第一篇：高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析教案34 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本公式應(yīng)用

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http://004km.cn,(n∈N*)nnnn命題意圖：培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識(shí)體系中知識(shí)點(diǎn)靈活融合的能力.屬 ★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：通過(guò)對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維.由求導(dǎo)公式(xn)′=nxn－1,可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù).關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu).錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生易犯思維定勢(shì)的錯(cuò)誤，受此影響而不善于聯(lián)想.技巧與方法：第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導(dǎo).解：(1)當(dāng)x=1時(shí) Sn=1+2+3+…+n=當(dāng)x≠1時(shí)，∵x+x+x+…+x=23n12n(n+1);x?xn?11?xx?x, 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得(x+x+x+…+x)′=(223n

n?11?xn－1)′

1?(n?1)x?nx(1?x)n

2nn?1即Sn=1+2x+3x+…+nxn

=

2n(2)∵(1+x)=1+C1nx+Cnx+…+Cnx，2兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得

232nn－1n(1+x)n－1=C1, n+2Cnx+3Cnx+…+nCnx令x=1得，n·2n－1

23n=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn, 2n即Sn=C1n+2Cn+…+nCn=n·2

n－1



●錦囊妙計(jì)

1.深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解用定義求簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù).京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn ?y?x表示函數(shù)的平均改變量，它是Δx的函數(shù)，而f′(x0)表示一個(gè)數(shù)值，即f′?y?x(x)=lim?x?0，知道導(dǎo)數(shù)的等價(jià)形式：limf(x0??x)?f(x0)?x?x?0?limf(x)?f(x0)x?x0?x?x0?f?(x0).

2.求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過(guò)程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是順利求導(dǎo)的關(guān)鍵.3.對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤.4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán).必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)y=esinxcos(sinx)，則y′(0)等于（）A.0

B.1

x?9x?5 C.－1

D.2 2.(★★★★)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)y=A.x+y=0或C.x+y=0或x25x25相切的方程是（）

B.x－y=0或D.x－y=0或

x25x25+y=0 －y=0

+y=0 －y=0

二、填空題

3.(★★★★)若f′(x0)=2,limk?0f(x0?k)?f(x0)2k =_________.4.(★★★★)設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),則f′(0)=_________.三、解答題

225.(★★★★)已知曲線(xiàn)C1:y=x與C2:y=－(x－2),直線(xiàn)l與C1、C2都相切，求直線(xiàn)l的方程.6.(★★★★)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=3x1?x.7.(★★★★)有一個(gè)長(zhǎng)度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開(kāi)墻腳滑動(dòng)，求當(dāng)其下端離開(kāi)墻腳1.4 m時(shí)，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和Sn=1+2x+3x+…+nx,(x≠0,n∈N).參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：由l過(guò)原點(diǎn)，知k=

y0x0

2222

2n－

1*

(x0≠0),點(diǎn)(x0,y0)在曲線(xiàn)C上，y0=x03－3x02+2x0，京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn ∴y0x0=x02－3x0+2 2

2y′=3x－6x+2,k=3x0－6x0+2 又k=y0x0,∴3x0－6x0+2=x0－3x0+2

32222x0－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=∴y0=(∴k=3232322)+2·2)－3(1

4332=－

y0x0=－

143238∴l(xiāng)方程y=－x 切點(diǎn)(sinx，－)

0殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：y′=e答案：B

［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e(1－0)=1 2.解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線(xiàn)的斜率為k=

y0x0,另一方面，y′=（x?9x?5)′=

?4(x?5)2,故

y′(x0)=k,即?4(x0?5)2?y0x0?x0?9x0(x0?5)或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,對(duì)應(yīng)有y0=3,y0=(1)(2)?15?9?15?5?35,因此得兩個(gè)切點(diǎn)A(－3，3)或B(－15,35),從而得y′(A)=

?4(?3?5)x253 =－1及y′(B)=

答案：A ?4(?15?5)2??125 ,由于切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，故得切線(xiàn)：lA:y=－x或lB:y=－.二、3.解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f′(x0)=limk?0f[(x0?(?k)]?f(x0)?k](這時(shí)?x??k)?lim??f(x0?k)?f(x0)2klimk?0k?0?lim[?k?01212?f(x0?k)?f(x0)?k12f(x0?k)?f(x0)?k

??f?(x0)??1答案：－1 4.解析：設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),則f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！

答案：n!

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三、5.解：設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1,x1),與C2相切于Q(x2,－(x2－2))對(duì)于C1：y′=2x,則與C1相切于點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為

y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①

2對(duì)于C2：y′=－2(x－2),與C2相切于點(diǎn)Q的切線(xiàn)方程為y+(x2－2)=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4

②

∵兩切線(xiàn)重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x1=x2－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0 ∴直線(xiàn)l方程為y=0或y=4x－4 6.解：(1)注意到y(tǒng)＞0,兩端取對(duì)數(shù)，得

22x2lny=ln(x－2x+3)+lne=ln(x－2x+3)+2x

?1y?y??(x?2x?3)?x?2x?3222222

?2?22x?2x?2x?32?2?22(x?x?2)x?2x?32x22?y??22(x?x?2)x?2x?32x?y?2(x?x?2)x?2x?32?(x?2x?3)?e

?2(x?x?2)?e(2)兩端取對(duì)數(shù)，得 ln|y|=13(ln|x|－ln|1－x|), 兩邊解x求導(dǎo)，得

1y?y??111?111(?)?3x1?x3x(1?x)?1?y?13x(1?x)3?y??x1?x

3x(1?x)27.解：設(shè)經(jīng)時(shí)間t秒梯子上端下滑s米,則s=5－25?9t,當(dāng)下端移開(kāi)1.4 m時(shí)，t0=1?43?715,又s′=－12(25－9t)

?12·(－9·2t)=9t

125?9t2,所以s′(t0)=9×715?125?9?(715)2=0.875(m/s)8.解：(1)當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+…+n=1?(n?1)x?nx(1?x)2nn?12222

16n(n+1)(2n+1),當(dāng)x≠1時(shí)，1+2x+3x+…+nx

2n-1=,兩邊同乘以x,得

x+2x+3x+…+nx=22nx?(n?1)xn?12?nxn?2(1?x)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1 =1?x?(n?1)x?(2n?2n?1)x(1?x)32n2n?1?nx2n?2

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第二篇：2014高考數(shù)學(xué)考前20天沖刺 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

2014高考數(shù)學(xué)考前20天沖刺

導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

1．若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A．(0，1)B．(－∞，1)

C．(0，＋∞)?1D.?0，?2?

