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      幾何證明中的截長補短法

      時間:2019-05-15 09:05:50下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關的《幾何證明中的截長補短法》,但愿對你工作學習有幫助,當然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《幾何證明中的截長補短法》。

      第一篇:幾何證明中的截長補短法

      平面幾何中截長補短法的應用 授課內(nèi)容:湘教版九年級上冊《證明》授課教師:張羽茂 授課時間:

      講評內(nèi)容:證明中的“截長補短法”。

      講評目標:

      1、通過講評,查漏補缺,解決幾何證明中截長補短法的應用。

      2、規(guī)范學生證明過程的書寫格式。

      3、通過講評提高審題能力,總結(jié)解題方法和規(guī)律。講評重點:規(guī)范學生證明過程的書寫格式

      講評難點:通過講評,查漏補缺,解決圖形中截長補短法的應用。教具準備:黑板、學生作業(yè)本

      講評過程:

      一、談話導入

      1、公布全班的整體成績。

      2、表揚進步的學生。

      二、講評

      如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠

      B=2∠C,求證:AB+BD=AC.方法一:(截長法)

      方法二:(補短法)

      三、課堂練習

      1.已知:如圖,在正方形ABCD中,AB=4,AE平分∠BAC.求AB+BE的長。

      四、課后拓展

      1.正方形ABCD中,點E在CD上,點F在BC上,∠

      EAF=45。求證:EF=DE+BF。

      五、板書設計

      六、教學反思與總結(jié)

      截長補短法,是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法,也是把幾何題化難為易的一種思想。

      截長:1.過某一點作長邊的垂線

      2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段,再證剩下的線段與另一短邊相等。

      補短:1.延長短邊

      2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。

      教師工作:

      采集信息-----歸類點評、指導糾借-----適時檢測、落實糾錯 學生操作:

      作業(yè)分析---個體糾借---集體糾錯---針對補償---(依據(jù)答案)主動糾錯---思考領悟---針對糾錯---主動補償---消除薄弱

      教學流程:

      作業(yè)分析——個體糾錯——集體糾錯——針對補償——課堂小結(jié)。

      第二篇:幾何法證明不等式

      幾何法證明不等式

      用解析法證明不等式:

      ^2<(a^2+b^2)/2

      (a,b∈R,且a≠b)

      設一個正方形的邊為C,有4個直角三角形拼成這個正方形,設三角形的一條直角邊為A,另一條直角邊為B,(B>A)A=B,剛好構(gòu)成,若A不等于B時,側(cè)中間會出現(xiàn)一個小正方形,所以小正方形的面積為(B-A)^2,經(jīng)化簡有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因為(A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因為A不等與B,所以不取等號

      可以在直角三角形內(nèi)解決該問題

      =^2-(a^2+b^2)/2

      =<2ab-(a^2+b^2)>/4

      =-(a-b)^2/4

      <0

      能不能用幾何方法證明不等式,舉例一下。

      比如證明SINx不大于x(x范圍是0到兀/2,閉區(qū)間)

      做出一個單位圓,以O為頂點,x軸為角的一條邊

      任取第一象限一個角x,它所對應的弧長就是1*x=x

      那個角另一條邊與圓有一個交點

      交點到x軸的距離就是SINx

      因為點到直線,垂線段長度最小,所以SINx小于等于x,當且盡當x=0時,取等

      已經(jīng)有的方法:第一數(shù)學歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過渡到n);重復遞歸利用結(jié)論法;凸函數(shù)性質(zhì)法;

      能給出其他方法的就給分

      (a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

      一個是算術,一個是幾何。人類認認識算術才有幾何,人類吃飽了就去研究細微的東西,所以明顯有后者小于前者的結(jié)論,這么簡單都不懂,叼佬就是叼佬^_^

      搞笑歸搞笑,我覺得可以這樣做,題目結(jié)論相當于證

      (a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

      我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)這時n看做固定的。我們討論f的極值,它是一個n元函數(shù),它是沒有最大值的(這個顯然)

