第一篇：反證法教學(xué)反思

“反證法”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種特殊的證明方法，對(duì)于一些證明體它有著獨(dú)特，簡(jiǎn)便，實(shí)用的方法。故反證法的學(xué)習(xí)非常重要，在反思本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中得出以下幾點(diǎn)體會(huì)：

1、分清所證命題的條件和結(jié)論

如證明命題“一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)角是直角”其中條件是“一個(gè)三角形”（）結(jié)論是“不能有兩個(gè)角是直角”（）

2、熟記步驟

第一步：假設(shè)即假設(shè)命題的結(jié)論的反面為正確的。如引用上述命題即“假設(shè)能有兩個(gè)叫是直角不妨設(shè)”

第二步：推理后發(fā)現(xiàn)矛盾。一般利用假設(shè)進(jìn)行推理如繼上可知發(fā)現(xiàn)這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，所以假設(shè)不成立，故一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角，即為第三步：推翻假設(shè)，證明原命題成立。

3、抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)

反證法的重點(diǎn)是能寫出結(jié)論的反面，同時(shí)也是難點(diǎn)。如“寫出線段AB,CD互相平分的反面”，線段AB,CD互相平分具體指：“AB平分CD且CD平分AB”。他的反面應(yīng)包括以下三種情況：

（1）AB平分CD但CD不平分AB；

（2）CD平分AB但AB不平分CD；

（3）AB不平分CD且CD不平分AB.統(tǒng)稱為“AB，CD不互相平分”，而學(xué)生往往只考慮第（3）種情況，即AB，CD互相不平分。

4、注重規(guī)范

在用反證法證明的命題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)文字命題。如證明命題“梯形的對(duì)角線不能互相平分”時(shí)切記一定要先用數(shù)學(xué)語言寫出“已知”和“求證”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線；求證：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步驟證明。

反證法不僅能提高學(xué)生的演繹推理能力，而且在后繼的學(xué)習(xí)中有著不可忽視的作用，雖然在初中教材中所占篇幅很少，但本人認(rèn)為不應(yīng)輕視，應(yīng)讓學(xué)生掌握其精髓，合理的去運(yùn)用。

第二篇：反證法”教學(xué)案例

反證法”教學(xué)案例

數(shù)學(xué)組 梁華超

教學(xué)內(nèi)容：人教版九年義務(wù)教育四年制幾何第三冊(cè)第14—16頁。教學(xué)目的：

1、知識(shí)技能：了解反證法，掌握反證法證題的過程。

2、過程方法：通過學(xué)生裝的獨(dú)立思考、交流合作，讓學(xué)生裝經(jīng)歷問題解決的過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。

3、情感態(tài)度：讓學(xué)生感情感悟數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

重點(diǎn)難點(diǎn)：反證法證明命題的過程 教學(xué)方法：互動(dòng)式教學(xué) 教學(xué)過程：

（一）導(dǎo)入（3分鐘）：

師：中國古代有一個(gè)成語故事——自相矛盾，哪一位同學(xué)能講述這個(gè)故事呢？

（讓學(xué)生講這個(gè)故事）

師：這個(gè)故事蘊(yùn)含什么道理？

生：這個(gè)故事告訴我們要實(shí)事求是，不要夸大其辭。

師：很好，雖然這個(gè)故事是貶義的，但在數(shù)學(xué)中，我們常常借鑒這種“以子之矛，攻子之盾”的做法來證明數(shù)學(xué)命題，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“反證法”。（板書課題）

（二）掀起你的蓋頭來——認(rèn)識(shí)反證法（10分鐘）。師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)囎C明命題“400人中至少有兩個(gè)人的生日相同?！保ㄕn件演示）

