第一篇：第11課時根與系數(shù)關(guān)系

初三代數(shù)教案 第十二章：一元二次方程

第11課時：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

（二）教學(xué)目標(biāo)：

1、熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；

2、靈活運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題．

3、提高學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識分析解決較復(fù)雜問題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)：

一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)：

某些代數(shù)式的變形．

教學(xué)過程：

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系充分刻化了兩根和與兩根積和方程系數(shù)的關(guān)系，它的應(yīng)用不僅在驗(yàn)根，已知一根求另一根及待定系數(shù)k的值，還在其它數(shù)學(xué)問題中有廣泛而又簡明的應(yīng)用，本節(jié)課將學(xué)習(xí)如下兩個問題中的應(yīng)用：（1）不解方程，求某些代數(shù)式的值；（2）已知兩個數(shù)，求作以這兩個數(shù)為根的新的一元二次方程．

本節(jié)課是上節(jié)課的延續(xù)和深化，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，充分顯示了它的價值，求根公式為關(guān)系的得出立下功勞，但它的作用求根公式無法代替．它在求某些代數(shù)式的值時，大大化簡了運(yùn)算量．同時，已知一個有實(shí)根的一元二次方程，我們易求它的兩個根．反之，已知兩個數(shù)，以這兩個數(shù)為根的一元二次方程是否能求出來，根與系數(shù)的關(guān)系解決了這個問題．所以它為數(shù)學(xué)問題的進(jìn)一步研究和深化起了很大的作用．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能更好地掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，而且能提高學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識分析較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的能力．

一、新課引入：

提問：什么是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？

二、新課講解：

本節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)它的應(yīng)用

（1）不解方程，求某些代數(shù)式的值．

2例：不解方程，求方程2x+3x-1=0的兩個根的（1）平方和；（2）倒數(shù)和．

分析：若首先求出方程的兩根，再求出兩根的平方和、倒數(shù)和，問題可以解決，但此題要求不解方程，怎樣做呢？如果設(shè)方程的兩個根為x1、x2，則兩個根的平方和便可表示為x1+x2，如果將此代數(shù)式用x1+x2，x1x2表示，再用根與系數(shù)的關(guān)系，問題便可以解決．

解： 設(shè)方程的兩個根是x1，x2，那么

2（1）∵（x1+x2）=x1+2x1x2+x2．

222

教師板書，引導(dǎo)，學(xué)生回答，體會． 啟發(fā)學(xué)生，總結(jié)以下兩點(diǎn)：

1．運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，求某些代數(shù)式的值，關(guān)鍵是將所求的代數(shù)式恒等變形為用x1+x2和x1x2表示的代數(shù)式．

2．格式、步驟要求規(guī)范

第一步：求出x1+x2，x1x2的值．

第二步：將所求代數(shù)式用x1+x2，x1x2的代數(shù)式表示． 第三步：將x1+x2，x1x2的值代入求值．

2練習(xí)：設(shè)x1，x2是方程2x+4x-3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：

22（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x1x2+x1x2；

（4）（x1-x2）；（5）x1+x2． 學(xué)生板書、筆答、評價．

（2）已知兩個數(shù)，求作以這兩個數(shù)為根的一元二次方程．

2如果方程x+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．

2∴ x-（x1+x2）x+x1x2=0． 由此得到結(jié)論：以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）2是x-（x1+x2）x+x1x2=0．

解：所求方程是

3教師引導(dǎo)、板書，學(xué)生回答． 練習(xí)：教材P.34中4． 學(xué)生筆答、板書、評價．

例 已知兩個數(shù)的和等于8，積等于9，求這兩個數(shù)． 分析：此題可以通過列方程求得．

但學(xué)習(xí)了根與系數(shù)的關(guān)系，應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生用另外方法解決．設(shè)兩個

2數(shù)分別為x1，x2，則x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x-（x1+x2）x+x1x2=0的兩個

2根為x1，x2．所以這兩個數(shù)x1、x2是方程x-8x+9=0的兩個根．解此方程的兩個根便是所求的兩個數(shù)．

2解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，這兩個數(shù)是方程x-8x+9=0的兩個根． 解這個方程，得

