第一篇：1.2極限的定義（xiexiebang推薦）

石家莊財經(jīng)職業(yè)學(xué)院

經(jīng)濟數(shù)學(xué)

一、函數(shù)的極限

1.自變量趨于無窮的情形

自變量趨于無窮可分為趨于正無窮和負無窮，先討論當(dāng)x???時，函數(shù)的極限。

定義1 設(shè)函數(shù)y?f(x)在(a,??)(a為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x無限增大時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于某一個固定的常數(shù)A，則稱A為x???（讀作“x趨于正無窮”）時函數(shù)f(x)的極限，記作limf(x)?A或 f(x)?A(x???)

x???

例題求lim

x???x

由圖像可知，當(dāng)x趨于正無窮時，1

1趨于零，故lim＝0

x???xx

定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在(-?,a)(a為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x無限增大且

x?0時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于某一個固定的常數(shù)A，則稱A為x???（讀作“x趨

于負無窮”）時函數(shù)f(x)的極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x???)

x???

例題求lim

x???x

由圖像可知，當(dāng)x趨于負無窮時，定義3 設(shè)函數(shù)y?f(x)在11趨于零，故lim＝0

x???xx

x?b(b為某個正實數(shù))時有定義，如果當(dāng)自變量x的絕對值

無限增大時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)A，則稱A為x??（讀作“x趨于無窮”）時函數(shù)f(x)的極限

記作limf(x)?A或f(x)?A(x??)

x??

由上述兩個例題可知，lim

?0，同理可證，lim2?0 x??xx??x

定理1當(dāng)x??時，函數(shù)f(x)的極限存在的充分必要條件是當(dāng)x???時和x???時函數(shù)f(x)的極限都存在而且相等。即

limf(x)?A的充分必要條件是limf(x)?limf(x)?A．

x??

x???

x???

2.自變量趨于有限值x0的情形

x2?1

引例對于函數(shù)f(x)?x?

x2?1

當(dāng)x?1時, f(x)?x?1

x2?1

于常數(shù)2，此時我們稱當(dāng)x趨近于1時，函數(shù)f(x)?的極限為

2x?1

?0,?)內(nèi)無限接近定義4設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0的去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在N(x

于x0時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于某一個固定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x?x0（讀作“x趨近于x0”）時函數(shù)f(x)的極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)

x?x0

注意：1.f(x)在x?x0時的極限是否存在,與f(x)在x0點處有無定義以及在點x0處的函數(shù)值無關(guān)．

2.在定義5中, x是以任意方式趨近于x0的,但在有些問題中，往往只需要考慮點x從x0的一側(cè)趨近于x0時，函數(shù)f(x)的變化趨向．

例題 求limx

x?

3由函數(shù)圖像可知,無論x從哪一側(cè)趨近于3時,函數(shù)值總是無限接近于9,故limx?9

x?3

定義5 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0的左半鄰域(x0??,x0)內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在此半鄰域內(nèi)從x0左側(cè)無限接近于x0時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于某個固定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)

?)x趨近于x0時函數(shù)f(x)的左極限,記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0

?

x?x0

定義6 設(shè)函數(shù)y?f(x)的右半鄰域(x0,x0??)內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在此半鄰域內(nèi)從

x0右側(cè)無限接近于x0時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于某個固定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨近

?

f(x)?A或f(x)?A(x?x0)于x0時函數(shù)f(x)的右極限,記作lim?

x?x0

函數(shù)的左右極限有如下關(guān)系:

定理2 limf(x)?A的充分必要條件是lim?f(x)?lim?f(x)?A．

x?x0

x?x0

x?x0

例題 設(shè)函數(shù)f(x)?在.xx,求f(x)在x?0處的左、右極限,并討論f(x)在x?0處是否有極限存

解: 因為當(dāng)x?0時, f(x)??1,因此lim?f(x)??1,x?0

f(x)?1 又當(dāng)x?0時, f(x)?1,因此lim?

x?0

由定理2可知，limf(x)不存在。

x?0

練習(xí)：判斷函數(shù)f(x)??

