第一篇：數(shù)列重點與提升

數(shù)列重點與提升

一、數(shù)列研究辦法

1、特殊數(shù)列：等差等比數(shù)列的定義、性質(zhì)和相關公式要熟練，要有轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的意識并熟練證明之.2、如何認識數(shù)列？先研究其主要性質(zhì)：周期性、單調(diào)性和有界性

若給出的是遞推公式，看能否求其通項公式，若求得通項公式an?f(n)，可考慮從函數(shù)角度出發(fā)研究其性質(zhì)，當然也可以從相鄰項間關系比如作差或者做商去研究其單調(diào)性.3.走“兩”步非常必要，但必須要走穩(wěn).4．基本模型：累加法、累乘法、倒數(shù)法、相鄰項間具有一次函數(shù)關系的轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列、走兩步—猜—數(shù)學歸納法證明、倒序求和、錯位相減、裂項求和、分組求和.5.基本量方法，方程思想計算務必準確.6.an與Sn關系是很基本的問題，各種處理辦法你都掌握了么？

7.若給出的是間隔項間的關系，一般要分奇偶討論.8．數(shù)列極限也要熟練.比如無窮遞縮等比數(shù)列的極限.注意一些小細節(jié)：判斷和證明數(shù)列為特殊數(shù)列時對首項和前幾項的研究，并判斷是否從第一項開始就是特殊數(shù)列；已知Sn?g(n)，求an要分類求再看能否合并；對等比數(shù)列公比是否為1的討論；等比中項一般有兩項…….二、數(shù)列重點類型

1、設等差數(shù)列{an}的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(Ⅱ)若a1≤6，a11＞0，S14≥77，求所有可能的數(shù)列｛an｝的通項公式.23，?）

2、數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?an?cn（c是常數(shù)，n?1，，且a1，a2，a3成公比

不為1的等比數(shù)列．

（I）求c的值；

（II）求?an?的通項公式．

3、數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an?1?

3Sn，n=1，2，3，……，求

（I）a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式；（II）a2?a4?a6???a2n的值.?

1an

??2??

?a?1n??

4n為偶

數(shù)

4、設數(shù)列{an}的首項a1=a≠

4，且an?

1,n為奇數(shù)

記bn?a2n?1?

14，n＝＝l，2，3，…·．

（I）求a2，a3；

（II）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III）求lim(b1?b2?b3???bn)．

n??

2?）

5、數(shù)列?an?滿足a1?1，an?1?(n2?n??)an（n?1，，?是常數(shù)．

（Ⅰ）當a2??1時，求?及a3的值；

（Ⅱ）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（Ⅲ）求?的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當n?m時總有an?0．

6、在數(shù)列{an}中，若a1,a2是正整數(shù)，且an?|an?1?an?2|,n?3,4,5,?，則稱{an}為“絕對差數(shù)列”.（Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項）；

（Ⅱ）若“絕對差數(shù)列”{an}中，a20?3,a21?0，數(shù)列{bn}滿足bn?an?an?1?an?2，n?1,2,3,?，分別判斷當n??時，an與bn的極限是否存在，如果存在，求

出其極限值；

（Ⅲ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項.7.（2009北京文）（本小題共13分）

?

設數(shù)列{an}的通項公式為an?pn?q(n?N,P?0).數(shù)列{bn}定義如下：對于正整

數(shù)m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若p?

12,q??

3，求b3；

（Ⅱ）若p?2,q??1，求數(shù)列{bm}的前2m項和公式；

?

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N)？如果存在，求p和q的取值范圍；

如果不存在，請說明理由.8.（2009北京理）（本小題共13分）

已知數(shù)集A??a1,a2,?an??1?a1?a2??an,n?2?具有性質(zhì)P；對任意的 i,j?1?i?j?n?，aiaj與

ajai

兩數(shù)中至少有一個屬于A.（Ⅰ）分別判斷數(shù)集?1,3,4?與?1,2,3,6?是否具有性質(zhì)P，并說明理由；

（Ⅱ）證明：a1?1，且

a1?a2???ana

?1

1?a

?1

2???a

?1n

?an；

（Ⅲ）證明：當n?5時，a1,a2,a3,a4,a5成等比數(shù)列.9.（2009年上海卷理）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。

