第一篇：等差數(shù)列復(fù)習(xí)學(xué)案

友好三中高一數(shù)學(xué)學(xué)案設(shè)計人：劉磊組長審核：設(shè)計時間：2009-3-1 講授時間：

等差數(shù)列復(fù)習(xí)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、通過學(xué)案能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定項(xiàng)，并通過通項(xiàng)公式再次認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì)。

2、通過等差數(shù)列的習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生的觀察力及歸納推理能力。

3、理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。

二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，“等差”的特點(diǎn)。

三、學(xué)法指導(dǎo)：

研讀學(xué)習(xí)目標(biāo)，了解本節(jié)重難點(diǎn)，精讀教材，查找資料，獨(dú)立完成學(xué)案，通過小組學(xué)習(xí)解決部分疑難問題，再通過課堂各小組展示及質(zhì)疑對抗，共同提高，完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

四、知識鏈接：

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

3.等差數(shù)列的判定方法：

五、學(xué)習(xí)過程：

問題（1）：已知{an}是等差數(shù)列.請證明2a5=a3+a7和2a5=a1+a9.問題（2）：①證明2an=an-1+an+1（n>1）②證明2an=an-k+an+k（n>k>0）

A1.已知等差數(shù)列{an}中，a7﹢a9=16，a4=1，則a12的值是（）

A.15B.30C.31D.6

4B2.設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，則a11+a12+a13等于（）

A.120B.105C.90D.7

5B3.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+?+a101 =0,則有（）

A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=5

1A4.已知數(shù)列{an}滿足an－1+an＋1=2an(n≥2),且a1=3,a2=5,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.A5.在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1= an+2（n≥1），則該數(shù)列的通項(xiàng)an=.B6.等差數(shù)列{an}中，a1+3a8+a15=120，求2a9－a10

B7.在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3 a5 a7 =﹣21，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

六、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：

B1.等差數(shù)列{an}中,a2+a5+a8=9,那么關(guān)于x的方程x+(a4+a6)x+10=0()

A．無實(shí)根B．有兩個相等實(shí) C．有兩個不等實(shí)根D．不能確定有無實(shí)根

2B2.等差數(shù)列{an}中，已知ak+ak+1+ak+2+ak+4+ak+4=A，則ak-1+ak+5（k≥2）等于

A.AB.A3C.A2A

5D.5A3.在等差數(shù)列{an}中，已知am﹣n=A，am+n=B，則am=.A4.已知數(shù)列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=60，則a2+a8=.）（1B5.在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,求a9－a11。

3B6.在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,則2a9－a10.七、課堂小結(jié)：

八、課后反思：

第二篇：等差數(shù)列一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

等差數(shù)列

考綱要求

1．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．2．理解等差數(shù)列的概念．

3．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能運(yùn)用有關(guān)知識解決問題．

知識梳理

1．等差數(shù)列的定義與等差中項(xiàng)

(1)一般地，如果一個數(shù)列從________起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的________都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為____________(n∈N*，d為常數(shù))．

(2)若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，其中A＝____________.2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

(1)通項(xiàng)公式：an＝__________，an＝am＋__________(m，n∈N*)．注：an＝dn＋a1－d，當(dāng)公差d不等于零時，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式，一次項(xiàng)系數(shù)為公差，常數(shù)項(xiàng)為a1－d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝______________________＝__________________.ddda1－?n，當(dāng)公差d≠0時，前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)為注：Sn＝n2＋?2??2

2d數(shù)為a10.當(dāng)d＝0時，Sn＝na1，此數(shù)列是常數(shù)列． 2

3．等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有_____________，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，________.注：此性質(zhì)常和前n項(xiàng)和Sn結(jié)合使用．

(2)等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，其公差是m2d.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d＞0，則數(shù)列為____；若d＜0，則數(shù)列為___；若d＝0，則數(shù)列為__

(4)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為__________．

(5)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．

(6)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，?(k，m∈N*)是公差為__________的等差數(shù)列． 基礎(chǔ)自測1．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a11的值為__________．

