(2015·江蘇，7，易)不等式2x2－x<4的解集為_(kāi)_______．
【解析】 2x2－x<4，即2x2－x<22，∴x2－x<2，即x2－x－2<0，∴(x－2)(x＋1)<0，解得－1 【答案】 {x|－1 1．(2013·北京，5，易)函數(shù)f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)＝() A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 【答案】 D f(x)向右平移一個(gè)單位之后得到的函數(shù)應(yīng)該是g(x)＝e－x，于是f(x)相當(dāng)于g(x)向左平移一個(gè)單位的結(jié)果，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，選D.思路點(diǎn)撥：把握函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y＝ex的圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 2．(2011·山東，3，易)若點(diǎn)(a，9)在函數(shù)y＝3x的圖象上，則tan的值為() A．0 B.C．1 D.【答案】 D 由題意有3a＝9，則a＝2，所以tan＝tan＝.3．(2012·山東，3，易)設(shè)a＞0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的() A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 A 函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)，等價(jià)于0＜a＜1(符合a＞0且a≠1)； 函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)，等價(jià)于2－a＞0，又a＞0且a≠1，故0＜a＜1或1＜a＜2.故選A.4．(2012·浙江，9，難)設(shè)a＞0，b＞0.() A．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，則a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，則a＜b 【答案】 A 設(shè)f(x)＝2x＋2x，則f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，由2a＋2a＝2b＋3b及b＞0，得2a＋2a＞2b＋2b，即f(a)＞f(b)，故有a＞b，即A正確，B錯(cuò)誤． 對(duì)于命題C，D，令a＝2，則2b－3b＝0，即b為g(x)＝2x－3x的零點(diǎn)．而g(0)＝1＞0，g(2)＝－2＜0，g(4)＝4＞0，故0＜b＜2或b＞2，即0＜b＜a或b＞a，即命題C，D都是錯(cuò)誤的，故選A.考向 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 0 a>1 圖象 性質(zhì) 定義域：R 值域：(0，＋∞) 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，即過(guò)定點(diǎn)(0，1) 當(dāng)x>0時(shí)，0 當(dāng)x<0時(shí)，y>1 當(dāng)x>0時(shí)，y>1； 當(dāng)x<0時(shí)，0 在R上是減函數(shù) 在R上是增函數(shù) 2.指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn) (1)任意兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象都是相交的，過(guò)定點(diǎn)(0，1)，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)． (2)當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì)； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢(shì)． (3)指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小關(guān)系如圖所示，其中0＜c＜d＜1＜a＜b，在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無(wú)論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蜃兇螅?/p> 當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時(shí)，底數(shù)越大，圖象上升越快；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí)，底數(shù)越小，圖象下降越快． (1)(2012·四川，5)函數(shù)y＝ax－(a>0，a≠1)的圖象可能是() (2)(2015·山東聊城模擬，12)若方程|3x－1|＝k有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． (3)(2012·山東，15)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________． 【思路導(dǎo)引】 解題(1)的方法是利用分類(lèi)討論，即分a＞1和0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論，然后逐項(xiàng)排除；解題(2)的關(guān)鍵是正確畫(huà)出y＝|3x－1|的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解；解題(3)的關(guān)鍵是結(jié)合a的不同取值情況分類(lèi)討論函數(shù)的最值． 【解析】(1)函數(shù)y＝ax－由函數(shù)y＝ax的圖象向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，A項(xiàng)顯然錯(cuò)誤；當(dāng)a＞1時(shí)，0＜＜1，平移距離小于1，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＞1，平移距離大于1，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤． (2)曲線y＝|3x－1|與直線y＝k的圖象如圖所示，由圖象可知，如果y＝|3x－1|與直線y＝k有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足0＜k＜1.(3)當(dāng)a>1時(shí)，有a2＝4，a－1＝m，∴a＝2，m＝，此時(shí)g(x)＝－在[0，＋∞)上為減函數(shù)，不合題意； 當(dāng)0 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的解題思路 (1)求解指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題 對(duì)指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得解． (2)求解指數(shù)型方程、不等式問(wèn)題 一些指數(shù)型方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解． (3)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先，要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問(wèn)題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決． 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按0＜a＜1和a＞1進(jìn)行分類(lèi)討論． (2014·山東濟(jì)寧三模，10)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是() A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0 B．a(chǎn)＜0，b≥0，c＞0 C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2 【答案】 D 作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖． ∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，結(jié)合圖象知f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故選D.1．(2015·黑龍江哈爾濱模擬，5)函數(shù)f(x)＝的圖象() A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 【答案】 D f(x)＝＝ex＋，∵f(－x)＝e－x＋＝ex＋＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)． 2．(2015·山東日照一模，5)若x∈(2，4)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，則a，b，c的大小關(guān)系是() A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c 【答案】 B ∵b＝(2x)2＝22x，∴要比較a，b，c的大小，只要比較當(dāng)x∈(2，4)時(shí)x2，2x，2x的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x2＞2x＞2x，則a＞c＞b.3．