第一篇：高等數(shù)學(xué)部分的重點(diǎn)難點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)部分的重點(diǎn)難點(diǎn)

轉(zhuǎn)眼間，暑假已過將近一半，對(duì)于廣大備戰(zhàn)2013考研的考生來說，無疑得暑假者得天下。在考研的各門科目中，數(shù)學(xué)考試綜合性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面廣、難度大，提醒廣大考生一定要及早復(fù)習(xí)。高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)內(nèi)容最多的一部分，在數(shù)一和數(shù)三中，高數(shù)部分占總分的56%，在數(shù)二中，高數(shù)部分占78%，所以高等數(shù)學(xué)對(duì)總體成績的高低也就顯得尤為重要了。下面就如何復(fù)習(xí)考研數(shù)學(xué)中的高等數(shù)學(xué)部分給廣大考生以下建議：

第一：要明確考試重點(diǎn)，充分把握重點(diǎn)。比如高數(shù)第一章的不定式的極限，我們要充分把握求不定式極限的各種方法，比如利用極限的四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則等等，另外兩個(gè)重要極限也是重點(diǎn)內(nèi)容；對(duì)函數(shù)的連續(xù)性的探討也是考試的重點(diǎn)，這要求我們充分理解函數(shù)連續(xù)的定義和掌握判定連續(xù)性的方法。

第二：關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微分。其實(shí)考試的重點(diǎn)并不是給一個(gè)函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)，而是導(dǎo)數(shù)的定義，也就是抽象函數(shù)的可導(dǎo)性。還要熟練掌握各類多元函數(shù)求偏導(dǎo)的方法以及極值與最值的求解與應(yīng)用問題。

第三：關(guān)于積分部分，定積分、分段函數(shù)的積分、帶絕對(duì)值的函數(shù)的積分等各種積分的求法都是重要的題型。而且求積分的過程中，特別要留意積分的對(duì)稱性，利用分段積分去掉絕對(duì)值把積分求出來。二重積分的計(jì)算，當(dāng)然數(shù)學(xué)一里面還包括了三重積分，這里面每年都要考一個(gè)題目。另外曲線和曲面積分，這也是必考的重點(diǎn)內(nèi)容。

第四：微分方程，無窮級(jí)數(shù)，無窮級(jí)數(shù)的求和等這兩部分內(nèi)容相對(duì)比較孤立，也是難點(diǎn)，需要記憶的公式、定理比較多。微分方程中需要熟練掌握變量可分離的方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法，以及二階常系數(shù)線性微分方程的求解，對(duì)于這些方程要能夠判斷方程類型，利用對(duì)應(yīng)的求解方法、求解公式，能很快的求解。對(duì)于無窮級(jí)數(shù)，要會(huì)判斷級(jí)數(shù)的斂散性，重點(diǎn)掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域的求解，以及求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)等。

充分把握住這些重點(diǎn)，根據(jù)自己的情況有針對(duì)性的復(fù)習(xí)會(huì)達(dá)到很不錯(cuò)的效果。相信經(jīng)過有計(jì)劃有目標(biāo)的復(fù)習(xí)，每個(gè)考生都可以使自己的綜合解題能力有一個(gè)質(zhì)的提高，從而在最后的考試中考出好的成績。

（摘自恩波考研）

第二篇：擔(dān)保法重點(diǎn)難點(diǎn)詳解(保證部分)

擔(dān)保法重點(diǎn)難點(diǎn)詳解（保證部分）

一、保證合同的概念分析

保證合同，是指保證人與債權(quán)人訂立的在主債務(wù)人不履行其債務(wù)時(shí)，由保證人來承擔(dān)保證債務(wù)的協(xié)議。

1、保證合同是單務(wù)合同（或稱片務(wù)合同）、無償合同，由于保證合同的當(dāng)事人是保證人和債權(quán)人，保證人單方承擔(dān)保證債務(wù)，而債權(quán)人無需支付對(duì)價(jià)便可請(qǐng)求獲得債權(quán)實(shí)現(xiàn)的利益，因而具有單務(wù)性，無償性，有的著作把保證合同錯(cuò)誤的認(rèn)為可以是有償合同，原因在于把保證的基礎(chǔ)關(guān)系與保證合同相提并論（參見總論部分第4目），前者可以是一個(gè)有償?shù)姆尚袨椋ㄈ缥校?，但基礎(chǔ)關(guān)系與保證關(guān)系不屬于相同的因果鏈條。

2、保證合同為諾成合同，因保證人與債權(quán)人協(xié)商一致而成立，不以交付標(biāo)的物為要件。

3、保證合同為要式合同?！稉?dān)保法》13條規(guī)定：“保證人與債權(quán)人應(yīng)當(dāng)以書面形式訂立保證合同》?！彼裕钥陬^訂立的保證合同，除非保證人已實(shí)際履行，保證合同不得成立。但主合同中雖然沒有保證條款，只要保證人在主合同上以保證人的身份簽字或者蓋章的，保證合同也可以成立。（解釋22條第2款）

二、保證合同的法律性質(zhì)

1、保證合同具有附從性

保證合同是依附于主債權(quán)合同而存在的，隨主合同消滅而消滅，其附從性具體表現(xiàn)在：

首先，在成立上保證以主合同的成立為前提。

其次，受目的所限，保證債務(wù)的強(qiáng)度和范圍不得強(qiáng)于或大于主合同債務(wù)，如有超過應(yīng)縮減至主合同債務(wù)的程度。如，約定保證債務(wù)的利息高于主合同債務(wù)的利息的，應(yīng)縮減至主合同債務(wù)的利息；約定主合同債務(wù)人僅就其重大過失負(fù)責(zé)的，保證人也就只就其重大過失負(fù)責(zé)；約定免除債務(wù)人部分債務(wù)的，保證人的債務(wù)也相應(yīng)降低；約定主債務(wù)為附條件的，只成立附條件的保證。

再次，移轉(zhuǎn)上的附從性，債權(quán)人依法將主債權(quán)轉(zhuǎn)讓給第三人的，保證人在原保證范圍內(nèi)繼續(xù)承擔(dān)保證責(zé)任。但是保證人與債權(quán)人事先約定僅對(duì)特定的債權(quán)人承擔(dān)保證責(zé)任或者禁止債權(quán)轉(zhuǎn)讓的，保證人不再承擔(dān)保證責(zé)任。（擔(dān)保法解釋28條）

最后，變更消滅之附從性。（1）所謂變更，非指主債務(wù)范圍之變更，而是主債務(wù)性質(zhì)之變更。前者即如主合同數(shù)量、價(jià)款、幣種、利率等內(nèi)容變更，保證債務(wù)原則上不隨之變更，除非是如減輕主債務(wù)人的責(zé)任，否則需經(jīng)保證人書面同意方繼續(xù)承擔(dān)保證責(zé)任（擔(dān)保法解釋30條第1款）；后者指主債務(wù)體態(tài)之變更，如主債務(wù)變?yōu)閾p害賠償債務(wù)時(shí)，保證債務(wù)也變?yōu)閾p害賠償債務(wù)之保證，例如花月梧向戲院保證名角西門吹吹于某日前往獻(xiàn)藝，而后西門毀約，花月技窮而無代西門履行之能力，故此時(shí)主債務(wù)轉(zhuǎn)化為損害賠償之金錢債務(wù)，花月之保證債務(wù)亦隨之變更。對(duì)此擔(dān)保法解釋13條予以了肯定。（2）主債務(wù)消滅時(shí)，保證債務(wù)也隨之消滅（主合同解除除外，參見總論部分第7目）。

2、保證合同具有相對(duì)獨(dú)立性

保證債務(wù)雖附從于主債務(wù)，但并非主債務(wù)之一部分，而是一個(gè)獨(dú)立的債務(wù)，因此在附從范圍內(nèi)其強(qiáng)度和范圍可以不同于主債務(wù)。例如，可以就無條件之主債務(wù)成立附條件之保證；關(guān)于保證合同發(fā)生的抗辯權(quán)（先訴抗辯權(quán)），保證人可以單獨(dú)行使；保證人死亡，繼承人原則上需繼承該保證債務(wù)等。

另需要指出，在國家貿(mào)易中運(yùn)用的“不可撤消保函”、“見索即付的保函”等，則純粹為獨(dú)立于主債務(wù)的保證合同，不因主合同無效、被撤消受到影響，稱

為“獨(dú)立保證”。但在我國司法實(shí)踐，是嚴(yán)格區(qū)分國內(nèi)和國家兩種情況的，對(duì)于國內(nèi)企業(yè)、銀行之間約定的獨(dú)立保證，均采取否定態(tài)度。

3、保證合同具有補(bǔ)充性

保證債務(wù)之履行，需有兩個(gè)前提要件：

1、主債務(wù)之不履行，一般保證中尚需強(qiáng)制執(zhí)行主債務(wù)人財(cái)產(chǎn)而無效果；

2、債權(quán)人提出請(qǐng)求。因此，保證類似于附停止條件之債務(wù)（并非相當(dāng)于），這是由其擔(dān)保功能決定的。

三、保證能力

保證能力是一種特殊的權(quán)利能力，保證人除需具有民事主體資格這種一般的權(quán)利能力外，尚需特殊的條件方可為保證行為，并非任何民事主體都可以充當(dāng)保證人。值得注意的是，有的著作把保證能力理解為一種行為能力，這是不恰當(dāng)?shù)模驗(yàn)槿绻藶樾袨槟芰Φ脑?，則無保證能力的民事主體（如國家機(jī)關(guān)）完全可以通過代理制度來進(jìn)行自己的保證行為?，F(xiàn)依據(jù)擔(dān)保法及相關(guān)規(guī)定，分析如下：

1、國家機(jī)關(guān)為公務(wù)而設(shè)立，因此原則上無保證能力，但經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)為使用外國政府或者國際經(jīng)濟(jì)組織貸款進(jìn)行轉(zhuǎn)貸的除外。（擔(dān)保法第8條）值得注意的是，由計(jì)劃經(jīng)濟(jì)體制殘留下來的某些國家機(jī)關(guān)既是管理部門，又是經(jīng)營者，有一定的營業(yè)收入，如號(hào)稱計(jì)劃經(jīng)濟(jì)最后堡壘的鐵道部門、郵政部門，是否可以擔(dān)任保證人呢？從字面理解當(dāng)然不行，但從實(shí)務(wù)角度看此類機(jī)關(guān)充當(dāng)保證人的情況不少，不宜一律認(rèn)定無效，至少應(yīng)允許其以國家撥款以外的財(cái)產(chǎn)進(jìn)行保證行為（應(yīng)對(duì)法條作目的性擴(kuò)充解釋）。

