第一篇：應(yīng)用隨機(jī)過程學(xué)習(xí)總結(jié)

應(yīng)用隨機(jī)過程學(xué)習(xí)總結(jié)

一、預(yù)備知識(shí)：概率論

隨機(jī)過程屬于概率論的動(dòng)態(tài)部分，即隨機(jī)變量隨時(shí)間不斷發(fā)展變化的過程，它以概率論作為主要的基礎(chǔ)知識(shí)。

1、概率空間方面，主要掌握sigma代數(shù)和可測(cè)空間，在隨機(jī)過程中由總體樣本空間所構(gòu)成的集合族。符號(hào)解釋： sup表示上確界，inf表示下確界。本帖隱藏的內(nèi)容

2、數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)：隨機(jī)變量完全由其概率分布來描述。其中由于概率分布較難確定，因此通常計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)字特征來估算分布總體，而矩母函數(shù)和特征函數(shù)便用于隨機(jī)變量的N階矩計(jì)算，同時(shí)唯一的決定概率分布。

3、獨(dú)立性和條件期望：獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布通常由卷積來表示，對(duì)于同為分布函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，卷積可以交換順序，同時(shí)滿足結(jié)合律和分配率。條件期望中，最重要的是理解并記憶E(X)= E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。

二、隨機(jī)過程基本概念和類型

隨機(jī)過程是概率空間上的一族隨機(jī)變量。因?yàn)檠芯侩S機(jī)過程主要是研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，由Kolmogorov定理可知，隨機(jī)過程的有限維分布族是隨機(jī)過程概率特征的完整描述。同樣，隨機(jī)過程的有限維分布也通過某些數(shù)值特征來描述。

1、平穩(wěn)過程，通常研究寬平穩(wěn)過程：如果X(t1)和X(t2)的自協(xié)方差函數(shù)r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即隨機(jī)過程X(t)的協(xié)方差函數(shù)r(t,s)只與時(shí)間差t-s有關(guān)，r(t)= r(-t)記為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。

因?yàn)橐粭l隨機(jī)序列僅僅是隨機(jī)過程的一次觀察，那么遍歷性問題便是希望將隨即過程的均值和自協(xié)方差從這一條樣本路徑中估計(jì)出來，因此寬平穩(wěn)序列只需滿足其均值遍歷性原理和協(xié)方差遍歷性原理即可。

2、獨(dú)立增量過程：若X[Tn]– X[T(n-1)]對(duì)任意n均相互獨(dú)立，則稱X(t)是獨(dú)立增量過程。若獨(dú)立增量過程的特征函數(shù)具有可乘性，則其必為平穩(wěn)增量過程。

兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，其均值函數(shù)一定是時(shí)間t的線性函數(shù)。

3、隨機(jī)過程的分類不是絕對(duì)的。例如，泊松過程既具有獨(dú)立增量又有平穩(wěn)增量，既是連續(xù)時(shí)間的馬爾科夫鏈，又是一類特殊的更新過程。參數(shù)為lambda的泊松過程減去其均值函數(shù)同時(shí)還是一個(gè)鞅。

三、泊松過程

計(jì)數(shù)過程｛N(t), t>=0｝是參數(shù)為λ的泊松過程（λ> 0），具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性。而其任意時(shí)間長(zhǎng)度t發(fā)生的次數(shù)服從均值為λ* t的泊松分布，即E[N(t)]= λ* t。

1、與泊松過程有關(guān)的若干分布：Xn表示第n次與第n-1次事件發(fā)生的時(shí)間間隔，定義Tn表示第n次事件發(fā)生的時(shí)刻，規(guī)定T0= 0。其中，Xn服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立。泊松過程在任何時(shí)候都是重新開始。Tn服從參數(shù)為n和λ的Γ分布

四、更新過程

更新過程{N(t),t>=0}中Xn仍保持獨(dú)立同分布性，但分布任意，不再局限于指數(shù)分布。更新過程中事件發(fā)生一次叫做一次更新，此時(shí)Xn就是第n-1次和第n次更新相距的時(shí)間，Tn是第n次更新發(fā)生的時(shí)刻，而N(t)就是t時(shí)刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù)。

由強(qiáng)大數(shù)定理可知，無窮多次更新只可能在無限長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)發(fā)生。因此，有限長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)最多只能發(fā)生有限次更新。

1、更新函數(shù)：更新理論中大部分內(nèi)容都是有關(guān)E[N(t)]的性質(zhì)。以M(t)記為E[N(t)]，稱為更新函數(shù)。此時(shí)，M(t)是關(guān)于t的函數(shù)而不是隨機(jī)變量。