(2015·河北邯鄲質(zhì)檢，6)已知函數(shù)y＝kx＋a的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝ax＋k的圖象可能是() 【答案】 B 由函數(shù)y＝kx＋a的圖象可得k＜0，0＜a＜1，又因?yàn)榕cx軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，所以k>－1，所以－1 A．K的最大值為0 B．K的最小值為0 C．K的最大值為1 D．K的最小值為1 【答案】 D 根據(jù)題意可知，對(duì)于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，則f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可． 令2x＝t，則t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值為1，∴K≥1，故選D.5．(2014·吉林長(zhǎng)春模擬，12)已知直線y＝mx與函數(shù)f(x)＝的圖象恰好有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是() A．(，4) B．(，＋∞) C．(，5) D．(，2) 【答案】 B(數(shù)形結(jié)合法)作出函數(shù)f(x)＝的圖象，如圖所示． 直線y＝mx的圖象是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線．當(dāng)斜率m≤0時(shí)，直線y＝mx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m＞0時(shí)，直線y＝mx始終與函數(shù)y＝2－(x≤0)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，故要使直線y＝mx與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，必須使直線y＝mx與函數(shù)y＝x2＋1(x＞0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程mx＝x2＋1在x＞0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程x2－2mx＋2＝0的判別式Δ＝4m2－4×2＞0，解得m＞.故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，＋∞)．故選B.6．(2015·江蘇連云港一模，4)當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y＝(a－8)x的值恒大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】 由題意知，a－8＞1，解得a＞9.【答案】(9，＋∞) 7．(2015·河南信陽(yáng)質(zhì)檢，15)若不等式(m2－m)2x－＜1對(duì)一切x∈(－∞，－1]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】(m2－m)2x－＜1可變形為m2－m＜＋.設(shè)t＝，則原條件等價(jià)于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2時(shí)恒成立．顯然t＋t2在t≥2時(shí)的最小值為6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.【答案】(－2，3) 8．(2015·皖南八校聯(lián)考，15)對(duì)于給定的函數(shù)f(x)＝ax－a－x(x∈R，a＞0，a≠1)，下面給出五個(gè)命題，其中真命題是________．(只需寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)) ①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ②函數(shù)f(x)在R上不具有單調(diào)性； ③函數(shù)f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)； ④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(|x|)的最大值是0； ⑤當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(|x|)的最大值是0.【解析】 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，①真；當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在R上為減函數(shù)，②假；y＝f(|x|)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，③真；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝f(|x|)在(－∞，0)上為增函數(shù)，在[0，＋∞)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝f(|x|)的最大值為0，④真；當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，在[0，＋∞)上為增函數(shù)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝f(x)的最小值為0，⑤假，綜上，真命題是①③④.【答案】 ①③④ 1．(2015·四川，8，易)設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“3a>3b>3”是“l(fā)oga3 A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 B 由3a>3b>31，得a＞b>1，∴l(xiāng)og3a＞log3b＞0.由換底公式得，＞＞0，即loga3＜logb3.而由loga3 2．(2015·浙江，12，中)若a＝log43，則2a＋2－a＝________． 【解析】 ∵a＝log43＝log23，∴2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝(2log23)＋(2log23)－＝3＋3－＝＋＝.【答案】 3．(2015·福建，14，中)若函數(shù)f(x)＝(a>0，a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】 當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)＝－x＋6，此時(shí)f(x)∈[4，＋∞)． ∴當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝3＋logax的值域?yàn)閇4，＋∞)的子集． ①當(dāng)a<1時(shí)，不符合題意； ②當(dāng)a>1時(shí)，需滿足3＋loga2≥4，∴l(xiāng)oga2≥logaa，∴a≤2.綜上可得1 1．(2013·浙江，3，易)已知x，y為正實(shí)數(shù)，則() A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg (x＋y)＝2lg x·2lg y C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg (xy)＝2lg x·2lg y 【答案】 D 由指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故選D.2．(2014·福建，4，易)若函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是() 【答案】 B 由題圖可知y＝logax過(guò)點(diǎn)(3，1)，∴l(xiāng)oga3＝1，∴a＝3.對(duì)A，y＝在R上為減函數(shù)，錯(cuò)誤； 對(duì)B，y＝x3，符合； 對(duì)C，y＝－x3在R上為減函數(shù)，錯(cuò)誤； 對(duì)D，y＝log3(－x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，錯(cuò)誤． 3．(2013·課標(biāo)Ⅱ，8，中)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則() A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c 【答案】 D 由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象得log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故選D.4．(2014·四川，9，難)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．現(xiàn)有下列命題： ①f(－x)＝－f(x)；②f ＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正確命題的序號(hào)是() A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】 A ∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，∴①正確； ∵f ＝ln－ln ＝ln－ln，∵x∈(－1，1)，∴f ＝2ln(1＋x)－2ln(1－x) ＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，∴②正確； 當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，|f(x)|＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，2|x|＝2x，令g(x)＝ln－2x，則g′(x)＝≥0，∴g(x)在[0，1)上為增函數(shù)，∴g(x)≥g(0)＝0，即|f(x)|≥2|x|；當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，|f(x)|＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－ln，2|x|＝－2x，令h(x)＝2x－ln，則h′(x)＝＜0，∴h(x)在(－1，0)上為減函數(shù)，∴h(x)＞0，即|f(x)|＞2|x|.