已知?an?是公差為d的等差數(shù)列，?bn?是公比為q的等比數(shù)列。

（1）若an?3n?1，是否存在m、k?N*，有am?am?1?ak?說明理由；（2）找出所有數(shù)列?an?和?bn?，使對一切n?N*,an?1an

?bn,并說明理由；

（3）若a1?5,d?4,b1?q?3,試確定所有的p，使數(shù)列?an?中存在某個連續(xù)p項的和

是數(shù)列?bn?中的一項，請證明。

10.（2009上海卷文）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.已知?an?是公差為d的等差數(shù)列，?bn?是公比為q的等比數(shù)列

（1）若 an?3n?1，是否存在m,n?N*，有am?am?1?ak？請說明理由；

n

（2）若bn?aq（a、q為常數(shù)，且aq?0）對任意m存在k，有bm?bm?1?bk，試求a、q

滿足的充要條件；

n

（3）若an?2n?1,bn?3試確定所有的p,使數(shù)列?bn?中存在某個連續(xù)p項的和式數(shù)列中

?an?的一項，請證明.11.（2009重慶卷理）（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問7分）

設m個不全相等的正數(shù)a1,a2,?,am(m?7)依次圍成一個圓圈．,（Ⅰ）若m?2009，且a1,a2?a1,a

2,a

?,20,a10是公差為d的等差數(shù)列，而

00908,a是公比為q?d的等比數(shù)列；數(shù)列a1,a2,?,am的前n項和

Sn(n?m)滿足：S3?15,S2009?S2007?12a1，求通項an(n?m)；

（Ⅱ）若每個數(shù)an(n?m)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項，求證：

a1???a6?a7???am?ma1a2am；

三、數(shù)列高考預測

1.設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項

(1)寫出數(shù)列{an}的前3項

(2)求數(shù)列{an}的通項公式(寫出推證過程)(3)令bn=（21an?

1an

?anan?1)(n∈N)，求lim(b1+b2+b3+?+bn－n

*

n??

2．已知數(shù)列{an}中，a1=

2，2an+1=an+n(n N*)，*

bn=an+1-an-1(n?N)．

（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）設Sn、Tn分別為數(shù)列使得數(shù)列镲镲镲鉿禳Sn+mTn镲

n

1x?

2{an}、{bn}的前n項和，若存在實數(shù)m，為等差數(shù)列，試求出實數(shù)m的值．

?

3.已知函數(shù)y?1?的圖象按向量m?(2,1)平移后便得到函數(shù)f(x)的圖象，數(shù)列{an}滿足an?f(an?1)（n≥2，n?N*）．（Ⅰ）若a1?

3535，數(shù)列{bn}滿足bn?

1an?1，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（Ⅱ）若a1?，數(shù)列{an}中是否存在最大項與最小項，若存在，求出最大項與最小項，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）若1?a1?2，試證明：1?an?1?an?2．

4.數(shù)列?an?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos

n?2)an?sin

n?2,n?1,2,3,?.(Ⅰ)求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項公式；(Ⅱ)設bn?

a2n?1a2n

Sn?2?,Sn?b1?b2???bn.證明：當n?6時1n.5.已知?an?是由非負整數(shù)組成的數(shù)列，滿足

a1?0,a2?3,an?1an?(an?1?2)(an?2?2),n?3,4,5,??．

(1)求a3；

(2)證明an?an?2?2,n?3,4,5,??；(3)求?an?的通項公式及其前n項和Sn． 數(shù)列自我檢測：

1．已知數(shù)列?an?中，a1?5且an?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）（1）求a2，a3的值；

（2）是否存在實數(shù)?，使得數(shù)列?請說明理由。

2．已知數(shù)列?an?中，a1?3，an?1?

23?an

?an???

?為等差數(shù)列，若存在，求出?的值；若不存在，n

?2?

（n?2,n?N*）

（1）若數(shù)列?bn?滿足bn?

