第一篇：示范教案(2.1 平面向量的實際背景及基本概念)（推薦）

高中數(shù)學新課標必修⑤教案

麻陽一中

舒佑勇

第二章

平面向量

2.1 平面向量的實際背景及基本概念

第一課時

教學目標

1.通過實例,利用平面向量的實際背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及確定平面向量的兩個要素,搞清數(shù)量與向量的區(qū)別.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判斷向量之間的關系,并會辨認圖形中的相等向量或作出與某一已知向量相等的向量.重點難點

教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.教學過程

導入新課

思路1.(情境導入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設問:如何從數(shù)學的角度來揭示這個問題的本質(zhì)？由此展開新課.圖1 推進新課 提出問題

①在物理課中,我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學的數(shù)學中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？

②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應怎樣定義這樣的量呢？ ③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？

①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.③略.提出問題

①如何表示向量? ②有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么? ③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量? ④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎? ⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關系？怎樣定義平行向量? ⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系? ⑦數(shù)量與向量有什么區(qū)別? ⑧數(shù)學中的向量與物理中的力有什么區(qū)別? 討論結果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑體表示),手寫用a →來表示,或用表示向 高中數(shù)學新課標必修⑤教案

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舒佑勇

量的有向線段的起點和終點字母表示,如AB、CD.②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規(guī)定0與任一向量平行即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點O,則可在l上分別作出OA＝a,OB=b,OC=c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關).平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.⑦數(shù)量只有大小,是一個代數(shù)量,可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向、大小雙重性質(zhì),不能比較大小.⑧力有大小、方向、作用點三個要素,而數(shù)學中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關.應用示例

例1 如圖5,試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C兩地的位移.圖5 分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB長度×8 000 000÷100 000)

000)AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC長度×8 000 000÷ 變式訓練

一個人從A點出發(fā)沿東北方向走了100 m到達B點,然后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100 m到達C點,求此人從C點走回A點的位移.高中數(shù)學新課標必修⑤教案

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舒佑勇

例2 判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)ABCD中,AB與CD是共線向量;(2)單位向量都相等.解:(1)正確;(2)不正確.圖8 例3 如圖8,設O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與OA、OB、OC、相等的量.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.例4 下列命題正確的是（）A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點 C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量 D.有相同起點的兩個非零向量不平行

答案:C 變式訓練 1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個非零向量相等當且僅當什么？(長度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)2.把一切單位平面向量歸結到共同的始點,那么這些向量的終點所構成的圖形是（）A.一條線段

B.一段圓弧

C.兩個點

D.一個圓 答案:D 3.將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點,則這些向量的終點所構成的圖形是（）A.一個點

B.兩個點 C.一個圓

D.一條線段 答案:B 知能訓練

課本本節(jié)練習.解答: 1.通過具體的例子,讓學生動手畫兩個方向不同、大小不等的力(向量),圖略.2.|AB|,|BA|,這兩個向量的長度相等,但它們不等.點評:向量是既有大小,又有方向的量.長度相等的兩個向量未必是兩個相等的量.高中數(shù)學新課標必修⑤教案

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3.|AB|=2,|CD|=2.5,|EF|=3,|GH|=22.4.(1)它們的終點相同;(2)它們的終點不同.課堂小結

本節(jié)課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問題打下了基礎,字母表示則利于向量的運算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進一步學習后續(xù)課程的基礎,必須要在理解的基礎上把握好.作業(yè)

課本習題2.1 1、2.

第二篇：2.1平面向量的實際背景及基本概念 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能：

了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量。

2、過程與方法：

通過對向量的學習，使學生初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別。

3、情感態(tài)度與價值觀：

通過學生對向量與數(shù)量的識別能力的訓練，培養(yǎng)學生認識客觀事物的數(shù)學本質(zhì)的能力。

2.教學重點/難點

教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.3.教學用具

多媒體

4.標簽

平面向量的實際背景及基本概念

教學過程

（一）導入新課

思路1.(情境導入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設問:如何從數(shù)學的角度來揭示這個問題的本質(zhì)？由此展開新課.（二）推進新課、新知探究、提出問題

①在物理課中,我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學的數(shù)學中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？

②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應怎樣定義這樣的量呢？ ③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？

活動:教師指導學生閱讀教材,思考討論并解決上述問題,學生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質(zhì)量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與沖量都有方向,且有大小；物理學中存在著許多既有大小,又有方向的量.教師引導學生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數(shù)學學科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時機成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等稱為數(shù)量,物理學上稱為標量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向問題.討論結果: ①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.③略.提出問題 ①如何表示向量? ②有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么? ③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量? ④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎? ⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關系？怎樣定義平行向量? ⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系? ⑦數(shù)量與向量有什么區(qū)別? ⑧數(shù)學中的向量與物理中的力有什么區(qū)別?