二、無窮小量 1.無窮小量的定義

?1?cosxx?0

在x?0處是否有極限。

?sinxx?0

定義1 以零為極限的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小，常用?,?,?表示。例如 lim

1?0，所以函數(shù)當(dāng)x??時是無窮小． x??xx

x?0

2又如 limx?0，所以函數(shù)x當(dāng) x?0時是無窮小。

注意：應(yīng)該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù)。因此應(yīng)

明確指出其變化過程。例如 函數(shù)f(x)?

1?

是x??時的無窮小，但當(dāng)x?1時不是無窮小。當(dāng)x?時，sinx的x2

極限不為零，所以當(dāng)x?2.極限與無窮小之間的關(guān)系

?

時，函數(shù)sinx不是無窮小，而當(dāng)x?0時sinx是無窮小量。

定理1 limf(x)?A的充要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小，即

limf(x)?A?lim??0,??f(x)?A.3.無窮小量的運算性質(zhì)

性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小。

注意：①.此處是指有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小,但無窮多個無窮小的代數(shù)和不一定是無窮

小.例如:lim（n??

12nn(n?1)111

????)?lim?lim(?)?2222n??n??nnn2n22n2

②.代數(shù)和是指和與差兩種運算.性質(zhì)2無窮小與有界函數(shù)的積是無窮小.例1 求limxsin

x?0

x

是有界函數(shù),故根據(jù)性質(zhì)2可知,此極限值為0.x

分析: 當(dāng)x?0是, x是無窮小, sin解: 因為limx?0,sin

x?0

?1,故由性質(zhì)2可得limxsin?0

x?0xx

練習(xí)求lim

cosx x??x

3，?均是無窮小.xxx

推論1 常數(shù)與無窮小的積是無窮小.例: 當(dāng)x??是,推論2 有限個無窮小的積仍是無窮小.三、無窮大量1.無窮大量的定義

定義2 在自變量x的某個變化過程中，若相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值f(x)無限增大,則稱f(x)為該自變量變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大．記作limf(x)??

若函數(shù)值f(x)(或?f(x))無限增大,則稱f(x)為該變化過程中的正(或負)無窮大,記作

limf(x)???或(limfx()???.)

注意：無窮大量不是很大的數(shù),而是一個變量,是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號

x?x0

limf(x)??，表示“當(dāng)x?x0時, f(x)是無窮大量” ．

2.無窮大與無窮小的關(guān)系

定理2在自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量．

x2?1例2 求lim2

x?1x?1

x2?1x2?1

解: 由于lim2?? ?0,由定理2可知lim2

x?1x?1x?1x?1

注意:以后遇到類似題目,可直接寫結(jié)果.例3 考察函數(shù)f(x)?解: 因為lim

x?1,自變量如何變化時是無窮大量?如何變化時是無窮小量? x?1

x?1

?0,故當(dāng)x?1時,此函數(shù)為無窮小量.x?1x?1x?1x?1

因為lim?0,故lim??,所以當(dāng)x??1時,此函數(shù)為無窮大量.x??1x?1x??1x?1

第二篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當(dāng)張飛飛到你面前，你才開始反應(yīng)然后左手手按到風(fēng)或者羊的技能鍵，右手操作鼠標點到張飛身上，完成整個過程需要受過反應(yīng)訓(xùn)練的人也至少需要0.25妙的時間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經(jīng)常出現(xiàn)的這個極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關(guān)鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當(dāng)CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個時期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內(nèi)，那么妙限制飛的假象出現(xiàn)了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復(fù)操作達到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發(fā)生在上路郭嘉妙關(guān)的時候特別常見，這個純屬運氣，與極限操作扯不上半點關(guān)系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個距離就比妙E妙吹時候需要的距離精確的多，當(dāng)飛在郭嘉點人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進入這個極限距離內(nèi)那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因為成功率取決于飛的位置和郭嘉的想法，大多數(shù)郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險釋放這個團戰(zhàn)終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個是極限操作但是需要的時間如果地板C需要0.15妙 點人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個操作一般選手都有這個意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因為這些個躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現(xiàn)極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當(dāng)出現(xiàn)非瞬發(fā)限制技能(極需要釋放時間的技能點飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應(yīng)時間小于0.1S，所以我們經(jīng)常看見玄武躲技能的操作，因為常見，很多人認為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發(fā)限制技能，這個問題我在以前的問題中討論過的，瞬發(fā)限制技能 入風(fēng)吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預(yù)判斷時間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因為自己起飛躲飛T的反應(yīng)時間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運氣 這個不多復(fù)述了。

