第一篇：解析法在幾何中的應(yīng)用 -

大慶師范學(xué)院物電學(xué)院課程論文

解析法在幾何中的應(yīng)用

姓名： 周瑞勇

學(xué)號： 20100107146

5專業(yè)： 物理學(xué)

指導(dǎo)教師： 何巍巍

解析法在幾何的應(yīng)用

周瑞勇

大慶師范學(xué)院物理與電氣信息工程學(xué)院

摘要：通過分析幾何問題中的各要素之間的關(guān)系，用最簡練的語言或形式化的符號來表達他們的關(guān)系，得出解決問題所需的表達式，然后設(shè)計程序求解問題的方法稱為解析法。關(guān)鍵詞：幾何問題，表達關(guān)系，表達式，求解問題

一前 言

幾何學(xué)的歷史深遠悠久，歐幾里得總結(jié)前人的成果，所著的《幾何原本》。一直是幾何學(xué)的堅固基石，至今我國中學(xué)教學(xué)的幾何課本仍未脫離他的衣缽。長期的教學(xué)實踐證明，采用歐式體系學(xué)習(xí)幾何是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的行之有效的方法。

但是，事物都有兩重性。實踐同樣證明，過多強調(diào)它的作為也是不適當?shù)?。初等幾何的?gòu)思之難，使人們?yōu)榇瞬恢馁M了多少精力，往往為尋求一條神奇、奧秘的輔助線而冥思苦索。開辟新的途徑，已是勢在必行。近些年來，用解析法、向量法、復(fù)數(shù)法、三角法證明幾何問題，受到越來越多的數(shù)學(xué)工作者的重視。

由于平面幾何的內(nèi)容，只研究直線和園的問題，所以我們完全可以用解析法來研究幾何問題。解析法不僅具有幾何的直觀性，而且也還有證明方法的一般性。綜合幾何敘述較簡，但構(gòu)思困難，而解析法思路清晰，過程簡捷，可以作為證明幾何問題中一種輔助方法，兩者課去唱補短，想得益彰。

二解析法概述

幾何數(shù)學(xué)主要是從幾何圖形這個側(cè)面去研究客觀事物的，其基本元素是點，代數(shù)學(xué)則主要是從數(shù)量關(guān)系這個側(cè)面來研究客觀事物，其基本元素是數(shù)。笛卡爾綜合了前人的成果，創(chuàng)立了坐標概念，把代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)結(jié)合起來，于是產(chǎn)生了以研究點的位置和一對有序?qū)崝?shù)的關(guān)系、方程和曲線以及有研究連續(xù)運動而產(chǎn)生的一般的變量概念為主要內(nèi)容的新的數(shù)學(xué)分支——解析幾何學(xué)。

平面幾何是研究平面圖形性質(zhì)的科學(xué)。組成平面圖形的元素是點、線（包括曲線）。平面解析幾何采用了坐標系，用代數(shù)方法來研究平面幾何圖形。所以。平面幾何和平面解析幾何是緊密聯(lián)系的。我們通過坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為用代數(shù)的方法來論證。這種方法稱為解析法。

三用解析法的幾何證明

證線段的相等：用解析法證線段相等，首先求出有觀點的坐標，運用兩點間距離公式。此外還可以利用點到直線的距離公式，直線內(nèi)分線段比公式（證其比值為1），以及利用中心對稱或軸對稱的點的坐標來證明。

證角的相等：利用直線斜率的定義，分別求出夾這兩個角的邊的斜率，利用兩條直線夾角公式得到這兩個角的正切值相等，在判定這個角是在某一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)則它們相等。

證兩直線平行或垂直：先求出有關(guān)點的坐標，證這兩條直線的斜率相等；若斜率不存在時，證這兩直線于y抽平行；若有一條直線重合于坐標軸，證另一條直線有兩點縱坐標或橫坐標相等。

證不等問題：用兩點間距離公式，兩條直線夾角公式把它轉(zhuǎn)化為證明不等式問題，從而運用不等式的性質(zhì)來證明。

證點共線或線共點：建立經(jīng)過任意兩點的直線方程，然后驗證其余點都適合這個方程；或運用兩點之間距離公式或直線內(nèi)外分段成比例公式證其滿足梅氏定理的逆定理。

