第一篇：選修4-1 幾何證明選講第1講 平行截割定理與相似三角形 2

大千教育第1講平行截割定理與相似三角形

【2013年高考會這樣考】

考查相似三角形的判定和性質定理的應用及直角三角形的射影定理的應用．

【復習指導】

復習本講時，只要掌握好教材上的內容，熟練教材上的習題即可達到高考的要求，該部分的復習以基礎知識、基本方法為主，掌握好解決問題的基本技能即可

.基礎梳理

1．平行截割定理

(1)平行線等分線段定理及其推論 ①定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等．

②推論：經過梯形一腰的中點而且平行于底邊的直線平分另一腰．

(2)平行截割定理及其推論 ①定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段成比例． ②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例．

(3)三角形角平分線的性質 三角形的內角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比．

(4)梯形的中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．

2．相似三角形

(1)相似三角形的判定

①判定定理

a．兩角對應相等的兩個三角形相似．

b．兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．

c

②推論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．

③直角三角形相似的特殊判定

斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似．

(2)相似三角形的性質 相似三角形的對應線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方．

(3)直角三角形射影定理

直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積．

雙基自測

1．如圖所示，已知a∥b∥c，直線m、n分別與a、b、c交于點A，B，C和A′，3B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝2，則B′C′＝________.相似的三角形________．2．如圖所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F，寫出圖中所有與△ACE

3．(2011·西安模擬)如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、BC的中點，AN、CM交于點O，那么△MON與△AOC面積的比是________．

4．如圖所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，則AC∶AE＝______，AD∶DB＝________.5．(2010·廣東)如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CDa＝2E、F分別為線段AB、AD的中點，則EF＝________.考向一平行截割定理的應用

【例1】?(2011·廣州測試(二))在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，點E、AE3F分別在AB、CD上，且EF∥AD，若EB4EF的長為________．

【訓練1】 如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，則AB的長為________．

考向二 相似三角形的判定和性質的應用

【例2】?已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，點D是垂足． 求證：BC2＝2CD·AC.5，DE＝6，則BF＝________.3【訓練2】(2011·惠州調研)如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶

考向三 直角三角形射影定理的應用

【例3】?已知圓的直徑AB＝13，C為圓上一點，過C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，則AD＝________.【訓練3】 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.則△ACD與△CBD的相似比為________．

高考中幾何證明選講問題(一)

從近兩年新課標高考試題可以看出，高考主要以填空題的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的應用，難度不大．

【示例1】 ?(2011·陜西)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________.【示例2】?(2011·廣東)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分別為AD，BC上的點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為________．

第二篇：幾何證明選講第一講：相似三角形

幾何證明選講

<<幾何證明選講>>知識框圖

第一講 相似三角形的判定及有關性質

一．考綱要求

掌握相似三角形的判定定理及性質定理；理解直角三角形射影定理。

二．知識梳理

1.平行線等分線段定理

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。

推理1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推理2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。

2.平分線分線段成比例定理

平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。

3.相似三角形的判定及性質

(1)預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與三角形相似。

判定定理1：兩角對應相等，兩三角形相似。AA

判定定理2：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。SAS

判定定理3：三邊對應成比例，兩三角形相似。SSS

(2)直角三角形相似的判定：

引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

定理：（1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似；

（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似。

定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應成比

1例，那么這兩個直角三角形相似。

(3)相似三角形的性質：

相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似比； 相似三角形周長的比等于相似比；

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。三．診斷練習

1．如圖1，ΔABC中，∠1=∠B，則Δ∽Δ．此時若AD=3，BD=2，則AC=． 2.如圖2，CD是RtΔABC的斜邊上的高．

（1）若AD=9，CD=6，則BD=；（2）若AB=25，BC=15，則BD=．

┐

D

B

C圖1 圖

23．兩個三角形相似，它們的周長分別是12和18，周長較小的三角形的最短邊長為3，則另

一個三角形的最短邊長為． 4.在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于點F，B 若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為cm2． E

