第一篇：04普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試廣東卷數(shù)學試題及答案

2004年普通高等學校招生廣東卷數(shù)學試題 一.選擇題（共12小題，每題5分，計60分）1．已知平面向量=（3，1），=（x，–3），且，則x=（）A.–3 B.–1 C.1 D.3 2.已知則()A.B.C.D.3.設函數(shù) 在x=2處連續(xù),則a=()A.B.C.D.4.的值為()A.–1 B.0 C.D.1 5.函數(shù)是()A.周期為的偶函數(shù) B.周期為的奇函數(shù) C.周期為2的偶函數(shù) D..周期為2的奇函數(shù) 6.一臺X型號自動機床在一小時內不需要工人照看的概率為0.8000,有四臺這中型號的自動機床各自獨立工作,則在一小時內至多2臺機床需要工人照看的概率是()A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.9728 7.在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體,則截去8個三棱錐后,剩下的凸多面體的體積是()A.B.C.D.8.若雙曲線的焦點到它相對應的準線的距離是2，則k=（）A.6 B.8 C.1 D.4 9.當時,函數(shù)的最小值是()A.4 B.C.2 D.10.變量x、y滿足下列條件：

則使z=3x+2y的值最小的（x，y）是 A.(4.5 ,3)B.(3,6)C.(9, 2)D.(6, 4)11.若則 A.B.C.D.12.如右下圖,定圓半徑為a，圓心為(b ,c), 則直線ax+by+c=0與直線 x–y+1=0的交點在()A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 二.填空題(共4小題，每題4分，計16分）13.某班委會由4名男生與3名女生組成,現(xiàn)從中選出2人擔任正副班長,其中至少有1名女生當選的概率是(用分數(shù)作答)14.已知復數(shù)z與(z +2)2-8i 均是純虛數(shù),則 z =.15.由圖(1)有面積關系: 則由(2)有體積關系: 16.函數(shù)的反函數(shù) 三.解答題(共6小題,74分)17.(12分)已知成公比為2的等比數(shù)列(也成等比數(shù)列.求的值.18.如右下圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直線EC1與FD1所成的余弦值.19.(12分)設函數(shù)(1)證明: 當0< a < b ,且時,ab >1;(2)點P(x0, y0)(0< x0 <1)在曲線上,求曲線在點P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達式(用x0表達).20(12分)某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m.試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關各點均在同一平面上)21.(12分)設函數(shù) 其中常數(shù)m為整數(shù).(1)當m為何值時,(2)定理: 若函數(shù)g(x)在[a, b ]上連續(xù),且g(a)與g(b)異號,則至少存在一點x0∈(a,b),使g(x0)=0.試用上述定理證明:當整數(shù)m>1時,方程f(x)= 0, 在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]內有兩個實根.22．(14分)設直線與橢圓相交于A、B兩點，又與雙曲線x2–y2=1相交于C、D兩點，C、D三等分線段AB.求直線的方程.2004年普通高等學校招生廣東卷數(shù)學試題 標準答案 一、選擇題：

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C A B D D A A B D B 二、填空題：

（13）（14）－2i(15)(16)三、解答題 17．∵α,β,γ成公比為2的等比數(shù)列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比數(shù)列 當cosα=1時，sinα=0,與等比數(shù)列的首項不為零，故cosα=1應舍去，18．解：（I）以A為原點，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標系，則有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，設向量與平面C1DE垂直，則有（II）設EC1與FD1所成角為β，則 19.證明：（I）故f(x)在（0，1上是減函數(shù)，而在（1，+∞）上是增函數(shù)，由0

∴切線與x軸、y軸正向的交點為 故所求三角形面積聽表達式為：

20．解：如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，依題意得a=680, c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|, 答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處.21.（I）解：函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù)，且 當x∈(-m,1-m)時,f ’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m)當x∈(1-m, +∞)時,f ’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m)根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且 對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故當整數(shù)m≤1時，f(x)≥1-m≥0(II)證明：由（I）知，當整數(shù)m>1時，f(1-m)=1-m<0, 函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).由所給定理知，存在唯一的 而當整數(shù)m>1時，類似地，當整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的 故當m>1時，方程f(x)=0在內有兩個實根 22．解：首先討論l不與x軸垂直時的情況，設直線l的方程為 y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點為：

