第一篇：含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解法與證明

[本周內(nèi)容]含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解法與證明

[重點(diǎn)難點(diǎn)]

1．實(shí)數(shù)絕對(duì)值的定義:

|a|=

這是去掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)，是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基礎(chǔ)。

2．最簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解。

若a>0時(shí)，則

|x|

|x|>a

注:這里利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x)到原點(diǎn)的距離。

3．常用的同解變形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例題選講:

例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:①-4g(x)； f2(x)

-aa。

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式|

|≤1...........①-33

x<1或x>3。x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3)(x+4)(3x+2)≤0,x≠1。

]。

-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)2≤0

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0。

∴原不等式的解集為[-4，-

例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:為了去掉絕對(duì)值符號(hào)，首先找到兩式的零點(diǎn)-1和2，它們把（-∞，+∞）分成了三個(gè)區(qū)間；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。從而可將不等式①化為三個(gè)不等式組。求它們的解集的并集即可。

解:將不等式①化為三個(gè)不等式組

（I）

-2

（II）

-1≤x≤2；

（III）

2

∴原不等式的解集為(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式無(wú)解。

說(shuō)明:本題沒(méi)有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判斷出結(jié)果。它提示我們今后解這一類問(wèn)題，應(yīng)先判斷。

例6．已知:|a|<1, |b|<1。求證:|

證法1：欲證①，只需證

只需證(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需證-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0?！啖谑匠闪?，∴ 原不等式成立。

證法2：欲證①，只需證-1<

只需證（只需證

·

<0, +1）（-1）<0，<1, <1，|<1.........①

只需證|a+b|<|1+ab|, 只需證(a+b)2<(1+ab)2, 只需證(a+b)2-(1+ab)2<0，只需證

<0，只需證

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0，又(1+ab)2>0, ∴③式成立，∴ 原不等式成立。

例7．求證:

證法1:

∵

∵ 上式顯然成立，∴

又

證法2：這里只證明

分析:觀察兩式結(jié)構(gòu)均為y=

≤

=

+

≤

成立。≤ |a+b|≤|a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

≤

≤

+。

≤+。

∴ 原命題成立。的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需證明函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增即可。

證明:設(shè)0≤x1≤x2, 則

-=，∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴-≥0, 即≥，設(shè)x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b|≤|a|+|b|，∴

參考練習(xí):

≤。

1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。

2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3．解不等式 |

4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=

6．設(shè)f(x)=x2+ax+b是整系數(shù)二次三項(xiàng)式，求證:|f(1)|<

7．已知|x|<

參考答案:

1.[-6,-2]∪[-1, 3]；

2.(-∞,-1)；

3.[

4.提示:首先求定義域（0，3）。其次求出二零點(diǎn)1，2。分三個(gè)區(qū)間（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。, 2)∪(6, +∞)； , |y|<, |z|<,(ξ>0)。求證:|x+2y-3z|<ξ。, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同時(shí)成立。的值域。

-3|>1。

5．提示:可用反解法解出sinx=

6．提示:用反證法

略證:假設(shè)|1+a+b|< , |4+2a+b|<，則解不等式||≤1得y∈[-4,-]。, 及|9+3a+b|<同時(shí)成立。

由題設(shè)a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z，∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。但不滿足③式，故假設(shè)不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同時(shí)小于

7．證明略。

第二篇：含絕對(duì)值不等式的解法習(xí)題課

第十一教時(shí)

三、補(bǔ)充：

例

七、已知函數(shù)f(x), g(x)在 R上是增函數(shù)，求證：f [g(x)]在 R上也是增函數(shù)。

例

八、函數(shù) f(x)在 [0, ???上單調(diào)遞減，求f(?x2)的遞減區(qū)間。

例

九、已知函數(shù) f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，給出下列命題：

1．f(0)= 0

2．若 f(x)在 [0, ???上有最小值 ?1，則 f(x)在???,0?上有最大值1。

3．若 f(x)在 [1, ???上為增函數(shù)，則 f(x)在 ???,?1?上為減函數(shù)。

4．若 x > 0時(shí)，f(x)= x2 ? 2x ,則 x < 0 時(shí)，f(x)= ? x2 ? 2x。其中正確的序號(hào)是：例

十、判斷 f(x)?

