第一篇：第5課時(shí)數(shù)列的綜合應(yīng)用

課題：數(shù)列的綜合應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握等差（比）數(shù)列的基本公式和一些重要性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用性質(zhì)解決有關(guān)的問(wèn)題，培養(yǎng)對(duì)知識(shí)的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用能力．

教學(xué)重點(diǎn)：等差（比）數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用．

（一）主要知識(shí)：

1.等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及基本公式。2.等比數(shù)列的概念、性質(zhì)及基本公式。

（二）主要方法：

1.解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類(lèi)方法：①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程；②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量．

2.深刻領(lǐng)會(huì)兩類(lèi)數(shù)列的性質(zhì)，弄清通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵． 3.解題時(shí)，還要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，如“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類(lèi)討論”、“化歸轉(zhuǎn)化”.（三）典例分析：

問(wèn)題1．?1?若互不相等的實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，且a?3b?c?10，則a?A.4B.2C.?2D.?

4?2?設(shè)等差數(shù)列?an?的公差d不為0，a1?9d．若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k?

A.2B.4C.6D.8

(a?b)

2則?3?已知x?0，y?0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，cd的最小值是A.0B.1C.2D.4

a?a?a?4?已知等差數(shù)列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則139?a2?a4?a10

?5?(07全國(guó)Ⅰ)等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則?an?的公比為問(wèn)題2．設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?1

3?an?求，的通項(xiàng)公式；求數(shù)列{a}21??????的前n項(xiàng)和Sn． nn?bn?

問(wèn)題3．（05全國(guó)Ⅲ）在等差數(shù)列?an?中，公差d?0，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列a1、a3、ak1、ak2...、akn、...成等比數(shù)列，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)kn

問(wèn)題4．（08屆東北師大附中高三月考）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記作Sn，滿足Sn?2an?3n?12，(n?N*)．

?1?證明數(shù)列{an?3}為等比數(shù)列；并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

?2?記bn?nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn．

問(wèn)題5.已知數(shù)列{an}（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)是a1，公比為q的等比數(shù)列.0120123?1?求和：a1C2?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a3C3?a4C3;

?2?由?1?的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加以證明.（四）鞏固練習(xí)：

1.在等差數(shù)列?an?中，若a10?0，則有不等式a1?a2?????an

?a1?a2?????a19?n?n?19,n?N*?成立，相應(yīng)地：在等比數(shù)列?bn?，若b9?1，則有不等式成立.2.定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1?2，公和為5，那么a18的值為_(kāi)____，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為_(kāi)_______

3.設(shè)?an?是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若?Sn?是等差數(shù)列，則q?4.有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)．

（五）課后作業(yè)：

5.若Sn是公差不為0的等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，且S1,S2,S4成等比數(shù)列.?1?求數(shù)列S1,S2,S4的公比;?2?若S2?4，求?an?的通項(xiàng)公式.6.已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1,a3,a2成等差數(shù)列.?1?求q的值；?2?設(shè){bn}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說(shuō)明理由.（六）走向高考：

7.（07陜西）已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為Sk，且

1Sk?akak?1(k?N*)，其中a1?1．?1?求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；?2?對(duì)任意給定的正2

bk?n，2，n?1）整數(shù)n(n≥2)，數(shù)列{bn}滿足k?1?（k?1，b1?1，求bkak?1

b1?b2??bn．

8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn?2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1?b1，b2(a2?a1)?b1，?1?求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

?2?設(shè)cn?

