第一篇：§24.3命題與證明

.cn

§24.3 命題與證明

1.定義、命題與定理

試一試

觀察圖24.3.1中的圖形，找出其中的平行四邊形．

圖

24.3.1要解決這個問題，首先要弄清楚怎樣的圖形才能稱為平行四邊形．你還記得 以前學(xué)過的知識嗎？

“有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這句話說明了平行四邊形 的含義以及區(qū)別于其他圖形的特征．一般地，能明確指出概念含義或特征的句子，稱為定義（definition）.還可以舉出如下的一些定義：

（1）有一個角是直角的三角形，叫做直角三角形．

（2）有六條邊的多邊形，叫做六邊形．

（3）在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線．

定義必須是嚴密的．一般避免使用含糊不清的術(shù)語，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)．正確的定義能把被定義的事物或名詞與其他的 事物或名詞區(qū)別開來．

思 考

試判斷下列句子是否正確．

（1）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

（2）三角形的內(nèi)角和是180°；

（3）同位角相等；

（4）平行四邊形的對角線相等；

（5）菱形的對角線相互垂直．

根據(jù)已有的知識可以判斷出句子（1）、（2）、（5）是正確的，句子（3）、（4）是錯誤的．像這樣可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題（proposition）．正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．

在數(shù)學(xué)中，許多命題是由題設(shè)（或條件）和結(jié)論兩部分組成的．題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項．這種命題?？蓪懗伞叭绻??那么??”的形式．其中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論．例-1-

如，在命題（1）中，“兩個角是對頂角”是題設(shè)，“這兩個角相等”是結(jié)論．例1 把命題“在一個三角形中，等角對等邊”改寫成“如果??那么??”的形式，并分別指出命題的題設(shè)與結(jié)論．

解這個命題可以寫成：“如果在一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.” 這里的題設(shè)是“在一個三角形中有兩個角相等”，結(jié)論是“這兩個角所對的邊也相等”.數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理（axiom）．例如，我們通過探索，已經(jīng)知道下列命題是正確的：

（1）一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線

平行；

（3）如果兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分

別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；

（4）全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等．

我們把這些作為不需要證明的基本事實，即作為公理．

此外，我們把等式、不等式的有關(guān)性質(zhì)以及等量代換（即在等式或不等式中，一個量用它的等量替代）都作為邏輯推理的依據(jù)．

有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理（theorem）．

例如，運用公理“兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等”，可以得到定理：“兩角及其一角的對邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．”

定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的根據(jù)．

練習(xí)

1.找出右圖中的銳角，并試著對“銳角”寫出一個確切的定義

.2.把下列命題改寫成“如果??那么??”的形式，并指出它的題設(shè)和結(jié)論.（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；

（2）平行四邊形的地邊相等.3.指出下列命題中的真命題和假命題.（1）同位角相等，兩直線平行；

（2）多邊形的內(nèi)角和等于180°；

（3）如果兩個三角形有三個角分別相等，那么這兩個三角形全等.2.證明

思 考

一位同學(xué)在鉆研數(shù)學(xué)題時發(fā)現(xiàn)：

2＋1＝3，2×3＋1＝7，2×3×5＋1＝31，2×3×5×7＋1＝211．

于是，他根據(jù)上面的結(jié)果并利用素數(shù)表得出結(jié)論： 從素數(shù)2開始，排在前 面的任意多個素數(shù)的乘積加1一定也是素數(shù)．他的結(jié)論正確嗎？

如圖24.3.2所示，一個同學(xué)在畫圖時發(fā)現(xiàn)： 三角形三條邊的垂直平分線的 交點都在三角形的內(nèi)部．于是他得出結(jié)論： 任何一個三角形三條邊的垂直平分線的交點都在三角形的內(nèi)部．他的結(jié)論正確嗎？

圖

24.3.2我們曾經(jīng)通過計算四邊形、五邊形、六邊形、七邊形、八邊形等的內(nèi)角和，得到一個結(jié)論： n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）×180°．這個結(jié)果可靠嗎？是否有一個多邊形的內(nèi)角和不滿足這一規(guī)律？

上面幾個例子說明： 通過特殊的事例得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確．因此，通過這種方式得到的結(jié)論，還需進一步加以證實．