活動:教師指導學生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.特別是有向線段,是學習向量的關鍵.但不能說“向量就是有向線段,有向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示,二者有本質(zhì)的區(qū)別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的位置無關,但有向線段不僅與方向、長度有關,也與起點的位置有關.如圖2,在線段AB的兩個端點中,規(guī)定一個順序,假設A為起點、B為終點,我們就說線段AB具有方向,具有方向的線段叫做有向線段,通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作.起點要寫在終點的前面.已知,線段AB的長度也叫做有向線段的長度,記作

.有向線段包含三個要素:起點、方向、長度

.知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定.用有向線段表示向量的方法是: 1°起點是A,終點是B的有向線段,對應的向量記作

:.這里要提醒學生注意的方向是由點A指向點B,點A是向量的起點.2°用字母a,b,c,?表示.(一定要學生規(guī)范書寫:印刷用黑體a,書寫用)3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的長度(或稱模),記作|

|(或|a|).教師要注意引導學生將數(shù)量與向量的模進行比較,數(shù)量有大小而沒有方向,其大小有正、負和0之分,可進行運算,并可比較大小;向量的模是正數(shù)或0,也可以比較大小.由于方向不能比較大小,像a＞b就沒有意義,而|a|>|b|有意義.討論結果:①向量也可用字母a,b,c,?表示(印刷用粗黑體表示),手寫用來表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如、.注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別:向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關,只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.圖3 ③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤對平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規(guī)定0與任一向量平行即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點O,則可在l上分別作出＝a,=b,=c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.說明:平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關系.⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關).平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.⑦數(shù)量只有大小,是一個代數(shù)量,可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向、大小雙重性質(zhì),不能比較大小.⑧力有大小、方向、作用點三個要素,而數(shù)學中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關.（三）應用示例 例1 如圖5,試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C兩地的位移.(精確到1 km)

分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:表示A地至B地的位移,且|100 000)

|≈232 km;(AB長度×8 000 000÷表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC長度×8 000 000÷100 000)點評:位置是幾何學研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.如圖5,由A點確定B點、C點的位置.例2 判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)ABCD中,與

是共線向量;(2)單位向量都相等.活動:教師引導學生畫出平行四邊形,如圖7.因為AB//CD,所以∥.由于上面已經(jīng)明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.解:(1)正確;(2)不正確.課堂小結

本節(jié)課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問題打下了基礎,字母表示則利于向量的運算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進一步學習后續(xù)課程的基礎,必須要在理解的基礎上把握好.課后習題 1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個非零向量相等當且僅當什么？(長度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)

2.把一切單位平面向量歸結到共同的始點,那么這些向量的終點所構成的圖形是（）A.一條線段

B.一段圓弧

C.兩個點

D.一個圓 答案:D

3.將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點,則這些向量的終點所構成的圖形是（）A.一個點

B.兩個點

C.一個圓

D.一條線段 答案:B

板書

2.1.1 向量的物理背景與概念 2.1.2向量的幾何表示 2.1.3相等向量與共線向量

第三篇：數(shù)學平面向量的實際背景及基本概念教學設計

數(shù)學平面向量的實際背景及基本概念 教學設計

一、教學分析

本節(jié)是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學生可根據(jù)原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念,結合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由于向量來源于物理,并且兼具“數(shù)”和“形”的特點,所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用,可通過幾個具體的例子說明它的應用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對象.幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.位移簡明地表示了點的位置之間的相對關系,它是向量的重要的物理模型.力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學生舉出物理學中力的其他一些實例,目的是要建立物理課中學過的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系,以此更加自然地引入向量概念,并建立學習向量的認知基礎.二、教學目標

