第一篇：復(fù)變函數(shù)14套題目和答案

《復(fù)變函數(shù)論》試題庫 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）一、判斷題（20分）：

1.若f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f(z)在z0解析.()2.有界整函數(shù)必在整個復(fù)平面為常數(shù).()3.若收斂，則與都收斂.()4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）.()5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).()6.若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點.()7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點.()8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則.()9.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.()10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（）二.填空題（20分）1.__________.（為自然數(shù)）2._________.3.函數(shù)的周期為___________.4.設(shè)，則的孤立奇點有__________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是__________.7.若，則______________.8.________，其中n為自然數(shù).9.的孤立奇點為________.10.若是的極點，則.三.計算題（40分）：

1.設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2.3.設(shè)，其中，試求 4.求復(fù)數(shù)的實部與虛部.四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2.試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）1、判斷題.（20分）1.若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù).()2.cos z與sin z在復(fù)平面內(nèi)有界.()3.若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù).()4.有界整函數(shù)必為常數(shù).()5.如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則一定不存在.()6.若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析.()7.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.()8.若數(shù)列收斂，則與都收斂.()9.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析.()10.存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使且.()二.填空題.(20分)1.設(shè)，則 2.設(shè)，則________.3._________.（為自然數(shù)）4.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.5.若z0是f(z)的m階零點且m>0，則z0是的_____零點.6.函數(shù)ez的周期為__________.7.方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為________.8.設(shè)，則的孤立奇點有_________.9.函數(shù)的不解析點之集為________.10..三.計算題.(40分)1.求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2.在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3.計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4.求.四.證明題.(20分)1.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）一.判斷題.(20分).1.cos z與sin z的周期均為.()2.若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件, 則f(z)在z0解析.()3.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù).()4.若數(shù)列收斂，則與都收斂.()5.若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).()6.若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo).()7.如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則.（）8.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).()9.若z0是的m階零點, 則z0是1/的m階極點.()10.若是的可去奇點，則.()二.填空題.(20分)1.設(shè)，則f(z)的定義域為___________.2.函數(shù)ez的周期為_________.3.若，則__________.4.___________.5._________.（為自然數(shù)）6.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.7.設(shè)，則f(z)的孤立奇點有__________.8.設(shè)，則.9.若是的極點，則.10..三.計算題.(40分)1.將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2.試求冪級數(shù)的收斂半徑.3.算下列積分：，其中是.4.求在|z|<1內(nèi)根的個數(shù).四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2.設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當(dāng)時，證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）一.判斷題.(20分)1.若f(z)在z0解析，則f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件.（）2.若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析.（）3.函數(shù)與在整個復(fù)平面內(nèi)有界.（）4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有.（）5.若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點.（）6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且，則f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù).（）7.如果z0是f(z)的本性奇點，則一定不存在.（）8.若，則為的n階零點.（）9.若與在內(nèi)解析，且在內(nèi)一小弧段上相等，則.（）10.若在內(nèi)解析，則.（）二.填空題.(20分)1.設(shè)，則.2.若，則______________.3.函數(shù)ez的周期為__________.4.函數(shù)的冪級數(shù)展開式為__________ 5.若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是___________.6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________.7.設(shè)，則.8.的孤立奇點為________.9.若是的極點，則.10._____________.三.計算題.(40分)1.解方程.2.設(shè)，求 3..4.函數(shù)有哪些奇點？各屬何類型（若是極點，指明它的階數(shù)）.四.證明題.(20分)一.證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.2.證明方程在內(nèi)僅有3個根.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）二.判斷題.（20分）1.若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）2.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（）3.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析.（）4.若冪級數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析.（）5.若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z0解析.（）6.若存在且有限，則z0是f(z)的可去奇點.（）7.若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則它在該點解析.（）8.設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上解析，若它有界，則必為常數(shù).（）9.若是的一級極點，則.（）10.若與在內(nèi)解析，且在內(nèi)一小弧段上相等，則.（）二.填空題.（20分）1.設(shè)，則.2.當(dāng)時，為實數(shù).3.設(shè)，則.4.的周期為___.5.設(shè)，則.6..7.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________。

8.函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_________.9.的孤立奇點為________.10.設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三.計算題.(40分)1.求復(fù)數(shù)的實部與虛部.2.計算積分：，在這里L(fēng)表示連接原點到的直線段.3.求積分：，其中0

1.若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（）2.若函數(shù)在處滿足Caychy-Riemann條件，則在解析.（）3.若函數(shù)在解析，則在處滿足Caychy-Riemann條件.（）4.若函數(shù)在是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（）5.若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（）6.若在區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（）7.若，則函數(shù)在是內(nèi)的單葉函數(shù).（）8.若是的階零點，則是的階極點.（）9.如果函數(shù)在上解析，且,則.（）10..（）三、填空題（20分）1.若，則___________.2.設(shè)，則的定義域為____________________________.3.函數(shù)的周期為_______________________.4._______________________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6.若是的階零點且，則是的____________零點.7.若函數(shù)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是______________.8.函數(shù)的不解析點之集為__________.9.方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為___________.10.公式稱為_____________________.四、計算題（30分）1、.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.6、求的值.五、證明題（20分）2、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.3、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).4、若是的階零點，則是的階極點.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（七）一、判斷題（24分）2.若函數(shù)在解析，則在的某個領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo).（）3.若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（）4.如果是的可去奇點，則一定存在且等于零.（）5.若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（）6.若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）7.若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（）8.若是的階零點，則是的階極點.（）二、填空題（20分）1.若，則___________.2.設(shè)，則的定義域為____________________________.3.函數(shù)的周期為______________.4._______________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6.若是的階零點且，則是的____________零點.7.若函數(shù)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是______________.8.函數(shù)的不解析點之集為__________.9.方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為___________.10._________________.三、計算題（30分）1、求.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分：，.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、若是的階零點，則是的階極點.五、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（八）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（）3、如果是的本性奇點，則一定不存在.（）4、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（）5、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的每一點均可導(dǎo)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）7、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且，則在內(nèi)恒為常數(shù).（）9.存在一個在零點解析的函數(shù)使且.（）10.如果函數(shù)在上解析，且，則.（）11.是一個有界函數(shù).（）二、填空題（20分）1、若，則___________.2、設(shè)，則的定義域為____________________________.3、函數(shù)的周期為______________.4、若，則_______________.5、冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為______________________________.7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則______________.8、函數(shù)的不解析點之集為__________.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為___________.10、若，則的孤立奇點有_________________.三、計算題（30分）1、求 2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù).4、若是的階零點，則是的階極點.六、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（九）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在可導(dǎo)，則在解析.（）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（）3、如果是的極點，則一定存在且等于無窮大.（）4、若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（）5、若函數(shù)在處解析，則它在該點的某個領(lǐng)域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).（）6、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某一條曲線上恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒為常數(shù).（）7、若是的階零點，則是的階極點.（）8、如果函數(shù)在上解析，且，則.（）9、.（）10、如果函數(shù)在內(nèi)解析，則（）二、填空題（20分）1、若，則___________.2、設(shè)，則的定義域為____________________________.3、函數(shù)的周期為______________.4、_______________.5、冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6、若是的階零點且，則是的____________零點.7、若函數(shù)在整個復(fù)平面除去有限個極點外，處處解析，則稱它是______________.8、函數(shù)的不解析點之集為__________.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為___________.10、_________________.三、計算題（30分）1、2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).7、若是的階零點，則是的階極點.五、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的帶開區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十）一、判斷題（40分）：

1、若函數(shù)在解析，則在的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo).（）2、如果是的本性奇點，則一定不存在.（）3、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則與都在內(nèi)連續(xù).（）4、與在復(fù)平面內(nèi)有界.（）5、若是的階零點，則是的階極點.（）6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（）7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點.（）8、若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（）9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）10、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（）二、填空題（20分）：

1、函數(shù)的周期為_________________.2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_________________.3、設(shè)，則的定義域為_________________.4、的收斂半徑為_________________.5、=_________________.三、計算題（40分）：

1、2、求 3、4、設(shè) 求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.5、求，在內(nèi)根的個數(shù) 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十一）一、判斷題.（正確者在括號內(nèi)打√，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2分）1．當(dāng)復(fù)數(shù)時，其模為零，輻角也為零.（）2．若是多項式的根，則也是的根.（）3．如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實數(shù)，使得，則為一常數(shù).（）4．設(shè)函數(shù)與在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)的一小段弧上相等，則對任意的，有.（）5．若是函數(shù)的可去奇點，則.（）二、填空題.（每題2分）1． _____________________.2．設(shè)，且，當(dāng)時，________________.3．函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線______________.4．方程的不同的根為________________.5．___________________.6．級數(shù)的收斂半徑為____________________.7．在（為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為_____________________.8．函數(shù)的零點的階數(shù)為_____________________.9．設(shè)為函數(shù)的一階極點，且，則_____________________.10．設(shè)為函數(shù)的階極點，則_____________________.三、計算題（50分）1．設(shè)。求，使得為解析函數(shù)，且滿足.其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.（15分）2．求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階）.（10分）（1）；