?x?x22?x?1?x?1 的奇偶性。

第三篇：含絕對(duì)值的不等式解法(總結(jié)歸納)

含絕對(duì)值的不等式解法、一元二次不等式解法

[教材分析] |x|的幾何意義是實(shí)數(shù)x在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)O的距離，所以|x|0)的解集是

{x|-aa(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|a(a>0)中的x替換成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以聯(lián)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(a≠0)圖象在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x值為不等式ax2+bx+c>0的解，圖象在x軸下方部分對(duì)應(yīng)的x值為不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。求解一元二次不等式的步驟，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再解對(duì)應(yīng)的一元二次方程，最后根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號(hào)的方向，寫(xiě)出不等式的解集。

求解以上兩種不等式的方法，就是將不等式轉(zhuǎn)化為熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4<0(x+4)(x-1)<0 或 或-4

原不等式解集為{x|-4

x2+3x-4<0

(x+)2<

|x+|<-

原不等式解集為{x|-4

[例題分析與解答]

例1．解關(guān)于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。

[分析與解答]：|ax-2|<4屬于|x|0)型。∴-4

當(dāng)a>0時(shí)，-x>，當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為2<4，顯然x∈R。

故a>0時(shí)不等式解集是{x|-

例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。

[分析與解答] 去掉絕對(duì)值需要確定絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的值的符號(hào)，符號(hào)的正與負(fù)是以0為分界點(diǎn)，所以x=3和

x=-是絕對(duì)值內(nèi)兩個(gè)代數(shù)式值的符號(hào)的分界點(diǎn)。用3和-將全體實(shí)數(shù)劃分成三個(gè)區(qū)間，則在每一個(gè)區(qū)間上都可確定去掉絕對(duì)值的結(jié)論，由此分情況求解。

(1)

-4≤x<-。

(2)

-≤x≤-。

(3)。

綜上，原不等式的解集為{x|-4≤x<-}∪{x|-≤x≤-}={x|-4≤x≤-}。

例3．解關(guān)于x的不等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。

[分析與解答] 設(shè)y=x2+(2-a)x-2a，其表示的拋物線開(kāi)口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,拋物線與x軸相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的兩個(gè)根是-2或a。下面只需確定兩個(gè)根的大小關(guān)系，就可以寫(xiě)出不等式的解集。

x2+(2-a)x-2a<0

(x+2)(x-a)<0

當(dāng)a>-2時(shí)，原不等式解集是{x|-2

例4．已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3

[分析與解答] 二次不等式給出解集，既可以確定對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向（即a的符號(hào)）又可以確定對(duì)應(yīng)的二次方程的兩個(gè)根，由此可根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系建立系數(shù)字母關(guān)系式，通過(guò)代入法求解不等式。

由ax2+bx+c>0的解集是-3

且-3，1是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，∴-3+1=-

∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0，∵ a<0，∴ x2-x-2<0,(x-2)(x+1)<0，∴-1

x2+(1+)x+6(-1)>0，將=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0，以下同上面解法。

在本題條件下，要求解每一個(gè)字母a,b,c的值是不正確的。由于滿足條件的二次函數(shù)只要開(kāi)口向下，與x軸交于點(diǎn)(-3,0)和(1,0)即可，而這樣的二次函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，故a,b,c無(wú)唯一解。

例5．解關(guān)于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。

[分析與解答] a的不同實(shí)數(shù)取值對(duì)不等式的次數(shù)有影響，當(dāng)不等式為一元二次不等式時(shí)，a的取值還會(huì)影響二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，以及和x軸的位置關(guān)系。因此求解中，必須對(duì)實(shí)數(shù)a的取值分類討論。