2、更 新方程：若H(t)，F(xiàn)(t)為已知，且當(dāng)t<0時(shí)，H(t)與F(t)均為0，同時(shí)當(dāng)H(t)在任何區(qū)間上有界時(shí)，稱具有如下形式的方程K(t)= H(t)+ intergral(K(t-s)*dF(s))的方程稱為更新方程。當(dāng)H(t)為有界函數(shù)時(shí)，更新方程存在唯一的有限區(qū)間內(nèi)的有界的解K(t)= H(t)+ intergral(H(t-s)*dM(s))。

3、更新定理：Feller初等定理、Blackwell更新定理、關(guān)鍵更新定理。其中Blackwell定理指出，在遠(yuǎn)離原點(diǎn)的某長(zhǎng)度為a的區(qū)間內(nèi)，更新次數(shù)的期望是a/u，u = E(Xn)。同時(shí)，Smith關(guān)鍵更新定理與Blackwell定理等價(jià)。

五、馬爾科夫鏈 馬 爾科夫鏈中的轉(zhuǎn)移概率為條件概率，同時(shí)給定過去的狀態(tài)X0，?，Xn-1和現(xiàn)在的狀態(tài)Xn，將來的狀態(tài)Xn+1的條件分布與過去的狀態(tài)獨(dú)立，只依賴于現(xiàn)在 的狀態(tài)。其中，Pij = P{Xn+1=j | Xn=i}為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率，它代表處于狀態(tài)i的過程下一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率。

當(dāng)轉(zhuǎn)移概率Pij只與狀態(tài)i，j有關(guān)而與n無關(guān)時(shí)，稱為時(shí)齊馬爾科夫鏈，同時(shí)當(dāng)狀態(tài)有限時(shí)，稱為有限鏈。轉(zhuǎn)移概率矩陣中概率非負(fù)，同時(shí)隨機(jī)矩陣中每一行的元素和為1。

記Pij(n)為n步轉(zhuǎn)移概率，它指系統(tǒng)從狀態(tài)i經(jīng)過n步后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，而對(duì)中間n-1步轉(zhuǎn)移經(jīng)過的狀態(tài)無要求。對(duì)n步轉(zhuǎn)移概率和轉(zhuǎn)移矩陣，有C-K方程公式。

1.狀態(tài)的分類和性質(zhì)：如果狀態(tài)i經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移后到達(dá)j的概率大于0，稱狀態(tài)i可達(dá)狀態(tài)j。若同時(shí)狀態(tài)j可達(dá)狀態(tài)i，則稱i與j互通，兩兩互通的狀態(tài)有傳遞 性。我們將互通的各個(gè)狀態(tài)歸為一類，自己和自己互通，當(dāng)一個(gè)馬爾科夫鏈中只有一類時(shí)稱為不可約類，否則則是可約類。

如果狀態(tài)i可以經(jīng)過n步回到i狀態(tài)，則將所有n的最大公約數(shù)記為狀態(tài)i的周期，即d(i)，如果d>1，則稱i是周期的，如果d=1則為非周期，空集時(shí)為無窮大。同屬于一類的兩狀態(tài)周期相同。

記 狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)n步后首次到達(dá)j的概率為Fij(n)，則所有可能n的概率Fij(n)加起來的和記為Fij。若Fij=1，i為常返狀態(tài)，F(xiàn)ij< 1，i為非常返狀態(tài)或瞬時(shí)狀態(tài)。對(duì)于常返狀態(tài)i，記Ui為從i第一次回到i的期望步長(zhǎng)，若Ui有限，稱i為正常返狀態(tài)，若趨于無窮大，則為零常返狀態(tài)。若 正常返狀態(tài)i同時(shí)還是非周期的，則稱之為遍歷狀態(tài)。若遍歷狀態(tài)且Fii(1)=1，則稱為吸收狀態(tài)，此時(shí)Ui=1。

對(duì)于同屬于一類的狀態(tài)i，j，他們同為常返狀態(tài)或非常返狀態(tài)，并且當(dāng)他們是常返狀態(tài)時(shí)，又同為正常返狀態(tài)或零常返狀態(tài)。狀態(tài)i至j的n步轉(zhuǎn)移概率與首達(dá)概率間存在一定關(guān)系。同時(shí)若i與j互通且i為常返狀態(tài)，則Fji = 1。2.極限定理及平穩(wěn)分布：馬爾科夫鏈的極限情況即狀態(tài)i經(jīng)過無窮多步轉(zhuǎn)移后到達(dá)i的概率是多少。有結(jié)論，若狀態(tài)i是周期為d的常返狀態(tài)，則Pii(nd)= d/Ui，即經(jīng)過無窮多步后回到i的概率為常數(shù)，上述定理對(duì)Pij也有效。同時(shí)，不可約的有限馬爾科夫鏈?zhǔn)钦７档摹?/p>