2、學(xué)校學(xué)校、幼兒園、醫(yī)院等以公益為目的的事業(yè)單位、社會(huì)團(tuán)體不得為保證人（擔(dān)保法第9條）。公益乃不特定之多數(shù)人的利益，法律為防止減損公益財(cái)產(chǎn)故限制其權(quán)利能力。但對(duì)于一些已經(jīng)獨(dú)立核算、從事經(jīng)營活動(dòng)的事業(yè)單位、社會(huì)團(tuán)體，可以作為保證人（擔(dān)保法解釋16條）。

3、公司是否可以作為保證人，理解上有分歧，一些國家和地區(qū)的法律均對(duì)公司的保證能力進(jìn)行限制，如臺(tái)灣公司法規(guī)定除專門經(jīng)營保證業(yè)務(wù)的公司外，不

得為任何保證人。有人認(rèn)為，我國公司法60條規(guī)定的董事經(jīng)理不得以公司資產(chǎn)為本公司股東或其他個(gè)人提供擔(dān)保，因此公司也不具備保證能力。但實(shí)際上，我國立法并沒有禁止公司的保證能力，而只是禁止董事或經(jīng)理繞過董事會(huì)任意處分公司財(cái)產(chǎn)。因此，公司可以作為保證人。

4、公司的分支機(jī)構(gòu)與職能部門。擔(dān)保法第10條明文規(guī)定，企業(yè)法人的分支機(jī)構(gòu)、職能部門不得對(duì)外保證，分支機(jī)構(gòu)只有在法人書面授權(quán)的情況下才能進(jìn)行保證，這是因?yàn)樗鼈兙痪哂歇?dú)立的民事主體資格。而擔(dān)保法解釋17條進(jìn)一步規(guī)定，法人有授權(quán)但授權(quán)不明的，視為無限授權(quán)，保證有效，由分支機(jī)構(gòu)的財(cái)產(chǎn)承擔(dān)保證責(zé)任，不足部分由法人承擔(dān)。解釋18條又規(guī)定，職能部門在任何情況下以自己名義簽定的保證合同統(tǒng)歸無效。

5、保證人的代償能力?！稉?dān)保法》第7條規(guī)定，具有代為清償債務(wù)能力的法人、其他組織或者公民，可以作保證人。據(jù)此，有學(xué)者認(rèn)為代償能力是對(duì)保證人行為能力的限制，無代償能力者為保證人的，該保證無效。先不說這種理解到底有沒有弄清“可以”與“應(yīng)當(dāng)”的區(qū)別，就好比“女人可以進(jìn)女廁所”就推論出“進(jìn)女廁所的必然是女人”一樣荒謬；單從法理上分析這種觀點(diǎn)也是站不住腳的：其一，清償能力不屬于民事行為能力的范疇，任何一個(gè)文明國家都不會(huì)因?yàn)楦F人沒有錢而限制其行為能力，其二，清償能力本身具有不確定性，而作為法定資格的“能力”必須是穩(wěn)定的，就好比我們不能把一時(shí)性喪失神智的人視為無行為能力人。對(duì)此，解釋14條明確規(guī)定，不具有完全代償能力的法人、其他組織或者自然人，以保證人身份訂立保證合同后，又以自己沒有代償能力要求免除保證責(zé)任的，人民法院不予支持。

四、保證合同的范圍和種類

1、保證合同的范圍

保證合同的范圍依當(dāng)事人的約定，沒有約定則按《擔(dān)保法》21條處理，即包括主債權(quán)及利息、違約金、損害賠償金和實(shí)現(xiàn)債權(quán)的費(fèi)用。

2、被保證的主債權(quán)種類

（1）主債權(quán)的種類既可以是種類之債也可以是特定之債，可以是專屬性的債務(wù)也可以是非專屬性的債務(wù)，如果被保證的債務(wù)是非金錢債務(wù)，可以由保證人代替履行，如果不能代替履行，則由保證人承擔(dān)賠償責(zé)任。（解釋第13條）

（2）自然債務(wù)也可以作為保證的對(duì)象，解釋35條規(guī)定，保證人對(duì)保證人對(duì)已經(jīng)超過訴訟時(shí)效期間的債務(wù)提供保證的，又以超過訴訟時(shí)效為由抗辯的，人民法院不予支持。也就是說，無論保證人是否得知該債務(wù)為自然之債，只要承諾保證，就必須承擔(dān)保證責(zé)任（這也體現(xiàn)了保證合同的獨(dú)立性）。不過，如果是在保證成立后主債務(wù)因時(shí)效完成而變?yōu)樽匀粋鶆?wù)的，保證人也可以主張債務(wù)人對(duì)債權(quán)人不予履行的抗辯，需要注意的是，保證人一旦就此類債務(wù)自愿承擔(dān)了保證責(zé)任，就不得再反悔。（解釋35條）

（3）對(duì)于未來的債權(quán)，也可以進(jìn)行擔(dān)保，《擔(dān)保法》14條規(guī)定，當(dāng)事人可以協(xié)議在最高債權(quán)額限度內(nèi)就一定期間連續(xù)發(fā)生的借款合同或者某項(xiàng)商品交易合同訂立一個(gè)保證合同。這就是所謂的“最高額保證”。一般來說，最高額保證只擔(dān)保一定期限內(nèi)所發(fā)生的債務(wù)（解釋23條），如果當(dāng)事人疏忽而沒有約定該期限，就會(huì)出現(xiàn)不定期的最高額保證，為了避免保證人承擔(dān)無休止的債務(wù)保證責(zé)任，法律必須擬制一個(gè)確定的決算期限，如果當(dāng)事人有約定，應(yīng)當(dāng)以約定期限的終點(diǎn)為決算期，如果沒有約定，則以保證人的通知到達(dá)債權(quán)人之日為決算期（擔(dān)保法27條）。但應(yīng)當(dāng)注意，保證人所擔(dān)保債務(wù)的具體數(shù)額并非指確定期間發(fā)生的全部債權(quán)總額，而是指決算期時(shí)的債權(quán)余額。（解釋23條）

五、保證的方式

1、一般保證

所謂一般保證，是指當(dāng)事人在保證合同中約定，債務(wù)人不能履行債務(wù)時(shí)，由保證人承擔(dān)保證責(zé)任的，為一般保證（擔(dān)保法17條第1款）。一般保證人享有先訴抗辯權(quán)，又稱為檢索抗辯權(quán)，即保證人在主合同糾紛未經(jīng)審判或者仲裁，并

就債務(wù)人財(cái)產(chǎn)依法強(qiáng)制執(zhí)行仍不能履行債務(wù)前，對(duì)債權(quán)人可以拒絕承擔(dān)保證責(zé)任（17條第2款）。

2、連帶保證

所謂連帶保證，是指當(dāng)事人在保證合同中約定由保證人和債務(wù)人承擔(dān)連帶責(zé)任的保證。連帶保證與一般保證最大的區(qū)別是保證人是否享有先訴抗辯權(quán)，這表明，保證人在一般保證中的地位比較優(yōu)越，承擔(dān)責(zé)任的風(fēng)險(xiǎn)較低，而連帶保證的保證人則風(fēng)險(xiǎn)較大，只要債務(wù)人不履行債務(wù)，保證人就得滿足債權(quán)人提出的履行請(qǐng)求。如此重大事項(xiàng)，關(guān)乎保證人切身利益，因此保證方式應(yīng)在保證合同中明確約定。但就擔(dān)保的功能而言，系為實(shí)現(xiàn)債權(quán)人之債權(quán)計(jì)，故法律略有袒護(hù)債權(quán)人之傾向，“當(dāng)事人對(duì)保證方式?jīng)]有約定或者約定不明確的，按照連帶責(zé)任保證承擔(dān)保證責(zé)任。”（擔(dān)保法第19條）

3、共同保證

一般保證與連帶保證為擔(dān)保法明文區(qū)分之擔(dān)保方式，但理論上還可區(qū)分單獨(dú)保證與共同保證。所謂共同保證，是指數(shù)個(gè)保證人擔(dān)保同一債權(quán)的保證。其中，“共同”僅指數(shù)量上的復(fù)數(shù)，各個(gè)保證合同是同時(shí)成立、彼此間有無意思聯(lián)絡(luò)，均在所不問。例如，債務(wù)人A先后找B、C為其債務(wù)為保證，B、C之間即使未曾謀面甚至不知相互之存在，就A之債務(wù)仍得成立共同保證。

關(guān)于共同保證的效力，《擔(dān)保法》12條規(guī)定：“同一債務(wù)有兩個(gè)以上保證人的，保證人應(yīng)當(dāng)按照保證合同約定的保證份額，承擔(dān)保證責(zé)任，沒有約定保證份額的，保證人承擔(dān)連帶責(zé)任，債權(quán)人可以要求任何一個(gè)保證人承擔(dān)全部保證責(zé)任，保證人都負(fù)有擔(dān)保全部債權(quán)實(shí)現(xiàn)的義務(wù)?！睋?dān)保法解釋19條第1款進(jìn)一步規(guī)定：“兩個(gè)以上保證人對(duì)同一債務(wù)同時(shí)或者分別提供保證時(shí)，各保證人與債權(quán)人沒有約定保證份額的，應(yīng)當(dāng)認(rèn)定為連帶共同保證?！边@說明了我國采取了這樣的處理原則：（1）首先看保證人與債權(quán)人之間有沒有對(duì)保證份額進(jìn)行明確約定；（2）沒有約定的認(rèn)定為連帶共同保證，各個(gè)保證人都負(fù)有擔(dān)保全部債權(quán)實(shí)現(xiàn)的義務(wù)；（3）共同保證人不得以內(nèi)部約定對(duì)抗債權(quán)人（解釋19條第2款）。

但需要指出的是，不能將所謂的“連帶（共同）保證”的擔(dān)保方式與“連帶責(zé)任保證”的擔(dān)保方式混淆。前者僅僅為“保證人的連帶”即為保證人之間的連帶責(zé)任，而后者指保證人與債務(wù)人之間的連帶責(zé)任。從體系解釋的角度，一般保證與連帶保證的擔(dān)保方式規(guī)定在了《擔(dān)保法》第二章第二節(jié)（擔(dān)保合同與擔(dān)保方式）中，而共同保證則規(guī)定在了第二章第一節(jié)（保證人）中，共同保證嚴(yán)格來講并非保證的法定方式，因此共同保證人是否需要與主債務(wù)人承擔(dān)連帶責(zé)任，還要具體考察該保證方式是屬于一般保證還是連帶保證。

六、保證合同的無效

保證合同效力原則上應(yīng)適用《合同法》的一般規(guī)定，這里只介紹擔(dān)保法規(guī)定的情況。按照民事法律行為的一般原理，法律行為的無效可分為絕對(duì)無效和相對(duì)無效，本文也遵循這一原則，分開予以討論：

