第一篇：第4講：構(gòu)造特殊圖形問題

構(gòu)造特殊圖形問題

問題引入——在四面體ABCD中，AB=1,CD=

600，則四面體ABCD的體積等于（）

A.32

3,直線AB與CD的距離為2，夾角為

B.C.D.3

3錯因回放——許多做錯的學(xué)生的主要原因是無從下手，條件不知道怎么用；還有一部分

同學(xué)想到了構(gòu)造一個四面體，但是沒有特殊化；還有的就是計算失誤馬虎了。

分析：我們很容易看到本題的突出特點就是滿足題意的四面體不唯一，而答案卻是唯一的，對這種題型我們往往采取特殊化的方法，即取一個特殊的四面體來求解（特殊代一般的思想）。

知識背景——這是一道以四面體為載體，綜合考查公垂線、異面直線所成角和四面體體

積求法的試題，同時考查特殊代一般的思想和轉(zhuǎn)化的技巧，有一定難度。

正確解答：如圖

根據(jù)題意，可以先構(gòu)造

特殊四面體，BC為AB和CD的公垂線,則AB?1,CD?，我們進一步補形，方

.?VA?BCD?

13?32

3,BC?2,AB與CD成角為60.為了比較容易計算面積作BE//CD,連接DE,?SBCD?

?

法一：?3?

3,作AF?BE,?AF?

12?

.方法二：補形為直三棱11

??1?32

3?sin60?2?

柱ABE?CDF.?VA?BCD?VA?BDE?VD?ABE?12.故選B.13

VABE?CDF

相關(guān)練習(xí)——（1）P是二面角α

-AB-β棱上的一點，分別在平面上引射線PM,PN，如

果∠BPM=∠BPN=450, ∠MPN=600，那么二面角α-AB-β的大小為。（2）在正三棱錐S-ABC中,M,N分別是SC,BC的中點,若側(cè)棱長SA=23, MN⊥AM，則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為（）

A.12πB.32πC.36πD.48π

練習(xí)答案：（1）900；（2）C。

第二篇：如何構(gòu)造特殊四邊形解決相關(guān)計算證明問題（模版）

如何構(gòu)造特殊四邊形解決相關(guān)計算證明問題

特殊的四邊形在生活中有非常廣泛的應(yīng)用，也是現(xiàn)行教材中的一個重點和難點。學(xué)生在運用特殊四邊形的性質(zhì)，特別是構(gòu)造四邊形來解決有關(guān)的計算，證明問題時，存在嚴(yán)重缺陷。我認為構(gòu)造特殊的四邊形來解決相關(guān)問題時，能夠另辟佳徑,減少繁難的計算和證明，同時能夠開闊學(xué)生視野,增強學(xué)生觀察圖形，分解圖形，構(gòu)造基本圖形的能力。

一、數(shù)形結(jié)合，巧妙構(gòu)造特殊的四邊形。

1、如圖,點A、B是反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上兩點,過點A作x軸的垂線,過點B作y軸的垂線，垂足分別為C、D,AC、BD交于點F,則（）：AS△ADE>S△BECBS△ADE=S△BECCS△ADE

法確定解析：過點A作AM⊥y軸，過點B作BN⊥x軸，垂足分別為M、N,則S矩形AMOC=S矩形BNOD

矩形BNCE,=k ,即S矩形MADE=S矩形BNCE，又S△ADE= MADE，S△BEC=S

S2矩形∴S△ADE=S△BEC。解決此類問題一般的同學(xué)采用參

數(shù)法通過計算三角形的面積來解，計算量比較大，同時引入的參數(shù)個數(shù)也別較多，給學(xué)生造成較大的障礙，而我們采用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化的思想，利用矩形的性質(zhì)就很巧妙地加以解決。

二；培養(yǎng)數(shù)感，從直覺出發(fā)，構(gòu)造特殊的四邊形。

2，如圖，AB=8，DB⊥AB，EA⊥AB，BD=6AE=12，點M是DE的中點，求BM的長。

解析：AE和BD的位置關(guān)系為平行，數(shù)量關(guān)系為BD=6，AE=12，BD=AE，延長DB至F點，使DF=12,連接EF、AD，則四邊形ADFE是平行四邊形。MB

分別是DE DF的中點，∴BM=EF,EF=AD，通過勾股定理可求出AD，從而解決BM長的計算問題。

我們利用學(xué)生對數(shù)字的敏感程度，對圖形中相應(yīng)邊的位置關(guān)系和數(shù)量

關(guān)系進行分析，利用我們的直覺來構(gòu)圖，同時進行思維的發(fā)散，通過構(gòu)造平行四邊形將邊的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，聯(lián)系三角形的中位線和勾股定理來進行計算。這是一道解法靈活多變的綜合性較高的習(xí)題，學(xué)生沒有現(xiàn)成的模式

可以套用，也不能簡單依靠知識的疊加來實現(xiàn)解題，需要進行細致的觀察。對數(shù)學(xué)敏感的程度和較好的構(gòu)造圖形的能力。．．．．．．．．．．．．．

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2練習(xí)：如圖所示，已知六邊形ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=

