1　觀察物體(三)

一、能用小正方體擺出從某一方向觀察看到指定圖形的幾何體。

1.從同一方向觀察不同的幾何體,看到的圖形可能相同。

2.觀察由小正方體搭成的幾何體時(shí),由于前面的小正方體遮擋了后面的小正方體、左面的小正方體遮擋了右面的小正方體、右面的小正方體遮擋了左面的小正方體或者是上面的小正方體遮擋了下面的小正方體,常會(huì)漏數(shù)被遮擋的小正方體。例如:

圖1是由5個(gè)小正方體搭成的,而不是由4個(gè)小正方體搭成的;

圖2是由4個(gè)小正方體搭成的,而不是由3個(gè)小正方體搭成的。

解決此類問(wèn)題時(shí),一定要具體問(wèn)題具體分析。

3.在觀察物體時(shí),從正面看可以確定所擺的幾何體有幾層和幾列;從上面看可以確定所擺的幾何體有幾行和幾列;從左面看可以確定所擺的幾何體有幾行和幾層。

二、能根據(jù)從不同方向看到的圖形搭出幾何體。

1.從正面、左面和上面看到的圖形確定了,這個(gè)幾何體也就確定了。

2.根據(jù)從三個(gè)不同方向觀察到的圖形還原幾何體,先從上面觀察到的圖形分析確定基本形狀,推測(cè)可能出現(xiàn)的各種情況,然后根據(jù)從其他兩個(gè)方向看到的圖形綜合分析,確定層數(shù)和每層小正方體的個(gè)數(shù)。

3.數(shù)組合成幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)時(shí),可以先把這個(gè)幾何體分層、分行或分列統(tǒng)計(jì),然后把每一部分的小正方體的個(gè)數(shù)相加。

溫馨提示:

從不同的方向觀察幾何體,所看到的圖形可能相同,也可能不同。

溫馨提示:

根據(jù)從三個(gè)不同的方向觀察到的圖形搭成幾何體時(shí),先從上面確定基本形狀,然后從正面和左面確定層數(shù)和每層的個(gè)數(shù)。

易錯(cuò)點(diǎn):僅根據(jù)從某一方向觀察到的平面圖形,是無(wú)法判斷幾何體的擺法的,更無(wú)法確定組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)。

2　因數(shù)與倍數(shù)

一、理解因數(shù)和倍數(shù)的意義,掌握找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。

1.在整數(shù)除法中,如果商是整數(shù)而沒有余數(shù),我們就說(shuō)被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù),除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。如:在算式c÷a=b(a、b、c均是非0自然數(shù))中,a和b是c的因數(shù),c是a和b的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的,最小的倍數(shù)是它本身,沒有最大的倍數(shù)。

2.找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法:(1)列乘法算式找,根據(jù)因數(shù)的意義,有序地寫出兩個(gè)整數(shù)相乘得此數(shù)的所有乘法算式,算式中的每個(gè)乘數(shù)都是該數(shù)的因數(shù)。(2)列除法算式找,用此數(shù)除以大于等于1而小于它本身的整數(shù),所得的商是整數(shù)而無(wú)余數(shù),這些除數(shù)和商都是該數(shù)的因數(shù)。以找24的因數(shù)為例:

(1)列乘法算式:(2)列除法算式:

24=1×24

24÷1=24

=2×12

24÷2=12

=3×8

24÷3=8

=4×6

24÷4=6

24的因數(shù)有1,2,3,4,6,8,12,24。

3.找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法:(1)列乘法算式找,用這個(gè)數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘,所乘之積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。(2)列除法算式找,看哪些數(shù)除以這個(gè)數(shù),商是整數(shù)而無(wú)余數(shù),這些數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。以找9的倍數(shù)為例:

(1)列乘法算式:(2)列除法算式:

9×1=9

9÷9=1

9×2=18

18÷9=2

9×3=27

27÷9=3

9×4=36

36÷9=4

9×5=45

45÷9=5

……

……

9的倍數(shù)有9,18,27,36,45……

4.表示一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法:(1)列舉法;(2)集合表示法。

以表示42的因數(shù)為例:

(1)列舉法表示:

42的因數(shù)有1,2,3,6,7,14,21,42。

(2)集合表示法:

5.因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的。

二、掌握2、3、5倍數(shù)的特征,認(rèn)識(shí)奇數(shù)、偶數(shù)。

1.自然數(shù)中個(gè)位上是0,2,4,6,8的數(shù)都是2的倍數(shù)。整數(shù)中,是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)(0也是偶數(shù)),不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。