教師板書，學(xué)生回答，評價，體會．

以上兩例，雖然解決的問題不同，但解題時都是直接應(yīng)用根與系數(shù)的2關(guān)系，前例是通過一元二次方程x+px+q=0的根與系數(shù)的關(guān)系，以給出的兩個根反過來確定方程的系數(shù)（p，q），后例是借助于根與系數(shù)的關(guān)系解決實(shí)際問題．

練習(xí)：教材P.34中5．

學(xué)生板書、筆答、體會、評價，教師引導(dǎo)．

通過例題的講解，一則引導(dǎo)學(xué)生解決了每個例題中提出的問題，再則使學(xué)生對根與系數(shù)的關(guān)系較好地熟悉并掌握起來．

三、課堂小結(jié)：

1．本節(jié)課學(xué)習(xí)了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，主要有如下幾方面：（1）驗(yàn)根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代數(shù)式的值；（4）求作一個新方程……

2．通過根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能較好地熟悉和掌握了根與系數(shù)的關(guān)系，由此鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維能力．

四、作業(yè)：

教材P.35中A2、3、4；B1．

教材P.34中B2（學(xué)有余力的同學(xué)做）． 參考題目：

一、選擇題(每題3分，共18分)將下列各題中唯一正確答案的序號填在題后的括號內(nèi)。

21、方程x+2x+a=0的兩根之差的平方等于16，那么a的值為()

A、-3

B、-6

C、3

D、以上答案都不對

22、如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩根之比為2：3，那么a、b、c之間的關(guān)系式應(yīng)為()222

2A、3b-8ac

B、a+b=c

C、6b=25ac D、5a=9b

23、已知方程2x+mx-2m+1=0有一個正實(shí)根和一個負(fù)實(shí)根，那么m的取值是()

A、m>

B、m>C、m<

D、m<0

4、已知方程2x+kx-2k+1=0的兩根平方和為4，則k的值是()

A、2

B、-10

C、-10, 2

D、10,-2

5、兩個根分別是(2+

22)(2-)的一元二次方程是()

A、x+4x+1=0 B、x-4x+1=0 C、x-4x-1=0 D、x+4x-1=0

6、方程組的解，即x、y的值恰是一個一元二次方程的兩個根，則

這個一元二次方程為()222

2A、x+5x+6=0 B、x-5x-6=0 C、x+5x-6=0 D、x-5x+6=0

二、填空題(每題3分，共18分)

21、若矩形的長和寬是方程4x-12x+3=0的兩根，則矩形的周長為_______,面積為________。

2、已知一矩形的周長為70，面積是300，則此長方形的長為______,寬為_______

3、以

2、-5為根的一元二次方程是___________

4、兩個根的和是4，兩個根的積是-的方程是___________

5、若α+β=3，αβ=-9，則以α、β為根的方程是___________。

6、兩個數(shù)的和是7，積是8，則這兩個數(shù)是___________和___________。

三、解答題(第1題20分，第2題32分，第3題12分，共64分)

1、求作一元二次方程，使它的兩根分別是

(1)-

(2)

(3)-

(4)

2、已知兩個數(shù)滿足下列條件，求出這兩個數(shù)。

(1)兩個數(shù)的和與積都是-4；

(2)兩個數(shù)的和是6，積是-2；

(3)兩個數(shù)互為倒數(shù)，它們的和是-

2(4)兩個數(shù)的和是，積是

3、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個一元二次方程，使它的根分別是方程23x-x-10=0各根的(1)3倍；(2)負(fù)倒數(shù)。

教學(xué)后記：

第二篇：《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1、發(fā)現(xiàn)、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生善于獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2、探索、運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，由一元二次方程的一個根求出另一個根及未知系數(shù)，提升學(xué)生的合作意識和團(tuán)隊精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會整體代換的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成。教學(xué)重點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及簡單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)。數(shù)學(xué)思考與問題解決：

通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，注重由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、探索，讓學(xué)生參與“韋達(dá)定理”的發(fā)現(xiàn)、不完全歸納驗(yàn)證以及演繹證明等整個數(shù)學(xué)思維過程。

一、自學(xué)互研 探索發(fā)現(xiàn)（每小題10分，共30分）（自主完成，組長檢查）

【師生活動】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；評價、鼓勵、調(diào)動學(xué)生參與的主動性和積極性。