11112．在數(shù)列{an}中，a1＝＝a10＝__________.2an＋1an

33．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝__________.4．(2012福建高考改編)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為__________．

S1S5．(2012南京市高三第二次模擬考試)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若＝__________.S73S7

基礎(chǔ)自測

1．7；2．－1 ；3．15 ； 4．2 ；

S315.解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，由＝可得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，a3＝8d，a4＝9d，S73

S17從而S6＝3(a3＋a4)＝3×17d，S7＝7a4＝63d，則.S72

1思維拓展1．解決與等差數(shù)列有關(guān)問題有哪些常見的數(shù)學(xué)思想？

提示：(1)函數(shù)思想：在等差數(shù)列中an＝dn＋c(d，c為常數(shù))，是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))，Sn＝2An＋Bn(A，B為常數(shù))是關(guān)于n的二次函數(shù)或一次函數(shù)．

(2)方程思想：準(zhǔn)確分析a1，d，an，Sn，n之間的關(guān)系，通過列方程(組)可做到“知三求二”．

(3)整體思想：在應(yīng)用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq”時，要會用整體思想進(jìn)行代換．

(4)類比思想：等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比，關(guān)注它們之間的異同有助于全面掌握數(shù)列知識，也有利于類比思想的推廣．

2．如何判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列？

提示：(1)定義法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；

(3)通項(xiàng)是n的一次函數(shù)：an＝An＋B；(4)前n項(xiàng)和是n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0：Sn＝An2＋Bn.探究突破【探究突破一】等差數(shù)列的基本量的計算 【例1】 已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝2S2＋4，bn＝an

(1)求公差d的值；(2)若a1＝－2，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值． 51＋a

解：(1)∵S4＝2S2＋4，Sn＝na1＋4×?4－1?n?n－1?，∴4a＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得公差d＝1.122

1＋an57111(2)∵a1＝－，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－.∴bn＝＝1＋＝1＋.設(shè)f(x)＝1＋，22anan77n－x－22

7777－∞，?和?∞?上單調(diào)遞減，且x＜f(x)＜1；x＞時，f(x)＞1.∵f(x)分別在?2??2??22

∴f(3)＜f(2)＜f(1)＜1，即b3＜b2＜b1＜1，1＜f(n)≤f(4)(n≥4)，即1＜bn≤b4(n≥4)，b4＝3，b3＝－1.綜上可得{bn}中最大項(xiàng)為b4＝3，最小項(xiàng)為b3＝－1.【方法提煉】首項(xiàng)a1和公差d是等差數(shù)列{an}的基本量，只要確定了a1和d，數(shù)列{an}就能確定．因此，通過列方程(組)求得a1和d是解決等差數(shù)列{an}基本運(yùn)算的重要思想和方法．

【針對訓(xùn)練1】設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解：在遞增等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d＞0，22????a4＝a3×a7，??a1＋3d?＝1×?a1＋6d?，?a1＝－3，∵?∴?解得? ???a＝1，a＋2d＝1，d＝2.?3?1?

n?－3＋2n－5?2∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝n－4n.2

故所求an＝2n－5(n∈N*)，Sn＝n2－4n(n∈N*)．

【探究突破二】等差數(shù)列的判斷與證明

【例2】(2012陜西高考)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的公比；(2)證明：對任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．

解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差數(shù)列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)證一：對任k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，對任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．

＋＋＋＋2a1?1－qk?a1?1－qk2?a1?1－qk1?a1?2－qk2－qk1?證二：對任k∈N＋，2Sk＝Sk＋2＋Sk＋1＝，1－q1－q1－q1－q

＋＋2a1?1－qk?a1?2－qk2－qk1?aaqk2kk＋2k＋12Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－q)－(2－q－q)]＝q＋q－2)＝0，1－q1－q1－q1－q

因此，對任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．

【方法提煉】判斷或證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列時，首先考慮的是定義，即證an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)，其中d為常數(shù)；對于遞推式，還可考慮利用等差中項(xiàng)，即證2an＋1＝an＋an＋2.【針對訓(xùn)練2】(2012江蘇南京金陵中學(xué)高考數(shù)學(xué)預(yù)測卷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；

(2)設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

解：(1)由題意，令m＝2，n＝1，得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20.(2)當(dāng)n∈N*時，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8，于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，即bn＋1－bn＝8.所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列．

【探究突破三】等差數(shù)列的性質(zhì)

【例3】(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝63，求n；

(2)若一個等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34，后3項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)的和為390，求這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．

???9＝a1＋3d，?a1＝18，解：(1)設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則?得? ?－6＝a1＋8d，?d＝－3，??