依題意有，由 若，則與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故 由 故l的方程為(ii)當b=0時，由(1)得 由 故l的方程為 再討論l與x軸垂直的情況.設直線l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，綜上所述，故l的方程為、和

第二篇：78版 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題及答案

1978年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學

（理科考生五，六兩題選做一題文科考生五，六兩題選做一題，不要求做第七題）

一．（下列各題每題4分，五個題共20分）

1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的邊長為，求側面積等于這個正方形的面積，高等于這個正方形邊長的直圓柱體的體積

解：設底面半徑為r，則底面周長2πr=

則

3．求函數(shù)的定義域

解：

∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1為其定義域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

5.化簡：

二

.（本題滿分14分）

已知方程kx2+y2=4，其中k為實數(shù)對于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的內形，并畫出顯示其數(shù)量特征的草圖

解：1）k>0時，方程的圖形是橢圓，中心在坐標原點，此時又可分為：①k>1時,長軸在y軸上，半長軸=2，半短軸=;

②k=1時,為半徑r=2的圓;

③k<1時,長軸在x軸上，半長軸=，半短軸=2

Y

Y

Y

k=2

A

k=1

(0,2)

k=1/4

O

A

X

O

B

X

O

X

如圖：

2)k=0時，方程為y2=4圖形是兩條平行于x軸的直線

如圖

3）k<0時，方程為

Y

Y

y=2

k=-4

A

O

O

X

B

X

y=-2

這時圖形是雙曲線，中心在坐標原點，實軸在y軸上如圖：

三．（本題滿分14分）

（如圖）AB是半圓的直徑，C是半圓上一點，直線MN切半圓于C點，AM⊥MN于M點，BN⊥MN于N點，CD⊥AB于D點，求證：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN

M

C

N

A

B

D

1)證：連CA，CB，則∠ACB=900∠ACM=∠ABC

∠ACD=∠ABC

∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC

∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

2）∵CD⊥AB，∠ACD=900

∴

CD2=AD·DB

由1）知AM=AD，BN=BD

∴CD2=AM·BN

四．（本題滿分12分）

五．（本題滿分20分）

已知△ABC的三內角的大小成等差數(shù)列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知頂點C的對邊c上的高等于求三角形各邊,b,c的長（提示：必要時可驗證）

六．（本題滿分20分）

七．（本題滿分20分，文科考生不要求作此題）

已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2-1(m為實數(shù)）

1）m是什么數(shù)值時，y的極值是0？

2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點都在同一條直線L1上畫出m=-1、0、1時拋物線的草圖，來檢驗這個結論

3）平行于L1的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于L1而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等

解：用配方法得：

3.設L：x-y=為任一條平行于L1的直線

與拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1方程聯(lián)立求解，消去y，得

x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-

因而當1-≥0即≤1時，直線L與拋物線相交，而＞1時，直線L與拋物線不相交

而這與m無關

因此直線L被各拋物線截出的線段都相等

一九七八年副題

1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3

解：原式=(x-y-1)(x-y+3)

(2)求

解：原式=3/4

（4）已知直圓錐體的底面半徑等于1cm，母線的長等于2cm，求它的體積

解：

解：原式=30

2．已知兩數(shù)x1,x2滿足下列條件：

1）它們的和是等差數(shù)列1，3，…的第20項;

2）它們的積是等比數(shù)列2，-6，…的前4項和

求根為的方程

略解：x1

+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40

1/x1·1/x2=-1/40

所求方程為：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長線于D點，求證：

A

B

E

C

D

證：因為AD是△ABC的外接圓的切線，所以

∠B=∠1∴△ABD∽△CAD

作AE⊥BD于點E，則

A

M

N

α

B

E

F

D

4．（如圖）CD是BC的延長線，AB=BC=CA=CD=，DM與AB，AC分別交于M點和N點，且∠BDM=α

求證：

證：作ME⊥DC于E，由△ABC是等邊三角形，在直角△MBE中，類似地，過N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可證：