若 對(duì)于馬爾科夫鏈Pj = P(Xn = j)= sum(Pi*Pij)，則概率分布Pj為平穩(wěn)分布。因?yàn)榇藭r(shí)，對(duì)于任意Xn均有相同的分布。同時(shí)，對(duì)于遍歷的馬爾科夫鏈，極限分布就是平穩(wěn)分布并且還是 唯一的平穩(wěn)分布。極限分布即為很長(zhǎng)時(shí)間后，無論最開始狀態(tài)如何，最終達(dá)到某一狀態(tài)的概率。若對(duì)于遍歷的馬爾科夫鏈，該概率是穩(wěn)定的趨于常數(shù)。

3.連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈、Kolmogorov微分方程

六、鞅

鞅 的定義是從條件期望出發(fā)，如果每次賭博的輸贏機(jī)會(huì)是均等的，并且賭博策略依賴于前面的賭博結(jié)果，賭博是“公平的”。因此，任何賭博者都不可能通過改變賭博 策略將公平的賭博變成有利于的賭博。如果將“鞅”描述的是“公平”的賭博，下鞅和上鞅分別描述了“有利”賭博與“不利”賭博。

隨機(jī)過程｛Sn, n>=0｝稱為Fn=sigma{X0,X1,?,Xn}適應(yīng)的，如果對(duì)任意n>=0，Sn是Fn可測(cè)的，即Sn可以表示為X0,X1,X2,?,Xn的函數(shù)

1.鞅的停時(shí)定理：任意隨機(jī)函數(shù)T是關(guān)于{Xn，n>=0}的停時(shí)，即{T=n}應(yīng)由n時(shí)刻及其之前的信息完全確定，而不需要也無法借助將來的情況，同時(shí)T必須是一個(gè)停時(shí)。同時(shí)，{T<=n}和{T>=n}也由n時(shí)刻及其之前的信息完全確定。若T和S是兩個(gè)停時(shí)，則 T+S，min{T,S}和max{T,S}也是停時(shí)。

則在一直Fn完全信息的前提下，有界停時(shí)的期望賭本與初始賭本相同。特別的，當(dāng)完全信息未知時(shí)，有界停時(shí)的期望賭本與初始賭本的期望相同。

2.鞅的一致可積性：如果對(duì)任意ε>0，存在δ>0，使得對(duì)任意A，當(dāng)P(A)<δ時(shí)，有E(|Xn|Ia)<ε對(duì)任意n成立。一致可積條件一般較難驗(yàn)證，因此存在兩個(gè)一致可積的充分條件。

3.鞅的收斂定理：在很一般的情況下，鞅｛Mn｝會(huì)收斂到一個(gè)隨機(jī)變量。即對(duì)于｛Mn, n>=0｝是關(guān)于｛Xn, n>=0｝的鞅，并且存在常數(shù)C有限，使得E(|Mn|)

七、布朗運(yùn)動(dòng)

若B(0)=0，{B(t),t>=0}有平穩(wěn)獨(dú)立增量，對(duì)每個(gè)t>0，B(t)服從正態(tài)分布N(0, t)稱之為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差[B,B](t)= t。

布 朗運(yùn)動(dòng)是滿足以下三點(diǎn)性質(zhì)的隨即過程，即對(duì)于B(t)-B(s)~ N(0,t-s)，B(t)-B(s)服從均值為0，方差為t-s的正態(tài)分布。當(dāng)s=0時(shí)，B(t)-B(0)~N(0,t)。并且，對(duì)任意0& lt;=s=0)是t的連續(xù)函 數(shù)。由于布朗運(yùn)動(dòng)在有限維分布是空間平移不變的空間齊次性，只需研究始于0的布朗運(yùn)動(dòng)即可。

1.高斯過程：有限維分布是多元正態(tài)分布的隨機(jī)過程。布朗運(yùn)動(dòng)是一種特殊的高斯過程，即B(t)的任何有限維分布都是正態(tài)的。2.｛B(t)｝是鞅，｛B(t)^2t｝也是鞅，則｛X(t)｝是布朗運(yùn)動(dòng)。