3即63＝Sn＝18n－(n－1)，得n＝6或n＝7.2

(2)∵a1＋a2＋a3＝34，又an＋an－1＋an－2＝146，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴兩式相加得

n?a1＋an?3(a1＋an)＝180，a1＋an＝60，由Sn＝390，得n＝13.2

【方法提煉】利用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq”可以把a(bǔ)n與Sn結(jié)合起來，這是解決等差數(shù)列問題的有效方法．

【針對訓(xùn)練3】(2012江蘇徐州市高三第二次質(zhì)量檢測)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Sn7n＋45anTn，若＝，且是整數(shù)，則n的值為__________． Tnn＋3b2n

n?n－1?d2?d解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列前n項(xiàng)和為Sn＝na1＝n＋?a1－2n，22

所以可知等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)．

S7n＋45因?yàn)?，所以可設(shè)Sn＝kn(7n＋45)，Tn＝kn(n＋3)，其中k為常數(shù)． Tnn＋3

所以an＝Sn－Sn－1＝kn(7n＋45)－k(n－1)(7n＋38)＝k(14n＋38)，bn＝Tn－Tn－1＝kn(n＋3)－k(n－1)(n＋2)＝k(2n＋2)，則b2n＝k(4n＋2)，n＋16n＋16ak?14n＋38?7n＋19a＝＝3＋是整數(shù)． b2nk?4n＋2?b2n2n＋12n＋12n＋1

a則2n＋1≤n＋16，即n≤15.所以n＝15時，4，為整數(shù)． b2n

【探究突破四】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

【例4】 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為S7，且|a7|＜|a8|，求使Sn＞0的n的最大值． 解：由S7值最大，可得a7≥0，a8＜0，由|a7|＜|a8|，得a7＜－a8，即a7＋a8＜0，故a1＋a14＝a7＋a8＜0.13?a1＋a13?14?a1＋a14?若a7＞0，則S13＝13a7＞0，S14＝0，即Sn＞0的最大正整數(shù)n＝13.22

12?a1＋a12?若a7＝0，則a6＞0，S13＝13a7＝0，S12＝＝6(a6＋a7)＝6a6＞0，即Sn＞0的最大正整數(shù)n＝12.2

綜上所述，當(dāng)a7≠0時，使Sn＞0的最大正整數(shù)n為13；當(dāng)a7＝0時，使Sn＞0的最大正整數(shù)n為12.【方法提煉】

公差不為零的等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和的最值，一是把Sn轉(zhuǎn)化成n的二次函數(shù)求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值或最小值的項(xiàng)數(shù)n，代入前n項(xiàng)和公式求最值．

a【針對訓(xùn)練4】已知{an}為等差數(shù)列，若1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正a10

值時，n等于多少？

解：由已知得，{an}是首項(xiàng)為正，公差為負(fù)的遞減等差數(shù)列，a由1，得a10＋a11＜0且a10＞0，a11＜0，a10

20?a1＋a20?20?a10＋a11?∴S20＝10(a10＋a11)＜0.而S19＝19a10＞0，22∴Sn取最小正值時n＝19

【考情分析】通過分析江蘇卷近三年高考對等差數(shù)列的考查，該部分內(nèi)容屬必考內(nèi)容，要求學(xué)生理解等差數(shù)列的概念，會用定義證明一個數(shù)列是等差數(shù)列；能利用等差中項(xiàng)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列方程求值，能通過確定基本量或借助于等差數(shù)列的性質(zhì)用整體代換的方法進(jìn)行求值；要善于識別數(shù)列中的等差關(guān)系或轉(zhuǎn)化為等差關(guān)系，并通過通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式解決相關(guān)的問題．題型有考查基本知識(通項(xiàng)、求和)的容易題，也有與其他知識(函數(shù)、不等式、解析幾何等)相結(jié)合的綜合題，一般為解答題．難度為中檔題或較難題．