數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式； an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tnbn9.已知實(shí)數(shù)列?an?是等比數(shù)列，其中a7?1，且a4，a5?1，a6成等差數(shù)列．（Ⅰ）求，2，3，)．（Ⅱ）數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和記為Sn，證明：Sn?128(n?1

*2210.（07湖南）設(shè)Sn是數(shù)列{an}（n?N）的前n項(xiàng)和，a1?a，且Sn?3n2an?Sn?1，3，4，???． an?0，n?2，（Ⅰ）證明：數(shù)列{an?2?an}（n≥2）是常數(shù)數(shù)列；

*（Ⅱ）試找出一個(gè)奇數(shù)a，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列{bn}（n?N）中的所有項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，并指出bn是數(shù)列{an}中的第幾項(xiàng)．

11.(2012山東)在等差數(shù)列{an}中，a3?a4?a5?84,a9?73，1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 2）任意的正整數(shù)m,數(shù)列{an}中落入（9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列{bm}的前n項(xiàng)和

12.（07上海）如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,???,am（m為正整數(shù)）滿足條件a1?am，2，m），我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”．a(chǎn)2?am?1，…，am?a1，即ai?am?i?1（i?1，2521與數(shù)列8，，，42248都是“對(duì)稱數(shù)列”例如，數(shù)列1，，．，其中b1,b2,b3,b4是等差數(shù)列，且b1?2，b4?11．依?1?設(shè)?bn?是7項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”

次寫(xiě)出?bn?的每一項(xiàng)；，其中c25,c26,c27,???,c49是首項(xiàng)為1，公比為2的等?2?設(shè)?cn?是49項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”

比數(shù)列，求?cn?各項(xiàng)的和S；，其中d51,d52,???,d100是首項(xiàng)為2，公差為3的等差?3?設(shè)?dn?是100項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”

2，100)．?dāng)?shù)列．求?dn?前n項(xiàng)的和Sn(n?1，

第二篇：(教案)數(shù)列綜合應(yīng)用

專題三：數(shù)列的綜合應(yīng)用

備課人：陳燕東 時(shí)間： 備課組長(zhǎng)

[考點(diǎn)分析]

高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面；

（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。（2）數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，其中主要是以增長(zhǎng)率問(wèn)題為主。

試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。

【例題精講】

【題型1】求和，求通項(xiàng)

例1．設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2，數(shù)列?bn?滿足bn?（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Tn．

1．(n?1)log2an變式訓(xùn)練1：已知數(shù)列?an?是公差不為0的等差數(shù)列，a1?2，且a2，a3，a4?1成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn?

2，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Sn．

n?an?2?變式訓(xùn)練2．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且4Sn?an?2an?3．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）已知bn?2n,求Tn?a1b1?a2b2???anbn的值．

2備選例題1．已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn?n?n.2（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn?1?2an?1,(n?N*)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.anan?

1備選例題2．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．

【題型2】證明題

例2.已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，a1?1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?為常數(shù)，（I）證明：an?2?an??；

（II）是否存在?，使得?an?為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.變式訓(xùn)練．已知函數(shù)f?x??123x?x，數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)?n,Sn??n?N??均在函數(shù)22y?f?x?的圖象上.（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an；（2）令cn?

【題型3】創(chuàng)新題型

例

3、設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?1anan?1，證明：2n?c1?c2???cn?2n?.?2an?1an1，前n項(xiàng)和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0。2（Ⅰ）求?an?的通項(xiàng)；（Ⅱ）求?nSn?的前n項(xiàng)和Tn。

備選例題： 1.在等差數(shù)列{an}中，公差d?0,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).已知數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,?,akn,?成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn.【題型4】數(shù)列與不等式的綜合題

例

4、已知有窮數(shù)列{an}共有2k項(xiàng)（整數(shù)k≥2），首項(xiàng)a1＝2．設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且an?1＝，其中常數(shù)a＞1．(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1）（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）若a＝22，┅，2k），求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（3）若（2）中的數(shù)列{bn}滿足不等式|b1－

【題型5】數(shù)列與函數(shù)的綜合題

例

5、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(n?N?)均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn?有n?N都成立的最小正整數(shù)m。

本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題能力和推理能力。?22k?1，數(shù)列{bn}滿足bn＝

1log2(a1a2???an)（n＝1，n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－|≤4，求k的值． 2222m3，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn?對(duì)所

20anan?1

第三篇：數(shù)列綜合應(yīng)用作業(yè)

數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用課時(shí)作業(yè)