1?anan?2，證明：?bn?是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列?an?的通項公式及最大項，并說明理由；（3）求liman的值。

n??

*

3．數(shù)列?an?中，a3?1，a1?a2???an?an?1(n?N)

（1）求a1，a2，a4，a5；（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn；

（3）設bn?log2Sn，存在數(shù)列?cn?使得cn?bn?3?bn?4?1?n(n?1)(n?2)Sn，求數(shù)列?cn?的前n項和Tn。

第二篇：三角函數(shù)與數(shù)列

陜西省高考數(shù)學解答題分類匯編（三角函數(shù)）

·b，其中向量a?(m，cos2x)，b?(1?sin2x，2007.設函數(shù)f(x)?a1)，x?R，且y?f(x)的圖象經(jīng)過點

?π?2?．（Ⅰ）求實數(shù)m的值； ?，?4?

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值及此時x值的集合．

2008.已知函數(shù)f(x)?2sinxxxcos?2?． 444

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令g(x)?f?x??

?π??，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由． 3?

2009.已知函數(shù)f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0????

2）的圖象與x軸的交點中，相?2?,?2).，且圖象上一個最低點為M(23

??(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）當x?[,]，求f(x)的值域.122鄰兩個交點之間的距離為

2010.A，B

是海面上位于東西方向相距53?海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且

與B

點相距C點的救援船立即即前往營救，其航行速度30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？

2011.敘述并證明余弦定理。?f(x)?Asin(?x?)?162012．函數(shù)（A?0,??0）的最大值為3，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離?

?????(0,)f()?22，則2為2，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）設，求?的值。

2013.已知向量a＝?cosx,??，b＝

x，cos 2x)，x∈R，設函數(shù)f(x)＝a·b.?

?1?2?

(1)求f(x)的最小正周期；

?π?(2)求f(x)在?0,?上的最大值和最小值． ?2?

陜西省高考數(shù)學解答題分類匯編（數(shù)列）

2007.已知各項全不為零的數(shù)列{an}的前k項和為Sk，且Sk?1akak?1(k?N*)，其中a1?1． 2

（I）求數(shù)列{an}的通項公式；（II）對任意給定的正整數(shù)n(n≥2)，數(shù)列{bn}滿足bk?1k?n?bkak?1，2，n?1）（k?1，b1?1，求b1?b2?2008．已知數(shù)列{an}的首項a1??bn． 33an，2，．，an?1?，n?152an?1

（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）證明：對任意的x?0，an≥11?2?2，； ??x??，n?1，1?x(1?x)2?3n?（Ⅲ）證明：a1?a2?n2

?an?． n?1

2009．已知數(shù)列?xn}滿足，x1＝11xn＋1＝,n?N*.2’1?xn

12???猜想數(shù)列{xn}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(Ⅱ)證明：|xn?1-xn|≤6(5)n?1。

2010.已知?an?是公差不為零的等差數(shù)列，a1?1且a1,a3,a9成等比數(shù)列

（1）求數(shù)列?an?的通項公式(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和Sn

2011.如圖，從點P1（0,0）作x軸的垂線交于曲線y=ex于點Q1（0,1），曲線在Q1點處的切線與x軸交與點

P2。再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，QI；P2，Q2…Pn，Qn，記P（k=1,2，…，n）。k點的坐標為（xk，0）

（Ⅰ）試求xk與xk?1的關系（2≤k≤n）；

（Ⅱ）求PQ11?PQ22?PQ33?...?PQnn

2012.設?an?的公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5,a3,a4成等差數(shù)列。

?an?的公比；

k?N?，Sk?2,Sk,Sk?1成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列（2）證明：對任意

2013.設{an}是公比為q的等比數(shù)列．

(1)推導{an}的前n項和公式；

(2)設q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．

第三篇：數(shù)列、推理與證明

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數(shù)列、推理與證明

作者：湯小梅

來源：《數(shù)學金刊·高考版》2014年第03期

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第四篇：數(shù)列專題

數(shù)列專題

朱立軍

1、設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；

(2)設數(shù)列 ??