（5分）（2）.（5分）3．計算下列積分.（15分）（1）（8分），（2）（7分）.4．?dāng)⑹鋈逍ɡ聿⒂懻摲匠淘趦?nèi)根的個數(shù).（10分）四、證明題（20分）1．設(shè)是上半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，證明是下半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù).（10分）2．設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，令。證明：在區(qū)間上是一個上升函數(shù)，且若存在及（），使，則 常數(shù).（10分）《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十二）二、判斷題。（正確者在括號內(nèi)打√，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2分）1．設(shè)復(fù)數(shù)及，若或，則稱與是相等的復(fù)數(shù)。（）2．函數(shù)在復(fù)平面上處處可微。

（）3．且。

（）4．設(shè)函數(shù)是有界區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對任意的，有。

（）5．若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（）二、填空題。（每題2分）1． _____________________。

2．設(shè)，且，當(dāng)時，________________。

3．若已知，則其關(guān)于變量的表達式為__________。

4．以________________為支點。

5．若，則_______________。

6．________________。

7．級數(shù)的收斂半徑為________________。

8．在（為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為_______________。

9．若為函數(shù)的一個本質(zhì)奇點，且在點的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則是的________________奇點。

10．設(shè)為函數(shù)的階極點，則_____________________。

三、計算題（50分）1．設(shè)區(qū)域是沿正實軸割開的平面，求函數(shù)在內(nèi)滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。

（10分）2．求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（15分）（1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點，并求這些點的留數(shù)（10分）（2）求。

（5分）3．計算下列積分。（15分）（1）（8分），（2）（7分）。

4．?dāng)⑹鋈逍ɡ聿⒂懻摲匠淘趦?nèi)根的個數(shù)。（10分）四、證明題（20分）1．討論函數(shù)在復(fù)平面上的解析性。

（10分）2．證明：。

此處是圍繞原點的一條簡單曲線。（10分）《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十三）一、填空題．（每題２分）１．設(shè)，則_____________________． ２．設(shè)函數(shù)，，則的充要條件是_______________________． ３．設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_________________________． ４．設(shè)為的極點，則____________________． ５．設(shè)，則是的________階零點． ６．設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_________________． ７．設(shè)，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是_________________． ８．設(shè)，則的三角表示為_________________________． ９．___________________________． １０．設(shè)，則在處的留數(shù)為________________________． 二、計算題． １．計算下列各題．（９分）(1)；

(2);(3)2．求解方程．（７分）３．設(shè)，驗證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之．（８分）４．計算積分．（10分）(1)，其中是沿由原點到點的曲線．(2)，積分路徑為自原點沿虛線軸到，再由沿水平方向向右到． ５．試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內(nèi)展開為洛朗級數(shù)．（８分）６．計算下列積分．（８分）(1)；

(2)． ７．計算積分．（８分）８．求下列冪級數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)；

(2)． ９．討論的可導(dǎo)性和解析性．（６分）三、證明題． １．設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)．（５分）２．試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實常數(shù)．（５分 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十四）一、填空題．（每題２分）１．設(shè)，則___________________． ２．設(shè)函數(shù)，，則的充要條件______________________． ３．設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_________________________． ４．設(shè)為的可去奇點，____________________． ５．設(shè)，則是的________階零點． ６．設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_________________． ７．設(shè)，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是_________________． ８．設(shè)，則的三角表示為_________________________． ９．___________________________． １０．設(shè)，則在處的留數(shù)為________________________． 二、計算題． １．計算下列各題．（９分）(1)；

(2);(3)2．求解方程．（７分）３．設(shè)，驗證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之．（８分）４．計算積分，其中路徑為（１）自原點到點的直線段；

(2)自原點沿虛軸到，再由沿水平方向向右到．（10分）５．試將函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰勒展開式．（８分）６．計算下列積分．（８分）(1)；

(2)． ７．計算積分．（６分）８．求下列冪級數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)；

(2)． ９．設(shè)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定，的值．（６分）三、證明題． １．設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)．（５分）２．試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實常數(shù)．（５分）試卷一至十四參考答案 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）參考答案 8、判斷題 1．×2．√?。常獭。矗獭。担?　6．√?。罚粒福粒梗?0．× 二．填空題 1.；

2.1；

3.，；

4.；

5.1 6.整函數(shù)；

7.；

8.；

9.0；

10..三．計算題.1.解 因為 所以.2.解 因為 ,.所以.3.解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi),.所以.4.解 令, 則.故 ,.四.證明題.1.證明 設(shè)在內(nèi).令.兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?消去得,.1)若, 則 為常數(shù).2)若, 由方程(1)(2)及 方程有 ,.所以.(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明的支點為.于是割去線段的平面內(nèi)變點就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周, 故能分出兩個單值解析分支.由于當(dāng)從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到 時, 只有的幅角增加.所以 的幅角共增加.由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）參考答案 一.判斷題.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×.二.填空題 1.1，；

2.；

3.；

4.1；

5..6.，.7.0；

8.；

9.；

10.0.三.計算題 1.解.2.解 令.則.又因為在正實軸去正實值，所以.所以.3.單位圓的右半圓周為,.所以.4.解 =0.四.證明題.1.證明(必要性)令,則.(為實常數(shù)).令.則.即滿足, 且連續(xù), 故在內(nèi)解析.(充分性)令, 則 , 因為與在內(nèi)解析, 所以 , 且.比較等式兩邊得.從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2.即要證“任一 次方程 有且只有 個根”.證明 令, 取, 當(dāng)在上時, 有..由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相 同個數(shù)的根.而 在 內(nèi)有一個 重根.因此次方程在 內(nèi)有 個根.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）參考答案 一.判斷題 1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√.二.填空題.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.計算題.1.解.2.解.所以收斂半徑為.3.解 令 , 則.故原式.4.解 令 ,.則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有.即在 內(nèi), 方程只有一個根.四.證明題.1.證明 證明 設(shè)在內(nèi).令.兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?消去得,.1), 則 為常數(shù).5.若, 由方程(1)(2)及 方程有 ,.所以.(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時,.于是由的任意性知對一切均有.故, 即是一個至多次多項式或常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）參考答案 一.判斷題.1．√ ２．× ３．× ４．×　５．×　6．√ ７．×８．× ９．√10．√.二.填空題.1.,;2.;3.;4.;5.整函數(shù);6.亞純函數(shù);7.0;8.;9.;10..三.計算題.1.2.解 ,.故原式.3.解 原式.4.解 =，令，得，而 為可去奇點 當(dāng)時，而 為一階極點.四.證明題.1.證明 設(shè), 在下半平面內(nèi)任取一點, 是下半平面內(nèi)異于的點, 考慮.而, 在上半平面內(nèi), 已知在上半平面解析, 因此, 從而在下半平面內(nèi)解析.2.證明 令, , 則與在全平面解析, 且在上, , 故在內(nèi).在上, , 故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個零點, 即原方程在內(nèi)僅有三個根.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）參考答案 一.判斷題.1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√.二.填空題.1.2, ,;2.;3.,;4.;5.0;6.0;7.亞純函數(shù);8.;9.0;10..三.計算題.1.解 令, 則.故 ,.2.解 連接原點及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3.令, 則.當(dāng)時 , 故, 且在圓內(nèi)只以為一級極點, 在上無奇點, 故, 由殘數(shù)定理有.4.解 令 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個根.四.證明題.1.證明 因為, 故.這四個偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2.證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時,.于是由的任意性知對一切均有.故, 即是一個至多次多項式或常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）參考答案 一、判斷題：1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 9.√ 10.× 二、填空題：1.2.3.4.1 5.1 6.階 7.整函數(shù) 8.9.0 10.歐拉公式 三、計算題：

1.解：因為 故.2.解：

因此 故.3.解：

4.解：

5．解：設(shè), 則.6．解：

四、1.證明：設(shè) 則在上，即有.根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2.證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 ,.于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（七）參考答案 一、判斷題：1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.× 二、填空題：1.2.3.4.1 5.1 6.階 7.整函數(shù) 8.9.0 10.三、計算題：