解析：選D.∵f(x)＝x3－6bx＋3b，∴f′(x)＝3x2－6b，令f′(x)＝0，即3x2－6b＝0，∴x＝±2b(b＞0)，∵f(x)在(0，1)內(nèi)有極小值，∴02b＜1，1∴0＜b＜，∴選D.2

12．已知某生產(chǎn)廠(chǎng)家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y3

＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠(chǎng)家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()

A．13萬(wàn)件B．11萬(wàn)件

C．9萬(wàn)件D．7萬(wàn)件

1解析：選C.∵y＝－＋81x－234(x＞0)，3

∴y′＝－x2＋81，令y′＝0，即－x2＋81＝0，解得：x＝9或x＝－9(舍)，當(dāng)x∈(0，9)時(shí)，y′＞0，函數(shù)y在(0，9)上為增函數(shù)，當(dāng)x∈(9，＋∞)時(shí)，y′＜0，函數(shù)y在(9，＋∞)上為減函數(shù)，∴函數(shù)在x＝9時(shí)取得極大值，又∵在(0，＋∞)上函數(shù)有唯一的極大值，∴x＝9時(shí)函數(shù)取得最大值，即使該生產(chǎn)廠(chǎng)家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為9萬(wàn)件．

3．若函數(shù)f(x)＝lg(x1＋x2)，則函數(shù)g(x)＝xf′(x)為()

A．R上的奇函數(shù)B．R上的偶函數(shù)

C．R上的非奇非偶函數(shù)D．R上的既奇又偶函數(shù)

1解析：選A.f(－x)＝lg(－x＋1＋x2)＝＝－lg(x1＋x2)，1＋x2＋x

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，則f′(x)為偶函數(shù)，∴g(x)＝x·f′(x)為奇函數(shù)．

第三篇：高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)歸納20 不等式的綜合應(yīng)用教案

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難點(diǎn)20 不等式的綜合應(yīng)用

不等式是繼函數(shù)與方程之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容之一，作為解決問(wèn)題的工具，與其他知識(shí)綜合運(yùn)用的特點(diǎn)比較突出.不等式的應(yīng)用大致可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；另一類(lèi)是建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值問(wèn)題、本難點(diǎn)提供相關(guān)的思想方法，使考生能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)、定理和方法解決函數(shù)、方程、實(shí)際應(yīng)用等方面的問(wèn)題.●難點(diǎn)磁場(chǎng)

2(★★★★★)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個(gè)根x1、x2滿(mǎn)足0＜x1＜x2＜1a.(1)當(dāng)x∈［0，x1)時(shí)，證明x＜f(x)＜x1；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=x0對(duì)稱(chēng)，證明：x0＜

x12.●案例探究

［例1］用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；

(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，棱錐表面積和體積的計(jì)算及用均值定論求函數(shù)的最值.知識(shí)依托：本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值.錯(cuò)解分析：在求得a的函數(shù)關(guān)系式時(shí)易漏h＞0.技巧與方法：本題在求最值時(shí)應(yīng)用均值定理.解：①設(shè)h′是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得：

1?2a?4?h?a?2??

2消去h?.解得:a??1?a2?a2?h12?4?1h?12(a?0)

②由V?13ah?2h3(h?1)而h?)1h2(h＞0)

1h得：V?13(h?1h?2h??2

所以V≤16，當(dāng)且僅當(dāng)h=

1h即h=1時(shí)取等號(hào)

1故當(dāng)h=1米時(shí)，V有最大值，V的最大值為立方米.6［例2］已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤1.(1)證明：|c|≤1；

(2)證明：當(dāng)－1 ≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2；

(3)設(shè)a＞0，有－1≤x≤1時(shí)，g(x)的最大值為2，求f(x).京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn 命題意圖：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性是藥引，而絕對(duì)值不等式的性質(zhì)靈活運(yùn)用是本題的靈魂.錯(cuò)解分析：本題綜合性較強(qiáng)，其解答的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)f(x)的單調(diào)性的深刻理解，以及對(duì)條件“－1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤1”的運(yùn)用；絕對(duì)值不等式的性質(zhì)使用不當(dāng)，會(huì)使解題過(guò)程空洞，缺乏嚴(yán)密，從而使題目陷于僵局.技巧與方法：本題(2)問(wèn)有三種證法，證法一利用g(x)的單調(diào)性；證法二利用絕對(duì)值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而證法三則是整體處理g(x)與f(x)的關(guān)系.(1)證明：由條件當(dāng)=1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)證法一：依題設(shè)|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函數(shù)，于是

g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，因此得|g(x)|≤2(－1≤x≤1)；

當(dāng)a＜0時(shí)，g(x)=ax+b在［－1，1］上是減函數(shù)，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1 ∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.綜合以上結(jié)果，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，都有|g(x)|≤2.證法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，因此，根據(jù)絕對(duì)值不等式性質(zhì)得： |a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線(xiàn)，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)x=－1或x=1處取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1).證法三:?x?(x?1)?(x?1)4x?12)?(222?(x?122x?122)?(2x?12?),x?12)2?g(x)?ax?b?a[(?[a(?f(x?12x?12)?b(2)]?b()?b(2x?12x?12x?122))?c]?[a(x?1)?c])?f(x?1當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，有0≤

x?12≤1，－1≤

x?122x?12≤0，x?12∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f()|≤1，|f()|+|f（）|≤1；

