第一篇：[初中數(shù)學(xué) 證明試題

九年級(jí)(上)單元測(cè)試卷

第一章證明(二)

(時(shí)間90分鐘滿分100分)

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）

A、一銳角對(duì)應(yīng)相等B、兩銳角對(duì)應(yīng)相等C、一條邊對(duì)應(yīng)相等D、兩條邊對(duì)應(yīng)相等

2、如圖，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根據(jù)是（）

A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形底邊長(zhǎng)為7，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分成兩部分的差為3，則腰長(zhǎng)是（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對(duì)

4、如圖，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D為AB中點(diǎn)，有以下結(jié)論：

(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中結(jié)論正確的是（）

A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)

5、如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分線交CB邊于D，若AB=10，AC=5，則圖中等于60°的角的個(gè)數(shù)為（）

A、2B、3C、4D、5(第2題圖)(第4題圖)(第5題圖)

6、設(shè)M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形，則下列四個(gè)圖中，能表示他們之間關(guān)系的是（）

7、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）

A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm8、如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)為（）

A、30°B、36°C、45°D、70°

9、如圖，已知AC平分∠PAQ，點(diǎn)B，B′分別在邊AP，AQ上，如果添加一個(gè)條件，即可推出AB=AB′，那么該條件可以是（）

A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C

(第7題圖)(第8題圖)(第9題圖)(第10題圖)

10、如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則

九年級(jí)(上)數(shù)學(xué)單元測(cè)試卷[1]第 1 頁(yè)(共四頁(yè))

ABC的大小是（）

A、40°B、45°C、50°D、60°

二、填空題(每小題3分，共24分)

11、如果等腰三角形的一個(gè)底角是80°，那么頂角是度.12、如圖，點(diǎn)F、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，則還須補(bǔ)充一個(gè)條件.(第12題圖)(第13題圖)(第15題圖)

13、如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，CD與BE相交于點(diǎn)O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，則∠C=°.14、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC邊上的中線AD=4cm，則∠ADC的度數(shù)是.15、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分線MN與AB交于D點(diǎn)，則∠BCD的度數(shù)為.16、如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，則D到AB的距離為cm.17、如圖，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，則△DEF是三角形.18、如圖，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正確的結(jié)論是（注：將你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上．）

(第16題圖)(第17題圖)(第18題圖)

三、(每小題6分，共12分)

19、如圖，在四個(gè)正方形拼接成的圖形中，以A1、A2、A3、…、A10這十個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)，共能組成多少個(gè)等腰直角三角形？你愿意把得到上述結(jié)論的探究方法與他人交流嗎?若愿意，請(qǐng)簡(jiǎn)要寫出你的探究過(guò)程

20、已知：菱形ABCD中（如圖），∠A＝72°，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的分法，將菱形ABCD分割成四個(gè)三角形，使得每個(gè)三角形都是等腰三角形．（畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標(biāo)出能夠說(shuō)明分法所得三角形內(nèi)角的度數(shù)，沒(méi)有標(biāo)出能夠說(shuō)明分法所得三角形內(nèi)角度數(shù)不給分；不要求寫出畫法，不要求證明．）

注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認(rèn)為是兩種不同的分法．

分法一：分法二：分法三：

四、(每小題6分，共18分)

21、已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC=BD.求證：OB=OC22、已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數(shù).23、已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)E為梯形外一點(diǎn)，且AE=DE.求證：BE=CE．

五、(每小題8分，共16分)

24、閱讀下題及其證明過(guò)程：

已知：如圖，D是△ABC中BC邊上一點(diǎn)，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求證：∠BAE=∠CAE.證明：在△AEB和△AEC中，?EB?EC???ABE??ACE

?AE?AE?