1、絕對(duì)無效，即保證自始、絕對(duì)的不發(fā)生效力：

（1）企業(yè)法人的分支機(jī)構(gòu)未經(jīng)法人書面授權(quán)或企業(yè)法人的職能部門提供保證的提供保證的，保證合同無效。（解釋17、18條）

（2）國家機(jī)關(guān)未經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)而與債權(quán)人簽定保證合同的，保證無效。

（3）學(xué)校、幼兒園、醫(yī)院等以公益為目的的事業(yè)單位、社會(huì)團(tuán)體與債權(quán)人訂立保證合同的，保證無效；但從事經(jīng)營活動(dòng)的事業(yè)單位、社會(huì)團(tuán)體為保證人的除外。（解釋16條）

（4）董事、經(jīng)理違反《中華人民共和國公司法》第六十條的規(guī)定，以公司資產(chǎn)為本公司的股東或者其他個(gè)人債務(wù)提供擔(dān)保的，擔(dān)保合同無效。（解釋第4條）

（5）以法律、法規(guī)禁止流通的財(cái)產(chǎn)或者不可轉(zhuǎn)讓的財(cái)產(chǎn)設(shè)定擔(dān)保的，擔(dān)保合同無效。（解釋第5條）

（6）以下情形下對(duì)外擔(dān)保合同無效：

（一）未經(jīng)國家有關(guān)主管部門批準(zhǔn)或者登記對(duì)外擔(dān)保的；

（二）未經(jīng)國家有關(guān)主管部門批準(zhǔn)或者登記，為境外機(jī)構(gòu)向境內(nèi)債權(quán)人提供擔(dān)保的；

（三）為外商投資企業(yè)注冊(cè)資本、外商投資企業(yè)中的外方投資部分的對(duì)外債務(wù)提供擔(dān)保的；

（四）無權(quán)經(jīng)營外匯擔(dān)保業(yè)務(wù)的金融機(jī)構(gòu)、無外匯收入的非金融性質(zhì)的企業(yè)法人提供外匯擔(dān)保的；

（五）主合同變更或者債權(quán)人將對(duì)外擔(dān)保合同項(xiàng)下的權(quán)利轉(zhuǎn)讓，未經(jīng)擔(dān)保人同意和國家有關(guān)主管部門批準(zhǔn)的，擔(dān)保人不再承擔(dān)擔(dān)保責(zé)任。但法律、法規(guī)另有規(guī)定的除外。（解釋第6條）

（7）主合同當(dāng)事人雙方串通，騙取保證人提供保證的，保證合同無效（擔(dān)保法30條第一項(xiàng)）。注意，這條規(guī)定與合同法關(guān)于合同無效的一般規(guī)則有所不同，按照合同法的規(guī)定，合同雙方當(dāng)事人惡意串通損害他人利益的合同無效，但保證合同當(dāng)事人為保證人和債權(quán)人，債務(wù)人只是主合同的當(dāng)事人，因此對(duì)于保證人來說，債務(wù)人與債權(quán)人串通騙保僅僅構(gòu)成了欺詐，按照合同法應(yīng)該是可撤銷的合同，但擔(dān)保法顯然是考慮到保證合同單務(wù)性、無償性的特點(diǎn)，試圖矯正保證人與債權(quán)人之間的利益傾斜，但卻未考慮到保證合同基礎(chǔ)關(guān)系可能的有償性，以及沒有充分尊重當(dāng)事人的意思自治，難謂完全合理。不過依據(jù)特別法優(yōu)于一般法的原則，擔(dān)保法應(yīng)當(dāng)優(yōu)先適用。

（8）主合同債權(quán)人一方采取欺詐、脅迫等手段，使保證人在違背真實(shí)意思的情況下提供保證的，保證無效（擔(dān)保法30條第二項(xiàng)）。原理同上。

（9）主合同債務(wù)人一方采取欺詐、脅迫等手段，使保證人在違背真實(shí)意思的情況下提供保證的，債權(quán)人知道或者應(yīng)當(dāng)知道欺詐、脅迫事實(shí)的，保證無效。（解釋第40條）注意，適用本條的前提是“債權(quán)人知道或者應(yīng)當(dāng)知道欺詐、脅迫事實(shí)的”，如果債權(quán)人并不知道該事實(shí)，債務(wù)人的欺詐只能作為保證人簽定合同的動(dòng)機(jī)，不影響保證的效力。（參見總論部分第4目）

2、相對(duì)無效，即承認(rèn)保證的續(xù)存效力，但將撤銷權(quán)賦予一方當(dāng)事人。擔(dān)保法及其解釋對(duì)可撤銷的保證合同只規(guī)定了一種情形，即解釋41條規(guī)定的：債務(wù)人與保證人共同欺騙債權(quán)人，訂立主合同和保證合同的，債權(quán)人可以請(qǐng)求人民法院予以撤銷。這意味著債權(quán)人在這種情況下既可以撤銷主合同，也可以撤銷保證

合同，這充分體現(xiàn)了解釋對(duì)于意思自治采取了的靈活處理方式。因合同撤銷給債權(quán)人造成損失的，由保證人與債務(wù)人承擔(dān)連帶賠償責(zé)任。

七、保證抗辯權(quán)

保證合同單務(wù)性、無償性的特點(diǎn)，決定了保證人對(duì)于債權(quán)人只能享有消極的防御權(quán)利——抗辯權(quán)，此權(quán)利于保證人意義甚巨，故有必要給予重視。

1、保證人可以主張債務(wù)人享有的抗辯權(quán)（擔(dān)保法20條第1款）。抗辯權(quán)是指債權(quán)人行使債權(quán)時(shí)，債務(wù)人根據(jù)法定事由，對(duì)抗債權(quán)人行使請(qǐng)求權(quán)的權(quán)利（20條第2款）。抗辯權(quán)包括延期性抗辯和滅卻性抗辯，前者例如，主債務(wù)人對(duì)債權(quán)人之同時(shí)履行抗辯權(quán)、不安抗辯權(quán)等，后者如主合同不成立或無效、主債務(wù)時(shí)效屆滿等。

2、保證人可主張債務(wù)人享有的類似抗辯的權(quán)利。這主要包括合同撤銷權(quán)、抵銷權(quán)等。嚴(yán)格來說，這些權(quán)利并非抗辯權(quán)范疇，而屬于形成權(quán)性質(zhì)，但此類形成權(quán)在客觀上有阻卻債權(quán)人請(qǐng)求權(quán)的效力，因此也屬于廣義上的抗辯權(quán)。故對(duì)于擔(dān)保法20條規(guī)定的抗辯權(quán)應(yīng)作廣義理解。但應(yīng)注意，保證人不得直接行使債務(wù)人的撤銷權(quán)、抵銷權(quán)，僅得發(fā)生拒絕清償?shù)男ЯΑ?/p>

3、保證人享有一般債務(wù)人應(yīng)有的抗辯權(quán)。此權(quán)利為合同應(yīng)有之效力，如保證期限未至之抗辯、保證合同不成立或無效之抗辯、保證合同訴訟時(shí)效屆滿之抗辯等。

4、保證人專屬的抗辯權(quán)。

（1）先訴抗辯權(quán)（檢索抗辯權(quán)），僅為一般保證人所享有，是指一般保證人在債權(quán)人就債務(wù)人財(cái)產(chǎn)強(qiáng)制執(zhí)行無效果前，得拒絕其履行請(qǐng)求。這里所謂的執(zhí)行無效果，指對(duì)債務(wù)人的存款、現(xiàn)金、有價(jià)證券、成品、半成品、原材料、交通工具等可以執(zhí)行的動(dòng)產(chǎn)和其他方便執(zhí)行的財(cái)產(chǎn)執(zhí)行完畢后，債務(wù)仍未能得到清償?shù)臓顟B(tài)（參見解釋131條、總論部分第6目）。先訴抗辯權(quán)屬于延期性抗辯權(quán)，不能永久否定債權(quán)人之保證請(qǐng)求權(quán)。這里需要辨明的一個(gè)問題是：如果債權(quán)人同

時(shí)起訴一般保證人和債務(wù)人，法院是否可以判決保證人承擔(dān)保證責(zé)任？顯然，法院不應(yīng)剝奪一般保證人的先訴抗辯權(quán)，對(duì)此解釋做了靈活處理：一般保證的債權(quán)人向債務(wù)人和保證人一并提起訴訟的，人民法院可以（而非應(yīng)當(dāng)）將債務(wù)人和保證人列為共同被告參加訴訟。但是，應(yīng)當(dāng)在判決書中明確在對(duì)債務(wù)人財(cái)產(chǎn)依法強(qiáng)制執(zhí)行后仍不能履行債務(wù)時(shí)，由保證人承擔(dān)保證責(zé)任（解釋125條）。另外，依《擔(dān)保法》17條第3款規(guī)定，有下列情形之一的，保證人喪失先訴抗辯權(quán)：債務(wù)人住所變更，致使債權(quán)人要求其履行債務(wù)發(fā)生重大困難的；人民法院受理債務(wù)人破產(chǎn)案件，中止執(zhí)行程序的；保證人以書面形式放棄前款規(guī)定的權(quán)利的。（2）催告抗辯權(quán)，是指債權(quán)人請(qǐng)求保證人履行債務(wù)時(shí)，債權(quán)人須先向債務(wù)人請(qǐng)求履行，否則保證人得拒絕履行保證債務(wù)。對(duì)此，擔(dān)保法沒有明文規(guī)定，不過最高院《關(guān)于審理經(jīng)濟(jì)合同糾紛案件有關(guān)保證的若干問題的規(guī)定》第6條有所體現(xiàn)，依此規(guī)定，催告抗辯權(quán)僅適用于代為履行的保證責(zé)任，在這種情況下，債權(quán)人請(qǐng)求保證人代為履行時(shí)，應(yīng)先請(qǐng)求（書面或口頭）主債務(wù)人履行。

八、保證求償權(quán)與保證代位權(quán)

1、保證求嘗權(quán)

《擔(dān)保法》31條明確規(guī)定，保證人在承擔(dān)保證責(zé)任后，有權(quán)向債務(wù)人追償。而在共同保證的場合，承擔(dān)了保證責(zé)任的保證人享有雙重求嘗權(quán)，其既可以向債務(wù)人追償，也可以要求其他保證人清償其應(yīng)當(dāng)承擔(dān)的份額。問題在于，擔(dān)保法并沒有對(duì)求嘗權(quán)的性質(zhì)、行使要件和追償范圍做更具體的規(guī)定，因此給予進(jìn)一步的分析。

