第一篇：幾何證明中的截長(zhǎng)補(bǔ)短法

平面幾何中截長(zhǎng)補(bǔ)短法的應(yīng)用 授課內(nèi)容：湘教版九年級(jí)上冊(cè)《證明》授課教師：張羽茂 授課時(shí)間：

講評(píng)內(nèi)容：證明中的“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”。

講評(píng)目標(biāo)：

1、通過講評(píng)，查漏補(bǔ)缺，解決幾何證明中截長(zhǎng)補(bǔ)短法的應(yīng)用。

2、規(guī)范學(xué)生證明過程的書寫格式。

3、通過講評(píng)提高審題能力，總結(jié)解題方法和規(guī)律。講評(píng)重點(diǎn)：規(guī)范學(xué)生證明過程的書寫格式

講評(píng)難點(diǎn)：通過講評(píng)，查漏補(bǔ)缺，解決圖形中截長(zhǎng)補(bǔ)短法的應(yīng)用。教具準(zhǔn)備：黑板、學(xué)生作業(yè)本

講評(píng)過程：

一、談話導(dǎo)入

1、公布全班的整體成績(jī)。

2、表揚(yáng)進(jìn)步的學(xué)生。

二、講評(píng)

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠

B=2∠C,求證：AB+BD=AC.方法一：（截長(zhǎng)法）

方法二：（補(bǔ)短法）

三、課堂練習(xí)

1．已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE平分∠BAC.求AB+BE的長(zhǎng)。

四、課后拓展

1.正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，∠

EAF=45。求證：EF=DE+BF。

五、板書設(shè)計(jì)

六、教學(xué)反思與總結(jié)

截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。

截長(zhǎng)：1.過某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線

2.在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

補(bǔ)短：1.延長(zhǎng)短邊

2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。

教師工作：

采集信息-----歸類點(diǎn)評(píng)、指導(dǎo)糾借-----適時(shí)檢測(cè)、落實(shí)糾錯(cuò) 學(xué)生操作：

作業(yè)分析---個(gè)體糾借---集體糾錯(cuò)---針對(duì)補(bǔ)償---（依據(jù)答案）主動(dòng)糾錯(cuò)---思考領(lǐng)悟---針對(duì)糾錯(cuò)---主動(dòng)補(bǔ)償---消除薄弱

教學(xué)流程：

作業(yè)分析——個(gè)體糾錯(cuò)——集體糾錯(cuò)——針對(duì)補(bǔ)償——課堂小結(jié)。

第二篇：幾何法證明不等式

幾何法證明不等式

用解析法證明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

設(shè)一個(gè)正方形的邊為C,有4個(gè)直角三角形拼成這個(gè)正方形,設(shè)三角形的一條直角邊為A,另一條直角邊為B,(B>A)A=B,剛好構(gòu)成,若A不等于B時(shí),側(cè)中間會(huì)出現(xiàn)一個(gè)小正方形,所以小正方形的面積為(B-A)^2,經(jīng)化簡(jiǎn)有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因?yàn)?A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因?yàn)锳不等與B,所以不取等號(hào)

可以在直角三角形內(nèi)解決該問題

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。

比如證明SINx不大于x(x范圍是0到兀/2，閉區(qū)間)

做出一個(gè)單位圓，以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為角的一條邊

任取第一象限一個(gè)角x，它所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)就是1*x=x

那個(gè)角另一條邊與圓有一個(gè)交點(diǎn)

交點(diǎn)到x軸的距離就是SINx

因?yàn)辄c(diǎn)到直線，垂線段長(zhǎng)度最小，所以SINx小于等于x，當(dāng)且盡當(dāng)x=0時(shí)，取等

已經(jīng)有的方法：第一數(shù)學(xué)歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過渡到n);重復(fù)遞歸利用結(jié)論法;凸函數(shù)性質(zhì)法;