∴△AEB≌△AEC(第一步)

∴∠BAE=∠CAE(第二步)

問(wèn)：上面證明過(guò)程是否正確？若正確，請(qǐng)寫出每一步推理根據(jù)；若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪一步？并寫出你認(rèn)為正確的推理過(guò)程。

25、如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN，MC交于點(diǎn)F。

(1)求證：AN=BM；

(2)求證： △CEF為等邊三角形；

(3)將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）

第二篇：初中數(shù)學(xué)-幾何證明經(jīng)典試題及答案

初中幾何證明題

經(jīng)典題（一）

1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求證：CD＝GF．（初二）

A

F

G

C

E

B

O

D2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝150．

A

P

C

D

B

求證：△PBC是正三角形．（初二）

D2

C2

B2

A2

D1

C1

B1

C

B

D

A

A13、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)．

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）

A

N

F

E

C

D

M

B4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

經(jīng)典題（二）

1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M．

·

A

D

H

E

M

C

B

O

（1）求證：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）

·

G

A

O

D

B

E

C

Q

P

N

M2、設(shè)MN是圓O外一直線，過(guò)O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：

·

O

Q

P

B

D

E

C

N

M

·

A

設(shè)MN是圓O的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半．（初二）

經(jīng)典題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

A

F

D

E

C

B

求證：CE＝CF．（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F．

E

D

A

C

B

F

求證：AE＝AF．（初二）

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

D

F

E

P

C

B

A

求證：PA＝PF．（初二）

O

D

B

F

A

E

C

P4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

經(jīng)典題（四）

A

P

C

B1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度數(shù)．（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．

求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）

P

A

D

C

B3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

C

B

D

A4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且

AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）

F

P

D

E

C

B

A

A

P

C

B

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．

A

C

B

P

D2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．

A

C

B

P

D3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長(zhǎng)．

E

D

C

B

A4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數(shù)．

經(jīng)典題（一）

1.如下圖做GH⊥AB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得證。

2.如下圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形

3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=A1B1=B1C1=

FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,從而可得∠A2B2

C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。

經(jīng)典題（二）

1.(1)延長(zhǎng)AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB，OC,既得∠BOC=1200，從而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC=∠AGE。

又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，從而可得AP=AQ。

4.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=。

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。

從而可得PQ=

=，從而得證。

經(jīng)典題（三）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADE，到△ABG，連接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

從而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，從而可得∠A

EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。

2.連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP

600，連接PQ，則△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

2.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得證。

3.在BD取一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

=，即AD?BC=BE?AC，①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

=，即AB?CD=DE?AC，②

由①+②可得:

AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=

AC·BD，得證。

4.過(guò)D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：

=，由AE=FC。

可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分線逆定理）。

經(jīng)典題（五）

1.（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC

600，可得△PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小L=；

（2）過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D，F(xiàn)。

由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP

①

又BP+DP>BP

②

和PF+FC>PC

③

又DF=AF

④

由①②③④可得：最大L<

2；

由（1）和（2）既得：≤L＜2。

2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC

600，可得△PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。

既得AF=

=

=

=

=

=。

3.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP

900，可得如下圖：

既得正方形邊長(zhǎng)L

=

=。

4.在AB上找一點(diǎn)F，使∠BCF=600，連接EF，DG，既得△BGC為等邊三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，F(xiàn)G=GE。

推出

：

△FGE為等邊三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400

①

又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400

②

推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，從而推得：∠FED=∠BED=300。

第三篇：初中數(shù)學(xué)證明(二)

《證明(二)》單元測(cè)試卷

一、選擇題（每小題3分）、如圖，在△ABC中，?C?90，EF//AB,?1?50，則?B的度數(shù)為（）A．50B.60C.30D.402、兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）

A、一銳角對(duì)應(yīng)相等B、兩銳角對(duì)應(yīng)相等C、一條邊對(duì)應(yīng)相等D、兩條邊對(duì)應(yīng)相等

3、等腰三角形底邊長(zhǎng)為7，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分成兩部分的差為3，則腰長(zhǎng)是（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對(duì)