1??a? 的前n項和為T1

1n，求證：nan＋1?5≤Tn＜

42、設數(shù)列?a

2n?1n?滿足a1＋3a2＋3a3＋…＋3an

＝n

3，a∈N*.(1)求數(shù)列?an?的通項；(2)設bn

n＝

a，求數(shù)列?bn?的前n項和Sn。n3、在數(shù)列{a*

n}中，a1＝3，an＝－an-1－2n＋1(n≥2且n∈N).(1)求a2，a3的值；

(2)證明：數(shù)列{an＋n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.4、已知數(shù)列{a項和S1211*

n}的前nn＝2n

2，數(shù)列{bn}滿足bn+2－2bn+1＋bn＝0(n∈N)，且b3＝11，前9

項和為153.(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；(2)設cn＝

3n

－

n

－，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若對任意正整數(shù)n，Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

5、已知點(1,2)是函數(shù)f(x)＝ax

(a＞0且a≠1)的圖象上一點，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝f(n)－1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn＝logaan+1，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.6、已知數(shù)列{aa*

n }中，1=2，對于任意的p,q∈N，都有ap?q?ap?aq.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)令b*

*

n＝ln an(n∈N)，是否存在k(k∈N)，使得bk、bk+

1、bk+2成等比數(shù)列？若存在，求出所

有符合條件的k的值，若不存在，請說明理由；(3)令cn＝

1aa，S{c*n

n為數(shù)列n}的前n項和，若對任意的n∈N，不等式tSn

1立，求實數(shù)t的取值范圍．

7、已知數(shù)列{a滿足：a2n

n}和{bn}1＝λ，an+1＝

3an＋n－4，bn＝(－1)(an－3n＋21)，其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù).(1)對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

(2)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.數(shù)列專題答案

1．(1)解 由Sn＝nan－2n(n－1)得an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，即an＋1－an＝4.∴數(shù)列{an}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，∴an＝4n－3.(2)證明 T11111

11n＝a＋…＋＋1

1a2a2a3anan＋11×55×99×13

－

＋

???1－***14n－3－14n＋1?

＝114?

1－4n＋11?＜4.又易知T111

n單調(diào)遞增，故Tn≥T1＝5，得5≤Tn

42．解析：(1)a

2an-1

n

1＋3a2＋33＋…＋3an＝3

①

a＋3a＋32aan?1n-1

11123＋…＋3n-2 n-1＝3 ②, ①-②得3an =3,所以an?3

n(n≥2).經(jīng)過驗證當n=1也成立,因此a1

n?3

n.(2)bna=n3n,利用錯位相減法可以得到S?(2n?1n＝

n)3n?1?3.n

443．(1)解：∵a*

1＝3，an＝－an－1－2n＋1(n≥2，n∈N)，∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝

1.(2)證明 ∵an＋n－an－1－2n＋＋n

aa

n－1＋－n－1＋n－1

＝－an－1－n＋1a＝－1，n－1＋n－1

∴數(shù)列{a＋1＝4，公比為－1的等比數(shù)列.∴an－1

n＋n}是首項為a1n＋n＝4·(－1)，即an＝4·(－1)n－1－n，∴{a1)n－1－n(n∈N*

n}的通項公式為an＝4·(－).n

(3)解 ∵{an－1

n}的通項公式為an＝4·(－1)

－n(n∈N*)，所以Sn＝∑ak＝

k＝1

n

n

n

n

∑[4·(－1)

k－1

－k] ＝∑[4·(－1)

k－1

]－∑k＝4×

1－－

－

＋

k＝1

k＝1

k＝1

1－－2

＝2[1－(－1)n

]－

(n2

＋n)＝－n＋n－4n

2(－1).4．解(1)因為S1211

n＝2＋2

n，當n≥2時，an＝Sn－Sn-1＝n＋5，當n＝1時a1＝S1＝6，滿足上式，所以an＝n＋5，又因為bn+2－2bn-1＋bn＝0，所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，由S＋b

79＝

153，b3＝11，故b7＝23，所以公差d＝23－11

7－33，所以bn＝b3＋(n－3)d＝3n＋2，(2)由(1)知c3

n＝

11?1n

－

n

－

－

＋

2?1?2n－12n＋1?，所以T1n＝c1＋c2＋…＋cn＝?1??11??12???1－3??＋??35??＋…＋??2n－112n＋1??????