1.解：

2.解：

因此 故.3.解：

因此 4.解：

由于，從而.因此在內(nèi) 有 5．解：設(shè), 則.6.解：設(shè)，則，故奇點為.四、證明題：

1.證明：設(shè) 則在上，即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2.證明：設(shè)，則 已知在區(qū)域內(nèi)解析，從而有 將此代入上上述兩式得 因此有 于是有.即有 故在區(qū)域恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題 解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關(guān)于實軸的對稱點應(yīng)該變到關(guān)于圓周的對稱點，故可設(shè) 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（八）參考答案 一、判斷題：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.√ 8.× 9.√ 10.× 二、填空題：1.2.3.4.5.1 6.7.8.9.5 10.三、計算題：

1.解：由于在解析，所以 而 因此.2.解：

因此 故.3.解：

因此 4.解：

由于，從而 因此在內(nèi)有 5．解：設(shè), 則.6．解：設(shè), 則 在內(nèi)只有一個一級極點 因此.四、證明：

1.證明：設(shè) 則在上，即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7 2.證明：因為，在內(nèi)連續(xù), 所以, 當(dāng)時有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù) 3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、解：1.設(shè)，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域 2.設(shè), 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（九）參考答案 一、判斷題（20分）1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√ 二、填空題（20分）1、2、3、4、1 5、1 6、7、整函數(shù) 8、9、8 10、三、計算題（30）1、解：

2、解：

因此 故.3、解：

4、解：

由于，從而.因此在內(nèi) 有 5、解：設(shè), 則.6、解：設(shè)則在內(nèi)有兩個一級極點，因此，根據(jù)留數(shù)定理有 四、證明題（20分）1、證明：設(shè) 則在上，即有.根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 ,.于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).3、證明：由于是的階零點，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題（10分）解：1、設(shè)則將區(qū)域保形變換為區(qū)域.2、設(shè),則將區(qū)域保形變換為區(qū)域 3、設(shè)則將保形變換為上半平面,因此,所求的單葉函數(shù)為 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十）參考答案 一、判斷題（40分）：

1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.× 7.√ 8.√ 9.√ 10.√ 二、填空題（20分）：

1.2. 3.4.5.三、計算題（40分）1.解：在上解析，由積分公式，有 2.解：設(shè)，有 3.解：

4.解：，故，5.解：令，則，在內(nèi)均解析，且當(dāng)時 由定理知根的個數(shù)與根的個數(shù)相同.故在內(nèi)僅有一個根.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十一）參考答案 一、1．×2．√３．×４．√５．√ 二、1． 1 2．３．４． ５． ６． ７．８．15 9.10.三、1．解：

.又.故.2.解:(1)奇點為對任意整數(shù), 為二階極點, 為本性奇點.(2)奇點為 為本性奇點,對任意整數(shù),為一級極點,為本性奇點.3.(1)解: 共有六個有限奇點, 且均在內(nèi), 由留數(shù)定理,有 將在的去心鄰域內(nèi)作展開 所以.(2)解: 令,則 再令則,故 由留數(shù)定理,有 4.解：儒歇定理：設(shè)為一條圍線，若函數(shù)與均在內(nèi)部及上解析且，則與在內(nèi)部的零點個數(shù)相同.令, 則在內(nèi)解析且 當(dāng)時 , 由儒歇定理的根個數(shù)與根個數(shù)相同 故在內(nèi)有4個根.四、1.證明: 由在上半平面內(nèi)解析,從而有 因此有 故在下半平面內(nèi)解析.2.證明:(1)則 故,即在上為的上升函數(shù).(2)如果存在及使得 則有 于是在內(nèi)恒為常數(shù),從而在內(nèi)恒為常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十二）參考答案 一、判斷題.1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 二、填空題.1.2.3.4.5.6.7.8.9.本性 10.三、計算題.1.解：

由 得 從而有 2.解：（1）的各解析分支為，.為的可去奇點，為的一階極點。

（2）3.計算下列積分 解：（1）（2）設(shè) 令，則 4.儒歇定理：設(shè)是一條圍線，及滿足條件：

（1）它們在的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到；

（2）在上，則與在的內(nèi)部有同樣多零點，即 有 由儒歇定理知在沒有根。

四、證明題 1證明：.設(shè) 有 易知，在任意點都不滿足條件，故在復(fù)平面上處處不解析。

2.證明：于高階導(dǎo)數(shù)公式得 即 故 從而 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十三）參考答案 一、填空題．（每題２分）1.2.及 3.4.5.6.7.橢圓 8.9.10.二、計算題． １．計算下列各題．（９分）解:(1)(2)(3)2.解: 故共有三個根: , , 3.解: 是調(diào)和函數(shù).4.解(1)(2)5.解: 時 時 6.解:(1)(2)7.解: 設(shè) 和為上半平面內(nèi)的兩個一級極點,且 8.(1)(2)9.解: 設(shè),則 當(dāng)且僅當(dāng)時,滿足條件,故僅在可導(dǎo),在平面內(nèi)處處不解析.三、1.證明: 設(shè),因為為常數(shù),不妨設(shè)(為常數(shù))則 由于在內(nèi)解析,從而有, 將此代入上述兩式可得 于是 因此在內(nèi)為常數(shù).2.解: 設(shè),（，為實常數(shù)）則 故的軌跡是直線 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十四）參考答案 一、1、2、且 3、0 4、有限值 5、4 6、7、橢圓 8、9、10、二、計算題。

1、解（1）（2）（3）= 2、解：

故：方程共有三個根，分別為：

3、解：

故是調(diào)和函數(shù)。

4.解:(1)(2)5.解: = 6.解:(1)(2)7.解: 設(shè) 則, 令則在內(nèi)只有一級權(quán)點, ,依離數(shù)定理有 8.解:(1)即.故(2)9.解 設(shè), 則 因解析,由條件有,解得.三 1.證明 設(shè),由 有, 又也在也解析,有, 由與得 故在內(nèi)為常數(shù).2.證明,設(shè)有 即點在直線上為實常數(shù).

第二篇：復(fù)變函數(shù)課后習(xí)題答案

習(xí)題一答案

1．求下列復(fù)數(shù)的實部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）

因此，2．

將下列復(fù)數(shù)化為三角表達式和指數(shù)表達式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4．設(shè)試用三角形式表示與

解：，所以，5．

解下列方程：

（1）

（2）

解：（1）

由此，（2），當(dāng)時，對應(yīng)的4個根分別為：

6．證明下列各題：（1）設(shè)則

證明：首先，顯然有；

其次，因

固此有

從而。

（2）對任意復(fù)數(shù)有

證明：驗證即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若是實系數(shù)代數(shù)方程的一個根，那么也是它的一個根。

證明：方程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實數(shù)，并且根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算規(guī)則，由此得到：

由此說明：若為實系數(shù)代數(shù)方程的一個根，則也是。結(jié)論得證。

（4）若則皆有

證明：根據(jù)已知條件，有，因此：，證畢。

（5）若，則有

證明：，因為，所以，因而，即，結(jié)論得證。

7．設(shè)試寫出使達到最大的的表達式，其中為正整數(shù)，為復(fù)數(shù)。

解：首先，由復(fù)數(shù)的三角不等式有，在上面兩個不等式都取等號時達到最大，為此，需要取與同向且，即應(yīng)為的單位化向量，由此，8．試用來表述使這三個點共線的條件。

解：要使三點共線，那么用向量表示時，與應(yīng)平行，因而二者應(yīng)同向或反向，即幅角應(yīng)相差或的整數(shù)倍，再由復(fù)數(shù)的除法運算規(guī)則知應(yīng)為或的整數(shù)倍，至此得到：

三個點共線的條件是為實數(shù)。

9．寫出過兩點的直線的復(fù)參數(shù)方程。

解：過兩點的直線的實參數(shù)方程為：，因而，復(fù)參數(shù)方程為：

其中為實參數(shù)。

10．下列參數(shù)方程表示什么曲線？（其中為實參數(shù)）

（1）

（2）

（3）

解：只需化為實參數(shù)方程即可。

（1），因而表示直線

（2），因而表示橢圓

（3），因而表示雙曲線

11．證明復(fù)平面上的圓周方程可表示為，其中為復(fù)常數(shù)，為實常數(shù)

證明：圓周的實方程可表示為：，代入，并注意到，由此，整理，得

記，則，由此得到，結(jié)論得證。

12．證明：幅角主值函數(shù)在原點及負實軸上不連續(xù)。

證明：首先，在原點無定義，因而不連續(xù)。

對于，由的定義不難看出，當(dāng)由實軸上方趨于時，而當(dāng)由實軸下方趨于時，由此說明不存在，因而在點不連續(xù)，即在負實軸上不連續(xù)，結(jié)論得證。

13．函數(shù)把平面上的曲線和分別映成平面中的什么曲線？

解：對于，其方程可表示為，代入映射函數(shù)中，得，因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得