（讓學(xué)生分組討論后交流）

生：寫出每個(gè)人的生日，對(duì)比一下就知道了。師：可以，有沒有比他更簡(jiǎn)單的方法呢？

生：假設(shè)400人中每?jī)扇说纳詹煌?，那么一年?huì)有400天，這與一年有365天不符合，因此是不可能的。

師：很好，這位同學(xué)沒有從正面去證明，而是從結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。它的特點(diǎn)是快捷、方便，請(qǐng)同學(xué)們嘗試證明命題：一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)直角。（讓學(xué)生模仿1的證明方式，嘗試證明此命題。）

生：假設(shè)有兩個(gè)直角，則三角形的內(nèi)角和就大于180度，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，因此原命題成立

師：很好，通過以上兩個(gè)命題的證明，同學(xué)們能不能歸納出反證法的證題步驟，各小組分開討論，看看哪一個(gè)小組的結(jié)論最合理。（讓學(xué)生分組討論后進(jìn)行交流）

生：我們小組的討論結(jié)果是：

（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

師：很好，其他小組有沒有補(bǔ)充的（讓同學(xué)們各抒己見，互相補(bǔ)充，歸納出反證法證明命題的步驟）師：在這三個(gè)步驟中，最重要的是第一步，如果找不到問題的反面，證明就沒有力度，同學(xué)們?cè)谶\(yùn)用反證法的時(shí)候要注意這個(gè)問題。下面我們一起來證明一個(gè)命題，大家仔細(xì)體會(huì)反證法的證明過程： 已知：A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上。求證：過A、B、C三點(diǎn)不能作圓。

(引導(dǎo)學(xué)生分析，寫出假設(shè)，推出錯(cuò)誤的結(jié)論，教師板書證明過程。)

（三）小試牛刀——嘗試反證法（12分鐘）。師：下面我們做一組練習(xí)

練習(xí)1：用反證法證明下列命題（多媒體顯示）。① 一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)鈍角。② 梯形的兩條對(duì)角線不能互相平分。③ 兩條直線相交，交點(diǎn)只有一個(gè)。

（讓學(xué)生分組討論，合作完成以上3個(gè)命題的證明，熟練反證法的證明過程）。練習(xí)2：已知：如圖三角形ABC中，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上。

求證：CD、BE不能互相平分。

（讓學(xué)生獨(dú)立思考完成，進(jìn)一步鞏固訓(xùn)練，然后交流解題思路）

（四）舉一反三——妙用反證法（13分鐘）。

1、諸葛亮與反證法（3分鐘）。

師：設(shè)計(jì)情景： 三國時(shí)代，蜀國丞相兼軍師諸葛亮屯兵陽平時(shí)，派大將魏延領(lǐng)兵去攻打魏國，只留下少數(shù)老弱軍士守城，不料魏國大都督司馬懿率大隊(duì)兵馬殺來，靠幾個(gè)老弱兵士出城迎戰(zhàn)，猶如雞蛋碰石頭，怎么辦？諸葛亮冷靜思考之后，傳令打開城門，讓老弱軍士在城門口灑掃道路，自己則登上城樓，擺好香

C

案，端坐彈琴，態(tài)度從容，琴聲優(yōu)雅。司馬懿來到城前，見此情景，心中疑惑，他想：“諸葛亮一生聰明過人，謹(jǐn)慎有余，從不冒險(xiǎn)。今天如此這般，與其一生表現(xiàn)矛盾，恐怕城內(nèi)必有伏兵，故意誘我入城，決不中計(jì)也！”于是急令退兵。這就是家喻戶曉的“空城計(jì)”。

② 展開討論：諸葛亮面臨的問題是什么？從正面考慮該如何解決這個(gè)問題？諸葛亮是如何考慮的？

③名家點(diǎn)評(píng)：諸葛亮利用了司馬懿的心理上的矛盾，才以“不守城”來達(dá)到暫時(shí)“守住城”的目的。諸葛亮從問題（守住城）的反面（不守城）考慮，來解決用直接或正面的方法（用少數(shù)老弱軍士去拼殺）很難或根本無法解決的問題，在歷史上傳為美談。這就是家喻戶曉的“空城計(jì)”。

