第一篇：04普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試遼寧卷數(shù)學(xué)試題及答案

2004年普通高等學(xué)校招生遼寧卷數(shù)學(xué)試題 第Ⅰ卷（選擇題 共60分）參考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)其中R表示球的半徑球的體積公式 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k 次的概率 其中R表示球的半徑 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若的終邊所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．對(duì)于，給出下列四個(gè)不等式 ① ② ③ ④ 其中成立的是 A．①與③ B．①與④ C．②與③ D．②與④ 3．已知α、β是不同的兩個(gè)平面，直線，命題無公共點(diǎn)；

命題.則的 A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件 4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足 A．0 B．1 C． D．2 5．甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問題，甲解決這個(gè)問題的概率是p1，乙解決這個(gè)問題的概率是 p2，那么恰好有1人解決這個(gè)問題的概率是 A． B． C． D． 6．已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是 A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 7．已知函數(shù)，則下列命題正確的是 A．是周期為1的奇函數(shù) B．是周期為2的偶函數(shù) C．是周期為1的非奇非偶函數(shù) D．是周期為2的非奇非偶函數(shù) 8．已知隨機(jī)變量的概率分布如下：

m 則 A． B． C． D． 9．已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)P滿足.當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是 A． B． C． D．2 10．設(shè)A、B、C、D是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，AB=BC=CD=DA=3，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是 A． B． C． D． 11．若函數(shù)的圖象（部分）如圖所示，則的取值是 A． B． C． D． 12．有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 A．234 B．346 C．350 D．363 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.13．若經(jīng)過點(diǎn)P（－1，0）的直線與圓相切，則此直線在y軸上 的截距是.14．=.15．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2a，且，則側(cè)棱AA1和截面B1D1DB的距離是.16．口袋內(nèi)裝有10個(gè)相同的球，其中5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字0，5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字1，若從袋中摸出 5個(gè)球，那么摸出的5個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和小于2或大于3的概率是.（以 數(shù)值作答）三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn).（1）證明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.18．（本小題滿分12分）設(shè)全集U=R（1）解關(guān)于x的不等式（2）記A為（1）中不等式的解集，集合，若恰有3個(gè)元素，求a的取值范圍.19．（本小題滿分12分）設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：

（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）的最小值與最大值.20．（本小題滿分12分）甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠.由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方 索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價(jià)格），（1）將乙方的年利潤(rùn)w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤(rùn) 的年產(chǎn)量；

（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？ 21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)（1）求a的值；

（2）設(shè) 22．（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）假設(shè)對(duì)任意成立，求實(shí) 數(shù)m的取值范圍.2004年普通高等學(xué)校招生遼寧卷數(shù)學(xué)試題 答案與評(píng)分參考 一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B 二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分16分.13．1 14． 15．a(chǎn) 16． 三、解答題 17．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，四棱錐的有關(guān)概念及余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空 間想象能力和推理能力.滿分12分.（1）證明：連接BD.為等邊三角形.是AB中點(diǎn)，…………2分 面ABCD，AB面ABCD，面PED，PD面PED，面PED.…………4分 面PAB，面PAB.……………………6分（2）解：平面PED，PE面PED，連接EF，PED，為二面角P—AB—F的平面角.………… 9分 設(shè)AD=2，那么PF=FD=1，DE=.在 即二面角P—AB—F的平面角的余弦值為…12分 18．本小題主要考查集合的有關(guān)概念，含絕對(duì)值的不等式，簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和已知三 角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查簡(jiǎn)單的分類討論方法，以及分析問題和推理計(jì)算能力.滿分12分.解：（1）由 當(dāng)時(shí)，解集是R；