∴當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，|f(x)|≥2|x|，故③正確． 5．(2014·陜西，11，易)已知4a＝2，lg x＝a，則x＝________． 【解析】 ∵4a＝2，∴a＝，即lg x＝＝lg，∴x＝.【答案】 6．(2013·山東，16，難)定義“正對(duì)數(shù)”： ln＋x＝現(xiàn)有四個(gè)命題： ①若a＞0，b＞0，則ln＋(ab)＝bln＋a； ②若a＞0，b＞0，則ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b； ③若a＞0，b＞0，則ln＋≥ln＋a－ln＋b； ④若a＞0，b＞0，則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.其中的真命題有________．(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)) 【解析】 對(duì)于①，當(dāng)0＜ab＜1時(shí)，有 此時(shí)ln＋(ab)＝bln＋a＝0； 當(dāng)ab＝1時(shí)，有 此時(shí)ln＋(ab)＝bln＋a＝0； 當(dāng)ab＞1時(shí)，有 此時(shí)ln＋(ab)＝ln ab＝bln a，而bln＋a＝bln a＝ln＋(ab)，綜上，ln＋(ab)＝bln＋a，故①正確； 對(duì)于②，令a＝2，b＝，則ln＋(ab)＝ln＋＝0； 而ln＋a＋ln＋b＝ln 2＞0，故ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b不成立，故②錯(cuò)誤； 對(duì)于③，當(dāng)0＜＜1時(shí)，有 或或 經(jīng)驗(yàn)證，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立； 當(dāng)＞1時(shí)，有或 或 經(jīng)驗(yàn)證，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立； 當(dāng)＝1時(shí)，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立，故③正確； 對(duì)于④，分四種情況進(jìn)行討論： 若a＋b<1，則ln＋(a＋b)＝ln＋a＝ln＋b＝0，故ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2； 若a＋b≥1，則ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)； 若a>1，0 2＝ln a＋ln 2＝ln 2a>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)； 若a>1，b>1，則ln＋a＋ln＋b＋ln 2＝ln a＋ln b＋ln 2＝ln 2ab，又(a＋b)－2ab＝a(1－b)＋b(1－a)<0，故a＋b<2ab，因此ln＋a＋ln＋b＋ln 2>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)． 綜上，ln＋a＋ln＋b＋ln 2≥ln＋(a＋b)，故④正確． 所以命題①③④為真命題． 【答案】?、佗邰?/p> 考向1 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì) 性質(zhì) ①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N(a＞0且a≠1) 換底公式 公式：logab＝(a，c均大于零且不等于1，b＞0).推論：①logab＝；②loganbn＝logab；③loganbm＝logab 運(yùn)算性質(zhì) 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及有關(guān)公式都是在式子中所有的對(duì)數(shù)符號(hào)有意義的前提下才成立的，不能出現(xiàn)log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等錯(cuò)誤． (1)(2013·四川，11)lg＋lg的值是________． (2)(2014·安徽，11)＋log3＋log3＝________.【解析】(1)lg ＋lg＝lg＝lg 10＝1.(2)原式＝＋log3＝＋log31＝.【答案】(1)1(2) 對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路 (1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并． (2)將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算． (2013·陜西，3)設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是() A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】 B 利用對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行驗(yàn)證，logab·logca＝·logca＝logcb，故B正確． 考向2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a＞1 0＜a＜1 圖象 性質(zhì) 定義域：(0，＋∞) 值域：R 過(guò)點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0 當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0 當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0 是(0，＋∞)上的增函數(shù) 是(0，＋∞)上的減函數(shù) 2．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn) (1)當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì)； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢(shì)． (2)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限． (3)在直線x＝1的右側(cè)，當(dāng)a＞1時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”． 3．常見(jiàn)的結(jié)論 (1)函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)； (2)函數(shù)y＝ax與y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)． (1)(2013·湖南，5)函數(shù)f(x)＝2ln x的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為() A．3 B．2 C．1 D．0 (2)(2014·重慶，12)函數(shù)f(x)＝log2·log(2x)的最小值為_(kāi)_______． 【思路導(dǎo)引】 題(1)畫(huà)出f(x)與g(x)的圖象，根據(jù)特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，判斷兩圖象的位置關(guān)系，從而判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；題(2)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)換元化歸為二次函數(shù)求最值． 【解析】(1)在同一直角坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)f(x)＝2ln x與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的圖象，如圖所示． ∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(2)依題意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，當(dāng)且僅當(dāng)log2x＝－，即x＝時(shí)等號(hào)成立，因此函數(shù)f(x)的最小值為－.【答案】(1)B(2)－ 1.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類(lèi)問(wèn)題 (1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解． (2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解． 2．