2、律師與反證法（10分鐘）。

師：①設(shè)置情景：這是生活中的一個(gè)真實(shí)的案例：一公司老總在某酒店設(shè)宴款待自己的朋友，他們點(diǎn)的菜中有一道叫做水煮雞圍蝦，酒宴過半，客人突然提出這道菜中有一只紅頭大蒼蠅，要求酒店方面給予賠償，雙方為此爭(zhēng)執(zhí)不休，酒店經(jīng)理為了證實(shí)那不是蒼蠅，情急之下，把這個(gè)疑似紅頭蒼蠅的東西吃了下去。對(duì)方一看證物被毀，更加有恃無恐，一紙?jiān)V狀將酒店告上法庭，酒店經(jīng)理對(duì)自己的沖動(dòng)很后悔，深知庭審對(duì)自己將非常不利，但事情已無法挽回，為打贏官司，他們聘請(qǐng)了一個(gè)著名的律師為自己辯護(hù)。法庭上，雙方律師圍繞著是不是紅頭蒼蠅展開辯論，原告律師自恃證據(jù)確鑿，咄咄逼人，形式對(duì)被告很不利。這時(shí)，被告律師站了起來，要求對(duì)原告方提問，法官允許后，被告律師問：“你真的看到一只紅頭大蒼蠅嗎？”“是的?！薄澳憧隙ㄊ羌t色的嗎？”“是的，我肯定?！苯又?，被告律師用了一個(gè)巧妙的方法證實(shí)了原告說了謊話，這個(gè)方法就是我們今天學(xué)習(xí)的反證法。假如你是被告方律師，你會(huì)怎么證實(shí)原告說的是謊話呢？ ②開討論：讓學(xué)生以小組為單位合作探討，尋找最佳方法。③模擬法庭：讓各個(gè)小組的代表說出自己的做法，發(fā)言的同學(xué)作為“律師”，不發(fā)言的同學(xué)作為“法官”，看看哪位“律師”的說法能讓“法官”們信服。④真相大白：不少小組的做法非常接近律師的方法，讓我們看看這位律師的做法：把提前準(zhǔn)備的五只紅頭大蒼蠅放到酒精鍋里，當(dāng)庭開煮，幾分鐘后，呈現(xiàn)在眾人面前的是五只黑色的大蒼蠅，法官當(dāng)場(chǎng)宣布：原告敗訴。反證法在社會(huì)實(shí)踐中和數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，它還是創(chuàng)造發(fā)明的一種工具，例如無理數(shù)和非歐幾何的發(fā)現(xiàn)都得益于反證法。

（五）矢志不渝——情系反證法（3分鐘）。（課件演示）。

師：我們?cè)诟惺芊醋C法的快捷、方便的同時(shí)，不能忘記那些利用反證法作出突出貢獻(xiàn)的科學(xué)家，讓我們一起來認(rèn)識(shí)矢志不渝——情系反證法的俄國科學(xué)家

講述數(shù)學(xué)家利用反證法發(fā)現(xiàn)非歐幾何的故事。

1815年 俄國 羅巴切夫斯基礎(chǔ)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

1826年 非歐幾何遭到譏諷和打擊 高斯 歐洲數(shù)學(xué)之王。1856年 在苦悶和抑郁中度過生命的最后一段路程。1868年 幾何學(xué)中的哥白尼。

1893年 喀山大學(xué)世界史上第一個(gè)為數(shù)學(xué)家立的雕塑。

師：通過講述上面的故事，同學(xué)們有什么感觸？

生：我們了解了反證法背后的辛酸歷史，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家堅(jiān)持真理畏權(quán)勢(shì)、鍥而不舍的奮斗精神。師：在科學(xué)探索的征途中，一個(gè)人經(jīng)得住一時(shí)的挫折和打擊并不難，難的是勇于長(zhǎng)期甚至終生在逆境中奮斗。我們?cè)賹W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的這種品質(zhì)，這也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真諦。

（六）小結(jié)：

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有哪些收獲？（2分鐘）生：了解反證法證明命題的過程。生：感受了反證法的妙用。

