第一篇：高中《數列》專題復習題

《數列》專題復習題

1．等差數列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項和Sn=100，則n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)1

22．等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2?2,S4?10,則S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知數列的通項an??5n?2，則其前n項和Sn?．

4．數列{an}的前n項和為Sn，若an?

56161，則S5等于（）n(n?1)1 30A．1B．C．D．

5．設{an}為公比q>1的等比數列，若a2004和a2005是方程4x2?8x?3?0的兩根，則 a2006?a2007?__________.6．設等差數列?an?的公差d不為0，a1?9d．若ak是a1與a2k的等比中項，則k?（）

Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

7.在數列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．（Ⅰ）證明數列?an?n?是等比數列；

（Ⅱ）求數列?an?的前n項和Sn；

8.已知實數列{an}是等比數列,其中a7?1,且a4,a5?1,a6成等差數列.(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;

(Ⅱ)數列{an}的前n項和記為Sn,證明: Sn＜128(n?1,2,3,…).9．設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構成等差數列．

（1）求數列{an}的等差數列．

（2）令bn?lna3n?1，n?1，求數列{bn}的前n項和T． 2，?，10．設{an}是等差數列，{bn}是各項都為正數的等比數列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?1

3（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數列??an??的前n項和S?bn．

n?

11．數列?an?的前n項和為Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*)．（Ⅰ）求數列?an?的通項an；（Ⅱ）求數列?nan?的前n項和Tn．答案：

B，C，?n(5n?1)2，B，-18，B

7.（Ⅰ）證明：由題設an?1?4an?3n?1，得

an?1?(n?1)?4(an?n)，n?N*．

又a1?1?1，所以數列?an?n?是首項為1，且公比為4的等比數列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a?1n?n?4n，于是數列?an?的通項公式為

an?

1?n．所以數列?a項和S4n?1n?

4n?的前nn?3?n(n?1)

．（Ⅲ）證明：對任意的n?N*，S4n?1?1(n?1)(n?2)

?4n?1n(n?1)?n?1?4Sn?3?2?4??3?2?? ??1

(3n2?n?4)≤0．

所以不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N*皆成立． 8.解：（Ⅰ）設等比數列?an?的公比為q(q?R)，由a647?a1q?1，得a1?q?6，從而a4?a1q3?q?3，a5?a1q?q?2，a56?a1q?q?1． 因為a4，a5?1，a6成等差數列，所以a4?a6?2(a5?1)，即q?3?q?1?2(q?2?1)，q?1(q?2?1)?2(q?2?1)．

?1

所以q?1．故aa?16?qn?1?64?1?n2n?1qn?q???2??

．

??1?n64?1??

???（Ⅱ）San1(1?q)1?q????2?????1?n?n??128?1?1????2

??128．

??2????a?a9．

解：（1）由已知得12?a3?7，:???(a1?3)?(a3?4)

解得a2?2． ?2

?3a2.設數列{a}的公比為q，由a，可得a2

n2?21?q，a3?2q．

又S3?7，可知2?2?2q?7，即2q2?5q?2?0，解得q1q1?2，q2?2

．

由題意得q?1，?q?2．?a1?1．故數列{an}的通項為an?2n?1．（2）由于bn?lna3n?1，n?1，2，?，由（1）得a3n?1?23n?bnn?ln23?3nln2又bn?1?bn?3ln2n?{bn}是等差數列．?Tn?b1?b2???bn

?

n(b1?bn)

?

n(3ln2?3ln2)?3n(n?1)2ln2.故T3n(n?1)

n?

ln2．

4??1?2d?q?21，10．解：（Ⅰ）設?an?的公差為d，則依題意有q?0且? ?bn?的公比為q，2

??1?4d?q?13，解得d?2，q?2．所以a1n?1?(n?1)d?2n?1，bn?qn??2n?1．（Ⅱ）

anb?2n?1

n?1． nS352n?1?