當(dāng)時(shí)，解集是……………………3分（2）當(dāng)時(shí)，=；

當(dāng)時(shí)，=……………………5分 因 由…………8分 當(dāng)怡有3個(gè)元素時(shí)，a就滿足 解得12分 19．本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以 及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分 12分.（1）解法一：直線l過點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為 記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組 ② ① 的解.…………………………2分 將①代入②并化簡(jiǎn)得，所以 于是 …………6分 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則 消去參數(shù)k得 ③ 當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方 程為………………8分 解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以 ④ ⑤ ④—⑤得，所以 當(dāng)時(shí)，有 ⑥ 并且 ⑦ 將⑦代入⑥并整理得 ⑧ 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 ………………8分（2）解：由點(diǎn)P的軌跡方程知所以 ……10分 故當(dāng)，取得最小值，最小值為時(shí)，取得最大值，最大值為……………………12分 注：若將代入的表達(dá)式求解，可參照上述標(biāo)準(zhǔn)給分.21．本小題主要考查函數(shù)和不等式的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析和 解決問題的能力.滿分14分.（1）解：由于的最大值不大于所以 ① ………………3分 又所以.② 由①②得………………6分（2）證法一：（i）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；

因時(shí)不等式也成立.（ii）假設(shè)時(shí)，不等式成立，因?yàn)榈?對(duì)稱軸為知為增函數(shù)，所以由得 ………………8分 于是有 …………12分 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)（i）（ii）可知，對(duì)任何，不等式成立.…………14分 證法二：（i）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；

（ii）假設(shè)時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，………………8分 因所以 ……12分 于是 因此當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)（i）（ii）可知，對(duì)任何，不等式成立.…………14分 證法三：（i）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；

（ii）假設(shè)時(shí).若則 ①…………8分 所以都是增函數(shù).因此當(dāng)時(shí)，的最大值為的最小值為 而不等式②成立當(dāng)且僅當(dāng)即，于是得 ………………12分 解法二：由得 設(shè) 于是原不等式對(duì)于恒成立等價(jià)于 ③…7分 由，注意到 故有，從而可均在 上單調(diào)遞增，因此不等式③成立當(dāng)且僅當(dāng) 即 ………………12分

第二篇：78版 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題及答案

1978年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

（理科考生五，六兩題選做一題文科考生五，六兩題選做一題，不要求做第七題）

一．（下列各題每題4分，五個(gè)題共20分）

1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的邊長(zhǎng)為，求側(cè)面積等于這個(gè)正方形的面積，高等于這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的直圓柱體的體積

解：設(shè)底面半徑為r，則底面周長(zhǎng)2πr=

則

3．求函數(shù)的定義域

解：

∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1為其定義域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

5.化簡(jiǎn)：

二

.（本題滿分14分）

已知方程kx2+y2=4，其中k為實(shí)數(shù)對(duì)于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的內(nèi)形，并畫出顯示其數(shù)量特征的草圖

解：1）k>0時(shí)，方程的圖形是橢圓，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)又可分為：①k>1時(shí),長(zhǎng)軸在y軸上，半長(zhǎng)軸=2，半短軸=;

②k=1時(shí),為半徑r=2的圓;

③k<1時(shí),長(zhǎng)軸在x軸上，半長(zhǎng)軸=，半短軸=2

Y

Y

Y

k=2

A

k=1

(0,2)

k=1/4

O

A

X

O

B

X

O

X

如圖：

2)k=0時(shí)，方程為y2=4圖形是兩條平行于x軸的直線

如圖

3）k<0時(shí)，方程為

Y

Y

y=2

k=-4

A

O

O

X

B

X

y=-2

這時(shí)圖形是雙曲線，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)軸在y軸上如圖：

三．（本題滿分14分）

（如圖）AB是半圓的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，直線MN切半圓于C點(diǎn)，AM⊥MN于M點(diǎn)，BN⊥MN于N點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，求證：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN

M

C

N

A

B

D

1)證：連CA，CB，則∠ACB=900∠ACM=∠ABC

∠ACD=∠ABC

∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC

∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

2）∵CD⊥AB，∠ACD=900

∴

CD2=AD·DB

由1）知AM=AD，BN=BD

∴CD2=AM·BN

四．（本題滿分12分）

五．（本題滿分20分）

已知△ABC的三內(nèi)角的大小成等差數(shù)列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于求三角形各邊,b,c的長(zhǎng)（提示：必要時(shí)可驗(yàn)證）