【遷移應(yīng)用】

1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________.k?k－1?解：a7－a5＝2d＝4，則d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.2

2.已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為________．

解析：由Sn－Sn－3＝51得，an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，n?a＋a－?又a2＝3，Sn＝＝100，解得n＝10.2

3.(2014·鎮(zhèn)江月考)已知等差數(shù)列{an}中，a4＋a6＝10，前5項(xiàng)和S5＝5，則其公差為________．

a－a5－1解析：由a4＋a6＝10，得2a5＝10，所以a5＝5.由S5＝5a3＝5，得a3＝1，所以d＝＝2.22

4.(2013·南通二模)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝________.解析：由條件可知，a2＝5，從而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差為3，所以a11＋a12＋a13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.S1S5.(2013·南京二模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝________.S73S7

S1解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，所以a3＝8d，a4＝9d，從而S6S73

17＝3(a3＋a4)＝51d，S7＝7a4＝63d21

6.設(shè)數(shù)列{an}是公差d<0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時，n＝________.解析：由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故當(dāng)n＝5或6時，Sn最大．

17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)． 2

(1)求證：數(shù)列S是等差數(shù)列．(2)求Sn和an.n

[解](1)證明：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.由上式知若Sn－1≠0，則Sn≠0.∵S1＝a1≠0，由遞推關(guān)系知Sn≠0(n∈N*)，11?1?11由①式得－2(n≥2)．∴?S是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為2，公差為2.SnSn－1S1a1?n?

11111(2)∵＋2(n－1)2(n－1)，∴Sn＝當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－，SnS1a12n2n?n－1?

1??2，n＝1，1當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝不適合上式，∴an＝? 21??－2n?n－1?n≥2.*8.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a2n＝4Sn－2an－1(n∈N)，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和． {}1

(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

2解：(1)當(dāng)n＝1時，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)＝0，解得a1＝1.當(dāng)n＝2時，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．

2(2)a2n＝4Sn－2an－1，①an＋1＝4Sn＋1－2an＋1－1.②

2②－①得：a2n＋1－an＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．

∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴an＝2n－1.

第三篇：學(xué)案：等差數(shù)列及和

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

一．高考考綱

1．考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題．掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等．

2．考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用．掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法． 二．基礎(chǔ)知識 1．等差數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于，那么這個數(shù)列就叫做 等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的，通常用字母d表示． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為。3．等差中項(xiàng)：如果，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)． 4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：a*

n＝am＋()d(n，m∈N)．

(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則(m，n，p，q∈N*)． 5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an，則Sn＝，或等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則 其前n項(xiàng)和公式為Sn＝.三．典型例題

【例1】(2011·福建)在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．

【例2】：已知數(shù)列{a項(xiàng)和為SS1

n}的前nn且滿足an＋2Sn·n－1＝0(n≥2)，a1＝2

.(1)求證：??1?

?S?是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式

n?

【例3】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，Sn＝324，最后6項(xiàng)的和為180(n＞6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.四．鞏固提高

1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝12，則a5等于()．A．4B．5C．6D．7

2．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于()．A．31B．32C．33D．34

3．(2011·江西)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．1B．9C．10D．55

4．(2012·杭州質(zhì)檢)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于()．A．13B．35C．49D．63

5．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號n的值．

第四篇：等差數(shù)列復(fù)習(xí)教案

等差數(shù)列

高考考點(diǎn)：

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用；

2.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.知識梳理:

1.等差數(shù)列的定義：

2.等差中項(xiàng)

3.通項(xiàng)公式

4.前n項(xiàng)和公式

5.等差數(shù)列的性質(zhì)（基本的三條）

典型例題：

一.基本問題

例：在等差數(shù)列?an?中

（1）已知a15?33，a45?153，求a61

（2）已知S8?48，S12?168，求a1和d

（3）已知a16?3，求S31

變式：（1）（2008陜西）已知?an?是等差數(shù)列，a1?a2?4，a7?a8?28，則該數(shù)列的前10項(xiàng)的和等于（）

A.64B.100C.110D.120

(2)(2008廣東)記等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若a1?