與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題的求解策略 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問(wèn)題，首先要確定函數(shù)的定義域，所有問(wèn)題必須在定義域內(nèi)討論；其次分析底數(shù)與1的大小關(guān)系，底數(shù)大于1與底數(shù)小于1的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)截然不同；最后考慮復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，分析它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的． (2015·山東威海月考，13)已知a＞0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 【解析】 由已知可得ax2－x＞0在[3，4]上恒成立，故9a－3＞0，解得a＞.若0＜a＜1，則y＝logat在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由題意知t＝ax2－x在[3，4]上為減函數(shù)，故≥4，解得a≤，這與a＞矛盾，不合題意； 若a＞1，則y＝logat在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由題意知t＝ax2－x在[3，4]上為增函數(shù)，故≤3，解得a≥，因?yàn)閍＞1，所以a的取值范圍是(1，＋∞)． 【答案】(1，＋∞) 考向3 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 (1)(2014·遼寧，3)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，則() A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．c>b>a (2)(2012·課標(biāo)全國(guó)，11)當(dāng)0 A.B.C．(1，) D．(，2) 【思路導(dǎo)引】 解題(1)的關(guān)鍵是掌握比較實(shí)數(shù)大小的方法；解題(2)的關(guān)鍵是尋找臨界位置，畫(huà)出兩者圖象，數(shù)形結(jié)合求解． 【解析】(1)由于0<2－<20，所以0 又當(dāng)x＝時(shí)，4＝2，即函數(shù)y＝4x的圖象過(guò)點(diǎn)，把點(diǎn)代入函數(shù)y＝logax，得a＝，若函數(shù)y＝4x的圖象在函數(shù)y＝logax圖象的下方，則需 當(dāng)a>1時(shí)，不符合題意，舍去． 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】(1)C(2)B 1.對(duì)數(shù)值大小比較的主要方法 (1)化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性； (2)化同真數(shù)后利用圖象比較； (3)借用中間量(0或1等)進(jìn)行估值比較． 2．解決不等式有解或恒成立問(wèn)題的方法 對(duì)于較復(fù)雜的不等式有解或恒成立問(wèn)題，可借助函數(shù)圖象解決，具體做法為： (1)對(duì)不等式變形，使不等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)兩函數(shù)f(x)，g(x)； (2)在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)y＝f(x)及y＝g(x)的圖象； (3)比較當(dāng)x在某一范圍內(nèi)取值時(shí)圖象的上下位置及交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定參數(shù)的取值或解的情況． (2013·課標(biāo)Ⅰ，11)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是() A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] 【答案】 D ∵|f(x)|＝ ∴由|f(x)|≥ax，分兩種情況： ①恒成立，可得a≥x－2恒成立，則a≥(x－2)max，即a≥－2，排除選項(xiàng)A，B.②恒成立，根據(jù)函數(shù)圖象可知a≤0.綜合①②得－2≤a≤0，故選D.1．(2015·山東日照質(zhì)檢，3)2lg 2－lg的值為() A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 2lg 2－lg＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.2．(2015·浙江溫州三模，5)函數(shù)y＝的值域?yàn)?) A．(0，3) B．[0，3] C．(－∞，3] D．[0，＋∞) 【答案】 D 當(dāng)x＜1時(shí)，0＜3x＜3；當(dāng)x≥1時(shí)，log2x≥log21＝0，所以函數(shù)的值域?yàn)閇0，＋∞)． 3．(2015·江西吉安模擬，5)如果logx＜logy＜0，那么() A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 【答案】 D 因?yàn)閥＝logx在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以x＞y＞1.4．(2015·遼寧沈陽(yáng)質(zhì)檢，5)已知函數(shù)f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則() A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) 【答案】 B 因?yàn)閒(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)． 又函數(shù)f(x)＝loga|x|為偶函數(shù)，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)． 5．(2015·河北滄州一模，7)已知關(guān)于x的方程＝有正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A．(0，1) B．(0.1，10) C．(0.1，1) D．(10，＋∞) 【答案】 C 當(dāng)x＞0時(shí)，0＜＜1，∵關(guān)于x的方程＝有正根，∴0＜＜1，∴解得－1＜lg a＜0，∴0.1＜a＜1.故選C.6．(2014·廣東廣州一模，6)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是() A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1 C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1 【答案】 A 令g(x)＝2x＋b－1，這是一個(gè)增函數(shù)，而由圖象可知函數(shù)f(x)＝loga[g(x)]是單調(diào)遞增的，所以必有a＞1.又由圖象知函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)介于－1和0之間，即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.故選A.方法點(diǎn)撥：已知對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象研究其解析式及解析式中所含參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，通常是觀察圖象，獲得函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性、經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)等，以此為突破口． 7．(2015·山西大同二模，13)若f(x)＝ax－，且f(lg a)＝，則a＝________.【解析】 f(lg a)＝alg a－＝＝，∴alg a＝(10a)，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得(lg a)2＝(1＋lg a)，∴2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－，∴a＝10或a＝.【答案】 10或 8．(2015·湖北十堰聯(lián)考，14)若函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)(a＞0，a≠1)在區(qū)間(1，3)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是________． 【解析】 ∵f(x)＝loga(2－ax)，∴令y＝logat，t＝2－ax，∵a>0且a≠1，x∈(1，3)，∴t在(1，3)上單調(diào)遞減，∵f(x)＝loga(2－ax)在區(qū)間(1，3)內(nèi)單調(diào)遞增，∴函數(shù)y＝logat是減函數(shù)，且2－ax＞0在(1，3)上恒成立，∴x 9．(2015·河南安陽(yáng)模擬，15)已知函數(shù)f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則a＋b＋c的取值范圍為_(kāi)_______． 【解析】 畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如圖． 不妨令a＜b＜c，由已知和圖象可知，0＜a＜1＜b＜e＜c＜e2.∵－ln a＝ln b，∴ab＝1.∵ln b＝2－ln c，∴bc＝e2，∴a＋b＋c＝b＋(1 10．(2014·安徽合肥模擬，13)若不等式x2－logax＜0在內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是________． 