證點共圓或園共點：求出有關(guān)各點，利用兩點間距離公式證諸點到某一點的距離相等；或先建立經(jīng)過三點的園的方程，然后證其余點適合圓的方程。

證比例式或等積式：運用兩點間距離公式求出線段的長度，再證它們的比相等或求出它們的乘積加以比較。

證定值問題：先寫出固定點的坐標系建立有關(guān)的固定直線（或圓）的方程，并運用兩點距離公式和兩直線夾角公式，求出欲證的線段（定長）或直線（定向、定位）與固定圖形的元素加以比較，從而說明是定值。

四解析法的幾何計算

長度計算：適當建立坐標系求出有關(guān)點的坐標以后，常運用兩點間公式、點到直線的距離、切線長公式；在求兩線段的比時常運用直線內(nèi)外分線段比公式。

角度的計算：求出用有關(guān)點的坐標，利用斜率定義、兩條直線夾角公式得到欲求角度的正切值，再利用正切函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性求出角的度數(shù)。

面積的計算：運用有三點坐標做確定的上三角形的面積公式及四點坐標所確定的四邊形面積公式。

五結(jié)論

我們可以運用解析法，同時要善于使用平面直角坐標系、極坐標系、斜坐標系、空間直角坐標系中的有關(guān)公式和方程來解決解決問題。

參考文獻：

[1]陳德華.例談解析法誘導(dǎo)綜合法解初等幾何題.蒙自師范高等專科學(xué)校學(xué)報.編輯部郵箱 2002年 04期.[2] 孟利忠.強化解析法在立體幾何中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)通訊, 2001,(13).[3] 劉翠英.關(guān)于高等幾何對初等幾何教學(xué)指導(dǎo)的幾個問題 [J].高等函授學(xué)報(自然科學(xué)版), 2006,(04)

第二篇：空間向量在幾何中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

一.平行問題

（一）證明兩直線平行

A,B?a;C,D?b,???a|| b

????????若知AB?(x1,y1),CD?(x2,y2),則有x1y2?x2y1?a||b

方法思路：在兩直線上分別取不同的兩點，得到兩向量，轉(zhuǎn)化為證明兩向量平行。

(二)證明線面平行

???????????線 a?面?,A,B?a,面? 的法向 n，若AB?n?0?AB?n?AB ??.方法思路：求面的法向量，在直線找不同兩點得一

向量，證明這一向量與法向量垂直(即證

明數(shù)量積為0)，則可得線面平行。

(三)面面平行

不重合的兩平面? 與? 的法向量分別是 ?????? m 和 n，m??n??||?

方法思路：求兩平面的法向量，轉(zhuǎn)化為證明

兩法向量平行,則兩平面平行。

二.垂直問題

(一)證明兩直線垂直

????不重合的直線 a 和直線 b 的方向向量分別為 a 和 b，則有a?b?0?a?b

方法思路：找兩直線的方向向量(分別在兩直線上各取兩點得兩向量)，證明兩向量的數(shù)量積為0,則可證兩直線垂直。

(二)證明線面垂直 ?????? 直線 l的方向向量為 a，e1,e2是平面? 的一組基底（不共線的向量）, ???????則有 a?e1?0且a?e2?0?a??

方法思路：證明直線的方向向量(在兩直線上取兩點得一向量)與

平面內(nèi)兩不共線向量的數(shù)量積都為0（即都垂直），則可證線面垂直。

(三)證明面面垂直 ???不重合的平面? 和? 的法向量分別為m 和 n，???則有 m?n?0????