5．設有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求證：

1）如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一個二次三項式的平方

2）如果f(x)與F(x)=(2x2+x+b)2表示同一個多項式，那么

p2-4q-4(m+1)=0

6．已知：sinx+bcosx

=0.………………………………①

Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②

其中,b不同時為0

求證：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0

則①可寫成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k為整數(shù))，∴x=y+kπ

又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=

cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=

代入②，得

7．已知L為過點P而傾斜角為300的直線，圓C為中心在坐標原點而半徑等于1的圓，Q表示頂點在原點而焦點在的拋物線設A為L和C在第三象限的交點，B為C和Q在第四象限的交點

1）寫出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖

2）寫出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達式

3）設P＇、B＇依次為從P、B到x軸的垂足求由圓弧AB和直線段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面積

Y

O

X

B

Q

L

P

A

C

解：1）直線L、圓C和拋物線Q的方程為

2)由

Y

P＇

B＇

O

X

B

A

C

Q

L

P

第三篇：04普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷文科數(shù)學試題及答案

2004年普通高等學校招生浙江卷文史類數(shù)學試題

第Ⅰ卷

(選擇題

共60分)

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.(1)

若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則=

(A)

{1,2,3}

(B)

{4}

(C)

{1,3,4}

(D)

{2}

（2）直線y=2與直線x+y—2=0的夾角是

（A）

（B）

（C）

（D）

(3)

已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則=

(A)

–4

(B)

–6

(C)

–8

(D)

–10

（4）已知向量且∥，則=

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標為

（A）（（B）（（C）（（D）（（6）曲線y2=4x關于直線x=2對稱的曲線方程是

（A）y2=8--4x

（B）y2=4x—8

（C）y2=16--4x

（D）y2=4x—16

(7)

若展開式中存在常數(shù)項,則n的值可以是

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)“”“A=30o”的(A)

充分而不必要條件

(B)

必要而不充分條件

(C)

充分必要條件

(D)

既不充分也必要條件

(9)若函數(shù)的定義域和值域都是[0，1]，則a=

（A）

（B）

（C）

（D）2

（10）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）（B）（C）（D）

（11）橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被點（，0）分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（12）若和g(x)都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則不可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

（非選擇題

共90分）

二.填空題：三大題共4小題，每小題4分，滿分16分把答案填在題中橫線上

（13）已知則不等式的解集是

（14）已知平面上三點A、B、C滿足則的值等于

（15）已知平面α⊥β，=，P是空間一點，且P到α、β的距離分別是1、2，則點P到的距離為

（16）設坐標平面內有一個質點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動質點落在點（3，0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有

種（用數(shù)字作答）

三.解答題：本大題共6小題，滿分74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

（17）（本題滿分12分）

已知數(shù)列的前n項和為

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求證數(shù)列是等比數(shù)列

（18）（本題滿分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

（19）（19）（本題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求證AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大??；

（20）（本題滿分12分）

某地區(qū)有5個工廠，由于用電緊缺，規(guī)定每個工廠在一周內必須選擇某一天停電（選哪一天是等可能的）假定工廠之間的選擇互不影響

（Ⅰ）求5個工廠均選擇星期日停電的概率；

（Ⅱ）求至少有兩個工廠選擇同一天停電的概率

（21）（本題滿分12分）

已知a為實數(shù)，（Ⅰ）求導數(shù)；

（Ⅱ）若，求在[--2，2]

上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍

（22）（本題滿分14分）

已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙

曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實數(shù)m的取值范圍；

（Ⅱ）當時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲

線的方程

2004年普通高等學校招生浙江卷文史類數(shù)學試題

參考答案

一選擇題本大題共12小題,每小題5分,共60分

1.B

2.A

3.B

4.A

5.A

6.C

7.C

8.B

9.D

10.D

11D

12.B

二.填空題

(本大題共4小題,每小題4分,共16分)

13.14.–4

15.16.5

三.解答題

17.解:

(Ⅰ)由,得

∴

又,即,得

.(Ⅱ)當n>1時,得所以是首項,公比為的等比數(shù)列.(12分)

(18)

解:

(Ⅰ)