學(xué)生獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案，觀察、對比、發(fā)現(xiàn)問題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；小組長檢查小組成員完成情況；分小組匯報自學(xué)成果?！驹O(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的發(fā)現(xiàn)過程，即感性認(rèn)識過程。通過幾個具體的方程，經(jīng)過觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律的學(xué)習(xí)習(xí)慣和注重自主加合作的學(xué)習(xí)方式。【學(xué)案內(nèi)容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項(xiàng)系數(shù)

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù) ?（）二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數(shù)項(xiàng)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；鼓勵學(xué)生參與合作學(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生合作交流的主動性和積極性。

學(xué)生小組合作完成導(dǎo)學(xué)案，通過推導(dǎo)證明前面的結(jié)論；實(shí)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)變；小組長檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導(dǎo)過程；分小組匯報合作學(xué)習(xí)成果。【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的證明過程，即理性認(rèn)識過程。讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律，兩從理論角度加以驗(yàn)證，經(jīng)歷從特殊到一般的科學(xué)探索過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)態(tài)度，團(tuán)隊精神和合作意識，促進(jìn)學(xué)生的相互交流、學(xué)習(xí)。【學(xué)案內(nèi)容】：

（1）根據(jù)以上規(guī)律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個普遍規(guī)律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標(biāo)達(dá)成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動】：

教師巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并適時點(diǎn)撥、強(qiáng)調(diào)；充分利用現(xiàn)有設(shè)施設(shè)備，為學(xué)生搭建電子白板、實(shí)物投影、黑板等不同的展示自我的平臺；適時評價、鼓勵學(xué)生能多種方法解決問題，促進(jìn)發(fā)散思維的培養(yǎng)。

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)1】：學(xué)生先獨(dú)立完成，組長檢查，后組內(nèi)交流，全班匯報、評價。（學(xué)生利用一體機(jī)白板演示解題過程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)2】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學(xué)生利用實(shí)物投影展示解題過程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)3】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學(xué)生利用黑板展示解題過程）

【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的實(shí)踐過程，即教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成、檢測過程。設(shè)計了三個不同難度且有梯度的“目標(biāo)”，讓學(xué)生由易到難、由淺入深，加深對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和書寫的規(guī)范性，培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，以及合作學(xué)習(xí)意識與數(shù)學(xué)語言的表述能力?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

【目標(biāo)1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標(biāo)2】已知方程X2-4X+M=0的一個根是-2，求方程的另一個根及M的值。

【目標(biāo)3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個實(shí)數(shù)根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補(bǔ)缺 總結(jié)提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動】：

教師鼓勵學(xué)生談所學(xué)所想所獲，集體分享學(xué)習(xí)成果，歸納課堂所學(xué)知識點(diǎn)，解決學(xué)習(xí)中仍然存在的問題和困惑?！驹O(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的總結(jié)提高過程。目的是幫助所有學(xué)生總結(jié)回顧、查漏補(bǔ)缺，形成知識體系，培養(yǎng)學(xué)生及時小結(jié)、善于歸納梳理的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力和口頭表達(dá)能力。【學(xué)案內(nèi)容】：

請你談?wù)劚竟?jié)課的收獲或存在的問題。__________________

第三篇：復(fù)習(xí)教案 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

第十三課時 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，并會靈活運(yùn)用它們解決問題.二、復(fù)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

（一）復(fù)習(xí)重點(diǎn)： 一元二次方程根的韋達(dá)定理.（二）復(fù)習(xí)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用韋達(dá)定理解決問題.三、復(fù)習(xí)過程：

（一）知識梳理：

1、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實(shí)數(shù)根（即??b?4ac?0），設(shè)兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見的含兩根的對稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數(shù)的關(guān)系判定一元二次方程的兩根符號： 22c可判斷兩根符號之間的關(guān)系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號； 若x1x2??0，則x1，x2異號，即一正一負(fù)

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關(guān)系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系：

若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，分別設(shè)為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數(shù)y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。

強(qiáng)調(diào)：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項(xiàng)系數(shù)a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個根為2，求另一個根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個根及的值。