方法思路：找兩平面的法向量，只需證明兩向量

數(shù)量積為為0,則可證明兩平面垂直。

三.處理角的問題

(一)求異面所成的角

a,b是兩異面直線,A,B?a,C,D?b,????????a,b所成的角為?,則有cos??|cos?AB,CD?| ????????AB?CD?|AB|?|CD|

方法思路：找兩異面直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題,套公式。

(但要理解異面直線所成的角與向量的夾角相等或互補)。

(二)求線面角

??設(shè)平面? 的斜線 l 與面?所成的角為?，若A,B?l,m是面?的法向量，???????m?AB 則有sin??.mAB

方法思路：找直線的方向向量與平面的法向量，轉(zhuǎn)化為

向量的夾角問題,再套公式。(注意線面角與兩

向量所在直線夾角互余）

(三)求二面角

???方法1.設(shè)二面角??l?? 的大小為 ?，若面?，? 的法向量分別為 m 與 n.????m?n?(1)若二面角為銳二面角，即??(0,)則有cos??.2mn

(2)若二面角為鈍二面角，即??(,?)2???? m?n則有cos???.mn

?

四.處理距離問題

(一)點到面的距離d ??????任取一點Q?? 得 PQ, m是平面? 的法向量，則有：點P到???????????????? PQ?m面? 的距離d=PQ?cos??(向量PQ在法向量m 的投影的長度)|m|

(二)求兩異面直線的距離d

知a,b是兩異面直線，A,B?a,C,D?b，???找一向量與兩異面直線都垂直的向量m，???????????AC?m則兩異面直線的距離 d?AC?cos?＝|m|

方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的???向量m,然后分別在兩異面直線上各任取一點A,C,則其距 ??????????????AC?m離 d 就是AB在向量m上的投影的長度,距離d?|m|

????Ps：向量 m 與異面直線a、b 都垂直，可用方程組求出 m 的坐標.五.如何建立適當?shù)淖鴺讼?/p>

1.有公共頂點的不共面的三線兩兩互相垂直

例如正方體、長方體、底面是矩形的直棱柱、底面是直角三角形且過直角頂點的側(cè)棱垂直于底面的三棱錐等等。

2.有一側(cè)棱垂直底面

OC?底面OAB

（）1?OAB是等邊三角形

（2）?OAB是以O(shè)B為斜邊的直角三角形

(1)(2)

(3)PA?底面ABCD，且四邊形ABCD是菱形

(4)PA?底面ABCD，且四邊形ABCD是?ABC＝60?的菱形

(3)

3.有一側(cè)面垂直于底面

(4)

(1)在三棱錐S－ABC中,?ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC?底面ABC,且SA?SC?(2)四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PCD是邊長為 2 的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是?ADC?60?的菱形

.(1)(2)

兩平面垂直的性質(zhì)定理:若兩面垂直,則在其中一面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一平面,轉(zhuǎn)化為有一線垂直于底面的問題.4.直棱柱的底面是菱形正四棱錐正三棱錐

第三篇：淺談向量在幾何中的應(yīng)用

淺談向量在幾何中的應(yīng)用

寧陽四中 271400 呂厚杰

解決立體幾何問題“平移是手段，垂直是關(guān)鍵”，空間向量的方法是使用向量的代數(shù)方法去解決立體幾何問題。兩向量共線易解決平行，兩向量的數(shù)量積則易解決垂直、兩向量所成的角、線段的長度問題。合理地運用向量解決立體幾何問題，在很大程度上避開了思維的高強度轉(zhuǎn)換，避開了添加輔助線，代之以向量計算，使立體幾何問題變得思路順暢、運算簡單。

1.證平行、證垂直

具體方法利用共線向量基本定理證明向量平行，再證線線、線面平行是證明平行問題的常用手段，由共面向量基本定理先證直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩向量共面，再證方向向量上存在一點不屬于平面，從而得到線面平行。證明線線、線面垂直則可通過向量垂直來實現(xiàn)。

例1 如圖1，E、F分別為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點，證明AD、EF、BC平行于同一平面。

圖1 證明：又

所以，且即

可知，與 共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則ΔABC是___________。分析：顯見：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC為直角三角形。

2.求角、求距離

如果要想解決線面角、二面角以及距離問題就要增加平面法向量的知識。定義：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）異面直線所成的角α，利用它們所對應(yīng)的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ問題，但，所以

（2）直線與平面所成的角，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余角（或補角的余角）。如圖2：。

圖

2（3）求二面角，轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角或夾角的補角，顯見上述求法都避開了找角的繁瑣，直接計算就可以了。

