第一篇：面面垂直學案

§2.3.4平面與平面垂直的性質

一、學習目標：

1.掌握平面與平面垂直的性質定理的證明及應用；

2.掌握空間中的垂直關系相互轉化的方法。

二、學習過程：

(一)復習引入

1.平面與平面垂直的定義：

2.面面垂直判定定理：

（二）探索研究

（1）觀察黑板所在的平面和地面，它們是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一條直線是否就一定和地面垂直？

（2）觀察長方體ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D與平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一條直線垂直于平面ABCD？

（三）嚴格證明

已知???,????CD,AB??,AB?CD于B.求證:AB??.A

DB

（四）得出定理

面面垂直的性質定理：

兩平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言表述：

（五）知識應用舉例

例

1、已知平面α與β互相垂直，判斷下列命題是否正確：

（1）若b??,則b??。

（2）若???=l,b?l則b??。

（3）若b??,則b垂直于平面?內的無數(shù)條直線。

(4)過一個平面內任意一點作交線的垂線,則此垂線

必垂直于另一個平面。

例

2、平面?與平面?互相垂直，????m,P??,P?m,判斷：

（1）過點P且垂直于?的直線a是否一定在?內？

（2）過點P且垂直于?的直線l與?是什么位置關系？并證明

例

3、如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC，(1)求證：BC⊥平面PAC。(2)判斷平面PBC與平面PAC是否垂直，并證明。

A

O B

練習：如圖,AB是⊙O的直徑,點C是圓上異于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求證:AF⊥平面PBC.C

解題反思：

（六）小結反思

1.面面垂直的性質定理

2..空間垂直關系有那些？如何實現(xiàn)空間垂直關系的相互轉化？請指出下圖中空間垂直關系轉化的定理依據(jù)？

①

②

③

④

（七）家庭作業(yè)《同步導學》

第二篇：面面垂直導學案

平面與平面垂直課前預習案

【課前預習】

【預習目標】：（1）理解并掌握平面與平面垂直的概念

（2）掌握平面與平面垂直的判斷定理和性質定理

一、復習回顧

（1）線面的位置關系有幾種？

（2）直線與平面垂直的判定定理

（3）直線與平面垂直的性質定理

二、預習

預習課本P52---54頁，解決以下問題：

1、平面與平面垂直是如何定義的？

2、如何判定平面與平面垂直？

生活中有哪些應用？請舉出幾例來說明。

3、平面與平面垂直的性質定理是什么，是如何推導的？

平面與平面垂直 課堂導學案

【學習目標】：

（1）理解并掌握面面垂直的概念（2）掌握面面垂直的判定定理和性質定理

【學習重點】：

空間中面面垂直的判定定理和性質定理

【學習難點】：

空間中面面垂直的判定定理、性質定理的推導過程。

【課堂探究】： 【探究一】

問題

1、觀察并研究模型，兩個平面何時互相垂直？（借助第三個平面）

E B

問題歸納：面面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面，并且這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相，就稱這兩個平面互相垂直． 面面垂直的畫法、記法？

【探究二】

問題1：一平面?及另一平面?，借助?的一條垂線，如何調動平面?，就能使兩面互相垂直？

問題2:教室的門轉到任何位置時，門所在的平面是否與地面垂直？門在轉動過程中，門軸是否始終與地面垂直？

問題歸納：面面垂直判定定理

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條，則兩個平面互相．

請用符號語言描述定理：（對照下圖）證明分析：

B

E

D

強調：

面⊥面

實際應用：

問題3：建筑工人在砌墻時常用鉛垂線來檢查所砌墻面是否和水平面垂直，為什么？

例題1.已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖（2））．求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．

D

C C

(1)(2)

練習：已知AB⊥平面BCD，BC ⊥ CD，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？

C

D

【探究三】

問題1：黑板面與地面垂直,能否在黑板上畫一條與地面垂直的線？

問題歸納： 面面垂直的性質定理

如果兩個平面互相垂直，請用符號語言描述定理：證明過程：

D

B E

強調： 線⊥面

面⊥面

例題2： 已知：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長．

αA

D

【課堂練習】：

一、判斷：

1.如果平面α內有一條直線垂直于平面β內的一條直線，則α⊥β.（）2.如果平面α內有一條直線垂直于平面β內的兩條直線，則α⊥β.（）3.如果平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線, 則α⊥β.（）

二、填空：

1.過一點可作_____個平面與已知平面垂直.2.過平面α的一條垂線可作_____個平面與平面α垂直.3.過平面α的一條平行線可作__ __個平面與α垂直.4.過平面α的一條與α相交但不垂直的線，可作__ __個平面與平面α垂直.【課堂小結】：請敘述一下本節(jié)課學過的主要內容，作一回顧總結：

（1）（2）（3）（4）

平面與平面垂直課后拓展案

【課后拓展】

1．在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點． 求證：平面ABE⊥平面BCD．平面ABE⊥平面ACD．