【解析】 ∵不等式x2－logax＜0，即x2 易錯(cuò)點(diǎn)撥：本題易忽視≤loga中的等號(hào)而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 1．(2015·四川，9，中)如果函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為() A．16 B．18 C．25 D.【答案】 B ∵f ′(x)＝(m－2)x＋(n－8)，要使f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足f ′(x)≤0在上恒成立，則f ′(x)max≤0.當(dāng)m≥2時(shí)，f ′(x)max＝2m－4＋n－8≤0恒成立，∴2m＋n≤12.∴mn＝×2mn≤×≤18，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝n，2m＋n＝12，即m＝3，n＝6時(shí)，等號(hào)成立； 當(dāng)0≤m＜2時(shí)，f ′(x)max＝(m－2)×＋(n－8)≤0恒成立，∴m＋2n≤18，∴mn＝×2mn≤×≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2n，m＋2n＝18，即n＝，m＝9時(shí)，等號(hào)成立，而m＝9與0≤m＜2矛盾，故不符合題意． 綜上可知，mn的最大值為18.故選B.2．(2015·浙江，18，15分，中)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[－1，1]上的最大值． (1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2； (2)當(dāng)a，b滿足M(a，b)≤2時(shí)，求|a|＋|b|的最大值． 解：(1)證明：由f(x)＝＋b－，得對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－.由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上單調(diào)，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}． 當(dāng)a≥2時(shí)，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.當(dāng)a≤－2時(shí)，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.綜上，當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2.(2)由M(a，b)≤2得 |1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝ |f(－1)|≤2，故 |a＋b|≤3，|a－b|≤3.由|a|＋|b|＝得 |a|＋|b|≤3.當(dāng)a＝2，b＝－1時(shí)，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值為2，即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值為3.1．(2013·重慶，3，易)(－6≤a≤3)的最大值為() A．9 B.C．3 D.【答案】 B 易知函數(shù)y＝(3－a)(a＋6)＝－a2－3a＋18的兩個(gè)零點(diǎn)是3，－6，對(duì)稱(chēng)軸為a＝－，y＝－a2－3a＋18的最大值為f＝，則的最大值為，故選B.2．(2013·江蘇，13，難)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為_(kāi)_______． 【解析】 設(shè)P，則 |PA|2＝(x－a)2＋ ＝－2a＋2a2－2，令t＝x＋≥2(x＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”)，則|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.①當(dāng)a≤2時(shí)，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，由題意知，2a2－4a＋2＝8，解得a＝－1或a＝3(舍)． ②當(dāng)a＞2時(shí)，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.由題意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍)． 綜上知a＝－1或.【答案】?。?或 3．(2014·遼寧，16，難)對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大時(shí)，－＋的最小值為_(kāi)_______． 【解析】 設(shè)2a＋b＝t，則2a＝t－b.由已知得關(guān)于b的方程(t－b)2－b(t－b)＋4b2－c＝0有解，即6b2－3tb＋t2－c＝0有解． 故Δ＝9t2－24(t2－c)≥0，所以t2≤c，所以|t|max＝，此時(shí)c＝t2，b＝t，2a＝t－b＝，所以a＝.故－＋＝－＋ ＝8＝8－2≥－2.【答案】 －2 思路點(diǎn)撥：先換元，利用方程的判別式求出|2a＋b|取最大值的條件，再消去字母，配方處理． 考向1 二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用 1．二次函數(shù)解析式的三種形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，其中(h，k)為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)． (3)兩點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 2．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象(拋物線) 定義域 R 值域 對(duì)稱(chēng)軸 x＝－ 頂點(diǎn)坐標(biāo) 奇偶性 當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù) 單調(diào)性 在上是減函數(shù)； 在上是增函數(shù) 在上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù) 最值 當(dāng)x＝－時(shí)，當(dāng)x＝－時(shí)，ymin＝ ymax＝ 二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式統(tǒng)稱(chēng)為三個(gè)“二次”．它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是其核心．因此，利用二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合是探求這類(lèi)問(wèn)題的基本策略． (1)(2013·遼寧，12)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝() A．a(chǎn)2－2a－16 B．a(chǎn)2＋2a－16 C．－16 D．16 (2)(2012·福建，15)對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________． 【思路導(dǎo)引】 解題(1)的方法是數(shù)形結(jié)合，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，由圖象求解；解題(2)時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，同時(shí)注意二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性及基本不等式的應(yīng)用． 【解析】(1)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)與g(x)的圖象如圖． 由圖象及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值為g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.(2)由定義可知，f(x)＝作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示． 設(shè)y＝m與y＝f(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大分別為x1，x2，x3.由y＝－x2＋x＝－＋得頂點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)y＝時(shí)，代入y＝2x2－x，得＝2x2－x，解得x＝(舍去正值)，∴x1∈.又∵y＝－x2＋x的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，∴x2＋x3＝1，且x2，x3＞0，∴0＜x2x3＜＝.又∵0＜－x1＜，∴0＜－x1x2x3＜，∴＜x1x2x3＜0.