5.如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC

DBF

于F，則=.FCF四．范例導析

1.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是邊BC的中線，P是AD上一點，CF//AB，BP的延長線分別交AC、CF于點E、F，求證：BP2＝PE·PF

D

C

2．在?ABC中，CD?AB于D，DE?AC于E，DF?BC于F,求證：?CEF∽?CBA

五．練習鞏固

1.（2011安徽）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分別為

B

AD，BC上點，且EF=3，EF∥AB，則梯形ABCD與梯形EFCD的面積比為

2.(2011年高考陜西卷理科15)（幾何證明選做題）如圖?B??D,AE?BC,?ACD?90,且AB?6,AC?4,AD?12,則BE?0

3.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?b,CD?a,E為AD邊上的任意一點，EF

∥AB，且EF交BC于點F，某學生在研究這一問題時，發(fā)現如下事實：

DEAEDEAEDE

?1時，有EF??2時，有EF??3時，有EF?

a?b2a?2b3a?3b

①當②當③當

； ； ．

4AE

DE當?k時，參照上述研究結論，請你猜想用k表示EF的一般結論是____.AE

4.已知：

AD垂直于BC交于D，AB-BD=AC-CD求證：三角形ABC為等腰三角形

第三篇：幾何證明選講

幾何證明選講

2007年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的 垂線AD，垂足為D，則?DAC?

A

2008年：

15．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB=1，則圓O的半徑R=

圖

4l

2009年：

15.(幾何證明選講選做題)如下圖，點A、B、C是圓O上的點，且AB=4，?ACB?30，則圓O的面積等于

o

2010年：

14．（幾何證明選講選做題）如上圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點E，F分別為線段AB，AD的中點，則EF=2

2011年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖，在梯形ABCD中，AB//CAD,B?4,C?D2,分別為E,F，上的點，且ADBC，?

3EF，EFAB

則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為

A

2012年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，直線PB與圓O相切與點B，D是弦AC上的點，?PBA??DBA，若AD?m,AC?n，則AB

圖3

2013年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?

圖3

第四篇：選修4-1幾何證明選講練習題

幾何證明選講專項練習

1.(2008梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EF//BC，FG//AD，則

EFBC+FG

AD

= 2.(2008廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于 點F，若△AEF的面積為6cm

2，則△ABC的面積為 B cm2．

3.(2007廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(2007深圳二模文)如圖所示，從圓O

作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O若PA=4，PC=5，CD=

3，則∠CBD=__

5.(2008廣東文、理)已知PA是圓OPA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點則圓O的半徑R=_______.6.(2007廣東文、理)如圖所示，圓OAB=6，C圓周上一點，BC=3，過C過A作l的垂線AD，AD分別與直線lD、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

7.(2008韶關一模理)如圖所示，PC切⊙O于 點C，割線PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于

點E，PC=4，PB=8，則CD=________.8.(2008深圳調研文)如圖所示，從圓O外一點A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=，AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.9.(2008東莞調研文、理)如圖所示,圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

10.(2008韶關調研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．11.(2007韶關二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

12.(2008廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N 13.（2007湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=250，則∠D=___.14.(2007湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC

D

于F，則

BFFC=

15.(2008惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩 條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數是.16.(2008汕頭一模理)如圖，AB是圓O直線CE和圓O相切于點C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.17.(2008佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長度為． C

18.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點，EF交BD于G，交AC于H.若

AD=5，BC=7，則GH=________.19.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____ B

20.如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且PB=1PA

2BC，則PB的值是________.21.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點，割線 PCD經過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____⊙O的半徑是_______.22.已知一個圓的弦切角等于50°，那么這個弦切角 所夾的弧所對的圓心角的度數為_______.23.如圖，AB是直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，若CD切⊙O于C點，則∠CAB的度數

為，∠DCB的度數為，∠ECA的度數為___.24.如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，切點分別為 B、B、D是優(yōu)弧BC