=

=

=

=

(Ⅱ)

∵

∴,又∵

∴

當且僅當

b=c=時,bc=,故bc的最大值是.(19)

(滿分12分)

方法一

解:

(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE

∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角

在RtΔASB中，∴

∴二面角A—DF—B的大小為60o

（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴

又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴

所以t=1或t=3(舍去)

即點P是AC的中點

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系

設，連接NE，則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,∴

=(,又點A、M的坐標分別是

（）、（∴

=（∴=且NE與AM不共線，∴NE∥AM

又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF

∴為平面DAF的法向量

∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE為平面BDF的法向量

∴cos<>=

∴的夾角是60o

即所求二面角A—DF—B的大小是60o

（Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60o

∴

解得或（舍去），即點P是AC的中點

(20)

解:

(Ⅰ)設5個工廠均選擇星期日停電的事件為A,則.(Ⅱ)設5個工廠選擇的停電時間各不相同的事件為B,則

因為至少有兩個工廠選擇同一天停電的事件是,所以

(12分)

(21)

解:

(Ⅰ)由原式得

∴

(Ⅱ)由

得,此時有.由得或x=-1,又

所以f(x)在[--2,2]上的最大值為最小值為

(Ⅲ)解法一:的圖象為開口向上且過點(0,--4)的拋物線,由條件得

即

∴--2≤a≤2.所以a的取值范圍為[--2,2].解法二:令即

由求根公式得:

所以在和上非負.由題意可知,當x≤-2或x≥2時,≥0,從而x1≥-2,x2≤2,即

解不等式組得:

--2≤a≤2.∴a的取值范圍是[--2,2].(22)

(滿分14分)

解:

(Ⅰ)由條件得直線AP的方程(即.又因為點M到直線AP的距離為1,所以

得.∵

∴≤≤2,解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范圍是

(Ⅱ)可設雙曲線方程為

由

得.又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1因此，（不妨設P在第一象限）

直線PQ方程為

直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標是（2+，1+），將P點坐標代入得，所以所求雙曲線方程為

即

第四篇：04普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷理科數(shù)學試題及答案

2004年普通高等學校招生浙江卷理工類數(shù)學試題

第Ⅰ卷

(選擇題

共60分)

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.(1)

若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則=

(A)

{1,2,3}

(B)

{2}

(C)

{1,3,4}

(D)

{4}

(2)

點P從(1,0)出發(fā),沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點,則Q的坐標為

(A)

(B)

（(C)

（(D)

（(3)

已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則=

(A)

–4

(B)

–6

(C)

–8

(D)

–10

(4)曲線關于直線x=2對稱的曲線方程是

(A)

(B)

(C)

(D)

(5)

設z=x—y,式中變量x和y滿足條件則z的最小值為

(A)

(B)

–1

(C)

(D)

–3

(6)

已知復數(shù),且是實數(shù),則實數(shù)t=

(A)

(B)

(C)

--

(D)

--

(7)

若展開式中存在常數(shù)項,則n的值可以是

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)在ΔABC中,“A>30o”是“sinA>”的(A)

充分而不必要條件

(B)

必要而不充分條件

(C)

充分必要條件

(D)

既不充分也必要條件

(9)若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）（B）（C）（D）

（11）設是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=的圖象

如圖所示，則y=

f(x)的圖象最有可能的是

（12）若和g(x)都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則不可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

（非選擇題

共90分）

二.填空題：三大題共4小題，每小題4分，滿分16分把答案填在題中橫線上

（13）已知則不等式≤5的解集是

（14）已知平面上三點A、B、C滿足則的值等于

（15）設坐標平面內有一個質點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動質點落在點（3，0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有

種（用數(shù)字作答）

（16）已知平面α和平面交于直線，P是空間一點，PA⊥α，垂足為A，PB⊥β，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點A在β內的射影與點B在α內的射影重合，則點P到的距離為