根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明（proof）．

前面的學(xué)習(xí)已經(jīng)告訴我們： 一條直線截兩條平行線所得的內(nèi)錯角相等．下面我們運用前面所提到的基本事實，即公理來證明這個結(jié)論．

例1 證明： 一條直線截兩條平行直線所得的內(nèi)錯角

相等．

已知： 如圖24.3.3，直線l1∥l2，直線l3分別和l1、l

2相交于點A、B．

求證： ∠1＝∠3．

證明 因為l1∥l2（已知），所以∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等）．

圖

24.3.3 又∠2＝∠3（對頂角相等），所以∠1＝∠3（等量代換）．

如果要證明或判斷一個命題是假命題，那么我們只要舉出一個符合命題題設(shè)而不符合結(jié)論的例子就可以了，這稱為“舉反例”．例如，要證明“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只需舉一個反例，例如銳角等于30°，鈍角等于120°，但它們的和就不等于180°，從而說明這個命題是假命題．

練習(xí)

1.根據(jù)下列命題，畫出圖形并寫出“已知”、“求證”（不必證明）；

（1）兩條邊及其中一邊上的中線分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；

（2）在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角

形是直角三角形.2.判斷“同位角相等”是真命題還是假命是，并說明理由.在以往的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道下面的例題所表述的結(jié)論

是正確的，現(xiàn)在通過推理的方式給予證明．

例2 內(nèi)錯角相等，兩直線平行．

已知：如圖24.3.4，直線l3分別交l1、l2于點A、點B，∠

1＝∠2．

求證： l1∥l2．

圖

24.3.4證明 因為∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（對頂角相等），所以∠2＝∠3（等量代換），所以l1∥l2（同位角相等，兩直線平行）．

例3 已知：如圖24.3.5，AB和CD相交于點O，∠A＝

∠B．

求證： ∠C＝∠D．

證明 因為∠A＝∠B（已知），所以AC∥BD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）． 圖

24.3.5 所以∠C＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

試一試請在下面題目證明中的括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)睦碛桑阎喝鐖D24.3.6，AD＝BC，CE∥DF，CE＝DF．求證： ∠E＝∠F．證明： 因為CE∥DF（），所以∠1＝∠2（）.在△AFD和△BEC中，因為 圖

24.3.6DF＝CE（），∠1＝∠2（），AD＝BC（），所以△AFD≌△BEC（），所以∠E＝∠F（）．

練習(xí)

1.已知：如圖，直線AB、CD被EF、GH所截，∠1＝∠2，求證：∠3＝∠4.（第1題）

（第2題）

2.已知：如圖，AB=AC, ∠BAO＝∠CAO.求證：OB＝OC.習(xí)題24.31.判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，則舉一個反例加以說明.（1）兩個銳角的和等于直角；

（2）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；

（3）有兩條邊和一個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.2.把下列命題改成“如果??那么??”的形式.（1）三角形全等，對應(yīng)邊相等；

（2）菱形的對角線相互垂直；

（3）三個內(nèi)角都等于60°的三角形是等邊三角形.3.證明：平等四邊形的兩組對邊分別相等.（提示：連結(jié)AC）

(第3題)（第4題）

4.如圖，OA＝OB，PA＝PB，試證明：OP平分∠AOB.5.證明：矩形的兩條對角線長相等.(第5題)（第6題）

6.如圖，已知：DC＝AB，AD＝BC，點E、F在AC上，AE＝CF.試找出圖中所有的全等三角形，并用有關(guān)全等三角形的基本事實加以證明.

