第一篇：新課標(biāo)必修5數(shù)學(xué)基本不等式經(jīng)典例題(含知識(shí)點(diǎn)和例題詳細(xì)解析)（范文）
基本不等式
知識(shí)點(diǎn)：
1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab
a?b時(shí)取“=”）22(2)若a,b?R，則ab?a?b222（當(dāng)且僅當(dāng)
2.(1)若a,b?R*，則
a?b時(shí)取“=”）a?b2?(2)若a,b?R，則a?b?2ab *ab（當(dāng)且僅當(dāng)
a?b?(3)若a,b?R，則ab??）??(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”
?2?*
23.若x?0，則x?
若x?0，則x?1x
1x）?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取“=”??2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時(shí)取“=”）
若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）
xxx
4.若ab?0，則a?b?2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）若ab?0，則
ba
a
b??2即a
bb
a?2或
2ab2ba（）-?2當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”5.若a,b?R，則（注意： a?b2)?2a?b2（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）
(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．
(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用
應(yīng)用一：求最值
例：求下列函數(shù)的值域
（1）y＝3x 2＋
12x 21（2）y＝x＋ x
解：(1)y＝3x 2＋1
2x 2 ≥23x 2·12x 2＝6∴值域?yàn)閇6，+∞）
1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x ≥2x1x·＝2； x
當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋= －（－ x－）≤－
2xx∴值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[2，+∞）
解題技巧
技巧一：湊項(xiàng)
例已知x?
54x·=－2 x，求函數(shù)y
?4x?2?
14x?5的最大值。
解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，?x?
54,?5?4x?0，?y?4x?2?
4x?5
不是常數(shù)，所以對(duì)4x?
21?
???5?4x?
4x?55?4x?
???2?3?1 ??
3?
當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?
15?4x，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax?1。
技巧二：湊系數(shù) 例： 當(dāng)時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由
知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將
y?x
(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。
當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。
變式：設(shè)0?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。
2x?3?2x?9
解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????
222??
當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?
技巧三： 分離 技巧四：換元 例：求y?
x?7x?10
x?
1?3?
??0,?時(shí)等號(hào)成立。4?2?
(x??1)的值域。
解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。
當(dāng),即
時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。
解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。y?
(t?1)?7(t?1）+10
t
=
t?5t?4
t
?t?4t
?5
當(dāng),即t=時(shí),y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。
例：求函數(shù)y?的值域。
?t（t?2)，則y?
1t
1t
??t?
1t
(t?2)
因t?0,t??1，但t?因?yàn)閥?t?
1t
解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。
在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?
?5
??。
所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。
?2
技巧六：整體代換
多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。例：已知x?0,y?0，且
1x?9y
1x?
?1，求x?y的最小值。
9y
?1?x
9?
??x?y??y?
?12故
錯(cuò)．解．：?x?0,y?0，且
?1，?x?y??
?
?x?y?min
?12。
等號(hào)成立條件
是x?y，在錯(cuò)因：解法中
兩次連用均值不等式，在x?y?1x
9y
??1x
?
9y
即y?9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。
?19?y9x正解：?x?0,y?0,1?9?1，?x?y??x?y???????10?6?10?16
xy
?xy?
xy
當(dāng)且僅當(dāng)技巧七
yx
?
9xy
時(shí)，上式等號(hào)成立，又
1x
?
9y
?1，可得x?4,y?12時(shí)，?x?y?min?16。
例：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x ＝1，求1＋y 2 的最大值.2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤
221＋y中y前面的系數(shù)為，x
y 2
a 2＋b 2。
1＋y 22· ＝2
同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)1＋y 2 ＝x
x·
1y 2
＋22
1y 2
＋分別看成兩個(gè)因式： 22x 2＋（1y 2
＋)22222
x 2＋ ＝
y 22＋
下面將x，x·
1y 2
＋ ≤22
＝即x
1＋y 2 ＝2 ·x
1y 23＋≤224技巧八：
已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.ab
分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。
30－2b－2 b 2＋30b
法一：a＝，ab＝·b＝
b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝8
∴ ab≤18∴ y≥
118
當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。ab
－2t 2＋34t－31
1616
＝－2（t＋）＋34∵t＋ ≥2
t·
30－2b
tttt
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥2令u＝ab則u2＋22 u－30≤0，－5∴≤u≤3
ab≤32，ab≤18，∴y≥
a?b2
ab（a,b?R）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②
?