三.解答題：本大題共6小題，滿分74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

（17）（本題滿分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

（18）

（本題滿分12分）

盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同）記第一次與第二次取到球的標號之和為ε

（Ⅰ）求隨機變量ε的分布列；

（Ⅱ）求隨機變量ε的期望Eε

（19）（本題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大??；

（20）（本題滿分12分）

設曲線≥0）在點M（t,c--1）處的切線與x軸y軸所圍成的三角表面積為S（t）

（Ⅰ）求切線的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值

（21）（本題滿分12分）

已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙

曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實數(shù)m的取值范圍；

（Ⅱ）當時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲

線的方程

（22）（本題滿分14分）

如圖，ΔOBC的在個頂點坐標分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設P為線段BC的中點,P為線段CO的中點,P3為線段OP1的中點,對于每一個正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點,令Pn的坐標為(xn,yn),（Ⅰ）求及;

（Ⅱ）證明

(Ⅲ)若記證明是等比數(shù)列.2004年普通高等學校招生浙江卷理工類數(shù)學試題

參考答案

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.1.D

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.C

8.B

9.D

10.D

11.C

12.B

二.填空題:本大題共4小題,每小題4分,滿分16分.13.14.--25

15.5

16.三.解答題:本大題共6小題,滿分74分.17.(本題滿分12分)

解:

(Ⅰ)

=

=

=

=

(Ⅱ)

∵

∴,又∵

∴

當且僅當

b=c=時,bc=,故bc的最大值是.(18)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由題意可得,隨機變量ε的取值是2、3、4、6、7、10

隨機變量ε的概率分布列如下

ε

P

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

隨機變量ε的數(shù)學期望

Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19)

(滿分12分)

方法一

解:

(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE

∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角

在RtΔASB中，∴

∴二面角A—DF—B的大小為60o

（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴

又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴

所以t=1或t=3(舍去)

即點P是AC的中點

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系

設，連接NE，則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,∴

=(,又點A、M的坐標分別是

（）、（∴

=（∴=且NE與AM不共線，∴NE∥AM

又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF

∴為平面DAF的法向量

∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE為平面BDF的法向量

∴cos<>=

∴的夾角是60o

即所求二面角A—DF—B的大小是60o

（Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60o

∴

解得或（舍去），即點P是AC的中點

（20）（滿分12分）

解：（Ⅰ）因為

所以切線的斜率為

故切線的方程為即

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得

所以S（t）=

=

從而

∵當（0，1）時，>0,當（1,+∞）時,<0,所以S(t)的最大值為S(1)=

(21)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由條件得直線AP的方程

即

因為點M到直線AP的距離為1,∵

即.∵

∴

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范圍是

(Ⅱ)可設雙曲線方程為

由

得.又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1因此，（不妨設P在第一象限）

直線PQ方程為

直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標是（2+，1+），將P點坐標代入得，所以所求雙曲線方程為

即

（22）（滿分14分）

解：(Ⅰ)因為，所以，又由題意可知

∴

=

=

∴為常數(shù)列

∴

(Ⅱ)將等式兩邊除以2，得

又∵

∴

（Ⅲ）∵

=

=

又∵

∴是公比為的等比數(shù)列

第五篇：普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案 83屆

1983年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案

（這份試題共九道大題，滿分120分）

一．（本題滿分10分）本題共有5小題，每小題都給出代號為A，B，C，D的四個結論，其中只有一個結論是正確的把正確結論的代號寫在題后的圓括號內每一個小題：選對的得2分;不選，選錯或者選出的代號超過一個的（不論是否都寫在圓括號內），一律得0分

1．兩條異面直線，指的是

（D）

（A）在空間內不相交的兩條直線

（B）分別位于兩個不同平面內的兩條直線

（C）某一平面內的一條直線和這個平面外的一條直線

（D）不在同一平面內的兩條直線

2．方程x2-y2=0表示的圖形是

（A）

（A）兩條相交直線

（B）兩條平行直線

（C）兩條重合直線

（D）一個點

3．三個數(shù)a,b,c不全為零的充要條件是

（D）

（A）a,b,c都不是零

（B）a,b,c中最多有一個是零

（C）a,b,c中只有一個是零（D）a,b,c中至少有一個不是零

4．設則的值是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．這三個數(shù)之間的大小順序是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