∠F=120°, AB=10㎝，BC=70㎝，CD=20㎝，DE=40㎝。求AF、EF的長度。

解析：延長FA、CB交于點P ,延長FE、CD交于點Q,△APB △DEQ

均為等邊三角形，從而可以證明四邊形PCQF為平行四邊形，利用方程思想可求出AF、EF的長。

三：生活問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造特殊的四邊形。

E

F

B G

C4、如圖，是某城市部分街道示意圖，AF∥BC BA∥DE BD∥AE EC⊥BC,甲乙兩人同時從B站乘車到F站，甲乘1路車，路線是B→A→E→F,乙乘2路車，路線是B→D→C→F,假設(shè)兩車速度相同，途中耽誤的時間相同，那么誰先到達F站？請說明理由！

解析：1路車路程：BA+AE+EF ,2路車路程：BD+DC+CF,誰先到達F站，即比較BA+AE+EF與BD+DC+CF的大小。延長ED交BC于G點，則四邊形ABGD為平行四邊形，∴DG=AB 又四邊形ABDE是平行四邊形 ∴DE=AB ∴D為直角三角形ECG斜邊上的中點 ∴CD=DG=AB, ∵DF∥CG,D為EG的中點∴EF=CF ∴1路車2路車同時到達F站.這是一些立意新穎的情景性習(xí)題，充滿濃厚的生活氣息，它強化了學(xué)生對文字、圖形、符號語言的理解，并能將生活實際問題純數(shù)學(xué)化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，來解決問題。它讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又能指導(dǎo)我們的生活生產(chǎn)。從而培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的價值，同時體驗成功的快感，感覺學(xué)有所獲。

四：構(gòu)造特殊的四邊形解決探究性問題

D5、如圖，E是平行四邊形ABCD邊DC的延長線上的一點，且CE=DC=AC，連AE分別交BC、BD于F、G，連AC交BD于點O，則下列結(jié)論：（1）AE⊥BC（2）AB=2OF（3）S△CEF=S平行四邊形ABCD（4）四邊形AOFB為等腰梯形，其中正確的是＿＿＿，若將條件改為CE=CD，那么正確的結(jié)論呢？

解析：連接BE，則四邊形ABEC為菱形?！郃E⊥BC,F為BC中點 ∵O為AC中點 ∴S△CEF =S△ABC=S平行四邊形，而（4）只有在AB=AD時

才成立。

我們設(shè)計一些探究性練習(xí)，給學(xué)生提供資助探索的機會，使其經(jīng)歷觀察 實驗 猜想 證明 比較 推理 反設(shè) 驗證 等數(shù)學(xué)思考，體驗數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性，培養(yǎng)提高學(xué)生的探究能力，并通過變換命題，變換條件，變換圖形來引發(fā)學(xué)生的認知沖突，從而進一步探索新問題，發(fā)現(xiàn)新見解。

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第三篇：第6講 盈虧問題

盈虧問題

盈虧問題，顧名思義有剩余就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時，經(jīng)常會產(chǎn)生這種盈虧現(xiàn)象．盈虧問題的關(guān)鍵是抓住兩次分配時盈虧總量的變化．

盈虧問題分為5類：⑴有盈有虧； ⑵都是盈；⑶都是虧；（4）一個盈，一個剛好分完；（5）一個虧，一個剛好分完。

盈虧問題常用公式：（1）（盈+虧）÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量（2）（盈-盈）÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量（3）（虧-虧）÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量（4）盈÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量

（5）虧÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量

例1 某校參加數(shù)學(xué)競賽，原定考場若干個。如果每個考場坐22人；則多出18人，如果每個考場坐25人正好坐滿。參加這次競賽的學(xué)生共有多少人？

分析：本題為盈虧問題中只盈不虧的類型。根據(jù)題目條件“如果每個考場坐22人；則多出18人，如果每個考場坐25人正好坐滿。”可知：考場共有18÷（25-22）=6（個），考生人數(shù)為25×6=150（人）解：18÷（25-22）=18÷3 =6（人）

25×6=150（人）

答：參加這次競賽的學(xué)生人數(shù)為150人。

說明：本題運用公式 盈÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量

隨堂練習(xí)學(xué)校組織體操比賽。四（2）班同學(xué)站成若干排，如果每排5人，則多出6人，如果每排站6人，則剛好站完。問四（2）班一共有多少人？

解：6÷（6-5）

=6（排）

6×6=36（人）

答：四年級2班一共有36人。

例2 五年級在植樹節(jié)組織學(xué)生植樹，如果每人栽5棵。則缺20棵，如果每人栽3棵，則剛好栽完。問五年級一共植樹多少棵？

分析：根據(jù)題目“如果每人栽5棵。則缺20棵，如果每人栽3棵，則剛好栽完。”可知，本題屬于只虧不贏的情況。根據(jù)條件有20÷（5-3）=10（人）10×3=30（棵）解：20÷（5-3）