因此當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤|f(x?1x?12)|≤2.京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn(3)解：因?yàn)閍＞0，g(x)在［－1，1］上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2，即 g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2.∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.因?yàn)楫?dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線(xiàn)x=0為f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，由此得－b2a

①

＜0，即b=0.2由①得a=2，所以f(x)=2x－1.●錦囊妙計(jì)

1.應(yīng)用不等式知識(shí)可以解決函數(shù)、方程等方面的問(wèn)題，在解決這些問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把非不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，在化歸與轉(zhuǎn)化中，要注意等價(jià)性.2.對(duì)于應(yīng)用題要通過(guò)閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識(shí)求出題中的問(wèn)題.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★★)定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號(hào)是（）①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)

③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)A.①③

B.②④

C.①④

二、填空題

2.(★★★★★)下列四個(gè)命題中：①a+b≥2ab

②sin2x+數(shù)，若1x?9y

4D.②③

sin2x≥4 ③設(shè)x，y都是正=1，則x+y的最小值是12 ④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號(hào)是__________.3.(★★★★★)某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與車(chē)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車(chē)站的距離成正比，如果在距車(chē)站10公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站__________公里處.三、解答題

4.(★★★★★)已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2.(1)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=x0，求證x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍.5.(★★★★)某種商品原來(lái)定價(jià)每件p元，每月將賣(mài)出n件，假若定價(jià)上漲x成(這里x成即x10，0＜x≤10).每月賣(mài)出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來(lái)的 z倍.13(1)設(shè)y=ax，其中a是滿(mǎn)足(2)若y=23≤a＜1的常數(shù)，用a來(lái)表示當(dāng)售貨金額最大時(shí)的x的值；

x，求使售貨金額比原來(lái)有所增加的x的取值范圍.6.(★★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)任意m、n恒有f(m+n)=f(m)2f(n)，且當(dāng)x＞0

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http://004km.cn 時(shí)，0＜f(x)＜1.(1)求證：f(0)=1，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1；

(2)求證：f(x)在R上單調(diào)遞減；

22(3)設(shè)集合A={(x，y)|f(x)2f(y)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=?，求a的取值范圍.7.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)=(1)求b、c的值；

(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若t∈R，求證：lg

7516161352x?bx?cx?122(b＜0)的值域是［1，3］，≤F(|t－|－|t+|)≤lg.京翰教育http://004km.cn/

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參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：(1)令F(x)=f(x)－x，因?yàn)閤1，x2是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x－x1)(x－x2).當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，由于x1＜x2，得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x)x1－f(x)=x1－［x+F(x)］=x1－x+a(x1－x)(x－x2)=(x1－x)［1+a(x－x2)］ ∵0＜x＜x1＜x2＜1ab2a，∴x1－x＞0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2＞1－ax2＞0 ∴x1－f(x)＞0，由此得f(x)＜x1.(2)依題意：x0=－的根.∴x1+x2=－∴x0=－∴x0＜b2ab?1a??，因?yàn)閤1、x2是方程f(x)－x=0的兩根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0

?ax1?ax2?12aa(x1?x2)?12ax12，因?yàn)閍x2＜1，ax12a

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：由題意f(a)=g(a)＞0，f(b)=g(b)＞0，且f(a)＞f(b)，g(a)＞g(b)∴f(b)－f(－a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)而g(a)－g(－b)=g(a)－g(b)∴g(a)+g(b)－［g(a)－g(b)］ =2g(b)＞0，∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)同理可證：f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)答案：A

二、2.解析：①②③不滿(mǎn)足均值不等式的使用條件“正、定、等”.④式：|x－y|=|(x－2)－(y－2)|≤|(x－2)－(y－2)|≤|x－2|+|y－2|＜ε+ε=2ε.答案：④

3.解析：由已知y1=20x20x20x；y2=0.8x(x為倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站距離)費(fèi)用之和y=y1+y2=0.8x+

≥20.8x?=8 20x當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=即x=5時(shí)“=”成立

答案：5公里處

三、4.證明：(1)設(shè)g(x)=f(x)－x=ax2+(b－1)x+1，且x＞0.∵x1＜2＜x2＜4，∴(x1－2)(x2－2)＜0，即x1x2＜2(x1+x2)－4，于是得x0????12b2a?12?(?12

2b?1a?1a)?12(x1?x2)?12x1x2?12(x1?x2)?(x1?x2)?2

(x1?x2)?2??(2?4)?2??1(2)解：由方程g(x)=ax+(b－1)x+1=0可知x12x2=

1a＞0，所以x1，x2同號(hào)

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http://004km.cn 1°若0＜x1＜2，則x2－x1=2，∴x2=x1+2＞2，∴g(2)＜0，即4a+2b－1＜0 又(x2－x1)=2

①

(b?1)a22?4a?4

∴2a+1=(b?1)2?1(∵a＞0)代入①式得，2(b?1)2?1＜3－2b 解②得b＜1②

2°若 －2＜x1＜0，則x2=－2+x1＜－2 ∴g(－2)＜0，即4a－2b+3＜0 又2a+1=(b?1)2?1，代入③式得 2(b?1)2?1＜2b－1 解④得b＞74

③

④

.14綜上，當(dāng)0＜x1＜2時(shí)，b＜，當(dāng)－2＜x1＜0時(shí)，b＞

74.5.解：(1)由題意知某商品定價(jià)上漲x成時(shí)，上漲后的定價(jià)、每月賣(mài)出數(shù)量、每月售貨金額分別是：p(1+npz?p(1?x10x102)元、n(1－)?n(1?y10y10)元、npz元，因而

1100(10?x)(10?y)，在y=ax的條件下，z=131100),?z?2［－a ［x－5(1?a)a］+100+25(1?a)a］.由于≤a＜1，則0＜