二．（本題滿分12分）

1．在同一平面直角坐標系內，分別畫出兩個方程的圖形，并寫出它們交點的坐標

2．在極坐標系內，方程表示什么曲線？畫出它的圖形

解：

Y

O

X

P

1.圖形如左圖所示

交點坐標是：O（0，0），P（1，-1）

O

X

(,0)

2．曲線名稱是：圓

圖形如右所示

三．（本題滿分12分）

1．已知，求微分

2．一個小組共有10名同學，其中4名是女同學，6名是男同學要從小組內選出3名代表，其中至少有1名女同學，求一共有多少種選法

解：1.2．

或：

四．（本題滿分12分）

計算行列式（要求結果最簡）：

解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得

五．（本題滿分15分）

1．證明：對于任意實數(shù)t，復數(shù)的模

適合2．當實數(shù)t取什么值時，復數(shù)的幅角主值適合？

1．證：復數(shù)（其中t

是實數(shù)）的模為

要證對任意實數(shù)t，有，只要證對任意實數(shù)t，成立

對任意實數(shù)t，因為，所以可令

且，于是

2．因為復數(shù)的實部與虛部都是非負數(shù)，所以z的幅角主值一定適合從而

顯然因為

由于

這就是所求的實數(shù)t的取值范圍

六．（本題滿分15分）

如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側棱SC上的一點，使截面MAB與底面所成的角等

S

M

P

C

A

N

D

B

于∠NSC，求證SC垂直于截面MAB

證：因為SN是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂線定理）

連結DM因為AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所決定的平面又因DM在這個平面內，所以AB⊥DM

∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC

在△MDC和△NSC中，因為∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900從而DM⊥SC從AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB

七．（本題滿分16分）

如圖，已知橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過橢圓焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M，N設∠F2F1M=α（0≤α＜π）當α取什么值時，|MN|等于橢圓短軸的長？

Y

M

α

A1

F1

O

F2

A

X

N

解一：以橢圓焦點F1為極點，以F1為起點并過F2的射線為極軸建立極坐標系

由已知條件可知橢圓長半軸a=3，半焦距c=，短半軸b=1，離心率e=，中心到準線距離=,焦點到準線距離p=.橢圓的極坐標方程為

解得

以上解方程過程中的每一步都是可逆的，所以當或時，|MN|等于短軸的長

解二：以橢圓的中心為原點，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為

MN所在直線方程為

解方程組

消去y得.下同解法一

解三：建立坐標系得橢圓如解二，MN所在直線的參數(shù)方程為

代入橢圓方程得

設t1,t2是方程兩根，則由韋達定理，下同解一

解四：設|F1M|=x,則|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α

在△MF1F2中由余弦定理得

同理，設|F1N|=y，則|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得

下同解一

八．（本題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的首項a1=b(b≠0），它的前n項的和Sn=a1+a2+…+an

(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一個等比數(shù)列，其公比為p（p≠0且|p|＜1）

1．證明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}從第二項起）是一個等比數(shù)列

2．設Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）

1．證：由已知條件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）

因為當n≥2時，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以

an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)從而

因此a2,a3,a3,…an,…是一個公比為p的等比數(shù)列

2．解：當n≥2時，且由已知條件可知p2<1，因此數(shù)列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比為p2<1的無窮等比數(shù)列于是

從而

九．（本題滿分12分）

1．已知a,b為實數(shù)，并且eba.2.如果正實數(shù)a,b滿足ab=ba.且a<1，證明a=b

1．證：當eba，只要證blna>alnb,即只要證

考慮函數(shù)因為但時，所以函數(shù)內是減函數(shù)

因為eba

2．證一：由ab=ba，得blna=alnb，從而

考慮函數(shù)，它的導數(shù)是

因為在（0，1）內，所以f(x)在（0，1）內是增函數(shù)

由于00,所以ab<1,從而ba=ab<1.由ba<1及a>0,可推出b<1.由0

所以a=b

證二：因為0

假如a

矛盾

所以a不能小于b

假如a>b，則，而，這也與矛盾

所以a不能大于b因此a=b

證三：假如a0由于00,根據(jù)冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的性質，得和，所以

即ab

假如b0,同上可證得ab

因此a=b