3.布朗運(yùn)動(dòng)｛B(t)｝具有馬爾科夫性，容易得到B(t+s)在給定條件Ft=sigma(B(0),B(1),?,B(t))下的分布與在給定條件 B(t)下的分布是一致的。同時(shí)由布朗運(yùn)動(dòng)具有時(shí)齊性，即分布不隨時(shí)間的平移而變化可知，布朗運(yùn)動(dòng)的所有有限維分布都是時(shí)齊的。

4.布朗運(yùn)動(dòng)的最大值變量及反正弦率：即求始于y點(diǎn)的布朗運(yùn)動(dòng)在區(qū)間(a,b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)的概率為布朗運(yùn)動(dòng)的反正弦率。

5.幾何布朗運(yùn)動(dòng)X(t)= exp｛B(t)｝為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。在金融市場(chǎng)中，人們經(jīng)常假定股票價(jià)格是按照幾何布朗運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化。

八、隨機(jī)積分

1.布朗運(yùn)動(dòng)的積分，Ito積分過程，Ito公式，隨機(jī)微分方程 2.Black-Scholes模型

第二篇：隨機(jī)過程考試題

一．詳述嚴(yán)平穩(wěn)過程與寬平穩(wěn)過程的區(qū)別與聯(lián)系。

二．證明獨(dú)立增量過程是馬爾科夫過程。

三．某服務(wù)臺(tái)從上午8時(shí)開始有無窮多人排隊(duì)等候服務(wù)，設(shè)只有一名工作人員，每人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的且服從均值為20min的指數(shù)分布。計(jì)算：

(1)到中午12時(shí)，有多少人離去？

(2)有9人接受服務(wù)的概率是多少？

四．設(shè)N(t)為泊松過程，構(gòu)造隨機(jī)過程如下：

Z(0)?0，Z(t)=?Yi

i?1N(t)

其中｛Yi｝為獨(dú)立同分布的隨即變量序列，且與N(t)獨(dú)立。已知Yi的特征函數(shù)為?Y(u)，求：

(1)Z(t)的一階特征函數(shù)

(2)求E[Z(t)], E[Z2(t)]和var[Z(t)]

五．設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間I=｛0,1,…｝中轉(zhuǎn)移概率為pi,i?1?1/2，pi0?1/2，i=0,1,2…，畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖并對(duì)狀態(tài)分類。

六．設(shè)隨機(jī)過程Z(t)?Asin(2??1t??2)，其中A是常數(shù)，?1與?2是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，?1服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，?2在[??,?]上均勻分布，證明：

(1)Z(t)是寬平穩(wěn)過程

(2)Z(t)的均值是各態(tài)歷經(jīng)的

第三篇：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程實(shí)驗(yàn)報(bào)告

實(shí)驗(yàn)三 線性系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)過程的響應(yīng)

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

通過本仿真實(shí)驗(yàn)了解正態(tài)白色噪聲隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后相關(guān)函數(shù)以及功率譜的變化；培養(yǎng)計(jì)算機(jī)編程能力。

二、實(shí)驗(yàn)要求

采用MATLAB或VB語言進(jìn)行編程

1)運(yùn)用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生均值為零、根方差=1的白色噪聲樣本序列[或可參考實(shí)驗(yàn)1的正態(tài)分布產(chǎn)生方法]{u(n)|n=1, 2,…,2000}；畫出噪聲u(n)的波形圖。2)設(shè)離散時(shí)間線性系統(tǒng)的差分方程為

x(n)?u(n)-0.36u(n-1)?0.85u(n-2)(n?3,4,...,2000)畫出x(n)的波形圖。

3)隨機(jī)過程x(n)的理論上的功率譜密度函數(shù)為 S(?)?|1?0.36e?j??0.85e?j2?|2 在[0,π]范圍內(nèi)對(duì)w進(jìn)行采樣，采樣間隔0.001π，計(jì)算S(i×

0.001π)(i=1,2,…,1000);畫出波形圖。

4)根據(jù)步驟(2)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)序列x(n)計(jì)算相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 ?(m)?RX20001x(n)x(n?m)(m?0,1,2,3,4,5)?1998?mn?3?m 與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差異。

5)根據(jù)相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值對(duì)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)

?(0)?2R?(1)cos(?)?2R?(2)cos(2?)S1(?)?RXXX 在[0,π]范圍內(nèi)對(duì)w進(jìn)行采樣，采樣間隔0.001π，計(jì)算S1(i× 0.001π)(i=1,2,…,1000);畫出波形圖；比較其與理論上的功率 譜密度函數(shù)S(w)的差異。

6)仿照實(shí)驗(yàn)1的方法統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)x(n)在不同區(qū)間出現(xiàn)的概率,計(jì)算其理論概率，觀察二者是否基本一致。