=10（人）

10×3=30（棵）答：一共植樹30棵。

說明：本題運用公式 虧÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量

隨堂練習(xí)解放軍某部隊舉行閱兵儀式。如果每車坐40人。則缺100人，如果每車坐30人，則剛好坐完。問這支部隊一共有多少人？

解100÷（40-30）100÷10 =10（輛）30×10=300（人）

答：這支部隊一共有300人。

例3 學(xué)校為某班新生分宿舍，每間住5人則多12人，每只住6人則多2人。問：有多少間宿舍？多少名新生？

分析：本題屬于都是盈的情況，由題意可知，新生的人數(shù)和房間的間數(shù)是不變的。比較兩種分配方案，結(jié)果相差12－2=10人，即第一種方案的結(jié)果比第二種多10人。這是因為每間房間比原來多住了6－5=1人，所以房間的數(shù)量為：（12-2）÷（6-5）=10（間），人數(shù)為5×10+12=62（人）解：房間：（12-2）÷（6-5）

=10（間）

人數(shù)：5×10+12 50+12 =62（人）

答：房間有10間，新生人數(shù)為62人。

說明：本題運用公式：（盈-盈）÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量

隨堂練習(xí)張老師帶了一些錢去文具店買練習(xí)本，如果買40本還剩15元，如果買50本還剩5元，問：張老師一共帶了多少錢？ 解：（15-5）÷（50-40）=10÷10 =1（元）40×1+15=55（元）答：張老師共帶了55元。

例4 露露從家到學(xué)校如果每分鐘60米的速度走，那么要遲到5分鐘；如果每分鐘走70米，那么仍遲到3分鐘。她應(yīng)以每分鐘多少米的速度走才能準(zhǔn)時到達？

分析：根據(jù)題目條件，我們可以判斷出本題屬于都是虧的情況?！懊糠昼?0米的速度走，要遲到5分鐘；每分鐘走70米，仍遲到3分鐘。”根據(jù)公式直接求解問題不大，但是本題要注意的是虧到底是什么，如果直接以虧5分鐘和3分鐘計算，則會出現(xiàn)錯誤。所以，分析題目的“虧”是很關(guān)鍵的一步，以每分鐘60米的速度走要遲到5分鐘，說明距離學(xué)校還有60×5=300（米），以每分鐘70米的速度走要遲到3分鐘，說明距離學(xué)校還有70×3=210（米）所以 虧-虧=300-210=90（米）即90÷（70-60）=9（分鐘）距離為：60×（9+3）=720（米）720÷9=80（米/分）解：（60×5-70×3）÷（70-60）=90÷10 =9（分鐘）60×（9+5）60×14 =840（米）

840÷9=？（米/分）

答：她應(yīng)該以每分鐘80米的速度走才能準(zhǔn)時到達。

說明：本題運用公式：（虧-虧）÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量 隨堂練習(xí)媽媽用袋子裝報紙，如果每個袋子放20張則有一個袋子只有2張。如果每個袋子放16張，則有一個袋子里有14張。問一共有多少張報紙？ 解：第一種方案虧為：20-2=18（張）

第二種方案虧為：16-14=2（張）（18-2）÷（20-16）=16÷4 =4（個）20×4-18 =80-18 =62（張）

答：報紙一共有62張。

例5 四年級一班數(shù)學(xué)組買了一些水果糖分給學(xué)生，如果每人分4粒就多9粒；如果每人分5粒就少6粒。四年級一班數(shù)學(xué)組有多少名學(xué)生？老師買了多少粒水果糖？

分析：由題目條件可知：兩次參與分配的人數(shù)和糖果數(shù)量不變，兩次分得的糖果數(shù)量一多一少，相差9+6=15（粒），兩次分配分別為4粒和5粒，兩次分配的差5-4=1（粒）。所以參與分配的人數(shù)為15÷1=15（人），糖果的數(shù)量為15×4+9=69粒。

解：人數(shù)：（9+6）÷（5-4）

=15（人）

水果糖數(shù)量：15×4+9

=60+9

=69（粒）

答：四年級一班數(shù)學(xué)組有15名學(xué)生；老師買了69粒水果糖.說明：本題運用了公式1（盈+虧）÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量

隨堂練習(xí)小紅的媽媽買回一筐桔子，如果每人吃2個則多3個，每人吃3個則差4個，小紅家里有幾人？桔子一共有多少個？ 解：人數(shù)：（3+4）÷（3-2）

=7（人）

桔子：2×7+3 =14+3

=17（個）

答：小紅家里有7人；桔子一共有17個

例6 幼兒園給小朋友分梨，如果大班小朋友每人分5個則多10個，如果小班小朋友每人分8個則少4個，已知大班小朋友比小班小朋友多5人，問這框蘋果有多少個？

分析：題目中出現(xiàn)的參與分配的人數(shù)在變化，不方便計算。在解答盈虧問題過程中，我們要確保參與分配的人數(shù)是定值。仔細觀察題目，大班小朋友比小班小朋友多5人，如果大班小朋友每人分5個，則會多出來10+5×5=35個，由公式（1）可知小班小朋友有：（35+4）÷（8-5）=13（人）13×8-4=100（個）解：（10+5×5+4）÷（8-5）