      我們考慮各元偏導都等于0,得到方程組,然后解出

      a1=a2=……=an

      再代入f中得0,從而f≥0,里面的具體步驟私下聊,寫太麻煩了。

      要的是數(shù)學法證明也就是代數(shù)法不是用向量等幾何法證明.....有沒有哪位狠人幫我解決下

      【柯西不等式的證明】二維形式的證明

      (a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

      =a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

      =a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

      =(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

      ≥(ac+bd)^2,等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立。

      一般形式的證明

      求證:(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

      證明:

      當a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時,一般形式顯然成立

      令A=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

      當a1,a2,…,an中至少有一個不為零時,可知A>0

      構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C,展開得:

      f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

      故f(x)的判別式△=4B^2-4AC≤0,移項得AC≥B,欲證不等式已得證。

      第三篇:“截長補短法”證明線段的和差問題

      “截長補短法”證明線段的和差問題典例分析 河大附中 桑靜華

      線段的和差問題常常借助于全等三角形的對應邊相等,將不在一條直線的兩條(或幾條)線段轉(zhuǎn)化到同一直線上.實際上是通過翻折構(gòu)造全等三角形,目的是為了轉(zhuǎn)移的邊、角和已知條件中的邊、角有機的結(jié)合在一起.在無法進行直接證明的情形下,利用“截長補短”作輔助線的方法??墒顾悸坊砣婚_朗,問題迎刃而解。CED例

      1、如圖,已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA,CD過點E,則AB與AC+BD?相等嗎?請說明理由.

      A

      B 分析:證明一條線段等于另兩條線段之和(差)常見的方法是:

      (1)在長線段上截取一條線段等于短線段,再證明余下的線段等于另一條短 線段,這種方法叫“截長法”

      (2)在其中一條短線段的延長線上截取另一條短線段,再證明它們與長線段相等,這種方法叫“補短法”.

      FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

      證法一:如圖(1)在AB上截取AF=AC,連結(jié)EF. 在△ACE和△AFE中

      (2)B ?AC?AF ???1??2

      ??AE?AE ∴△ACE≌△AFE(SAS)

      ∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

      ???6??D??3??4 ??BE?BE ∴△EFB≌△EDB(AAS)∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 證法二:如圖(2),延長BE,與AC的延長線相交于點F ∵ ∴?F??4,又∵?3??4 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

      ??F?? ?3??1??2

      ??AE?AE ∴△AEF≌△AEB(AAS), ∴AB=AF,BE=FE 在△BED和△FEC中

      ???5??6?BE?FE ???4??F ∴△BED≌△FEC(ASA)∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD. 例

      2、如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,A ∠BAC的平分線交BC于D,求證:AB+BD=AC.

      分析1: 因為∠B=2∠C,所以AC>AB,可以在AC上取一點E,使得AB=AE,B

      D 構(gòu)造△ABD≌△AED,把AB邊轉(zhuǎn)移到AE上,BD轉(zhuǎn)移到DE上,要證AB+BD=AC. 即可轉(zhuǎn)化為證AE+BD=AE+EC,即證明BD=EC.

      C

      證明:在AC上取一點E,使AB=AE,連結(jié)DE.

      在△ABD和△AED中,?AB?AE???BAD??DAE ?AD?AD?A

      ∴△ABD≌△AED(SAS).

      ∴ BD=DE,∠B=∠AED.

      又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C,B

      ∴ ∠EDC=∠C.

      ∴ ED=EC.

      ∴ AB+BD=AC. 分析2: 因為∠B=2∠C,所以AB<AC,可以在AB的延長線上取一點E,使得AE=AC,構(gòu)造△AED≌△ACD,把AC邊轉(zhuǎn)移到AE上,DC轉(zhuǎn)移到DE上,要證AB+BD=AC. 即可轉(zhuǎn)化為證AB+BD=AB+BE,即證明BD=BE. B 證明:在AB的延長線上取一點E,使AC=AE,連結(jié)DE. 在△AED和△ACD中,?AE?AC???BAD??DAC

      ?AD?AD?E

      E

      D C

      A

      D C

      ∴ △AED≌△ACD(SAS).∴∠C=∠E.

      又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE,∴ ∠E=∠BDE.∴ BE=BD.

      ∴ AB+BD=AE=AC. A 分析3:若延長DB到點E,使得AB=BE,有AB+BD=ED,只要證出ED=AC即可. 證明:延長DB到點E,使AB=BE,連結(jié)AE,E B D 則有∠EAB=∠E,∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E.