六．（本題滿分20分）

七．（本題滿分20分，文科考生不要求作此題）

已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2-1(m為實(shí)數(shù)）

1）m是什么數(shù)值時(shí)，y的極值是0？

2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點(diǎn)都在同一條直線L1上畫出m=-1、0、1時(shí)拋物線的草圖，來檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論

3）平行于L1的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于L1而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等

解：用配方法得：

3.設(shè)L：x-y=為任一條平行于L1的直線

與拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1方程聯(lián)立求解，消去y，得

x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-

因而當(dāng)1-≥0即≤1時(shí)，直線L與拋物線相交，而＞1時(shí)，直線L與拋物線不相交

而這與m無關(guān)

因此直線L被各拋物線截出的線段都相等

一九七八年副題

1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3

解：原式=(x-y-1)(x-y+3)

(2)求

解：原式=3/4

（4）已知直圓錐體的底面半徑等于1cm，母線的長(zhǎng)等于2cm，求它的體積

解：

解：原式=30

2．已知兩數(shù)x1,x2滿足下列條件：

1）它們的和是等差數(shù)列1，3，…的第20項(xiàng);

2）它們的積是等比數(shù)列2，-6，…的前4項(xiàng)和

求根為的方程

略解：x1

+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40

1/x1·1/x2=-1/40

所求方程為：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，求證：

A

B

E

C

D

證：因?yàn)锳D是△ABC的外接圓的切線，所以

∠B=∠1∴△ABD∽△CAD

作AE⊥BD于點(diǎn)E，則

A

M

N

α

B

E

F

D

4．（如圖）CD是BC的延長(zhǎng)線，AB=BC=CA=CD=，DM與AB，AC分別交于M點(diǎn)和N點(diǎn)，且∠BDM=α

求證：

證：作ME⊥DC于E，由△ABC是等邊三角形，在直角△MBE中，類似地，過N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可證：

5．設(shè)有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求證：

1）如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一個(gè)二次三項(xiàng)式的平方

2）如果f(x)與F(x)=(2x2+x+b)2表示同一個(gè)多項(xiàng)式，那么

p2-4q-4(m+1)=0

6．已知：sinx+bcosx

=0.………………………………①

Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②

其中,b不同時(shí)為0

求證：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0

則①可寫成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k為整數(shù))，∴x=y+kπ

又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=

cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=

代入②，得

7．已知L為過點(diǎn)P而傾斜角為300的直線，圓C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)而半徑等于1的圓，Q表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)而焦點(diǎn)在的拋物線設(shè)A為L(zhǎng)和C在第三象限的交點(diǎn)，B為C和Q在第四象限的交點(diǎn)

1）寫出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖

2）寫出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達(dá)式

3）設(shè)P＇、B＇依次為從P、B到x軸的垂足求由圓弧AB和直線段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面積

Y

O

X

B

Q

L

P

A

C

解：1）直線L、圓C和拋物線Q的方程為

2)由

Y

P＇

B＇

O

X

B

A

C

Q

L

P

第三篇：04普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試浙江卷文科數(shù)學(xué)試題及答案

2004年普通高等學(xué)校招生浙江卷文史類數(shù)學(xué)試題

第Ⅰ卷

(選擇題

共60分)

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)

若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則=

(A)

{1,2,3}

(B)

{4}

(C)

{1,3,4}

(D)

{2}

（2）直線y=2與直線x+y—2=0的夾角是

（A）

（B）

（C）

（D）

(3)

已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則=

(A)

–4

(B)

–6

(C)

–8

(D)

–10

（4）已知向量且∥，則=

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）點(diǎn)P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為