5(1?a)a5(1?a)a≤10.要使售貨金額最大，即使z值最大，此時(shí)x=(2)由z=1100.(10+x)(10－

23x)＞1，解得0＜x＜5.6.(1)證明：令m＞0，n=0得：f(m)=f(m)2f(0).∵f(m)≠0，∴f(0)=1 取m=m，n=－m，(m＜0)，得f(0)=f(m)f(－m)∴f(m)=1f(?m)，∵m＜0，∴－m＞0，∴0＜f(－m)＜1，∴f(m)＞1(2)證明：任取x1，x2∈R，則f(x1)－f(x2)=f(x1)－f［(x2－x1)+x1］ =f(x1)－f(x2－x1)2f(x1)=f(x1)［1－f(x2－x1)］，∵f(x1)＞0，1－f(x2－x1)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).?f(x2?y2)?f(1)?x2?y2?1得?(3)由?，由題意此不等式組無(wú)解，數(shù)形結(jié)合得：f(ax?y?2)?1?f(?)ax?y?2?0??京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn |2|a?12≥1，解得a≤3 2∴a∈［－3，3］

2x?bx?cx?1227.(1)解：設(shè)y=，則(y－2)x－bx+y－c=0

①

∵x∈R，∴①的判別式Δ≥0，即 b2－4(y－2)(y－c)≥0，即4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0

由條件知，不等式②的解集是［1，3］ ∴1，3是方程4y－4(2+c)y+8c+b=0的兩根

?1?3?2?c?2?8c?b∴c=2，b=－2，b=2(舍）?1?3?4?2

②

(2)任取x1，x2∈［－1，1］，且x2＞x1，則x2－x1＞0，且(x2－x1)(1－x1x2)＞0，∴f(x2)－f(x1)=－

2x21?x22?(?2x1?x12)?2(x2?x1)(1?x1x2)(1?x1)(1?x2)22＞0，∴f(x2)＞f(x1)，lgf(x2)＞lgf(x1)，即F(x2)＞F(x1)∴F(x)為增函數(shù).(3)記u?|t?1613|?|t?16|,|u|?|(t?16)?(t?16)|?13，即－F(－ 1313≤u≤，根據(jù)F(x)的單調(diào)性知

13)≤F(u)≤F()，∴l(xiāng)g

75≤F(|t－

16|－|t+

16|)≤lg

135對(duì)任意實(shí)數(shù)t 成立.京翰教育http://004km.cn/

第四篇：教輔：高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1

考點(diǎn)七　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(一)

一、選擇題

1．(2020·山東濱州三模)函數(shù)y＝ln

x的圖象在點(diǎn)x＝e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線(xiàn)方程為()

A．x＋ey－1＋e＝0

B．x－ey＋1－e＝0

C．x＋ey＝0

D．x－ey＝0

答案　D

解析　因?yàn)閥＝ln

x，所以y′＝，所以y′|x＝e＝，又當(dāng)x＝e時(shí)，y＝ln

e＝1，所以切線(xiàn)方程為y－1＝(x－e)，整理得x－ey＝0.故選D.2.已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A．1

B．2

C．3

D．4

答案　A

解析　如圖，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(c)＝0，且在點(diǎn)x＝c附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有1個(gè)極小值點(diǎn)，故選A.3．(2020·全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為()

A．y＝－2x－1

B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3

D．y＝2x＋1

答案　B

解析　∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，∴所求切線(xiàn)的方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故選B.4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為()

A．0

B．－5

C．－10

D．－37

答案　D

解析　由題意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)0

x＋f′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.B．

C．(1,2)

D．(2,3)

答案　B

解析　∵f(x)＝x2－bx＋a，∴二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，0

x＋f′(x)＝aln

x＋2x－b在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又g＝aln

＋1－b<0，g(1)＝aln

1＋2－b>0，∴函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選B.6．(2020·山東泰安二輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A．a(chǎn)≤0或a≥

B．a(chǎn)≤0或a≥

C．a(chǎn)≤0

D．a(chǎn)≥0或a≤－

答案　A

解析　f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax，令f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0，故x－aex＋＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝xex，函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f′(0)＝0，故函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，即＝ex－e－x，設(shè)g(x)＝ex－e－x，則g′(x)＝ex＋e－x≥2恒成立，且g′(0)＝2，畫(huà)出函數(shù)g(x)和y＝的圖象，如圖所示．根據(jù)圖象知，當(dāng)≤2，即a<0或a≥時(shí)，滿(mǎn)足條件．綜上所述，a≤0或a≥.故選A.7．(多選)若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①直線(xiàn)l在點(diǎn)P(x0，y0)處與曲線(xiàn)C相切；②曲線(xiàn)C在點(diǎn)P附近位于直線(xiàn)l的兩側(cè)，則稱(chēng)直線(xiàn)l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線(xiàn)C.則下列結(jié)論正確的是()

A．直線(xiàn)l：y＝0在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線(xiàn)C：y＝x3

B．直線(xiàn)l：y＝x－1在點(diǎn)P(1,0)處“切過(guò)”曲線(xiàn)C：y＝ln

x

C．直線(xiàn)l：y＝x在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線(xiàn)C：y＝sinx

D．直線(xiàn)l：y＝x在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線(xiàn)C：y＝tanx

答案　ACD

解析　A項(xiàng)，因?yàn)閥′＝3x2，當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝0，所以l：y＝0是曲線(xiàn)C：y＝x3在點(diǎn)P(0,0)處的切線(xiàn)．當(dāng)x<0時(shí)，y＝x3<0；當(dāng)x>0時(shí)，y＝x3>0，所以曲線(xiàn)C在點(diǎn)P附近位于直線(xiàn)l的兩側(cè)，結(jié)論正確；B項(xiàng)，y′＝，當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝1，在P(1,0)處的切線(xiàn)為l：y＝x－1.令h(x)＝x－1－ln

x，則h′(x)＝1－＝(x>0)，當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0；當(dāng)0

x，即當(dāng)x>0時(shí)，曲線(xiàn)C全部位于直線(xiàn)l的下側(cè)(除切點(diǎn)外)，結(jié)論錯(cuò)誤；C項(xiàng)，y′＝cosx，當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝1，在P(0,0)處的切線(xiàn)為l：y＝x，由正弦函數(shù)圖象可知，曲線(xiàn)C在點(diǎn)P附近位于直線(xiàn)l的兩側(cè)，結(jié)論正確；D項(xiàng)，y′＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝1，在P(0,0)處的切線(xiàn)為l：y＝x，由正切函數(shù)圖象可知，曲線(xiàn)C在點(diǎn)P附近位于直線(xiàn)l的兩側(cè)，結(jié)論正確．故選ACD.8．(多選)(2020·山東威海三模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln

x，且f＝，則()