＝1112?1－2n＋1?＝n2n＋1，又因為Tn＋1nn＋1－Tn＝2n＋32n＋1＝＋

＋

0，所以{T1n}單調(diào)遞增，故(Tn)min＝T13

而Tn＝

n2n＋1n2n121312n，Ta的最大值為1

nn∈[a，b]時3，b的最小值為12(b－a)＝111min236

5．解(1)把點(1,2)代入函數(shù)f(x)＝ax得a＝2，所以數(shù)列{an項和為Sn

n}的前n＝f(n)－1＝2－1.當n＝1時，ann－1n-1

1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2－2＝2，對n＝1時也適合．∴an-1

n＝2.(2)由a＝2，b＝log，所以an-1

naan+1得bn＝nnbn＝n·2.T01＋3·22＋…＋n·2n-1

n＝1·2＋2·2，①

2T12＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n

n＝1·2＋2·2②

由①－②得：－T0＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，所以T＝(n－1)2n

n＝2n＋1.6．解 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列和利用不等式知識解答恒成立問題等知識，考查運算求解

能力、推理論證能力，以及分類討論的數(shù)學思想．解答存在性問題的基本策略是先假設存在，然后結(jié)合已知條件展開證明．

(1)令p＝1，q＝n，則有an+1＝an＋a1，故an+1－an＝a1＝2，即數(shù)列{an}是以2為首項，2為公差的等

差數(shù)列，所以數(shù)列{a*

n}的通項公式為an＝2n(n∈N)．

(2)假設存在k(k∈N*)，使得b 2*

k、bk+

1、bk+2成等比數(shù)列，則bkbk＋2＝bk＋1(k∈N)．

因為bln a*

n＝n＝ln 2n(n∈N)，所以b＋

kbk+2＝ln 2k·ln 2(k＋2)< ??ln 2k＋

2＋

2?

2?2＝???

2??2＋?

＝

[ln 2(k＋1)]2＝b 2b2*

k＋1，這與bkbk+2＝k＋1矛盾．故不存在k(k∈N)，使得bk、bk+

1、bk＋2成等比數(shù)列．

(3)因為c111n＝a＝＝nan＋1＋41?n1n＋1??? ,所以S＝111n?111

14??1－2＋＋…＋nn＋1?＝

4???1－1n＋1???

＝n＋n為偶數(shù)時，若對任意的n∈N*，不等式tSn

n

t<＋＋n4???n＋9n＋10???，而4???n＋9n＋10???≥4???n·9?n＋10??＝64，當且僅當n＝9

n

n＝3時，等號成立，故t<64；

當n為奇數(shù)時，若對任意的n∈N*，不等式tSn

－＋n

＝4???n－9n8???，因為n－99nn的增大而增大，所以當n＝1時，n－n取得最小值－8，此時t需滿足t<－64.綜上知，實數(shù)t的取值范圍為(－∞，－64)。

7．(1)證明 假設存在一個實數(shù)λ，使{a2

n}是等比數(shù)列，則有a 2＝a1a3，即??2?3－3??2?＝λ??4?9－4?

??

?492－4λ＋9＝42

λ－4λ?9＝0，矛盾，所以{an}不是等比數(shù)列.(2)解 因為b＝(－1)n+1[an+1n＋1－3(n＋1)＋21] ＝(－1)??2

n＋1?3an－2n＋14???

＝－2n

23(－1)·(an－3n＋21)＝－3

n.又b*

1＝－(λ＋18)，所以當λ＝－18時，bn＝0(n∈N)，此時{bn}不是等比數(shù)列；

當λ≠－18時，b2bn＋12*

1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋13n.可知bn≠0，所以b＝－(n∈N).故當λ≠

n3－18時，數(shù)列{b2

n}是以－(λ＋18)為首項，－3為公比的等比數(shù)列.