第二篇：命題與證明教學(xué)設(shè)計

八年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

肥東縣王城中學(xué)王合課題：14.2證明（2）

教材與學(xué)生現(xiàn)實的分析

1、本節(jié)內(nèi)容是《命題與證明》的教學(xué)流程設(shè)計

八年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

八年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

八年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

八年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

八年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

第三篇：命題與證明平行四邊形 教案

《命題與證明》

1、定義（一般地，能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義）

2、命題（一般地，判斷一件事情的句子叫做命題）命題是一個“判斷句”，判斷“是”或“非”．其中正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，如“對頂角相等”是真命題，“相等的角是對頂角”是假命題.注意：(1)命題是語句，而且必須是能判斷正確和錯誤的句子．(2)錯誤的命題也是命題．

過直線外一點做一條直線與已知直線垂直。

過直線外一點做一條直線，要么與已知直線相交，要么與已知直線平行。

3、每個命題是由條件（題設(shè)）和結(jié)論（題斷）兩部分組成．條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，命題常寫成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分是結(jié)論．（判斷清楚哪些是條件，哪些是結(jié)論）

寫成“如果，那么”的形式

①在同一個三角形中 等角對等邊

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等

③同角的余角相等

3、公理、定理、推論

人們在長期實踐中檢驗所得的真命題，并作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做公理．如“過兩點有且只有一條直線”；“兩點之間，線段最短”等等．有些命題的正確性是通過推理證實的，并被選定作為判定其它命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫定理．由公理、定理直接得出的真命題叫做推論． 如 三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°．

推論1 直角三角形的兩銳角互余．

推論2 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．

推論3 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．

4、證明真命題的方法

根據(jù)題設(shè)、定義、公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫證明.證明一個真命題一般按以下步驟進行：

（1）審題，分清命題的條件與結(jié)論.（2）畫圖，依題意畫出圖形，畫圖時應(yīng)做到圖形正確且具有一般性，切忌將圖形特殊化.（3）寫“已知”“求證”，按照圖形，分析、探求解題思路，然后寫出證明過程，證明的每一步都要做到敘述清楚，而且要有理有據(jù).5、證明假命題的方法

證明一個命題是假命題，只需舉一個“反例”即可，也就是舉出一個符合命題的條件而不符合結(jié)論的例子.用反證證明下列命題是假命題

有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等

任何三條線段都能組成三角形

6、重難點及歸納

①命題的理解：本節(jié)的一個難點是找出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，它是后面證明中，書寫已知求證的基礎(chǔ)，對那些條件結(jié)論不明顯的命題．應(yīng)在學(xué)習(xí)中多練，必要時結(jié)合圖形來區(qū)分．例如命題“如果兩條直線和

第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，其中“兩條直線和第三條直線平行”是條件，“這兩條直線也平行”是結(jié)論．再如命題，“對頂角相等”，它的條件和結(jié)論不明顯，應(yīng)將它改成“如果兩個角為對頂角，那么這兩個角相等”，再指出條件和結(jié)論．

②定義、命題、公理和定理之間的聯(lián)系與區(qū)別

這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，只不過公理是最原始的依據(jù)，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)．

③證明真命題的方法和步驟，難點是分析證明思路，有條理地寫出推理過程．

④三角形內(nèi)角和定理的三個推論常用來求角的大小和進行角的比較．

7、證明的思路： ①從已知出發(fā)，推出可能的結(jié)果，并與要證明的結(jié)論比較，直至推出最后的結(jié)果。②從

要證明的結(jié)論出發(fā)，探索要使結(jié)論成立，需要什么條件，并與已知條件對照，直到找到所需要的并且是已知的條件。

探索證明：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角大于或等于60度

9、用反證法（證明的思路如何，苦李子的故事）

用反證法證明命題，一般有三個步驟：

反設(shè) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)命題結(jié)論的反面成立）

歸謬 推出矛盾（和已知或?qū)W過的定義、定理、公理相矛盾，或者與假設(shè)所推出的任何一個已知相矛盾）結(jié)論 從而得出命題結(jié)論正確。

例如用反證法證明：

在同一個平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角大于或等于60度

例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行

已知：如圖∠1＝∠2A1B

求證：AB∥CD

證明：設(shè)AB與CD不平行C2D

那么它們必相交，設(shè)交點為MD

這時，∠1是△GHM的外角A

1∴∠1＞∠2G這與已知條件相矛盾

2∴AB與CD不平行的假設(shè)不能成立H

∴AB∥CDC

例2.求證兩條直線相交只有一個交點

證明：假設(shè)兩條直線相交有兩個交點，那么這兩條直線都經(jīng)過相同的兩個點，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設(shè)不能成立，因此兩條直線相交只有一個交點。