21?22???n?32n?2?2n?12

n?1，① 2S2?3?52n?32???2n?1

n?2n?3?2

n?2，②

②－①得S?2?2222n2??1

n?222???2n?2?2

n?1，?2?2???1?2?1?12?1

???n?122n?2???2n?1

1?

?2?2?n?1?2n?12n?31?12n?1?6?2n?1． 2

11．解：（Ⅰ）?aSn?1

n?1?2Sn，?Sn?1?Sn?2Sn，?S?3． n

又?S1?a1?1，?數列?Sn?是首項為1，公比為3的等比數列，Sn?1n?3(n?N*)．

當n≥2時，an?2Sn?1?2?3n?2(n≥2)，?a?1，n?1，n?????

3n?2，n≥2．（Ⅱ）Tn?a1?2a2?3a3???nan，當n?1時，T1?1；

當n≥2時，Tn?1?4?30?6?31???2n?3n?2，…………①

3T1n?3?4?31?6?32???2n?3n?，………………………②

①?②得：?2Tn??2?4?2(31?32???3n?2)?2n?3n?1

?23(1?3n?2?2)

?2n?3n?11?3

??1?(1?2n)?3n?1．

?T12??n?

??n?1?

2??

3n?1(n≥2)． 又?T1?a1?1也滿足上式，?T1????n?1?

n?

2??

3n?1(n?N*2)．

數列單元復習題

（一）答案

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)

1．C2．A3．D4．B5．C6．C7．A8．B9．B10．B

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

11．－9

112．－113．－11014．515．616．9

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）在等差數列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通項an；(2)求此數列前30項的絕對值的和.考查等差數列的通項及求和.【解】（1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3 ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.(2)由an≤0，則3n－63≤0?n≤21，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)

＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27（3＋60）（3＋27）

2×20＋2 ×9＝765.18．（本小題滿分14分）在等差數列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求數列前多少項和最大.考查等差數列的前n項和公式的應用.【解】 ∵S＋9×（9－1）17×（17－1）

9＝S17，a1＝25，∴9×252 d＝17×25＋2d

解得d＝－2，∴S25n＋n（n－1）

2(－2)＝－(n－13)2

n＝＋169.由二次函數性質，故前13項和最大.注：本題還有多種解法.這里僅再列一種.由d＝－2，數列an為遞減數列.an＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5 ∴數列前13項和最大.19．（本小題滿分14分）數列通項公式為an＝n2－5n＋4，問

（1）數列中有多少項是負數？（2）n為何值時，an有最小值？并求出最小值.考查數列通項及二次函數性質.【解】（1）由an為負數，得n2－5n＋4<0，解得1

5n＝n2－5n＋42)2－4，∴對稱軸為n＝2

＝2.5

又∵n∈N*，故當n＝2或n＝3時，an有最小值，最小值為22－5×2＋4＝－2.20．（本小題滿分15分）甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙每分鐘走5 m.(1)甲、乙開始運動后，幾分鐘相遇；（2）如果甲、乙到達對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？ 考查等差數列求和及分析解決問題的能力.【解】（1）設n分鐘后第1次相遇，依題意得2n＋n（n－1）

2＋5n＝70

整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）∴第1次相遇在開始運動后7分鐘.（2）設n分鐘后第2次相遇，依題意有：2n＋n（n－1）＋5n＝3×70

整理得：n2

＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）第2次相遇在開始運動后15分鐘.21．（本小題滿分15分）已知數列{a的前n項和為S1

n}n，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2.證：{1

S}是等差數列；（2）求an表達式；

n

（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求證：b22＋b32＋…＋bn2<1.考查數列求和及分析解決問題的能力.【解】（1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)S1111

n≠0，∴Sn－Sn－1 ＝2，又S1 ＝a1 ＝2

∴{1

Sn }是以2為首項，公差為2的等差數列.（2）由（11S ＝2＋(n－1)2＝2n，∴S1

n＝n2n

當n≥2時，a1

n＝Sn－Sn－1＝－2n(n－1)

?1

?（n＝n＝1時，a1

21）1＝S1＝2，∴an＝ ?