能給出其他方法的就給分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一個(gè)是算術(shù)，一個(gè)是幾何。人類認(rèn)認(rèn)識(shí)算術(shù)才有幾何，人類吃飽了就去研究細(xì)微的東西，所以明顯有后者小于前者的結(jié)論，這么簡(jiǎn)單都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑歸搞笑，我覺得可以這樣做，題目結(jié)論相當(dāng)于證

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)這時(shí)n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個(gè)n元函數(shù)，它是沒有最大值的(這個(gè)顯然)

我們考慮各元偏導(dǎo)都等于0，得到方程組，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，從而f≥0，里面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。

要的是數(shù)學(xué)法證明也就是代數(shù)法不是用向量等幾何法證明.....有沒有哪位狠人幫我解決下

【柯西不等式的證明】二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號(hào)在且僅在ad-bc=0即ad=bc時(shí)成立。

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時(shí)，一般形式顯然成立

令A(yù)=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知A>0

構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，展開得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2-4AC≤0，移項(xiàng)得AC≥B，欲證不等式已得證。

第三篇：“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”證明線段的和差問題

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”證明線段的和差問題典例分析 河大附中 桑靜華

線段的和差問題常常借助于全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,將不在一條直線的兩條（或幾條）線段轉(zhuǎn)化到同一直線上．實(shí)際上是通過翻折構(gòu)造全等三角形,目的是為了轉(zhuǎn)移的邊、角和已知條件中的邊、角有機(jī)的結(jié)合在一起．在無法進(jìn)行直接證明的情形下，利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”作輔助線的方法?？墒顾悸坊砣婚_朗，問題迎刃而解。CED例

1、如圖，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD?相等嗎？請(qǐng)說明理由．

A

B 分析：證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見的方法是：

（1）在長(zhǎng)線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短 線段，這種方法叫“截長(zhǎng)法”

（2）在其中一條短線段的延長(zhǎng)線上截取另一條短線段，再證明它們與長(zhǎng)線段相等，這種方法叫“補(bǔ)短法”．

FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF． 在△ACE和△AFE中

(2)B ?AC?AF ???1??2

??AE?AE ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

???6??D??3??4 ??BE?BE ∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 證法二：如圖（2），延長(zhǎng)BE，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F ∵ ∴?F??4,又∵?3??4 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

??F?? ?3??1??2

??AE?AE ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中

???5??6?BE?FE ???4??F ∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 例

2、如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，A ∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB+BD=AC．

分析1： 因?yàn)椤螧=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一點(diǎn)E，使得AB=AE，B

D 構(gòu)造△ABD≌△AED，把AB邊轉(zhuǎn)移到AE上，BD轉(zhuǎn)移到DE上，要證AB+BD=AC． 即可轉(zhuǎn)化為證AE+BD=AE+EC，即證明BD=EC．

C

證明：在AC上取一點(diǎn)E，使AB=AE，連結(jié)DE．

在△ABD和△AED中，?AB?AE???BAD??DAE ?AD?AD?A

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴ BD=DE，∠B=∠AED．

又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，B

∴ ∠EDC=∠C．

∴ ED=EC．

∴ AB+BD=AC． 分析2： 因?yàn)椤螧=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，構(gòu)造△AED≌△ACD，把AC邊轉(zhuǎn)移到AE上，DC轉(zhuǎn)移到DE上，要證AB+BD=AC． 即可轉(zhuǎn)化為證AB+BD=AB+BE，即證明BD=BE． B 證明：在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AC=AE，連結(jié)DE． 在△AED和△ACD中，?AE?AC???BAD??DAC

?AD?AD?E

E

D C

A

D C

∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

∴ AB+BD=AE＝AC． A 分析3：若延長(zhǎng)DB到點(diǎn)E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要證出ED=AC即可． 證明：延長(zhǎng)DB到點(diǎn)E，使AB=BE，連結(jié)AE，E B D 則有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

又∠ABC=2∠C，∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，C ∴ AE=DE．

∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

學(xué)以致用：

1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°

ADB

C

第四篇：證明(二)中線倍長(zhǎng)法和截長(zhǎng)補(bǔ)短法[A.B]

