第一篇：命題與證明 平行四邊形練習(xí)

典型例題剖析

例

1、將下列各句改寫成“如果……，那么……”的形式．

（1）對頂角相等；

（2）等角的余角相等；

（3）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；

（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

分析：

省略掉詞語的命題通常采取仔細(xì)分析，把省略掉的詞語重新補(bǔ)上，或根據(jù)命題畫出準(zhǔn)確圖形，再根據(jù)圖形，把命題完整寫出來，根據(jù)這些方法研究，我們便可著手改寫了．

解：

（1）如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等；

（2）如果兩個(gè)角是等角的余角，那么這兩個(gè)角相等；

（3）如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行；

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行；

例

2、指出下列命題的條件部分和結(jié)論部分

（1）直角都相等；

（2）互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直；

（3）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短；

（4）大于90°而小于180°的角是鈍角；

（5）兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．

分析：

解答這類問題，必須弄清命題由哪兩部分組成，進(jìn)一步弄明白條件與結(jié)論所表示的意思．便可找出條件與結(jié)論．對省略掉詞語的命題應(yīng)先設(shè)法補(bǔ)上，再著手找題設(shè)與結(jié)論．命題的條件與結(jié)論不好用文字?jǐn)⑹鰰r(shí)，要用符號寫出條件和結(jié)論，但必須說明符號所表示的意義．

解：（1）條件：兩個(gè)角都是直角；

結(jié)論：這兩個(gè)角相等．

（2）條件：互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的兩條平分線；

結(jié)論：這兩條角平分線互相垂直．

（3）條件：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段；

結(jié)論：垂線段最短．

（4）條件：90°＜∠

結(jié)論：∠＜180°； 是鈍角．

（5）條件：兩個(gè)角的和等于平角；

結(jié)論：這兩個(gè)角互補(bǔ)．

例

3、判斷下列命題的真假，如果是假命題，請說明理由．

（1）兩點(diǎn)之間，線段最短．

（2）如果一個(gè)數(shù)的平方是9，那么這個(gè)數(shù)是3．

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．

（5）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．

（6）兩個(gè)銳角的和是銳角．

分析：

要判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子（反例）即可．于是以上各題真假便眉目分明了． 解：

（1）真命題，這是關(guān)于線段的一個(gè)公理．

（2）假命題，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方是9，這個(gè)數(shù)也可能是－3．

（3）假命題，任意二條直線被第三條直線所截，都有同旁內(nèi)角產(chǎn)生，只有兩條平行線被第三直線所截，才有同旁內(nèi)角互補(bǔ)的結(jié)論．

（4）假命題，如果這個(gè)點(diǎn)在已知直線上，就無法作出一條直線與已知直線平行．

（5）假命題，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a＝2≠0，b=－2≠0．

（6）假命題，如60°和50°的角都是銳角，但它們的和是鈍角．

例

4、區(qū)分下列語句中，哪些是定義，哪些是公理，哪些是定理：

（1）經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線；

（2）兩點(diǎn)之間，線段最短；

（3）有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角；

（4）對頂角相等；

（5）垂線段最短．

分析：

只要理解定義，公理，定理的意義，便可一一區(qū)分誰是定義，誰是公理，誰是定理．

解：(1)、(2)是公理；(3)是定義；(4)、(5)是定理．

例

5、完成以下證明，并在括號內(nèi)填寫理由：

已知：如圖所示，∠1=∠2，∠A=∠3.求證：AC∥DE.例

6、如下圖，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點(diǎn)E

．求證：

．

例

7、如圖，CE是△ABC的外角∠ACM的平分線，CE交BA的延長線于點(diǎn)E，試說明∠BAC＞∠B成立的理由

.例

8、已知：如圖AD為∠ABC的角平分線 E為BC的中點(diǎn)過E作EF∥ AD，交AB于M，交CA延長線于F。CN∥ AB交FE的延長線于N。

求證：

BM=CF

例

9、求證：沒有一個(gè)有理數(shù)的平方等于

3例

10、求證：三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)