總結(jié)：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質(zhì)和水平的體現(xiàn)。不要刻意追求極限操作，加強自己的意識，注意隊友的配合 這才是真三的王道。

第三篇：極限狀態(tài)法定義

1、極限狀態(tài)設(shè)計法

limit state design method

當(dāng)以整個結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分超過某一特定狀態(tài)就不能滿足設(shè)計規(guī)定的某一功能要求，則此特定狀態(tài)稱為該功能的極限狀態(tài)，按此狀態(tài)進行設(shè)計的方法稱極限狀態(tài)設(shè)計法。它是針對破壞強度設(shè)計法的缺點而改進的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計法。分為半概率極限狀態(tài)設(shè)計法和概率極限狀態(tài)設(shè)計法。

半概率極限狀態(tài)設(shè)計法 將工程結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)分為承載能力極限狀態(tài)、變形極限狀態(tài)和裂縫極限狀態(tài)三類（也可將后兩者歸并為一類），并以荷載系數(shù)、材料強度系數(shù)和工作條件系數(shù)代替單一的安全系數(shù)。對荷載或荷載效應(yīng)和材料強度的標準值分別以數(shù)理統(tǒng)計方法取值，但不考慮荷載效應(yīng)和材料抗力的聯(lián)合概率分布和結(jié)構(gòu)的失效概率。

概率極限狀態(tài)設(shè)計法 將工程結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)分為承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)兩大類。按照各種結(jié)構(gòu)的特點和使用要求，給出極限狀態(tài)方程和具體的限值，作為結(jié)構(gòu)設(shè)計的依據(jù)。用結(jié)構(gòu)的失效概率或可靠指標度量結(jié)構(gòu)可靠度，在結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程和結(jié)構(gòu)可靠度之間以概率理論建立關(guān)系。這種設(shè)計方法即為基于概率的極限狀態(tài)設(shè)計法，簡稱為概率極限狀態(tài)設(shè)計法。其設(shè)計式是用荷載或荷載效應(yīng)、材料性能和幾何參數(shù)的標準值附以各種分項系數(shù)，再加上結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)來表達。對承載能力極限狀態(tài)采用荷載效應(yīng)的基本組合和偶然組合進行設(shè)計，對正常使用極限狀態(tài)按荷載的短期效應(yīng)組合和長期效應(yīng)組合進行設(shè)計。

2、許應(yīng)力設(shè)計法

allowable stress design method

以結(jié)構(gòu)構(gòu)件的計算應(yīng)力σ不大于有關(guān)規(guī)范所給定的材料容許應(yīng)力[σ]的原則來進行設(shè)計的方法。一般的設(shè)計表達式為

σ≤[σ]

結(jié)構(gòu)構(gòu)件的計算應(yīng)力σ按荷載標準值以線性彈性理論計算；容許應(yīng)力[σ]由規(guī)定的材料彈性極限（或極限強度、流限）除以大于1的單一安全系數(shù)而得。

容許應(yīng)力設(shè)計法以線性彈性理論為基礎(chǔ)，以構(gòu)件危險截面的某一點或某一局部的計算應(yīng)力小于或等于材料的容許應(yīng)力為準則。在應(yīng)力分布不均勻的情況下，如受彎構(gòu)件、受扭構(gòu)件或靜不定結(jié)構(gòu)，用這種設(shè)計方法比較保守。

容許應(yīng)力設(shè)計應(yīng)用簡便，是工程結(jié)構(gòu)中的一種傳統(tǒng)設(shè)計方法，目前在公路、鐵路工程設(shè)計中仍在應(yīng)用。它的主要缺點是由于單一安全系數(shù)是一個籠統(tǒng)的經(jīng)驗系數(shù)，因之給定的容許應(yīng)力不能保證各種結(jié)構(gòu)具有比較一致的安全水平，也未考慮荷載增大的不同比率或具有異號荷載效應(yīng)情況對結(jié)構(gòu)安全的影響。