=39÷3 =13（人）13×8-4 =104-4 =100（個）

答：這框蘋果有100個.隨堂練習(xí)老猴子給大小猴子分桃，如果大猴子每只分6個則少3個，如果小猴子每只分3個則多3個，已知小猴子比大猴子多5只，問有多少個桃？ 解：（3+3×5+3）÷（6-3）

=21÷3 =7（只）7×6-3 =42-3 =39（個）

答：共有桃39個。

例7 上體育課時，老師把全體學(xué)生分成若干組，然后分發(fā)籃球，若每組分3個，則剩下23個籃球，若每組分5個，則有一組學(xué)生沒有籃球,。問一共有多少個小組？有多少個籃球？

分析：判斷本題是哪一種類型，需要認真分析?！叭裘拷M分3個，則剩下23個籃球”是盈余，“若每組分5個，則有一組學(xué)生沒有籃球,”是虧，虧多少呢？每組分5個，一組分不到，則虧5個。解：（23+5）÷（5-3）=28÷2 =14（組）3×14+23 =42+23 =65 答：一共有14組，65個籃球。

說明：本題運用了公式1（盈+虧）÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量

隨堂練習(xí)勞動小組為新修食堂搬磚。如果每人搬16塊，還剩4塊；如果每人搬20塊，就有一位同學(xué)沒磚可搬。問共有多少塊磚？

解：（4+20）÷（20-16）

=24÷4 =6（人）6×16+4 =96+4 =100（塊）

答：共有100塊磚.例8 解放戰(zhàn)爭勝利后，解放軍給老百姓分糧食。如果其中2戶每戶分300千克，其余每戶分200千克，還多出1500千克，如果一戶分400千克，其余每戶分300千克，又缺2000千克，這批糧食一共多少千克？

分析：本題為中等難度題目。首先我們要明白一點，就是在分的時候應(yīng)該以相同的標(biāo)準(zhǔn)分，然后判斷題目中的盈虧。根據(jù)題目條件：“如果其中2戶每戶分300千克，其余每戶分200千克，還多出1500千克，如果一戶分400千克，其余每戶分300千克，又缺2000千克”。我們把兩種方案中分別不同的分發(fā)轉(zhuǎn)化成方案中相同的分發(fā)，即不能讓人搞特殊。所以在第一個方案中我們讓特殊的2戶也和別人一樣分200千克，則盈余為1500+（300-200）×2=1700（千克），第二個方案中我們也讓特殊的一戶和別人一樣，則虧為2000-（400-300）=1900（千克）

根據(jù)盈虧公式（1）可得（1700+1900）÷（300-200）=36（戶）糧食有36×200+1700=8900（千克）解：盈：1500+（300-200）×2 =1500+200 =1700（千克）虧；2000-（400-300）=2000-100 =1900（千克）

（1700+1900）÷（300-200）=3600÷100 =36（戶）

糧食：36×200+1700 =7200+1700 =8900（千克）

答：這批糧食一共有8900千克。說明：本題運用公式（1）（盈+虧）÷兩次分配的差=參與分配的數(shù)量

隨堂練習(xí)王叔叔去工廠上班，如果先用每分鐘60米的速度走2分鐘，再改用每分鐘50米的速度前進，結(jié)果早到1分鐘，如果先用70米的速度走1分鐘，再以每分鐘40米的速度前進，就會遲到3分鐘，王叔叔家到工廠的距離是多少？ 解：盈：50×1-（60-50）×2 =50-20 =30（米）

虧：40×3+（70-40）×1 =120+30 =150（米）

（30+150）÷（50-40）=18（分鐘）50×18-30 =900-30 =870（米）

答：王叔叔家到工廠的距離是870米。

習(xí)題

1.某校學(xué)生參加勞動,分成若干組,如果12人一組,正好分完,如果10人一組,多10人.參加勞動的有多少人？ 解：10÷（12-10）

=10÷2 =5（組）

12×5=60（人）答：參加勞動的有60人。

2.農(nóng)場組織學(xué)生賣桔子,如果每人賣出5千克,就剛好賣完;如果每人賣出6千克，則還差300千克,那么有多少學(xué)生參與活動,農(nóng)場有桔子多少千克？

解：300÷（6-5）=300÷1 =300（人）

300×5=1500（千克）

答：有300參加活動，農(nóng)場有桔子1500千克。

3.村民修公路,如果每人修24米,則超過總長120米,如果每人修30米,則超過總長300米.修路的共有多少人,公路長多少米？ 解：（300-120）÷（30-24）=180÷6 =30（人）

30×24-120 =720-120 =600（米）

答：修路的共有30人，公路長600米。

4.課外活動跳繩比賽,其中2組各借繩4根,其余的組借5根,這樣分配最后余下12根;如果每組借6根,這樣恰好借完.問有繩多少根? 解：[12-（5-4）×2] ÷（6-5）

=10÷1 =10（組）6×10=60（根）答：有60根繩。

5． 小麗讀一本書，她每天讀10頁，在規(guī)定天數(shù)內(nèi)還剩25頁沒讀完，如果她每天讀12頁，則在規(guī)定天數(shù)內(nèi)還剩13頁看不完，這本書一共多少頁？ 解：（25-13）÷（12-10）=12÷2 =6（天）6×10+25 =60+25 =85（頁）