（從以上兩例看出，證明中的三個步驟，最關(guān)鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設(shè)”也要認真對待）。

例3.已知：m2是3的倍數(shù)，求證：m 也是3的倍數(shù)

例4.求證：2不是有理數(shù)

《平行四邊形》

1、四邊形的定義

2、定理：四邊形的內(nèi)角和等于360度

推論：四邊形的外角和等于360度

N邊形的內(nèi)角和外角和（為什么）

正五邊形能鑲嵌平面嗎（為什么）

單獨和鑲嵌平面的正多邊形有哪幾種？為什么只有這幾種？

（2011浙江省，8，3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找一點M,N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）（如何作輔助線，培養(yǎng)感覺）

A.100°B．110°C.120°D.130°

3、平行四邊形的定義性質(zhì)

定理：平行四邊形的對角相等

定理1：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

推論1：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

推論1：夾在兩條平行線間的垂線段相等。

定理2：平行四邊形的對角線互相平分。

4、中心對稱圖形定義 對稱中心

性質(zhì)：對稱中心平分兩個對稱點的線段。（在平面直角坐標系中，點（x，y）關(guān)于原點對稱的點的坐標是多少？為什么？）

5、平行四邊形的判定

①定義②定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形③定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形④定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6、三角形的中位線定理（如何證明？）

7、逆命題與逆定理

兩個命題，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。每個命題都有逆命題。每個定理都有逆命題。如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理。

因此，每個命題有逆命題；每個定理有逆命題，但不一定有逆定理。

1.（2011浙江金華，15，4分）如圖，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是

.3.（2011四川成都，20,10分）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點.5CD

1(1)若BK=2KC，求AB的值；(2)連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=2AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)AE=nAD(n?2)，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

6、如圖，已知△ABC中，?ABC?45，F(xiàn)是高AD和BE的交點，CD?4，則線段DF的長度為（）.A

．B． 4C

．D

．

?

第四篇：初中數(shù)學(xué)命題與證明

命題與證明

一、選擇題

1、（2012年上海黃浦二模）下列命題中，假命題是（）

A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B．一組鄰邊相等的矩形是正方形；

C．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；

D．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形.答案：C2、(2012溫州市泰順九校模擬)下列命題，正確的是()

A.如果｜a｜=｜b｜，那么a=b

B.等腰梯形的對角線互相垂直

C.順次連結(jié)四邊形各邊中點所得到的四邊形是平行四邊形

D.相等的圓周角所對的弧相等

答案：C

3（2012年中考數(shù)學(xué)新編及改編題試卷）下列語句中，屬于命題的是（）．．

(A)作線段的垂直平分線(B)等角的補角相等嗎

(C)平行四邊形是軸對稱圖形(D)用三條線段去拼成一個三角形

答案：C4、（2012年上海市黃浦二模）下列命題中，假命題是(▲)

A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B．一組鄰邊相等的矩形是正方形；

C．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；

D．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形.答案：C5、（2012年上海金山區(qū)中考模擬）在下列命題中，真命題是……………………………………………………………………………………………（）

（A）兩條對角線相等的四邊形是矩形

（B）兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

（C）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（D）兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

答案：C

二、填空題

1、三、解答題

1．（2012年江蘇海安縣質(zhì)量與反饋）已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

⑴求證：點D是AB的中點；

⑵證明DE是⊙O的切線．

答案：22．（1）略;（2）略．

2.（2012年江蘇通州興仁中學(xué)一模）如圖，在□ABCD中，E為BC的中點，連接DE．延長DE交AB的延長線于點F．求證：AB=BF．

E C

答案：由□ABCD得AB∥CD，∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C．

又∵E為BC的中點，∴△DEC≌△FEB．

∴DC=FB．

由□ABCD得AB=CD，∵DC=FB，AB=CD，∴AB=BF．

3、（鹽城地區(qū)2011～2012學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練）（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點A、C、D在⊙O上，過D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判斷直線BP和⊙O的位置關(guān)系，并說明你的理由；