      又∠ABC=2∠C,∴ ∠E=∠C. ∴ AE=AC.

      又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE,C ∴ AE=DE.

      ∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC.

      學以致用:

      1、如圖,在四邊形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求證:∠BAD+∠BCD=180°

      ADB

      C

      第四篇:證明(二)中線倍長法和截長補短法[A.B]

      周應坤數(shù)學(A.B班共用)電話:***

      幾何證明-常用輔助線姓名:

      (一)中線倍長法:

      例1、求證:三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。

      已知:如圖,△ABC中,AD是BC邊上的中線,求證:AD ﹤

      分析:要證明AD ﹤1(AB+AC)21(AB+AC),就是證明AB+AC>2AD,也就是證明兩條線段之和大于第三條線段,而我們只能用“三

      2角形兩邊之和大于第三邊”,但題中的三條線段共點,沒有構(gòu)成一個三角形,不能用三角形三邊關系定理,因此應該進行轉(zhuǎn)化。待證結(jié)論AB+AC>2AD中,出現(xiàn)了2AD,即中線AD應該加倍。

      證明:延長AD至E,使DE=AD,連CE,則AE=2AD。

      在△ADB和△EDC中,AD=DE

      ∠ADB=∠EDC

      BD=DCC∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE

      又在△ACE中,AC+CE>AE∴AC+AB>2AD,即AD ﹤1(AB+AC)2

      小結(jié):(1)涉及三角形中線問題時,常采用延長中線一倍的辦法,即中線倍長法。它可以將分居中線兩旁的兩條邊AB、AC和兩個角∠BAD和∠CAD集中于同一個三角形中,以利于問題的獲解。

      課題練習:?ABC中,AD是?BAC的平分線,且BD=CD,求證AB=AC

      例2: 中線一倍輔助線作法

      ABC中

      方式1: 延長AD到E,是BC邊中線使DE=AD,連接BE方式2:間接倍長

      作CF⊥AD于F,延長MD到N,作BE⊥AD的延長線于使DN=MD,連接連接CD例3:△ABC中,AB=5,AC=3,求中線AD的取值范圍

      例4:已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延長線上,DE交BC于F,且DF=EF,求證:BD=CE

      課堂練習:已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于F,求證:AF=EF

      B

      例5:已知:如圖,在?ABC中,AB?AC,D、E在BC上,且DE=EC,過D作DF//BA交AE于點F,DF=AC.求證:AE平分?BAC

      A

      F

      CBE

      D

      第 1 題圖

      課堂練習:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中線,求證:∠C=∠BAE

      作業(yè):

      1、在四邊形ABCD中,AB∥DC,E為BC邊的中點,∠BAE=∠EAF,AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系,并證明你的結(jié)論

      2、已知:如圖,?ABC中,?C=90?,CM?AB于M,AT平分?BAC交CM于D,交BC于T,過D作DE//AB交BC于E,求證:CT=BE.A

      M

      B

      E

      T

      C

      3:已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于F,求證:AF=EF

      4:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中線,求證:∠C=∠BAE5、在四邊形ABCD中,AB∥DC,E為BC邊的中點,∠BAE=∠EAF,AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系,并證明你的結(jié)論

      (二)截長補短法 例1.已知,如圖1-1,在四邊形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.A

      D

      求證:∠BAD+∠BCD=180°.分析:因為平角等于180°,因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)

      化成為平角,圖中缺少全等的三角形,因而解題的關鍵在于構(gòu)造直角三角形,B可通過“截長補短法”來實現(xiàn).證明:過點D作DE垂直BA的延長線于點E,作DF⊥BC于點F,如1-2 ∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,AE

      圖1-

      1C

      在Rt△ADE與Rt△CDF中,?