解：設(shè)方程的另一個根為x1，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號；

分析：要判斷方程根的符號，可以根據(jù)根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們?nèi)绻酶c系數(shù)的關(guān)系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負(fù)。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負(fù)，從而判斷方程有兩個正根還是兩個負(fù)根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個一元二次方程，使它的兩個根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設(shè)方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數(shù)關(guān)系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數(shù)式的值，這種應(yīng)用與根的判別結(jié)合在一起。例4（1）已知關(guān)于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說明解題格式，學(xué)生完成過程.（2）已知關(guān)于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已知代數(shù)式的值求方程。第②問，再進(jìn)一步，已知代數(shù)式的值，求另一個代數(shù)式的值.但是，無論是哪一個問題，所要用到的都是根與系數(shù)的關(guān)系.小結(jié)：1.求方程兩根所組成的代數(shù)式的值，關(guān)鍵在于把所求代數(shù)式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關(guān)于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個實(shí)數(shù)根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數(shù)m,使上述一元二次方程兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請求出滿足條件m的值；若不存在，說明理由.“存在性”問題）

分析：（１）提問：此題與哪些知識有關(guān)？（勾股道理、解直角三角形、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問題的過程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過此題，使學(xué)生明白解決這類問題，一般遵循“三步曲”，即假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數(shù)關(guān)系解決一元二次方程與二次函數(shù)的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實(shí)數(shù)）。

（1）m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，則對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根m應(yīng)滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

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第四篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系試題

1．已知方程x2-2x-m=0有兩個正的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

2．已知m、n是方程x2－2002x+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式mn2+m2n－mn+1的值．

3.已知關(guān)于x的方程x-92x+m=0有兩個實(shí)數(shù)根x1、x2，且丨x1-x2丨=22, 求m的值.4．若實(shí)數(shù)x1≠x2，且x1－3x1+1=0，x2－3x2+1=0，求

5．已知關(guān)于x的方程2(x-1)(x-3t)=x(t-4)的兩個實(shí)數(shù)根的和與積相等，求t的值。

6.是否存在整數(shù)m，使關(guān)于x的方程x2-4(m-2)x+4m2=0的兩個實(shí)數(shù)根的平方和為224?若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

7．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線相交于O，并且AO、BO的長是關(guān)于x的方程x2+(2m－

1)x+m2+3=0的兩個根，求m的值。

8.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，已知a=3,b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-

12222+的值． m=0的兩個實(shí)數(shù)根，求ΔABC的周長。

第五篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿

作為一名教學(xué)工作者，通常會被要求編寫說課稿，說課稿有利于教學(xué)水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優(yōu)秀的說課稿是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿，歡迎閱讀與收藏。

[教材分析]

中學(xué)階段我們研究的多項(xiàng)式函數(shù)中有二次函數(shù)，研究的幾何圖形中有二次曲線。因此一元二次方程便成為了方程中研究的重要內(nèi)容。一元二次方程有根與系數(shù)關(guān)系，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的密切關(guān)系，而根與系數(shù)還有更進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)，這一發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科中具有極強(qiáng)的實(shí)用價值，本節(jié)內(nèi)容既是代數(shù)式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知識的進(jìn)一步深化，又蘊(yùn)含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，也為學(xué)生們將來的學(xué)習(xí)打下了必要的基礎(chǔ)。

[學(xué)生分析]

進(jìn)入了初二下半學(xué)期，隨著年齡的增長以及實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何的逐步推進(jìn)，學(xué)生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在學(xué)過了一元二次方程的解法后，自主探究其根與系數(shù)的關(guān)系是完全可能的。再加上我所執(zhí)教的學(xué)生，他們有著較強(qiáng)的認(rèn)知力與求知欲，

基于以上思考，我在設(shè)計中擴(kuò)大了學(xué)生的智力參與度，也相對放大了知識探索的空間。

[教學(xué)目標(biāo)]

在學(xué)生探求一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的活動中，經(jīng)歷觀察、分析、概括的過程以及“實(shí)踐——認(rèn)識——再實(shí)踐——再認(rèn)識”的過程，得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

能利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系檢驗(yàn)兩數(shù)是否為原方程的根;已知一根求另一根及系數(shù)。