當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為8x+1>0。不等式的解為{x|x>-,x∈R}。

當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若016時(shí)，Δ>0，拋物線y=ax2-(a-8)x+1開(kāi)口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0兩根為。

不等式的解為{x|x<或x>}。

(2)若4

(3)若a=4時(shí)，Δ=0，拋物線y=ax2-(a-8)x+1開(kāi)口向上且與x軸相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解為{x|x≠-,x∈R}。

(4)若a=16時(shí)，Δ=0，拋物線y=ax2-(a-8)x+1開(kāi)口向上且與x軸相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根為x=。不等式的解為{x|x≠,x∈R。}。

(5)若a<0, Δ>0，拋物線y=ax2-(a-8)x+1開(kāi)口向下，此時(shí)方程ax2-(a-8)x+1=0的兩根大小關(guān)系是<, 不等式的解集是：

{x|

[本周參考練習(xí)]

1．關(guān)于x的不等式|ax+1|≤b的解是-

2．解不等式1<|x-2|≤7。

≤x≤，求a，b的值。

3．不等式ax2+bx+c<0的解為x<α或x>β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解。4．不等式x2-ax-6a>0的解為x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

[參考答案]： 1．解：由|ax+1|≤b, ∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。當(dāng)a>0時(shí)，≤x≤。

∴ , 不滿足a>0,舍去。當(dāng)a<0時(shí)，≥x≥。

∴

當(dāng)a=0時(shí)，不合題意，所以a=-2，b=2。

2．解由1<|x-2|≤7,∴1

3．解：必有a<0，則x2+

x+>0的解為x<α或x>β，∴α+β=-, α·β=。

將cx2-bx+a>0兩邊同除以a(a<0)，∴

x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0，∵ αβ>0，∴ x2+（）x+<0，∴(x+)(x+)<0, ∵ α<β<0, ∴，即<, ∴->-，不等式解為-

4．解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有兩不等根，且α，β是其兩根（β>α）。

∴ β-α=，∴ a2+24a≤25，-25≤a<24或0

第四篇：《含絕對(duì)值不等式的解法》教案

《含絕對(duì)值不等式的解法》教案

本課件依據(jù)我校高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書(shū)《步步高高考總復(fù)習(xí)—數(shù)學(xué)》及另選部分題目制作而成，全部?jī)?nèi)容都經(jīng)過(guò)了課堂教學(xué)的檢驗(yàn)，為教學(xué)過(guò)程的實(shí)錄。

本節(jié)課首先給出復(fù)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)解析及知識(shí)要點(diǎn)，并給出了絕對(duì)值不等式||a|-|b||≤|a?b|≤|a|+|b|中等號(hào)成立的充要條件，對(duì)其中較難理解的情況給出了分析或證明。

然后給出了3道典型例題，每道例題后選配訓(xùn)練題幫助學(xué)生鞏固、掌握所復(fù)習(xí)的知識(shí)。

最后以備選題的形式給出了12道訓(xùn)練題(其他教師使用本課件時(shí)可根據(jù)所教學(xué)生情況的不同，選取其中的題目作為例題)。大多數(shù)題目給出了不只一種的解題方法(思路)。

由于歷年高考中大部分考生數(shù)學(xué)題解答不規(guī)范，導(dǎo)致無(wú)謂失分，制作課件時(shí)，力求每一道題的解答都相對(duì)完整。使用課件時(shí)，先和學(xué)生一起分析解題思路，然后通過(guò)屏幕展示給學(xué)生一個(gè)完整、規(guī)范的解題過(guò)程，以提高學(xué)生正確表述知識(shí)的能力。

第五篇：絕對(duì)值不等式解法的說(shuō)課稿公開(kāi)課

包鐵一中選修4-5絕對(duì)值不等式的解法說(shuō)課稿講課人：杜玉榮 各位領(lǐng)導(dǎo)和老師們大家好，我將從教材分析，學(xué)情分析，教學(xué)教法分析，教學(xué)過(guò)程，教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明，板書(shū)設(shè)計(jì)幾個(gè)方面對(duì)本節(jié)進(jìn)行闡述。