4、如圖，已知AB?AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CB?CDB．∠BAC?∠DAC

C．∠BCA?∠DCAD．∠B?∠D?90?。。。

5、如圖所示，A、B、C分別表示三個(gè)村莊，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P 的位置應(yīng)在（）

A．AB中點(diǎn)B．BC中點(diǎn)

C．AC中點(diǎn)D．∠C的平分線與AB的交點(diǎn)

6、設(shè)M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形，則下列四個(gè)圖中，能表示他們之間關(guān)系的是（）

7．下列命題是假命題的是（）

A．有兩個(gè)內(nèi)角分別為70°和40°的三角形是等腰三角形

B．有兩邊長(zhǎng)分別為3，4且三邊長(zhǎng)均為整數(shù)的三角形一定是等腰三角形

C．任意兩個(gè)內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形

D．有兩個(gè)外角相等的三角形是等腰三角形

8、如圖，OP平分?AOB，PA?OA，PB?OB，垂足分別

為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A．PA?PBB．PO平分?APB

O

C．OA?OBD．AB垂直平分OPB9、等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半,則頂角的度數(shù)是()

A.30°B.60°;C.30°或150°D.不能確定

10、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.任何命題都有逆命題B.定理都有逆定理

C.命題的逆命題不一定是正確的D.定理的逆定理一定是正確的二、填空題（每小題3分）

11、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分線MN與AB交于D點(diǎn)，則∠BCD的度數(shù)為.12、如圖，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,若BD=10厘米，BC=8厘米，則點(diǎn)D到直線AB的距離是__________厘米。

3，用經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面截這個(gè)正方體，所得截面的周長(zhǎng)是cm．

14、我們來(lái)探究 “雪花曲線”的有關(guān)問(wèn)題：圖7（1）是邊長(zhǎng)為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊，得到第二個(gè)圖形如圖7（2）；再將圖7（2）的每條邊三等分，并重復(fù)上述的作法，得到第三個(gè)圖形如圖7（3），如此繼續(xù)下去，得到的第五個(gè)圖形的周長(zhǎng)應(yīng)等于．

B C

D15、如圖，△ABC的周長(zhǎng)為32，且AB?AC，AD?BC于D，△ACD的周長(zhǎng)為24，那么AD的長(zhǎng)為．

16、如圖5，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A等于．

17、如圖，點(diǎn)F、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，則還須補(bǔ)充一個(gè)條件

.18、三角形兩邊的長(zhǎng)分別為5和7,則最短邊長(zhǎng)的取值范圍是_________.19、命題“如果一個(gè)四邊形的四邊都相等,那么這個(gè)四邊形是菱形”的逆命題是_________________________________________________.20、用反證法證明“三角形鈍角至多有一個(gè)”首先假設(shè)

三、解答題：（21題4分，其余每小題8分）

21、如圖，三條公路兩兩相交，有關(guān)部門要在此“三角形”區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)站，使轉(zhuǎn)運(yùn)站到三條公路的距離相等，如何確定轉(zhuǎn)運(yùn)站位置。（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫已知、求作和作法）

C

22．如圖9是一副三角板拼成的四邊形，含45°角那一塊的斜邊恰好等于另一塊60°角的對(duì)邊，試比較這兩塊三角板面積的大小，并說(shuō)明理由．

23．如圖1

2，ABCD是一張長(zhǎng)方形的紙片，折疊它的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的F點(diǎn)處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，那么EC等于多少？你能證明你的結(jié)論嗎？

24、已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC=BD.求證：OB=OC25、已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數(shù).26、已知D是Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn)，DE⊥AC交BC于E，且∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度數(shù).27、已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使 CE ＝ CD．求證：BD ＝ DE．

28、已知：如圖，在等邊三角形ABC中，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且AE＝CD，連結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD，垂足為Q．求

證：BP＝2PQ.