2.個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。

3.一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù),這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

三、理解質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義,能正確判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),能找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù),并熟記20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。

1.一個(gè)數(shù),如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù),那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù))。

一個(gè)數(shù),如果除了1和它本身還有別的因數(shù),那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。

3.1既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。

4.20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19。

四、和與積的奇偶性。

奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)　奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)　偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)　奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)　偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)

溫馨提示:

為了方便,在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候,我們所說(shuō)的數(shù)指的是自然數(shù)(一般不包括0)。

易錯(cuò)點(diǎn):1.2=0.3×4,我們可以說(shuō)1.2是0.3的4倍,卻不能說(shuō)1.2是0.3的倍數(shù)。倍數(shù)是相對(duì)于因數(shù)而言的,只適用于非0整數(shù)。

溫馨提示:

因數(shù)和倍數(shù)是兩個(gè)不同的概念,但又是一對(duì)相互依存的概念,不能單獨(dú)存在,不能說(shuō)誰(shuí)是因數(shù),也不能說(shuō)誰(shuí)是倍數(shù),應(yīng)該說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)或誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。

易錯(cuò)點(diǎn):在24÷3=8中,我們不能說(shuō)24是倍數(shù),3是因數(shù),而要說(shuō)24是3的倍數(shù),3是24的因數(shù)。

溫馨提示:

1是任何數(shù)的因數(shù),一個(gè)非0自然數(shù)既是它本身的因數(shù),也是它本身的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的,在寫一個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí),要在寫出的倍數(shù)的后面加省略號(hào)。

溫馨提示:

同時(shí)是2和3的倍數(shù)的特征:個(gè)位上是0,2,4,6,8,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù);

同時(shí)是3和5的倍數(shù)的特征:個(gè)位上是0或5的數(shù),各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù);

同時(shí)是2和5的倍數(shù)的特征:個(gè)位上是0的數(shù);

同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)的特征:個(gè)位上是0,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。

易錯(cuò)點(diǎn):判斷質(zhì)數(shù)與合數(shù)時(shí),與因數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān);判斷奇數(shù)與偶數(shù)時(shí),與能否被2整除有關(guān),它們之間沒有必然的聯(lián)系,但有交叉部分,所有的偶數(shù)都是合數(shù)(2除外);質(zhì)數(shù)與質(zhì)數(shù)的和也有可能是質(zhì)數(shù),如2+3=5。

3　長(zhǎng)方體和正方體

一、認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體的特征及它們的展開圖。

1.長(zhǎng)方體是由6個(gè)長(zhǎng)方形(特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形)圍成的立體圖形。在一個(gè)長(zhǎng)方體中,相對(duì)的面完全相同,相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等。長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn),12條棱。

2.相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。

3.長(zhǎng)方體12條棱的長(zhǎng)度和叫做長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和。

長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=4條長(zhǎng)+4條寬+4條高=(長(zhǎng)+寬+高)×4。

用字母表示:C=(a+b+h)×4。

4.正方體是由6個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形,正方體有8個(gè)頂點(diǎn),12條棱,12條棱的長(zhǎng)度都相等。

5.正方體是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體,正方體是特殊的長(zhǎng)方體。

6.正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12。用字母表示:C=12a。

7.認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體的展開圖。

二、掌握長(zhǎng)方體和正方體表面積的計(jì)算方法,并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

1.長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積,叫做它的表面積。

2.長(zhǎng)方體的表面積=(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)×2。

用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。

3.正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6。

用字母表示:S=6a2。

4.如果把一個(gè)長(zhǎng)方體沿一個(gè)面截成n塊,就增加了2(n-1)個(gè)截面,每個(gè)截面的4條棱就是增加的棱,總共增加了8(n-1)條棱。

三、了解體積的意義及計(jì)量單位,會(huì)進(jìn)行單位之間的換算。

1.物體所占空間的大小叫做物體的體積。

2.常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米,可以分別寫成cm3、dm3、m3。

3.棱長(zhǎng)是1

cm的正方體,體積是1

c;

棱長(zhǎng)是1

dm的正方體,體積是1

dm3;

棱長(zhǎng)是1

m的正方體,體積是1

m3。

四、掌握長(zhǎng)方體和正方體體積的計(jì)算,并會(huì)運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題。

1.長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。

用字母表示:V=abh。

2.正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。

用字母表示:V=a3。

3.長(zhǎng)方體和正方體體積的統(tǒng)一公式:

長(zhǎng)方體和正方體的體積=底面積×高。

用字母表示:V=Sh。

4.體積單位間的進(jìn)率:

1立方分米=1000立方厘米　　　1立方米=1000立方分米

相鄰的兩個(gè)體積單位間的進(jìn)率是1000。

5.體積單位的換算與以前學(xué)過(guò)的長(zhǎng)度、面積單位的換算方法基本相同,只是相鄰的兩個(gè)體積單位間的進(jìn)率是1000。

6.已知長(zhǎng)方體的體積、長(zhǎng)、寬、高四個(gè)量中的任意三個(gè)量,都能求出另一個(gè)未知量。

a=V÷b÷h　　b=V÷a÷h　　h=V÷a÷b

五、認(rèn)識(shí)容積的意義及計(jì)量單位,會(huì)進(jìn)行容積單位和體積單位的互化。

1.容器所能容納物體的體積,通常叫做它們的容積。

2.計(jì)量容積,一般用體積單位。計(jì)量液體的體積,如水、油等,常用容積單位升和毫升,也可以寫作L或mL。

3.容積單位的換算:1升=1000毫升

容積單位和體積單位的關(guān)系:1升=1立方分米

1毫升=1立方厘米

4.長(zhǎng)方體或正方體容器容積的計(jì)算方法跟體積的計(jì)算方法相同,但要從容器里面量長(zhǎng)、寬、高。

六、測(cè)量不規(guī)則物體的體積。

測(cè)量不規(guī)則物體的體積,通常采用排水法:

1.利用有刻度的量筒或量杯,記錄下放入不規(guī)則物體前后的刻度,上升的那部分水的體積就是不規(guī)則物體的體積。

2.容器內(nèi)裝滿水,把不規(guī)則物體放進(jìn)容器里(完全浸沒),溢出的水的體積就是不規(guī)則物體的體積。

七、把棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體拼成棱長(zhǎng)為n厘米的大正方體后涂色,涂色面的規(guī)律是:

1.三面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)=正方體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)=8;

2.兩面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)=正方體的棱長(zhǎng)總數(shù)乘棱長(zhǎng)減2的差=12×(n-2);

3.一面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)=正方體的面數(shù)乘棱長(zhǎng)減2的差的平方=6×(n-2)2。

特別注意:

當(dāng)長(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面是正方形時(shí),其他四個(gè)面是大小和形狀完全相同的長(zhǎng)方形。

溫馨提示:

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的位置不是固定不變的。長(zhǎng)方體的擺法不同,長(zhǎng)、寬、高也就不同。

溫馨提示:

長(zhǎng)方體的上面和下面、前面和后面、左面和右面分別是相對(duì)的面。

溫馨提示:

長(zhǎng)方體和正方體的展開圖并不是唯一的,左圖只是其中的一種。

特別注意:

在解決實(shí)際生活中有關(guān)長(zhǎng)方體物品的表面積問(wèn)題時(shí),首先要根據(jù)實(shí)際情況確定要求的是哪些面的面積之和。

溫馨提示:

要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用不同的計(jì)量單位進(jìn)行計(jì)算,問(wèn)題的單位和已知條件的單位不統(tǒng)一時(shí),可以先計(jì)算,再換算單位;也可以先換算單位,再計(jì)算。

特別注意:

有時(shí)候可以把物體的橫截面積看作底面積。

溫馨提示:

在同類的計(jì)量單位中,較大的單位叫高級(jí)單位,較小的單位叫低級(jí)單位,高級(jí)單位和低級(jí)單位是相對(duì)而言的。由高級(jí)單位換算成低級(jí)單位,要乘進(jìn)率;由低級(jí)單位換算成高級(jí)單位,要除以進(jìn)率。

特別注意:

體積和容積是兩個(gè)不同的概念,對(duì)同一個(gè)物體來(lái)說(shuō),兩者的大小是不同的。

特別注意:

用排水法測(cè)量不規(guī)則物體的體積時(shí),不規(guī)則物體必須完全浸入水中,才能測(cè)量。

4　分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)

一、了解分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生,理解分?jǐn)?shù)的意義,明確分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系。

1.實(shí)際生活中,在進(jìn)行測(cè)量、分物或計(jì)算時(shí),往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果,在這種情況下就產(chǎn)生了另一種數(shù)——分?jǐn)?shù)。

2.一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或是一些物體等都可以看作一個(gè)整體,這個(gè)整體可以用自然數(shù)1表示,通常把它叫做單位“1”。

3.把單位“1”平均分成若干份,這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。

4.把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。

一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是幾,它的分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一,分子是幾,它就有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