求嘗權(quán)行使要件包括：（1）保證人已經(jīng)向債權(quán)人作出清償；（2）保證人的清償使主債務(wù)得以消滅，如果保證人的履行有瑕疵，主債務(wù)不消滅或不完全消滅，則保證人不能或只能部分追償；（3）須保證人的清償沒有過錯(cuò)，如果保證人清償時(shí)沒有盡到應(yīng)有的注意義務(wù)使主債務(wù)人的利益受到不應(yīng)有的損失，則保證人在其過錯(cuò)范圍內(nèi)喪失求嘗權(quán)。例如，盤旋鳥向法專借款5000w法專幣，法典人生為鳥之連帶保證人，期至，盤旋鳥未還款，法典人生遂主動(dòng)向法專承擔(dān)清償責(zé)任，但并未及時(shí)通知盤旋鳥，幾日后，盤旋鳥懷著愧疚之心向法專帳戶匯償所欠借款

及利息，此時(shí)，由于法典之清償過錯(cuò)致使盤旋鳥善意地重復(fù)清償，法典之求嘗權(quán)喪失，只能向法專要求返還不當(dāng)?shù)美?/p>

求嘗權(quán)的效力范圍，應(yīng)視基礎(chǔ)關(guān)系之性質(zhì)而定。（1）如果保證人基于贈(zèng)與的意思而為保證，不發(fā)生求嘗權(quán)問題；（2）如果因接受委托而保證者，視其有無具體約定，若約定為有償委托，可請(qǐng)求報(bào)酬，若為無償委托，保證人求償?shù)姆秶鷳?yīng)包括：本金、利息、清償所支出的必要費(fèi)用等。（3）如果保證人并沒有接受委托而自愿保證，賠償范圍可以按照無因管理規(guī)則處理，即因管理而支出的必要費(fèi)用，但以債務(wù)人的受益范圍為限。對(duì)此，解釋43條予以了肯定：保證人自行履行保證責(zé)任時(shí)，其實(shí)際清償額大于主債權(quán)范圍的，保證人只能在主債權(quán)范圍內(nèi)對(duì)債務(wù)人行使追償權(quán)。

求嘗權(quán)在特殊情況下可以預(yù)先行使，依《擔(dān)保法》32條，保證人事前行使求嘗權(quán)的法定事由是“民法院受理債務(wù)人破產(chǎn)案件后，債權(quán)人未申報(bào)債權(quán)的”，在連帶共同保證的場合，各保證人應(yīng)當(dāng)作為一個(gè)主體申報(bào)債權(quán)，預(yù)先行使追償權(quán)。（解釋46條）

2、保證代位權(quán)有求償權(quán)之保證人，可以取代債權(quán)人的地位，行使其債權(quán)，稱之為保證代位權(quán)。其成立條件是：保證人承擔(dān)了保證責(zé)任和保證人依法獲得求嘗權(quán)。代位權(quán)的效力以求嘗權(quán)的范圍為限，且債務(wù)人對(duì)于債權(quán)人的抗辯同樣可以對(duì)抗保證人。

九、保證期間與保證債務(wù)的訴訟時(shí)效

1、保證期間及其性質(zhì)當(dāng)事人可以約定保證期間；沒有約定的，保證期間為主債務(wù)履行期屆滿之日起六個(gè)月；在最高額保證場合，如果沒有約定未來債務(wù)的清償期限，保證期間自最高額保證終止之日或自債權(quán)人收到保證人終止保證合同的書面通知到達(dá)之日起六個(gè)月（解釋37條）；如果保證合同約定的保證期間早于或者等于主債務(wù)履行期限的，推定為沒有約定（解釋32條第1款）；保證合同約定保證人承擔(dān)保證責(zé)任直至主債務(wù)本息還清時(shí)為止等類似內(nèi)容的，視為約定不明，保證期間為主債務(wù)履行期屆滿之日起二年（第2款）；

對(duì)于保證期間的起算時(shí)間，一般規(guī)定為主債務(wù)履行期限屆滿之日，但如果主合同對(duì)主債務(wù)履行期限沒有約定或者約定不明的，保證期間自債權(quán)人要求債務(wù)人履行義務(wù)的寬限期屆滿之日起計(jì)算（解釋33條）。

債權(quán)人超過保證期間不請(qǐng)求保證人履行債務(wù)的，保證人可以免責(zé)。

保證期間不屬于訴訟時(shí)效，因?yàn)楸ＷC期間可以約定（訴訟時(shí)效為法定期間），而且不得中止、中斷、延長（解釋31條）。保證期間也不屬于除斥期間，因?yàn)槌馔瑯訛榉ǘㄆ陂g，不得由當(dāng)事人約定，且除斥期間的客體是形成權(quán)，而保證期間消滅的債權(quán)。所以，保證期間是一種獨(dú)立的權(quán)利續(xù)存期間，有學(xué)者稱之為“失權(quán)期間”。

2、保證債務(wù)的訴訟時(shí)效

如前所言，保證期間是一個(gè)“失權(quán)期間”，但只要債權(quán)人在保證期間內(nèi)及時(shí)對(duì)擔(dān)保權(quán)進(jìn)行保全，則擔(dān)保權(quán)便可免于喪失之命運(yùn)，但這并不意味著擔(dān)保權(quán)一定可以實(shí)現(xiàn)，因?yàn)楸ＷC合同之擔(dān)保權(quán)為債權(quán)請(qǐng)求權(quán)，自應(yīng)適用于消滅時(shí)效之規(guī)定，債權(quán)人如欲行使保證請(qǐng)求權(quán)，需要在訴訟時(shí)效內(nèi)向保證人請(qǐng)求履行。保證期間與訴訟時(shí)效的關(guān)系是：如果債權(quán)人在保證期間及時(shí)保全了保證請(qǐng)求權(quán)，保證期間便功成身退，讓位于訴訟時(shí)效，訴訟時(shí)效由此起算。

按照擔(dān)保法解釋對(duì)此做了詳細(xì)的規(guī)定，分兩種情形：（1）一般保證，債權(quán)人在保證期間屆滿前對(duì)債務(wù)人提起訴訟或者申請(qǐng)仲裁的，從判決或者仲裁裁決生效之日起，開始計(jì)算保證合同的訴訟時(shí)效（解釋34條第1款）。這里，債權(quán)人提起訴訟或申請(qǐng)仲裁就是保全保證請(qǐng)求權(quán)的行為，同時(shí)，為確保一般保證人的先訴抗辯權(quán)，訴訟時(shí)效自判決或仲裁裁決生效之日起計(jì)算。不過這個(gè)規(guī)定有一點(diǎn)小小瑕疵，就是判決生效還有一個(gè)執(zhí)行的過程，如果執(zhí)行有效果，保證人還應(yīng)享有先訴抗辯權(quán)，訴訟時(shí)效似乎不應(yīng)立刻起算。（2）連帶保證，債權(quán)人在保證期間屆滿前要求保證人承擔(dān)保證責(zé)任的，從債權(quán)人要求保證人承擔(dān)保證責(zé)任之日起，開始計(jì)算保證合同的訴訟時(shí)效（第2款）。在這里，債權(quán)人請(qǐng)求保證人履行債務(wù)就是保全行為，訴訟時(shí)效同時(shí)起算。

3、主債務(wù)訴訟時(shí)效與保證債務(wù)訴訟時(shí)效的關(guān)系

按照主從關(guān)系原理，如果主債務(wù)的訴訟時(shí)效發(fā)生障礙，從債務(wù)的時(shí)效也應(yīng)與之同一命運(yùn)，否則主債務(wù)時(shí)效未完成，從債務(wù)時(shí)效便已屆滿，從債務(wù)之功能便難以實(shí)現(xiàn)。按照解釋的規(guī)定，應(yīng)區(qū)分不同情形：（1）在一般保證中，主債務(wù)訴訟時(shí)效中止或中斷的，保證債務(wù)的訴訟時(shí)效也隨之中止或中斷；（2）在連帶責(zé)任保證中，主債務(wù)訴訟時(shí)效中止，保證債務(wù)訴訟時(shí)效也同樣中止，但主債務(wù)訴訟時(shí)效中斷的，保證債務(wù)訴訟時(shí)效卻例外不中斷，這可能是出于降低連帶責(zé)任保證人清償風(fēng)險(xiǎn)的考慮，從而促使債權(quán)人積極行使保證請(qǐng)求權(quán)。之所以保證債務(wù)時(shí)效不隨主債務(wù)時(shí)效中止而中止，是因?yàn)闀r(shí)效障礙非出于債權(quán)人的原因。

需要指出的是，反過來保證債務(wù)的訴訟時(shí)效障礙對(duì)主債務(wù)的訴訟時(shí)效行進(jìn)并無影響。

十、保證責(zé)任的減免

所謂保證責(zé)任的減免是指在保證合同在有效存在的情況下，因某種法定事由的出現(xiàn)而全部或部分免除保證人的責(zé)任?！皽p免”與“無責(zé)任”不同，后者指保證合同不成立或不生效而保證人自始沒有責(zé)任。責(zé)任“減免”與“責(zé)任消滅”也有不同，責(zé)任消滅是指保證債務(wù)為因主債務(wù)之消滅而失去了存在的意義，依附從性也隨之消滅的情形。按照相關(guān)規(guī)定，保證責(zé)任的減免主要有以下情形：

1、保證期間屆滿，如果債權(quán)人沒有進(jìn)行一定的保全行為，即一般保證下對(duì)債務(wù)人提起訴訟或仲裁，連帶責(zé)任保證下沒有請(qǐng)求保證人履行債務(wù)，保證人可以免除責(zé)任。（擔(dān)保法25、26條）

2、保證人與債權(quán)人事先約定僅對(duì)特定的債權(quán)人承擔(dān)保證責(zé)任或者禁止債權(quán)轉(zhuǎn)讓的，債權(quán)人轉(zhuǎn)讓其債權(quán)的，保證人不再承擔(dān)保證責(zé)任。（解釋28條后半段）

3、保證期間，債權(quán)人許可債務(wù)人轉(zhuǎn)讓部分債務(wù)未經(jīng)保證人書面同意的，保證人對(duì)未經(jīng)其同意轉(zhuǎn)讓部分的債務(wù)，不再承擔(dān)保證責(zé)任。（解釋29條）

