第一篇：初中數(shù)學(xué)_三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)命題的證明及應(yīng)用

三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)命題的證明及應(yīng)用

湖北省襄陽(yáng)市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 張昌林

在中考和一些競(jìng)賽題目中常有與三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)的題目，若平時(shí)不注意總結(jié)是很難一下子解決的．下面來(lái)一起學(xué)習(xí)一下．

命題1 如圖１，點(diǎn)D是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則∠D=90°

+

證明：如圖１：

∠A．

∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①

∠1＋∠2＋∠D=180°②

①－②得：

∠1＋∠2＋∠A＝∠D③

由②得：

∠1＋∠2=180°－∠D④

把③代入④得：

∴180°－∠D＋∠A＝∠D

∠D=90°+∠A．

點(diǎn)評(píng) 利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°，不難證明.命題2 如圖２，點(diǎn)D是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則∠D=90

°－∠A．

證明：如圖２：

∵DB和DC是△ABC的兩條外角平分線，∴∠D=180°－∠1－∠

2=180°－（∠DBE+∠DCF）

=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）

=180°－（∠A+180°）

=180°－ ∠A－90°

=90°－

∠A；

點(diǎn)評(píng) 利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內(nèi)角和等于180°，可以證明

.命題3 如圖3，點(diǎn)E是△ABC一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，則∠

E=

A．

證明：如圖3：

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①

∠1+∠E=∠4② ∠

①×代入②得：

∠E=

明

.∠A． 點(diǎn)評(píng) 利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證

命題4 如圖４，點(diǎn)E是△ABC一個(gè)內(nèi)角平分線BE與一個(gè)外角平分線CE的交點(diǎn)，證明:AE是△ABC的外角平分線.證明：如圖3：

∵BE是∠ABC的平分線,可得：EH=EF

CE是∠ACD的平分線, 可得：EG=EF

∴過(guò)點(diǎn)E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.即EF=EG=EH

∵EG=EH

∴AE是△ABC的外角平分線．

點(diǎn)評(píng) 利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明．

應(yīng)用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問(wèn)題，下面來(lái)一起看．

例1如圖5，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線．

①已知∠A=60°，請(qǐng)直接寫出∠P的度數(shù).②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？ 解析：①由命題2的結(jié)論直接得：∠P=90°－

∠A=90°－

×60°=60°

②根據(jù)命題2的結(jié)論∠P=90°－

∠A，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個(gè)角都是銳角，則該三角形是銳角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題直接運(yùn)用命題2的結(jié)論很簡(jiǎn)單．同時(shí)要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．

例２ 如圖6，在△ABC中，延長(zhǎng)BC到D,∠ABC與∠ACD的角平分線相較于

∠BC

與∠CD的平分線交與點(diǎn)，以此類推，?，若∠A=96

°，則∠點(diǎn)，= 度．

解析：由命題③的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠∠A． 可以直接得：∠=×96°=3°．

點(diǎn)評(píng) 此題是要找出規(guī)律的但對(duì)要有命題③的結(jié)論作為基礎(chǔ)知識(shí)．

例３（2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題３分）如圖7，△ABC的外角∠ACD的平分線CP的內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP=_______________．

解析：此題直接運(yùn)用命題４的結(jié)論可以知道ＡＰ是△ABC的一個(gè)外角平分線，結(jié)合命題３的結(jié)論知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠

BAC)=(180°－2∠BPC)=50°．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)命題3、4研究過(guò)的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時(shí)候花時(shí)間也不一定做的出來(lái)的題目．

例４(2003年山東省“KLT快樂(lè)靈通杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交與E點(diǎn)，連接AE，則∠AEB= 度．

解析：有題目和命題４的結(jié)論可以知道AE是△ABC的一個(gè)外角平分線, 結(jié)合命題2的結(jié)論知道∠AEB=∠ACB

－∠ACB=90

°－×90°=45°

點(diǎn)評(píng) 從上面的做題過(guò)程來(lái)看題目中給出的“∠A=30°”這個(gè)條件是可以不用的．

第二篇：初中數(shù)學(xué)三角形證明（范文）

1.如圖△ABC，∠AFD＝

158°，求∠EDF的度數(shù)。

2.如圖，∠C

＝48°，∠E＝25°，∠BDF＝140°，求∠A與∠EFD的度數(shù)。

3.如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC

4.如圖，在△ABC中，已知AD是△

ABC角平分線，DE是△ADC的高線，∠B＝60，∠C＝45，求∠ADB和∠ADE的度數(shù)．

5.如圖△ABC的周長(zhǎng)為18

cm，BE、CF

分別為AC、AB邊上的中線，BE、CF相交于點(diǎn)O，AO的延長(zhǎng)線交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的長(zhǎng).解題思路：