點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式
?
?
如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到
a?b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式
a?b
2?ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換
?
為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍
.技巧
九、取平方
例:
求函數(shù)y
?
12?x?
52)的最大值。
解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。
y??
?4??4?(2x
?1)?(5?2x)?8
又y?0，所以0?y?當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x?
時(shí)取等號(hào)。故ymax?。
應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式
例：已知a、b、c?R?，且
a?b?c?1。求證：?
?
1??1??1?
?1???1???1??8 ?a??b??c?
分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又1?1?1?a?b?c?，可由此變形入手。
a
a
a
a
解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。
?
1a
?1?
1?aa
?
b?ca
?
a
。同理
1b
?1?
b，1c
?1?
c
1?1??1??1?。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。a?b?c??1?1?1??8??????
3abcabc??????
應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題 例：已知x?0,y?0且
1x?9y
?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。
解：令x?y?k,x?0,y?0,10k
3k
1x
?
9y
?1，?
x?ykx
?
9x?9yky
?1.?
10k
?
ykx
?
9xky
?1
?1??2?
。?k?16，m????,16?
應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若
a?b?1,P?
lga?lgb,Q?
(lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系
是.分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0
Q?
（lga?lgb)?
a?b2)?lg
lga?lgb?p
lgab?Q∴R>Q>P。
R?lg(ab?
第二篇：高中數(shù)學(xué)不等式典型例題解析
高中數(shù)學(xué)不等式典型例題解析
高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng)http://004km.cn/
概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
不等式
一．不等式的性質(zhì)：
1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：[同向相加，異向相減] 若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；[同向相乘，異向相除]
3．左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開(kāi)方：若
bn或
4．若
；若
1a，則，則，則
1b
。如
（1）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：
①若則； ④若
； ②若則 ⑤若
則則
； ③若
則
；
； ⑥若
a
⑦若
則；
則
； ⑧若
1a
1b，則。
其中正確的命題是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知
（答：
ca 的取值范圍是______
（答：），）；（3）已知，則，且的取值范圍是______
則
二．不等式大小比較的常用方法：
1．作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果； 2．作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函數(shù)的單調(diào)性； 7．尋找中間量或放縮法 ；
8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如
（1）設(shè)
a 的大小
（答：當(dāng)
時(shí)，且，比較logat和log
（時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)
時(shí)，京翰教育http://004km.cn/
（時(shí)取等號(hào)））；
（2）設(shè)，，試比較p,q的大小
（答：）；
（3）比較1+logx3與且或
2logx2；當(dāng)
時(shí)，1+logx3＞2logx2；當(dāng)?shù)拇笮。ù穑寒?dāng)
時(shí)，1+logx3＜
時(shí)，1+logx3＝2logx2）
三．利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積
最大，積定和最小”這17字方針。如（1）下列命題中正確的是 A、1x 的最小值是2 2
4x4x
0)的最大值是
0)的最小值是、C、（答：C）；
（2）若，則的最小值是______、（答：）；
（3）正數(shù)x,y滿(mǎn)足，則 的最小值為_(kāi)_____
（答：）；
4.常用不等式有：（1
(根據(jù)目標(biāo)不等式左右 的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；（2）a、b、，且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（3）若
b
a
如果正數(shù)a、b滿(mǎn)足，則ab，則
（當(dāng)
（糖水的濃度問(wèn)題）。如
的取值范圍是_________
（答：）
五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：
作差（商）后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：
n
1n
如（1）已知，求證：
(2)已知，求證：（3）已知，且(4)若，求證：
；； ；
a、b、c
是不全相等的正數(shù)，求證：
lg
lg
ca
； 2
（5）已知，求證：若
1已知，求證：（8）求證：
n；
1n
；(6)
。
六．簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次
因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線(xiàn)；并注意奇穿過(guò)偶彈回；（3）根據(jù)曲線(xiàn)顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集。如