答：這本書一共有85頁。

6.媽媽去商店買布，如果買3米布還缺18元，如果買2米還缺5元，媽媽帶了多少錢？

解：（18-5）÷（3-2）=13÷1 =13（元）13×3-18 =39-18 =21（元）

答：媽媽帶了21元。7.學(xué)校組織春游，如果每車坐55人則多35人沒座位，如果每車坐60人則還能坐10人。一共有多少名學(xué)生？

解：（35+10）÷（60-55）=45÷5 =9（輛）60×9-10 =540-10 =530（人）

答：一共有530名學(xué)生。

8.小朋友去買東西，如果每人出8塊錢則多6塊錢，如果每人出6塊錢則少4元。有多少個小朋友？東西賣多少元？ 解：（6+4）÷（8-6）=10÷2 =5（人）

8×5-6 =40-6 =34（元）

答：有5個小朋友，東西賣34元。

9.用一根繩子測量池塘的水深。對折后露出水面60厘米，三折后還差40厘米。問池塘水深多少米？繩子長多少米？ 解：（60×2+40×3）÷（3-2）=240÷1 =240（厘米）

240厘米=2.4米

（240+60）×2=600（厘米）600厘米=6米

答：池塘水深2.4米，繩子長6米。

10.老師買小提琴，若買6把，則缺120元，若買4把，則多60元。老師一共帶了多少錢？

解：（120+60）÷（6-4）=180÷2 =90（元）90×4+60 =360+60 =420（元）

答：老師一共帶了420元。

11．小陶給家人分桃子，如果爸爸媽媽各分5個，其余的每人分3個，則剩下9個桃子；如

果 有4人各分3個，其余的各分6個，則剩余10個桃子。問，家里有幾人？桃子有幾個？

解：盈：9+（5-3）×2=13（個）

虧：（6-3）×4-10=2（個）（13+2）÷（6-3）=5（人）（5-2）×3+5×2=19（個）

答：家例有5人，有19個桃子。12.老師給美術(shù)小組的同學(xué)分鉛筆。如果每人分6支則缺2支；如果每人分8支還缺12支。問一共有多少支鉛筆？

解：（12-2）÷（8-6）=10÷2 =5（人）5×6-2 =30-2 =28（支）

答：一共有28支鉛筆。

13.學(xué)校大掃除，老師讓一些同學(xué)擦玻璃。如果其中3人各擦4塊，其余每人擦5塊，則余23塊；如果每人擦7塊，正好擦完。求擦玻璃的人數(shù)和玻璃的塊數(shù)？

解：[23-（5-4）×3] ÷（7-5）=（23-3）÷2 =20÷2 =10（人）

10×7=70（塊）

答：擦玻璃的人數(shù)為10人，玻璃一共70塊。

14． 小華從家地到圖書館如果每分鐘走90米，那么要遲到5分鐘；如果每分鐘走100米，那么仍遲到3分鐘。他應(yīng)以每分鐘多少米的速度走才能準(zhǔn)時到達？ 解：（90×5-100×3）÷（100-90）=150÷10 =15（分鐘）100×（15+3）=100×18 =1800（米）

1800÷15=120（米）

答：他應(yīng)以每分鐘120米的速度走才能準(zhǔn)時到達。

15.有一批故事書分給幾個小朋友，如果其中3人每人5本，其余每人4本，那么會剩2本；如果其中1人分3本，其余每人5本，就會剛好分完。這批故事書共有多少本？[北京市第四屆“迎春杯”刊賽] 解：盈：（5-4）×3+2=5（本）

虧：（5-3）×1=2（本）

（5+2）÷（5-4）=7÷1 =7（人）

3+（7-1）×5 =3+30 =33（本）

答：這批故事書一共有33本。

第四篇：第26講 邏輯問題（推薦）

邏輯問題

（一）本講介紹利用列表法求解邏輯問題。

例1小王、小張和小李一位是工人，一位是農(nóng)民，一位是教師，現(xiàn)在只知道：小李比教師年齡大；小王與農(nóng)民不同歲；農(nóng)民比小張年齡小。問：誰是工人？誰是農(nóng)民？誰是教師？

分析與解：由題目條件可以知道：小李不是教師，小王不是農(nóng)民，小張不是農(nóng)民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因為左上表中，任一行、任一列只能有一個“√”，其余是“×”，所以小李是農(nóng)民，于是得到右上表。

因為農(nóng)民小李比小張年齡小，又小李比教師年齡大，所以小張比教師年齡大，即小張不是教師。因此得到左下表，從而得到右下表，即小張是工人，小李是農(nóng)民，小王是教師。

例2劉剛、馬輝、李強三個男孩各有一個妹妹，六個人進行乒乓球混合雙打比賽。事先規(guī)定：兄妹二人不許搭伴。

第一盤：劉剛和小麗對李強和小英；

第二盤：李強和小紅對劉剛和馬輝的妹妹。問：三個男孩的妹妹分別是誰？

分析與解：因為兄妹二人不許搭伴，所以題目條件表明：劉剛與小麗、李強與小英、李強與小紅都不是兄妹。由第二盤看出，小紅不是馬輝的妹妹。將這些關(guān)系畫在左下表中，由左下表可得右下表。