例

11、求證：等腰三角形的底角是銳角

第二篇：命題與證明平行四邊形 教案

《命題與證明》

1、定義（一般地，能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義）

2、命題（一般地，判斷一件事情的句子叫做命題）命題是一個(gè)“判斷句”，判斷“是”或“非”．其中正確的命題叫做真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，如“對頂角相等”是真命題，“相等的角是對頂角”是假命題.注意：(1)命題是語句，而且必須是能判斷正確和錯(cuò)誤的句子．(2)錯(cuò)誤的命題也是命題．

過直線外一點(diǎn)做一條直線與已知直線垂直。

過直線外一點(diǎn)做一條直線，要么與已知直線相交，要么與已知直線平行。

3、每個(gè)命題是由條件（題設(shè)）和結(jié)論（題斷）兩部分組成．條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，命題常寫成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分是結(jié)論．（判斷清楚哪些是條件，哪些是結(jié)論）

寫成“如果，那么”的形式

①在同一個(gè)三角形中 等角對等邊

②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

③同角的余角相等

3、公理、定理、推論

人們在長期實(shí)踐中檢驗(yàn)所得的真命題，并作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做公理．如“過兩點(diǎn)有且只有一條直線”；“兩點(diǎn)之間，線段最短”等等．有些命題的正確性是通過推理證實(shí)的，并被選定作為判定其它命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫定理．由公理、定理直接得出的真命題叫做推論． 如 三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°．

推論1 直角三角形的兩銳角互余．

推論2 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

推論3 三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．

4、證明真命題的方法

根據(jù)題設(shè)、定義、公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理，來判斷一個(gè)命題是否正確，這樣的推理過程叫證明.證明一個(gè)真命題一般按以下步驟進(jìn)行：

（1）審題，分清命題的條件與結(jié)論.（2）畫圖，依題意畫出圖形，畫圖時(shí)應(yīng)做到圖形正確且具有一般性，切忌將圖形特殊化.（3）寫“已知”“求證”，按照圖形，分析、探求解題思路，然后寫出證明過程，證明的每一步都要做到敘述清楚，而且要有理有據(jù).5、證明假命題的方法

證明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)“反例”即可，也就是舉出一個(gè)符合命題的條件而不符合結(jié)論的例子.用反證證明下列命題是假命題

有一條邊、兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形全等

任何三條線段都能組成三角形

6、重難點(diǎn)及歸納

①命題的理解：本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)是找出一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，它是后面證明中，書寫已知求證的基礎(chǔ)，對那些條件結(jié)論不明顯的命題．應(yīng)在學(xué)習(xí)中多練，必要時(shí)結(jié)合圖形來區(qū)分．例如命題“如果兩條直線和

第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，其中“兩條直線和第三條直線平行”是條件，“這兩條直線也平行”是結(jié)論．再如命題，“對頂角相等”，它的條件和結(jié)論不明顯，應(yīng)將它改成“如果兩個(gè)角為對頂角，那么這兩個(gè)角相等”，再指出條件和結(jié)論．

②定義、命題、公理和定理之間的聯(lián)系與區(qū)別

這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，只不過公理是最原始的依據(jù)，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)．

③證明真命題的方法和步驟，難點(diǎn)是分析證明思路，有條理地寫出推理過程．

④三角形內(nèi)角和定理的三個(gè)推論常用來求角的大小和進(jìn)行角的比較．

7、證明的思路： ①從已知出發(fā)，推出可能的結(jié)果，并與要證明的結(jié)論比較，直至推出最后的結(jié)果。②從

要證明的結(jié)論出發(fā)，探索要使結(jié)論成立，需要什么條件，并與已知條件對照，直到找到所需要的并且是已知的條件。

探索證明：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個(gè)角大于或等于60度

9、用反證法（證明的思路如何，苦李子的故事）

用反證法證明命題，一般有三個(gè)步驟：

反設(shè) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)命題結(jié)論的反面成立）

歸謬 推出矛盾（和已知或?qū)W過的定義、定理、公理相矛盾，或者與假設(shè)所推出的任何一個(gè)已知相矛盾）結(jié)論 從而得出命題結(jié)論正確。

