4　分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)

一、了解分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生,理解分?jǐn)?shù)的意義,明確分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系。

1.實際生活中,在進(jìn)行測量、分物或計算時,往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果,在這種情況下就產(chǎn)生了另一種數(shù)——分?jǐn)?shù)。

2.一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體,這個整體可以用自然數(shù)1表示,通常把它叫做單位“1”。

3.把單位“1”平均分成若干份,這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。

4.把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。

一個分?jǐn)?shù)的分母是幾,它的分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一,分子是幾,它就有幾個這樣的分?jǐn)?shù)單位。

5.兩個數(shù)相除,商可以用分?jǐn)?shù)來表示,即被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)除數(shù),用字母表示為a÷b=ab(b≠0)。反之,分?jǐn)?shù)也可以看作兩個數(shù)相除,分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于被除數(shù),分母相當(dāng)于除數(shù),分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號。

6.求一個數(shù)是另一個數(shù)(0除外)的幾分之幾的問題的解題方法:一個數(shù)÷另一個數(shù)=一個數(shù)另一個數(shù),即比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=比較量標(biāo)準(zhǔn)量,商表示的是兩個數(shù)的倍比關(guān)系(也可以稱部分與整體的關(guān)系),沒有單位名稱。

7.分?jǐn)?shù)不但可以表示部分與整體的關(guān)系,還可以表示具體的數(shù)量。當(dāng)分?jǐn)?shù)表示具體的數(shù)量時,可以加單位名稱。

二、認(rèn)識真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù),能把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)。

1.分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù)小于1。

2.分子比分母大或分子等于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。

3.由整數(shù)(0除外)和真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)叫做帶分?jǐn)?shù),帶分?jǐn)?shù)大于1。

4.帶分?jǐn)?shù)的讀法:先讀帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,再讀分?jǐn)?shù)部分,分?jǐn)?shù)部分和整數(shù)部分中間加一個“又”字。

5.帶分?jǐn)?shù)的寫法:“又”前面是整數(shù)部分,后面是分?jǐn)?shù)部分,先寫整數(shù)部分,再寫分?jǐn)?shù)部分。

6.假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的方法:根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的方法是用分子除以分母。當(dāng)分子是分母的整數(shù)倍時,能化成整數(shù),商就是這個整數(shù);當(dāng)分子不是分母的整數(shù)倍時,能化成帶分?jǐn)?shù),商是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,余數(shù)是分?jǐn)?shù)部分的分子,分母不變。

三、理解并掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),會比較分?jǐn)?shù)的大小。

1.分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)的大小不變,這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

2.根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),可以把一個分?jǐn)?shù)化成分母不同而大小不變的分?jǐn)?shù),也可以把一個分?jǐn)?shù)化成指定分母的分?jǐn)?shù)。

四、理解公因數(shù)與最大公因數(shù)、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的意義,能找出兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù),能比較熟練地進(jìn)行通分。

1.幾個數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個數(shù)的公因數(shù),其中最大的公因數(shù),叫做它們的最大公因數(shù)。

2.求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法:

(1)列舉法:先分別找出兩個數(shù)的因數(shù),從中找出公因數(shù),再找出公因數(shù)中最大的那個;

(2)篩選法:先找出兩個數(shù)中較小數(shù)的因數(shù),從中圈出另一個數(shù)的因數(shù),再看哪一個最大;

(3)分解質(zhì)因數(shù)法:先把每個數(shù)都寫成幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式,再從這些質(zhì)因數(shù)中找出這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù),這些公有的質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù);

(4)短除法:先把這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)按從小到大的順序依次作除數(shù),連續(xù)去除這兩個數(shù),直到得出的兩個商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)相乘,所得的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。以求12和18的最大公因數(shù)為例:

12和18的最大公因數(shù)是2×3=6。

3.求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的特殊情況:

(1)當(dāng)兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時,較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù);

(2)當(dāng)兩個數(shù)的公因數(shù)只有1時,它們的最大公因數(shù)就是1。

4.把一個分?jǐn)?shù)化成和它相等,但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù),叫做約分。約分依據(jù)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

5.分子和分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)是最簡分?jǐn)?shù)。約分時,通常要約成最簡分?jǐn)?shù)。

6.幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個,叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

7.求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的方法:

(1)列舉法:先分別找出兩個數(shù)的倍數(shù),從中找出公倍數(shù),再找出最小的那個;

(2)篩選法:先找出兩個數(shù)中較大數(shù)的倍數(shù),從中圈出另一個數(shù)的倍數(shù),再看哪一個最小;

(3)分解質(zhì)因數(shù)法:把每個數(shù)都寫成幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式,其中相同的質(zhì)因數(shù)與各自獨有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù);