A．f′＝0

B．f(x)在x＝處取得極大值

C．0

D．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增

答案　ACD

解析　∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln

x，即滿(mǎn)足＝，∵′＝，∴′＝，∴可設(shè)＝ln2

x＋b(b為常數(shù))，∴f(x)＝xln2

x＋bx，∵f＝·ln2

＋＝，解得b＝.∴f(x)＝xln2

x＋x，∴f(1)＝，滿(mǎn)足0

x＋ln

x＋＝(ln

x＋1)2≥0，且僅有f′＝0，∴B錯(cuò)誤，A，D正確．故選ACD.二、填空題

9．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝.若f′(1)＝，則a＝________.答案　1

解析　f′(x)＝＝，則f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.10．(2020·山東新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)聯(lián)盟高三5月聯(lián)考)曲線(xiàn)f(x)＝asinx＋2(a∈R)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線(xiàn)方程為y＝－x＋2，則a＝________.答案?。?

解析　f(x)＝asinx＋2(a∈R)，則f′(x)＝acosx，故當(dāng)x＝0時(shí)，f′(0)＝a，又函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線(xiàn)方程為y＝－x＋2，所以a＝－1.11．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線(xiàn)長(zhǎng)為20

cm，要使體積最大，則高為_(kāi)_______

cm.答案

解析　設(shè)高為h

cm，則底面半徑r＝

cm，所以體積V＝r2h＝h(400－h(huán)2)，則V′＝(400－3h2)．令V′＝(400－3h2)＝0，解得h＝.即當(dāng)高為

cm時(shí)，圓錐的體積最大．

12．(2020·吉林第四次調(diào)研測(cè)試)若函數(shù)f(x)＝mx2－ex＋1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在x＝x1和x＝x2兩處取得極值，且x2≥2x1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

答案

解析　因?yàn)閒(x)＝mx2－ex＋1，所以f′(x)＝2mx－ex，又函數(shù)f(x)在x＝x1和x＝x2兩處取得極值，所以x1，x2是方程2mx－ex＝0的兩不等實(shí)根，且x2≥2x1，即m＝(x≠0)有兩不等實(shí)根x1，x2，且x2≥2x1.令h(x)＝(x≠0)，則直線(xiàn)y＝m與曲線(xiàn)h(x)＝有兩交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x2≥2x1，又h′(x)＝＝，由h′(x)＝0，得x＝1，所以，當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0，即函數(shù)h(x)＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<0和0

當(dāng)x2＝2x1時(shí)，由＝，得x1＝ln

2，此時(shí)m＝＝，因此，由x2≥2x1，得m≥.三、解答題

13．(2020·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥x3＋1，求a的取值范圍．

解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，則φ′(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)單調(diào)遞增，注意到f′(0)＝0，故當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．

(2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①當(dāng)x＝0時(shí)，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；

②當(dāng)x＞0時(shí)，分離參數(shù)a得a≥－，記g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，則h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1，則H′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)單調(diào)遞增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．

因此，g(x)max＝g(2)＝，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14．(2020·山東濟(jì)南6月仿真模擬)已知函數(shù)f(x)＝aln

(x＋b)－.(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；

(2)當(dāng)b>0時(shí)，討論f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解(1)當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，f(x)＝ln

x－，此時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－＝，由f′(x)>0得04.所以f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4，＋∞)上單調(diào)遞減．

所以f(x)max＝f(4)＝2ln

2－2.(2)當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，f′(x)＝－＝，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0對(duì)任意的x∈(0，＋∞)恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以此時(shí)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；

②當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)h(x)＝－x＋2a－b，(ⅰ)當(dāng)4a2－4b≤0，即0

時(shí)，f′(x)≤0對(duì)任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以此時(shí)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；

(ⅱ)當(dāng)4a2－4b>0，即a>時(shí)，令t＝(t≥0)，則h(t)＝－t2＋2at－b，t1＋t2＝2a>0，t1t2＝b>0，所以t1，t2都大于0，即f′(x)在(0，＋∞)上有2個(gè)左右異號(hào)的零點(diǎn)，所以此時(shí)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.綜上所述，當(dāng)a≤時(shí)，f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)a>時(shí)，f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.一、選擇題

1．(2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)4月高考預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)＝3x＋2cosx，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，則a，b，c的大小關(guān)系是()

A．a(chǎn)

B．c

C．b

D．b

答案　D

解析　根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝3x＋2cosx，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝3－2sinx，則有f′(x)＝3－2sinx>0在R上恒成立，則f(x)在R上為增函數(shù)．又由2＝log24

A．有3個(gè)極大值點(diǎn)

B．有3個(gè)極小值點(diǎn)

C．有1個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn)

D．有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)

答案　D

解析　結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)x0，函數(shù)y＝g(x)－f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)ag′(x)，此時(shí)y′＝g′(x)－f′(x)<0，函數(shù)y＝g(x)－f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)00,函數(shù)y＝g(x)－f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>b時(shí)，f′(x)>g′(x)，此時(shí)y′＝g′(x)－f′(x)<0，函數(shù)y＝g(x)－f(x)單調(diào)遞減，故函數(shù)在x＝a，x＝b處取得極大值，在x＝0處取得極小值．故選D.3．(2020·株洲市第二中學(xué)4月模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對(duì)任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，則()

A．4f(－2)<9f(3)

B．4f(－2)>9f(3)