4、債權(quán)人與債務(wù)人協(xié)商變更主合同內(nèi)容的（注意如果是體態(tài)之變更保證合同自動(dòng)隨之變化，參見本部分第二目），極有可能損害保證人利益，擔(dān)保法規(guī)定保證人可不再承擔(dān)保證責(zé)任。但擔(dān)保法解釋則區(qū)分不同情況做了靈活處理：保證期間，債權(quán)人與債務(wù)人對(duì)主合同數(shù)量、價(jià)款、幣種、利率等內(nèi)容作了變動(dòng)，未經(jīng)保證人同意的，如果減輕債務(wù)人的債務(wù)的，保證人仍應(yīng)當(dāng)對(duì)變更后的合同承擔(dān)保證責(zé)任；如果加重債務(wù)人的債務(wù)的，保證人對(duì)加重的部分不承擔(dān)保證責(zé)任（30條第1款）。對(duì)主合同履行期限作變動(dòng)的，未經(jīng)保證人書面同意的，保證期間為原合同約定的或者法律規(guī)定的期間（第2款）。更為靈活的規(guī)定是：變動(dòng)主合同內(nèi)容的協(xié)議，如果并未實(shí)際履行的，保證人仍應(yīng)當(dāng)承擔(dān)保證責(zé)任（第3款）。

5、在同一債權(quán)既有保證又有物保的情況下，如果物保是第三人提供的，債權(quán)人在主合同履行期屆滿后怠于行使擔(dān)保物權(quán)，致使擔(dān)保物的價(jià)值減少或者毀損、滅失的（因不可抗力的除外），視為債權(quán)人放棄部分或者全部物的擔(dān)保，保證人在債權(quán)人放棄權(quán)利的范圍內(nèi)減輕或者免除保證責(zé)任（解釋38條第3款）。當(dāng)然，如果物保是債務(wù)人自身提供的，由于保證人必須優(yōu)先實(shí)現(xiàn)物保，因此不存在保證人責(zé)任減免的問題。（參見總論部分第9目）

6、主合同當(dāng)事人雙方協(xié)議以新貸償還舊貸，原則上保證人應(yīng)當(dāng)免責(zé)（解釋39條第1款）。因?yàn)樵谶@種情況下，以貸還貸雖無法律明文禁止，但如果債務(wù)人與債權(quán)人以新貸改變了舊貸的用途，而保證人又對(duì)此并不知情，很可能增大保證人承擔(dān)責(zé)任的風(fēng)險(xiǎn)。但這里有兩個(gè)限制條件：一是“保證人知道或者應(yīng)當(dāng)知道的”該事實(shí)的，仍然需要承擔(dān)責(zé)任；二是舊貸和新貸的保證人均為同一人的，保證人不能免責(zé)（第2款）。

7、一般保證的保證人在主債權(quán)履行期間屆滿后，向債權(quán)人提供了債務(wù)人可供執(zhí)行財(cái)產(chǎn)的真實(shí)情況的，債權(quán)人放棄或者怠于行使權(quán)利致使該財(cái)產(chǎn)不能被執(zhí)行，保證人可以請(qǐng)求人民法院在其提供可供執(zhí)行財(cái)產(chǎn)的實(shí)際價(jià)值范圍內(nèi)免除保證責(zé)任（解釋24條）。顯然，這是先訴抗辯權(quán)的效力延伸。

第三篇：高等數(shù)學(xué)

§13.2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

一 多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V??r2h。這些都是多元函數(shù)的例子。

一般地，有下面定義：

定義1: 設(shè)E是R2的一個(gè)子集，R是實(shí)數(shù)集，f是一個(gè)規(guī)律，如果對(duì)E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個(gè)u與此對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時(shí)，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?R?x?y222就是一個(gè)上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為R，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式x2?y2?R2的x，y全體，即D?{(x,y)|x2?y2?R2}。又如，Z?xy是馬鞍面。

二 多元函數(shù)的極限

定義2

設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?M,M0???時(shí)，有f(M)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

定義的等價(jià)敘述1 ：設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M在點(diǎn)0???f(x,y)M0?2x,0y0??2E近有定義．如果???0附，???0，當(dāng)?x?x0???y?y0???時(shí)，有f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極

龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院

限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

定義的等價(jià)敘述2： 設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M在點(diǎn)M0?x,0y0????f(x,y)附E近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時(shí)，有f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)?A，則當(dāng)M以任何點(diǎn)列及任何方式趨

M?M0于M0時(shí)，f(M)的極限是A；反之，M以任何方式及任何點(diǎn)列趨于M0時(shí)，f(M)的極限是A。但若M在某一點(diǎn)列或沿某一曲線?M0時(shí)，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。

例1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx?yxyx?y22222，討論在點(diǎn)(0,0)的的二重極限。

例2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例3：f(x,y)????1,x?y其它或y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢(shì)，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。

例4：limx?yx?xy?ysinxyx22。

x??y??例5：① limx?0y?0

② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例6：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0cos?sin?cos??sin?3322?0?

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（注意：cos3??sin3?在??7?4時(shí)為０，此時(shí)無界）。

xyx?y222例7：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?證明二元極限不存在的方法．，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)．

例8：f(x,y)?xyx?y22在(0,0)的二重極限不存在．

三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)f?M?在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?MM?M0?在M0點(diǎn)連續(xù)．

???0,???0,當(dāng)0

如果f在開集E內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱f在E內(nèi)連續(xù)，或稱f是E內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

例9：求函數(shù)u?tan?x2?y2?的不連續(xù)點(diǎn)。

四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理：

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。最大值最小值定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

零點(diǎn)存在定理:

設(shè)D是Rn中的一個(gè)區(qū)域，P0和P1是D內(nèi)任意兩點(diǎn)，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果f(P0)?0，f(P1)?0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點(diǎn)Ps，使f(Ps)?0。

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????????????

五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重x?x0y?y0極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時(shí)f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對(duì)任一固定的y，當(dāng)x?x0時(shí)，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)x?x0在y?y0時(shí)的極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對(duì)x，再

y?y0對(duì)y的二次極限，記為limlimf(x,y)?A．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例10：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）．設(shè)

11?xsin?ysin?yxf(x,y)??

?0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?01y不存在知f(x,y)的累次

y?0極限不存在。

例11：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)

f(x,y)?xyx?y22，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知x?0y?0y?0x?0limf(x,y)不存在。

x?0y?0例12：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè)

f(x,y)?x?yx?y2222，(x,y)?(0,0)

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則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0可交換）

上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。

定理1:設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y).則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。

y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。

推論1:

設(shè)（1）limf(x,y)?A；（2）（3）?y,y?y0，limf(x,y)存在；?x,x?x0，x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)。

推論2: 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限

x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0limf(x,y)必不存在（可用于否定重極限的存在性）。

222例13：求函數(shù)f?x,y??xy22xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

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第四篇：高等數(shù)學(xué)

《高等數(shù)學(xué)》是我校高職專業(yè)重要的基礎(chǔ)課。經(jīng)過我們高等數(shù)學(xué)教師的努力，該課程在課程建設(shè)方面已走向成熟，教學(xué)質(zhì)量逐步提高,在教學(xué)研究、教學(xué)管 理、教學(xué)改革方面，我們做了很多工作，也取得了可喜的成果。

《高等數(shù)學(xué)》是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)。一方面它是學(xué)生后 繼課程學(xué)習(xí)的鋪墊，另一方面它對(duì)學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)和形成具有重要意義。因此，它既是一門重要的公共必修課，又是一門重要的工具課。緊扣高職高 專的培養(yǎng)目標(biāo)，我們的《高等數(shù)學(xué)》課的定位原則是“結(jié)合專業(yè)，應(yīng)用為主，夠用為度，學(xué)有所用，用有所學(xué)”，宗旨是“拓寬基礎(chǔ)、培養(yǎng)能力、重在應(yīng)用”

根據(jù)高職高專的培養(yǎng)目標(biāo)，高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)任務(wù)是使學(xué)生在高中數(shù)學(xué) 的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)和掌握本課程的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能，逐步 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問題的能力，一定的邏輯推理能力，空間想象能力，比 較熟練的運(yùn)算能力和自學(xué)能力，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)和修養(yǎng)，培養(yǎng) 學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。

高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)設(shè)計(jì)思想是：根據(jù)專業(yè)設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。我們將 《高等數(shù)學(xué)》分成四大類：輕化工程、電子、計(jì)算機(jī)和財(cái)經(jīng)。四大類的公共教 學(xué)內(nèi)容為：一元函數(shù)微積分,微分方程。三類工科數(shù)學(xué)增加：空間解析幾何、多 元微積分學(xué)。計(jì)算機(jī)和電子再增加級(jí)數(shù)。電子類專業(yè)還專門開設(shè)拉普拉氏變換。財(cái)經(jīng)專業(yè)另開設(shè)線性代數(shù)初步。達(dá)到了專業(yè)課對(duì)基礎(chǔ)課的要求。

同時(shí)，在教學(xué)內(nèi)容的安排上，還注意了以下幾點(diǎn)：

1、數(shù)學(xué)知識(shí)的覆蓋面不宜太寬，應(yīng)突出重點(diǎn)，不過分追求數(shù)學(xué)自身的系統(tǒng) 性，嚴(yán)密性和邏輯性。淡化數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

2、重視知識(shí)產(chǎn)生的歷史背景知識(shí)介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個(gè)概念 的引入應(yīng)遵循實(shí)例—抽象—概念的形成過程。

3、重視相關(guān)知識(shí)的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整 合，先從應(yīng)用實(shí)例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計(jì)算的需要引入不定積分

4、強(qiáng)調(diào)重要數(shù)學(xué)思想方法的突出作用。強(qiáng)化與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知 識(shí)和基本方法。加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的案例教學(xué)，力求突出在解決實(shí)際問題中有重要 應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo) 數(shù)中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)——變化率；在積分中強(qiáng)調(diào)定積分的實(shí)質(zhì)—無限累加；在 微分中強(qiáng)調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強(qiáng)調(diào)最優(yōu)化思想；在級(jí)數(shù)中強(qiáng)調(diào)近似計(jì)算思想。

5、注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)與能力。

6、根據(jù)學(xué)生實(shí)際水平，有針對(duì)性地選擇適當(dāng)（特別是在例題、習(xí)題、應(yīng)用 案例及實(shí)驗(yàn)題目等方面）的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)盡量淡化計(jì)算技巧（如求導(dǎo)和求積分 技巧等）。

知識(shí)模塊順序及對(duì)應(yīng)的學(xué)時(shí)《高等數(shù)學(xué)》工科課程主要分為七部分的知識(shí)模 塊，共需要用168個(gè)學(xué)時(shí).1、一元函數(shù)微分學(xué)部分(極限、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用60個(gè)學(xué)時(shí)；

2、一元函數(shù)積分學(xué)部分(不定積分、定積分及其應(yīng)用)，需用30個(gè)學(xué)時(shí)；

3、微分方程部分，需用12個(gè)學(xué)時(shí)。

4、向量代數(shù)與空間解析幾何部分，需用24個(gè)學(xué)時(shí)；

5、多元函數(shù)微分學(xué)部分(偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用22個(gè)學(xué)時(shí)；

