圓周角定理

(1)圓周角：頂點(diǎn)在圓周上且兩邊都與圓相交的角．

(2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半．

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． ②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是90°；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關(guān)系

(2)①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

②切線的判定定理

過(guò)半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等．

3．弦切角

(1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角．

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測(cè)

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，1則BP長(zhǎng)為_(kāi)_______．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC＝

2AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D是優(yōu)弧BC

上的點(diǎn)，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝∠BOC＝50°.2答案 50°

3．(2011·廣州測(cè)試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為_(kāi)_______．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×1＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調(diào)研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點(diǎn)D，AD＝2，則∠C的大小為_(kāi)_______．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠

2A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調(diào)研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長(zhǎng)線與圓O上過(guò)點(diǎn)P的切線PA相交于點(diǎn)A，若∠M＝30°，AP＝23，則圓O的直徑為_(kāi)_______．

解析 連接OP，因?yàn)椤螹＝30°，所以∠AOP＝60°，因?yàn)镻A切圓O于P，所以O(shè)P⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

APtan ∠AOP2

2，故圓O的直徑為4.tan 60°

考向一 圓周角的計(jì)算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點(diǎn)P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點(diǎn)] 連結(jié)AD，BC，結(jié)合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝sin∠DACsin∠ACDsin∠ABDCDADADABsin∠ABD12＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAPcos∠DAP＝sin∠ABD3

3又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝

答案

2解決本題的關(guān)鍵是尋找∠APB與∠DAP的關(guān)系以及AD與AB的關(guān)系．

【訓(xùn)練1】 如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于22.3________．

解析 連接AO，OB.因?yàn)椤螦CB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應(yīng)用

【例2】?如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過(guò)B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長(zhǎng)線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

[審題視點(diǎn)] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉(zhuǎn)化為線

段之間的比例關(guān)系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴

又AE∥BC，∴BEAB.ACBCEFBEABEF＝.AFACBCAF

又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴

∴EF＝

答案 CDEF5EF，∴，BCAF863015＝8415 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明

三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?/p>

(2)涉及圓的切線問(wèn)題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫(huà)圓周角或作弦切角．

【訓(xùn)練2】(2010·新課標(biāo)全國(guó))如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因?yàn)锳C＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故即BC2＝BE×CD

.BCCD，BEBC

高考中幾何證明選講問(wèn)題(二)

從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出，圓的切線的有關(guān)知識(shí)是重點(diǎn)考查對(duì)象，并且多以填空題的形式出現(xiàn)．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

第五篇：幾何證明選講專題

幾何證明選講

幾何證明選講專題

一、基礎(chǔ)知識(shí)填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于______；相似三角形周長(zhǎng)的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長(zhǎng)比都等于_______________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷蟔______與_________的比例中項(xiàng).5.圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是____；90的圓周角所對(duì)的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)______；如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的__________.推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)_______；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)______.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長(zhǎng)的積相等.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是__________的比例中項(xiàng).切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)____；

圓心和這點(diǎn)的連線平分_____的夾角.二、經(jīng)典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，F(xiàn)G//AD，則D BCAD

C

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點(diǎn)F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

B cm2．

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__ 第1頁(yè)

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點(diǎn)，BC=3，過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn) D、E，則∠DAC＝，線段AE的長(zhǎng)為

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.(韶關(guān)一模理)

如圖所示，PC切⊙O于

點(diǎn)C，割線

PAB經(jīng)過(guò)圓心O，弦CD⊥AB于 點(diǎn)E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調(diào)研文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=

AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為_(kāi)_______.3.(東莞調(diào)研文、理)如圖所示,圓O上一

點(diǎn)C

在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關(guān)調(diào)研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD=AB=BC=3.則BD的長(zhǎng)______，AC的長(zhǎng)_______．5.(韶關(guān)二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長(zhǎng)線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內(nèi)接

△ABC的∠C的平分線CD延長(zhǎng)后交圓于點(diǎn)E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=25則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC

BF=于F，則

FC

第2頁(yè)

9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩

條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數(shù)是.10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，C

且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長(zhǎng)度為．

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點(diǎn)，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，則GH=________.13.如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____

14.如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的 割線，且PB=

B

1PABC，則的值是________.2PB

15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，割線

PCD經(jīng)過(guò)圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____O的半徑是_______.3答 案

二、經(jīng)典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4?.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3頁(yè)