C．2f(3)>3f(－2)

D．3f(－3)<2f(－2)

答案　A

解析　首先令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又g(x)是偶函數(shù)，所以4f(－2)＝g(－2)＝g(2)

A．y＝2x＋1

B．y＝2x＋

C．y＝x＋1

D．y＝x＋

答案　D

解析　設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y＝的切點(diǎn)為(x0，)，x0＞0，函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)為y′＝，則直線(xiàn)l的斜率k＝，直線(xiàn)l的方程為y－＝·(x－x0)，即x－2y＋x0＝0.由于直線(xiàn)l與圓x2＋y2＝相切，則＝，兩邊平方并整理得5x－4x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以直線(xiàn)l的方程為x－2y＋1＝0，即y＝x＋.故選D.5．(2020·山東青島一模)已知函數(shù)f(x)＝(e＝2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若f(x)的零點(diǎn)為α，極值點(diǎn)為β，則α＋β＝()

A．－1

B．0

C．1

D．2

答案　C

解析　∵f(x)＝∴當(dāng)x≥0時(shí)，令f(x)＝0，即3x－9＝0，解得x＝2；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝xex<0恒成立，∴f(x)的零點(diǎn)為α＝2.又當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝3x－9為增函數(shù)，故在[0，＋∞)上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝xex，f′(x)＝(1＋x)ex，當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>－1時(shí)，f′(x)>0，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取到極小值，即f(x)的極值點(diǎn)β＝－1，∴α＋β＝2－1＝1.故選C.6．(2020·山西太原高三模擬)點(diǎn)M在曲線(xiàn)G：y＝3ln

x上，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)l，設(shè)l與曲線(xiàn)y＝交于點(diǎn)N，＝，且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0，則稱(chēng)M點(diǎn)為曲線(xiàn)G上的“水平黃金點(diǎn)”，則曲線(xiàn)G上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()

A．0

B．1

C．2

D．3

答案　C

解析　設(shè)M(t,3ln

t)，則N，所以＝＝，依題意可得ln

t＋＝0，設(shè)g(t)＝ln

t＋，則g′(t)＝－＝，當(dāng)0時(shí)，g′(t)>0，則g(t)單調(diào)遞增，所以g(t)min＝g＝1－ln

3<0，且g＝－2＋>0，g(1)＝>0，所以g(t)＝ln

t＋＝0有兩個(gè)不同的解，所以曲線(xiàn)G上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選C.7．(多選)(2020·山東濟(jì)寧鄒城市第一中學(xué)高三下五模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋b，其中a，b∈R，則下列選項(xiàng)中的條件使得f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)的有()

A．a(chǎn)

B．a(chǎn)＝ln

(b2＋1)

C．a(chǎn)＝－3，b2－4≥0

D．a(chǎn)＝－1，b＝1

答案　BD

解析　由題知f′(x)＝3x2＋a.對(duì)于A，由f(x)是奇函數(shù)，知b＝0，因?yàn)閍<0，所以f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，由f(0)＝0知，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閎2＋1≥1，所以a≥0，f′(x)≥0，所以f(x)單調(diào)遞增，則f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，若取b＝2，f′(x)＝3x2－3，則f(x)的極大值為f(－1)＝4，極小值為f(1)＝0，此時(shí)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，f(x)＝x3－x＋1，f′(x)＝3x2－1，易得f(x)的極大值為f＝＋1>0，極小值為f＝－＋1>0，可知f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，D正確．故選BD.8．(多選)(2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)4月高考預(yù)測(cè))關(guān)于函數(shù)f(x)＝＋ln

x，下列判斷正確的是()

A．x＝2是f(x)的極大值點(diǎn)

B．函數(shù)y＝f(x)－x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C．存在正實(shí)數(shù)k，使得f(x)>kx成立

D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2>4

答案　BD

解析　函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝－＋＝，∴在(0,2)上，f′(x)＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上，f′(x)＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴x＝2是f(x)的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；y＝f(x)－x＝＋ln

x－x，∴y′＝－＋－1＝<0，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(1)－1＝2＋ln

1－1＝1>0，f(2)－2＝1＋ln

2－2＝ln

2－1<0，∴函數(shù)y＝f(x)－x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；若f(x)＞kx，可得k<＋，令g(x)＝＋，則g′(x)＝，令h(x)＝－4＋x－xln

x，則h′(x)＝－ln

x，∴在(0,1)上，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，∴h(x)≤h(1)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)＝＋在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)k，使得f(x)＞kx恒成立，故C錯(cuò)誤；令t∈(0,2)，則2－t∈(0,2)，2＋t＞2，令g(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln

(2＋t)－－ln

(2－t)＝＋ln，則g′(t)＝＋·＝＋＝<0，∴g(t)在(0,2)上單調(diào)遞減，則g(t)＜g(0)＝0，令x1＝2－t，由f(x1)＝f(x2)，得x2＞2＋t，則x1＋x2＞2－t＋2＋t＝4，當(dāng)x2≥4時(shí)，x1＋x2＞4顯然成立，∴對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＞4，故D正確．故選BD.二、填空題

9．(2020·山東高考實(shí)戰(zhàn)演練仿真四)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且f(x)＝x3＋f′x2－x，則f′(1)＝________.答案　0

解析　因?yàn)閒(x)＝x3＋f′x2－x，所以f′(x)＝3x2＋2f′x－1.所以f′＝3×2＋2f′×－1，則f′＝－1，所以f(x)＝x3－x2－x，則f′(x)＝3x2－2x－1，故f′(1)＝0.10．若f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1對(duì)x∈R恒成立，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______．