生：感受到數(shù)學(xué)家不畏權(quán)勢(shì)，堅(jiān)持真理，鍥而不舍的奮斗精神。師：同學(xué)們總結(jié)的很好。本節(jié)課表現(xiàn)較好的是1、3、4、8組。

（讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲，根據(jù)學(xué)生的回答教師及時(shí)補(bǔ)充，并對(duì)表現(xiàn)突出的小組和個(gè)人給予表揚(yáng)和鼓勵(lì)。）

（七）作業(yè)（2分鐘）：

用反證法證明下列命題：

①等腰三角形的底角必定是銳角。②直徑是圓上的最大弦。

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們了解了反證法在生活中有廣泛的應(yīng)用，由于時(shí)間的關(guān)系，我們不能一一列舉，課后以小組為單位收集相關(guān)的資料，以《生活中的反證法》為題寫一篇小論文，時(shí)間兩個(gè)周，屆時(shí)我們將評(píng)選出優(yōu)秀論文若干篇。

教學(xué)反思：

1、準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)。新課程標(biāo)準(zhǔn)十分重視學(xué)生“雙基”的培養(yǎng)，也十分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程以及情感、態(tài)度、能力等方面的發(fā)展，在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，我從三個(gè)方面即知識(shí)技能目標(biāo)、過程性目標(biāo)和情感態(tài)度目標(biāo)進(jìn)行了詳細(xì)準(zhǔn)確的定位。體現(xiàn)了“立足雙基，著眼發(fā)展”的教育理念。

2、創(chuàng)造性的使用教材。教材的內(nèi)容相對(duì)來說比較簡(jiǎn)單，具有一定的權(quán)威性，但同時(shí)又肯有相對(duì)的滯后性、封閉性、靜止性等缺陷，不能適應(yīng)新課程的要求。因此，再設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，以課本的基本內(nèi)容為藍(lán)本，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和生活經(jīng)驗(yàn)，改造和充實(shí)所教的內(nèi)容，尤其是諸葛亮與反證法、律師與反證法、科學(xué)家的故事的引入，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思想，注重對(duì)學(xué)生的情感態(tài)度和價(jià)值觀的教育。努力使課堂教學(xué)充滿趣味性、挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活。

3、突出學(xué)生的主體地位。課堂上教師把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會(huì)參與、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)應(yīng)用、學(xué)會(huì)創(chuàng)新。本節(jié)課師生圍繞情景-問題-解決的思路，步步深入地經(jīng)歷了問題解決的過程。課堂氣氛自始至終和諧、生動(dòng)、自然，既有學(xué)生的獨(dú)立思考，更有師生間的相互交流、激烈的討論。

作者： 梁華超 來源： 本站原創(chuàng)

第三篇：高中數(shù)學(xué)反證法

反證法解題

反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：

第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；

第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；

第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。

在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。

Ⅰ、題組：

1.已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0 ______。

A.至多一個(gè)實(shí)根B.至少一個(gè)實(shí)根C.一個(gè)實(shí)根D.無實(shí)根

2.已知a<0,－1

A.a>ab> abB.ab>ab>aC.ab>a> abD.ab> ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b為異面直線，則_____。

A.a、b都與l相交B.a、b中至少一條與l相交

C.a、b中至多有一條與l相交D.a、b都與l相交

4.四面體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有_____。

5.A.150種B.147種C.144種D.141種

S 例1.如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB 上一點(diǎn)。求證：AC與平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

例3.給定實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝222221x?1(其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個(gè)函數(shù)ax?1a

圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸；②.這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱圖像。練習(xí)：

1.已知f(x)＝x，求證：當(dāng)x1≠x2時(shí)，f(x1)≠f(x2)。1?|x|

2.已知非零實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，a≠c，求證：1、1、1不可能成等差數(shù)列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于1。