例如用反證法證明：

在同一個(gè)平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

在三角形的內(nèi)角中，至少有一個(gè)角大于或等于60度

例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行

已知：如圖∠1＝∠2A1B

求證：AB∥CD

證明：設(shè)AB與CD不平行C2D

那么它們必相交，設(shè)交點(diǎn)為MD

這時(shí)，∠1是△GHM的外角A

1∴∠1＞∠2G這與已知條件相矛盾

2∴AB與CD不平行的假設(shè)不能成立H

∴AB∥CDC

例2.求證兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)

證明：假設(shè)兩條直線相交有兩個(gè)交點(diǎn)，那么這兩條直線都經(jīng)過相同的兩個(gè)點(diǎn)，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設(shè)不能成立，因此兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。

（從以上兩例看出，證明中的三個(gè)步驟，最關(guān)鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設(shè)”也要認(rèn)真對待）。

例3.已知：m2是3的倍數(shù)，求證：m 也是3的倍數(shù)

例4.求證：2不是有理數(shù)

《平行四邊形》

1、四邊形的定義

2、定理：四邊形的內(nèi)角和等于360度

推論：四邊形的外角和等于360度

N邊形的內(nèi)角和外角和（為什么）

正五邊形能鑲嵌平面嗎（為什么）

單獨(dú)和鑲嵌平面的正多邊形有哪幾種？為什么只有這幾種？

（2011浙江省，8，3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M,N，使得△AMN的周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）（如何作輔助線，培養(yǎng)感覺）

A.100°B．110°C.120°D.130°

3、平行四邊形的定義性質(zhì)

定理：平行四邊形的對角相等

定理1：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

推論1：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

推論1：夾在兩條平行線間的垂線段相等。

定理2：平行四邊形的對角線互相平分。

4、中心對稱圖形定義 對稱中心

性質(zhì)：對稱中心平分兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段。（在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？為什么？）

5、平行四邊形的判定

①定義②定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形③定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形④定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6、三角形的中位線定理（如何證明？）

7、逆命題與逆定理

兩個(gè)命題，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。每個(gè)命題都有逆命題。每個(gè)定理都有逆命題。如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理。

因此，每個(gè)命題有逆命題；每個(gè)定理有逆命題，但不一定有逆定理。

1.（2011浙江金華，15，4分）如圖，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與DC的延長線相交于點(diǎn)H，則△DEF的面積是

.3.（2011四川成都，20,10分）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動點(diǎn).5CD

1(1)若BK=2KC，求AB的值；(2)連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=2AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)AE=nAD(n?2)，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

6、如圖，已知△ABC中，?ABC?45，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD?4，則線段DF的長度為（）.A

．B． 4C

．D

．

?

第三篇：平行四邊形證明練習(xí)

數(shù)學(xué)練習(xí)題

平行四邊形證明練習(xí)

姓名

1.如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)為BD上的點(diǎn)，BF=DE，那么四邊形AECF是什么圖形？試用兩種方法證明。

2.在平行四邊形ABCD中，BN＝DM，BE＝DF，求證：四邊形MENF是平行四邊形

.3.如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且AE∥CF，AE與CF相等嗎？說明理由.4.如圖，在□ABCD中，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：OE=OF.5如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)E，∠ADC的平分線交AB于F，試判斷AF與CE是否相等，并說明理由