（2）當(dāng)⊙O5，AC=2，BE=1時，求BP的長.(1)直線BP和⊙O相切.……1分

理由：連接BC,∵AB是⊙O直徑,∴∠ACB=90°.……2分

∵PF∥AC,∴BC⊥PF, 則∠PBH+∠BPF=90°.……3分

P

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分

所以直線BP和⊙O相切.……5分

(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分

∴ACBC解得BP=2.即BP的長為2.……10分 BEBP

4.（鹽城市第一初級中學(xué)2011～2012學(xué)年期中考試）（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于P點，CP交⊙O于D；

（1）求證：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的長．

答案（1）證明過程略；（5分）

（2）3

35(徐州市2012年模擬)（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)為BC上兩點，且BE?CF，AF?DE．

求證：（1）△ABF≌△DCE；

（2）四邊形ABCD是矩形． A D

B C E F

（第21題）答案：解：（1）?BE?CF，BF?BE?EF，CE?CF?EF，······························· 1分 ?BF?CE．

?四邊形ABCD是平行四邊形，?AB?DC． ······························ 2分 在△ABF和△DCE中，?AB?DC，BF?CE，AF?DE，?△ABF≌△DCE． ··························· 3分

△ABF≌△DCE，（2）解法一：?

??B??C． ······························ 4分 ?四邊形ABCD是平行四邊形，?AB∥CD．

??B??C?180?．

??B??C?90?． ···························· 5分

·························· 6分 ?四邊形ABCD是矩形．

解法二：連接AC，DB．

?△ABF≌△DCE，??AFB??DEC．

??AFC??DEB． ··························· 4分 在△AFC和△DEB中，?AF?DE，?AFC??DEB，CF?BE，?△AFC≌△DEB．

?AC?DB． ······························ 5分 ?四邊形ABCD是平行四邊形，·························· 6分 ?四邊形ABCD是矩形．

6.（鹽城地區(qū)2011～2012學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練）（本題滿分12分）如圖,△AEF中,∠

EAF=45°,AG⊥EF于點G,現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點C．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM2，求AG、MN的長．

AHBENFDC(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分

由AB=AD，得四邊形ABCD是正方形.……3分

222(2)MN=ND+DH.……4分

理由：連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,……6分

再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分

222∴MN=ND+DH.……8分

(3)設(shè)AG=x，則EC=x-4,CF=x-6,22由Rt△ECF，得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,222設(shè)NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52.……12分

7.（鹽城地區(qū)2011～2012學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練）(本題滿分8分)如圖，已知E、F分別是□

ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長．

AFD

BEC

證：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分

由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE.……3分

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.∴BE=AE=EC，BE=5.……4分 ……5分 ……7分 ……8分

第五篇：命題與證明導(dǎo)學(xué)案

命題與證明（2）

學(xué)習(xí)目標：

1、會區(qū)分定理，公理和命題。

2、了解證明的含義，體驗證明的必要性。

重點：證明的含義和表述格式。

難點：按照規(guī)定格式表述證明的過程。

一、獨學(xué)（課本77~78頁）

1、所有推理的原始共同出發(fā)點是_________________________________。

2、幾何推理中，把那些從長期實踐中總結(jié)出來的，不需要再作證明的____________叫做公理。（舉例證明）

3、有些命題。它們的正確性已經(jīng)過推理得到證實，并被選定作為判定其它命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做_____________，推理的過程叫做_________________。

二、對學(xué)（要探究出因與果，會填寫理由，會使用“∵”“∴”）

例1：已知直線c與直線a、b相交，且?1??2，求證ab。

=180,OE平分?AOB，OF平分?BOC，求證例2：已知，如圖?AOB??BOC

OE?OF.注：

1、做題時要寫“證明”二字，不能寫“解”。

2、結(jié)對雙方要共同探究各步的因果關(guān)系，一定要寫出每一步的理由（即根據(jù)題目使用“∵”“∴”）。

3、對文字說明題，一定要根據(jù)題意寫出“已知”、“求證”和“畫出圖形”最后給出證明。

三、群學(xué)（組內(nèi)交流展示）

1、課本78頁練習(xí)（1）（2）.2、第79~80頁練習(xí)（1）（2）.四、拓展練習(xí).證明：如圖ABCD,DF平分?CDB，BE平分?ABD，求證：?1??2。

五、小結(jié)收獲.六、作業(yè)：第83頁第5題（1）（2）。