（1）解不等式
（答：
（2）
不等式
（答：的解集是____ 或）； 的解集為的解集為
或）。
（3）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且，的解集為，則不等式______
（答：）；（4）要使?jié)M足關(guān)于x的不等式（解集非空）的每一個(gè)x的值
和x
中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的至少滿(mǎn)足不等式取值范圍是______.（答：[7，818)）
七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通
分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如
（1）解不等式
2）； 的解集為，則關(guān)于x的不等式
（答：
（2）關(guān)于x的不等式 的解集為_(kāi)___________）.（答：
八．絕對(duì)值不等式的解法：
1．分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式
|
（答：）；
（2）利用絕對(duì)值的定義；
（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式
（答：
（4）兩邊平方：如
若不等式______。
（答：{）
九．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類(lèi)討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上，原不等式的解集是?”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如
（1）若loga，則a
對(duì)
恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為）的取值范圍是__________
（答：或
（2）解不等式
ax）；
1a
1a
或）時(shí)，時(shí)，（答：
}；
時(shí)，{x|或
；
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）
不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式的解集為，則不等式的解集為
__________（答：（－1,2））
十一．含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：
a、b同號(hào)或有號(hào)或有
； a、b異
如設(shè)，實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足，求證：
十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方
式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問(wèn)題
若不等式
若不等式
在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上如（1）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，c的取值范圍是______）（答：；（2）不等式）；
在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上
對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍_____（答：
（3）若不等式取值
對(duì)滿(mǎn)足的所有m都成立，則x的范圍_____
（答：（（4）若不等式
n
，））；
對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取
值范圍是_____
（答：）；
（5）若不等式對(duì)求m的 取值范圍.（答：）
2).能成立問(wèn)題
若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式上
；
若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式上的如
已知不等式范圍____
（答：）
3).恰成立問(wèn)題
若不等式在區(qū)間D上恰成立, 解集為D； 的所有實(shí)數(shù)x都成立，成立,則等價(jià)于在區(qū)間D
成立,則等價(jià)于在區(qū)間D
則等價(jià)于不等式的若不等式解集為D.在區(qū)間D上恰成立, 則等價(jià)于不等式的在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值
第三篇：不等式證明的基本方法 經(jīng)典例題透析
經(jīng)典例題透析
類(lèi)型一：比較法證明不等式
1、用作差比較法證明下列不等式：
；
(a，b均為正數(shù)，且a≠b)
（1）
（2）
思路點(diǎn)撥：（1）中不等號(hào)兩邊是關(guān)于a,b,c的多項(xiàng)式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab這樣的結(jié)構(gòu)，考慮配方來(lái)說(shuō)明符號(hào)；（2）中作差后重新分組進(jìn)行因式分解。
證明：
（1）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立，（2）
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào)）.∵a>0, b>0, a≠b，∴a+b>0,(a-b)2>0，∴
∴
.，總結(jié)升華：作差，變形（分解因式、配方等），判斷差的符號(hào)，這是作差比較法證明不等式的常用方法。
舉一反三：
【變式1】證明下列不等式：
(1)a2+b2+2≥2(a+b)
(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)
(3)a2+b2≥ab+a+b-1
【答案】
（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0
∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）證法同（1）
（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0
∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1
【變式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求證：ax2+by2≥(ax+by)2
【答案】
ax2+by2-(ax+by)2
=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2
2、用作商比較法證明下列不等式：
(a，b均為正實(shí)數(shù)，且a≠b)，且a，b，c互不相等）
（1）
（2）（a，b，c∈
證明：
（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b為不等正數(shù)，∴
∴，∴
（2）證明：
不妨設(shè)a>b>c，則
∴