第四篇：初中數(shù)學(xué)三角形證明（范文）

1.如圖△ABC，∠AFD＝

158°，求∠EDF的度數(shù)。

2.如圖，∠C

＝48°，∠E＝25°，∠BDF＝140°，求∠A與∠EFD的度數(shù)。

3.如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC

4.如圖，在△ABC中，已知AD是△

ABC角平分線，DE是△ADC的高線，∠B＝60，∠C＝45，求∠ADB和∠ADE的度數(shù)．

5.如圖△ABC的周長(zhǎng)為18

cm，BE、CF

分別為AC、AB邊上的中線，BE、CF相交于點(diǎn)O，AO的延長(zhǎng)線交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的長(zhǎng).解題思路：

（1）求角度問(wèn)題要考慮：角平分線、三角形內(nèi)角和定理、兩內(nèi)角之和等于第三角的外角

（2）先列等式，然后根據(jù)題目要求去掉無(wú)關(guān)信息，最后采用“消元法”的思路轉(zhuǎn)換解決，求出未知

（3）對(duì)于某些題要結(jié)合外圍圖形和條件，比如四邊形、三角形全等、直線關(guān)系（平行、相交）來(lái)解答。

00第八講三角形證明

（一）6.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADEC DAB7.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，F(xiàn) 求證：∠1=∠2E A8.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C AB A9.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：EAE=AD+BEBDC10如圖所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長(zhǎng)線于M，求證：2∠M=（∠ACB-∠B）解題思路：(1)三角形的證明一般思路是證全等和相似（八年級(jí)）（2）分析題目先看求什么？然后考慮求未知必須先求什么？需證明那些量相等，或哪個(gè)三角形相等然后找出已知條件所能得出的結(jié)論，然后看它們能不能證出所要的關(guān)系（3）如果不能證出數(shù)量關(guān)系要考慮添加輔助線來(lái)“湊出”條件，然后在證明

11.如圖，A,F,E,B四點(diǎn)共線，AC?CE，BD?DF，AE?BF，A

17.如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求AC?BD。求證：?ACF??BDE。較難

12.如圖，在?ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD?BE，垂足為D。求證：?2??1??C

13.已知如圖，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求證：DE=BD+CE.14.在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD?MN于D，BE?MN于E求證：?ADC≌?CEB

15.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE

證：∠C=2∠BCD

BF

18.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平

A

E

分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直線CE交 D

BA的延長(zhǎng)線于F．BC

求證：BD=2CE．Q

A

E

19.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定 P

AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系B

C

20.△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，E、F分別在 AC、AB上，且DE⊥DF，試判斷DE、DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明 理由．

(附加題)如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE⊥ AC于E，BF⊥AC于F，若AB=

CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn) M．

（1）求證：MB=MD，ME=MF

（2）當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上 述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．

第五篇：初中數(shù)學(xué)定理證明

初中數(shù)學(xué)定理證明

數(shù)學(xué)定理

三角形三條邊的關(guān)系

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊

三角形內(nèi)角和

三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和

推論3三角形的一個(gè)外角大雨任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

角的平分線

性質(zhì)定理在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

幾何語(yǔ)言：

∵OC是∠AOB的角平分線(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

點(diǎn)p在OC上

∴pE=pF(角平分線性質(zhì)定理)

判定定理到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

幾何語(yǔ)言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴點(diǎn)p在∠AOB的角平分線上(角平分線判定定理)

等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等

幾何語(yǔ)言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)

推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

幾何語(yǔ)言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

推論2等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角等于60°

幾何語(yǔ)言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

幾何語(yǔ)言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角對(duì)等邊)

推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

幾何語(yǔ)言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形)

推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

幾何語(yǔ)言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)

推論3在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

幾何語(yǔ)言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)

線段的垂直平分線

定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

幾何語(yǔ)言：

∵M(jìn)N⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

點(diǎn)p為MN上任一點(diǎn)

∴pA=pB(線段垂直平分線性質(zhì))

逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

幾何語(yǔ)言：

∵pA=pB

∴點(diǎn)p在線段AB的垂直平分線上(線段垂直平分線判定)