6、多元函數(shù)積分學(xué)部分(二重積分及其應(yīng)用)，需用8個(gè)學(xué)時(shí)；

7、無窮級(jí)數(shù)部分，需用30個(gè)學(xué)時(shí)； 課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法 1、課程的重點(diǎn)

本課程的研究對(duì)象是函數(shù)，而研究問題的根本方法是極限方法，極限方法貫 穿于整個(gè)課程。本課程的重點(diǎn)是教會(huì)學(xué)生在掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)（如導(dǎo)數(shù)與 微分、定積分與重積分及級(jí)數(shù)理論等）的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方 法解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣和創(chuàng)新能力。

2、課程的難點(diǎn)

本課程的教學(xué)難點(diǎn)在于由實(shí)際問題抽象出有關(guān)概念和其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣和能力；一元函數(shù) 的極限定義并用定義證明極限、定積分的應(yīng)用、多元復(fù)合抽象函數(shù)的求偏導(dǎo)，根據(jù)實(shí)際問題建立微分方程等內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)。

3、解決辦法

對(duì)于工科類高等數(shù)學(xué)，講授時(shí)一般以物理、力學(xué)和工程中的數(shù)學(xué)模型為背景 引出問題，采取啟發(fā)式教學(xué)以及現(xiàn)代化教學(xué)手段，講清思想，加強(qiáng)基礎(chǔ)；注 意連續(xù)和離散的關(guān)系，加強(qiáng)函數(shù)的離散化處理，注意培養(yǎng)學(xué)生研究問題和解 決實(shí)際問題的能力；注意教學(xué)內(nèi)容與建立數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系。在微積分學(xué) 的應(yīng)用中，更是關(guān)注物理模型的建立和研究思想。另外，重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容多 配備題目，課堂講解通過典型例題的分析過程和解決過程掌握重點(diǎn)、突破難 點(diǎn)；課外還布置一定量的練習(xí)題；最近幾年以來，基礎(chǔ)部學(xué)科建設(shè)發(fā)展迅速，研究成果和學(xué)術(shù)論文突飛猛進(jìn)，學(xué)術(shù)環(huán)境和氛圍極大改善?；A(chǔ)部科研和教 學(xué)活動(dòng)的新的水平層次，為《高等數(shù)學(xué)》精品課程的建設(shè)和發(fā)展，提供了優(yōu) 秀的學(xué)術(shù)環(huán)境和平臺(tái)。

教 學(xué) 大 綱

一、內(nèi)容簡介

本課程的內(nèi)容包括函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用，常微分方程，空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級(jí)數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等。其中函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用為各專業(yè)的基礎(chǔ)部分?？臻g解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級(jí)數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為選學(xué)模塊，各專業(yè)可根據(jù)專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的要求，選學(xué)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。

二、課程的目的和任務(wù)

為培養(yǎng)能適應(yīng)二十一世紀(jì)產(chǎn)業(yè)技術(shù)不斷提升和社會(huì)經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展的高等技術(shù)應(yīng)用型人才，教學(xué)中本著重能力、重應(yīng)用、求創(chuàng)新的思路，切實(shí)貫徹“以應(yīng)用為目的、理論知識(shí)以必需、夠用為度”的原則，落實(shí)高職高專教育“基礎(chǔ)知識(shí)適度，技術(shù)應(yīng)用能力強(qiáng)，知識(shí)面較寬，素質(zhì)高”的培養(yǎng)目標(biāo)，從根本上反映出高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特征，反映出目前國內(nèi)外知識(shí)更新和科技發(fā)展的最近動(dòng)態(tài)，將工程技術(shù)領(lǐng)域的新知識(shí)、新技術(shù)、新內(nèi)容、新工藝、新案例及時(shí)反映到教學(xué)中來，充分體現(xiàn)高職教育專業(yè)設(shè)置緊密聯(lián)系生產(chǎn)、建設(shè)、服務(wù)、管理一線的實(shí)際要求。在教學(xué)內(nèi)容的組織上，注意以下幾點(diǎn)：

1．注意數(shù)學(xué)知識(shí)的深、廣度?；A(chǔ)知識(shí)和基本理論以“必需、夠用”為度.把重點(diǎn)放在概念、方法和結(jié)論的實(shí)際應(yīng)用上。多用圖形、圖表表達(dá)信息，多用有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的案例、示例促進(jìn)對(duì)概念、方法的理解。對(duì)基礎(chǔ)理論不做論證，必要時(shí)只作簡單的幾何解釋。

2．必須貫徹“理解概念、強(qiáng)化應(yīng)用”的教學(xué)原則。理解概念要落實(shí)到用數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)概念消化、吸納工程技術(shù)原理上；強(qiáng)化應(yīng)用要落實(shí)到使學(xué)生能方便地用所學(xué)數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型上。

3．采用“案例驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)模式。由實(shí)際問題引出數(shù)學(xué)知識(shí)，再將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于處理各種生活和工程實(shí)際問題。重視數(shù)學(xué)知識(shí)的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個(gè)概念的引入應(yīng)遵循實(shí)例—抽象—概念的形成過程。

4．重視相關(guān)知識(shí)的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整合，先從應(yīng)用實(shí)例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計(jì)算的需要引入不定積分。

5．要特別注意與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的訓(xùn)練，但不追求過分復(fù)雜的計(jì)算和變換?？赏ㄟ^數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，提升學(xué)生對(duì)的數(shù)學(xué)問題的求解能力。加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的案例教學(xué)，力求突出在解決實(shí)際問題中有重要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想和方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo)數(shù)中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)——變化率；在積分中強(qiáng)調(diào)定積分的實(shí)質(zhì)—無限累加；在微分中強(qiáng)調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強(qiáng)調(diào)最優(yōu)化思想；在級(jí)數(shù)中強(qiáng)調(diào)近似計(jì)算思想。

6．在內(nèi)容處理上要兼顧對(duì)學(xué)生抽象概括能力、自學(xué)能力、以及較熟練的綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng).真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的辨證統(tǒng)一。

三、課程內(nèi)容

第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)

理解一元函數(shù)的概念及其表示；了解分段函數(shù)；了解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。熟悉基本初等函數(shù)及其圖形；能熟練列出簡單問題中的函數(shù)關(guān)系；理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；會(huì)用極限思想方法分析簡單問題；了解函數(shù)左、右極限的概念，以及函數(shù)左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系；掌握極限四則運(yùn)算法則；理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；會(huì)討論分段函數(shù)的連續(xù)性。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念；能用導(dǎo)數(shù)描述一些經(jīng)濟(jì)、工程或物理量；熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；能熟練地求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求一些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，會(huì)用微分做近似計(jì)算；會(huì)建立簡單的微分模型。第三章

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

會(huì)用羅必達(dá)解決未定型極限；理解函數(shù)的極值概念；會(huì)求函數(shù)的極值，會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖形的凹、凸性等；熟練掌握最大、最小值的應(yīng)用題的求解方法。第四章

一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

理解不定積分和定積分的概念；了解不定積分和定積分的性質(zhì)；理解定積分的幾何意義；熟悉不定積分的基本公式；掌握不定積分的直接積分法、第一類換元法和常見類型的分部積分法；熟練掌握牛（Newton）-萊布尼茲(Leibniz)公式；熟練掌握定積分的微元法，能建立一些實(shí)際問題的積分模型；會(huì)用微元分析法建立簡單的積分模型；了解廣義積分的概念.了解微分方程的階、解、通解、初始條件、特解等概念；掌握可分離變量微分方程及一階線性微分方程的解法；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；會(huì)建立簡單的微分方程模型。第五章

空間解析幾何與向量代數(shù)

理解向量的概念，掌握向量的線性運(yùn)算、點(diǎn)乘、叉乘，兩個(gè)向量垂直、平行的條件；熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標(biāo)表達(dá)式；掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算；理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直線方程及其求法；了解常用的二次曲面的方程，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解曲線在坐標(biāo)平面上的投影。第六章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 理解多元函數(shù)的概念；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件；掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求一些極值。第七章

二重積分

理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)和幾何意義；掌握二重積分的計(jì)算方法。第八章

無窮級(jí)數(shù)

了解無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散及和的概念，基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握幾何級(jí)數(shù)和P-級(jí)數(shù)的收斂性；掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，比值審斂法；了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理；了解無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系；了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握比較簡單的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法；了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充要條件；會(huì)將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。了解函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷條件，會(huì)將定義在（-π,π）上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，并會(huì)將在（0，π）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。知道傅里葉級(jí)數(shù)在工程技術(shù)中的應(yīng)用。了解拉普拉斯變換和逆變換的概念，會(huì)求解簡單信號(hào)函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換。第九章 線性代數(shù)初步

理解矩陣的概念；掌握用矩陣表示實(shí)際量的方法；熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律；熟練掌握矩陣的初等變換；理解逆矩陣的概念，會(huì)用矩陣的初等變換求方陣的逆矩陣。會(huì)建立簡單的線性模型；熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。第十章 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以實(shí)際問題為實(shí)驗(yàn)對(duì)象的操作實(shí)驗(yàn)，其教學(xué)不僅讓學(xué)生了解和掌握一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件，而更重要的是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力。

四、課程的教學(xué)方式

本課程的特點(diǎn)是思想性強(qiáng)，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課聯(lián)系較多，教學(xué)中應(yīng)注重由案例啟發(fā)進(jìn)入相關(guān)知識(shí)，并突出幫助學(xué)生理解重要概念的思想本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學(xué)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性。同時(shí)，注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)參考）的有機(jī)聯(lián)系, 特別是強(qiáng)化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運(yùn)算能力。教學(xué)中有計(jì)劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)專業(yè)課之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是獲取進(jìn)一步學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)的關(guān)鍵學(xué)科。

五、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配

序號(hào)教學(xué)模塊理論課時(shí)習(xí)題課時(shí)實(shí) 驗(yàn)共計(jì)備注

1函數(shù)的極限與連續(xù)166 22各專業(yè)的公共基礎(chǔ) 2 導(dǎo)數(shù)與微分204 24 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用104 14 4一元函數(shù)積分及其應(yīng)用228 30

常微分方程102 12輕化、電子、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)類學(xué)生選

5空間解析幾何與向量代數(shù)186 24輕化、電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選 6多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用166 22輕化、電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選

7二重積分62 8 8無窮級(jí)數(shù)246 30電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選

9線性代數(shù)初步144 18電子、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)類學(xué)生選 10 實(shí)驗(yàn)