求點面距離，轉(zhuǎn)化為此點與面內(nèi)一點連線對應(yīng)向量在法向量上投影的絕對值。例3.（2005年高考題）如圖3，已知長方體ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F(xiàn)為A1B1的中點。（1）求異面直線AE與BF所成的角。

（2）求平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小。（3）求點A到平面BDF的距離。

圖

3解：在長方體ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系如圖3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，1），因為直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因為E（，0），D（0，（1）因為

所以

即異面直線AE、BF所成的角為

（2）易知平面AA1B的一個法向量m＝（0，1，0），設(shè)n＝（x，y，z）是平面BDF的一個法向量，由

所以取

所以

（3）點A到平面BDF的距離即

在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值。

所以

例4.如圖4，已知正四棱錐R�ABCD的底面邊長為4，高為6，點P是高的中點，點Q是側(cè)面RBC的重心。求直線PQ與底面ABCD所成的角。

圖

4解：以O(shè)為原點，以O(shè)R所在直線為z軸，以過O與AB垂直的直線為x軸，與AB平行的直線為y軸建立空間直角坐標系。

因為底面邊長為6，高為4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一個法向量為n＝（0，0，1），設(shè)PQ與底面ABCD所成的角為α，則。

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)了學(xué)生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力。目的是將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計算，用數(shù)的規(guī)范性代替形的直觀性、可操作性強，解決問題的方法具有普遍性，大大降低了立體幾何對空間想象能力要求的難度。

第四篇：幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

正安縣楊興中學(xué)：秦月

【摘要】在信息技術(shù)突飛猛進的今天，傳統(tǒng)的教學(xué)方式已不能適應(yīng)現(xiàn)代教育教學(xué)的要求。尤其是在數(shù)學(xué)教學(xué)這樣一個比較抽象的學(xué)科教學(xué)中顯得尤為突出，那么如何利用現(xiàn)代信息技術(shù)為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)呢！幾何畫板是當今數(shù)學(xué)教師運用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個方面作介紹幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用：幾何畫板在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用、在軸對稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用、在求解實際問題中的簡單應(yīng)用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板 函數(shù) 參數(shù) 動點

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進行教學(xué)。直到今天，尤其是在我們落后鄉(xiāng)村學(xué)校，由于各種各樣的原因，這種教學(xué)方式依然主宰當前的數(shù)學(xué)課堂，顯然這種方式已經(jīng)不能適應(yīng)當前的教育發(fā)展大趨勢，如何改變這種現(xiàn)況，那就得借助現(xiàn)代信息技術(shù)，找一個適合數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺?？v觀現(xiàn)在常用的軟件，幾何畫板具有操作簡單、功能強大的特點，是廣大數(shù)學(xué)教師進行現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教學(xué)理想工具。在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)中已發(fā)揮著越來越重要的作用。

幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系，便于學(xué)生自行動手在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)其不變的幾何規(guī)律，從而打破傳統(tǒng)純理論數(shù)學(xué)教學(xué)的局面，成為提倡數(shù)學(xué)實驗，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的新新工具。把它和數(shù)學(xué)教學(xué)進行有機地整合，能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)營造一種動態(tài)的有規(guī)律的數(shù)學(xué)教學(xué)新環(huán)境。

一、在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

在幾何畫板中，可以新建參數(shù)（即變量），然后在函數(shù)中進行引用并繪制函數(shù)圖像，通過改變參數(shù)的值來觀察函數(shù)圖像的變化，這在傳統(tǒng)教學(xué)中無法辦到。

如在講解一次函數(shù)y=kx+b的圖像一節(jié)中，如何向?qū)W生說明函數(shù)圖像與參數(shù)“K”、“b”的相互關(guān)系一直是傳統(tǒng)教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生難以理解，教師也難以用語言文字表達清楚；在作圖時，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫出多個不同的函數(shù)圖像，再進行觀察比較。整個過程十分繁瑣，且費時費力。教師和學(xué)生的主要精力放在了重復(fù)的計算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結(jié)論上。整個過程顯得不夠直觀，重點不突出，學(xué)生理解起來也很難。然而在幾何畫板中，只需改變參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)圖像便可一目了然。如圖：

通過不斷改變參數(shù)“k”、“b”的值，從而得到不同的函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)圖像變化的規(guī)律。