理解數(shù)學(xué)思想，體會代數(shù)論證的方法，感受辯證唯物主義認(rèn)識論的基本觀點(diǎn)。

[教學(xué)重難點(diǎn)]

發(fā)現(xiàn)并掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，包括知識從特殊到一般的發(fā)生發(fā)展過程

[教學(xué)過程]

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

請學(xué)生求解表格內(nèi)的方程，完成解法的交流以及求根公式的復(fù)習(xí)，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的關(guān)系，那么一元二次方程根與系數(shù)間是否還有更深一層的聯(lián)系呢?由此疑問，導(dǎo)入新課。

二、探求新知

數(shù)學(xué)學(xué)科中由數(shù)到式的結(jié)構(gòu)編排，讓我們想到了從兩根運(yùn)算上的最簡組合：和差積商展開進(jìn)一步研究。初探新知中，我將學(xué)生們分成兩組，分別對二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程兩根進(jìn)行和差積商的運(yùn)算，之后將結(jié)果匯總展示，共同觀察與系數(shù)的聯(lián)系。我在這些方程中安排了兩個無理根方程。當(dāng)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這兩個無理根在求和，求積后，竟變成了有理數(shù)，而且每一組兩根和(積)都與系數(shù)有著密切的聯(lián)系，此時的他們不難對兩根和與兩根積產(chǎn)生關(guān)注，經(jīng)歷了對二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程兩根和差積商的研究后，確定了課題并獲得猜想：“兩根和等于一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù),兩根積等于常數(shù)項(xiàng)?！睂τ谶@一猜想，會有學(xué)生提出不同看法，他們提出研究二次項(xiàng)系數(shù)非1的一元二次方程。學(xué)生的質(zhì)疑啟動再探新知。直接研究一元二次方程兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。這一環(huán)節(jié)中我不再給出具體的方程要求研究，故除了部分同學(xué)自定義方程求根求和求積后產(chǎn)生猜想，還有部分同學(xué)對仍保留在板書部分的求根公式著手進(jìn)行兩根和，積的運(yùn)算。這兩種方案齊頭并進(jìn)，當(dāng)前者通過不斷驗(yàn)證來說明他們猜想的可靠度時，后者通過論證，在嚴(yán)格意義下，說明了此結(jié)論的正確性。對于論證中學(xué)生出現(xiàn)的問題，我們在第一時間內(nèi)揪錯指正，

在知識初探與再探后，學(xué)生獲得了新知，得到了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

三、訓(xùn)練感悟

我將之前從學(xué)生那里收集來的錯解對照表中方程，詢問檢驗(yàn)其正誤的方法。學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，將其代入方程，進(jìn)行檢驗(yàn)。為尋求更為簡便的方法，引出作用一，利用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程檢驗(yàn)兩數(shù)是否為原方程的根。我再給出兩例，便于鞏固練習(xí)，更明確了只有當(dāng)兩數(shù)和(積)同時滿足方程兩根和(積)的時侯，才是正確的根。當(dāng)學(xué)生們正為找到了一種行之有效的檢驗(yàn)方法，高興不已的時候。突然間，表格中的數(shù)據(jù)丟失了，我分別隱去了方程的一根及b,c,a三個系數(shù)。為了將材料修復(fù)，學(xué)生小組展開熱烈的討論。有了上一題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生們會利用根與系數(shù)關(guān)系，不解方程，求出另一根及系數(shù)。也會使用代入求解的方法解題，通過新舊方法的比較，在訓(xùn)練中獲得感悟：方法的選擇在于簡便，學(xué)生們在選擇了恰當(dāng)?shù)姆椒ê?，修?fù)了材料也鞏固了新知。

四、總結(jié)提升

由學(xué)生回顧知識的發(fā)生發(fā)展及應(yīng)用過程，以“我的收獲”與“我的疑惑”交流心得。我再幫助學(xué)生整理所學(xué)知識，引導(dǎo)領(lǐng)會數(shù)學(xué)的思想。我還會自豪的告訴他們，數(shù)學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)了存在于一元n次方程中的根與系數(shù)的普遍關(guān)系，這一內(nèi)容將在高數(shù)中有所涉及，激勵奮進(jìn)五、分層作業(yè)，除必做題外，留有一道思考題：已知x1,x2分別是方程2x2+3x-5=0和兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求：（1）x12x2 +x1x22（2）x12 +x22（3）x1－x2的值。作為能力上的提升。也為下一課內(nèi)容作下鋪墊。