劉剛與小紅、馬輝與小英、李強與小麗分別是兄妹。

例3甲、乙、丙每人有兩個外號，人們有時以“數(shù)學(xué)博士”、“短跑健將”、“跳高冠軍”、“小畫家”、“大作家”和“歌唱家”稱呼他們。此外：

（1）數(shù)學(xué)博士夸跳高冠軍跳得高；

（2）跳高冠軍和大作家常與甲一起去看電影；

（3）短跑健將請小畫家畫賀年卡；

（4）數(shù)學(xué)博士和小畫家很要好；

（5）乙向大作家借過書；

（6）丙下象棋常贏乙和小畫家。

你知道甲、乙、丙各有哪兩個外號嗎？

分析與解：由（2）知，甲不是跳高冠軍和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小畫家。由此可得到下表：

因為甲是小畫家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健將和數(shù)學(xué)博士，推知甲是歌唱家。因為丙是大作家，所以由（2）知丙不是跳高冠軍，推知乙是跳高冠軍。因為乙是跳高冠軍，所以由（1）知乙不是數(shù)學(xué)博士。將上面的結(jié)論依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數(shù)學(xué)博士和大作家。

例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業(yè)是工人、農(nóng)民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；

（2）在北京工作的不是教師；

（3）在上海工作的是工人；

（4）席輝不是農(nóng)民。

問：這三人各住哪里？各是什么職業(yè)？

分析與解：與前面的例題相比，這道題的關(guān)系要復(fù)雜一些，要求我們通過推理，弄清人物、工作地點、職業(yè)三者之間的關(guān)系。三者的關(guān)系需要兩兩構(gòu)造三個表，即人物與地點，人物與職業(yè)，地點與職業(yè)三個表。

我們先將題目條件中所給出的關(guān)系用下面的表來表示，由條件（1）得到表1，由條件（4）得到表2，由條件（2）（3）得到表3。

因為各表中，每行每列只能有一個“√”，所以表（3）可填全為表（4）。

因為席輝不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席輝不是工人，他又不是農(nóng)民，所以席輝是教師。再由表4知，教師住在天津，即席輝住在天津。至此，表1可填全為表5。

對照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農(nóng)民。

練習(xí)26

1.甲、乙、丙分別是來自中國、日本和英國的小朋友。甲不會英文，乙不懂日語卻與英國小朋友熱烈交談。問：甲、乙、丙分別是哪國的小朋友？

2.徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷。

（1）電工只和車工下棋；

（2）王、陳兩位師傅經(jīng)常與木工下棋；

（3）徐師傅與電工下棋互有勝負；

（4）陳師傅比鉗工下得好。

問：徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種？

3.李波、顧鋒、劉英三位老師共同擔(dān)負六年級某班的語文、數(shù)學(xué)、政治、體育、音樂和圖畫六門課的教學(xué)，每人教兩門?，F(xiàn)知道：

（1）顧鋒最年輕；

（2）李波喜歡與體育老師、數(shù)學(xué)老師交談；

（3）體育老師和圖畫老師都比政治老師年齡大；

（4）顧鋒、音樂老師、語文老師經(jīng)常一起去游泳；

（5）劉英與語文老師是鄰居。

問：各人分別教哪兩門課程？

4.A，B，C，D分別是中國、日本、美國和法國人。已知：

（1）A和中國人是醫(yī)生；

（2）B和法國人是教師；

（3）C和日本人職業(yè)不同；

（4）D不會看病。

問：A，B，C，D各是哪國人，5.小亮、小紅、小娟分別在一小、二小、三小讀書，各自愛好圍棋、體操、足球中的一項，現(xiàn)知道：

（1）小亮不在一小；

（2）小紅不在二??；

（3）愛好足球的不在三小；

（4）愛好圍棋的在一小，但不是小紅。

問：小亮、小紅、小娟各在哪個學(xué)校讀書和各自的愛好是什么？

邏輯問題

（二）本講介紹用假設(shè)法解邏輯問題。

例1四個小朋友寶寶、星星、強強和樂樂在院子里踢足球，一陣響聲，驚動了正在讀書的陸老師，陸老師跑出來查看，發(fā)現(xiàn)一塊窗戶玻璃被打破了。陸老師問：“是誰打破了玻璃？”

寶寶說：“是星星無意打破的?！?/p>

星星說：“是樂樂打破的?！?/p>

樂樂說：“星星說謊?！?/p>

強強說：“反正不是我打破的。”

如果只有一個孩子說了實話，那么這個孩子是誰？是誰打破了玻璃？

分析與解：因為星星和樂樂說的正好相反，所以必是一對一錯，我們可以逐一假設(shè)檢驗。

假設(shè)星星說得對，即玻璃窗是樂樂打破的，那么強強也說對了，這與“只有一個孩子說了實話”矛盾，所以星星說錯了。

假設(shè)樂樂說對了，按題意其他孩子就都說錯了。由強強說錯了，推知玻璃是強強打破的。寶寶、星星確實都說錯了。符合題意。

所以是強強打破了玻璃。

例2甲、乙、丙、丁四人同時參加全國小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營。賽前甲、乙、丙分別做了預(yù)測。