      ?DE?DF

      ?AD?CD

      B

      F

      D

      ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,即∠BAD+∠BCD=180° 例2.如圖2-1,AD∥BC,點E在線段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.圖1-

      2C

      D

      A

      求證:CD=AD+BC.BE

      C

      圖2-1

      例3.已知,如圖3-1,∠1=∠2,P為BN上一點,且PD⊥BC于點D,AB+BC=2BD.求證:∠BAP+∠BCP=180°.B例4.已知:如圖4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求證:AB=AC+CD.B

      A

      P

      N

      D

      C

      圖3-1

      A2

      D

      C

      作業(yè):

      1、已知:如圖,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求證:BE+DF=AE.2、五邊形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求證:AD平分∠CDE

      A

      圖4-

      1AD

      F

      B

      C

      E

      BE

      C

      D

      A

      (三)其它幾種常見的形式:

      1、有角平分線時,通常在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形。例:如圖1:已知AD為△ABC的中線,且∠1=∠2,∠3=∠4,求證:BE+CF>EF。EF

      C

      BD

      12、有以線段中點為端點的線段時,常延長加倍此線段,構(gòu)造全等三角形。

      例:如圖2:AD為△ABC的中線,且∠1=∠2,∠3=∠4,求證:BE+CF>EF

      A

      EF

      C

      BD

      2M

      練習:已知△ABC,AD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形,如圖4,求證EF=2AD。

      E

      F

      A

      BDC

      43、延長已知邊構(gòu)造三角形:

      E

      例如:如圖6:已知AC=BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,求證:AD=BC

      B A

      DC

      圖64、連接四邊形的對角線,把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

      AD

      例如:如圖7:AB∥CD,AD∥BC求證:AB=CD。

      CB

      圖75、有和角平分線垂直的線段時,通常把這條線段延長。

      例如:如圖8:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延長于E。求證:BD=2CE

      6連接已知點,構(gòu)造全等三角形。

      DA例如:已知:如圖9;AC、BD相交于O點,且AB=DC,AC=BD,求證:∠A=∠D。

      BC

      圖10?

      1九、取線段中點構(gòu)造全等三有形。

      例如:如圖10:AB=DC,∠A=∠D 求證:∠ABC=∠DCB。DA

      B MC

      圖10

      第五篇:幾何證明

      1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的________________成比例.推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于______;相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于

      _________________;

      相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________;

      4.直角三角形的射影定理:直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1:同弧或等弧所對的圓周角_________;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧_______.o推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是____;90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理:

      圓的內(nèi)接四邊形的對角______;圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個四邊形的對角互補,那么這個四邊形的四個頂點______;如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角,那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的__________.推論:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______;經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦,_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長____;

      圓心和這點的連線平分_____的夾角.

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        幾何證明1.如圖,AD是∠EAC的平分線,AD∥BC,∠B=30 o,求∠EAD、∠DAC、∠C的度數(shù)2.已知∠BED=∠B+∠D,試說明AB與CD的位置關系3.如圖,EB∥DC,∠C=∠E,請你說出∠A=∠ADE的理由。4.如......

        解析法在幾何中的應用 -

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        空間幾何證明

        立體幾何中平行、垂直關系證明的思路平行垂直的證明主要利用線面關系的轉(zhuǎn)化: 線∥線???線∥面???面∥面性質(zhì)?判定???線⊥線???線⊥面???面⊥面???? 線∥線???線⊥面???面∥面線面平行的判定: a∥b,b?面?,a???a......

        幾何證明定理

        幾何證明定理一.直線與平面平行的(判定)1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)二.平面與......

        淺談幾何證明

        西華師范大學文獻信息檢索課綜合實習報告檢索課題(中英文):淺談幾何證明 On the geometric proof 一、課題分析 幾何是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學學科。它是數(shù)學中最基本的研......

        幾何證明測試題(★)

        第一章測試題1. 半徑為1的圓中,長度為1的弦所對的圓周角度數(shù)為:2. ⊙O半徑為5,弦AB=8,CD=6,且AB∥CD,則AB、CD間的距離是.3. 過⊙O內(nèi)一點P,的最長弦是10,最短的弦是6,那么OP的長為___......

        幾何證明計算題

        幾何證明與綜合應用1、 如圖1,四邊形ABCD是正方形,G是BC上任意一點(點G與B、C不重合),AE⊥DG于E,2、 CF∥AE交DG于F.(1)在圖中找出一對全等三角形,并加以證明;(2)求證:AE=FC+EF.2、如圖2,......