第五篇：數(shù)列與不等式證明專題

數(shù)列與不等式證明專題

復習建議：

1．“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想．學習這部分知識，對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．

3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題．

4．數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解． 證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運用 例1．數(shù)列?a

2n?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)asin2n?

n?2,n?1,2,3,?.(Ⅰ)求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項公式；(Ⅱ)設ba2n?

1n?

a,Sn?b1?b2???bn.證明：當n?6S?2?1n2n

n.分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項的遞推關系，且要對n分奇偶性。

解:(Ⅰ)因為acos

2?

1?1,a2?2,所以a3?(1?2)a1?sin2

?

?a1?1?2,a4?(1?cos2?)a2?sin2??2a2?4.一般地，當n?2k?1(k?N*)時，a2

k?1)?2k?1?[1?cos

(22]a?sin22k?1

2k?12

? ＝a2k?1?1，即a2k?1?a2k?1?1.所以數(shù)列?a2k?1?是首項為

1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k?1?k.當n?2k(k?N*)時，a2k?2k?2?(1?cos

22)a2k?

2k?sin2

2?2a2k.所以數(shù)列?a2k?是首項為

2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k?2k.?故數(shù)列?a?n?1n?的通項公式為an??

2,n?2k?1(k?N*),?n?22,n?2k(k?N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ba2n?1n?a?n

12?3n2,Sn??23???n,①2n22222

12S12?23n

n?222?24???2

n?1② 1①-②得，1[1?(1)2]2S1111nn?2?22?23???2n?2n?1??n1n1?2n?1?1?2n?2n?1.2所以S1nn?2

n?2?2n?1?2n?2?2

n.要證明當n?6時，S1n(n?2)

n?2?n成立，只需證明當n?6時，2n

?1成立.證法一

(1)當n = 6時，6?(6?2)26?4864?

34?1成立.(2)假設當n?k(k?6)時不等式成立，即k(k?2)

k

?1.則當n=k+1時，(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?2k?1?2k?3)2k(k?2)?(k?1)(k?3)

(k?2)?2k

?1.由(1)、(2)所述，當n≥6時，n(n?1)2

2?1.即當n≥6時，Sn?2?

1n

.證法二令cn(n?2)n?

22(n?6)，則c(n?1)(n?3)n(n?2)3?n2

n?1?cn?2n?1?22?2

n?1?0.所以當n?6時，c6?8n?1?cn.因此當n?6時，cn?c6?64?

34?1.于是當n?6時，n(n?2)22?1.綜上所述，當n?6時，Sn

?2?1

n

.點評：本題奇偶分類要仔細，第（2）問證明時可采用分析法。

例題2.已知?為銳角，且tan??

2?1，函數(shù)f(x)?x2tan2??x?sin(2??

?

4)，數(shù)列{an}的首項a1?

2,an?1?f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達式；⑵ 求證：an?1?an；

⑶ 求證：

1?11?a?1???1?2(n?2,n?N*)11?a21?an

分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。

解：⑴tan2??

??2tan?2(?1)2

又∵?為銳角 ∴2?? ∴sin(2??)?1∴f(x)?x?x??1

441?tan2?1?(2?1)2

∴a2,a3,?an都大于0∴an?0∴an?1?an2

∴

則S?

1111121212111?(????)??(S?)S????? a22a2a3ana2an?13an?13a22an?1

⑵

an?1?an?an∵a1?

點評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

⑶

1an?1

?

1111

???2

an?anan(1?an)an1?an111

??1?ananan?1

例題4.已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿足0?a1?1,∴

111111111111

???????????????2?

an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:

1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1a1an?1an?1

∵a?(12)2?12?34, a?(34)2?3

234

?1 ,又∵n?2an?1?an∴an?1?a3?1

∴1?

2?

1a?2∴1?

1n1?a?1???1

?2

?1

11?a21?an

點評：把復雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。

例題3.已知數(shù)列?aa?

n?滿足a1?1,n?1?2an?1?n?N?