（A）（（B）（（C）（（D）（（6）曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線方程是

（A）y2=8--4x

（B）y2=4x—8

（C）y2=16--4x

（D）y2=4x—16

(7)

若展開式中存在常數(shù)項(xiàng),則n的值可以是

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)“”“A=30o”的(A)

充分而不必要條件

(B)

必要而不充分條件

(C)

充分必要條件

(D)

既不充分也必要條件

(9)若函數(shù)的定義域和值域都是[0，1]，則a=

（A）

（B）

（C）

（D）2

（10）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）（B）（C）（D）

（11）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被點(diǎn)（，0）分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（12）若和g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實(shí)數(shù)解，則不可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

（非選擇題

共90分）

二.填空題：三大題共4小題，每小題4分，滿分16分把答案填在題中橫線上

（13）已知?jiǎng)t不等式的解集是

（14）已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足則的值等于

（15）已知平面α⊥β，=，P是空間一點(diǎn)，且P到α、β的距離分別是1、2，則點(diǎn)P到的距離為

（16）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3，0）（允許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有

種（用數(shù)字作答）

三.解答題：本大題共6小題，滿分74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

（17）（本題滿分12分）

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求證數(shù)列是等比數(shù)列

（18）（本題滿分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

（19）（19）（本題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求證AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；

（20）（本題滿分12分）

某地區(qū)有5個(gè)工廠，由于用電緊缺，規(guī)定每個(gè)工廠在一周內(nèi)必須選擇某一天停電（選哪一天是等可能的）假定工廠之間的選擇互不影響

（Ⅰ）求5個(gè)工廠均選擇星期日停電的概率；

（Ⅱ）求至少有兩個(gè)工廠選擇同一天停電的概率

（21）（本題滿分12分）

已知a為實(shí)數(shù)，（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)；

（Ⅱ）若，求在[--2，2]

上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍

（22）（本題滿分14分）

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（1，0）點(diǎn)P、Q在雙

曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲

線的方程

2004年普通高等學(xué)校招生浙江卷文史類數(shù)學(xué)試題

參考答案

一選擇題本大題共12小題,每小題5分,共60分

1.B

2.A

3.B

4.A

5.A

6.C

7.C

8.B

9.D

10.D

11D

12.B

二.填空題

(本大題共4小題,每小題4分,共16分)

13.14.–4

15.16.5

三.解答題

17.解:

(Ⅰ)由,得

∴

又,即,得

.(Ⅱ)當(dāng)n>1時(shí),得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.(12分)

(18)

解:

(Ⅰ)

=

=

=

=

(Ⅱ)

∵

∴,又∵

∴

當(dāng)且僅當(dāng)

b=c=時(shí),bc=,故bc的最大值是.(19)

(滿分12分)

方法一

解:

(Ⅰ)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE,∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE

∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角

在RtΔASB中，∴

∴二面角A—DF—B的大小為60o

（Ⅲ）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴

又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴

所以t=1或t=3(舍去)

即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，連接NE，則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）,∴

=(,又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是

（）、（∴

=（∴=且NE與AM不共線，∴NE∥AM

又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF

∴為平面DAF的法向量

∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE為平面BDF的法向量

∴cos<>=

∴的夾角是60o

即所求二面角A—DF—B的大小是60o

（Ⅲ）設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60o

∴

解得或（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)

(20)

解:

(Ⅰ)設(shè)5個(gè)工廠均選擇星期日停電的事件為A,則.(Ⅱ)設(shè)5個(gè)工廠選擇的停電時(shí)間各不相同的事件為B,則

因?yàn)橹辽儆袃蓚€(gè)工廠選擇同一天停電的事件是,所以

(12分)

(21)

解:

(Ⅰ)由原式得

∴

(Ⅱ)由

得,此時(shí)有.由得或x=-1,又

所以f(x)在[--2,2]上的最大值為最小值為

(Ⅲ)解法一:的圖象為開口向上且過點(diǎn)(0,--4)的拋物線,由條件得

即

∴--2≤a≤2.所以a的取值范圍為[--2,2].解法二:令即

由求根公式得:

所以在和上非負(fù).由題意可知,當(dāng)x≤-2或x≥2時(shí),≥0,從而x1≥-2,x2≤2,即

解不等式組得:

--2≤a≤2.∴a的取值范圍是[--2,2].(22)

(滿分14分)

解:

(Ⅰ)由條件得直線AP的方程(即.又因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AP的距離為1,所以

得.∵

∴≤≤2,解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范圍是

(Ⅱ)可設(shè)雙曲線方程為

由

得.又因?yàn)镸是ΔAPQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1因此，（不妨設(shè)P在第一象限）

直線PQ方程為

直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標(biāo)是（2+，1+），將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得，所以所求雙曲線方程為

即

第四篇：04普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試浙江卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

2004年普通高等學(xué)校招生浙江卷理工類數(shù)學(xué)試題

第Ⅰ卷

(選擇題

共60分)

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)

若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則=

(A)

{1,2,3}

(B)

{2}

(C)

{1,3,4}

(D)

{4}

(2)

點(diǎn)P從(1,0)出發(fā),沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn),則Q的坐標(biāo)為

(A)

(B)

（(C)

（(D)

（(3)

已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則=

(A)

–4

(B)

–6

(C)

–8

(D)

–10

(4)曲線關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線方程是

(A)

(B)

(C)

(D)

(5)

設(shè)z=x—y,式中變量x和y滿足條件則z的最小值為

(A)

(B)

–1

(C)

(D)

–3

(6)

已知復(fù)數(shù),且是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)t=

(A)

(B)

(C)

--

(D)

--

(7)

若展開式中存在常數(shù)項(xiàng),則n的值可以是

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)在ΔABC中,“A>30o”是“sinA>”的(A)

充分而不必要條件

(B)

必要而不充分條件

(C)

充分必要條件

(D)

既不充分也必要條件

(9)若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）（B）（C）（D）

（11）設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=的圖象

如圖所示，則y=

f(x)的圖象最有可能的是

（12）若和g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實(shí)數(shù)解，則不可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

（非選擇題

共90分）

二.填空題：三大題共4小題，每小題4分，滿分16分把答案填在題中橫線上

（13）已知?jiǎng)t不等式≤5的解集是

（14）已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足則的值等于

（15）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3，0）（允許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有

種（用數(shù)字作答）

（16）已知平面α和平面交于直線，P是空間一點(diǎn)，PA⊥α，垂足為A，PB⊥β，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點(diǎn)A在β內(nèi)的射影與點(diǎn)B在α內(nèi)的射影重合，則點(diǎn)P到的距離為

三.解答題：本大題共6小題，滿分74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

（17）（本題滿分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

（18）

（本題滿分12分）

盒子中有大小相同的球10個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為1的球3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的球4個(gè)，標(biāo)號(hào)為5的球3個(gè)，第一次從盒子中任取1個(gè)球，放回后第二次再任取1個(gè)球（假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同）記第一次與第二次取到球的標(biāo)號(hào)之和為ε

（Ⅰ）求隨機(jī)變量ε的分布列；

（Ⅱ）求隨機(jī)變量ε的期望Eε

（19）（本題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大??；

（20）（本題滿分12分）

設(shè)曲線≥0）在點(diǎn)M（t,c--1）處的切線與x軸y軸所圍成的三角表面積為S（t）

（Ⅰ）求切線的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值

（21）（本題滿分12分）

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（1，0）點(diǎn)P、Q在雙

曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲

線的方程

（22）（本題滿分14分）

如圖，ΔOBC的在個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設(shè)P為線段BC的中點(diǎn),P為線段CO的中點(diǎn),P3為線段OP1的中點(diǎn),對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn),令Pn的坐標(biāo)為(xn,yn),（Ⅰ）求及;