一、選擇題

1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44

D．44＋1

2．(2013·昆明模擬)已知數(shù)列{a??2an?n為正奇數(shù)?，n}滿足a1＝1，an＋1＝??則其前?an

＋1?n為正偶數(shù)?，6項(xiàng)之和是

()

A．16B．20C．33

D．120

3．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln??1＋1

n，則an＝()A．2＋ln nB．2＋(n－1)ln nC．2＋nln n

D．1＋n＋ln n

4．若數(shù)列{a滿足1

a1

n}＝d(n∈N*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列{an＋1an

n}為“調(diào)和數(shù)列”．已知正項(xiàng)數(shù)

列{1

b為“調(diào)和數(shù)列”，且b1＋b2＋?＋b9＝90，則b4·b6的最大值是()n

A．10B．100C．200

D．400

5．(2013·青島模擬)已知函數(shù)f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋?＋a100＝()

A．0B．－100C．100D．10 200

二、填空題

6．(2013·泉州模擬)數(shù)列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值為_(kāi)_______．

7．(2013·吉林模擬)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a3＝243，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log3an，則數(shù)列1b的前n項(xiàng)和Snbn＋1

n＝________.8．(2013·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為_(kāi)_______．

三、解答題

9．(2013·江西高考)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

(2)令bn＋1n＝?n＋2?a{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有T5nn<64.10．(2013·湛江模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝5，an＋1＋4an＝5(n∈N*)，(1)是否存在實(shí)數(shù)t，使{an＋t}是等比數(shù)列？(2)設(shè)數(shù)列bn＝|an|，求{bn}的前2 013項(xiàng)和S2 013.11．設(shè)數(shù)列{a3

n}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(an，Sn)在直線y2x－1上．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

(2)在a?1?

n與an＋1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n＋2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列??dn??的前n

項(xiàng)和Tn.

第四篇：放縮法(不等式、數(shù)列綜合應(yīng)用)

“放縮法”證明不等式的基本策略

近年來(lái)在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點(diǎn), 有極大的遷移性, 對(duì)它的運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性?！胺趴s法”它可以和很多知識(shí)內(nèi)容結(jié)合，對(duì)應(yīng)變能力有較高的要求。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略。

1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）

例

1、已知an?2n?1(n?N*).求證：an1a1a2????...?n(n?N*).23a2a3an?

1ak2k?11111111證明： ??k?1??????.,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k

?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?1

2若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）

例

2、函數(shù)f（x）=4x

1?4xk，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n?11?(n?N*).2證明：由f(n)= 4n1?4n=1-11?1? 1?4n2?2n

2?2

11得f（1）+f（2）+…+f（n）>1??1?12?22???1?12?2n 11111?n?(1?????n?1)?n?n?1?(n?N*).424222

此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和.若分子, 分母如果同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。

3、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）

k

例

3、已知an=n，求證：∑＜3．

k=1ak

n

證明：∑

k=

1n

n

2ak

∑

k=

1n

＜1＋∑

k=

2n

(k－1)k(k＋1)

=1?k?2n

＜１＋∑

k=2

(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k

－1)=1＋ ∑（k=2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

=1＋1＋＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；

n

1例

4、已知數(shù)列{an}滿足an?1?a,0?a1?,求證：?(ak?ak?1)ak?2?.232k?

1n

證明 ?0?a1?

n

11112,an?1?an,?a2?a12?,a3??.?當(dāng)k?1時(shí),0?ak?2?a3?, 241616

??(ak?ak?1)ak?

2k?1

1n11??(ak?ak?1)?(a1?an?1)?.16k?11632

本題通過(guò)對(duì)因式ak?2放大，而得到一個(gè)容易求和的式子

5、逐項(xiàng)放大或縮小

?(a

k?

1n

k

?ak?1)，最終得出證明.n(n?1)(n?1)

2?an?例

5、設(shè)an??2?2?3?3?4???n(n?1)求證： 22122n?1

2證明：∵ n(n?1)?n?nn(n?1)?(n?)?