1、知識與技能： 了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量。

2、過程與方法：

通過對向量的學習，使學生初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別。

3、情感態(tài)度與價值觀：

通過學生對向量與數(shù)量的識別能力的訓練，培養(yǎng)學生認識客觀事物的數(shù)學本質(zhì)的能力。

三、重點難點

教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.四、教學設想：

（一）導入新課

思路1.(情境導入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設問:如何從數(shù)學的角度來揭示這個問題的本質(zhì)？由此展開新課.圖1 思路2.兩列火車先后從同一站臺沿相反方向開出,各走了相同的路程,怎樣用數(shù)學式子表示這兩列火車的位移？從中國象棋中規(guī)定“馬”走日,象走“田”,讓學生在圖上畫出馬、象走過的路線引入也是一個不錯的選擇.（二）推進新課、新知探究、提出問題

①在物理課中,我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學的數(shù)學中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？

②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應怎樣定義這樣的量呢？ ③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？

活動:教師指導學生閱讀教材,思考討論并解決上述問題,學生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質(zhì)量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與矢量都有方向,且有大?。晃锢韺W中存在著許多既有大小,又有方向的量.教師引導學生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數(shù)學學科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時機成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等稱為數(shù)量,物理學上稱為標量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向問題.討論結果: ①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.③略.提出問題

①如何表示向量? ②有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么? ③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量? ④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎? ⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關系？怎樣定義平行向量? ⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系? ⑦數(shù)量與向量有什么區(qū)別? ⑧數(shù)學中的向量與物理中的力有什么區(qū)別? 活動:教師指導學生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.特別是有向線段,是學習向量的關鍵.但不能說“向量就是有向線段,有向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示,二者有本質(zhì)的區(qū)別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的位置無關,但有向線段不僅與方向、長度有關,也與起點的位置有關.如圖2,在線段AB的兩個端點中,規(guī)定一個順序,假設A為起點、B為終點,我們就說線段AB具有方向,具有方向的線段叫做有向線段,通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作AB.起點要寫在終點的前面.已知AB,線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度,記作|AB|.有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.2

圖2 知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定.用有向線段表示向量的方法是: 1°起點是A,終點是B的有向線段,對應的向量記作:AB.這里要提醒學生注意AB的方向是由點A指向點B,點A是向量的起點.2°用字母a,b,c,?表示.(一定要學生規(guī)范書寫:印刷用黑體a,書寫用a)3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的長度(或稱模),記作|AB|(或|a|).教師要注意引導學生將數(shù)量與向量的模進行比較,數(shù)量有大小而沒有方向,其大小有正、負和0之分,可進行運算,并可比較大小;向量的模是正數(shù)或0,也可以比較大小.由于方向不能比較大小,像a＞b就沒有意義,而|a|>|b|有意義.討論結果:①向量也可用字母a,b,c,?表示(印刷用粗黑體表示),手寫用a →來表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如AB、CD.注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別:向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關,只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.圖3 ③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規(guī)定0與任一向量平行即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.3

圖4 又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點O,則可在l上分別作出OA＝a,OB=b, OC=c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.說明:平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關系.⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關).平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.⑦數(shù)量只有大小,是一個代數(shù)量,可以進行代數(shù)運算、比較大?。幌蛄坑蟹较?、大小雙重性質(zhì),不能比較大小.⑧力有大小、方向、作用點三個要素,而數(shù)學中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關.（三）應用示例

例1 如圖5,試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C兩地的位移.(精確到1 km)

圖5 分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB長度×8 000 000÷100 000)AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC長度×8 000 000÷100 000)點評:位置是幾何學研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.如圖5,由A點確定B點、C點的位置.變式訓練

一個人從A點出發(fā)沿東北方向走了100 m到達B點,然后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100 m到達C點,求此人從C點走回A點的位移.4