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列?b?1n?滿足4b1?14b24

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數(shù)列；

（Ⅲ）證明：

1?1a???1?2?n?N?a? 23an?13

分析：本例（1）通過把遞推關系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關鍵在于找出連續(xù)三項間的關系；第（3）問關鍵在如何放縮 解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)

故數(shù)列{an?1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。?ann?1?2n，an?2?1

（2）?4

b1?14

b2?14

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，?4

(b1?b2???bn?n)

?2nbn

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1

?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③?(n?1)bn?1?2?nbn?2④ ④—③得2nbn?1

?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

（3）?

1a?1111

2n?1?1?2n?1?2?

設S

?

1n2an?a?1???1，2a3an?1

（Ⅰ）0?a（Ⅱ）aa2nn?1?an?1;n?1?2;

（Ⅲ）若a1?2

則當n≥2時,bn?an?n!.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關的命題，可考慮用數(shù)學歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學歸納法證明0?an?1,n?N*.（1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設當n=k時,結(jié)論成立,即0?ak?1.則當n=k+1時,因為0

1x?1?xx?1

?0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在?0,1?上連續(xù),所以f(0)

?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,從而an?1?an.綜上可知0?an?1

?an?1.(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=

x2

x2x2

-f(x)=

?ln(1?x)?x, 0g(0)=0.因為0?aa2nn?1,所以g?an??0,即2?f?aa2

nn?>0,從而an?1?2

.(Ⅲ)因為

b12b1b

n?11?,n?1?2(n?1)bn,所以bn?0,n?1b?n,所以bba2nbn?1bnn?

b??2?b1

1?n?n!————①由(Ⅱ)an?1?,知:an?1?an,n?1bn?2b122an2

所以

ana?a3?na?a1a2?n?1 ,因為aa=

a2aa1?, n≥2, 0?an?1?an?1.1

1a2n?12222

a2?a2

所以

a1a2?an?1?aan

1<

n?

2221<2

n?12n

=

2n

————②由①② 兩式可知:

bn?an?n!.點評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導數(shù)的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意。

例題5.已知函數(shù)f(x)=5?2x

16?8x，設正項數(shù)列?an?滿足a1=l，an?1?f?an?．

(1)試比較a

5n與

4的大小，并說明理由；

(2)設數(shù)列?b5n

nn?滿足bn=4－an，記Sn=?bi．證明：當n≥2時,Sn＜(2－1)．

i?

14分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1)a2ann?1

?

5?16?8a，因為a所以a7

31?1,2?,a3?4

.（2）因為an?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.n8a55?2a48(a55

n5n?n?1?)3an?554?16?8a?4?32(2?a??,因為2?an?0,所以an?1?與a?同號，nn)22?an

4n

4因為a51?4??14?0，a5555

2?4?0,a3?4?0,?，an?4?0,即an?4

.（3）當n?2時，b531n?4?an?2?2?a?(5?a31

31n?1)???bn?1???bn?1?2bn?1，n?1422?an?122?5

所以bn

?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b31?2n?，13?n

(1?2n)

所以Sn?b1?b2???bn?

4?12???????1?

?2??

?1?2?1

(2n?1)

點評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。

例題6.已知數(shù)列?a*

n?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)?n?N?

．

（1）求a2,a3,a4；（2）求數(shù)列?an?的通項an；（3）設數(shù)列{b1n}滿足b1?

2,b12

n?1?abn?bn，求證：bn?1(n?k)k

分析：條件中有類似于前n項和的形式出現(xiàn)，提示我們應該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)

解：（1）a2?2,a3?3,a4?4（2）nan?1?2(a1?a2?...?an)①

(n?1)an?2(a1?a2?...?an?1)②①—②得nan?1?(n?1)an?2an

即：nan?1

?(n?1)a?1n?1aa3ann，ana?所以aa223n

n?1a...?1...1

?n(n?2)

nna12an?112n?所以a*n

?n(n?N)

（3）由（2）得：b1

?12,b12

n?1?k

bn?bn?bn?bn?1?...?b1?0，所以{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：bn?1(n?k)只需證bk?1

若k

?1，則b12?1顯然成立;若k?2，則b?1211?

n?1kbn?bn?k

bnbn?1?bn 所以

1b?1??1,因此：1?(1?1)?...?(1?1)?1??k?1?2?

k?1

n?1bnkbkbkbk?1b2b1b1kk所以bk

?

k

k?1

?1,所以bn?1(n?k)點評：與數(shù)列相關的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關鍵，本題中

1b?(1?1)?...?(1?1)?1,這種拆分方法是數(shù)學中較高要求的變形.kbkbk?1b2b1b1

例題7.已知不等式

12?13???1n?1

[log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)。設數(shù)列?a1

n?的各項為正且滿足a1?b(b?0),anan?n?

n?a(n?2,3,4?)，證明：

n?1

an?