5.兩個(gè)數(shù)相除,商可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示,即被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)除數(shù),用字母表示為a÷b=ab(b≠0)。反之,分?jǐn)?shù)也可以看作兩個(gè)數(shù)相除,分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于被除數(shù),分母相當(dāng)于除數(shù),分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號(hào)。

6.求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)(0除外)的幾分之幾的問(wèn)題的解題方法:一個(gè)數(shù)÷另一個(gè)數(shù)=一個(gè)數(shù)另一個(gè)數(shù),即比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=比較量標(biāo)準(zhǔn)量,商表示的是兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系(也可以稱部分與整體的關(guān)系),沒有單位名稱。

7.分?jǐn)?shù)不但可以表示部分與整體的關(guān)系,還可以表示具體的數(shù)量。當(dāng)分?jǐn)?shù)表示具體的數(shù)量時(shí),可以加單位名稱。

二、認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù),能把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)。

1.分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù)小于1。

2.分子比分母大或分子等于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。

3.由整數(shù)(0除外)和真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)叫做帶分?jǐn)?shù),帶分?jǐn)?shù)大于1。

4.帶分?jǐn)?shù)的讀法:先讀帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,再讀分?jǐn)?shù)部分,分?jǐn)?shù)部分和整數(shù)部分中間加一個(gè)“又”字。

5.帶分?jǐn)?shù)的寫法:“又”前面是整數(shù)部分,后面是分?jǐn)?shù)部分,先寫整數(shù)部分,再寫分?jǐn)?shù)部分。

6.假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的方法:根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的方法是用分子除以分母。當(dāng)分子是分母的整數(shù)倍時(shí),能化成整數(shù),商就是這個(gè)整數(shù);當(dāng)分子不是分母的整數(shù)倍時(shí),能化成帶分?jǐn)?shù),商是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,余數(shù)是分?jǐn)?shù)部分的分子,分母不變。

三、理解并掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),會(huì)比較分?jǐn)?shù)的大小。

1.分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)的大小不變,這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

2.根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),可以把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母不同而大小不變的分?jǐn)?shù),也可以把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成指定分母的分?jǐn)?shù)。

四、理解公因數(shù)與最大公因數(shù)、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的意義,能找出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù),能比較熟練地進(jìn)行通分。

1.幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù),其中最大的公因數(shù),叫做它們的最大公因數(shù)。

2.求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法:

(1)列舉法:先分別找出兩個(gè)數(shù)的因數(shù),從中找出公因數(shù),再找出公因數(shù)中最大的那個(gè);

(2)篩選法:先找出兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)的因數(shù),從中圈出另一個(gè)數(shù)的因數(shù),再看哪一個(gè)最大;

(3)分解質(zhì)因數(shù)法:先把每個(gè)數(shù)都寫成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式,再?gòu)倪@些質(zhì)因數(shù)中找出這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù),這些公有的質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù);

(4)短除法:先把這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)按從小到大的順序依次作除數(shù),連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù),直到得出的兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)相乘,所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。以求12和18的最大公因數(shù)為例:

12和18的最大公因數(shù)是2×3=6。

3.求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的特殊情況:

(1)當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí),較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù);

(2)當(dāng)兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)只有1時(shí),它們的最大公因數(shù)就是1。

4.把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等,但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù),叫做約分。約分依據(jù)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

5.分子和分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。約分時(shí),通常要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

6.幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

7.求兩個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的方法:

(1)列舉法:先分別找出兩個(gè)數(shù)的倍數(shù),從中找出公倍數(shù),再找出最小的那個(gè);

(2)篩選法:先找出兩個(gè)數(shù)中較大數(shù)的倍數(shù),從中圈出另一個(gè)數(shù)的倍數(shù),再看哪一個(gè)最小;

(3)分解質(zhì)因數(shù)法:把每個(gè)數(shù)都寫成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式,其中相同的質(zhì)因數(shù)與各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù);

(4)短除法:先把這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)按從小到大的順序依次作除數(shù),連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù),直到得出的兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)和最后所得的商連乘,所得的積就是它們的最小公倍數(shù)。以求12和18的最小公倍數(shù)為例:

12和18的最小公倍數(shù)是2×3×2×3=36。

8.同分母分?jǐn)?shù)、同分子分?jǐn)?shù)的大小比較方法:

(1)分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù),分子大的分?jǐn)?shù)比較大;

(2)分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù),分母小的分?jǐn)?shù)反而大。

9.通分的意義及通分的方法:

(1)通分的意義:把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù),叫做通分。

(2)通分的方法:通分時(shí)用原分母的公倍數(shù)作公分母,為了計(jì)算簡(jiǎn)便,通常選用它們的最小公倍數(shù)作公分母,然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

10.分?jǐn)?shù)的大小比較:

比較異分母分?jǐn)?shù)的大小:先通分化成分母相同的分?jǐn)?shù),再比較大小。

五、掌握分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化方法。

1.小數(shù)就是表示十分之幾,百分之幾,千分之幾……的數(shù),所以可以先直接寫成分母是10,100,1000……的分?jǐn)?shù),再化簡(jiǎn)。

2.小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律:一位小數(shù)化分?jǐn)?shù),用10作分母,一位小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子;兩位小數(shù)化分?jǐn)?shù),用100作分母,兩位小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子……把小數(shù)化成分?jǐn)?shù),能約分的都應(yīng)約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

3.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法:

(1)分母是10,100,1000……的分?jǐn)?shù)化成小數(shù),可以直接去掉分母,看分母中有幾個(gè)0,有幾個(gè)0就在分子中從右邊起向左數(shù)出幾位,點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn);

(2)分母不是10,100,1000……的分?jǐn)?shù)化成小數(shù),用分子除以分母,除不盡時(shí),要根據(jù)需要按“四舍五入”法保留幾位小數(shù)。

(3)把帶分?jǐn)?shù)化成小數(shù),方法與上面相同,帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分作為小數(shù)的整數(shù)部分,分?jǐn)?shù)部分化成小數(shù),作為小數(shù)的小數(shù)部分。

如125=1+0.4=1.4。

溫馨提示:

把誰(shuí)平均分,就應(yīng)該把誰(shuí)看作單位“1”。

分成若干份是指分成除0以外的任意整數(shù)份,分時(shí)一定是平均分,只有平均分才可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。

分?jǐn)?shù)與除法之間的聯(lián)系非常緊密,但分?jǐn)?shù)不等同于除法,二者之間有一定的區(qū)別:除法是一種運(yùn)算,分?jǐn)?shù)是一種數(shù)。

特別注意:

因?yàn)槌ㄋ闶街械某龜?shù)不能為0,所以在分?jǐn)?shù)中分母也不能為0。

溫馨提示:

任何整數(shù)(0除外)都可以化成分母是1的假分?jǐn)?shù)。

舉例:

因?yàn)?3÷4=3……1,所以13÷4=314。

溫馨提示:

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與除法中商不變的規(guī)律類似,要注意不為0的條件。

溫馨提示:

在鋪地磚問(wèn)題中,要使地面鋪滿且使用的地磚是整塊時(shí),就是求長(zhǎng)和寬的公因數(shù),要求地磚的邊長(zhǎng)最大是多少,就是求長(zhǎng)和寬的最大公因數(shù)。

特別注意:

有些實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)數(shù)的公因數(shù),如果題目是求“最長(zhǎng)”“最多”等問(wèn)題,就是求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

溫馨提示:

每個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,因此兩個(gè)數(shù)或多個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)也是有限的。

溫馨提示:

約分的方法:

(1)逐步約分法。用分?jǐn)?shù)的分子和分母的公因數(shù)(1除外)逐次去除分子和分母,直到得出一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

(2)一次約分法。用分?jǐn)?shù)的分子和分母的最大公因數(shù)去除分子和分母,即可得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

溫馨提示:

公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

特別注意:

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的,因此兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)也是無(wú)限的,只有最小公倍數(shù),沒有最大公倍數(shù)。

特別提醒:

利用公倍數(shù)和最小公倍數(shù)可以解決生活中的很多問(wèn)題,如學(xué)生在排隊(duì)的時(shí)候,每排5人或6人都正好站完。求一共有多少人,就是求5和6的公倍數(shù);求最少有多少人,就是求5和6的最小公倍數(shù)。

特別提醒:

在比較異分母分?jǐn)?shù)的大小時(shí),如果分母較大,且分?jǐn)?shù)的分子較小,這時(shí)可以化成同分子分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較。

特別提醒:

分母如果只含有2和5這兩個(gè)因數(shù),這樣的分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù);分母如果含有2

和5以外的質(zhì)因數(shù),這樣的分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

5　圖形的運(yùn)動(dòng)(三)

一、認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn),探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì),體會(huì)圖形旋轉(zhuǎn)的基本要素。

1.旋轉(zhuǎn)的含義:

物體繞某一點(diǎn)或軸運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象稱為旋轉(zhuǎn)。

2.旋轉(zhuǎn)的特征:

旋轉(zhuǎn)中心的位置不變,所有邊旋轉(zhuǎn)的方向相同,旋轉(zhuǎn)的角度也相同;旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化,只是位置變了。

3.把與鐘表上指針的旋轉(zhuǎn)方向相同的方向稱為順時(shí)針?lè)较?與鐘表上指針的方向相反的方向稱為逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

4.圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):

圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù),圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段都旋轉(zhuǎn)相同的度數(shù),對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的距離相等,對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角都分別相等。

5.旋轉(zhuǎn)的三要素:

(1)旋轉(zhuǎn)中心:

物體旋轉(zhuǎn)時(shí)所繞的點(diǎn),也叫旋轉(zhuǎn)中心。

(2)旋轉(zhuǎn)方向:

順時(shí)針?lè)较蚧蚰鏁r(shí)針?lè)较颉?/p>

(3)旋轉(zhuǎn)角度:

對(duì)應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)連線的夾角的度數(shù)。

6.描述圖形旋轉(zhuǎn)的方法:

圖形繞哪個(gè)點(diǎn)按什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)了多少度。

二、能在方格紙上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖。

1.把一個(gè)簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)一定角度的畫法:

(1)找出原圖形的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)所在的位置;

(2)確定關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的距離;

(3)確定關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn),對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)所連線段和相應(yīng)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)所連線段形成的夾角和旋轉(zhuǎn)的度數(shù)一致,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的距離與相應(yīng)的關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的距離相等;

(4)把描出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)按順序連線。

2.圖形旋轉(zhuǎn)時(shí),它的中心點(diǎn)、角上的點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心,可根據(jù)實(shí)際需要來(lái)選擇。哪一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中位置沒有改變,就是繞那一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的。

3.圖形旋轉(zhuǎn)180度時(shí),順時(shí)針和逆時(shí)針得到的結(jié)果是相同的,所以可以不必注明旋轉(zhuǎn)方向。

三、在具體的操作過(guò)程中探索多個(gè)圖形拼組新圖形的運(yùn)動(dòng)變化,學(xué)會(huì)用圖形變換解決實(shí)際問(wèn)題。

1.用平移和旋轉(zhuǎn)拼組圖形時(shí),先確定原來(lái)的每個(gè)圖形在拼成的圖形上的位置,再確定每個(gè)圖形是如何通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)得到的。

2.在探究圖形的運(yùn)動(dòng)時(shí),要多角度思考,圖形的運(yùn)動(dòng)有時(shí)不只一種形式,有可能是多種運(yùn)動(dòng)相結(jié)合。

溫馨提示:

把鐘面看作一個(gè)圓周,是360度。鐘面上有12個(gè)大格,每個(gè)大格是360÷12=30(度),也就是說(shuō),指針每走1個(gè)大格就旋轉(zhuǎn)了30度。

溫馨提示:

描述物體的旋轉(zhuǎn)時(shí),一定要說(shuō)清旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度。旋轉(zhuǎn)后的圖形與旋轉(zhuǎn)前的圖形相比較,每條邊、每個(gè)點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)了相同的角度,但圖形的大小、形狀都沒有發(fā)生改變。

易錯(cuò)點(diǎn):用平移和旋轉(zhuǎn)拼組圖形時(shí),要先觀察和思考變化前后各部分的位置,再確定位置改變的圖形是如何通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)得到的。

平移作圖:①選好基本圖案;②確定平移的方向;③確定平移的距離;④畫出平移后的圖形。

旋轉(zhuǎn)作圖:①選好基本圖案;②確定旋轉(zhuǎn)中心;③確定旋轉(zhuǎn)角度和方向;④依次畫出每次旋轉(zhuǎn)后的圖形。

6　分?jǐn)?shù)的加法和減法

一、理解同分母分?jǐn)?shù)加、減法的算理,掌握同分母分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算方法。

1.分?jǐn)?shù)加法的意義:與整數(shù)加法的意義相同,就是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

2.分?jǐn)?shù)減法的意義:與整數(shù)減法的意義相同,就是已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。

3.分?jǐn)?shù)單位相同,也就是計(jì)數(shù)單位相同,計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)可以直接相加、減。

4.同分母分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算方法:

(1)同分母分?jǐn)?shù)相加,只把分子相加,分母不變。用字母表示是ba+ca=b+ca;