我國公路使用極限狀態(tài)設(shè)計法，鐵路仍使用容許應(yīng)力設(shè)計法，但公路中使用的分項系數(shù)并不是完全利用概率理論計算可靠度得來的，而是在容許應(yīng)力基礎(chǔ)上，通過經(jīng)驗得來的，所以有披著極限外衣的容許應(yīng)力之嫌。

第四篇：極限定義的總結(jié)

極限定義的總結(jié)

極限主要包括兩個方面，即自變量的變化趨勢和函數(shù)的變化趨勢。我們就這兩個變化趨勢來總結(jié)極限的定義：

自變量變化趨勢limf(x)?函數(shù)的變化趨勢

自變量的變化趨勢主要有六種：

??x??,x???,x???,x?x0,x?x0,x?x0

函數(shù)的變化趨勢主要有四種：

f(x)?A,f(x)??,f(x)???,f(x)??? 自變量的描述格式如下：

?X?0,當(dāng)|x|?X時；（x??）

?X?0,當(dāng)x?X時；（x???）

?X?0,當(dāng)x?-X時；（x???）

???0,當(dāng)0?|x-x0|??時；（x?x0）

???0,???0, 當(dāng)0?x-x0??時；（x?x0?）當(dāng)0?|x-x0|??時；（x?x0?）

函數(shù)的描述格式如下：

???0, ?,?

???0, ?,?

???0, ?,? 恒時：|f(x)?A|??（f(x)?A）恒時：|f(x)|?M（f(x)??）恒時：f(x)?M（f(x)???）

恒時：f(x)??M（f(x)???）???0, ?,?

那么函數(shù)極限的定義可以是這C61?C41?24種中的任意一種。當(dāng)然還有一種最特殊的函數(shù)極限，即數(shù)列的極限。它是一種自

變量的變化不連續(xù)的特殊情形。

第五篇：數(shù)列極限的定義

第十六教時

教材：數(shù)列極限的定義

目的：要求學(xué)生首先從實例（感性）去認識數(shù)列極限的含義，體驗什么叫無限地“趨

近”，然后初步學(xué)會用??N語言來說明數(shù)列的極限，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“有限”到“無限”來一個飛躍。過程：

一、實例：1?當(dāng)n無限增大時，圓的內(nèi)接正n邊形周長無限趨近于圓周長

2?在雙曲線xy?1中，當(dāng)x???時曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數(shù)列的極限考察下面的極限

1? 數(shù)列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項”隨n的增大而減少②但都大于0

③當(dāng)n無限增大時，相應(yīng)的項1

n可以“無限趨近于”常數(shù)0

2? 數(shù)列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項”隨n的增大而增大②但都小于1

③當(dāng)n無限增大時，相應(yīng)的項n

n?1可以“無限趨近于”常數(shù)1

3? 數(shù)列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項”的正負交錯地排列，并且隨n的增大其絕對值減小

②當(dāng)n無限增大時，相應(yīng)的項(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數(shù)

引導(dǎo)觀察并小結(jié)，最后抽象出定義：

一般地，當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列?an?的項an無限地趨近于某

個數(shù)a（即an?a無限地接近于0），那么就說數(shù)列?an?以a為極限，或者說a是數(shù)列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數(shù)列才有極限）

數(shù)列1的極限為0，數(shù)列2的極限為1，數(shù)列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數(shù)列是遞增、遞減還是擺動數(shù)列；再看這個數(shù)列當(dāng)n無限

增大時是否可以“無限趨近于”某一個數(shù)。

練習(xí)：（共四個小題，見課本）

四、有些數(shù)列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數(shù)列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a(chǎn)1?(?1)n1?(?1)n

n?22．a(chǎn)n?2

3．a(chǎn)n?an(a?R)

n

4．a(chǎn)1)n?1?3?5?

n?(?n5．a(chǎn)n?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數(shù)列?an?的極限為5

五、關(guān)于“極限”的感性認識，只有無窮數(shù)列才有極限

六、作業(yè)：習(xí)題1

補充：寫出下列數(shù)列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n