E C

D2、三棱錐P—ABC中，PB=PC，AB=AC，點D為BC中點，AH⊥PD于H點，連BH，求證：平面ABH⊥平面PBC

B

C

第三篇：線面垂直 ,面面垂直導學案

1．2．3 空間中的垂直關系

第1課時 線面垂直預習案主備人：史紅榮

【預習目標】

1．掌握直線與平面垂直的定義

2．掌握直線與平面垂直的判定定理并能靈活應用定理證明直線與平面垂直．

【自主學習】

1．兩條直線互相垂直

如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，且______________，則稱這兩條直線互相垂直．

2．空間直線與平面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交于一點，并且和這個平面內過交點的____________________，我們說這條直線和這個平面互相垂直，這條直線叫________________，這個平面叫________________，交點叫________，垂線上任意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的__________，垂線段的長度叫這個點到平面的________．

3．直線與平面垂直的判定定理

定理：如果________________________________________________，則這條直線與這個平

面垂直．

4推論1__________________________________________

5推論2__________________________________________

【預習檢測】

1．直線a⊥直線b，b⊥平面β，則a與β的關系是()

A．a(chǎn)⊥βB．a(chǎn)∥β

C．a(chǎn)?βD．a(chǎn)?β或a∥β

2．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為()

A．4B．3C．2D．

13如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱B1C1、B1B的中點．

求證：CF⊥平面EAB．

【我思我疑】

2011級高效課堂數(shù)學（必修

2）導學案班級姓名

第1課時 線面垂直課案

【學習目標】

1．掌握直線與平面垂直的定義

2．掌握直線與平面垂直的判定定理并能靈活應用定理證明直線與平面垂直．

【知識深化】1若已知線面垂直，則可知線和面內的線什么關系？線面垂直的判定定理實質是？其作用？

【典例分析】.如圖，在三棱錐中，VA?VC,AB?BC，求證：VB?AC.【鞏固練習】見課本A.，B組

【達標練習】

1.直線l和平面?內兩條直線都垂直，則l與平面?的位置關系是（）.A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能已知直線a,b和平面?，下列錯誤的是（）.A.a?????a?bb???

a?b???ab???B.a//b???b??a???C.∥?或a?? D.a//????ab???∥b

3如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB，PC的中點，PA＝AD．

求證：(1)CD⊥PD；

**(2)EF⊥平面PCD．

第2課時 面面垂直預習案

主備人：史紅榮

【預習目標】

掌握兩個平面垂直的定義、判定定理及性質定理，【自主學習】

1． 兩平面垂直的定義：

2．面面垂直的判定定理：

3．面面垂直的性質定理：

【預習檢測】

1．下列命題中正確的是()

A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β

B．若平面α內的一條直線垂直于平面β內兩條平行線，則α⊥β

C．若平面α內的一條直線垂直于平面β內兩條相交直線，則α⊥β

D．若平面α內的一條直線垂直于平面β內無數(shù)條直線，則α⊥β

2過兩點與一個已知平面垂直的平面()

A．有且只有一個B．有無數(shù)個

C．有且只有一個或無數(shù)個D．可能不存在3.下列命題錯誤的是（）.A.?????內所有直線都垂直于?

B.?????內一定存在直線平行于?

C.?不垂直???內不存在直線垂直?

D.?不垂直???內一定存在直線平行于?

4,試著獨立完成課本54頁例

2【我思我疑】

第2課時 面面垂直課案

【學習目標】掌握兩個平面垂直的定義、判定定理及性質定理，并能進行有關的證明．

【知識深化】1平面與平面垂直的性質定理是？這個定理實現(xiàn)了什么關系的轉化

2分析例題如何證明面面垂直？

【典例分析】

例1 如圖13-4，四棱錐P?

ABCD的底面是個矩形，AB?2,BC?側面PAB是等邊三角形，且側面PAB垂直于底面ABCD.證明：側面PAB?側面PBC；

【鞏固練習】見課本A.，B組

【達標練習】

1設有直線m、n和平面α、β，則下列結論中正確的是()

①若m

∥n，n⊥β，m?α，則α⊥β；

②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，則α⊥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

CE,EF??，?FEC?90°，???,CD??,CD?AB，2.如圖13-7，求證：面EFD?面DCE.

第四篇：面面垂直習題（模版）

例1如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過E

作EF⊥PA于F，連接BF

∵PC⊥平面ABC，PC?平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂線定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，設PC=1,由E是AC的中點，?BE?

32,EF?

12sin45?0B

24?tg?BFE

?BE

EF?6

例2:如圖, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求證:

AF⊥平面PBC.證明:∵PA⊥平面ABCBC ?平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

?平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

?平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求證：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如圖在空間四邊形ABCS中，SA?平面ABC，平面SAB ?平面SBC

(1)求證：AB?BC ；

(2)若設二面角S?BC?A為45?，SA＝BC，求二面角A?SC?B的大小

S

E

a

A 2aC

已知線段AB的兩端點在直二面角??CD??的兩個面內,且與?、?分別成30?和45?角，求AB和CD所成的角

C

如圖PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中點，二面角P?CD?B 為45?求證：平面PEC?平面PCD

G C

E B

第五篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設p是三角形ABC所在平面外的一點，p到A,B,C三點的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因為p到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因為角BAC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直于另一個平面

然后轉化成一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。