即表示一個圓周。

對于，其方程可表示為

代入映射函數(shù)中，得

因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得，表示一半徑為的圓周。

14．指出下列各題中點的軌跡或所表示的點集，并做圖：

解：（1），說明動點到的距離為一常數(shù)，因而表示圓心為，半徑為的圓周。

（2）是由到的距離大于或等于的點構(gòu)成的集合，即圓心為半徑為的圓周及圓周外部的點集。

（3）說明動點到兩個固定點1和3的距離之和為一常數(shù)，因而表示一個橢圓。代入化為實方程得

（4）說明動點到和的距離相等，因而是和連線的垂直平分線，即軸。

（5），幅角為一常數(shù)，因而表示以為頂點的與軸正向夾角為的射線。

15．做出下列不等式所確定的區(qū)域的圖形，并指出是有界還是無界，單連通還是多連通。

（1），以原點為心，內(nèi)、外圓半徑分別為2、3的圓環(huán)區(qū)域，有界，多連通

（2），頂點在原點，兩條邊的傾角分別為的角形區(qū)域，無界，單連通

（3），顯然，并且原不等式等價于，說明到3的距離比到2的距離大，因此原不等式表示2與3

連線的垂直平分線即2.5左邊部分除掉2后的點構(gòu)成的集合，是一無界，多連通區(qū)域。

（4），顯然該區(qū)域的邊界為雙曲線，化為實方程為，再注意到到2與到2的距離之差大于1，因而不等式表示的應(yīng)為上述雙曲線左邊一支的左側(cè)部分，是一無界單連通區(qū)域。

（5），代入，化為實不等式，得

所以表示圓心為半徑為的圓周外部，是一無界多連通區(qū)域。

習(xí)題二答案

1．指出下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點，并求出可導(dǎo)點的導(dǎo)數(shù)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性法則（可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商仍為可導(dǎo)函數(shù)，商時分母不為0），根據(jù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，再注意到區(qū)域上可導(dǎo)一定解析，由此得到：

（1）處處解析，（2）處處解析，（3）的奇點為，即，（4）的奇點為，2．

判別下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析，并求出可導(dǎo)點的導(dǎo)數(shù)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據(jù)柯西—黎曼定理：

（1），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)處處不解析。

（2），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函數(shù)在直線上可導(dǎo)，因可導(dǎo)點集為直線，構(gòu)不成區(qū)域，因而函數(shù)處處不解析。

（3），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而

處處可微，并且

處處滿足柯西—黎曼方程

因此，函數(shù)處處可導(dǎo)，處處解析，且導(dǎo)數(shù)為

（4），，因函數(shù)的定義域為，故此，處處不滿足柯西—黎曼方程，因而函數(shù)處處不可導(dǎo)，處處不解析。

3．當(dāng)取何值時在復(fù)平面上處處解析？

解：，由柯西—黎曼方程得：

由（1）得，由（2）得，因而，最終有

4．證明：若解析，則有

證明：由柯西—黎曼方程知，左端

右端，證畢。

5．證明：若在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足下列條件之一，則在D內(nèi)一定為常數(shù)。

（1）在D內(nèi)解析，（2）在D內(nèi)為常數(shù)，（3）在D內(nèi)為常數(shù)，（4）

（5）

證明：關(guān)鍵證明的一階偏導(dǎo)數(shù)皆為0！

（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得

------------------------（1）

而由的解析性，又有

------------------------（2）

由（1）、（2）知，因此即

為常數(shù)

（2）設(shè)，那么由柯西—黎曼方程得，說明與無關(guān)，因而，從而為常數(shù)。

（3）由已知，為常數(shù)，等式兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

----------------------------（1）

因解析，所以又有

-------------------------（2）

求解方程組（1）、（2），得，說明

皆與無關(guān)，因而為常數(shù)，從而也為常數(shù)。

（4）同理，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

再聯(lián)立柯西—黎曼方程，仍有

（5）同前面一樣，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

考慮到柯西—黎曼方程，仍有，證畢。

6．計算下列各值（若是對數(shù)還需求出主值）

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2），為任意整數(shù)，主值為：

（3），為任意整數(shù)

主值為：

（4）

（5），為任意整數(shù)

（6），當(dāng)分別取0，1，2時得到3個值：，7．

求和

解：，因此根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，有，（為任意整數(shù)）

8．設(shè)，求

解：，因此

9．解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）方程兩端取對數(shù)得：

（為任意整數(shù)）

（2）根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，應(yīng)有

（3）由三角函數(shù)公式（同實三角函數(shù)一樣），方程可變形為

因此

即，為任意整數(shù)

（4）由雙曲函數(shù)的定義得，解得，即，所以，為任意整數(shù)

10．證明羅比塔法則：若及在點解析，且，則，并由此求極限

證明：由商的極限運算法則及導(dǎo)數(shù)定義知，由此，11．

用對數(shù)計算公式直接驗證：

（1）

（2）

解：記，則

（1）左端，右端，其中的為任意整數(shù)。

顯然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在時的值為，而右端卻取不到這一值），因此兩端不相等。

（2）左端

右端

其中為任意整數(shù)，而

不難看出，對于左端任意的，右端取或時與其對應(yīng)；反之，對于右端任意的，當(dāng)為偶數(shù)時，左端可取于其對應(yīng)，而當(dāng)為奇數(shù)時，左端可取于其對應(yīng)。綜上所述，左右兩個集合中的元素相互對應(yīng)，即二者相等。

12．證明

證明：首先有，因此，第一式子證畢。

同理可證第二式子也成立。

13．證明

（即）

證明：首先，右端不等式得到證明。

其次，由復(fù)數(shù)的三角不等式又有，根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性方法可以證明時，因此接著上面的證明，有，左端不等式得到證明。

14．設(shè)，證明

證明：由復(fù)數(shù)的三角不等式，有，由已知，再主要到時單調(diào)增加，因此有，同理，證畢。

15．已知平面流場的復(fù)勢為

（1）

（2）

（3）

試求流動的速度及流線和等勢線方程。

解：只需注意，若記，則

流場的流速為，流線為，等勢線為，因此，有

（1）

流速為，流線為，等勢線為

（2）

流速為，流線為，等勢線為

（3）

流速為，流線為，等勢線為

習(xí)題三答案

1．計算積分，其中為從原點到的直線段

解：積分曲線的方程為，即，代入原積分表達式中，得

2．計算積分，其中為

（1）從0到1再到的折線

（2）從0到的直線

解：（1）從0到1的線段方程為：，從1到的線段方程為：，代入積分表達式中，得；

（2）從0到的直線段的方程為，代入積分表達式中，得，對上述積分應(yīng)用分步積分法，得

3．積分，其中為

（1）沿從0到

（2）沿從0到

解：（1）積分曲線的方程為，代入原積分表達式中，得

（2）積分曲線的方程為，代入積分表達式中，得

4．計算積分，其中為

（1）從1到+1的直線段

（2）從1到+1的圓心在原點的上半圓周解：（1）的方程為，代入，得

（2）的方程為，代入，得

5．估計積分的模,其中為+1到-1的圓心在原點的上半圓周。

解：在上，=1，因而由積分估計式得的弧長

6．用積分估計式證明：若在整個復(fù)平面上有界，則正整數(shù)時

其中為圓心在原點半徑為的正向圓周。

證明：記，則由積分估計式得，因，因此上式兩端令取極限，由夾比定理，得，證畢。

7．通過分析被積函數(shù)的奇點分布情況說明下列積分為0的原因，其中積分曲線皆為。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：各積分的被積函數(shù)的奇點為：（1），（2）

即，（3）

（4）為任意整數(shù)，（5）被積函數(shù)處處解析，無奇點

不難看出，上述奇點的模皆大于1，即皆在積分曲線之外，從而在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)解析，因此根據(jù)柯西基本定理，以上積分值都為0。

8．計算下列積分：

（1）

（2）

（3）

解：以上積分皆與路徑無關(guān)，因此用求原函數(shù)的方法：

（1）

（2）

（3）

9．計算，其中為不經(jīng)過的任一簡單正向閉曲線。

解：被積函數(shù)的奇點為，根據(jù)其與的位置分四種情況討論：

（1）皆在外，則在內(nèi)被積函數(shù)解析，因而由柯西基本定理

（2）在內(nèi)，在外，則在內(nèi)解析，因而由柯西積分

公式：

（3）同理，當(dāng)在內(nèi)，在外時，（4）皆在內(nèi)