?上的 點，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.25.如圖，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切線，C為 AB

?上任一點，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.26.如圖，PA，PB切⊙ O于 A，B兩點，AC⊥PB，且與⊙ O相交于 D，若∠DBC=220，則∠APB==________.27.如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延 長線上，BD=OB，CD與⊙O切于C，那么 ∠CAB==________.28.已知：一個圓的弦切角是50°，那么這個弦 切角所夾的弧所對的圓心角的度數為_________.29.已知：如圖，CD是⊙O的直徑，AE切 ⊙O于點B，DC的延長線交AB于點A，∠A =200，則∠DBE=________.30.如圖，△ABC中，∠C=900，⊙O切 AB于D，切BC于E，切AC于F，則∠EDF=________.31.如圖，AB是⊙ O的直徑，C，D是

⊙ O上的點，∠BAC=200，?AD

?DC?，DE是⊙ O的切線，則∠EDC的度數是____.32.如圖，AB是⊙ O的直徑，PB，PC 分別切⊙ O于 B，C，若 ∠ACE=380，則∠P=_________．

33.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半 圓上的兩點，半圓O的切線PC交AB的延 長線于點P，∠PCB＝25°，則∠ADC為 A.105°B.115°C.120°D.125°

34.如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，則AC的長為 A.2B.3

C.D.4

35.如圖，直線 BC切⊙ 0于點 A，則圖中的弦切角共有

A.1個B.2個C.3個D.4個

36.如圖，AB是⊙ O的直徑，AC，BC是

⊙ O的弦，PC是⊙ O的切線，切點為 C，∠BAC=350，那么∠ACP等于

A.350B.550C.650D.1250

37.如圖，在⊙ O中，AB是弦，AC是⊙ O 的切線，A是切點，過 B作BD⊥AC于D，BD交⊙ O于 E點，若 AE平分∠BAD，則 ∠BAD=

A.300B.450C.050D.600

38.如圖，⊙O與⊙O′交于 A，B，⊙O的弦

AC與⊙O′相切于點 A，⊙O′的弦AD與⊙O 相切于A點，則下列結論中正確的是

A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.無法確定

39.如圖，E是⊙O內接四邊形 ABCD兩條對角線的交點，CD延長線與過 A點的⊙ O的切線交于

F點，若∠ABD=440，∠AED=1000，?AD?AB?，則∠AFC的度數為

C

F

A.780B.920C.560D.1450

第五篇：《選修2-1,幾何證明選講》習題

東方英文書院2011——2012學年高二數學測試卷（文科）

——《選修2-1，幾何證明選講》

以下公式或數據供參考

n

??y?bx?;b??⒈a?xy?nx?yii

i?

1?x

i?1n2i?nx2．

2、參考公式

3、K?

2n(ad?bc)2

(a?

b)(c

?d)(a?c)(b?d)n=a+b+c+d

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．在復平面內，復數i(i?1)對應的點在（）

A．第一象限

B．第二象限 C

．第三象限 D．第四象限

2．下面4個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是（）

Ａ．①②Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ．③④

3?）

Ａ．2?

2Ｂ．2?

2Ｃ．2?2Ｄ．2?(2

4．已知???11，則下列命題：①?2?；②?2?；③1????2?0；④?3?1．其中真命題的個數?2是（）

A．1B．2C．3D．

45．否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是（）

Ａ．有一個解Ｂ．有兩個解

Ｃ．至少有三個解Ｄ．至少有兩個解

6．利用獨立性檢驗來考察兩個變量X和Y是否有關系時，通過查閱下表來確定斷言“X與Y有關系”的可信程度．如果??5.024，那么就有把握認為“X與Y有關系”的百分比為（）2

A．B．C．D．

7．復平面上矩形ABCD的四個頂點中，A，B，C所對應的復數分別是2?3i，3?2i，?2?3i，則D點對應的復數是（）

A．?2?3iB．?3?2iC．2?3iD．3?