（Ⅱ）證明

(Ⅲ)若記證明是等比數(shù)列.2004年普通高等學(xué)校招生浙江卷理工類數(shù)學(xué)試題

參考答案

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.1.D

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.C

8.B

9.D

10.D

11.C

12.B

二.填空題:本大題共4小題,每小題4分,滿分16分.13.14.--25

15.5

16.三.解答題:本大題共6小題,滿分74分.17.(本題滿分12分)

解:

(Ⅰ)

=

=

=

=

(Ⅱ)

∵

∴,又∵

∴

當(dāng)且僅當(dāng)

b=c=時(shí),bc=,故bc的最大值是.(18)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由題意可得,隨機(jī)變量ε的取值是2、3、4、6、7、10

隨機(jī)變量ε的概率分布列如下

ε

P

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

隨機(jī)變量ε的數(shù)學(xué)期望

Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19)

(滿分12分)

方法一

解:

(Ⅰ)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE,∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE

∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角

在RtΔASB中，∴

∴二面角A—DF—B的大小為60o

（Ⅲ）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴

又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴

所以t=1或t=3(舍去)

即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，連接NE，則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）,∴

=(,又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是

（）、（∴

=（∴=且NE與AM不共線，∴NE∥AM

又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF

∴為平面DAF的法向量

∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE為平面BDF的法向量

∴cos<>=

∴的夾角是60o

即所求二面角A—DF—B的大小是60o

（Ⅲ）設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60o

∴

解得或（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)

（20）（滿分12分）

解：（Ⅰ）因?yàn)?/p>

所以切線的斜率為

故切線的方程為即

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得

所以S（t）=

=

從而

∵當(dāng)（0，1）時(shí)，>0,當(dāng)（1,+∞）時(shí),<0,所以S(t)的最大值為S(1)=

(21)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由條件得直線AP的方程

即

因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AP的距離為1,∵

即.∵

∴

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范圍是

(Ⅱ)可設(shè)雙曲線方程為

由

得.又因?yàn)镸是ΔAPQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1因此，（不妨設(shè)P在第一象限）

直線PQ方程為

直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標(biāo)是（2+，1+），將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得，所以所求雙曲線方程為

即

（22）（滿分14分）

解：(Ⅰ)因?yàn)?，所以，又由題意可知

∴

=

=

∴為常數(shù)列

∴

(Ⅱ)將等式兩邊除以2，得

又∵

∴

（Ⅲ）∵

=

=

又∵

∴是公比為的等比數(shù)列

第五篇：普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案 83屆

1983年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

（這份試題共九道大題，滿分120分）

一．（本題滿分10分）本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)每一個(gè)小題：選對(duì)的得2分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得0分

1．兩條異面直線，指的是

（D）

（A）在空間內(nèi)不相交的兩條直線

（B）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線

（C）某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線

（D）不在同一平面內(nèi)的兩條直線

2．方程x2-y2=0表示的圖形是

（A）

（A）兩條相交直線

（B）兩條平行直線

（C）兩條重合直線

（D）一個(gè)點(diǎn)

3．三個(gè)數(shù)a,b,c不全為零的充要條件是

（D）

（A）a,b,c都不是零

（B）a,b,c中最多有一個(gè)是零

（C）a,b,c中只有一個(gè)是零（D）a,b,c中至少有一個(gè)不是零

4．設(shè)則的值是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

二．（本題滿分12分）

1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別畫出兩個(gè)方程的圖形，并寫出它們交點(diǎn)的坐標(biāo)

2．在極坐標(biāo)系內(nèi)，方程表示什么曲線？畫出它的圖形

解：

Y

O

X

P

1.圖形如左圖所示

交點(diǎn)坐標(biāo)是：O（0，0），P（1，-1）

O

X

(,0)

2．曲線名稱是：圓

圖形如右所示

三．（本題滿分12分）

1．已知，求微分

2．一個(gè)小組共有10名同學(xué)，其中4名是女同學(xué)，6名是男同學(xué)要從小組內(nèi)選出3名代表，其中至少有1名女同學(xué)，求一共有多少種選法