24.求證：拋物線y＝x－1上不存在關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)。22

5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個(gè)根的絕對(duì)值均小于1。2

第四篇：淺談反證法

淺談反證法

摘要：在數(shù)學(xué)的諸多證明方法中,有一種被稱為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”的間接證明方法,這就是反證法。它與一般證明方法不同，反證法又可分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種。只要抓住要領(lǐng)，反證法就能使一些不易直接證明的問題變得簡(jiǎn)單、易證，它在數(shù)學(xué)證題中確有奇效。本文闡述反證法的概念、步驟，依據(jù)及分類。反證法如何正確的作出反設(shè)及導(dǎo)出矛盾，及何時(shí)宜用反證法，反證法在中學(xué)中最常用的證明的題型展示，反證法的綜合思路分析。關(guān)鍵詞：反證法數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

正文：

一：反證法的概念

一般地，假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立.二：反證法的證明過程

① 反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立;

② 歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理證明，得出矛盾;

③ 結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確

三：反證法的適用范圍

(1)直接證明困難的(2)否定性命題

(3)唯一性問題

(4)至多、至少型命題

四：理論依據(jù)

從邏輯角度看，命題“若p則q”的否定，是“p且非q”，由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么“p且非q”為假，因此可知“若 p則q”為真。像這樣證明“若p 則q”為真的證明方法，叫做反證法。

五：常用詞語

原詞語等于大于（>）小于（<）是都是否定詞語不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原詞語至多有一個(gè)至少有一個(gè)至多有n個(gè)

否定詞語至少有兩個(gè)一個(gè)也沒有至少有n+1個(gè)

原詞語任意的任意兩個(gè)所有的能

否定詞語某個(gè)某兩個(gè)某些不能

第五篇：高二文-反證法

§2.2.2反證法

滕州一中東校韓霞

教材分析

推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.反證法是繼前面學(xué)習(xí)完推理知識(shí)后的證明方法中的一種間接證明問題的基本方法，它彌補(bǔ)了直接證明的不足，完善了證明方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.課時(shí)分配

本節(jié)內(nèi)容用1課時(shí)完成，使學(xué)生了解反證法的基本原理；掌握運(yùn)用反證法的一般步驟.教學(xué)目標(biāo)

重點(diǎn)：理解反證法的推理依據(jù)；掌握反證法證明命題的方法；反證法證明題的步驟.難點(diǎn)：掌握反證法的證明步驟，體會(huì)反證法證明命題的思路方法.知識(shí)點(diǎn)：

1、反證法的概念

2、反證法證明題的基本方法.能力點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生通過事物的結(jié)論的反面出發(fā)，進(jìn)行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結(jié)論成立的簡(jiǎn)單推理能力與思維能力.教育點(diǎn)： 通過反證法的學(xué)習(xí),讓學(xué)生形成逆向思維的模式,體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的多樣性.自主探究點(diǎn)：通過學(xué)生動(dòng)手及簡(jiǎn)單實(shí)例,讓學(xué)生充分體會(huì)反證法的數(shù)學(xué)思想,并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.考試點(diǎn)：掌握反證法證明命題的方法.易錯(cuò)易混點(diǎn)：否定結(jié)論時(shí)應(yīng)對(duì)結(jié)論全盤否定，不能部分否定.拓展點(diǎn)：初步掌握反證法的概念，理解反證法證題的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡(jiǎn)單推理的技能.教具準(zhǔn)備：多媒體課件

課堂模式：采用設(shè)問、引導(dǎo)、啟發(fā)、發(fā)現(xiàn)等教學(xué)方法.一．引入新課

故事：王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛爬上樹去摘果子,只有王戎站在原地不動(dòng).有人問王戎為什么? 王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李.問題1:王戎是怎樣知道李子是苦的呢？

問題2:你認(rèn)為他的判斷方法正確嗎？他運(yùn)用了怎樣的推理方法？

（1）學(xué)生經(jīng)過思考，知道王戎是這樣判斷出李子是苦的：假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的.（2）我們不妨把這則故事改編成數(shù)學(xué)中證明題的格式，即寫出“已知、求證、證明過程”來總結(jié)王戎的推理方法：