答案　10x＋4y－5＝0

解析　∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，①

∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，②

聯(lián)立①②，得f(x)＝－x3－x＋，則f′(x)＝－x2－1，∴f′(1)＝－－1＝－，又f(1)＝－－1＋＝－，∴切線(xiàn)方程為y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0.11．(2020·廣東湛江模擬)若x1，x2是函數(shù)f(x)＝x2－7x＋4ln

x的兩個(gè)極值點(diǎn)，則x1x2＝________，f(x1)＋f(x2)＝________.答案　2　4ln

2－

解析　f′(x)＝2x－7＋＝0?2x2－7x＋4＝0?x1＋x2＝，x1x2＝2，f(x1)＋f(x2)＝x－7x1＋4ln

x1＋x－7x2＋4ln

x2＝(x1＋x2)2－2x1x2－7(x1＋x2)＋4ln

(x1x2)＝4ln

2－.12．(2020·山東濟(jì)寧嘉祥縣高三考前訓(xùn)練二)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f′(x)＝－f(x)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，且f(0)＝1，若關(guān)于x的不等式f(x)－m<0的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

答案(－e,0]

解析　∵f′(x)＝－f(x)，∴[f′(x)＋f(x)]ex＝2x＋3，即[f(x)ex]′＝2x＋3.設(shè)f(x)ex＝x2＋3x＋c，∴f(x)＝.∵f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝，∴f′(x)＝＝－.由f′(x)>0，得－2

由f′(x)<0，得x>1或x<－2，∴函數(shù)f(x)在(－2,1)上單調(diào)遞增，在(－∞，－2)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，如圖所示．

當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)min＝－e2.又f(－1)＝－e，f(－3)＝e3，且x>0時(shí)，f(x)>0，由圖象可知，要使不等式f(x)

三、解答題

13．(2020·江蘇高考)某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示，谷底O在水平線(xiàn)MN上、橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線(xiàn)(O′在AB上)．經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線(xiàn)AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(米)與D到OO′的距離a(米)之間滿(mǎn)足關(guān)系式h1＝a2；右側(cè)曲線(xiàn)BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(米)與F到OO′的距離b(米)之間滿(mǎn)足關(guān)系式h2＝－b3＋6b.已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米．

(1)求橋AB的長(zhǎng)度；

(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點(diǎn))．橋墩EF每米造價(jià)k(萬(wàn)元)、橋墩CD每米造價(jià)k(萬(wàn)元)(k>0)．問(wèn)O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？

解(1)由題意，得|O′A|2＝－×403＋6×40，∴|O′A|＝80.∴|AB|＝|O′A|＋|O′B|＝80＋40＝120.答：橋AB的長(zhǎng)度為120米．

(2)設(shè)|O′E|＝x，總造價(jià)為f(x)萬(wàn)元，|O′O|＝×802＝160，f(x)＝k＋k

＝k(0＜x＜40)，∴f′(x)＝k.令f′(x)＝0，得x＝20(x＝0舍去)．

當(dāng)0＜x＜20時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)20＜x＜40時(shí)，f′(x)＞0，因此當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)取最小值．

答：當(dāng)O′E＝20米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低.14.(2020·四川成都石室中學(xué)一診)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－sinx，x∈，g(x)＝＋cosx＋2，m∈R.(1)證明：f(x)≤0；

(2)當(dāng)x∈時(shí)，不等式g(x)≥恒成立，求m的取值范圍．

解(1)證明：因?yàn)閒′(x)＝－cosx在x∈上單調(diào)遞增，所以f′(x)∈，所以存在唯一x0∈，使得f′(x0)＝0.當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

所以f(x)max＝max＝0，所以f(x)≤0.(2)因?yàn)間′(x)＝－sinx＋m，令h(x)＝－sinx＋m，則h′(x)＝－cosx＋m.當(dāng)m≥0時(shí)，m≤0，由(1)中的結(jié)論可知，－sinx≤0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在x∈上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g＝，滿(mǎn)足題意．

當(dāng)－0，所以存在唯一x1∈，使得h′(x1)＝0.當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，h′(x)<0，g′(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)>0，g′(x)單調(diào)遞增．

而g′(0)＝－m>0，g′＝0，所以存在唯一x2∈，使得g′(x2)＝0.當(dāng)x∈(0，x2)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．

要使當(dāng)0≤x≤時(shí)，g(x)≥恒成立，即?m≥，所以≤m<0.當(dāng)m≤－，x∈時(shí)，h′(x)≤0，所以當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)單調(diào)遞減，又g′＝0，所以g′(x)≥0，所以g(x)在x∈上單調(diào)遞增，所以g(x)≤g＝，與題意矛盾．

綜上，m的取值范圍為.

第五篇：2018年考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)及應(yīng)用

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【導(dǎo)數(shù)定義和求導(dǎo)要注意的】

第一，理解并牢記導(dǎo)數(shù)定義。導(dǎo)數(shù)定義是考研數(shù)學(xué)的出題點(diǎn)，大部分以選擇題的形式出題，01年數(shù)一考一道選題，考查在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件，這個(gè)并不會(huì)直接教材上的導(dǎo)數(shù)充要條件，他是變換形式后的，這就需要同學(xué)們真正理解導(dǎo)數(shù)的定義，要記住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

1)在某點(diǎn)的領(lǐng)域范圍內(nèi)。

2)趨近于這一點(diǎn)時(shí)極限存在，極限存在就要保證左右極限都存在，這一點(diǎn)至關(guān)重要，也是01年數(shù)一考查的點(diǎn)，我們要從四個(gè)選項(xiàng)中找出表示左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等的選項(xiàng)。

3)導(dǎo)數(shù)定義中一定要出現(xiàn)這一點(diǎn)的函數(shù)值，如果已知告訴等于零，那極限表達(dá)式中就可以不出現(xiàn)，否就不能推出在這一點(diǎn)可導(dǎo)，請(qǐng)同學(xué)們記清楚了。

4)掌握導(dǎo)數(shù)定義的不同書(shū)寫(xiě)形式。

第二，導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)計(jì)算。這里有幾種題型：1)已知某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，計(jì)算極限，這需要掌握導(dǎo)數(shù)的廣義化形式，還要注意是在這一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在的前提下，否則是不一定成立的。