三、實(shí)驗(yàn)代碼及結(jié)果

1.運(yùn)用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生均值為零、根方差=1的白色噪聲樣本序列[或可參考實(shí)驗(yàn)1的正態(tài)分布產(chǎn)生方法]{u(n)|n=1, 2,…,2000}；畫出噪聲u(n)的波形圖。代碼：

n=1:2000;u1(n)=rand(1,2000);u2(n)=rand(1,2000);u(n)=sqrt(-2*log(u1(n))).*cos(2*pi*u2(n));stem(u,'.');title('u(n)');波形圖：

分析：運(yùn)用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生均值為零、根方差?=1的白色噪聲樣本序列。

2.設(shè)離散時(shí)間線性系統(tǒng)的差分方程為 x(n)?u(n)-0.36u(n-1)?0.85u(n-2)(n?3,4,...,2000)畫出x(n)的波形圖。代碼：

n=3:2000;x(n)=u(n)-0.36*u(n-1)+0.85*u(n-2);stem(x,'.');title('x(n)');波形圖：

分析：正態(tài)隨機(jī)序列通過線性離散系統(tǒng)生成的還是正態(tài)隨機(jī)序列。3.隨機(jī)過程x(n)的理論上的功率譜密度函數(shù)為 S(?)?|1?0.36e?j??0.85e?j2?|在[0,π]范圍內(nèi)對(duì)w進(jìn)行采樣，采樣間隔0.001π，計(jì)算S(i×

0.001π)(i=1,2,…,1000);畫出波形圖。代碼：

i=1:1000;w=0.001*pi.*i;s=(abs(1-0.36.*exp((-1j).*w)+0.85.*exp((-2j).*w))).*(abs(1-0.36.*exp((-1j).*w)+0.85.*exp((-2j).*w)));stem(s,'.');title('s(i*0.001*pi)');波形圖：

4.根據(jù)步驟(2)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)序列x(n)計(jì)算相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 ?(m)?RX20001?x(n)x(n?m)(m?0,1,2,3,4,5)1998?mn?3?m 與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差異。代碼：

Rx=rand(1,6);for m=1:1:6 sum=0;for n=(3+m):1:2000 sum=sum+x(n)*x(n-m+1);end Rx(m)=sum/(1999-m);end S1=rand(1,1000);for i=1:1:1000 S1(i)=Rx(1)+2*Rx(2)*cos(i*0.001*pi)+2*Rx(3)*cos(2*i*0.001*pi);end figure stem(S1)運(yùn)行結(jié)果：

分析：所得的數(shù)據(jù)與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0存在一定的差異。5.根據(jù)相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值對(duì)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)

?(0)?2R?(1)cos(?)?2R?(2)cos(2?)S1(?)?RXXX 在[0,π]范圍內(nèi)對(duì)w進(jìn)行采樣，采樣間隔0.001π，計(jì)算S1(i× 0.001π)(i=1,2,…,1000);畫出波形圖；比較其與理論上的功率 譜密度函數(shù)S(w)的差異。代碼：

N=1000;P1=0;P2=0;P3=0;P4=0;for n=3:1:N If(x(n)<-1)P1=P1+1;else if(x(n)>=-1&x(n)<=0)P2=P2+1;else if(x(n)>0&x(n)<=1)P3=P3+1;else P4=P4+1;end end end end p1=P1/N p2=P2/N p3=P3/N p4=P4/N p=p1+p2+p3+p4 figure hist(x,1000)return 運(yùn)行結(jié)果：

分析：采樣計(jì)算得到的功率譜密度函數(shù)比較其與理論上的功率譜密度函數(shù)相比，沒有完全成偶對(duì)稱。數(shù)據(jù)的概率分布沒有理論那樣均勻。6.分析：

理論概率Rx = 1.8315-0.6430 0.8528-0.0473-0.0096-0.0102。所以二者基本一致。

第四篇：廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院《隨機(jī)過程》教學(xué)大綱

《 隨機(jī)過程 》課程教學(xué)大綱

Stochastic Process 課程代碼： 課程性質(zhì)：專業(yè)基礎(chǔ)理論課/必修 適用專業(yè)：信息計(jì)算、統(tǒng)計(jì) 開課學(xué)期：5 總學(xué)時(shí)數(shù)：56