(2)同分母分?jǐn)?shù)相減,只把分子相減,分母不變。用字母表示是ba-ca=b-ca。

二、理解異分母分?jǐn)?shù)加、減法的算理,掌握異分母分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算方法。

1.異分母分?jǐn)?shù)相加、減,先通分,把它們化成同分母分?jǐn)?shù),再按照同分母分?jǐn)?shù)加、減法的法則進(jìn)行計(jì)算。

2.分子是1的分?jǐn)?shù)相加、減的簡(jiǎn)便運(yùn)算:

(1)1a+1b=a+bab;

如:15+17=5+75×7=1235

(2)1a-1b=b-aab;

如:15-17=7-55×7=235

(分子是1的分?jǐn)?shù)相加、減,如果分母a和b是互質(zhì)數(shù),那么計(jì)算結(jié)果一定是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù);如果分母a和b不是互質(zhì)數(shù),那么計(jì)算結(jié)果一定不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。)

(3)一個(gè)分?jǐn)?shù)如果由兩個(gè)相鄰自然數(shù)的積作分母,1作分子,形如1a(a+1)(a為不等于0的自然數(shù)),那么可以把這個(gè)分?jǐn)?shù)拆分成1a-1a+1,即1a(a+1)=1a-1a+1.三、掌握分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的運(yùn)算順序,能正確進(jìn)行分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算。

1.分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)加減混合運(yùn)算的順序相同。有括號(hào)的,先算括號(hào)里面的,再算括號(hào)外面的;沒有括號(hào)的,按從左往右的順序依次進(jìn)行計(jì)算。

2.異分母分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算:

算式中如果沒有括號(hào),幾個(gè)分?jǐn)?shù)可以一次通分進(jìn)行計(jì)算,也可以分步通分,分步計(jì)算;有括號(hào)的,要先將括號(hào)里的分?jǐn)?shù)通分,計(jì)算出結(jié)果,再與括號(hào)外面進(jìn)行計(jì)算。

3.一個(gè)數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)分?jǐn)?shù),等于從這個(gè)數(shù)里減去這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和。

4.在有括號(hào)的分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算中,括號(hào)前是減號(hào),去掉括號(hào)后,原括號(hào)里的加、減運(yùn)算符號(hào)要變成相反的運(yùn)算符號(hào);減號(hào)后加括號(hào),括號(hào)里的加、減運(yùn)算符號(hào)也應(yīng)和原來(lái)的運(yùn)算符號(hào)相反。如:

1811-711-38　　　　319-715+715

=1811-711+38

=319-715-715

=1+38

=319-0

=138

=319

5.在計(jì)算的過(guò)程中,“1”可以化成任意一個(gè)在計(jì)算中需要的分子和分母相同的分?jǐn)?shù),最后結(jié)果要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

四、理解整數(shù)加法的運(yùn)算定律對(duì)于分?jǐn)?shù)加法同樣適用,并能靈活運(yùn)用這些運(yùn)算定律進(jìn)行一些分?jǐn)?shù)加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

整數(shù)加法的交換律和結(jié)合律對(duì)于分?jǐn)?shù)加法同樣適用。

溫馨提示:

同分母分?jǐn)?shù)相加、減,分母不變,只把分子相加、減,計(jì)算的結(jié)果要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

溫馨提示:

可以用驗(yàn)算的方法檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否正確。分?jǐn)?shù)加、減法的驗(yàn)算方法與整數(shù)加、減法的驗(yàn)算方法相同。

特別提醒:

雖然實(shí)際生活中不會(huì)有分子是0的情況,但是在計(jì)算過(guò)程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)分子是0的情況,分子是0的分?jǐn)?shù),它的分?jǐn)?shù)值是0。

例如:

15-15=05=0。

特別提醒:

假分?jǐn)?shù)也可以作為分?jǐn)?shù)計(jì)算的最后結(jié)果,但一定要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

易錯(cuò)點(diǎn):分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的運(yùn)算順序容易產(chǎn)生錯(cuò)誤,改變算式的運(yùn)算順序時(shí),一定要按照運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行。

7　折線統(tǒng)計(jì)圖

一、認(rèn)識(shí)單式折線統(tǒng)計(jì)圖,了解單式折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn),能根據(jù)需要用折線統(tǒng)計(jì)圖直觀地表示數(shù)據(jù)。

1.折線統(tǒng)計(jì)圖:先用一定的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量,根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn),然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái)。

2.折線統(tǒng)計(jì)圖的作用:既可以表示出數(shù)量的多少,又能反映出數(shù)量的增減變化。

3.繪制折線統(tǒng)計(jì)圖的方法:

(1)畫出橫軸和縱軸(補(bǔ)畫統(tǒng)計(jì)圖時(shí),此步驟已給出);(2)確定一個(gè)單位長(zhǎng)度表示數(shù)量的多少(補(bǔ)畫統(tǒng)計(jì)圖時(shí),此步驟已給出);(3)描點(diǎn),描點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意先找準(zhǔn)橫軸上的點(diǎn),再找準(zhǔn)縱軸上相對(duì)應(yīng)的點(diǎn),過(guò)兩點(diǎn)分別作橫軸、縱軸的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)就是所要描的點(diǎn),在交點(diǎn)處點(diǎn)上實(shí)心點(diǎn);(4)用線段順次連接所有點(diǎn),并標(biāo)注數(shù)據(jù);(5)標(biāo)注好日期和標(biāo)題。

4.折線統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用:

可以根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題,并進(jìn)行合理的推測(cè)。

二、認(rèn)識(shí)復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖,了解復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn),能根據(jù)需要用復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖直觀地表示數(shù)據(jù),并能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析。

1.復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖:如果在統(tǒng)計(jì)過(guò)程中存在兩組(或多組)數(shù)據(jù),且需要在一幅統(tǒng)計(jì)圖中表示出這兩組(或多組)數(shù)據(jù),就要用兩種(或多種)不同顏色(或不同形式)的折線來(lái)表示不同數(shù)量的變化情況,這種統(tǒng)計(jì)圖就是復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。

2.復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn):復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖不但能表示出各組數(shù)據(jù)的多少,數(shù)據(jù)的增減變化情況,而且便于比較各組相關(guān)數(shù)據(jù)的差異和變化趨勢(shì)。

3.復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的繪制方法:與單式折線統(tǒng)計(jì)圖的繪制方法基本相同,只是用不同的折線表示不同的量,需標(biāo)明圖例。

溫馨提示:

折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn):先根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)的位置,然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái)。觀察折線統(tǒng)計(jì)圖,各點(diǎn)反映的是數(shù)量的多少,折線反映的是數(shù)量的增減變化。在實(shí)際問(wèn)題中,如果需要了解數(shù)量的增減變化,選用折線統(tǒng)計(jì)圖比較方便。

折線陡,說(shuō)明數(shù)量上升(或下降)得較快;折線平緩,說(shuō)明數(shù)量上升(或下降)得較慢。

連線時(shí)要用直尺,且順次連接,不能漏掉點(diǎn),數(shù)據(jù)不要寫在折線上。

在表示路程和時(shí)間的有關(guān)行程問(wèn)題的折線統(tǒng)計(jì)圖中,折線上升,表示向目的地運(yùn)動(dòng);折線處于水平狀態(tài),表示在同一地點(diǎn)停留;折線下降,表示返回出發(fā)地。

復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的最大優(yōu)勢(shì)是便于比較兩組數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì),所以看圖時(shí)要善于對(duì)比觀察。

8　數(shù)學(xué)廣角——找次品

一、會(huì)用天平找次品,掌握“找次品”這類問(wèn)題的解題方法,尋找解決問(wèn)題的最優(yōu)方案。

1.在找次品的活動(dòng)中,可以通過(guò)天平演示,也可以不實(shí)際稱量,利用天平平衡的原理找出次品。

2.實(shí)驗(yàn)記錄,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

零件個(gè)數(shù)

分成的份數(shù)

每份的數(shù)量

保證能找出次品至少需要稱的次數(shù)

2,2,2,2

4,4

3,3,2

3.用天平找次品的最優(yōu)策略(稱量次數(shù)最少):

(1)把待測(cè)物品平均分成3份;

(2)不能平均分時(shí),也應(yīng)使多的一份與少的一份只相差1,這樣才能使稱量的次數(shù)最少。

二、能利用“找次品”的數(shù)學(xué)方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

用天平找次品時(shí),所測(cè)物品數(shù)目與至少需要稱的次數(shù)有以下關(guān)系:

要辨別的物品數(shù)目

保證能找出次品至少需要稱的次數(shù)

2~3

4~9

10~27

28~81

82~243

……

……

溫馨提示:

“保證能”就是指每一條“可能的路徑”都要考慮到,不能停留在“運(yùn)氣好”的情況。

溫馨提示:

“至少”就是指在保證一定能找出次品的各種方法中,稱量次數(shù)最少的那種方法。

特別注意:

在稱量找次品的過(guò)程中,有時(shí)一次就能找到次品,但這是偶然的情況,不具有一般性。