A.16B.24C.36D.48 1，則S6?（）S4?20，2

二.性質(zhì)的應(yīng)用

例：（1）若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后三項(xiàng)的和為146。，且所有項(xiàng)的和為390，則這個數(shù)列有_____項(xiàng)

（2）已知數(shù)列?an?的前m項(xiàng)和是30，前2m項(xiàng)的和是100，則它的前3m項(xiàng)的和是______

（3）設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對于任意的n?N，都有*Sn7n?1，則第一個數(shù)列的第11項(xiàng)與第二個數(shù)列的第11項(xiàng)的比為________ ?Tn4n?27

變式：（1）已知等差數(shù)列?an?中，a3，a15是方程x?6x?1?0的兩根，則2

_a7?a8?a9?a10?a11?_____

（2）已知兩個等差數(shù)列?an?和?bn?的前n項(xiàng)和分別為?An?和?Bn?，且An5n?63，則?Bnn?3使得

an為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是________ bn

三.等差數(shù)列的判定

例：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an?2Sn?1Sn(n?2)，a1?1

（1）求證：??1??是等差數(shù)列 S?n?

（2）求an的表達(dá)式

變式：數(shù)列?an?中，a1?

an1，an?1?，求其通項(xiàng)公式 2an?1

四.綜合應(yīng)用

例：數(shù)列?an?中，a1?8，a4?2，且滿足an?2?2an?1?an，n?N *

（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)n為何值時，其前n項(xiàng)和Sn最大？求出最大值;

(3)設(shè)Sn?a1?a2??an，求Sn

變式：（08四川）設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S4?10，S5?15，則a4的最大值是_______

課后作業(yè)

1.（09年山東）在等差數(shù)列?an?中，a3?7，a5?a2?6，則a6?______

2.若x?y，數(shù)列x，a1，a2，y和x，b1，b2，y 各自成等差數(shù)列，則

A.a2?a1?（）b2?b12433B.C.D.3324

3.集合A??1,2,3,4,5,6?，從集合A中任選3個不同的元素組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列共有（）

A.4個B.6個C.10個D.12個

4.(09安徽)已知?an?為等差數(shù)列，a1?a3?a5?105，a2?a4?a6?99，以Sn表示?an?的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（）

A.21B.20C.19D.18

5.（10浙江）設(shè)a1,d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6?15?0，則d的取值范圍是___________

6.已知數(shù)列?an?中，a1?3,anan?1?1?2an(n?2,n?N*)，數(shù)列?bn?滿足5

bn?1(n?N*)an?1

（1）.求證：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列

（2）.求數(shù)列?an?中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)

第五篇：等差數(shù)列復(fù)習(xí)

6.2 等差數(shù)列

尊敬的各位評委、各位老師，大家好！我抽簽的序號是14號，叫??，來自高三年級，我說課的題目是“等差數(shù)列”復(fù)習(xí)課的第一課時，我將從教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)分析、教法學(xué)法分析以及教學(xué)設(shè)計五個方面來談?wù)勎覍Ρ竟?jié)課課堂教學(xué)的理解。

一、教材分析

以教材為主，充分借助教輔資料進(jìn)行復(fù)習(xí)。教材選自人民教育出版社出版的《全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)必修5第二章》，教輔資料選自武漢出版社出版的《核按鈕》第六章第二節(jié)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高考的重要考查內(nèi)容之一。等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念后，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣，同時也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了學(xué)習(xí)對比的依據(jù)。它作為最基本的數(shù)列模型之一，一直是高考重點(diǎn)考查的對象。多數(shù)為中低檔題，也有難題。其中選擇、填空題“小而巧”，主要以求an,Sn為主，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，注重通性通法的考查。解答題“大而全”，注重題目的綜合性與新穎性，突出對邏輯思維能力的考查。