甲說：“丙第1名，我第3名。”

乙說：“我第1名，丁第4名。”

丙說：“丁第2名，我第3名?！?/p>

成績揭曉后，發(fā)現(xiàn)他們每人只說對了一半，你能說出他們的名次嗎？ 分析與解：我們以“他們每人只說對了一半”作為前提，進行邏輯推理。

假設(shè)甲說的第一句話“丙第1名”是對的，第二句話“我第3名”是錯的。由此推知乙說的“我第1名”是錯的，“丁第4名”是對的；丙說的“丁第2名”是錯的，“丙第3名”是對的。這與假設(shè)“丙第1名是對的”矛盾，所以假設(shè)不成立。

再假設(shè)甲的第二句“我第3名”是對的，那么丙說的第二句“我第3名”是錯的，從而丙說的第一句話“丁第2名”是對的；由此推出乙說的“丁第4名”是錯的，“我第1名”是對的。至此可以排出名次順序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

例3甲、乙、丙、丁在談?wù)撍麄兗八麄兊耐瑢W(xué)何偉的居住地。

甲說：“我和乙都住在北京，丙住在天津?！?/p>

乙說：“我和丁都住在上海，丙住在天津?！?/p>

丙說：“我和甲都不住在北京，何偉住在南京?！?/p>

丁說：“甲和乙都住在北京，我住在廣州?！?/p>

假定他們每個人都說了兩句真話，一句假話。問：不在場的何偉住在哪兒？

分析與解：因為甲、乙都說“丙住在天津，”我們可以假設(shè)這句話是假話，那么甲、乙的前兩句應(yīng)當(dāng)都是真話，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。所以假設(shè)不成立，即“丙住在天津”是真話。

因為甲的前兩句話中有一句假話，而甲、丁兩人的前兩句話相同，所以丁的第三句話“我住在廣州”是真的。由此知乙的第二句話“丁住在上?！笔羌僭挘谝痪洹拔易≡谏虾！笔钦嬖挘贿M而推知甲的第二句是假話，第一句“我住在北京”是真話；最后推知丙的第二句話是假話，第三句“何偉住在南京”是真話。

所以，何偉住在南京。

在解答邏輯問題時，有時需要將列表法與假設(shè)法結(jié)合起來。一般是在使用列表法中，出現(xiàn)不可確定的幾種選擇時，結(jié)合假設(shè)法，分別假設(shè)檢驗，以確定正確的結(jié)果。

例4一天，老師讓小馬虎把甲、乙、丙、丁、戊的作業(yè)本帶回去，小馬虎見到這五人后就一人給了一本，結(jié)果全發(fā)錯了?，F(xiàn)在知道：

（1）甲拿的不是乙的，也不是丁的；

（2）乙拿的不是丙的，也不是丁的；

（3）丙拿的不是乙的，也不是戊的；

（4）丁拿的不是丙的，也不是戊的；

（5）戊拿的不是丁的，也不是甲的。另外，沒有兩人相互拿錯（例如甲拿乙的，乙拿甲的）。

問：丙拿的是誰的本？丙的本被誰拿走了？

分析與解：根據(jù)“全發(fā)錯了”及條件（1）～（5），可以得到表1：

由表1看出，丁的本被丙拿了。此時，再繼續(xù)推理分析不大好下手，我們可用假設(shè)法。由表1知，甲拿的本不是丙的就是戊的。

先假設(shè)甲拿了丙的本。于是得到表2，表2中乙拿戊的本，戊拿乙的本。兩人相互拿錯，不合題意。

再假設(shè)甲拿戊的本。于是可得表3，經(jīng)檢驗，表3符合題意。

所以丙拿了丁的本，丙的本被戊拿去了。

例5甲、乙、丙、丁每人只會中、英、法、日四種語言中的兩種，其中有一種語言只有一人會說。他們在一起交談可有趣啦：

（1）乙不會說英語，當(dāng)甲與丙交談時，卻請他當(dāng)翻譯；

（2）甲會日語，丁不會日語，但他們卻能相互交談；

（3）乙、丙、丁找不到三人都會的語言；

（4）沒有人同時會日、法兩種語言。

請問：甲、乙、丙、丁各會哪兩種語言？

分析與解：由（1）（2）（4）可得下表，其中丙不會日語是因為甲會日語，且甲與丙交談需要翻譯。由下表看出，甲會的另一種語言不是中文就是英語。

先假設(shè)甲會說中文。由（2）知，丁也會中文；由（1）知丙不會中文，再由每人會兩種語言，知丙會英、法語（見左下表；由（1）（4）推知乙會中文和法語；再由（3）及每人會兩種語言，推知丁會英語（見右下表）。結(jié)果符合題意。

再假設(shè)甲會說英語。由（2）知，丁也會英語；由（1）知丙不會英語，再由每人會兩種語言，知丙會中文和法語（見左下表）；由（1）（4）推知，乙會中文和日語；再由（3）及每人會兩種語言，推知丁會法語（見右下表）。右下表與“有一種語言只有一人會說”矛盾。假設(shè)不成立。