【答案】(1)C(2) 與二次函數(shù)圖象有關(guān)問(wèn)題的求解策略 (1)識(shí)別二次函數(shù)的圖象主要從開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值這幾個(gè)方面入手． (2)用數(shù)形結(jié)合法解決與二次函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要盡量規(guī)范作圖，尤其是圖象的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸及與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要標(biāo)清楚，這樣在解題時(shí)才不易出錯(cuò)． (2015·河南鶴壁質(zhì)檢，6)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正確的是() A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】 B 因?yàn)閳D象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確； 對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯(cuò)誤； 結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯(cuò)誤； 由對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開(kāi)口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確． 考向2 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值 (2015·山西陽(yáng)泉模擬，17，12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 【思路導(dǎo)引】 解本題的關(guān)鍵是判斷二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與所在區(qū)間的關(guān)系，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解． 【解析】?、佼?dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x在[0，1]上遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象的開(kāi)口方向向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x＝.當(dāng)≤1，即a≥1時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象的對(duì)稱(chēng)軸在[0，1]內(nèi)，∴f(x)在上遞減，在上遞增． ∴f(x)min＝f ＝－＝－.當(dāng)>1，即0 ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③當(dāng)a<0時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象的開(kāi)口方向向下，且對(duì)稱(chēng)軸x＝<0，在y軸的左側(cè)，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上遞減． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.綜上所述，f(x)min＝ 求二次函數(shù)在給定區(qū)間上最值的方法 二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨設(shè)a>0)在區(qū)間[m，n]上的最大或最小值的求法如下： (1)當(dāng)－∈[m，n]，即對(duì)稱(chēng)軸在所給區(qū)間內(nèi)時(shí)，f(x)的最小值在對(duì)稱(chēng)軸處取得，其最小值是f ＝；若－≤，f(x)的最大值為f(n)；若－≥，f(x)的最大值為f(m)． (2)當(dāng)－?[m，n]，即給定的區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的一側(cè)時(shí)，f(x)在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)．若－ (3)當(dāng)不能確定對(duì)稱(chēng)軸－是否屬于區(qū)間[m，n]時(shí)，則需分類(lèi)討論，以對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系確定討論的標(biāo)準(zhǔn)，然后轉(zhuǎn)化為上述(1)(2)兩種情形求最值． 若將典型例題2中的函數(shù)改為f(x)＝x2－2ax，其他不變，應(yīng)如何求解？ 解：∵f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，對(duì)稱(chēng)軸為x＝a.①當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在[0，1]上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(0)＝0.②當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)min＝f(a)＝－a2.③當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)在[0，1]上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝1－2a.綜上所述，f(x)min＝ 考向3 冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用 1．五種冪函數(shù)的圖象 2．五種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 特征 性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 當(dāng)x∈[0，＋∞) 時(shí)，增； 當(dāng)x∈(－∞，0] 時(shí)，減 增 增 當(dāng)x∈(0，＋∞) 時(shí)，減； 當(dāng)x∈(－∞，0) 時(shí)，減 定點(diǎn) (0，0)，(1，1) (1，1) (1)(2014·浙江，7)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的圖象可能是() (2)(2011·北京，13)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________． 【思路導(dǎo)引】 解題(1)的關(guān)鍵是掌握冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特征及性質(zhì)；解題(2)的方法是作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解． 【解析】(1)因?yàn)閍＞0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故A不符合；在B中，由f(x)的圖象知a＞1，由g(x)的圖象知0＜a＜1，矛盾，故B不符合；在C中，由f(x)的圖象知0＜a＜1，由g(x)的圖象知a＞1，矛盾，故C不符合；在D中，由f(x)的圖象知0＜a＜1，由g(x)的圖象知0＜a＜1，相符． (2)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖． 則當(dāng)0＜k＜1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根． 【答案】(1)D(2)(0，1) 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題的解題策略 (1)關(guān)于圖象辨識(shí)問(wèn)題，關(guān)鍵是熟悉各類(lèi)冪函數(shù)的圖象特征，如過(guò)特殊點(diǎn)、凹凸性等． (2)關(guān)于比較冪值大小問(wèn)題，結(jié)合冪值的特點(diǎn)利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化成同指數(shù)冪，選擇適當(dāng)?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較或應(yīng)用． (3)在解決冪函數(shù)與其他函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)及近似解等問(wèn)題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合的思想方法，即在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解． (2014·山東濰坊模擬，13)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關(guān)系是________． 【解析】 如圖所示為函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的圖象，由此可知，h(x)＞g(x)＞f(x)． 【答案】 h(x)＞g(x)＞f(x) 1．(2015·四川成都一模，5)方程|x2－2x|＝a2＋1(a∈(0，＋∞))的解有() A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】 B ∵a∈(0，＋∞)，∴a2＋1＞1，∴y＝|x2－2x|的圖象與直線y＝a2＋1總有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程有兩解，故選B.2．(2015·河北衡水二模，10)函數(shù)y＝x－x的圖象大致為() 【答案】 A 由題意知函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以排除C，D；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，當(dāng)x＝8時(shí)，y＝8－＝8－2＝6＞0，排除B，故選A.3．