二、學(xué)情分析

高三的學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)過等差數(shù)列，對等差數(shù)列的相關(guān)知識已有一定的認(rèn)識和了解，但是不少學(xué)生在大量的整合復(fù)習(xí)中，有許多的知識點(diǎn)已經(jīng)遺忘，尤其對于我所任教的班級是該年級最后層次的學(xué)生，還有大部分的學(xué)生在初學(xué)時根本沒有掌握相關(guān)的內(nèi)容，因此本節(jié)作為等差數(shù)列復(fù)習(xí)的第一課時，更加注重對基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，將知識點(diǎn)與考點(diǎn)相結(jié)合，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置上做到由簡入難，在教學(xué)過程中注重引導(dǎo)、啟發(fā)、探究，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展以及知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)。

三、教學(xué)目標(biāo)分析

基于以上對教材和學(xué)情的認(rèn)識，根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的有關(guān)概念以及考綱要求，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)和心理特征，我確定了以下的三維教學(xué)目標(biāo)：知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀。

知識與技能：通過課前練習(xí)卷設(shè)置的作業(yè)以及以問題為媒介師生互動，引導(dǎo)學(xué)生加深對等差數(shù)列概念的理解，進(jìn)一步剖析等差數(shù)列的判定方法，促使學(xué)生能夠判定等差數(shù)列；通過對公式的分析和基本量的求解進(jìn)一步掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式。

過程與方法：通過學(xué)生自主完成課前練習(xí)卷，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力；通過課堂考點(diǎn)的分析與反思，培養(yǎng)學(xué)生具有方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想；通過課堂小結(jié)以及課上小組討論、回答問題，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)和語言表達(dá)能力。

情感、態(tài)度與價值觀：通過課前練習(xí)卷的完成，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己存在的問題，并分析解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、分析的能力；通過課堂練習(xí)，體驗(yàn)高考題，并順利解答，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，樹立良好的學(xué)習(xí)心態(tài)。

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)公式；能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。由于等差數(shù)列的判定方法有多種，學(xué)生難以用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈプC明或判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，所以教學(xué)難點(diǎn)就自然落在等差數(shù)列的判定上。

四、教法學(xué)法分析

為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，使學(xué)生達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，我再從教法和學(xué)法上談?wù)勎业脑O(shè)計思路。

教法分析：作為復(fù)習(xí)課由于涉及的知識點(diǎn)比較多課堂容量比較大，教法上我主要以講授式為主并結(jié)合任務(wù)驅(qū)動式（課前要求學(xué)生完成練習(xí)卷，了解本節(jié)課的學(xué)習(xí)提綱，課堂學(xué)習(xí)具有目的性，讓學(xué)生在完成“任務(wù)”的過程中，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力）等多種教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)；其次在教學(xué)中采用多媒體，可以極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化學(xué)生感觀的刺激，加大課堂的信息容量，使教學(xué)目標(biāo)更加完美的體現(xiàn)。

學(xué)法分析：學(xué)法上采用自主、合作、探究法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動性和課堂融入性；其次通過對變式的練習(xí)，達(dá)到舉一反三，加深對知識的掌握與理解，使學(xué)法得到遷移。

五、教學(xué)設(shè)計

下面我對第五部分的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行詳細(xì)展開：我的整個教學(xué)過程分為六個部分：考綱解讀、考點(diǎn)梳理、典例分析、高考鏈接、要點(diǎn)掃描、作業(yè)。

（一）考綱解讀 首先是介紹課標(biāo)以及考綱中對等差數(shù)列的要求，為我們的復(fù)習(xí)提供指南，促使學(xué)生在復(fù)習(xí)中具有目的性，并了解自己的薄弱環(huán)節(jié)，加強(qiáng)應(yīng)對措施。

（二）考點(diǎn)梳理與典例結(jié)合 為了避免大量的知識點(diǎn)復(fù)習(xí)造成學(xué)生學(xué)習(xí)的疲憊感，提高學(xué)習(xí)效率，在具體的操作中，我將考點(diǎn)梳理與典例結(jié)合進(jìn)行教學(xué)。以典例類型作為知識點(diǎn)引導(dǎo)的線索，并立即將知識點(diǎn)應(yīng)用于典例，更加符合學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，有利于學(xué)生對知識的掌握。鑒于學(xué)生的接受能力，本節(jié)課主要解決兩種典型例題。