2n?

1∴ n?n(n?1)?

1?3???(2n?1)n(n?1)(n?1)2

?an?∴ 1?2?3???n?an?，∴

222

2n?1

本題利用n??，對(duì)an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。

6、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；

例

6、求證：

11117?????? 122232n2

4證明：?

1???

n2n(n?1)n?1n

?

1111111115117??????1??(?????)??(?)?.122232n22223n?1n42n4

此題采用了從第三項(xiàng)開(kāi)始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開(kāi)始，須根據(jù)具體題型分

別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

7、利用基本不等式放縮

例

7、已知an?5n?

41對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立.?1，只要證

5amn?1?aman?.因?yàn)?amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16，故只要證

5(5mn?4)?1?25mn?20(m?n)?16? 即只要證

20m?20n?37?

因?yàn)閍m?an?5m?5n?8?5m?5n?8?(15m?15n?29)?20m?20n?37，所以命題得證.本題通過(guò)化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不等式由am?an放大即可.8、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮 例

8、.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)

i

i

n

m

證明：(1)對(duì)于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，Aimmm?1Aimnn?1m?i?1n?i?

1?????,同理?????，mmmnnnmini

由于m＜n，對(duì)于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有

n?km?k，?

nm

AinAim

所以i?i,即miAin?niAim

nm

(2)由二項(xiàng)式定理有：

22nn

(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知

mAin

i

＞nAim

i

(1＜i≤m＜n)，而

Cim

AimiAin,Cn?= i!i!

∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

00222211

∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，…，mmm+1m?1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)還需要幾種方法融為一體。在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類(lèi)型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段.

第五篇：數(shù)列教案第三課時(shí)

第三教時(shí)

教材：等差數(shù)列

（一）目的：要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的意義，通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)的有關(guān)概念、計(jì)算公式，并能用來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題。過(guò)程：

一、引導(dǎo)觀察數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10，??

3，0，?3，?6，??

12，23410，10，10，??

an?12?3(n?1)12，9，6，3，??

特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是常數(shù) — “等差”

二、得出等差數(shù)列的定義：（見(jiàn)P115）

注意：從．第二項(xiàng)．．．起．，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)．．．．．

。1．名稱：AP 首項(xiàng)(a1)公差(d)2．若d?0 則該數(shù)列為常數(shù)列 3．尋求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

a2?a1?d

a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2dad?(a

4?a3?1?2d)?d?a1?3d???? 由此歸納為 an?a1?(n?1)d 當(dāng)n?1時(shí) a1?a1（成立）

注意: 1? 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)

2? 如果通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP 證明：若an?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A

它是以A?B為首項(xiàng)，A為公差的AP。

3? 公式中若 d?0 則數(shù)列遞增，d?0 則數(shù)列遞減

4? 圖象： 一條直線上的一群孤立點(diǎn)

三、例題： 注意在an?a1?(n?1)d中n，an，a1，d四數(shù)中已知三個(gè)可以求

出另一個(gè)。

例一（P115例一）

例二（P116例二）注意：該題用方程組求參數(shù) 例三（P116例三）此題可以看成應(yīng)用題

四、關(guān)于等差中項(xiàng)： 如果a,A,b成AP 則A?a?b證明：設(shè)公差為d，則A?a?d b?a?2d

∴

a?b2?a?a?2d2?a?d?A

例四 《教學(xué)與測(cè)試》P77 例一：在?1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b,c使這五個(gè)數(shù)成AP，求此數(shù)列。

解一：∵?1,a,b,c,7成AP ∴b是-1與7 的等差中項(xiàng)

∴ b??1?72?3 a又是-1與3的等差中項(xiàng) ∴a??1?32?

1c又是1與7的等差中項(xiàng) ∴c?3?72?

5解二：設(shè)a1??1 a5?7 ∴7??1?(5?1)d ?d?2

∴所求的數(shù)列為-1，1，3，5，7

五、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)

六、作業(yè)： P118習(xí)題3．2 1-9