（1）求角度問(wèn)題要考慮：角平分線、三角形內(nèi)角和定理、兩內(nèi)角之和等于第三角的外角

（2）先列等式，然后根據(jù)題目要求去掉無(wú)關(guān)信息，最后采用“消元法”的思路轉(zhuǎn)換解決，求出未知

（3）對(duì)于某些題要結(jié)合外圍圖形和條件，比如四邊形、三角形全等、直線關(guān)系（平行、相交）來(lái)解答。

00第八講三角形證明

（一）6.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADEC DAB7.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，F(xiàn) 求證：∠1=∠2E A8.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C AB A9.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：EAE=AD+BEBDC10如圖所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長(zhǎng)線于M，求證：2∠M=（∠ACB-∠B）解題思路：(1)三角形的證明一般思路是證全等和相似（八年級(jí)）（2）分析題目先看求什么？然后考慮求未知必須先求什么？需證明那些量相等，或哪個(gè)三角形相等然后找出已知條件所能得出的結(jié)論，然后看它們能不能證出所要的關(guān)系（3）如果不能證出數(shù)量關(guān)系要考慮添加輔助線來(lái)“湊出”條件，然后在證明

11.如圖，A,F,E,B四點(diǎn)共線，AC?CE，BD?DF，AE?BF，A

17.如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求AC?BD。求證：?ACF??BDE。較難

12.如圖，在?ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD?BE，垂足為D。求證：?2??1??C

13.已知如圖，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求證：DE=BD+CE.14.在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD?MN于D，BE?MN于E求證：?ADC≌?CEB

15.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE

證：∠C=2∠BCD

BF

18.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平

A

E

分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直線CE交 D

BA的延長(zhǎng)線于F．BC

求證：BD=2CE．Q

A

E

19.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定 P

AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系B

C

20.△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，E、F分別在 AC、AB上，且DE⊥DF，試判斷DE、DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明 理由．

(附加題)如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE⊥ AC于E，BF⊥AC于F，若AB=

CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn) M．

（1）求證：MB=MD，ME=MF

（2）當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上 述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．

第三篇：初中數(shù)學(xué)命題與證明

命題與證明

一、選擇題

1、（2012年上海黃浦二模）下列命題中，假命題是（）

A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B．一組鄰邊相等的矩形是正方形；

C．一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

D．一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形.答案：C2、(2012溫州市泰順九校模擬)下列命題，正確的是()

A.如果｜a｜=｜b｜，那么a=b

B.等腰梯形的對(duì)角線互相垂直

C.順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是平行四邊形

D.相等的圓周角所對(duì)的弧相等

答案：C

3（2012年中考數(shù)學(xué)新編及改編題試卷）下列語(yǔ)句中，屬于命題的是（）．．

(A)作線段的垂直平分線(B)等角的補(bǔ)角相等嗎

(C)平行四邊形是軸對(duì)稱圖形(D)用三條線段去拼成一個(gè)三角形

答案：C4、（2012年上海市黃浦二模）下列命題中，假命題是(▲)

A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B．一組鄰邊相等的矩形是正方形；

C．一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

D．一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形.答案：C5、（2012年上海金山區(qū)中考模擬）在下列命題中，真命題是……………………………………………………………………………………………（）

（A）兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形

（B）兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

（C）兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（D）兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

答案：C

二、填空題

1、三、解答題

1．（2012年江蘇海安縣質(zhì)量與反饋）已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．

⑴求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；

⑵證明DE是⊙O的切線．

答案：22．（1）略;（2）略．

2.（2012年江蘇通州興仁中學(xué)一模）如圖，在□ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接DE．延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：AB=BF．

E C

答案：由□ABCD得AB∥CD，∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C．

又∵E為BC的中點(diǎn)，∴△DEC≌△FEB．

∴DC=FB．

由□ABCD得AB=CD，∵DC=FB，AB=CD，∴AB=BF．

3、（鹽城地區(qū)2011～2012學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練）（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)A、C、D在⊙O上，過(guò)D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判斷直線BP和⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；

（2）當(dāng)⊙O5，AC=2，BE=1時(shí)，求BP的長(zhǎng).(1)直線BP和⊙O相切.……1分

理由：連接BC,∵AB是⊙O直徑,∴∠ACB=90°.……2分

∵PF∥AC,∴BC⊥PF, 則∠PBH+∠BPF=90°.……3分

P

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分

所以直線BP和⊙O相切.……5分

(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分

∴ACBC解得BP=2.即BP的長(zhǎng)為2.……10分 BEBP

4.（鹽城市第一初級(jí)中學(xué)2011～2012學(xué)年期中考試）（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圓，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，交CO的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，CP交⊙O于D；

