第一篇：第四講四點(diǎn)共圓問(wèn)題

第四講四點(diǎn)共圓問(wèn)題

“四點(diǎn)共圓”問(wèn)題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問(wèn)題一般有兩種形式：一是以“四點(diǎn)共圓”作為證題的目的，二是以“四點(diǎn)共圓”作為解題的手段，為解決其他問(wèn)題鋪平道路.判定“四點(diǎn)共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材《幾何》二冊(cè)所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導(dǎo)出來(lái)的其他判別方法也可相機(jī)采用.“四點(diǎn)共圓”作為證題目的例1．給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延長(zhǎng)線交于M，N.以AC為直徑的圓與

AC邊的高BB′及其延長(zhǎng)線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共圓.(第19屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克)

分析：設(shè)PQ，MN交于K點(diǎn)，連接AP，AM.欲證M，N，P，Q四點(diǎn)共圓，須證 AMK·KN＝PK·KQ，Q即證(MC′-KC′)(MC′+KC′)C′＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)

2222或MC′-KC′=PB′-KB′.不難證明 AP=AM，從而有 B2222AB′+PB′=AC′+MC′.2222故 MC′-PB′=AB′-AC′

2222=(AK-KB′)-(AK-KC′)

22=KC′-KB′.②

由②即得①，命題得證.O例2．A、B、C三點(diǎn)共線，O點(diǎn)在直線外，O1O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O2O3四點(diǎn)共圓.3(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)

A分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察△OBC及其外接圓，立得∠BC

OO2O1=11∠OO2B=∠OCB.觀察△OCA及其外接圓，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.22

由∠OO2O1=∠OO3O1?O，O1，O2，O3共圓.利用對(duì)角互補(bǔ)，也可證明O，O1，O2，O3四點(diǎn)共圓，請(qǐng)同學(xué)自證.以“四點(diǎn)共圓”作為解題手段

這種情況不僅題目多，而且結(jié)論變幻莫測(cè)，可大體上歸納為如下幾個(gè)方面.(1)證角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分別在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.求證：∠DMA＝∠CKB.CD（第二屆袓沖之杯初中競(jìng)賽）

分析：易知A，B，M，K四點(diǎn)共圓.連接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC KM

＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°.AB故C，D，K，M四點(diǎn)共圓?∠CMD＝∠DKC.但已證∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.(2)證線垂直 例4．⊙O過(guò)△ABC頂點(diǎn)A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和

BM.求證：∠BMO=90°.(第26屆IMO第五題)分析：這道國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，曾使許多選手望而卻步.共圓”，問(wèn)題是不難解決的.連接OC，OK，MC，MK，延長(zhǎng)BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+

∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°?C，O，K，M四點(diǎn)共圓.在這個(gè)圓中，由

OC=OK? OC∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.(3)判斷圖形形狀

例5．四邊形ABCD內(nèi)接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內(nèi)心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家集訓(xùn)選拔試題)

分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

11∠ADB=90°+ 22

∠ACB=∠AIDB?A，B，ID，IC四點(diǎn) ∠AICB=90°+

共圓.同理，A，D，IB，IC四點(diǎn)共圓.此時(shí) IBAC1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，2

1∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，2

∴∠AICID+∠AICIB A1(∠ABC+∠ADC)2

1=360°-×180°=270°.2=360°-故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個(gè)內(nèi)角皆為90°.該四邊形必為矩形.(4)計(jì)算

2例6．正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝.P為正方形內(nèi)

一點(diǎn)，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________

(1989，全國(guó)初中聯(lián)賽)CD分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？

連接OA，OB.易知O，P，A，B

四點(diǎn)共圓，有∠APB=∠AOB=90°.222故PA+PB=AB=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.BA(5)其他

例7．設(shè)有邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個(gè)面積最小的，并

求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷).(1978，全國(guó)高中聯(lián)賽)

分析：設(shè)△EFG為正方形ABCD 的一個(gè)內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)至少必落在正方形的三EA條邊上，所以不妨令F，GD·作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點(diǎn)共圓?∠KDE=∠KGE=60°.同

理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個(gè)正 FGK三角形，K必為一個(gè)定點(diǎn).CB