而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.【設(shè)計(jì)說明】讓學(xué)生能夠從具體的例子中，感受到反證法的存在.【設(shè)計(jì)意圖】愛因斯坦說：“興趣是最好的導(dǎo)師.”這樣引入讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)來源于生活、科研的需要，同時(shí)又能解決生活中的問題，激發(fā)了學(xué)生興趣，增強(qiáng)學(xué)生求知欲.二．探究新知

問題1：上面的證明方法和我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的綜合法和分析法相同嗎？上面這種證明方法在數(shù)學(xué)中叫做什么呢？

生：不同, 綜合法和分析法是直接證明：是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推理證明結(jié)論的真實(shí)性.上面這種證明方法不是從正面證明命題的真實(shí)性，而是證明命題的反面為假，或改證它的等價(jià)命題為真，間接地達(dá)到證明的目的.它是一種間接證明方法，反證法就是一種常用的間接證明方法.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生知道在數(shù)學(xué)證明方法中，還有這樣一種證明方法反證法，它是與直接證明不同的一種證明方法.問題2：在學(xué)習(xí)命題的知識(shí)時(shí)，我們主要學(xué)習(xí)了哪些詞的否定？

【設(shè)計(jì)意圖】讓同學(xué)們能回憶起某些特殊詞的否定，為后面的題目做鋪墊.三.理解新知

例1．已知a?0，證明x的方程ax?b有且只有一個(gè)根.證明：由于a?0，因此方程至少有一個(gè)根x?

ba

.ax1?b,(1)ax2?b,(2)

如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x1,x2是它的兩個(gè)不同的根，即

（1）-（2）a(x1?x2)?0

因?yàn)閤1?x2，所以應(yīng)有a?0，這與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.所以，當(dāng)a?0時(shí)，方程ax?b有且只有一個(gè)根.問題3：根據(jù)反證法的定義，你能總結(jié)出用反證法證明題目的步驟嗎？ 學(xué)生討論后總結(jié)：反證法證明題的步驟：

（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾.（3）由矛盾假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.【設(shè)計(jì)意圖】通過教師設(shè)問，學(xué)生思考、探究、類比，學(xué)生得出了反證法的概念，初步明確反證法的步驟.練習(xí)：用反證法證明：一個(gè)三角形內(nèi)，不能有兩個(gè)鈍角.證明：假設(shè)?ABC中，有兩個(gè)鈍角，即?A?900,?B?900，于是?A??B?1800，更有

?A??B??C?180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾.∴一個(gè)三角形內(nèi)，不能有兩個(gè)鈍角．

四．運(yùn)用新知

例

2、已知直線a,b和平面?，如果a??,b??,且a//b，求證a//? 證明：因?yàn)閍//b，所以經(jīng)過直線a,b確定一個(gè)平面?.因?yàn)閍??,而a??, 所以?,?是兩個(gè)不同的平面.因?yàn)閎??,且b??,所以????b

下面用反證法證明直線a與平面?沒有公共點(diǎn).假設(shè)直線a與平面?有公共點(diǎn)P，則P?????b 即點(diǎn)P是直線a,b的公共點(diǎn)，這與a//b矛盾.所以a//?.問題4：你能總結(jié)在什么情形下應(yīng)用反證法呢？

師生共同總結(jié)：①直接證明困難;②需分成很多類進(jìn)行討論．

③結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)”---類命題；

④結(jié)論為 “唯一”類命題；

【設(shè)計(jì)意圖】教師從例題分析中小結(jié)反證法知識(shí)，提高學(xué)生的解題能力.練習(xí)：平面?交平面?于直線a，直線b在平面?內(nèi)，直線c在平面?內(nèi)，a?b?A,c//a

求證：b,c是異面直線.證明：假設(shè)b,c不是異面直線，則b,c平行或相交若c//b,?c//a,?a//b這與a?b?A矛盾.?b不平行于c，若c?b?B，?B?b??,B?c??