（1）求證：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的長(zhǎng)．

答案（1）證明過(guò)程略；（5分）

（2）3

35(徐州市2012年模擬)（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)為BC上兩點(diǎn)，且BE?CF，AF?DE．

求證：（1）△ABF≌△DCE；

（2）四邊形ABCD是矩形． A D

B C E F

（第21題）答案：解：（1）?BE?CF，BF?BE?EF，CE?CF?EF，······························· 1分 ?BF?CE．

?四邊形ABCD是平行四邊形，?AB?DC． ······························ 2分 在△ABF和△DCE中，?AB?DC，BF?CE，AF?DE，?△ABF≌△DCE． ··························· 3分

△ABF≌△DCE，（2）解法一：?

??B??C． ······························ 4分 ?四邊形ABCD是平行四邊形，?AB∥CD．

??B??C?180?．

??B??C?90?． ···························· 5分

·························· 6分 ?四邊形ABCD是矩形．

解法二：連接AC，DB．

?△ABF≌△DCE，??AFB??DEC．

??AFC??DEB． ··························· 4分 在△AFC和△DEB中，?AF?DE，?AFC??DEB，CF?BE，?△AFC≌△DEB．

?AC?DB． ······························ 5分 ?四邊形ABCD是平行四邊形，·························· 6分 ?四邊形ABCD是矩形．

6.（鹽城地區(qū)2011～2012學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練）（本題滿分12分）如圖,△AEF中,∠

EAF=45°,AG⊥EF于點(diǎn)G,現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長(zhǎng)BE和DF相交于點(diǎn)C．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM2，求AG、MN的長(zhǎng)．

AHBENFDC(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分

由AB=AD，得四邊形ABCD是正方形.……3分

222(2)MN=ND+DH.……4分

理由：連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,……6分

再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分

222∴MN=ND+DH.……8分

(3)設(shè)AG=x，則EC=x-4,CF=x-6,22由Rt△ECF，得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,222設(shè)NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52.……12分

7.（鹽城地區(qū)2011～2012學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練）(本題滿分8分)如圖，已知E、F分別是□

ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長(zhǎng)．

AFD

BEC

證：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分

由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE.……3分

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.∴BE=AE=EC，BE=5.……4分 ……5分 ……7分 ……8分

第四篇：三角形外角和的十種證明方法

三角形外角和的十種證明方法

1用翻折法，就是七下數(shù)學(xué)書上第6頁(yè)介紹的那種（把一個(gè)三角形向里折成一個(gè)矩形，三個(gè)角在一起）

2從一個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)邊的平行線，用內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)證

3任意做一個(gè)四邊形，連接對(duì)角線，分成兩個(gè)三角形，再用四邊形內(nèi)角和360來(lái)證4將任意一個(gè)三角形做高分成兩個(gè)直角三角形，再利用斜中線定理來(lái)證5延長(zhǎng)一邊，用一個(gè)角的外角等于其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和

6畫這個(gè)三角形的外接圓，用圓周角的度數(shù)等于其所對(duì)的弧的度數(shù)的一半來(lái)證

7畫這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，連接圓心和三角形的頂點(diǎn)，可得到三個(gè)三角形的內(nèi)角和等于一個(gè)三角形的內(nèi)角和＋360°

8過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)做三邊的平行線，在用內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、對(duì)頂角相等把三個(gè)頂角弄在一條直線上

9也可過(guò)邊上一點(diǎn)做其余兩邊的平行線用類似于8的方法來(lái)證

10延長(zhǎng)三邊（若三角形ABC只需延長(zhǎng)ab bc ca 不需要延長(zhǎng)ba cb ac）有三條直線則為520°又因?yàn)橥饨呛?60°所以內(nèi)角和180°

終于想完十種了，想不出其他的了.