此時，在內(nèi)圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

注：此題若分解，則更簡單！

10．計算下列各積分

解：（1），由柯西積分公式

（2），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點，故此同上題一樣：

（3）

在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

（4），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點1，故此

（5），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

（6）為正整數(shù)，由高階導(dǎo)數(shù)公式

11．計算積分，其中為

（1）

（2）

（3）

解：（1）由柯西積分公式

（2）同理，由高階導(dǎo)數(shù)公式

（3）由復(fù)合閉路原理，其中，為內(nèi)分別圍繞0，1且相互外離的小閉合曲線。

12．積分的值是什么？并由此證明

解：首先，由柯西基本定理，因為被積函數(shù)的奇點在積分曲線外。

其次，令，代入上述積分中，得

考察上述積分的被積函數(shù)的虛部，便得到，再由的周期性，得

即，證畢。

13．設(shè)都在簡單閉曲線上及內(nèi)解析，且在上，證明在內(nèi)也有。

證明：由柯西積分公式，對于內(nèi)任意點，由已知，在積分曲線上，故此有

再由的任意性知，在內(nèi)恒有，證畢。

14．設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，且，證明

（1）

在內(nèi)；

（2）

對于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有

證明：（1）顯然，因為若在某點處則由已知，矛盾！

（也可直接證明：，因此，即，說明）

（3）

既然，再注意到解析，也解析，因此由函數(shù)的解析性法則知也在區(qū)域內(nèi)解析，這樣，根據(jù)柯西基本定理，對于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有，證畢。

15．求雙曲線

（為常數(shù)）的正交（即垂直）曲線族。

解：為調(diào)和函數(shù)，因此只需求出其共軛調(diào)和函數(shù)，則

便是所要求的曲線族。為此，由柯西—黎曼方程，因此，再由

知，即為常數(shù)，因此，從而所求的正交曲線族為

（注：實際上，本題的答案也可觀察出，因極易想到

解析）

16．設(shè)，求的值使得為調(diào)和函數(shù)。

解：由調(diào)和函數(shù)的定義，因此要使為某個區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即在某區(qū)域內(nèi)上述等式成立，必須，即。

17．已知，試確定解析函數(shù)

解：首先，等式兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

----------------------------------（1）

-------------------------------（2）

再聯(lián)立上柯西—黎曼方程

------------------------------------------------------（3）

----------------------------------------------------（4）

從上述方程組中解出，得

這樣，對積分，得再代入中，得

至此得到：由二者之和又可解出，因此，其中為任意實常數(shù)。

注：此題還有一種方法：由定理知

由此也可很方便的求出。

18．由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)

解：（1），由柯西—黎曼方程，對積分，得，再由得，因此，所以，因，說明時，由此求出，至此得到：，整理后可得：

（2），此類問題，除了上題采用的方法外，也可這樣：，所以，其中為復(fù)常數(shù)。代入得，故此

（3）

同上題一樣，因此，其中的為對數(shù)主值，為任意實常數(shù)。

（4），對積分，得

再由得，所以為常數(shù)，由知，時，由此確定出，至此得到：，整理后可得

19．設(shè)在上解析，且，證明

證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計式，得，證畢。

20．若在閉圓盤上解析，且，試證明柯西不等式，并由此證明劉維爾定理：在整個復(fù)平面上有界且處處解析的函數(shù)一定為常數(shù)。

證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計式，得，柯西不等式證畢；下證劉維爾定理：

因為函數(shù)有界，不妨設(shè)，那么由柯西不等式，對任意都有，又因處處解析，因此可任意大，這樣，令，得，從而，即，再由的任意性知，因而為常數(shù)，證畢。

習(xí)題四答案

1．考察下列數(shù)列是否收斂，如果收斂，求出其極限．

（1）

解：因為不存在，所以不存在，由定理4.1知，數(shù)列不收斂．

（2）

解：，其中，則

．

因為，所以

由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．

（3）

解：因為，所以

由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．

（4）

解：設(shè)，則，因為，都不存在，所以不存在，由定理4.1知，數(shù)列不收斂．

2．下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂?

(1)

解：，由正項級數(shù)的比值判別法知該級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．

(2)

解：，因為是交錯級數(shù)，根據(jù)交錯級數(shù)的萊布尼茲審斂法知該級數(shù)收斂，同樣可知，也收斂，故級數(shù)是收斂的．

又，因為發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，從而級數(shù)條件收斂．

(3)

解：，因級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散．

(4)

解：，由正項正項級數(shù)比值判別法知該級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．

3．試確定下列冪級數(shù)的收斂半徑．

(1)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(2)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(3)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(4)

解：令，則，故冪級數(shù)的收斂域為，即，從而冪級數(shù)的收斂域為，收斂半徑為．

4．設(shè)級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為．

證明：在點處，因為收斂，所以收斂，故由阿貝爾定理知，時，收斂，且為絕對收斂，即收斂．

時，因為發(fā)散，根據(jù)正項級數(shù)的比較準(zhǔn)則可知，發(fā)散，從而的收斂半徑為1，由定理4.6，的收斂半徑也為1．

5．如果級數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點處絕對收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對收斂．

證明：時，由阿貝爾定理，絕對收斂．

時，由已知條件知，收斂，即收斂，亦即絕對收斂．

6．將下列函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域．

（1）

解：由于函數(shù)的奇點為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．根據(jù)例4.2的結(jié)果，可以得到

．

將上式兩邊逐項求導(dǎo)，即得所要求的展開式

=．

（2）

解：①時，由于函數(shù)的奇點為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．

===．

②時，由于函數(shù)的奇點為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．

=

=．

（3）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

．

（4）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

（5）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

=．

（6）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

=

==．

7．求下列函數(shù)展開在指定點處的泰勒展式，并寫出展式成立的區(qū)域．

（1）

解：，．

由于函數(shù)的奇點為，所以這兩個展開式在內(nèi)處處成立．所以有：

．

（2）

解：由于

所以．

（3）

解：

=．

展開式成立的區(qū)域：，即

（4）

解：，，……，，……，故有

因為的奇點為，所以這個等式在的范圍內(nèi)處處成立。

8．將下列函數(shù)在指定的圓域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)．

(1)

解：，故有

(2)

解：

①在內(nèi)

②在內(nèi)

(3)

解：①在內(nèi)，②在內(nèi)

(4)

解：在內(nèi)

(5)

解：

在內(nèi)

故有

9．將在的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)．

解：因為函數(shù)的奇點為，所以它以點為心的去心鄰域是圓環(huán)域．在內(nèi)

又

故有

10．函數(shù)能否在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)？為什么？

答：不能。函數(shù)的奇點為,，所以對于，內(nèi)都有的奇點，即以為環(huán)心的處處解析的圓環(huán)域不存在，所以函數(shù)不能在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)．

習(xí)題五答案

1．求下列各函數(shù)的孤立奇點，說明其類型，如果是極點，指出它的級．

（1）

解：函數(shù)的孤立奇點是，因

由性質(zhì)5.2知，是函數(shù)的1級極點，均是函數(shù)的2級極點．

（2）

解：函數(shù)的孤立奇點是，因，由極點定義知，是函數(shù)的2級極點．

（3）

解：函數(shù)的孤立奇點是，因，由性質(zhì)5.1知，是函數(shù)可去奇點．

（4）

解：函數(shù)的孤立奇點是,①，即時，因

所以是的3級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的3級極點

②，時，令，因，由定義5.2知，是的1級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的1級極點

（5）

解：函數(shù)的孤立奇點是,令，①

時，，由定義5.2知，是的2級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的2級極點，故是的2級極點．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的1級極點，故是的１級極點．

（６）

解：函數(shù)的孤立奇點是，令，①

時，因，所以是的2級零點，從而它是的2級極點．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的１級極點．

2．指出下列各函數(shù)的所有零點，并說明其級數(shù)．

（1）

解：函數(shù)的零點是，記，①

時，因，故是的2級零點．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點．

（2）

解：函數(shù)的零點是，因，所以由性質(zhì)5.4知，是的2級零點．

（3）

解：函數(shù)的零點是，，記，①

時，是的1級零點，的1級零點，的2級零點，所以是的4級零點．

②，時，，由定義5.2知，是的1級零點．

③，時，，由定義5.2知，是的1級零點．

3．是函數(shù)的幾級極點？

答：記，則，，，將代入，得：，由定義5.2知，是函數(shù)的5級零點，故是的10級極點．

4．證明：如果是的級零點，那么是的級零點．

證明：因為是的級零點，所以，即，由定義5.2知，是的級零點．

5．求下列函數(shù)在有限孤立奇點處的留數(shù)．

（1）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，且均是其1級極點．由定理5.2知，．

（2）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，且是函數(shù)的3級極點，由定理5.2，．

（3）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，因

所以由定義5.5知，．

（4）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，因

所以由定義5.5知，．

（5）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，因

所以由定義5.5知，．

（6）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是．

①，即，因為

所以是的2級極點．由定理5.2，．

②時，記，則，因為，所以由定義5.2知，是的1級零點，故它是的1級極點．由定理5.3，．

6．利用留數(shù)計算下列積分（積分曲線均取正向）．

（1）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，且為2級極點，由定理5.2，由定理5.1知，．

（2）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，且為1級極點，所以由定理5.1及定理5.2，．

（3）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，因為，所以由性質(zhì)5.1知是函數(shù)的可去奇點，從而由定理5.1，由定理5.1，．