所以，總結(jié)升華：當(dāng)不等號(hào)兩邊均是正數(shù)乘積或指數(shù)式時(shí)，常用這種方法，目的是約分化簡(jiǎn).作商比較法的基本步驟:判定式子的符號(hào)并作商變形 判定商式大于1或等于1或小于1 結(jié)論。
舉一反三：
【變式1】已知a>2，b>2，求證：a+b
∴
∴
∴
【變式2】已知a，b均為正實(shí)數(shù)，求證：aabb≥abba
【答案】
∵a>0, b>0, ∴ aabb與abba均為正，∴，分類(lèi)討論可知（分a>b>0, a=b>0, 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立，∴ aabb≥abba.類(lèi)型二：綜合法證明不等式 3、a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 證明： 法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc ∵a,b,c不全相等，∴上述三個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均為正數(shù)，由三個(gè)數(shù)的平均不等式得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2) ∴不等式成立.總結(jié)升華：綜合法是由因?qū)Ч?，從已知出發(fā)，根據(jù)已有的定義、定理，逐步推出欲證的不等式成立。 舉一反三： 【變式1】a , b, m∈R+，且a 【答案】 ∵0 ∵lg9>0, lg11>0，∴ ∴ , ∴l(xiāng)g9·lg11<1.，4、若a>b>0，求證：.思路點(diǎn)撥：不等號(hào)左邊是一個(gè)各項(xiàng)皆正的“和的形式”，但左側(cè)是兩項(xiàng)而右側(cè)都出現(xiàn)了特征數(shù)“3”.因此啟發(fā)我們將左側(cè)拆成3項(xiàng)的和利用平均值定理.證明：，∵ a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ，∴ ，∴ 舉一反三： （當(dāng)且僅當(dāng)，即a=2，b=1的等號(hào)成立） 【變式】x, y,z∈R+, 求證： 證明：∵ x, y,z∈R+,∴ ，同理，∴ ，∴，a2-2ac+c2 5、已知a,b>0，且2c>a+b，求證： 證明：要證 只需證： 即證： ∵a>0，只需證a+b<2c ∵已知上式成立，∴原不等式成立。 總結(jié)升華： 1．分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析使之成立的條件，把證不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的 問(wèn)題，若能肯定這些條件都成立，就可斷定原不等式成立。 2．分析法在不等式證明中占有重要地位，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。 3．基本思路：執(zhí)果索因 4.格式：要證??，只需證??，只需證??，因?yàn)??成立，所以原不等式得證。 舉一反三： 【變式1】求證：a3+b3>a2b+ab2(a，b均為正數(shù)，且a≠b) 【答案】 要證a3+b3>a2b+ab2，即證(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b) ∵a，b∈ ，∴a+b>0 只需證a2+b2-ab≥ab，只需證a2+b2≥2ab 只需證(a-b)2≥0，∵(a-b)2≥0顯然成立 所以原不等式成立。 【變式2】a , b, m∈R+，且a 【答案】 ∵ b>0且b+m>0，.∴，∴ 成立 ∴.【變式3】求證： 【答案】 要證 只需證，而，只需證，只需證，顯然成立，所以原不等式得證。 【變式4】若a>1，b>1，c>1，ab=10求證：logac+logbc≥4lgc 【答案】 要證logac+logbc≥4lgc，只需證 只需證，只需證 ∵，∴成立 所以原不等式成立 【變式5】設(shè)x>0，y>0，x≠y，求證： 證明：要證 只需證，只需證 只需證 因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立 所以 類(lèi)型四：反證法證明不等式 6、已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一個(gè)不大于。 思路點(diǎn)撥：此題目若直接證，從何處入手？對(duì)于這樣正面情況較為復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮使用反證法。 證明：假設(shè)原結(jié)論不成立，即，則三式相乘有：??① 又∵0 總結(jié)升華：反證法的基本思路是：“假設(shè)——矛盾——肯定”，采用反證法證明不等式時(shí)，從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過(guò)程中，每一步推理都必須是正確的。由于本題題目的結(jié)論是：三個(gè)數(shù)中“至少有一個(gè)不大于 ”，情況比較復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)多個(gè)由異向不等式組 ”，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明了，成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對(duì)結(jié)論的否定是三個(gè)數(shù)“都大于為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。 舉一反三： 【變式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0 【答案】 假設(shè)a≤0 若a<0，∵abc>0，∴bc<0 又由a+b+c>0，則b+c>-a>0 ∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0，與題設(shè)矛盾 若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0 同理可證：b>0，c>0 類(lèi)型五：放縮法證明不等式 7、若a,b,c,dR+，求證： 思路點(diǎn)撥：記中間4個(gè)分式之和的值為m，顯然，通過(guò)通分求出m的值再與1、2比大小是困難的，可考慮運(yùn)用放縮法把異分母化成同分母。 證明：記 ∵a,b,c,dR+，∴ ∴1 總結(jié)升華：證后半部分，還可用“糖水公式”，即 常用的放縮技巧主要有： ① f(x)為增函數(shù)，則f(x-1) 進(jìn)行放縮。 ② 分式放縮如 ③ 根式放縮如 舉一反三： ； 【變式1】求證： 【答案】 ∴ 【變式2】 當(dāng)n>2時(shí)，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1 【答案】 ∵n>2，∴l(xiāng)ogn(n-1)>0，logn(n+1)>0 ∴ ∴n>2時(shí)，logn(n-1)logn(n+1)<1 類(lèi)型六：其他證明不等式的方法 1.構(gòu)造函數(shù)法 8、已知a>2，b>2，求證：a+b 當(dāng)a>2時(shí)，f(a) ∴a+b 總結(jié)升華：不等式證明方法很靈活。