類型一：等差數(shù)列基本量的計算

主要涉及到以下幾個知識點(diǎn)：等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

首先是等差數(shù)列的定義，通過填空以及著重號的形式加強(qiáng)學(xué)生對概念關(guān)鍵點(diǎn)的認(rèn)識，強(qiáng)化概念本質(zhì)的掌握；有了定義，自然而然就引導(dǎo)學(xué)生思考回憶，如何通過定義給出的通項(xiàng)公式，教師適時展示通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程“累加法”（這是該章節(jié)中一種重要的方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做鋪墊），并引導(dǎo)學(xué)生分析公式的特點(diǎn)，進(jìn)一步得到其推廣公式，為了加強(qiáng)對公式的理解和應(yīng)用，設(shè)置比較簡單的口答練習(xí)，通過練習(xí)進(jìn)一步總結(jié)公式的變形有哪些。

等差中項(xiàng)的引入是對特殊的等差數(shù)列的進(jìn)一步深化認(rèn)識，為后續(xù)的三個數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法以及等差中項(xiàng)法判斷數(shù)列為等差數(shù)列作鋪墊，起著承前啟后的作用。

最后是前n項(xiàng)和公式，引導(dǎo)學(xué)生分析公式的特點(diǎn)，展示公式的推導(dǎo)過程，指出“倒序相加法”是一種重要的求和方法，并及時通過比較簡單的口答練習(xí)，熟悉公式。

例1及練習(xí)的設(shè)置主要是為了加強(qiáng)學(xué)生對公式的掌握和靈活應(yīng)用，通過反思?xì)w納加深對“等差數(shù)列基本量的計算”這類題型解答的認(rèn)識和體會。

1.等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的_____都等于同一個______，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。簡記為：____________=d或____________=d。

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：若?an?是等差數(shù)列，則其通項(xiàng)公式為：____________，其推導(dǎo)方法是____________，推廣：an?am?_______。

練習(xí)：在等差數(shù)列?an?中，（1）已知a1?2,d??1,求an；（2）已知a10?15,a15?10，求d。

3.等差中項(xiàng)：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的__________，可用式子A=___________表示。

推廣：若?an?是等差數(shù)列，則an,an?1,an?2滿足的關(guān)系式：_________ 4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn? __________=__________，推導(dǎo)方法是__________ 練習(xí)：在等差數(shù)列?an?中，（1）（2）已知Sn?120，a1?3,d?2，已知a1?5,a15?35,求S15;求n。

例1 在等差數(shù)列?an?中，（1）已知a15?33,a45?153，求an；

（2）已知a6?10,S5?5，求Sn；

（3）已知前3項(xiàng)和為12，前3項(xiàng)積為48，且d?0，求a1 思考：通過上述例題的解答，給你怎樣的啟發(fā)？

練一練：已知等差數(shù)列?an?滿足：a3?7,a5?a7?26，?an?的前n項(xiàng)和為Sn，求an及Sn。

類型二：等差數(shù)列的判定與證明

通過設(shè)置問題“一個數(shù)列是等差數(shù)列才能用上述的通項(xiàng)公式、求和公式，以及相關(guān)性質(zhì)解題，使問題簡化，那么怎樣的數(shù)列才是等差數(shù)列呢？如何判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列？”，引導(dǎo)學(xué)生思考等差數(shù)列的判定方法，主要有四種：定義法、等差中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法以及前n項(xiàng)和公式法。其中前兩種方法學(xué)生比較容易理解，為了加深對后兩種方法的理解，引導(dǎo)學(xué)生分析這個等價條件的互推過程，比如?an?是等差數(shù)列，則它的通項(xiàng)公式通過變形可以整理成關(guān)于n的降冪形式，即an?pn?q的形式，然后再展示由公式推導(dǎo)出該數(shù)列為等差數(shù)列的證明過程，幫助學(xué)生理解。