總學(xué)分?jǐn)?shù)：3.5 編寫年月： 2007.5 修訂年月：2007.7 執(zhí) 筆：涂鈺青

一、課程的性質(zhì)和目的

本課程屬于隨機(jī)數(shù)學(xué)系列課程的組成部分。隨機(jī)數(shù)學(xué)系列課程是非數(shù)學(xué)類研究生數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程之一。隨機(jī)過程是隨機(jī)數(shù)學(xué)的一個(gè)高級(jí)組成部分，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象之一，它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法。在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，學(xué)會(huì)求解隨機(jī)數(shù)學(xué)問題，是眾多領(lǐng)域的研究生的最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。通過該門課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能較深刻地理解隨機(jī)過程的基本理論、思想和方法，并能應(yīng)用于解決實(shí)踐中遇到的隨機(jī)問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生開展科研工作和解決實(shí)際問題的能力。提高自己在建立隨機(jī)數(shù)學(xué)模型、分析和解決問題方面的水平和能力。

二、課程教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配

本課程作為隨機(jī)數(shù)學(xué)系列課程的組成部分，其主干內(nèi)容包括隨機(jī)過程的基本理論、思想和方法，教學(xué)內(nèi)容分為五部分：隨機(jī)過程引論、Poisson過程、Markov過程、平穩(wěn)過程和Brown運(yùn)動(dòng)，以下對(duì)這五部分教學(xué)內(nèi)容做出詳細(xì)介紹。

第一章 隨機(jī)過程引論(6學(xué)時(shí))

本章內(nèi)容：隨機(jī)過程基本概念和例子

有限維分布和數(shù)字特征

平穩(wěn)過程和獨(dú)立增量過程

條件期望

矩母函數(shù)及生成函數(shù)

隨機(jī)變量序列的收斂性

本章要求

1．了解參數(shù)集的定義, 理解隨機(jī)過程的基本概念和例子；

2．了解有限維分布的概念，掌握有限維分布的計(jì)算及其數(shù)字特征； 3．理解嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的基本定義，掌握平穩(wěn)獨(dú)立增量過程的基本定義； 4．理解條件期望的概念, 熟練掌握條件期望的性質(zhì)和計(jì)算；

5．理解矩母函數(shù)和生成函數(shù)的定義, 掌握用矩母函數(shù)來計(jì)算隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征； 6．了解隨機(jī)變量序列的收斂性定義，理解均方收斂的定義。第二章 Poisson過程(10學(xué)時(shí))本章內(nèi)容：Poisson過程

與Poisson過程相聯(lián)系的若干分布

非齊次Poisson過程

復(fù)合Poisson過程

標(biāo)值Poisson

過程

空間Poisson過程

更新過程

本章要求

1．理解Poisson過程的基本定義，掌握滿足Poisson過程的4個(gè)條件；

2．了解Poisson過程樣本路徑的階梯函數(shù)服從指數(shù)分布，事件到達(dá)時(shí)間服從?分布，理解等待時(shí)間的聯(lián)合密度的計(jì)算公式；

3．理解非齊次Poisson過程的基本定義，掌握非齊次Poisson過程滿足的條件； 4．了解復(fù)合Poisson過程的基本概念； 5．了解標(biāo)值Poisson過程的基本概念； 6．了解空間Poisson過程的基本定義；

7．理解更新過程的基本定義，掌握更新過程的分布。第三章 Markov過程(14學(xué)時(shí))本章內(nèi)容：Markov鏈的定義和例子

互達(dá)性和周期性

常返與瞬過

Markov鏈的極限定理與平穩(wěn)分布

分支過程

連續(xù)時(shí)間Markov鏈

純生過程

生滅過程

Kolmogorov向后向前微分方程

本章要求

1．了解Markov鏈的基本定義和一步轉(zhuǎn)移概率的定義，熟練掌握轉(zhuǎn)移概率滿足條件和計(jì)算； 2．理解可達(dá)、互達(dá)與周期的定義，理解非周期不可約的Markov鏈性質(zhì)，掌握互達(dá)性的等 價(jià)關(guān)系、互達(dá)的周期和周期的基本性質(zhì)；

3．理解常返和順過的基本定義，理解零常返的概念，掌握常返的充要條件；

4．理解Markov鏈的基本極限定理，理解Markov鏈的平穩(wěn)分布，掌握遍歷的不可約Markov鏈及其極限分布之間關(guān)系的重要定理；

5．了解分支過程的基本概念，理解分支過程中群體消亡與生長(zhǎng)到無窮的重要定理；

6．理解連續(xù)時(shí)間Markov鏈的基本定義及其轉(zhuǎn)移概率，掌握Markov過程轉(zhuǎn)移概率滿足的條件； 7．了解純生過程的基本概念，了解Yule過程； 8．了解生滅過程的基本概念和滿足條件；