六、執(zhí)行大綱時(shí)應(yīng)注意的問題

1.大綱以高職高專各專業(yè)為實(shí)施對(duì)象。

2.模具和高分子專業(yè)增加極坐標(biāo)和曲率；電子專業(yè)增加拉普拉斯變換。3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程視情況開設(shè)。

教學(xué)效果

高等數(shù)學(xué)課程是一門十分繁重的教學(xué)任務(wù)，不僅學(xué)時(shí)多、面對(duì)學(xué)生人數(shù)多，而且責(zé)任大。學(xué)校、系、學(xué)生都十分關(guān)注這門課程的教學(xué)質(zhì)量，它涉及到后續(xù)課程的教學(xué)，特別是它影響培養(yǎng)人才的質(zhì)量和水平。基礎(chǔ)部歷來非常重視高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，積極組織教師開展教學(xué)研究，要求任課教師認(rèn)真負(fù)責(zé)地對(duì)待教學(xué)工作，備好、講好每一節(jié)課。多年來高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平一直受到學(xué)校和學(xué)生的好評(píng)。

從課堂表現(xiàn)可以看出教師備課是充分的。講授熟練，概念清楚，重點(diǎn)突出。特別是貫徹啟發(fā)式教學(xué)，教與學(xué)互動(dòng)，課堂提問討論，學(xué)生課堂解題等，師生配合較好，課堂氣氛活躍，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教師們經(jīng)常討論各章節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)應(yīng)如何處理，如何分析引出概念，如何貫徹啟發(fā)式教學(xué)，哪些問題要留給學(xué)生自己解決。這種教學(xué)研討一學(xué)期要有十多次，有時(shí)幾乎每周都有安排。嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、嚴(yán)格要求、教書育人、為人師表是基礎(chǔ)部的優(yōu)良傳統(tǒng)，可以說高等數(shù)學(xué)教研室在師資隊(duì)伍建設(shè)上成績是突出的。高等數(shù)學(xué)在教學(xué)改革上，準(zhǔn)備將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而來提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，嘗到數(shù)學(xué)應(yīng)用的益處，提高學(xué)數(shù)學(xué)的積極性

課程的方法和手段

本課程運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)、采用多種教學(xué)手段相結(jié)合的方式。大多數(shù)教師在教學(xué)中使用powerpoint課件、電子教案、模型教具等輔助手段，使教學(xué)內(nèi)容的表達(dá)更生動(dòng)、直觀，有效提高了教學(xué)效果。采用多媒體輔助教學(xué)的教師比例達(dá)到100%。具體情況如下：

1．堅(jiān)持“少講、留疑、迫思、細(xì)答、深析”的教學(xué)原則，試點(diǎn)“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法。

高等數(shù)學(xué)是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后首先學(xué)習(xí)的課程之一，內(nèi)容難以理解，課堂教學(xué)容量大。如何培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力，也是教師義不容辭的責(zé)任。為轉(zhuǎn)變學(xué)生中學(xué)養(yǎng)成的依賴教師的學(xué)習(xí)習(xí)慣，盡快適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)生活，我們?cè)诮虒W(xué)中提出“少講、留疑、迫思、細(xì)答，深析”的教學(xué) 原則，開展了“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法，收到了較好的效果。

2．提倡研究式學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生初步進(jìn)行科學(xué)研究的能力和創(chuàng)新精神

工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，是能將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)用于專業(yè)研究中。為激發(fā)學(xué)生的求知欲、鍛煉學(xué)生的初步研究能力、培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)與創(chuàng)新精神，我們嘗試在部分班級(jí)開展研究式的學(xué)習(xí)方法。具體方法是：將部分教學(xué)內(nèi)容改造成研究問題，讓學(xué)生通過課程學(xué)習(xí)、查閱資料、相互討論等形式思考研究問題。例如針對(duì)微分方程的應(yīng)用、各種定積分的比較研究等問題開展這項(xiàng)活動(dòng)，學(xué)生反映很好。

3．傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合，提高教學(xué)效果

在部分內(nèi)容保留傳統(tǒng)教學(xué)方式的基礎(chǔ)上，積極運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，探索計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的模式，研制電子教案，并在部分班級(jí)進(jìn)行試點(diǎn)。例如：我們利用電子教案講授空間解析幾何、重積分等內(nèi)容，使一些空間圖形的演示更直觀、更清楚，便于學(xué)生理解和掌握。

4．加強(qiáng)課下輔導(dǎo)，及時(shí)為學(xué)生排疑解難

課下的輔導(dǎo)答疑是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，為加強(qiáng)這個(gè)環(huán)節(jié)，我們安排了正常的輔導(dǎo)答疑。

5．積極開展課外科技活動(dòng)

為配合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，我們準(zhǔn)備開設(shè)《Mathematica》和《數(shù)學(xué)建?！穬砷T院級(jí)選修課，為基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供進(jìn)一步提高的機(jī)會(huì)。同時(shí)，積極組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽。

第五篇：高等數(shù)學(xué)

考研數(shù)學(xué)：在基礎(chǔ)上提高。

注重基礎(chǔ)，是成功的必要條件。注重基礎(chǔ)的考察是國家大型數(shù)學(xué)考試的特點(diǎn)，因此，在前期復(fù)習(xí)中，基礎(chǔ)就成了第一要?jiǎng)?wù)。在這個(gè)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)的這個(gè)階段中，考生可以對(duì)照教材把知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)梳理，逐字逐句、逐章逐節(jié)對(duì)概念、原理、方法全面深入復(fù)習(xí)，同時(shí)，還應(yīng)注意基礎(chǔ)概念的背景和各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的相互關(guān)系，一定要先把所有的公式，定理，定義記牢，然后再做一些基礎(chǔ)題進(jìn)行鞏固。

無論是高數(shù)、線代還是概率，都要在此階段進(jìn)行全面整理基本概念、定理、公式，初步總結(jié)復(fù)習(xí)重點(diǎn)，把握命題基本題型，為強(qiáng)化階段的復(fù)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)結(jié)合常規(guī)教材和前幾年的大綱，深刻理解吃透基本概念、基本方法和基本定理?？佳袛?shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的演繹科學(xué)，在對(duì)基本概念深入理解，對(duì)基本定理和公式牢牢記住后，才能找到解題的突破口和切入點(diǎn)。對(duì)近幾年數(shù)學(xué)的分析表明，考生失分的一個(gè)重要原因就是對(duì)基本概念、定理記不全、記不牢，理解不準(zhǔn)確，基本解題方法掌握不好。所以說，我們切不可在基礎(chǔ)上掉以輕心。

在掌握了相關(guān)概念和理論之后，首先應(yīng)該自己試著去解題，即使做不出來，對(duì)基本概念和理論的理解也會(huì)深入一步。因?yàn)閿?shù)學(xué)畢竟是個(gè)理解加運(yùn)用的科目，不練習(xí)就永遠(yuǎn)無法熟練掌握。解不出來，再看書上的解題思路和指導(dǎo)，再思考，如果還是想不出來，最后再看書上的詳細(xì)解答?？匆坏李}怎么做出來不是最重要的東西，重要的是通過自己的理解，能夠在做題的過程中用到它。因此，在看完這本書上的那些精彩的例題之后，關(guān)鍵要注意在隨后的習(xí)題中選典型的來繼續(xù)鞏固。不過，要注意的是，基礎(chǔ)對(duì)第一輪復(fù)習(xí)的考生顯然是基礎(chǔ)要求。不要因急于做難題不會(huì)而貶低自己的自信心，堅(jiān)信等若干月復(fù)習(xí)之后回頭看這些題就是小菜一碟。

數(shù)學(xué)成績是長期積累的結(jié)果，準(zhǔn)備時(shí)間一定要充分。要對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)做深入細(xì)致的分析，注意抓考點(diǎn)和重點(diǎn)題型，在一些大的得分點(diǎn)上可以適當(dāng)?shù)夭扇☆}海戰(zhàn)術(shù)。數(shù)學(xué)考試會(huì)出現(xiàn)一些應(yīng)用到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合性試題和應(yīng)用型試題。這類試題一般比較靈活，難度也要大一些。在數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)期間，可以不將它們作為強(qiáng)化重點(diǎn)，但也應(yīng)逐步進(jìn)行一些訓(xùn)練，積累解題思路，同時(shí)這也有利于對(duì)所學(xué)知識(shí)的消化吸收，徹底弄清楚有關(guān)知識(shí)的縱向與橫向聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為自己真正掌握的東西。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)就要關(guān)注：教材、做題、獨(dú)立思考。這些都是缺一不可的。教材是獲得基本知識(shí)的必要前提，是基礎(chǔ)，懂了教材才有可能做對(duì)題目。做題是關(guān)鍵，是目的。只有會(huì)做題，做對(duì)題目，快速做題才能應(yīng)付考試，達(dá)到目的。思考是為了更有效的理解教材和做對(duì)題目。所以我們要向提高自己的做題能力，就千萬不能在基礎(chǔ)階段大意而導(dǎo)致之后進(jìn)去的路上失去先機(jī)，這樣就會(huì)在后期多走彎路，切記!考研數(shù)學(xué)：進(jìn)入備考狀態(tài)，培養(yǎng)綜合能力

要進(jìn)行全面完整的復(fù)習(xí)，大多數(shù)考生現(xiàn)在已經(jīng)開始了考研的相關(guān)準(zhǔn)備并進(jìn)入了考研狀態(tài)?，F(xiàn)在可以看做是考研的第一個(gè)階段：基礎(chǔ)階段。在這個(gè)階段，我們必須明確自己的目標(biāo)，并對(duì)自己的實(shí)力有個(gè)初步的判斷。在此基礎(chǔ)上，開展我們的初步復(fù)習(xí)。因?yàn)閷?duì)自己的了解，才能作為我們復(fù)習(xí)時(shí)的參考，讓我們知道從哪些方面開始，哪些知識(shí)點(diǎn)要多下些功夫，而有些自己掌握較好的部分則可以少用點(diǎn)時(shí)間，從而對(duì)時(shí)間進(jìn)行最有效率的分配，獲得最佳效果?，F(xiàn)在的階段是奠定良好基礎(chǔ)的關(guān)鍵部分。在這個(gè)階段，主要是讓自己慢慢融入考研這個(gè)大事中，培養(yǎng)自己的考研心態(tài)和狀態(tài)。

考生都很關(guān)心具體該如何開始復(fù)習(xí)，進(jìn)行初級(jí)基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)。對(duì)考研最終的勝利至關(guān)重要。特別是公共課數(shù)學(xué)，相信考生也已經(jīng)意識(shí)到了這門學(xué)科的重要性和復(fù)習(xí)的難度。下面，跨考教育數(shù)學(xué)教研室牛秀艷老師就此為考生做一些復(fù)習(xí)指導(dǎo)建議。