2b

2?b[log，n?3,4,5?

2n]

分析：由條件an?111111n

?

nan?a得：

n?1

a??1

?nan?1n

a??n(n?2)

nan?1

11a?

?

1n?1

an?2

n?1

??

a?1?1以上各式兩邊分別相加得： 2a121a?1?1?1???1?1?1?1?1???1

?1?1[log2n](n?3)na1nn?12anbnn?12

b2

=

2?b[log2n]2b? a2b

n?2?b[logn]

(n?3)

2本題由題設條件直接進行放縮，然后求和，命題即得以證明。

例題8.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn?2an?(?1)n，n?1（1）寫出數(shù)列{an}的前三項a1，a2，a5；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

（3）證明：對任意的整數(shù)m?4，有1117

a?????

4a5am8

分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：an

?Sn?Sn?1?2an?(?1)n?2an?1?(?1)n?1（n>1）

化簡得：an?1anan?1anan?1n

?2an?1?2(?1)

(?1)n??2(?1)n?1?2,(?1)n?23??2[(?1)

n?1

?2

3] 故數(shù)列{

an2(?1)n?3}是以?a1?23為首項, 公比為?2的等比數(shù)列.故an21

(?1)

n

?3?(?3)(?2)n?1∴a?23[2n?2?(?1)n]∴數(shù)列{a2

n

n}的通項公式為：an?3

[2n?2?(?1)n].⑶觀察要證的不等式，左邊很復雜，先要設法對左邊的項進行適當?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=

1a?1a???1?3[111

22?1?23?1???2m?2?(?1)

m]，如果我們把上式中的分母中的?1去掉，就可利45am2用等比數(shù)列的前n項公式求和，由于-1與1交錯出現(xiàn)，容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮，嘗試知：

11111

22?1?123?1?122?1

23，23?1?24?1?23?24，因此，可將

?1

保留，再將后面的項兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對m進行分類討論，（1）當m為偶數(shù)(m?4)時，1a?1???1a?1?(1?1)???(1?1)?1?3(1113?4???m?2)4a5ma4a5a6am?1am

22222

?

13112?2?4(1?137

m?4)?2?8?8（2）當m是奇數(shù)(m?4)時，m?1為偶數(shù)，1a?1???1?1?1a?1???1?1?7 4a5ama45a6amam?18

所以對任意整數(shù)m?4，有

a?a???

?7。本題的關鍵是并項后進行適當?shù)姆趴s。45am8

例題9.定義數(shù)列如下：a2

?1?2,an?1?an?an?1,n?N

證明：（1）對于n?N?

恒有a?

n?1?an成立。（2）當n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。（3）1?

112a?12006

?

a???1

?1。12a2006

分析：（1）用數(shù)學歸納法易證。

（2）由a2

n?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)

?an?1?an?1(an?1?1)??a2?1?a1(a1?1)

以上各式兩邊分別相乘得：an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2

?an?1?anan?1?a2a1?1

（3）要證不等式1?

11122006

?

a????1?1，可先設法求和：1?1???，1a2a2006a1a2a2006

再進行適當?shù)姆趴s。?a111n?1?1?an(an?1)?

aa?a?1?1?

a n?1?1

?

n?1nanan?1n?1?1

?

1111a?????(?1)?(1?1)???(1?1)1a2a2006a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?1?

1a1?a?1?

?11?2007?1

aa 12?a2006又a?a2006

1a2?a20061

?22006?1?

1a?1?1

2006?原不等式得證。

1a2?a20062

點評：本題的關鍵是根據(jù)題設條件裂項求和。