所以甲會中、日語，乙會中、法語，丙會英、法語，丁會中、英語。

練習(xí)27

1.在一次數(shù)學(xué)競賽中，A，B，C，D，E五位同學(xué)分別得了前五名（沒有并列同一名次的），關(guān)于各人的名次大家作出了下面的猜測：

A說：“第二名是D，第三名是B。”

B說：“第二名是C，第四名是E。”

C說：“第一名是E，第五名是A?！?/p>

D說：“第三名是C，第四名是A?！?/p>

E說：“第二名是B，第五名是D?！苯Y(jié)果每人都只猜對了一半，他們的名次如何？

2.學(xué)校新來了一位老師，五個學(xué)生分別聽到如下的情況：

（1）是一位姓王的中年女老師，教語文課；

（2）是一位姓丁的中年男老師，教數(shù)學(xué)課；

（3）是一位姓劉的青年男老師，教外語課；

（4）是一位姓李的青年男老師，教數(shù)學(xué)課；

（5）是一位姓王的老年男老師，教外語課。

他們每人聽到的四項情況中各有一項正確。問：真實情況如何？

3.甲、乙、丙三人，一個總說謊，一個從不說謊，一個有時說謊。有一次談到他們的職業(yè)，甲說：“我是油漆匠，乙是鋼琴師，丙是建筑師?！?/p>

乙說：“我是醫(yī)生，丙是警察，你若問甲，則甲會說他是油漆匠。”

丙說：“乙是鋼琴師，甲是建筑師，我是警察。”

你知道誰總說謊嗎？

4.甲、乙、丙、丁在比較他們的身高，甲說：“我最高?！?/p>

乙說：“我不最矮?！?/p>

丙說：“我沒甲高，但還有人比我矮?！?/p>

丁說：“我最矮。”

實際測量的結(jié)果表明，只有一人說錯了。請將他們按身高次序從高到矮排列出來。

5.紅、黃、藍、白、紫五種顏色的珠子各一顆，用布包著在桌上排成一行。A，B，C，D，E五個人猜各包里的珠子的顏色。

A猜：第2包紫色，第3包黃色；

B猜：第2包藍色，第4包紅色；

C猜：第1包紅色，第5包白色；

D猜：第3包藍色，第4包白色；

E猜：第2包黃色，第5包紫色。結(jié)果每人都猜對了一種，并且每包只有一人猜對，他們各自猜對了哪種顏色的珠子？

6.四張卡片上分別寫著奧、林、匹、克四個字（一張上寫一個字），取出三張字朝下放在桌上，A，B，C三人分別猜每張卡片上是什么字，猜的情況見下表：

結(jié)果，有一人一張也沒猜中，一人猜中兩張，另一人猜中三張。問：這三張卡片上各寫著什么字，

第五篇：第4講_平均數(shù)問題

平均數(shù)問題

姓名

知識與方法

如果要靈活的運用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：

平均數(shù)=

總數(shù)量=()

總份數(shù)=

例

1、小明期末考試,語文90分,數(shù)學(xué)94分,外語98分,求小明三門考試的平均分.【舉一反三】

1、某班有40名學(xué)生,期中數(shù)學(xué)考試,有兩名同學(xué)因故缺考,這時班級平均分為89分,缺考的同學(xué)補考都得了99分,這個班級中考平均分是_______.2、已知9個數(shù)的平均數(shù)是72,去掉一個數(shù)后,余下的數(shù)平均數(shù)為78,去掉的數(shù)是______.3、某5個數(shù)的平均值為60,若把其中一個數(shù)改為80,平均值為70,這個數(shù)是

例

2、有4箱水果，已知蘋果、梨、桔子平均每箱42個，梨、桔子、桃平均每箱36個。蘋果和桃平均每箱37個。求一箱蘋果多少個？一箱桃多少個？

【舉一反三】

1、一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分，問甲、丁各得多少分？、甲、乙、丙三個小組的同學(xué)去植樹，甲、乙兩個組平均每組植18棵，甲、丙兩組平均每組植17棵，乙、丙兩組平均每組植19棵。三個小組各植樹多少棵？

3、有A、B、C三個人,他們中每兩個人的年齡加在一起的平均年齡分別為21歲、24歲、18歲,這三個人的年齡分別是多少?

例

3、五個數(shù)的平均數(shù)是18，把其中一個數(shù)改為6后，這五個數(shù)的平均數(shù)是16，這個改動的數(shù)原來是多少？。

【舉一反三】

1、甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分數(shù)時，把自己的分數(shù)錯抄成87分，因此算得的四人平均分為88分。求甲在這次考試中得了多少分？

2、一位同學(xué)在期中測試中，除數(shù)學(xué)外，其它幾門功課的平均成績是94分，如果數(shù)學(xué)算在內(nèi)，平均每門95分。已知他數(shù)學(xué)得了100分，問這位同學(xué)一共考了多少門功課？

3、把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38，前三個數(shù)的平均數(shù)是27，后三個數(shù)的平均數(shù)是48，中間一個數(shù)是多少？