?B是?，?的公共點(diǎn)，又???=a ?B?a,則c與a相交，與c//a矛盾.?b,c是異面直線

【設(shè)計(jì)意圖】通過兩個(gè)練習(xí)，鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，加深印象.問題5：你能總結(jié)反證法的矛盾有哪些種?

(1)與已知條件矛盾，（2）與公理、定理、定義矛盾,(3)與假設(shè)矛盾

【設(shè)計(jì)意圖】同學(xué)們對(duì)反證法的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了一些認(rèn)識(shí)，而反證法引出矛盾沒有固定的模式，需要認(rèn)真觀察、分析，洞察矛盾.五.課堂小結(jié)

（1）、反證法的一般步驟；（2）、反證法的關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾，可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等；（3）、反證法適合證明哪些命題？否定性問題、存在性、唯一性命題，至多至少問題，結(jié)論的反面比原結(jié)

論更具體、更易于研究和掌握的問題.六.布置作業(yè)

必做：

1、應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用（）（1）結(jié)論相反判斷，即假設(shè)；（2）原命題的條件；（3）公理、定理、定義等；（4）原結(jié)論

A、（1）（2）B、（1）（2）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）

2、命題“?ABC中，若?A??B則a?b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是（）A、a?bB、a?bC、a?bD、a?b

3、命題“關(guān)于x的方程ax?b,(a?0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是（）A、無解B、兩解C、至少兩解D、無解或至少兩解

4、命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是（）A、有兩個(gè)內(nèi)角是直角B、有三個(gè)內(nèi)角是直角

C、至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角D、沒有一個(gè)內(nèi)角是直角

5、對(duì)一個(gè)命題的證明，下列說法錯(cuò)誤的是（）Ａ．若能用分析法，必能用綜合法

Ｂ．若用綜合法或分析法證明難度較大時(shí)，可考慮分析法與綜合法的合用等方法 Ｃ．若用直接證法難度較大時(shí)，可考慮反證法 Ｄ．用反證法就是要證結(jié)論的反面成立

6、已知a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y?求證：a,b,c中至少有一個(gè)大于0.選做：

1、已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個(gè)方程ax2?2bx?c?0，bx?2cx?a?0,cx?2ax?b?0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.?,b?y?2z?

?,c?z?2x?

?

6，2.已知：f(x)?x?px?q，f(1)?f(3)?2f(2)?2 求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個(gè)不小于

2.答案：必做：1.C、2.B、3.D、4.C、5.Ｄ．

6.證明：假設(shè)a,b,c都不大于0，即a?0,b?0,c?0，得a?b?c?0，而a?b?c??x?1???y?1???z?1????3?0，即a?b?c?0，與a?b?c?0矛盾，?a,b,c中至少有一個(gè)大于0.選做：1.證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒有兩個(gè)相異實(shí)根，22

2則?1?4b?4ac?0,?2?4c?4ab?0,?3?4a?4bc?0.222

相加有?a?b???b?c???c?a??0① 由題意a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，∴①式不能成立.222

∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.2.證明：假設(shè)f(1),f(2),f(3)都小于

f(1)?

12,f(2)??f(1)?

12,f(3)?

12，則，12

即有?

12,?

?f(2)?,?

?f(3)?

∴?2?f(1)?f(3)?2f(2)?2與已知f(1)?f(3)?2f(2)?2矛盾，∴假設(shè)不成立，即原命題成立.七.教后反思：

亮點(diǎn)是:設(shè)計(jì)合理,重點(diǎn)突出,難點(diǎn)突破,充分體現(xiàn)教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體的雙主體課堂地位,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,教師合理清晰的引導(dǎo)思路,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)和提高,教學(xué)內(nèi)容容量與難度適中,符合學(xué)情,并關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異,使不同程度的學(xué)生都得到不同效果的收獲.不足是: 對(duì)于反證法的熟練掌握還需以后隨著進(jìn)一步的學(xué)習(xí)深入，逐步加強(qiáng)和提高.八、板書設(shè)計(jì)的