6.已知□ABCD中，對角線AC、BD交于O，EF過O與AB、CD分別交于E、F。求證： OE=OF，AE=CF，BE=DF

7.已知?ABCD中，過對角線的交點(diǎn)O的直線交CB、AD的延長線于E和F，求證：

BE=DF

8.如圖，在□ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB．

(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形．

(2)若去掉已知條件的“∠DAB=60°，上述的結(jié)論還成立嗎?若成立，請寫出證明過程；

若不成立，請說明理由．

9.在□ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M．

（1）試說明：AE⊥BF；

（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說明．

10.在□ABCD中，AB=2AD，M為AB中點(diǎn)，求證：CM⊥DM

4CE.14．如圖19－1－29，?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作兩條直線分別與AB，BC，CD，AD交于G，F(xiàn)，H，E四點(diǎn)。求證：四邊形EGFH是平行四邊形。中，AB=2AD，延長AD到F,使DF=AD,再延長DA到E,使AE=AD,求證:BF⊥E A D F B

15．如圖19－1－30，分別以△ABC的三邊為邊長，在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角形ACF，連接DE，EF。求證：四邊形ADEF是平行四邊形。

四、思維拓展

16．如圖19－1－31，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G，H分別為AD，BC的中點(diǎn)，試證明EF和GH互相平分。

17．如圖19－1－32，△ABC是邊長為4cm的邊三角形，P是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥AB分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，作GH∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)G，H，作MN∥AC分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，試猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否隨P位置的改變而變化？并說明你的理由。

23．（1）如圖19－1－13，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O、EF過點(diǎn)O，且，EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，OE與OF相等嗎？試說明理由；

（2）若（1）中的EF為過點(diǎn)O的任意一條直線，且AD于E，交BC于F，則上述關(guān)系還成立嗎？試說明理由；

（3）如圖19－1－14，若將（2）中的EF，向兩端延長，分別交BA，DC的延長線于點(diǎn)M，N，則OM與ON相等嗎？試說明理由；

（4）如圖19－1－15，若把（1）中的已知條件為在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？試說明理由。

第四篇：平行四邊形練習(xí)證明

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，?A??B?70?，求平行四邊形各角的度數(shù)。

BC

2.如圖，在中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥BC，垂足為F．求

∠ADE，∠

EDF，∠FDC的度數(shù)．

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知對角線

AC和BD相交于點(diǎn)O，ΔAOB的周長為

15，AB＝6，那么對角線AC和BD的和是多少？

4.如圖所示，∠1=∠2，∠3=∠4，問四邊形ABCD是不是平行四邊形．

5.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F(xiàn)為對角線AC上的點(diǎn)，且AE=CF，求證：BE=DF．

6.已知：如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ上的兩點(diǎn)，且ＡＥ＝ＣＦ，ＡＦ，ＤＥ相交于點(diǎn)Ｍ，ＢＦ，ＣＥ相交于點(diǎn)Ｎ．

求證：四邊形ＥＭＦＮ是平行四邊形．（要求不用三角形全等來證）

7.已知：如圖，在△

ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD．求證：EF=AD．

8.如圖，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分別是

DE、BF的中點(diǎn)．

求證：四邊形MFNE是平行四邊形．

9．如圖所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中點(diǎn)，求證：BC=DE．

已知：如圖，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ的中點(diǎn)，Ｅ是ＡＣ上的一點(diǎn)，ＥＦ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＢＥ．

(1)猜想：ＤＦ與ＡＥ間的關(guān)系是＿＿＿＿＿＿．

(2)證明你的猜想．

第五篇：初一數(shù)學(xué)命題、定理與證明練習(xí)

智立方教育初一數(shù)學(xué)“命題、定理與證明”練習(xí)

1、判斷下列語句是不是命題

（1）延長線段AB（不是）

（2）兩條直線相交，只有一交點(diǎn)（是）

（3）畫線段AB的中點(diǎn)（不是）

（4）若|x|=2，則x=2（是）

（5）角平分線是一條射線（是）

2、選擇題

（1）下列語句不是命題的是（C）

A、兩點(diǎn)之間，線段最短B、不平行的兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)