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

定理1關(guān)于某條之間對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，若它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

逆定理若兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

勾股定理

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形

四邊形

定理任意四邊形的內(nèi)角和等于360°

多邊形內(nèi)角和

定理多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)·180°

推論任意多邊形的外角和等于360°

平行四邊形及其性質(zhì)

性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四邊形的對(duì)角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四邊形的對(duì)邊相等)

AO=CO，BO=DO(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)

平行四邊形的判定

判定定理1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)

判定定理2兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理3兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

判定定理5一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

矩形

性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線相等

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的對(duì)角線相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四個(gè)角都是直角)

推論直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

幾何語(yǔ)言：

∵△ABC為直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)

判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

幾何語(yǔ)言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四邊形ABCD是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)

判定定理2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

幾何語(yǔ)言：

∵AC=BD

∴四邊形ABCD是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形)

菱形

性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

性質(zhì)定理2菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四條邊都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角)

判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

幾何語(yǔ)言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四邊形ABCD是菱形(四邊都相等的四邊形是菱形)

判定定理2對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

幾何語(yǔ)言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

正方形

性質(zhì)定理1正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形

定理1關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分

逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱

梯形

等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

幾何語(yǔ)言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四邊形ABCD是等腰梯形(在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位線

三角形中位線定理三角形的中位線平行與第三邊，并且等于它的一半

幾何語(yǔ)言：

∵EF是三角形的中位線

∴EF=AB(三角形中位線定理)

梯形中位線定理梯形的中位線平行與兩底，并且等于兩底和的一半

幾何語(yǔ)言：

∵EF是梯形的中位線

∴EF=(AB+CD)(梯形中位線定理)

比例線段

1、比例的基本性質(zhì)

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc2、合比性質(zhì)

3、等比性質(zhì)

平行線分線段成比例定理

平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

幾何語(yǔ)言：

∵l‖p‖a

(三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例)

推論平行與三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行與三角形的第三邊

垂直于弦的直徑

垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語(yǔ)言：

∵OC⊥AB，OC過(guò)圓心

(垂徑定理)

推論

1(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語(yǔ)言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直徑

(平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧)

(2)弦的垂直平分線過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語(yǔ)言：

∵AC=BC，OC過(guò)圓心

(弦的垂直平分線過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧)

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

幾何語(yǔ)言：

(平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧)

推論2圓的兩條平分弦所夾的弧相等

幾何語(yǔ)言：∵AB‖CD

圓心角、虎弦、弦心距之間的關(guān)系

定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距也相等

推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條虎兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等

圓周角

定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直角

推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

圓的內(nèi)接四邊形

定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切線的判定和性質(zhì)

切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

幾何語(yǔ)言：∵l⊥OA，點(diǎn)A在⊙O上

∴直線l是⊙O的切線(切線判定定理)

切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)半徑

幾何語(yǔ)言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O于點(diǎn)A

∴l(xiāng)⊥OA(切線性質(zhì)定理)

推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心

切線長(zhǎng)定理

定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

幾何語(yǔ)言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C兩點(diǎn)

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切線長(zhǎng)定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

幾何語(yǔ)言：∵∠BCN所夾的是，∠A所對(duì)的是

∴∠BCN=∠A

推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

幾何語(yǔ)言：∵∠BCN所夾的是，∠ACM所對(duì)的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圓有關(guān)的比例線段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被焦點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等

幾何語(yǔ)言：∵弦AB、CD交于點(diǎn)p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

幾何語(yǔ)言：∵AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推論)

切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)

幾何語(yǔ)言：∵pT切⊙O于點(diǎn)T，pBA是⊙O的割線

∴pT2=pA·pB(切割線定理)

推論從圓外一點(diǎn)因圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等

幾何語(yǔ)言：∵pBA、pDC是⊙O的割線

∴pT2=pA·pB(切割線定理推論)。