解：1.2．

或：

四．（本題滿分12分）

計(jì)算行列式（要求結(jié)果最簡(jiǎn)）：

解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得

五．（本題滿分15分）

1．證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，復(fù)數(shù)的模

適合2．當(dāng)實(shí)數(shù)t取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)的幅角主值適合？

1．證：復(fù)數(shù)（其中t

是實(shí)數(shù)）的模為

要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，有，只要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，成立

對(duì)任意實(shí)數(shù)t，因?yàn)?，所以可?/p>

且，于是

2．因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是非負(fù)數(shù)，所以z的幅角主值一定適合從而

顯然因?yàn)?/p>

由于

這就是所求的實(shí)數(shù)t的取值范圍

六．（本題滿分15分）

如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成的角等

S

M

P

C

A

N

D

B

于∠NSC，求證SC垂直于截面MAB

證：因?yàn)镾N是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂線定理）

連結(jié)DM因?yàn)锳B⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所決定的平面又因DM在這個(gè)平面內(nèi)，所以AB⊥DM

∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC

在△MDC和△NSC中，因?yàn)椤螹DC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900從而DM⊥SC從AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB

七．（本題滿分16分）

如圖，已知橢圓長(zhǎng)軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N設(shè)∠F2F1M=α（0≤α＜π）當(dāng)α取什么值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸的長(zhǎng)？

Y

M

α

A1

F1

O

F2

A

X

N

解一：以橢圓焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，以F1為起點(diǎn)并過F2的射線為極軸建立極坐標(biāo)系

由已知條件可知橢圓長(zhǎng)半軸a=3，半焦距c=，短半軸b=1，離心率e=，中心到準(zhǔn)線距離=,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=.橢圓的極坐標(biāo)方程為

解得

以上解方程過程中的每一步都是可逆的，所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長(zhǎng)

解二：以橢圓的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為

MN所在直線方程為

解方程組

消去y得.下同解法一

解三：建立坐標(biāo)系得橢圓如解二，MN所在直線的參數(shù)方程為

代入橢圓方程得

設(shè)t1,t2是方程兩根，則由韋達(dá)定理，下同解一

解四：設(shè)|F1M|=x,則|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α

在△MF1F2中由余弦定理得

同理，設(shè)|F1N|=y，則|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得

下同解一

八．（本題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=b(b≠0），它的前n項(xiàng)的和Sn=a1+a2+…+an

(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一個(gè)等比數(shù)列，其公比為p（p≠0且|p|＜1）

1．證明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}從第二項(xiàng)起）是一個(gè)等比數(shù)列

2．設(shè)Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）

1．證：由已知條件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）

因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以

an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)從而

因此a2,a3,a3,…an,…是一個(gè)公比為p的等比數(shù)列

2．解：當(dāng)n≥2時(shí)，且由已知條件可知p2<1，因此數(shù)列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比為p2<1的無窮等比數(shù)列于是

從而

九．（本題滿分12分）

1．已知a,b為實(shí)數(shù)，并且eba.2.如果正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=ba.且a<1，證明a=b

1．證：當(dāng)eba，只要證blna>alnb,即只要證

考慮函數(shù)因?yàn)榈珪r(shí)，所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)

因?yàn)閑ba

2．證一：由ab=ba，得blna=alnb，從而

考慮函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是

因?yàn)樵冢?，1）內(nèi)，所以f(x)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)

由于00,所以ab<1,從而ba=ab<1.由ba<1及a>0,可推出b<1.由0

所以a=b

證二：因?yàn)?

假如a

矛盾

所以a不能小于b

假如a>b，則，而，這也與矛盾

所以a不能大于b因此a=b

證三：假如a0由于00,根據(jù)冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得和，所以

即ab

假如b0,同上可證得ab

因此a=b