（4）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，且為2級極點，由定理5.2，由定理5.1，．

（5）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，由性質(zhì)5.6知是函數(shù)的1級極點，由定理5.1，．

（6）

解：被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點為：，由定理5.3，這些點均為的1級極點，且

由定理5.1，．

7．計算積分，其中為正整數(shù)，．

解：記，則的有限孤立奇點為，且為級極點，分情況討論如下：

①時，均在積分區(qū)域內(nèi)，由定理5.1，故有．

②時，均不在積分區(qū)域內(nèi)，所以．

③時，在積分區(qū)域內(nèi)，不在積分區(qū)域內(nèi)，所以

習(xí)題五

8．判斷是下列各函數(shù)的什么奇點？求出在的留數(shù)。

解：（1）因為

所以，是的可去奇點，且。

（2）因為

所以

于是，是的本性奇點，且。

（3）因為

所以

容易看出，展式中由無窮多的正冪項，所以是的本性奇點。

（4）因為

所以是的可去奇點。

9．計算下列積分：

解：（1）

（2）

從上式可知，所以。

10．求下列各積分之值：

（1）解：設(shè)則。于是

（2）解：設(shè)則。于是

（3）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實軸上沒有奇點，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有一個奇點，且為2級極點。于是

（4）解：

顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實軸上沒有奇點，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有和二個奇點，且都為1

級極點。于是

所以

（5）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實軸上沒有奇點，在上半平面內(nèi)只有一個奇點，且為1

級極點。于是

（6）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實軸上沒有奇點，在上半平面內(nèi)只有一個奇點，且為1

級極點。于是

11．利用對數(shù)留數(shù)計算下列積分：

解：（1），這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。

（2）

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)；為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。

(3)

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。

(4)

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。

12．證明方程有三個根在環(huán)域內(nèi)

證明：令。因為當(dāng)時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個。

又當(dāng)時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。

綜合上述得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。

13．討論方程在與內(nèi)各有幾個根。

解：令。因為當(dāng)時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。

又當(dāng)時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個。

根據(jù)上述還可以得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。

14．當(dāng)時，證明方程與在單位圓內(nèi)有n個根。

證明：令。因為當(dāng)時，有

所以，當(dāng)時，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即n個。

習(xí)題七答案

1．試證：若滿足傅氏積分定理的條件，則有

證明：根據(jù)付氏積分公式，有

2．求下列函數(shù)的傅氏變換：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

f(t)

(2)

(3)

(4)

由于

所以

3．求下列函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分等式。

(1)

證明

(2)

證明。

解：(1)

由傅氏積分公式，當(dāng)時

所以，根據(jù)傅氏積分定理

(2)

由傅氏積分公式

所以，根據(jù)傅氏積分定理

5．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）

(2)

(3)

由于

所以

(4)

由于

所以

6．證明：若其中為一實函數(shù)，則

其中為的共軛函數(shù)。

證明：由于

所以

于是有

7．若，證明（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）。

證明：由于

所以

對上述積分作變換，則

8．證明下列各式：

(1)

（為常數(shù)）；

(2)

證明：（1）

（2）

9．計算下列函數(shù)和的卷積：

(1)

(2)

(2)

(2)

解:

(1)

顯然，有

當(dāng)時，由于=0，所以；

當(dāng)時，（2）顯然，有

所以，當(dāng)

或

或

時，皆有=0。于是

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時。

又

所以

從而

當(dāng)時，當(dāng)時，總結(jié)上述，得。

10．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）由于

根據(jù)位移性質(zhì)

（2）

（3）根據(jù)位移性質(zhì)

再根據(jù)像函數(shù)的位移性質(zhì)

（4）由于

根據(jù)微分性質(zhì)

再根據(jù)位移性質(zhì)。

習(xí)題八

1．求下列函數(shù)的拉氏變換：

(1)

解：由拉氏變換的定義知：

(2)

解：由拉氏變換的定義以及單位脈動函數(shù)的篩選性質(zhì)知：

2.求下列函數(shù)的拉氏變換：

(1)

解：由拉氏變換的線性性質(zhì)知：

(2)

解：由拉氏變換的線性性質(zhì)和位移性質(zhì)知：

(3)

解：法一：利用位移性質(zhì)。

由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

法二：利用微分性質(zhì)。

令

則

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：

即

(4)

解：因為

故由拉氏變換的位移性知：

(5)

解：

故

(6)

解：因為

即：

故

(7)

解：

法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。

法二：利用微分性質(zhì)。

令則

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：

又因為

所以

(8)

解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。

因為

故

法二：利用微分性質(zhì)。

令，則

故

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：.故

3.利用拉氏變換的性質(zhì)計算下列各式：

(1)

求

解：因為

所以由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

(2)

求

解：設(shè)

則

由拉氏變換的積分性質(zhì)知：

再由微分性質(zhì)得：

所以

4.利用拉氏變換的性質(zhì)求

(1)

解：法一：利用卷積求解。

設(shè)

則

而

由卷積定理知：

法二：利用留數(shù)求解。

顯然在內(nèi)有兩個2級極點。除此外處處解析，且當(dāng)時，故由定理8.3知：

(2)

解：法一：利用卷積求解。

設(shè)

則

而

由卷積定理知

法二：用留數(shù)求解。

顯然在內(nèi)有兩個2級極點。除此外處處解析，且當(dāng)時，故由定理8.3知：

法三：利用拉氏變換積分性質(zhì)求解。

由(1)題知

故

即

5.利用積分性質(zhì)計算

(1)

解：設(shè)

由拉氏變換的微分性質(zhì)得：

所以

(2)

解：在(1)題中取得

由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

再由拉氏變換的積分性質(zhì)得

6.計算下列積分：

(1)

解：

由拉氏變換表知：取

則

(2)

解：

7．求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

(1)

解：因

取得

故

(2)

解：因為

而

所以

(3)

解：設(shè)則是的四級極點。

除此外處處解析，且當(dāng)時，故由定理8.3知：

下面來求留數(shù)。

因為

故.所以

(4)

解：設(shè)

則在內(nèi)具有兩個單極點

除此外處處解析，且當(dāng)時，故由定理8.3得：

(5)

解：設(shè)

分別為的一階、二階極點。顯然滿足定理8.3的條件，故由定理8.3知：

(6)

解：設(shè)

顯然

查表知

故由卷積定理得：

(7)

解：設(shè)

則

因為

所以

故

(8)

解：，因為

所以

即：

8.求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

(1)

解：

由拉氏變換表知：

所以

(2)

解：

而

所以

(3)

解：設(shè)

則

設(shè)

則

由卷積定理知，所以

(4)

解：設(shè)

則

設(shè)

則

故

所以

(5)

解：

因為

故由卷積定理知：

又因為

所以

(6)

解：

由拉氏變換表知：

所以

9.求下列卷積：

(1)

解：`因為

所以

(2)

（m,n為正整數(shù)）；

解：

(3)

解：

(4)

解：

(5)

解：因為

當(dāng)時，故當(dāng)

時，即

(6)

解：設(shè)

則

所以當(dāng)

即

時，上式為0.當(dāng)

即

時，由函數(shù)的篩選性質(zhì)得：

10.利用卷積定理證明下列等式：

(1)

證明：因為

故由卷積定理：

也即，證畢。

(2)

證明：因為

故由卷積定理知：

證畢。

11.解下列微分方程或微分方程組：

(1)

解：設(shè)

對方程兩邊取拉氏變換，得

代入

得：

用留數(shù)方法求解拉氏逆變換，有：

(2)

解：設(shè)

對方程兩邊同時取拉氏變換，得

代入初值條件，得：

求拉氏逆變換得方程的解為：

(3)

解：設(shè)

用拉氏變換作用方程兩邊，得：

代入初值條件，有：

即：

因為

所以由卷積定理求拉氏逆變換得：

(4)

解：設(shè)

用拉氏變換作用在方程兩邊得：

將初始條件代入，得：

因為

所以

因此

故方程的解：

(5)

解：設(shè)

對方程兩邊取拉氏變換，得：

代入初始條件，整理得：

由例8.16知：

又因為

故

因為

所以方程的解

(6)

解：設(shè)

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

求解該方程組得：

取拉式逆變換得原方程組的解為：

(7)

解：設(shè)

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

整理計算得：

下求的拉氏逆變換：

因為

故由卷積定理可得

同理可求

所以方程組的解為

(8)

解：設(shè)