9．理解Kolmogorov向后微分方程和向前微分方程的表達(dá)式，理解Markov過程的性質(zhì)。第四章平穩(wěn)過程(10學(xué)時(shí))

本章內(nèi)容：平穩(wěn)過程的定義和例子

遍歷性定理

平穩(wěn)過程的協(xié)方差函數(shù)

幾個(gè)常見隨機(jī)信號(hào)的協(xié)方差函數(shù)

功率譜密度

一般預(yù)報(bào)理論

平穩(wěn)序列的預(yù)報(bào)

本章要求

1．了解周期平穩(wěn)過程的含義，理解平穩(wěn)過程的基本定義、嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)隨機(jī)過程、高斯過程和滑動(dòng)平均序列；

2．了解遍歷性的基本概念，理解均值遍歷和協(xié)方差函數(shù)遍歷，掌握均值遍歷性定理和協(xié)方程函數(shù)遍歷性定理；

3．理解協(xié)方差函數(shù)的基本性質(zhì)；

4．了解振幅調(diào)制波、頻率調(diào)制波和平方檢波；

5．了解確定性時(shí)間函數(shù)的能量、能譜密度、功率譜的基本概念，理解平穩(wěn)過程功率譜的概念，理解Wiener-Khintchine公式；

6．了解最小均方誤差預(yù)報(bào)，理解最佳預(yù)報(bào)的基本含義；

7．了解平穩(wěn)序列的預(yù)報(bào)的基本概念，理解自回歸模型的線性最佳預(yù)報(bào)和滑動(dòng)平均模型的預(yù)報(bào)。第五章 Brown運(yùn)動(dòng)(14學(xué)時(shí))本章內(nèi)容：Brown運(yùn)動(dòng)的定義

Brown運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

隨機(jī)積分

隨機(jī)微分

關(guān)于Brown運(yùn)動(dòng)的積分

常系數(shù)線性隨機(jī)微分方程

n階常系數(shù)線性隨機(jī)微分方程

Ito微分公式

一般隨機(jī)微分方程簡(jiǎn)介

Brown運(yùn)動(dòng)的其他一些應(yīng)用

本章要求

1．了解Brown運(yùn)動(dòng)的物理含義，理解Brown運(yùn)動(dòng)的基本定義； 2．了解Brown橋過程的含義，理解Brown運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)；

3．了解隨機(jī)積分、隨機(jī)微分的基本定義，理解Brown運(yùn)動(dòng)的積分及其計(jì)算；

4．了解隨機(jī)微分方程引入的物理背景，理解一般常系數(shù)線性隨機(jī)微分方程和n階常系數(shù)線性隨機(jī)微分方程； 5．了解Ito微分公式的金融背景，理解Ito微分公式；

6．了解擴(kuò)散方程，理解Black-Scholes公式及其在金融中的應(yīng)用； 7．了解Donsker定理、反正弦律和Brown橋在經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)中的應(yīng)用。

三、課程教學(xué)的基本要求

隨機(jī)過程是一個(gè)有特色的數(shù)學(xué)分支，有自己獨(dú)特的概念和方法，內(nèi)容豐富，結(jié)果深刻。是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，教學(xué)上注意引導(dǎo)學(xué)生從傳統(tǒng)的確定性思維模式進(jìn)入隨機(jī)性思維模式，使學(xué)生掌握處理在工程、經(jīng)濟(jì)管理、生命科學(xué)、人文社科以及科學(xué)研究中出現(xiàn)的隨機(jī)問題的數(shù)學(xué)方法，強(qiáng)調(diào)注重理論聯(lián)系實(shí)際的教學(xué)思想，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，通過對(duì)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的基本理論和分析方法，能熟練運(yùn)用基本原理解決某些實(shí)際問題。

課堂教學(xué)采用和現(xiàn)代化的教學(xué)手段結(jié)合的形式，利用多媒體教學(xué)手段效率高的特點(diǎn)，結(jié)合傳統(tǒng)板書的講授形式。

（一）課堂講授

由于本課程有其獨(dú)特的數(shù)學(xué)概念和方法，并大量向各學(xué)科滲透并與之結(jié)合成不少邊緣學(xué)科，其教學(xué)方式應(yīng)注重啟發(fā)式、引導(dǎo)式，課堂上應(yīng)注意經(jīng)常列舉概率在各領(lǐng)域成功應(yīng)用的實(shí)例，來聯(lián)系已學(xué)過課程的有關(guān)概念、理論和方法，使同學(xué)加深對(duì)本課程的基本概念、基本理論和基本方法的理解。