分析不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單。 舉一反三： 【變式】已知a≥3，求證： 【答案】。 令（x≥0).∵f(x)在x∈[0,+∞)上是遞減函數(shù)，∴f(a-1) 2、三角換元法： 9、求證： [0,π]，證明：∵-1≤x≤1，∴令x=cos, 則 ∵-1≤sin≤1，10、若x2+y2≤1，求證： 證明：設(shè) 則 11、若x>1，y>1，求證： 證明：設(shè) 則 12、已知：a>1,b>0，a-b=1，求證： 證明：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設(shè) 則 總結(jié)升華： ①若0≤x≤1，則可令 ②若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π) ③若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π) ④若x≥1，則可令，若xR，則可令 舉一反三： 【變式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd 【答案】 ∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè) ∵y2=c2+d2，∴不妨設(shè) ∴ ∴xy≥ac+bd 【變式2】已知x>0，y>0，2x+y=1，求證： 【答案】 由x>0,y>0，2x+y=1，可設(shè) 則 類(lèi)型六：一題多證 13、若a>0，b>0，求證： 思路點(diǎn)撥：由于a>0，b>0，所以求證的不等式兩邊的值都大于零，本題用作差法，作商法和綜合法，分析法給出證明。 證明： 證法一：作差法 ∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0 ∴ 證法二：作商法，得證。 ∵a>0,b>0,∴a+b>0，∴得證。 證法三：分析法 要證，只需證a3+b3≥(a+b)ab 只需證(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)ab(∵a+b>0) 只需證a2-ab+b2≥ab 只需證(a-b)2≥0 ∵(a-b)2≥0成立，∴得證 證法四：綜合法 ∵a>0,b>0，∴同向不等式相加得： 舉一反三： 【變式】已知 【答案】 證法一： 都是實(shí)數(shù)，且求證：，同理 證法二： 即 .證法三： 要證 所以原不等式成立.證法四： 原不等式等價(jià)于不等式 用比較法證明 且 ，只需證 只需證 又 所以 證法五： 設(shè) 則 即 故可考慮用三角換元法.證法六： 用向量的數(shù)量積來(lái)證明 設(shè)， 第三章:不等式、不等式解法、線(xiàn)性規(guī)劃 1.不等式的基本概念 不等（等）號(hào)的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.2.不等式的基本性質(zhì) （1）a?b?b?a（對(duì)稱(chēng)性）（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性） （3）a?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性） （4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）（6）a.?b,c?0?ac?bc （7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性） （8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘） (9)a?b?0,0?c?d?11ab（異向不等式相除）(10)a?b,ab?0??（倒數(shù)關(guān)系）?abcd （11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則） （12）a?b?0?a?b(n?Z,且n?1)（開(kāi)方法則） 練習(xí)：（1）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題： ①若a?b,則ac?bc；②若ac?bc,則a?b； ③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則 ⑤若a?b?0,則22222211?； abba?；⑥若a?b?0,則a?b； ab ab11⑦若c?a?b?0,則；⑧若a?b,?，則a?0,b?0。?c?ac?bab 其中正確的命題是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______ （答：1?3x?y?7）； （3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則 3.幾個(gè)重要不等式 （1）若a?R,則|a|?0,a2?0 （2）若a、b?R,則a?b?2ab(或a?b?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)） （3）如果a,b都是正數(shù)，那么 ?c1??的取值范圍是______（答：??2,??）2?a??2222a?b.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）2極值定理：若x,y?R,x?y?S,xy?P,則： 1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最小；○ 2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.○ 利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等 .(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時(shí)取等號(hào)） 3ba(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）ab (6)a?0時(shí)，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a （7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.幾個(gè)著名不等式 （1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么 a?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）??2?ab 即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）： 2a?b2a2?b2a?b2a2?b2)?)??ab）特別地，ab?(（當(dāng)a = b時(shí)，(2222 a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時(shí)取等)33?? 222?冪平均不等式：a1?a2?...?an?21(a1?a2?...?an)2 n 注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).1111111常用不等式的放縮法：①???2???