(2015·江西九江模擬，6)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，則下列說(shuō)法正確的是() A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系不能確定 【答案】 A ∵1 4．(2015·甘肅蘭州模擬，6)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，給出以下結(jié)論： ①x1 f (x1)＞x2 f (x2)；②x1 f (x1)＜x2f (x2)； ③＞；④＜.其中正確結(jié)論的序號(hào)是() A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】 D 設(shè)函數(shù)f(x)＝xα，由點(diǎn)在函數(shù)圖象上得＝，解得α＝.故f(x)＝x.故g(x)＝xf(x)＝x為(0，＋∞)上的增函數(shù)，故①錯(cuò)誤，②正確；而h(x)＝＝x－為(0，＋∞)上的減函數(shù)，故③正確，④錯(cuò)誤． 5．(2014·湖北武漢質(zhì)檢，7)設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)＞f(1)的解集是() A．(－3，1)∪(3，＋∞) B．(－3，1)∪(2，＋∞) C．(－1，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，3) 【答案】 A 方法一(分類(lèi)討論)：∵f(1)＝12－4×1＋6＝3，∴? ?0≤x＜1或x＞3； ??－3＜x＜0.∴f(x)＞f(1)的解集為(－3，1)∪(3，＋∞)，故選A.方法二(圖象法)：∵f(1)＝3，畫(huà)出f(x)的圖象，如圖所示，易知f(x)＝3時(shí)，x＝－3，1，3.故f(x)＞f(1)?－3＜x＜1或x＞3.6．(2015·天津質(zhì)檢，13)當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則m的取值范圍是________． 【解析】 方法一：設(shè)f(x)＝x2＋mx＋4，當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f(x)＜0恒成立???m≤－5.方法二：∵不等式x2＋mx＋4＜0對(duì)x∈(1，2)恒成立，∴mx＜－x2－4對(duì)x∈(1，2)恒成立，即m＜－對(duì)x∈(1，2)恒成立，令y＝x＋，則函數(shù)y＝x＋在(1，2)上是減函數(shù)，∴4＜y＜5，∴－5＜－＜－4，∴m≤－5.【答案】(－∞，－5] 7．(2015·河南南陽(yáng)質(zhì)檢，16)已知對(duì)于任意的自然數(shù)n，拋物線y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1與x軸相交于An，Bn兩點(diǎn)，則|A1B1|＋|A2B2|＋|A3B3|＋…＋|A2 014B2 014|＝________.【解析】 令(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AnBn|＝ ＝＝ ＝－，因此|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 014B2 014|＝＋＋…＋＝1－＝.【答案】 思路點(diǎn)撥：解題時(shí)可先利用根與系數(shù)的關(guān)系和兩點(diǎn)間距離公式，求出|AnBn|，再利用裂項(xiàng)法求和． (時(shí)間：90分鐘__分?jǐn)?shù)：120分) 一、選擇題(共10小題，每小題5分，共50分) 1．(2014·天津，4)設(shè)a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，則() A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a 【答案】 C ∵π＞2，∴l(xiāng)og2π＞1.∵π＞1，∴b＝logπ＜0.又π＞1，∴0＜π－2＜1，即0＜c＜1，∴a＞c＞b.思路點(diǎn)撥：利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出a，b，c的取值范圍，然后再比較大?。?/p> 2．(2012·安徽，3)(log29)·(log34)＝() A.B.C．2 D．4 【答案】 D(log29)·(log34)＝2(log23)·2(log32)＝4log23·log32＝4.3．(2014·四川，7)已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是() A．d＝ac B．a(chǎn)＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 【答案】 B ∵log5b＝a，lg b＝c，∴5a＝b，b＝10c.又5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5dc，∴a＝cd.4．(2015·河北唐山質(zhì)檢，5)已知函數(shù)h(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上是單調(diào)函數(shù)，則k的取值范圍是() A．(－∞，40] B．[160，＋∞) C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．? 【答案】 C 函數(shù)h(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，要使h(x)在[5，20]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有≤5或≥20，即k≤40或k≥160，故選C.5．(2015·遼寧沈陽(yáng)模擬，6)函數(shù)f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)A，下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的是() A．y＝ B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) 【答案】 A 函數(shù)f(x)＝ax－1的圖象恒過(guò)點(diǎn)A(1，1)，對(duì)函數(shù)y＝來(lái)說(shuō)，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，其余函數(shù)圖象均過(guò)點(diǎn)(1，1)． 6．(2015·河南洛陽(yáng)模擬，4)下面給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對(duì)應(yīng)是() A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 【答案】 B?、诘膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，②應(yīng)為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)C，D.①由圖象知，在第一象限內(nèi)，圖象下凸，遞增的較快，所以冪函數(shù)的指數(shù)大于1，故排除A.選B.7．(2015·廣東深圳三模，7)已知函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，f(x)＝g(x－2)，且當(dāng)x≠2時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f ′(x)滿足(x－2) f ′(x)＞0.若1＜a＜3，則() A．f(4a)＜f(3)＜f(log3a) B．f(3)＜f(log3a)＜f(4a) C．f(log3a)＜f(3)＜f(4a) D．f(log3a)＜f(4a)＜f(3) 【答案】 B ∵(x－2)f ′(x)＞0，∴x＞2時(shí)，f ′(x)＞0，x＜2時(shí)，f ′(x)＜0.∴f(x)在(2，＋∞)上遞增，在(－∞，2)上遞減．∵g(x)是偶函數(shù)，∴g(x－2)關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)，即f(x)關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)．∵1＜a＜3，∴f(3)＜f(log3a)＜f(4a)． 8．(2015·山東德州聯(lián)考，8)若函數(shù)f(x)，g(x)分別為R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有() A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2) C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3) 【答案】 D ∵f(x)－g(x)＝ex且f(x)，g(x)分別為R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，∴f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，解得f(x)＝，g(x)＝－.易知f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(3)＞f(2)＞f(0)＝0.又g(0)＝－1，∴g(0)＜f(2)＜f(3)，故選D.9．(2014·湖北黃岡一模，9)已知函數(shù)f(x)＝|log2x|，正實(shí)數(shù)m，n滿足m＜n，且f(m)＝f(n)．若f(x)在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2，則m，n的值分別為() A.，2 B.，4 C.，D.，4 【答案】 A(數(shù)形結(jié)合求解)f(x)＝|log2x|＝ 根據(jù)f(m)＝f(n)(m＜n)及f(x)的單調(diào)性，知mn＝1且0＜m＜1，n＞1.