①當k>0時，函數(shù)值隨x的增大而增大；②當k<0時，函數(shù)值隨x的增大而減??；③當b>0時，函數(shù)圖像相對于b=0時向上移動；④當b<0時，函數(shù)圖像相對于b=0時向下移動；⑤當|k|越大時，函數(shù)圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當|k|越小時，函數(shù)圖像變化越慢，圖像越平滑；

經(jīng)過我們改變一次函數(shù)的參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)的圖像會隨之發(fā)生變化，這樣學(xué)生就很容易理解函數(shù)圖像變化的規(guī)律，從而使學(xué)生從更深層次理解一次函數(shù)的本質(zhì)。

二、在軸對稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質(zhì)始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應(yīng)出這些特點。

在講解軸對稱圖形的教學(xué)中，可充分利用幾何畫板中提供的圖形變換功能進行講解。首先，畫一個任意三角形△ABC，然后在適當?shù)奈恢卯嬕粭l線段MN，并把雙擊它即可將其標識為鏡面，這時就可以作△ABC關(guān)于對稱軸MN的軸對稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關(guān)于MN軸對稱。任意拖動△ABC的頂點、邊、對稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發(fā)生變化，但兩個圖形始終關(guān)于對稱軸MN對稱。同時可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對折后完全重合。

三、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板能動態(tài)地保持平面圖形中給定的幾何關(guān)系，利用這一特點便于在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。如平行、垂直，中點，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學(xué)中如果能很好地發(fā)揮幾何畫板中的這些特性，就能為數(shù)學(xué)教學(xué)增輝添色。如在勾股定理的教學(xué)中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯(lián)系。要弄清楚它們之間的關(guān)系，借助于幾何畫板，則一目了然。

在幾何畫板里，先畫一個直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發(fā)現(xiàn)，AB和AC、BC的長度已經(jīng)知道，觀察AB2與AC2+BC2的關(guān)系：

如果拖動頂點A（從a圖到b圖），我們通過改變直角三角形邊的長度，從中觀察邊的平方的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這樣一個定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時，傳統(tǒng)的教學(xué)方法只能教師在黑板上演算過程，而用幾何畫板更容易發(fā)現(xiàn)其中的不變的規(guī)律。

首先，在幾何畫板中構(gòu)造一個正方形，然后將經(jīng)過一個頂點作直線，再通過另一相鄰的頂點作這條直線的垂線，得到一個交點。用同樣的方法，可得出另外幾個關(guān)鍵點，再將這幾條垂線隱藏，連接對應(yīng)的點，即可得到下面這個圖形。分別度量AB、AF、FB的長度，最后用不同的方法來計算這個正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個直角三角形和中間的那個小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個正方形的面積，注意觀察得到的結(jié)果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來觀察這三種計算方法得到的結(jié)果是否一致，如下圖：

四、在求解實際問題中的應(yīng)用

利用幾何畫板不但可以給幾何問題以準確生動的表達，成為教師教學(xué)上的得力“助手”，還可為教師和學(xué)生提供幾何探索和發(fā)現(xiàn)的一個良好環(huán)境，動態(tài)是幾何畫板最主要的特點，也正是基于這一點，許多用一般方法不易解決的問題，用它解決起來就要容易得多，現(xiàn)在舉例說明。

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C。

（1）求頂點M及點C的坐標；

（2）若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點P是這個二次函數(shù)的對稱軸上一動點，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P，使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切，如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問都比較容易解決，第（3）問就是關(guān)于動點的，比較抽象，然而運用幾何畫板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因為二次函數(shù)經(jīng)過點A、B、N，且三個點的坐標都已知，可解得二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經(jīng)知道C、M兩點的坐標，直線y=kx+d又經(jīng)過C、M兩個點，可得直線的解析式為y=x+3。D點是直線與X軸的交點，可得D點的坐標為（-3，0），又因為A點的坐標為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點，其坐標都已知，且縱坐標都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點的坐標可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個平行四邊形。