－1 2n(n－1)

（n≥2）(3)由（2）知b＝1

n＝2(1－n)ann

∴b2＋b2

11111123＋…＋bn22 ＋3＋…＋n 1×2 ＋2×3＋…＋(n－1)n

＝(1111111

2)＋2－3)＋…＋(n－1 －n)＝1－n <1.(1)求

第二篇：高中《數列》專題復習題

《數列》專題復習題

1．等差數列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項和Sn=100，則n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)12

2．等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2?2,S4?10,則S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知數列的通項an??5n?2，則其前n項和Sn?．

4．數列{an}的前n項和為Sn，若an?

A．1B．1，則S5等于（）n(n?1)56 C．16 D．1 30

5．設{an}為公比q>1的等比數列，若a2004和a2005是方程4x2?8x?3?0的兩根，則a2006?a2007?__________.6．設等差數列?an?的公差d不為0，a1?9d．若ak是a1與a2k的等比中項，則k?（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

*7.在數列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N．

（Ⅰ）證明數列?an?n?是等比數列；

（Ⅱ）求數列?an?的前n項和Sn；

（Ⅲ）證明不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N皆成立．

8.已知實數列{an}是等比數列,其中a7?1,且a4,a5?1,a6成等差數列.(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;

(Ⅱ)數列{an}的前n項和記為Sn,證明: Sn＜128(n?1,2,3,…).*

3a2，a3?4構成等差數列． 9．設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，（1）求數列{an}的等差數列．，2，?，（2）令bn?lna3n?1，n?1求數列{bn}的前n項和T．

10．設{an}是等差數列，{bn}是各項都為正數的等比數列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數列??an??的前n項和Sn． b?n?

*11．數列?an?的前n項和為Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N)．

（Ⅰ）求數列?an?的通項an；（Ⅱ）求數列?nan?的前n項和Tn．

第三篇：高中經典數列習題

4.在等比數列{an}中，已知Sn=3n+b，則b的值為_______．

6.數列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首項為

1、公比為1的等比數列，3則an等于。

3.在等比數列{an}中，已知n∈N*，且a1+a2+…+an=2n－1，那么a12+a22+…+an2等于。

8.已知關于x的二次方程anx2?an?1x?1?0(n?N?)的兩根?,?滿足

6??2???6??3，且a1?1

（1）試用an表示an?1（2）求證：{an?是等比數列

（3）求數列的通項公式an（4）求數列{an}的前n項和Sn

11.已知數列?log2xn?是公差為1 的等差數列，數列?xn?的前100項的和等于100，求數列23?xn?的前200項的和。

12.設數列{an}的前n項和為Sn，其中an?0，a1為常數，且?a1、Sn、an?1成等差數列．

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）設bn?1?Sn，問：是否存在a1，使數列{bn}為等比數列？若存在，求出a1的值； 若不存在，請說明理由．

5.已知函數f(x)?cosx,x?(?

2,3?)，若方程f(x)?a有三個不同的根，且從小到大依次

331,an?2?an?1?an(n?N*).222成等比數列，則a=。7．數列{an}滿足：a1?1,a2?

（1）記dn?an?1?an，求證：{dn}是等比數列；

（2）求數列{an}的通項公式；

（3）令bn?3n?2，求數列{an?bn}的前n項和Sn。

第四篇：高中數列精選(二)

高中數列精練

（二）例1在數列{an}中，a1=2,an+1=an+ln(1?),則an=

A．2+lnnB．2+(n-1)lnnC．2+nlnnD．1+n+lnn 例2在數列{an}中，a1=1,an+1=(1n ? n?)a

（1）設bn?1nan，求數列{an}的通項公式； n1nn?12

（2）求數列{an}的前n項和。

例3已知數列{an}，滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項an=_____ 例4設數列{an}的前n項的和sn,已知a1?1,sn?1?4an?2