一．教材分析：

（1）教材的地位和作用

《絕對(duì)值不等式的解法》是人教版A版選修4-5中第一講第二節(jié)的內(nèi)容，它是我們學(xué)生在學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的定義及幾何意義及不等式的解法與性質(zhì)之后給出的一節(jié)課。含有絕對(duì)值不等式的問(wèn)題主要有兩大類，其中一類是不等式的證明，另一類是不等式的解法，其中不等式的解法是高考的重點(diǎn)。

（2）教學(xué)目標(biāo)：

①知有一個(gè)絕對(duì)值的不等式的解法。

②能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，歸納概括的能力以及邏輯推理能力?？疾鞂W(xué)生思維的積極性和全面性，領(lǐng)悟分類討論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法。

③情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索，使學(xué)生形成良好的個(gè)性品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。

(3)教學(xué)目標(biāo)：

①教學(xué)重點(diǎn)：如何去掉絕對(duì)值符號(hào)將其轉(zhuǎn)化為普通的不等式去解。

②教學(xué)難點(diǎn)：絕對(duì)值意義的理解及綜合問(wèn)題的求解過(guò)程中交，并等各種運(yùn)算。

二．學(xué)情分析：

（1）優(yōu)勢(shì)：學(xué)生們?cè)谥R(shí)上已經(jīng)具備了一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)。

學(xué)生們?cè)谀芰ι弦呀?jīng)初步具備了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想。

（2）不足：學(xué)生們基礎(chǔ)較薄弱，邏輯思維能力不強(qiáng)。

三．教學(xué)教法分析：

本節(jié)內(nèi)容采取了啟發(fā)式，講練結(jié)合式，討論式的教學(xué)方法和學(xué)生探究式學(xué)法。在教師的引導(dǎo)下想法提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給學(xué)生時(shí)間去思考，讓主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)分析解決問(wèn)題，不僅教給學(xué)生知識(shí)，讓學(xué)生慢慢學(xué)會(huì)知識(shí)，讓傳統(tǒng)下的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)改成研究數(shù)學(xué)，從而使傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力融為一體。

四．教學(xué)過(guò)程：

復(fù)習(xí)引入 講授新課 應(yīng)用舉例 知識(shí)反饋 歸納小結(jié) 布置作業(yè)

（1）復(fù)習(xí)引入：引導(dǎo)學(xué)生一起復(fù)習(xí)絕對(duì)值的定義及幾何意義。從具體的例子入手，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生們用不同的方法去解。

（2）講授新課：讓學(xué)生們總結(jié)出一般的|x|>a(a>0)或|x|0)型不等式的解法。

（3）應(yīng)用舉例：給出含有一個(gè)絕對(duì)值的不等式的例1，例2讓學(xué)生們嘗試用不同的方法去解。

（4）知識(shí)反饋：共舉出了三個(gè)練習(xí)，并且三個(gè)練習(xí)逐一加強(qiáng)難度。讓學(xué)生們反復(fù)練并找學(xué)生們到黑板上板演，最后點(diǎn)評(píng)。練習(xí)讓學(xué)生們嘗試用兩種不同的方法去解，從而體會(huì)到各自的優(yōu)缺點(diǎn)。

（5）歸納小結(jié)：本節(jié)基本思路是去絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化成一般的不等式。主要方法有用定義法，幾何法和平方法。

（6）布置作業(yè)：分別設(shè)置了必做題和選做題，這樣可以對(duì)不同層次的學(xué)生有針對(duì)性的練習(xí)。

五．教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明：

我采用的模式是問(wèn)題—探究—?dú)w納—應(yīng)用。

在課堂上努力實(shí)現(xiàn)學(xué)生的主體地位，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為一種師生共同經(jīng)歷探索的過(guò)程。