（二）習(xí)題課

同時(shí)配合理論教學(xué)需要，習(xí)題課以典型例題分析為主，并適當(dāng)安排開闊思路及綜合性的練習(xí)及討論，使同學(xué)通

過做題既加深對(duì)課堂講授的內(nèi)容的理解，又增強(qiáng)運(yùn)用理論知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問題的能力。

（三）課外作業(yè)

課外作業(yè)的內(nèi)容選擇基于對(duì)基本理論的理解和鞏固，培養(yǎng)綜合計(jì)算和分析、判斷能力以及計(jì)算能力。習(xí)題以計(jì)算性小題為主，平均每學(xué)時(shí)3~6道題。

（四）考試

考試采用閉卷的形式，題型包括基本概念，基本理論的選擇題，真空題題型和分析計(jì)算題?？傇u(píng)成績(jī)：課外作業(yè)，平時(shí)測(cè)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)占30%；期末閉卷考試占70%

四、本課程與其它課程的聯(lián)系與分工

先修課程：數(shù)學(xué)分析

高等代數(shù)

概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等 后續(xù)課程：時(shí)間序列

統(tǒng)計(jì)的預(yù)測(cè)與決策等

五、建議教材及教學(xué)參考書

[1] 方兆本、繆柏其編著，《隨機(jī)過程》（第二版），科學(xué)出版社，2004 [2] 盛驟等編，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，浙江大學(xué)編，高等教育出版社 [3] 《概率論》第三冊(cè)——隨機(jī)過程，復(fù)旦大學(xué)，人民教育出版社，1981 [4] 錢敏平，龔光魯，《應(yīng)用隨機(jī)過程》，北京大學(xué)出版社，1998 [5] S.M.Ross,《Stochastic Processes》, John Wiley & Sons

第五篇：隨機(jī)過程證明題 合工大

一、證明題

?證明公式EE?X|Y??EX

??

以X、Y為連續(xù)性分布進(jìn)行證明，離散情形類似

設(shè)其邊緣分布函數(shù)和聯(lián)合分布函數(shù)分別為fX?x?,fY?y?和f?x,y?記m?y?=E?X|Y?y?=?x?fX|Y?x,y?dx??x-?

-?

+?

+?

f?x,y?

dxfYy+?+?

?E?m?y???

+?+?

+?

-?

?

m?y??fY?y?dy??

-?-?

?

xf?x,y?

dx?fY?y?dyfYy?

-?-?

??x?f?x,y?dxdy?EX

?矩母函數(shù)相關(guān)證明

tY

1.?gY?t??E?etY??E?Ee|N?n?????運(yùn)用公式E?E?X|Y???EX

??

?先證明條件期望E?etY|N?n?

?t?Xi?=E?ei?1|N?n?

????nN

?t?Xi??t?Xi?

?E?ei?1|N?n??E?ei?1??因?yàn)镹與Xi獨(dú)立?

????????=gX1??Xn?t?=gX1?t??gX2?t??gXn?t????gX?t????gY?t??E?etY??E??gX?t???

N

N

?

N

?

?

?

2.由矩母函數(shù)可以求得X的k階原點(diǎn)矩的值E?Xk??g?k??0??gY'?t??EN??gX?t???

?

N?1

?gX'?t?

N?1

??

N?2

gY'?0??EY?EN??gX?0???

''

?

?gX'?0??E?N?1?E?X???EX?EN其中g(shù)X?0??E?e0?x??1

??gX?t???N??gX?t???

'

N?1

3.?gY?t??EN??N?1???gX?t???gY''?0??EN??N?1???gX?0???

?

?gX''?t?

?

?

N?2

??gX'?0???N??gX?0???

N?1

?gX''?0?

?

??

?E?N?EX??NEX?N?EX??=E?N?EX??N?DX?

?EN??N?1???EX??NEX2

?EN2??EX??EN?DX

?證明EY?g?X???2?E?Y?E?Y|X?? 2

記m?X??E?Y|X?

E??Y?g?X????E???Y?m?X????m?X??g?X????

2222?E??Y?m?X????E??m?X??g?X????2E???Y?m?X???m?X??g?X????

?E???Y?m?X???m?X??g?X????

???

?E??m?X??g?X??E???Y?m?X??|X????運(yùn)用P12性質(zhì)3?

又?E???Y?m?X??|X???E?Y|X??E?m?X?|X?

?m?X??m?X??E?1|X??0?運(yùn)用P12性質(zhì)3?

222?EE???Y?m?X???m?X??g?X??|X??運(yùn)用性質(zhì)E?E?X|Y???EX??E??Y?g?X????E??Y?m?X????E??m?X??g?X????E??Y?m?X????E??Y?E?Y|X???