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

解此方程組得：

取拉氏逆變換得原方程組的解為：

12.求解積分方程

解：令

由卷積定理

知

將拉氏變換作用于原方程兩端，得：

也即：

取拉式逆變換得原方程的解為：

第三篇：復(fù)變函數(shù)第二版答案

班級活動策劃

一、活動目的

圣誕節(jié)是基督教徒紀(jì)念耶穌的誕生的節(jié)日，是一個西方的節(jié)日，但是近年來，它卻為越來越多的中國人所接受，并且漸漸被賦予了許多中國式的特色和內(nèi)容。為了豐富同學(xué)們的課余生活，了解和體驗圣誕節(jié)的氣氛，結(jié)交新朋友促進溝通，增進彼此的感情，故策劃了此次活動。

二、活動主題：圣誕節(jié)之夜

三、活動內(nèi)容

1、時間：2014.12.25

2、對象：110班全體同學(xué)

3、活動步驟

A、19：00之前的等待時間，播放圣誕節(jié)歌曲，營造圣誕節(jié)氣氛。如《叮叮當(dāng)，叮叮當(dāng)》《平安夜》，活動要求每位參與者攜帶一張平安夜賀卡，在入場時交給負責(zé)人員。B、19:00準(zhǔn)時開始。

C、19:00-19:10首先由主持人致辭。內(nèi)容為圣誕祝福，圣誕由來，以及世界各地的圣誕風(fēng)俗。D、19:10-19-30，進行第一個活動“拍七令”，目的是為了炒活現(xiàn)場的氣氛，讓所有人參與到其中來。

活動規(guī)則如下：多人參加，從1-99報數(shù)，但有人數(shù)到“7”的數(shù)字或“7”的倍數(shù)時，不許報數(shù)。在所有到場者中循環(huán)2-5次，如果有人報錯或拍錯人給予一定的處罰。

處罰方式：每循環(huán)一次，所以有出錯者一起出一個表演，可一起合作，也可選派代表。E：第二個活動，“椅上功夫”。先不宣布活動內(nèi)容，邀請多名到場者參與，并把參與者按人數(shù)分為多組，然后進行比賽，若比賽中人數(shù)不夠，可再邀請人加入。方法：

1、各組互相商量要如何才能站上最多的人。

2、依照號令比賽，哪一張椅子上站最多的人。

3、可以限定一個時間，如3分鐘。懲罰方式：對于人數(shù)最多并且站到椅子上人給予一份小禮物，對于人數(shù)最少的一組且站到椅子上的人，則給予相應(yīng)懲罰。

四：獎品設(shè)置：筆記本10元/本x10本=100元或杯子15元/個x10=150元

五、注意事項：此次的活動主要針對于班級內(nèi)部，由于人數(shù)不是太多，應(yīng)避免活動進行過程中出現(xiàn)的冷場現(xiàn)象。而且，本次活動的難度不大，經(jīng)費的開支，會場布置，獎品的費用，應(yīng)盡量控制在預(yù)算范圍內(nèi)。

第四篇：復(fù)變函數(shù)小結(jié)

復(fù)變函數(shù)小結(jié) 第一章 復(fù)變函數(shù)

1)掌握復(fù)數(shù)的定義(引入),知道復(fù)數(shù)的幾何意義(即復(fù)數(shù)可看成復(fù)數(shù)平面的一個點也可以表示為復(fù)數(shù)平面上的向量)2)掌握 復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示與三角表示式及指數(shù)表示式的關(guān)系.3)掌握復(fù)數(shù)的幾種運算:(1)相等;(2)加法;(3)減法;(4)乘法;(5)除法;(6)開方;(7)共軛.需要注意的是開方 : 開n次有n個根.例題

nz1?n?1ei??0?2?k??n?1ei??0?2?k?n,?k?0,1,2,?n?1?

4)掌握復(fù)變函數(shù)的定義,知道復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的定義.5)熟悉幾個常用的基本初等函數(shù)及性質(zhì):(1)多項式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指數(shù);(5)三角函數(shù).6)掌握復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義, 因復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上跟實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣,故實變函數(shù)中關(guān)于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式在復(fù)變函數(shù)情況仍適用.7)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件是:(1)函數(shù)f(z)的實部u 與虛部的偏導(dǎo)數(shù)存在,且連續(xù).?u?u?v?v，,?x?y?x?y(2)滿足 C-R條件

?u?v?u?v?,??.?x?y?y?x8)知道復(fù)變函數(shù)解析的定義,復(fù)變函數(shù)解析,可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系.9)解析函數(shù)的性質(zhì):

(1)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v的等值(勢)線互相正交.(2)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v均為調(diào)和函數(shù).(3)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v 不是獨立的,可由己知解析函數(shù)的實部u(或v)求出解析函數(shù)f(z).具體求法有3種

:1.直接積分法;2.湊全微分法;3.路徑積分法.10)解析函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用:

平面標(biāo)量場.11)知道復(fù)變函數(shù)中多值性的起源在于幅角,只需對幅角作限定(一般限定在主值范圍,且一般把幅角作限定的復(fù)變平面稱為黎曼面.),多值函數(shù)就退化為單值函數(shù).第二章 復(fù)變函數(shù)的積分

1)知道復(fù)變函數(shù)積分的定義,以及它與實變函數(shù)的路徑的關(guān)系.2)掌握單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域上Cauchy定理及數(shù)學(xué)表示式:?f?z?dz?0(1)其中l(wèi)為區(qū)域的所有邊界線.l

對單連通區(qū)域(1)可表示為

?lf?z?dzn?0,(2)對復(fù)連通區(qū)域(1)也可表示為:

?f?z?dz???f?z?dzli?1ci(3)其中l(wèi)為區(qū)域的外邊界線,ci為區(qū)域的內(nèi)邊界線.(3)式反映對復(fù)連通區(qū)域的解析函數(shù)沿外邊界的積分值與沿內(nèi)邊界積分的關(guān)系.作為(3)式一個特例: 包含一個奇點的任意一個閉合曲線積分值相同,它為求積分帶來方便.n??z?adz?l?0,?n??1?一個重要的積分公式: ?z?a?ndz?2?i,?n??1?

?l其中l(wèi) 包含a 點.Cauchy定理為本章的重點.3)解析函數(shù)的不定積分.f?z??f'12?i12?i?llf???d???z?z),4)Cauchy公式

?z???z???(?lf???d?2, ,fnn!2?i?(?f???d??z)n?1若對復(fù)連通區(qū)域 l 為區(qū)域的所有邊界線.第三章 冪級數(shù)

1)了解一般的復(fù)數(shù)項級數(shù),知道級數(shù)收斂的Cauchy判據(jù),絕對收斂與一致收斂的概念,掌握外氏定理及運用.2)掌握冪級數(shù)的一般形式,收斂半徑的計算(R?limn??anan?1)，知道冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂，能逐項求導(dǎo)與積分.3)掌握解析函數(shù)在單連通區(qū)域的Taylor 展開式: ?f?z???a?z?z?k0k?0k,ak?fk?z0?k!

知道Taylor 展開式是唯一的,即同一個函數(shù)在同一區(qū)域的展開式不管用什么方法得出其結(jié)果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展開式: 例?1?ez,?2?cosz,sinz,?3?11?z,?4?ln?1?z?

知道函數(shù)在無窮運點的展開式.4)掌握解析函數(shù)在復(fù)連通區(qū)域的洛朗 展開式: f?z???a?z?kk????z0?,其中akk??2?i??c1f???d??z0?k?1，c為環(huán)域內(nèi)任一沿逆時針方向的閉合曲線.知道洛朗 展開式是唯一的,即同一個函數(shù)在同一環(huán)域的展開式不管用什么方法得出其結(jié)果是相同的.所以對洛朗展開可利用熟悉的一些基本Taylor展開式來處理,例如對有理分式總可以把它分解為一系列最簡單的有理分式（1z?z0)之和, 而對1z?z0能用等比級數(shù)來展開(關(guān)鍵是滿足公比的絕對值小11?z?于1).并與

??k?0z,z?1 比較.知道在什么情況下洛

k朗展開就退化為Taylor展開.5)掌握孤立奇點的分類方法:(1)可去奇點:設(shè)z0是f(z)的奇點當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中沒有負冪項,就稱z0是f(z)的可去奇點.性質(zhì)limf?z??a

a為常數(shù).z?z0(2)m階極點: 設(shè)z0是f(z)的奇點當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有有限項負冪項,其負冪項的最高冪為m,就稱z0是f(z)的m階極點.性質(zhì)limf?z??z?z0?.(4)本性奇點: 設(shè)z0是f(z)的奇點當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有無窮多項負冪項,就稱z0是f(z)的本性奇點.性質(zhì)limf?z?不存在z?z0

知道函數(shù)在無窮運點奇點的分類.第四章 留數(shù)定理

1)掌握留數(shù)定理及其計算

?f?z?dzl?2?i?Resf?zi?,其中zi為l內(nèi)的奇點i?1n 2)掌握留數(shù)計算的兩種方法

(1)洛朗展開 : 設(shè)z0是f(z)的奇點當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中的負一次冪的系數(shù)a-1=Resf(z0).任何情況都適合.(2)對m階極點Resf?z0??lim?mz?z01dn?1n?1?1?!dz??z?z0?f?z??,作為一個特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),當(dāng)f(z)為一階極點, P?z0??0,Q?z0??0,Resf?z0??? 'Q?z0?P?z0主要處理有理分式中分母為單根情況.3)應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分 ?類型一

2??0?z?z?1z?z?1R?cos?,sin??d???R?,?22i?z?1?dz??iz?2?i?Resf?zi?,?1???1??iz?zi為f?z?在單單位圓的奇點?z?z?1z?z?1,f?z??R?,?22i?