又f(x)在[m2，n]上的最大值為2，由圖象知：f(m2)＞f(m)＝f(n)，∴f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]． 故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.10．(2015·安徽六安高三調(diào)研，10)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)不同點(diǎn)M，N滿足條件： ①M(fèi)，N都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上； ②M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)[M，N]為函數(shù)y＝f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”．(注：點(diǎn)對(duì)[M，N]與[N，M]為同一“友好點(diǎn)對(duì)”) 已知函數(shù)f(x)＝此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有() A．0對(duì) B．1對(duì) C．2對(duì) D．3對(duì) 【答案】 C 由題意，當(dāng)x>0時(shí)，將f(x)＝log3x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后可知，g(x)＝－log3(－x)(x<0)的圖象與x≤0時(shí)f(x)＝－x2－4x的圖象存在兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，故“友好點(diǎn)對(duì)”的數(shù)量為2，故選C.二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分) 11．(2015·湖北鄂州統(tǒng)考，13)已知2a＝5b＝，則＋＝________.【解析】 ∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，∴＋＝＋＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.【答案】 2 12．(2015·湖南株洲模擬，13)已知函數(shù)f(x)＝則f(log23)的值為_(kāi)_______． 【解析】 ∵log23＜log24＝2，∴f(log23)＝f(1＋log23)＝f(log26)＝log26＝.【答案】 13．(2015·山東臨沂一模，13)已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍是________． 【解析】 ∵f(a)＞－1，∴g(b)＞－1，∴－b2＋4b－3＞－1，∴b2－4b＋2＜0，∴2－＜b＜2＋.【答案】(2－，2＋) 14．(2014·陜西咸陽(yáng)模擬，14)已知函數(shù)f(x)＝關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合下面函數(shù)圖象可知a＞1.【答案】(1，＋∞) 三、解答題(共4小題，共50分) 15．(12分)(2015·湖北十校聯(lián)考，17)已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常量，且a＞0，a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，6)，B(3，24)． (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1，6)，B(3，24)，∴ ∴a2＝4.又a＞0，∴a＝2，∴b＝3.∴f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，則x∈(－∞，1]時(shí)，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]時(shí)恒成立． 又∵y＝與y＝均為減函數(shù)，∴y＝＋也是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范圍是.16．(12分)(2015·湖南長(zhǎng)沙模擬，18)已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，當(dāng)x∈[－1，0)時(shí)，f(x)＝－.(1)求函數(shù)f(x)在[0，1]上的值域； (2)若x∈(0，1]，g(x)＝f2(x)－f(x)＋1的最小值為－2，求實(shí)數(shù)λ的值． 解：(1)設(shè)x∈(0，1]，則－x∈[－1，0)，∴f(－x)＝－＝－2x.又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝2x，∴f(x)∈(1，2]．又f(0)＝0，∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1，2]∪{0}． (2)由(1)知，當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)∈(1，2]，∴f(x)∈.令t＝f(x)，則＜t≤1，g(t)＝f2(x)－f(x)＋1＝t2－λt＋1 ＝＋1－.①當(dāng)≤，即λ≤1時(shí)，g(t)＞g，無(wú)最小值． ②當(dāng)＜≤1，即1＜λ≤2時(shí)，g(t)min＝g＝1－＝－2，解得λ＝±2(舍去)． ③當(dāng)＞1，即λ＞ 2時(shí)，g(t)min＝g(1)＝2－λ＝－2，解得λ＝4.綜上所述λ＝4.17．(12分)(2014·安徽阜陽(yáng)高三聯(lián)考，18)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C(x)＝x2＋10x(萬(wàn)元)；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C(x)＝51x＋－1 450(萬(wàn)元)．每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元．通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完． (1)寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式； (2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這種商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？ 解：(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為0.05萬(wàn)元，則x千件商品銷(xiāo)售額為0.05×1 000x萬(wàn)元，依題意得，當(dāng)0 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.當(dāng)x≥80時(shí)，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－.所以L(x)＝ (2)當(dāng)0 當(dāng)x≥80時(shí)，L(x)＝1 200－ ≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000.此時(shí)，當(dāng)x＝，即x＝100時(shí)，L(x)取得最大值1 000萬(wàn)元．因?yàn)?50<1 000，所以，當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這種商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1 000萬(wàn)元． 18．(14分)(2015·福建泉州模擬，20)已知函數(shù)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，f(x)＝g(|x|)． (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)若不等式f(log2k)>f(2)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； (3)定義在[p，q]上的一個(gè)函數(shù)m(x)，用分法T： p＝x0 |m(xi)－m(xi－1)|≤M恒成立，則稱(chēng)函數(shù)m(x)為[p，q]上的有界變差函數(shù)．試判斷函數(shù)f(x)是否為[1，3]上的有界變差函數(shù)．若是，求M的最小值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因?yàn)閍>0，所以g(x)在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故解得 (2)由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x2－2|x|＋1為偶函數(shù)，所以不等式f(log2k)>f(2)可化為|log2k|>2，解得k>4或0 (3)函數(shù)f(x)為[1，3]上的有界變差函數(shù)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[1，3]上單調(diào)遞增，且對(duì)任意劃分T： 1＝x0 |f(xi)－f(xi－1)|＝f(x1)－f(x0)＋f(x2)－f(x1)＋…＋f(xn)－f(xn－1)＝f(xn)－f(x0)＝f(3)－f(1)＝4，所以存在常數(shù)M≥4，使得|f(xi)－f(xi－1)|≤M成立，所以M的最小值為4.
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