周應(yīng)坤數(shù)學(xué)（A.B班共用）電話：***

幾何證明-常用輔助線姓名：

(一)中線倍長(zhǎng)法:

例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。

已知：如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD ﹤

分析：要證明AD ﹤1(AB+AC)21(AB+AC)，就是證明AB+AC>2AD，也就是證明兩條線段之和大于第三條線段，而我們只能用“三

2角形兩邊之和大于第三邊”，但題中的三條線段共點(diǎn)，沒有構(gòu)成一個(gè)三角形，不能用三角形三邊關(guān)系定理，因此應(yīng)該進(jìn)行轉(zhuǎn)化。待證結(jié)論AB+AC>2AD中，出現(xiàn)了2AD，即中線AD應(yīng)該加倍。

證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連CE，則AE=2AD。

在△ADB和△EDC中，AD=DE

∠ADB=∠EDC

BD=DCC∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE

又在△ACE中，AC+CE＞AE∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤1(AB+AC)2

小結(jié)：(1)涉及三角形中線問題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的辦法，即中線倍長(zhǎng)法。它可以將分居中線兩旁的兩條邊AB、AC和兩個(gè)角∠BAD和∠CAD集中于同一個(gè)三角形中，以利于問題的獲解。

課題練習(xí):?ABC中，AD是?BAC的平分線，且BD=CD，求證AB=AC

例2: 中線一倍輔助線作法

ABC中

方式1： 延長(zhǎng)AD到E，是BC邊中線使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長(zhǎng)

作CF⊥AD于F，延長(zhǎng)MD到N，作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于使DN=MD，連接連接CD例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍

例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE

課堂練習(xí)：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF

B

例5：已知：如圖，在?ABC中，AB?AC，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DF//BA交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分?BAC

A

F

CBE

D

第 1 題圖

課堂練習(xí)：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE

作業(yè)：

1、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論

2、已知：如圖，?ABC中，?C=90?，CM?AB于M，AT平分?BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE//AB交BC于E，求證：CT=BE.A

M

B

E

T

C

3：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF

4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE5、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論

（二）截長(zhǎng)補(bǔ)短法 例1.已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.A

D

求證：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因?yàn)槠浇堑扔?80°，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過全等轉(zhuǎn)

化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，B可通過“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn).證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，如1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，AE

圖1-

1C

在Rt△ADE與Rt△CDF中，?

?DE?DF

?AD?CD

B

F

D

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180° 例2.如圖2-1，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.圖1-

2C

D

A

求證：CD=AD+BC.BE

C

圖2-1

例3.已知，如圖3-1，∠1=∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.求證：∠BAP+∠BCP=180°.B例4.已知：如圖4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求證：AB=AC+CD.B

A

P

N

D

C

圖3-1

A2

D

C

作業(yè)：

1、已知：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.2、五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE

A

圖4-

1AD

F

B

C

E

BE

C

D

A

（三）其它幾種常見的形式：

1、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。EF

C

BD

圖

12、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

例：如圖2：AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF

A

EF

C

BD

圖

2M

練習(xí)：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4，求證EF＝2AD。

E

F

A

BDC

圖

43、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：

E

例如：如圖6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC

B A

DC

圖64、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

AD

例如：如圖7：AB∥CD，AD∥BC求證：AB=CD。

CB

圖75、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。

例如：如圖8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)于E。求證：BD＝2CE

6連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。

DA例如：已知：如圖9；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。

BC

圖10?

1九、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。

例如：如圖10：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。DA

B MC

圖10

第五篇：幾何證明

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于______；相似三角形周長(zhǎng)的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長(zhǎng)比都等于

_________________；

相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷蟔______與_________的比例中項(xiàng).5.圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是____；90的圓周角所對(duì)的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)______；如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的__________.推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長(zhǎng)的積相等.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是__________的比例中項(xiàng).切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)____；

圓心和這點(diǎn)的連線平分_____的夾角.