?1)被積函數(shù)為三角函數(shù)的有理分式.2)積分區(qū)域為[0,2π] 作變換z=eiθ,當(dāng)θ從變到2π時,復(fù)變數(shù)z恰好在單位圓上走一圈.類型二

積分條件: 1)積分區(qū)域為(-∞,∞)

2)f(z)在實軸有一價極點bk,且在上半平面除有限個奇點ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時,zf(z)→0 ??f?x?dx???2?i?Resf?ak???i?Resf?bk?.(2)

k?1k?1mp

?類型三

(m>0)???f?x?eimxdx,令F?z??f?z?eimz

積分條件: 1)積分區(qū)域為(-∞,∞)

2)f(z)在實軸有一價極點bk,且在上半平面除有限個奇點ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時,f(z)→0, ??f?x?e???imxdx?2?i?ResF?ak???i?ResF?bk?k?1k?1mp

(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(3)為?f?x?sin0mxdx??[?ResF?ak??k?1?m1pRe?2k?1?sF?bk?]當(dāng)f??x?為偶函數(shù)時,???mf?x?eimxdx?2?f?x?cosmxdx,0

?f?x?cosmxdx0??i[?ResF?ak??k?11pRe?2k?1sF?bk?]

第五篇：復(fù)變函數(shù)教案1.1

第一章

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

教學(xué)課題：第一節(jié) 復(fù)數(shù)

教學(xué)目的：

1、復(fù)習(xí)、了解中學(xué)所學(xué)復(fù)數(shù)的知識；

2、理解所補充的新理論；

3、熟練掌握復(fù)數(shù)的運算并能靈活運用。

教學(xué)重點：復(fù)數(shù)的輻角 教學(xué)難點：輻角的計算 教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)

教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合 教材分析：復(fù)變函數(shù)這門學(xué)科的一切討論都是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進行的，它是學(xué)好本們課程的基礎(chǔ)。因此，復(fù)習(xí)、了解中學(xué)所學(xué)復(fù)數(shù)的知識，理解所補充的新理論，熟練掌握復(fù)數(shù)的運算并能靈活運用顯得尤為重要。教學(xué)過程：

1、復(fù)數(shù)域：

每個復(fù)數(shù)z具有x?iy的形狀，其中別稱為

x和y?R，i??1是虛數(shù)單位；

x和y分z的實部和虛部，分別記作x?Rez，y?Imz。

復(fù)數(shù)z1?x1?iy1和z2?x2?iy2相等是指它們的實部與虛部分別相等。

z可以看成一個實數(shù)；如果Imz?0，那么z稱為一個虛數(shù)；如果Imz?0，而Rez?0，則稱z為一個純虛數(shù)。如果Imz?0，則復(fù)數(shù)的四則運算定義為：

(a1?ib1)?(a2?ib2)?(a1?a2)?i(b1?b2)(a1?ib1)(a2?ib2)?(a1a2?b1b2)?i(a1b2?a2b1)

(a1?ib1)a1a2?b1b2a2b1?a1b2)?2?i 222(a2?ib2)a2?b2a2?b2復(fù)數(shù)在四則運算這個代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個復(fù)數(shù)域，記為C。

2、復(fù)平面：

C也可以看成平面R，我們稱為復(fù)平面。

2作映射：C?R2:z?x?iy?(x,y)，則在復(fù)數(shù)集與平面R2之建立了一個1-1對應(yīng)。橫坐標(biāo)軸稱為實軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。

3、復(fù)數(shù)的模和輻角

復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量，z(x,y)?x?iy。

x2?y2向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：|z|?；

向量與正實軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，定義為：Argz?arctany?2?i（k?Zx）。

tan??y,??Argz我們知道人亦非零復(fù)數(shù)有無限多個輻角，今以xargz表示其中的一個特定值，并稱合條件

???argz??的一個為主值，或稱之為z的主輻角。于是，??Argz?argz?2k?,(k?0,?1,?2,?)。注意，當(dāng)z=0時輻角無異議。當(dāng)z?0時argz表示z的主輻角,它與反正切Arctan的主值arctan（???argz??，??arctan?）

22yxy有如下關(guān)系x?yx?y?arctan,當(dāng)x?0,y?0;?x???,當(dāng)x?0,y?0;?2?y??arctan??,當(dāng)x?0,y?0;argz?x(z?0)?y?arctan??,當(dāng)x?0,y?0;?x??-?,當(dāng)x?0,y?0;??2復(fù)數(shù)的三角表示定義為：z?|z|(cosArgz?isinArgz)； 復(fù)數(shù)加法的幾何表示： 設(shè)z1、z2是兩個復(fù)數(shù)，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：

yz2z1?z2z2z1xz1?z20?z2關(guān)于兩個復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：（1）、|z1?z2|?|z1|?|z2|；（2）、|z1?z2|?||z1|?|z2||；（3）、|z1?z2|?|z1|?|z2|；（4）、|z1?z2|?||z1|?|z2||；（5）、|Rez|?|z|,|Imz|?|z|；（6）、|z|2?zz； 例1 試用復(fù)數(shù)表示圓的方程：

a(x2?y2)?bx?cy?d?0

（a?0）

其中，a,b,c,d是實常數(shù)。

解：方程為

azz??z??z?d?0，其中??(b?ic)。

例

2、設(shè)z1、z2是兩個復(fù)數(shù)，證明

z1?z2?z1?z2,z1z2?z1z2

12z1?z1

利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法：設(shè)z1、z2是兩個非零復(fù)數(shù)，則有 z1?|z1|(cosArgz1?isinArgz1)z2?|z2|(cosArgz2?isinArgz2)

則有

z1z2?|z1||z2|[cos(Argz1?Argz2)?isin(Argz1?Argz2)]

即|z1z2|?|z1||z2|，Arg(z1z2)?Argz1?Argz2，其中后一個式子應(yīng)理解為集合相等。

同理，對除法，有

z1/z2?|z1|/|z2|[cos(Argz1?Argz2)?isin(Argz1?Argz2)]

即|z1/z2|?|z1|/|z2|，Arg(z1/z2)?Argz1?Argz2，其后一個式子也應(yīng)理解為集合相等。

例

3、設(shè)z1、z2是兩個復(fù)數(shù)，求證：

|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?2Re(z1z2)，例

4、作出過復(fù)平面C上不同兩點a,b的直線及過不共線三點 a,b,c的圓的表示式。解：直線：Imz?a?0； b?az?ac?a)?0 圓：Im(z?bc?b4、復(fù)數(shù)的乘冪與方根

利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪：

ab

abc

zn?|z|n(cosnArgz?isinnArgz)?rn(cosn??isinn?)從而有zn?z,當(dāng)r?1時,則得棣莫弗(DeMoivre)公式1，則 znn

令z?n?z?n?|z|?n[cos(?nArgz)?isin(?nArgz)]

進一步，有

11z?n|z|[cos(Argz)?isin(Argz)]

nn1n共有n-個值。

例

4、求4(1?i)的所有值。解：由于1?i?2(cos4??isin)，所以有 441?1?(?2k?)?isin(?2k?)] 4444?(1?i)?82[cos4(1?i)?82[cos(?16?k??k?)?isin(?)]2162其中，k?0,1,2,3。

5、共軛復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的共軛定義為：z?x?iy；顯然z?z,Argz??Argz,這表明在復(fù)平面上,z與z兩點關(guān)于實軸是對稱的

我們也容易驗證下列公式：(1),?z??z,z1?z2?z1?z2,(2),z1z2?z1z2,(2z1z)?1(z2?0),z2z2z?zz?z ,Imz?,22i(4),設(shè)R(a,b,c?)表示對于復(fù)數(shù)a,b,c?的任一有理運算,則(3),z?zz,Rez?R(a,b,c?)?R(a,b,c?)

6、作業(yè)：