C、x與y的和等于0嗎？D、對頂角不相等。

（2）下列命題中真命題是（C）

A、兩個(gè)銳角之和為鈍角B、兩個(gè)銳角之和為銳角

C、鈍角大于它的補(bǔ)角D、銳角小于它的余角

（3）命題：①對頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對頂角；④同位角相等。其中假命題有（B）

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

3、分別指出下列各命題的題設(shè)和結(jié)論。

（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c

（2）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

（1）題設(shè)：a∥b，b∥c結(jié)論：a∥c

（2）題設(shè)：兩條直線被第三條直線所截的同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

結(jié)論：這兩條直線平行。

4、分別把下列命題寫成“如果??，那么??”的形式。

（1）兩點(diǎn)確定一條直線；

（2）等角的補(bǔ)角相等；

（3）內(nèi)錯(cuò)角相等。E

C（1）如果有兩個(gè)定點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)有且只有一條直線 D（2）如果兩個(gè)角分別是兩個(gè)等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等。

（3）如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等。

5、已知：如圖AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求證：BE∥CF

證明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直定義）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠EBC=∠BCF（等式性質(zhì)）∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

6、已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角。求證：∠ACD=∠B。

證明：∵AC⊥BC（已知）

A D∴∠ACB=90°（垂直定義）

∴∠BCD是∠DCA的余角

∵∠BCD是∠B的余角（已知）∴∠ACD=∠B（余角定義，同角的余角相等）；

7、已知，如圖，BCE、AFE是直線，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AD∥BE。

D

證明：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠BAE（兩直線平行同位角相等）∵∠3=∠4（已知）

∴∠3=∠BAE（等量代換）∵∠1=∠2（已知）C E

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式性質(zhì)）即∠BAE=∠CAD∴∠3=∠CAD（等量代換）

∴AD∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

8、已知，如圖，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°。F

求證：AE∥FD。

B

證明：∵AB∥CD

D

∴∠AGD+∠FDC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠EAB+∠FDC=180°（已知）∴∠AGD=∠EAB（同角的補(bǔ)角相等）∴AE∥FD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

9、已知：如圖，DC∥AB，∠1+∠A=90°。

求證：AD⊥DB。證明：∵DC∥AB（已知）

B

∴∠A+∠ADC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即∠A+∠ADB+∠1=180°∵∠1+∠A=90°（已知）∴∠ADB=90°（等式性質(zhì)）∴AD⊥DB（垂直定義）

10、如圖，已知AC∥DE，∠1=∠2。求證：AB∥CD。

證明：∵AC∥DE（已知）

∴∠2=∠ACD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠ACD（等量代換）

∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

11、已知，如圖，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D。求證：BE⊥DE。

B

C

EB

D、證明：作EF∥AB∵AB∥CD B

∴∠B=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1=∠B（已知）

∴∠1=∠3（等量代換）

D∵AB∥EF，AB∥（已作，已知）

∴EF∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠4=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠2=∠D（已知）∴∠2=∠4（等量代換）

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角定義）∴∠3+∠4=90°（等量代換、等式性質(zhì)）即∠BED=90°

∴BE⊥ED（垂直定義）

12、求證：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行。已知：AB∥CD，EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線。求證：EG∥FR。

B 證明：∵AB∥CD（已知）

1∴∠BEF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）G

∵EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線（已知）F

∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC（角平分線定義）∴2∠1=2∠2（等量代換）∴∠1=∠2（等式性質(zhì)）

∴EG∥FR（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

13、如圖，點(diǎn)E在DF上，點(diǎn)B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D． 試說明：∠A=∠F．

考點(diǎn)：平行線的判定與性質(zhì)． 專題：證明題．

分析：先根據(jù)對頂角相等結(jié)合∠1=∠2推出∠3=∠4，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明BD∥CE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠5=∠C，從而推出∠5=∠D，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明AC∥DF，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得證．

解答：∴∠3=∠4，∴BD∥CE，∴∠5=∠C，∵∠C=∠D，∴∠5=∠D，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．

證明：如圖，∵∠1=∠3，∠2=∠4，∠1=∠2，