又正三角形面積取決于它的邊長(zhǎng)，當(dāng)KF丄AB時(shí)，邊長(zhǎng)為1，這時(shí)邊長(zhǎng)最小，而面積S=

也最4

小.當(dāng)KF通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，邊長(zhǎng)為2·2?3，這時(shí)邊長(zhǎng)最大，面積S=23-3也最大.例8．NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點(diǎn)，PS交AB于R，PM的延長(zhǎng)線

交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競(jìng)賽)

分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長(zhǎng)線交⊙O于Q′.連接

MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點(diǎn)共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=

∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據(jù)圓的軸對(duì)稱性質(zhì)可知Q與Q′關(guān)于NS成軸對(duì)稱?MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點(diǎn)共圓，且RS是這個(gè)圓的直徑（∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.練習(xí)題

1.⊙O1交⊙O2 于A，B兩點(diǎn)，射線O1A交⊙O2 于C點(diǎn)，射線O2A

交⊙O1 于D點(diǎn).求證：點(diǎn)A是△BCD的內(nèi)心.(提示：設(shè)法證明C，D，O1，B四點(diǎn)共圓，再證C，D，B，O2

四點(diǎn)共圓，從而知C，D，O1，B，O2五點(diǎn)共圓.)

2.△ABC為不等邊三角形.∠A及其外角平分線分別交對(duì)邊中垂線于A1，A2；同樣得到B1，B2，C1，C2.求證：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：設(shè)法證∠ABA1與∠ACA1互補(bǔ)造成A，B，A1，C四點(diǎn)共圓；再證A，A2，B，C四點(diǎn)共圓，從而知A1，A2都是△ABC的外接圓上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.設(shè)點(diǎn)M在正三角形三條高線上的射影分別是M1，M2，M3(互不重合).求證：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作PC的垂線交過(guò)B所作AB的垂線于Q點(diǎn).求證：PD丄QD.(提示：證B，Q，E，P和B，D，E，P分別共圓)

5.AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高.從A引EF的垂線l1，從B引FD的垂線l2，從C引DE的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點(diǎn).(提示：過(guò)B作AB的垂線交l1于K，證：A，B，K，C四點(diǎn)共圓)

第二篇：證明四點(diǎn)共圓

方法1

從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2 方法3

方法4 同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．（割線定理的逆定理）方法5

證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，可肯定這四點(diǎn)共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明

第三篇：如何證明四點(diǎn)共圓（定稿）

如何證明四點(diǎn)共圓

證明四點(diǎn)共圓的基本方法

證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：

方法

1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。

方法

2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）

方法

3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。方法

4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓。（根據(jù)托勒密定理的逆定理）

方法

5證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為180°,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長(zhǎng)AB和DC交至E，過(guò)點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所對(duì)的圓周角相等）。

角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對(duì)角）

△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

弦切角定理

方法6

同斜邊的兩個(gè)RT三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，其斜邊為圓的直徑。

如何判定四點(diǎn)共圓

1、圓的內(nèi)接四邊形的兩對(duì)角和是180度，反之，如果四邊形的兩對(duì)角和是180，那么四點(diǎn)共圓。

2、在圓里，同弦角相等。設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)在圓上，明顯，AB弦所對(duì)的角∠ACB=∠ADB。反之，如果∠ACB=∠ADB，那四點(diǎn)共圓。常用的就是這兩個(gè)

第四篇：四點(diǎn)共圓證明方法

：四點(diǎn)共圓的證明方法有以下五種，本例用的是第二種 方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)方法5證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

第五篇：四點(diǎn)共圓的證明

證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：

方法1 從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法2 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）

方法3 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)

方法5 證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這六種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長(zhǎng)AB和DC交至E，過(guò)點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π。

角CBE=角ADC（外角等于內(nèi)對(duì)角）△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

證明四點(diǎn)共圓基本方法：

方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

四點(diǎn)共圓的判定是以四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。四點(diǎn)共圓的性質(zhì)：（1）同弧所對(duì)的圓周角相等（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角

以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。

四點(diǎn)共圓的判定定理：

方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（可以說(shuō)成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那末這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）

方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

（可以說(shuō)成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。那末這四點(diǎn)共圓）

我們 可都可以用數(shù)學(xué)中的一種方法；反證法開進(jìn)行證明。

現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。那末這四點(diǎn)共圓”證明如下（其它畫個(gè)證明圖如后）已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π

求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓（A，B，C，D四點(diǎn)共圓）

證明：用反證法

過(guò)A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，剛C在圓外或圓內(nèi)，若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C

這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。