(n?2) nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n ????n?1) （2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則 2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)1?2?3???n時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn （3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù) 若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1?x2),有 x1?x2f(x1)?f(x2)x?xf(x1)?f(x2))?或f(12)?.222 2則稱(chēng)f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法 比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根軸法： 步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線(xiàn)（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論； 2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.a?0????x1?x2???0????x1?x2?? ??a?0??0??????0?????? （2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則 ?f(x)g(x)?0 f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0;?0??g(x)g(x)?g(x)?0 （3）無(wú)理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 1?f(x)?0????定義域 ???g(x)?0??f(x)?g(x)? ?f(x)?0f(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2f(x)?g(x)??g(x)?0? ?f(x)?03f(x)?g(x)?? ○?g(x)?02??f(x)?[g(x)] （4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x); （5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb ?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0; ?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)? （6）含絕對(duì)值不等式 1應(yīng)用分類(lèi)討論思想去絕對(duì)值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○ 3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化 ○ g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時(shí)為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x) 7、線(xiàn)性規(guī)劃 （1）線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是線(xiàn)性關(guān)系式如z?ax?by?c（b?0）時(shí)，可把目標(biāo)函數(shù)變形為 az?cz?c，則可看作在在y軸上的截距，然后平移直線(xiàn)法是解決此類(lèi)問(wèn)題y??x?bbb的常用方法，通過(guò)比較目標(biāo)函數(shù)與線(xiàn)性約束條件直線(xiàn)的斜率來(lái)尋找最優(yōu)解.一般步驟如下： 1.做出可行域;2.平移目標(biāo)函數(shù)的直線(xiàn)系,根據(jù)斜率和截距,求出最優(yōu)解.（2）非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題的解法 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)時(shí)非線(xiàn)性函數(shù)時(shí)，一般要借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后根據(jù)其幾何意義，數(shù)形結(jié)合，來(lái)求其最優(yōu)解。近年來(lái)，在高考中出現(xiàn)了求目標(biāo)函數(shù)是非線(xiàn)性函數(shù)的范圍問(wèn)題.這些問(wèn)題主要考察的是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,出題形式越來(lái)越靈活,對(duì)考生的能力要求越來(lái)越高.常見(jiàn)的有以下幾種： 比值問(wèn)題：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z?y?a時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)Q(b,a)連線(xiàn)x?b 22的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線(xiàn)斜率的最值。距離問(wèn)題：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z?(x?a)?(y?b)時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn) Q(a,b)距離的平方，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ距離平方的最值。 ?x+y?0?2截距問(wèn)題：例 不等式組?x?y?0表示的平面區(qū)域面積為81，則x?y的最小值為_(kāi)____ ?x?a? ?????????x?4y?3?0,OP?OA?的向量問(wèn)題：例已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿(mǎn)足：?3x?5y?25,及A（2，0），則OA?x?1?0.? 最大值是. 學(xué)大教育（佛山）個(gè)性化學(xué)習(xí)中心 Foshan Xueda Education Individualized learning center 個(gè)性化教學(xué)輔導(dǎo)教案 關(guān)注成長(zhǎng)每一天咨詢(xún)熱線(xiàn)：0757-88018866 1 關(guān)注成長(zhǎng)每一天咨詢(xún)熱線(xiàn)：0757-88018866 關(guān)注成長(zhǎng)每一天咨詢(xún)熱線(xiàn)：0757-88018866 關(guān)注成長(zhǎng)每一天咨詢(xún)熱線(xiàn)：0757-88018866 關(guān)注成長(zhǎng)每一天咨詢(xún)熱線(xiàn)：0757-88018866第四篇：必修五基本不等式 知識(shí)點(diǎn)
第五篇：1證明二 詳細(xì)知識(shí)點(diǎn)+例題+習(xí)題
點(diǎn)擊咨詢(xún) 