[設(shè)計意圖]

現(xiàn)在的設(shè)計較之以往，有所繼承，有所變革。

1.研究啟動入口不同

過去我總是先給出若干具體方程要求學(xué)生求根，并計算兩根和(積)，作出猜想。這樣的數(shù)學(xué)后曾有學(xué)生問我：“老師為什么會想到兩根和(積)與系數(shù)的關(guān)系，而不是其它?”這種疑問的產(chǎn)生一定與過去設(shè)計指定了學(xué)生的活動過程有關(guān)，為了給學(xué)生的活動指向更為寬泛，讓兩根和積與系數(shù)的研究更顯合理，現(xiàn)在的設(shè)計中主要體現(xiàn)了由數(shù)到式的研究，從兩根和差積商的重組合再有所觀察，有所挑選，方才定位于兩根和(積)作進(jìn)一步的探究。這種設(shè)計正是從數(shù)學(xué)內(nèi)部下了功夫，由知識線索的連貫性，師生共同理順了實(shí)驗(yàn)對象的來龍去脈，從數(shù)學(xué)本身上培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、分析、概括的綜合能力。

2.探究部分兩步走

我將二次項(xiàng)系數(shù)為1，非1的一元二次方程分兩次出現(xiàn)，分別放置與知識初探和再探兩個環(huán)節(jié)，這樣設(shè)計的原因有一：學(xué)生的認(rèn)知能力總是有所差異的，如果將這些方程合二為一加以研究的話，一部分同學(xué)對別人獲得的正確猜想是瞬間接受，卻缺乏思維的參與。事實(shí)上，研究事物往往從簡單到復(fù)雜，在這里，當(dāng)a=1時，易找規(guī)律，當(dāng)a ≠1后造成的認(rèn)知沖突，更是激發(fā)了這一猜想的`完善。其實(shí)這一串，由實(shí)驗(yàn)——猜想——再實(shí)驗(yàn)——再猜想的思維過程，既符合認(rèn)知規(guī)律，也是一種研究性學(xué)習(xí)的示范，一種創(chuàng)造性能力的培養(yǎng)。為了讓每一個學(xué)生都親身參與其中，真正感受由“實(shí)踐——認(rèn)識——再實(shí)踐——再認(rèn)識”這一客觀世界認(rèn)知論的基本規(guī)律。便是我如此設(shè)計的原因之一。原因二：研究入口處，利用兩根和差積商的結(jié)果，優(yōu)選出對和積的研究。初探中二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程兩根計算足以起到這一篩選作用。因此在下一環(huán)節(jié)的再探新知中，便自然關(guān)閉了對兩根差與商相對較為繁瑣的計算，直接由兩根和積入手研究與系數(shù)的關(guān)系，提高了研究的效率。

3.再探新知放手走

我沒有再給出任何具體的方程以供研究，這里的放手，引出了學(xué)生不同的操作方法。一部分學(xué)生把注意力轉(zhuǎn)放在求根公式上展開直接論證，就連另一部分學(xué)生自定義方程數(shù)據(jù)研究的方式也各不相同，他們有的翻開筆記本查閱之前解方程的資料;有的反湊特殊值方程;更有的會從中提煉出代數(shù)論證的方法;當(dāng)然也有借助于計算器完成了繁瑣的計算。

放手的探究，為了給學(xué)生更大的思維空間，讓學(xué)生有更多方法的選擇，從而展開自主的學(xué)習(xí)。

[尾聲]

但原學(xué)生們帶著對數(shù)學(xué)的興趣與喜愛，在學(xué)的海洋里，奮勇搏擊。而作為一名青年教師的我，亦將在教學(xué)的舞臺上，不斷求索。多由學(xué)生所想來引導(dǎo);多設(shè)角度空間去探究;多從細(xì)節(jié)處滲透數(shù)學(xué)思想，充分利用數(shù)學(xué)課堂來達(dá)成文化傳承與發(fā)展創(chuàng)新的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。