（1）設bn?an?1?2an，證明數列{bn}是等比數列；

（2）求數列{an}的通項公式。

例5設數列{an}的前n項的和 s n ?a n ?? 2 n ? 1 ? , n? 1 , 2 ,3...求首項a1與通項an。

例6已知數列{an}滿足a1=1,a2=3，an?2?3an?1?2an（n?N?）。

（1）證明：數列?an?2?an?是等比數列；

（2）求數列{an}的通項公式； 431323

?1?例7已知數列{an}的前項和Sn=-an-???2?n?1n+2（n為正整數），令bn=2an，求證數列

{bn}是等差數列，并求數列{an}的通項公式

例8 設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=a,an?1=Sn+3n（n?N?）,（Ⅰ）設bn=sn-3n，求數列{bn}的通項公式；

（Ⅱ）若an?1≥an（n?N?），求a的取值范圍。

例9.已知數列{an}中，a1=1，點?n,2an?1?an?在直線y?x上，其中n?1,2,3? 2

（Ⅰ）令bn?an?1?an?3，求證數列{bn}是等比數列；

（Ⅱ）求數列{an}的通項。

例10已知數列{an}的各項都是正數，且滿足：a0?1,an?1?

求數列的{an}通項公式an 1an(4?an),n?N.2

例11已知a1?2，點?an,an?1?在函數f?x??x?2x的圖像上，其中n?1,2,3?證明數2

列l(wèi)g?1?an?是等比數列

例12已知數列?an?滿足：a1?

求數列?an?的通項公式； ??3nan?13,且an?(n?2,n?N*)22an?1?n?1

第五篇：高中數列總訓練

數列練習2，2，3，?）1．數列?an?中，a1?2，an?1?an?cn（c是常數，n?1，且a1，a2，a3成公比不為1的等比數列．

（I）求c的值；（II）求?an?的通項公式．

2．已知等差數列?an?的前n項和為Sn?pn2?2a?q(p,q?R),n?N

（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若a1與a5的等差中項為18，bn滿足an?2log2bn，求數列的{bn}前n項和.3．已知數列?an?滿足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).（I）證明：數列?an?1?an?是等比數列；（II）求數列?an?的通項公式；（III）若數列?bn?滿足4b1?14b2?1...4bn?1?(an?1)bn(n?N*),證明?bn?是等差數列。

4．設數列{an}的前n項和為Sn，點(n,Sn)(n?N?)均在函數y＝3x－2的圖像上。（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn?m3，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn?對所有n?N?都成立的最小正整數m。20anan?1

25． 已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1）證明數列｛lg(1+an)｝是等比數

列；（2）設Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數列｛an｝的通項；

（3）記bn=112，求｛bn｝數列的前項和Sn，并證明Sn+=1.?anan?23Tn?11、點（n、2an?1?an）在直線y=x上，其中n=1,2,3….26．已知數列｛an｝中，a1?

(Ⅰ)令bn?an?1?an?3,求證數列(Ⅱ)求數列?an? ?bn?是等比數列；的通項；

(Ⅲ)設Sn、Tn分別為數列?an??bn?的前n項和,是否存在實數?，使得數列?、在，試求出?.若不存在,則說明理由。

7．數列?an?的前n項和記為Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1?（Ⅰ）求?an?的通項公式；（Ⅱ）等差數列?bn?的各項為正，其前n項和為Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比數列，求Tn

8．設數列?an?滿足a1?3a2?3a3?…?32n?1?Sn??Tn??為等差數列？若存n??an?nn*，a?N．（Ⅰ）求數列?an?的通項；（Ⅱ）設bn?，3an求數列?bn?的前n項和Sn．

9．某國采用養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數目為a1，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲務金數目a1，a2，…是一個公差為d的等差數列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利.這就是說，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n

n－1n－2年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1（1＋r），第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2（1＋r），……，以Tn

表示到第n年末所累計的儲備金總額.（Ⅰ）寫出Tn與Tn－1（n≥2）的遞推關系式；

（Ⅱ）求證：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一個等比數列，｛Bn｝是一個等差數列