首先，合理安排時(shí)間?；A(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，因?yàn)橐M(jìn)行整體全面的學(xué)習(xí)，所有時(shí)間是較長的，考生要有一個(gè)詳細(xì)的安排和計(jì)劃?？忌鷳?yīng)盡量保證在暑假前完成這一階段的復(fù)習(xí)?；A(chǔ)階段的復(fù)習(xí)主要依據(jù)考試大綱(現(xiàn)階段年新大綱發(fā)布前可先依據(jù)上一年考研數(shù)學(xué)大綱)，清楚哪些是重要的考點(diǎn)，哪些是不考的內(nèi)容，熟練掌握基本概念、定理、公式及常用結(jié)論等內(nèi)容，為后期的學(xué)習(xí)(強(qiáng)化和沖刺階段)打下牢固的基礎(chǔ)。

對(duì)于教材，也要給予足夠的重視。教材的作用，考生一定不能忽視。很多定理公理，都可以在書中多次翻看，達(dá)到真正理解的程度。一般來說，推薦同濟(jì)五版的高數(shù)、清華二版的線代、浙大三版的概率。這些都是非常好的“陪讀”教材，在考研復(fù)習(xí)中不可或缺。那么在理解了基礎(chǔ)理論的時(shí)候，我們做題就會(huì)更加得心應(yīng)手。這個(gè)階段，雖然做題不是重點(diǎn)，但要以做適當(dāng)數(shù)量的題目來輔助我們理解那些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)。“萬丈高樓平地起”，沒有好的地基就蓋不出高大壯觀的建筑。我們考研就是建設(shè)的過程，所以要從底層做起。不能忽視底層的建構(gòu)，而且基礎(chǔ)建設(shè)耗費(fèi)時(shí)間雖長，但更能說明這個(gè)階段的重要性。有個(gè)這個(gè)階段良好的基礎(chǔ)，在一層一層蓋樓的過程中，才能真正感受到“磨刀不誤砍柴工”的作用。在后續(xù)各個(gè)階段的復(fù)習(xí)中，將會(huì)獲得更充足的動(dòng)力。

做題時(shí)，如果遇到有些對(duì)概念、定理模糊不確定的時(shí)候，可以去看教材，用教材題目相結(jié)合的方法。光看教材也許容易看了后邊的忘了前邊所學(xué)的內(nèi)容，所以在做題中、在復(fù)習(xí)的時(shí)候要不斷的鞏固，加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的理解。要做自己所選教材后邊的一些配套的基礎(chǔ)性的練習(xí)題，勤動(dòng)手，同時(shí)對(duì)于一些自己不會(huì)做得題目，多思考，多問自己幾個(gè)為什么。有些具有一定難度的題目，可能需要參考標(biāo)準(zhǔn)答案，此時(shí)一定要認(rèn)真把思路做個(gè)復(fù)習(xí)概括。多總結(jié)，總結(jié)是任何時(shí)候都不過時(shí)的。多想想以后遇到類似的題目，自己應(yīng)該從哪些方面去思考，這樣慢慢積累，就會(huì)成為自己的知識(shí)，被自己所用。

對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，考生可以有重點(diǎn)的復(fù)習(xí)。為了更能把時(shí)間用在刀刃上，建議考生結(jié)合前幾年的大綱，找準(zhǔn)考點(diǎn)。從歷年的考研試卷分析，凡是大綱中提及的內(nèi)容，都是可能的考點(diǎn)，甚至自己認(rèn)為是一些不太重要的內(nèi)容，也完全有可能在考研試題中出現(xiàn)。所以，對(duì)于大綱中提到的考點(diǎn)，要做到重點(diǎn)、全面、有針對(duì)性的復(fù)習(xí)。不僅要在主要的內(nèi)容和方法上下功夫，更要注重尋找各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。近年來，考研數(shù)學(xué)越來越注重綜合能力的考查，這也是以后命題的一個(gè)趨勢(shì)。而綜合能力的培養(yǎng)以及提高，源于自己平時(shí)的積累與練習(xí)。

考研高數(shù)：極限中的“極限”(一)

相信大家已經(jīng)把高數(shù)的復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，開啟概率和線代的復(fù)習(xí)，不知道對(duì)自己高數(shù)的復(fù)習(xí)是否滿意，是否達(dá)到了我們的“三基本”呢?接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟慶英就和大家梳理一下我們做過的極限。

說到極限應(yīng)該是我們?nèi)笥?jì)算中的第一大計(jì)算，每年考研真題必出，無論是數(shù)一數(shù)二數(shù)三還是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)，可以出選擇題也可以出填空題，更可以出解答題，題目類型不同，分值也不同，4分或者10分，極限的思想也就更是重要之重了，原因就是后來所有的概念都是以極限的形式給出的。下面，我們就看看極限在基礎(chǔ)階段到底應(yīng)該掌握到什么程度。

第一，極限的定義。理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義，最好記住其定義。

第二，極限的性質(zhì)。唯一性，有界性，保號(hào)性和保不等式性要理解，重點(diǎn)理解保號(hào)性和保不等式性，在考研真題里面經(jīng)?？疾?，而性質(zhì)的本身并不難理解，關(guān)鍵是在做題目的時(shí)候怎么能想到，所以同學(xué)們?cè)谧鲱}目的時(shí)候可以看看什么情況下利用了極限的保號(hào)性，例如：題目中有一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零，或者給定義數(shù)值，可以根據(jù)這個(gè)數(shù)值大于零或小于零，像這樣的情況，就可以寫出這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義，利用極限的保號(hào)性，得出相應(yīng)的結(jié)論，切記要根據(jù)題目要求來判斷是否需要，但首先要有這樣的思路，希望同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)多去總結(jié)。

第三，極限的計(jì)算。這一部分是重中之重，這也是三大計(jì)算中的第一大計(jì)算，每年必考的題目，所以需要同學(xué)們能夠熟練地掌握并會(huì)計(jì)算不同類型的極限計(jì)算。首先要知道基本的極限的計(jì)算方法，比如：四則運(yùn)算、等價(jià)無窮小替換、洛必達(dá)法則、重要極限、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界收斂定理，除此之外還要泰勒展開，利用定積分定義求極限。其次還要掌握每一種極限計(jì)算的注意事項(xiàng)及拓展，比如：四則運(yùn)算中掌握“抓大頭”思想(兩個(gè)多項(xiàng)式商的極限，是無窮比無窮形式的，分別抓分子和分母的最高次計(jì)算結(jié)果即可)，等價(jià)無窮小替換中要掌握等價(jià)無窮小替換只能在乘除法中直接應(yīng)用，加減法中不能直接應(yīng)用，如需應(yīng)用必須加附加條件，計(jì)算中要掌握基本的等價(jià)無窮小替換公式和其推廣及湊形式，進(jìn)一步說就是第一要熟練掌握基本公式，第二要知道怎么推廣，也就是將等價(jià)無窮小替換公式中的x用f(x)來替換，并且要驗(yàn)證在x趨于某一變化過程中f(x)會(huì)否趨近于零，滿足則可以利用推廣后的等價(jià)無窮替換公式，否則不能。

下面給出推廣后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。

第三要能將變形的無窮小替換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，比如：公式中固定出現(xiàn)的“1”和f(x)為無窮小量。希望同學(xué)們?cè)谧鲱}目的時(shí)候多加注意，熟能生巧。

考研高數(shù)：極限中的“極限”(二)

前面我們已經(jīng)介紹了等價(jià)無窮小替換公式的應(yīng)用及注意事項(xiàng)，接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟老師為大家繼續(xù)說說極限的計(jì)算方法。

極限的第三種方法就是洛必達(dá)法則。首先，要想在極限中使用洛必達(dá)法則就必須要滿足洛必達(dá)法則，說到這里有很多同學(xué)會(huì)打個(gè)問號(hào)，什么法則，不就是上下同時(shí)求導(dǎo)?其實(shí)不盡然。

洛必達(dá)有兩種，無窮比無窮，零比零，分趨近一點(diǎn)和趨近于無窮兩種情況，以趨近于一點(diǎn)來說明法則條件，條件一：零比零或者無窮比無窮(0/0，∞/∞);條件二：趨近于這一點(diǎn)的去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且分母導(dǎo)數(shù)不為零;條件三：分子導(dǎo)數(shù)比分母導(dǎo)數(shù)的極限存在或者為無窮，則原極限等于導(dǎo)數(shù)比的極限。

在這里要注意極限計(jì)算中使用洛必達(dá)法則必須同時(shí)滿足這三個(gè)條件，缺一不可，特別要注意條件三，導(dǎo)數(shù)比的極限一定是存在或者為無窮，不能把無窮認(rèn)為是極限不存在，因?yàn)闃O限不存在還包括極限不存在也不為無窮這種情況，比如：x趨近于零，sin(1/x)的極限不存在也不為無窮。每次使用都必須驗(yàn)證三條件是否同時(shí)滿足。

再來看看重要極限，重要極限有兩個(gè)，一個(gè)是x趨近于零時(shí)，sinx/x趨近于零，另一個(gè)是x趨近于零時(shí)，(1+x)1/x趨近于e，或者寫成x趨近于無窮，(1+1/x)x趨近于e(1∞形式)，總結(jié)起來就是(1+無窮小量)無窮小量的倒數(shù)，所以要記住重要極限的特點(diǎn)，并可以將其推廣，即把x換成f(x)，在f(x)趨近零，sinf(x)/f(x)趨近于零，(1+f(x))1/f(x)趨近于e，或f(x)趨近無窮，(1+1/f(x))f(x)趨近于e，還要注意當(dāng)給你冪指函數(shù)的極限計(jì)算，先要判斷他是不是1∞形式，如果是，就可以考慮利用重要極限解決，湊出相應(yīng)的形式就可以得出結(jié)論。

這里還要特別的提一下幾個(gè)未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，∞∞)，這五個(gè)未定式需要轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通過通分、提取或者代換將其轉(zhuǎn)化，0·∞可以將0或者∞放在分母上，以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，1∞，00，∞∞利用對(duì)數(shù)恒等變化來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，其中1∞還可以利用重要極限計(jì)算。

綜上所述，等價(jià)無窮小替換和重要極限要掌握基本公式和推廣，可以將任意變形公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，并且給定一個(gè)極限首要任務(wù)就是利用等價(jià)無窮替換公式化簡。洛必達(dá)法則處理七種未定式，靈活地將不同形式的極限轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞，計(jì)算時(shí)注意滿足洛必達(dá)法則的三個(gè)條件，希望同學(xué)們可以掌握基礎(chǔ)，靈活地解決不同類型的極限。