（3）這個問題比較抽象，因為點P是動點。我們現(xiàn)在借助幾何畫板對這種情況進行分析。因為A、B兩點是二次函數(shù)與X軸的交點，自然關(guān)于函數(shù)的對稱軸對稱，兩點到對稱軸上任意一點的距離相等。故以對稱軸上的點為圓心作圓，經(jīng)過其中一個交點，必定經(jīng)過另外一個點，因此考慮一個點就行了。

先在二次函數(shù)的對稱軸上任找一點P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動P點，看看這個圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒有交點；圖b中，P點離X軸較遠，所作圓與直線CD相交，有兩個交點。試想：圖a中的P點向上移動的到達圖b所在的位置過程中，中間肯定有一個點讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應(yīng)該怎樣求P點的坐標呢！看右圖：

過P點作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實際上PK這時是圓P的半徑。即PK=PA時，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個點的坐標都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因為：AP2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點的坐標為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細心，把P點再上下拖動，會發(fā)現(xiàn)在X軸的下方還在一個點能使點圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點在X軸的下方，所以P點的坐標為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點P在對稱軸上有兩個點： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運用幾何畫板給我們在解決動點問題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發(fā)現(xiàn)的問題，在幾何畫板上只要輕輕拖動鼠標就很容易發(fā)現(xiàn)，從而有效的避免了漏解情況的發(fā)生。

幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用遠遠不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費時的，但在幾何畫板中可用鼠標一點完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多實踐，不斷與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，相信就能使它在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮的作用。

【參考文獻】

[1] 田延斌.《《幾何畫板》教學(xué)實例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用》.

第五篇：幾何畫板在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板5.06是幾何畫板的最新版本，備受數(shù)學(xué)老師青睞。眾多數(shù)學(xué)老師表示幾何畫板不僅能夠幫助他們制作出生動的幾何課件，更加有助于學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容，并在長期的教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。本教程將向大家介紹幾何在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用。

幾何畫板在教學(xué)中的應(yīng)用示例

一、幾何畫板在低年級的應(yīng)用

低年級的學(xué)生很容易被幾何畫板生動的特性所吸引，從而可以非常迅速地掌握這些基礎(chǔ)技巧。幾何畫板可以幫助學(xué)生們在案例中快速地學(xué)習(xí)和培養(yǎng)數(shù)形轉(zhuǎn)換的能力，從而更深刻的了解分數(shù)計算、數(shù)據(jù)統(tǒng)計和代數(shù)學(xué)。

二、幾何畫板在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

有些數(shù)學(xué)問題，雖然可以通過代數(shù)演算得到答案，但是還是會覺得不夠直觀，給人知其然而不知其所以然的感覺。這時，我們可以借助幾何畫板，畫出數(shù)學(xué)圖形，從幾何的角度審視原題，幫助學(xué)生更直觀地理解原題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、幾何畫板在幾何學(xué)中的應(yīng)用

利用幾何畫板可以畫出非常精確的圖形，必要時還可以將圖像“放大”，獲得更精細的圖像，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)解答中的疏忽或錯誤，并引導(dǎo)學(xué)生進一步思考錯解 的原因。學(xué)生還可以通過直接操縱幾何圖形的構(gòu)造、變換、測量和動畫進行深入的概念理解并提高學(xué)習(xí)信心，還可以有效地促進學(xué)生之間的學(xué)習(xí)交流及他們的推理和 證明的能力。

四、幾何畫板在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用 幾何畫板不僅為數(shù)學(xué)實驗提供可操作的模型，而且為數(shù)學(xué)猜想提供驗證的工具。如學(xué)生們可以使用幾何畫板繪制以幾何圖形為代表的復(fù)雜圖形、為微積分等創(chuàng) 建動態(tài)模型。除了強大的函數(shù)繪圖功能，了解幾何畫板那高級教程的學(xué)生還可以使用自定義工具、基因座、自定義轉(zhuǎn)換、數(shù)字和幾何迭代等功能來構(gòu)建或編輯數(shù)學(xué)模 型。

綜上所述，可見在現(xiàn)代教學(xué)中幾何畫板的應(yīng)用還是比較廣泛，是全國初高中人教版教材指定軟件。幾何畫板5.06版本在之前的版本基礎(chǔ)上進行了大量的改進，可以為廣大用戶帶來更加高效便捷的使用體驗。