第五篇：七年級(jí)數(shù)學(xué)三角形的外角練習(xí)

7．2．2 三角形的外角

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)作業(yè)

1．若三角形的外角中有一個(gè)是銳角，則這個(gè)三角形是________三角形．

2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，則△ABC的外角中最小的角是______（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）．

3．如圖1，x=______．

(1)(2)(3)4．如圖2，△ABC中，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CA到E，連EF，則∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系是_________．

5．如圖3，在△ABC中，AE是角平分線，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度數(shù)． 6．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分別是AC、AB上的高，H是BD、?CE的交點(diǎn)，求∠BHC的度數(shù)．

綜合創(chuàng)新作業(yè) 7．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，則∠EDC=______．

8．一個(gè)零件的形狀如圖7-2-2-6所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠D應(yīng)分別是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就斷定這個(gè)零件不合 格，你能說(shuō)出道理嗎？

9．（1）如圖7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；

（2）如圖7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

10．（易錯(cuò)題）三角形的三個(gè)外角中最多有_______個(gè)銳角． 培優(yōu)作業(yè) 11．（探究題）（1）如圖，BD、CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠CBE、∠BCF?的平分線，試探索∠BDC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．

（2）如圖，BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC的外角∠ACE的平分線，它們相交于點(diǎn)D，試探索∠BDC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．

12．（趣味題）如圖，在綠茵場(chǎng)上，足球隊(duì)員帶球進(jìn)攻，總是向球門AB沖近，說(shuō)明這是為什么？

數(shù)學(xué)世界

七橋問(wèn)題

18世紀(jì)在哥尼斯堡城的普萊格爾河上有七座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連接．如圖所示．城中的居民經(jīng)常沿河過(guò)橋散步，于是就提出一個(gè)問(wèn)題：?能否一次不重復(fù)地把這七座橋走遍？可是，走來(lái)走去，這個(gè)愿望還是無(wú)法實(shí)現(xiàn)．該怎樣走才好呢？?這就是著名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題．??好奇的人把這個(gè)問(wèn)題拿給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉（1707～1783）．歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在．

你知道歐拉是根據(jù)什么道理證明的嗎？

答案: 1．鈍角

2．直角 點(diǎn)撥：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．

又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角． 3．60 點(diǎn)撥：由題意知x+80=x+（x+20）．解得x=60． 4．∠1>∠2>∠3 點(diǎn)撥：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3． 5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．

∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠CAE=1∠BAC=25°． 2 ∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．

6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．

而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°． 7．30° 點(diǎn)撥：設(shè)∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=

1（180°-60°-2a）=60°-?a，? 2∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°． 8．解法1：如答圖1，延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，則∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=?120°，從而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°． 若零件合格，∠DCB應(yīng)等于140°． 李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以斷定該零件不合格．

(1)(2)(3)點(diǎn)撥：也可以延長(zhǎng)DC與AB交于一點(diǎn)，方法與此相同．

解法2：如答圖2，連接AC并延長(zhǎng)至E，則∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1． 解法3：如答圖3，過(guò)點(diǎn)C作EF∥AB，交AD于E，則∠DEC=90°，∠FCB=∠B=?30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，從而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．

說(shuō)明：也可以過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線．

點(diǎn)撥：上述三種解法應(yīng)用了三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和． 9．解：（1）由圖知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．

而∠OQA、?∠QPC、∠EOP是△OPQ的三個(gè)外角． ∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．

（2）360° 點(diǎn)撥：方法同（1）．

10．1 點(diǎn)撥：本題易因混淆內(nèi)角、外角的概念，而誤填為3． 11．解：（1）∠BDC=90°-1∠A． 2 理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．

∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．

∵BD、CD分別為∠EBC、∠FCB的平分線，11∠EBC，∠BCD=∠FCB． 2211 ∴∠CBD+∠BCD=（∠EBC+∠FCB）=×（180°+∠A）

221 =90°+∠A． ∴∠CBD= 在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+（2）∠BDC=

11∠A）=90°-∠A． 221∠A． 2 理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分線，BD是∠ABC的平分線，∴∠DCE=1111∠ACE=∠A+∠ABC，∠DBC=∠ABC． 22221111∠A+∠ABC-∠ABC=∠A． 2222 ∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12．解：如圖，設(shè)球員接球時(shí)位于點(diǎn)C，他盡力向球門沖近到D，此時(shí)不僅距離球門近，射門更有力，而且對(duì)球門AB的張角也擴(kuò)大，球就更容易射中． 理由說(shuō)明如下：

延長(zhǎng)CD到E，則∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．

點(diǎn)撥：解此題關(guān)鍵是將生活中的問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題． 數(shù)學(xué)世界答案: 歐拉將七橋布局轉(zhuǎn)化為圖所示的簡(jiǎn)單圖形，于是七橋問(wèn)題就變成一個(gè)一筆畫的問(wèn)題．這個(gè)圖形顯然無(wú)法一筆畫出，也就是說(shuō)，?要想一次無(wú)重復(fù)地走遍這七座橋是辦不到的．