2i 8．下列推理正確的是（）

Ａ．如果不買彩票，那么就不能中獎；因為你買了彩票，所以你一定中獎 Ｂ．因為a?b，a?c，所以a?b?a?c Ｃ．若a，b?R?，則lga?lgb≥Ｄ．若a?R?，ab?0，則

ab??a?b???????≤???2 baa??b9．如圖，某人撥通了電話，準備手機充值須進行如下操作：

按照這個流程圖，操作步驟是（）

Ａ．1?5?1?1Ｂ．1?5?1?5Ｃ．1?5?2?110．若復數z滿足z?3?4i?4，則z的最小值是（）A．

1B．2

C．

3D．4

Ｄ．?5?2?3

二、填空題（每小題5分，共20分）(15選做題，若兩題都做，則以第（1）題為準)

11．如右圖所示的程序框圖中，當輸入的a值為0和4時，輸出的值相等，則當輸入的a值為3時，則輸出的值為．

2根據以上數據，得?2的值是，可以判斷種子經過處理跟生病之間關（填“有”或“無”）． 13．用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數的步驟是． 14．若z1?5，z2?3?4i且z1?z2是純虛數，則z1? 15.（選作題：，請在下面兩題中選作一題）

（1）.如圖，在?ABC中，DE//BC，EF//CD，若BC?3,DE?2,DF?1，則AB的長為___________．

（2）如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經過圓心，若PA=3，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑為_____________.第1題圖

三、解答題（共80分．解答題應寫出推理、演算步驟）16．已知z1?1?3i，z2?6?8i，若

17.在各項為正的數列?an?中，數列的前n項和Sn滿足Sn?

1??，求z的值． zz1z

21?1??? a?n??2?an?

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數列?an?的通項公式；（3）求Sn

?BNA?45?，18、如圖，點B在⊙O上，M為直徑AC上一點，BM的延長線交⊙O于N，若⊙O的半徑為，求MN的長為

B

M

ACO

19．(本小題16分)假設一個人從出生到死亡，在每個生日都測量身高，并作出這些數據散點圖，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內的增長數據有時可以用線性回歸來分析．下表是一位母親給兒子的成長記錄：

（1）作出這些數據的散點圖；（2）求出這些數據的回歸方程．

20．已知關于x的方程：x2?(6?i)x?9?ai?0（a?R）有實數根b．（1）求實數a，b的值；

（2）若復數z滿足z?a?bi?2z?0，求z為何值時，z有最小值，并求出z的最小值．

東方英文書院2011——2012學年高二數學測試卷（文科）

——《選修2-1，幾何證明選講》答案

一、選擇題

二、填空題：

11． 3120.164無13．14． 4?3i或?4?3i 15.1

3三、解答題：

16.解：由z1?1?3i，得

111?3i13????i． z11?3i(1?3i)(1?3i)1010

又由z2?6?8i，得

116?8i34????i． z26?8i(6?8i)(6?8i)5050

那么

111?31??43?1112?11i，??????????i???i??

zz2z1?5010??5010?25550

4225050(2?11i)

???i． ??

552?11i(2?11i)(2?11i)

得z??

19.解：（1）數據的散點圖如下：

（2）用y表示身高，x表示年齡，則數據的回歸方程為?y?6.317x?71.984．

20.解：（1）b是方程x2?(6?i)x?9?ai?0(a?R)的實根，?(b2?6b?9)?(a?b)i?0，?b2?6b?9?0故?，a?b?

解得a?b?3；

（2）設z?x?yi(x，y?R)由z?3?3i?2z，得(x?3)2?(y?3)2?4(x2?y2)，即(x?1)2?(y?1)2?8，?Z點的軌跡是以O1(?11)，為圓心，如圖，當Z點為直線OO1與?O1的交點時，z有最大值或最小值．

?

OO1?r?

? 當z?1?

i時，z?min