第三，導(dǎo)數(shù)、可微與連續(xù)的關(guān)系。函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，可以推出在這一點(diǎn)處是連續(xù)的，反過(guò)來(lái)則是不成立的，相信這一點(diǎn)大家都很清楚，而我要提醒大家的是可導(dǎo)推連續(xù)的逆否命題：函數(shù)在一點(diǎn)處不連續(xù)，則在一點(diǎn)處不可導(dǎo)。這也常常應(yīng)用在做題中。

第四，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以說(shuō)在每一年的考研數(shù)學(xué)中都會(huì)涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類(lèi)型題，首先就需要我們把基本的導(dǎo)數(shù)計(jì)算弄明白：1)基本的求導(dǎo)公式。指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些基本的初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)都是需要記住的，這也告訴我們?cè)趯?duì)函數(shù)變形到什么形式的時(shí)候就可以直接代公式，也為后面學(xué)習(xí)不定積分和定積分打基礎(chǔ)。2)求導(dǎo)法則。求導(dǎo)法則這里無(wú)非是四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo)，要求四則運(yùn)算記住求導(dǎo)公式;復(fù)合函數(shù)要會(huì)寫(xiě)出它的復(fù)合過(guò)程，按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一次求導(dǎo)就可以了，也是通過(guò)這個(gè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，我們可求出很多函數(shù)的導(dǎo)數(shù);反函數(shù)求導(dǎo)法則為我們開(kāi)辟了一條新路，建立函數(shù)與其反函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，從而也使我們得到反三角函數(shù)求導(dǎo)公式，這些公式都將要列為基本導(dǎo)數(shù)公式，也要很好的理解并掌握反函數(shù)的求導(dǎo)思路，在13年數(shù)二的考試中相應(yīng)的考過(guò)，請(qǐng)同學(xué)們注意。3)常見(jiàn)考試類(lèi)型的求導(dǎo)。通常在考研中出現(xiàn)四種類(lèi)型：冪指函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程和抽象函數(shù)。這四種類(lèi)型的求導(dǎo)方法要熟悉，并且可以解決他們之間的綜合題，有時(shí)候也會(huì)與變現(xiàn)積分求導(dǎo)結(jié)合，94年，96年，08年和10年都查了參數(shù)方程和變現(xiàn)積分綜合的題目。

第五，高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算在歷年考試出現(xiàn)過(guò)，比如03年，07年，10年，都以填空題考查的，00年是一道解答題。需要同學(xué)們記住幾個(gè)常見(jiàn)的高階導(dǎo)數(shù)公式，將其他函數(shù)都轉(zhuǎn)化成我們這幾種常見(jiàn)的函數(shù)，代入公式就可以了，也有通過(guò)求一階導(dǎo)數(shù)，二階，三階的方法來(lái)找出他們之間關(guān)系的。這里還有一種題型就是結(jié)合萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù)的，00年出的題目就是考察的這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

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【導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用】

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有以下幾種：(1)切線(xiàn)和法線(xiàn);(2)單調(diào)性;(3)極值;(4)凹凸性;(5)拐點(diǎn);(6)漸近線(xiàn);(7)(曲率)(只有數(shù)一和數(shù)二的考);(8)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(只有數(shù)三的考)。我們一一說(shuō)明每個(gè)應(yīng)用在考研中有哪些注意的。

?切線(xiàn)和法線(xiàn)

主要是依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程。

?單調(diào)性

在考研中單調(diào)性主要以四種題型考查，第一：求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第二：證明某函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào);第三：不等式證明;第四：方程根的討論。這些題型都離不開(kāi)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，只要按照步驟計(jì)算即可。做題過(guò)程中要仔細(xì)分析每種的處理方法，多加練習(xí)。

?極值

需要掌握極值的定義、必要條件和充分條件即可。

?凹凸性和拐點(diǎn)

考查的內(nèi)容也是其定義、必要條件、充分條件和判別法。對(duì)于這塊內(nèi)容所涉及到的定義定理比較多，使很多同學(xué)弄糊涂了，所以希望同學(xué)們可以列表對(duì)比學(xué)習(xí)記憶。

?漸近線(xiàn)

當(dāng)曲線(xiàn)上一點(diǎn)M沿曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果M到一條直線(xiàn)的距離無(wú)限趨近于零，那么這條直線(xiàn)稱(chēng)為這條曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。需要注意的是：并不是所有的曲線(xiàn)都有漸近線(xiàn)，漸近線(xiàn)反映了某些曲線(xiàn)在無(wú)限延伸時(shí)的變化情況。根據(jù)漸近線(xiàn)的位置，可將漸近線(xiàn)分為三類(lèi)：垂直漸近線(xiàn)、水平漸近線(xiàn)、斜漸近線(xiàn)。

考研中會(huì)考察給一曲線(xiàn)計(jì)算漸近線(xiàn)條數(shù)，計(jì)算順序?yàn)榇怪睗u近線(xiàn)、水平漸近線(xiàn)、斜漸近線(xiàn)。

?條數(shù)計(jì)算

垂直漸近線(xiàn)就直接算就可以了，有幾條算幾條，而水平漸近線(xiàn)和斜漸近線(xiàn)要分別x趨于正無(wú)窮計(jì)算一次，和x趨于負(fù)無(wú)窮計(jì)算一次，當(dāng)趨于正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮的水平漸近線(xiàn)或者斜漸近線(xiàn)相同則計(jì)為一條漸近線(xiàn)，若是不同，則計(jì)為兩條漸近線(xiàn)。另外，在趨于正無(wú)窮或者負(fù)無(wú)窮時(shí)，有水平漸近線(xiàn)就不會(huì)有斜漸近線(xiàn)。

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?曲率

這塊屬于導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用，這塊是數(shù)一數(shù)二的同學(xué)考的，需要掌握曲率、曲率半徑、曲率圓。理解并記清楚公式。

?導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用是數(shù)三特考的，這個(gè)主要是考察彈性，邊際利潤(rùn)，邊際收益等。記住公式會(huì)計(jì)算即可。

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