(4)短除法:先把這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)按從小到大的順序依次作除數(shù),連續(xù)去除這兩個數(shù),直到得出的兩個商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)和最后所得的商連乘,所得的積就是它們的最小公倍數(shù)。以求12和18的最小公倍數(shù)為例:

12和18的最小公倍數(shù)是2×3×2×3=36。

8.同分母分?jǐn)?shù)、同分子分?jǐn)?shù)的大小比較方法:

(1)分母相同的兩個分?jǐn)?shù),分子大的分?jǐn)?shù)比較大;

(2)分子相同的兩個分?jǐn)?shù),分母小的分?jǐn)?shù)反而大。

9.通分的意義及通分的方法:

(1)通分的意義:把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù),叫做通分。

(2)通分的方法:通分時用原分母的公倍數(shù)作公分母,為了計算簡便,通常選用它們的最小公倍數(shù)作公分母,然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

10.分?jǐn)?shù)的大小比較:

比較異分母分?jǐn)?shù)的大小:先通分化成分母相同的分?jǐn)?shù),再比較大小。

五、掌握分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化方法。

1.小數(shù)就是表示十分之幾,百分之幾,千分之幾……的數(shù),所以可以先直接寫成分母是10,100,1000……的分?jǐn)?shù),再化簡。

2.小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律:一位小數(shù)化分?jǐn)?shù),用10作分母,一位小數(shù)去掉小數(shù)點作分子;兩位小數(shù)化分?jǐn)?shù),用100作分母,兩位小數(shù)去掉小數(shù)點作分子……把小數(shù)化成分?jǐn)?shù),能約分的都應(yīng)約成最簡分?jǐn)?shù)。

3.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法:

(1)分母是10,100,1000……的分?jǐn)?shù)化成小數(shù),可以直接去掉分母,看分母中有幾個0,有幾個0就在分子中從右邊起向左數(shù)出幾位,點上小數(shù)點;

(2)分母不是10,100,1000……的分?jǐn)?shù)化成小數(shù),用分子除以分母,除不盡時,要根據(jù)需要按“四舍五入”法保留幾位小數(shù)。

(3)把帶分?jǐn)?shù)化成小數(shù),方法與上面相同,帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分作為小數(shù)的整數(shù)部分,分?jǐn)?shù)部分化成小數(shù),作為小數(shù)的小數(shù)部分。

如125=1+0.4=1.4。

溫馨提示:

把誰平均分,就應(yīng)該把誰看作單位“1”。

分成若干份是指分成除0以外的任意整數(shù)份,分時一定是平均分,只有平均分才可以用分?jǐn)?shù)來表示。

分?jǐn)?shù)與除法之間的聯(lián)系非常緊密,但分?jǐn)?shù)不等同于除法,二者之間有一定的區(qū)別:除法是一種運算,分?jǐn)?shù)是一種數(shù)。

特別注意:

因為除法算式中的除數(shù)不能為0,所以在分?jǐn)?shù)中分母也不能為0。

溫馨提示:

任何整數(shù)(0除外)都可以化成分母是1的假分?jǐn)?shù)。

舉例:

因為13÷4=3……1,所以13÷4=314。

溫馨提示:

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與除法中商不變的規(guī)律類似,要注意不為0的條件。

溫馨提示:

在鋪地磚問題中,要使地面鋪滿且使用的地磚是整塊時,就是求長和寬的公因數(shù),要求地磚的邊長最大是多少,就是求長和寬的最大公因數(shù)。

特別注意:

有些實際問題可轉(zhuǎn)化為求幾個數(shù)的公因數(shù),如果題目是求“最長”“最多”等問題,就是求幾個數(shù)的最大公因數(shù)。

溫馨提示:

每個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的,因此兩個數(shù)或多個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)也是有限的。

溫馨提示:

約分的方法:

(1)逐步約分法。用分?jǐn)?shù)的分子和分母的公因數(shù)(1除外)逐次去除分子和分母,直到得出一個最簡分?jǐn)?shù)。

(2)一次約分法。用分?jǐn)?shù)的分子和分母的最大公因數(shù)去除分子和分母,即可得到最簡分?jǐn)?shù)。

溫馨提示:

公因數(shù)只有1的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

特別注意:

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的,因此兩個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)也是無限的,只有最小公倍數(shù),沒有最大公倍數(shù)。

特別提醒:

利用公倍數(shù)和最小公倍數(shù)可以解決生活中的很多問題,如學(xué)生在排隊的時候,每排5人或6人都正好站完。求一共有多少人,就是求5和6的公倍數(shù);求最少有多少人,就是求5和6的最小公倍數(shù)。

特別提醒:

在比較異分母分?jǐn)?shù)的大小時,如果分母較大,且分?jǐn)?shù)的分子較小,這時可以化成同分子分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較。

特別提醒:

分母如果只含有2和5這兩個因數(shù),這樣的分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù);分母如果含有2

和5以外的質(zhì)因數(shù),這樣的分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。