例2主要是為了檢驗(yàn)學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，通過例題的講解，熟悉利用定義法證明或判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的解題步驟，加深對等差數(shù)列通項(xiàng)公式的認(rèn)識，指出四種方法的使用情況，強(qiáng)調(diào)在證明中通常采用定義法和等差中項(xiàng)法。學(xué)生會使用求和公式Sn?n(a1?an)，但是卻沒有去證明過它對應(yīng)的數(shù)列是2等差數(shù)列，因此設(shè)置了探究題，該題視課堂教學(xué)的實(shí)際情況進(jìn)行教學(xué)，若時間有限則作為課后探究題完成，有一定難度。

（1）定義法：an?1?an?d(常數(shù))(n?N?)? ?an?是等差數(shù)列；

（2）等差中項(xiàng)法：2an?1?an?an?2(n?N?)? ?an?是等差數(shù)列；

（3）通項(xiàng)公式法：an?pn?q(p,q為常數(shù))(n?N?)? ?an?是等差數(shù)列；

其中p=________，q=________。

（4）前n項(xiàng)和公式法：Sn?An2?Bn(A，B為常數(shù))(n?N?)??an?是等差數(shù)列。

其中A=________，B=________。

例2 已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?pn2?qn(p,q?R,且p,q為常數(shù))。

（1）當(dāng)p和q滿足什么條件時，數(shù)列?an?是等差數(shù)列？

（2）求證：對任意實(shí)數(shù)p和q，數(shù)列?an?1?an?是等差數(shù)列。

說明：這四種方法都可以判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，但是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列只能用前兩種方法，做客觀題時可用后兩種方法判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列。探究： 設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若對于所有的正整數(shù)n，都有Sn?n(a1?an)，證明2?an?是等差數(shù)列。

（三）課堂練習(xí)——高考鏈接

通過練習(xí)可以反饋學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，其中1、2題是對公式的應(yīng)用，加強(qiáng)學(xué)生對公式的理解與掌握；第3題則是利用等差中項(xiàng)判定數(shù)列是否為等差數(shù)列，檢驗(yàn)學(xué)生是否理解這類方法的本質(zhì)，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力；

4、5題是基于教輔資料中沒有設(shè)置利用通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和公式法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，并借助性質(zhì)求解的題，因而通過4、5題使學(xué)生體會借助公式法解題的簡便與快捷。第6題一是考查通項(xiàng)公式法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，二是為下節(jié)課學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對值之和做鋪墊。

1、（2013·貴州六校聯(lián)考）等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5?8,S3?6，則a9?

（）

A.8

B.12

C.16

D.24

2、（2013·德陽二診）在等差數(shù)列?an?中，若a1?a4?4,a2?a7?5，則a11?a14?________。

2223、已知正項(xiàng)數(shù)列?an?中，a1?1,a2?2,2an?an?1?an?1(n?2)，則a6?________。

4、已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn?n2?2n(n?N?),則a8?a5?________。

5、已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?3n?1，則S10?________。

6、（2013·河南三市第二次調(diào)研）設(shè)數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?2n?10，則a1?a2?a3???a15?________。

（四）課堂小結(jié)——要點(diǎn)掃描

列出提綱，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的知識，要求學(xué)生能夠用自己的語言，總結(jié)心得體會，以及每個知識點(diǎn)中的關(guān)鍵點(diǎn)和注意事項(xiàng)。

一個定義： 兩個公式： 四種判定方法： 一種思想：

（五）作業(yè)布置

本節(jié)課所布置的作業(yè)有兩類題：基礎(chǔ)自測與課時作業(yè)主要是為了鞏固學(xué)生對知識點(diǎn)的理解和掌握，加強(qiáng)對公式的使用，屬于基礎(chǔ)題，難度不大。合作探究題既是對課堂練習(xí)6的延伸，又為下節(jié)課的教學(xué)做鋪墊，能夠加強(qiáng)學(xué)生之間的合作交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

核按鈕基礎(chǔ)自測，課時作業(yè)1，2，5，6，7 合作探究：課時作業(yè)11題