圖6 解:根據(jù)題意畫出示意圖,如圖6所示.|AB|=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°, ∴△ABC為正三角形.∴|CA|=100 m,即此人從C點返回A點所走的路程為100 m.∵∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向為西偏北15°.故此人從C點走回A點的位移為沿西偏北15°方向100 m.圖7 例2 判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)ABCD中,AB與CD是共線向量;(2)單位向量都相等.活動:教師引導學生畫出平行四邊形,如圖7.因為AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已經(jīng)明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.解:(1)正確;(2)不正確.點評:本題考查基本概念,對于單位向量、平行向量的概念特征及相互關系必須把握好.圖8 例3 如圖8,設O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與OA、OB、OC、相等的量.活動:本例是結合正六邊形的一些幾何性質(zhì),讓學生鞏固相等向量和平行向量的概念,正六邊形是邊長等于半徑并且對邊互相平行的正多邊形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,具有豐富的幾何性質(zhì).教科書中要求判斷OA與 EF,OB與AF是否相等,是要通過長度相等方向相反的兩個向量的不等,讓學生從反面認識向量相等的概念.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.點評:向量相等是一個重要的概念,今后經(jīng)常用到.讓學生在訓練中明確,向量相等不僅大小相等,還要方向相同.變式訓練

本例變式一:與向量OA長度相等的向量有多少個？(11個)本例變式二:是否存在與向量OA長度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命題正確的是()A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點 C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量 D.有相同起點的兩個非零向量不平行

活動:由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確.由于數(shù)學中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構不成四邊形,根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點,所以B不正確.向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關,所以D不正確.對于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,即只有C正確.答案:C 點評:對于有關向量基本概念的考查,可以從概念特征入手,也可以從反面進行考慮.即要判斷一個結論不正確,只需舉一個反例即可.要啟發(fā)學生注意這兩方面的結合.變式訓練 1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個非零向量相等當且僅當什么？(長度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)2.把一切單位平面向量歸結到共同的始點,那么這些向量的終點所構成的圖形是()A.一條線段B.一段圓弧C.兩個點D.一個圓 答案:D 3.將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點,則這些向量的終點所構成的圖形是()A.一個點B.兩個點 C.一個圓D.一條線段 答案:B

（四）課堂小結

本節(jié)課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問題打下了基礎,字母表示則利于向量的運算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進一步學習后續(xù)課程的基礎,必須要在理解的基礎上把握好.（五）作業(yè)

第四篇：平面向量的實際背景及基本概念教學設計

“平面向量的實際背景及基本概念”教學設計

一、課標要求

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。

二、教材分析

（一）本節(jié)的地位和作用

向量是近代數(shù)學最重要的和最基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的橋梁，是解決幾何問題的有力工具，對更新和完善中學數(shù)學知識結構起著重要的作用。向量有著豐富的實際背景，在現(xiàn)實生活中隨處可見的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向線段是它的幾何背景。向量就是從這些實際對象中抽象概括出來的數(shù)學概念。向量集數(shù)與形于一身，是數(shù)形結合的重要體現(xiàn)。向量作為數(shù)學模型，廣泛地應用于解決數(shù)學、物理學科及實際生活的問題，因此它在整個高中數(shù)學學習過程中占有特別重要的地位。

本課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領全局”的作用。本節(jié)課重要的不是向量的形式化定義及幾個相關概念，而是能讓學生去體會認識與研究數(shù)學新對象的方法和基本思路，進而提高提出問題，解決問題的能力。

（二）本節(jié)的主要內(nèi)容

向量就是從物理背景中抽象概括出來的數(shù)學概念，因此把本節(jié)課的主要內(nèi)容確定為向量的概念和向量的表示方法。

（三）教學重點、難點分析

掌握向量的概念，要抓住向量的本質(zhì)——大小和方向.盡管學生有著相對比較豐富的物理素材，但對向量的認識還是比較單一的（往往只考慮大小而忽略方向），所以平面向量的概念是本節(jié)課的重點也是難點，同時，向量的幾何表示也是本節(jié)課的重點。

教學重點：向量的概念及向量的表示方法.教學難點：向量的概念和向量與有向線段的區(qū)別.三、學情分析

從學生已經(jīng)學習過的知識中看，他們已經(jīng)掌握了數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、單位長度、0和1的特殊性。還有學生在物理學科中已經(jīng)積累了足夠多的向量模型，并且在三角函數(shù)線部分內(nèi)容的學習中（必修4任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)）已經(jīng)接觸到有向線段的概念，從而為本節(jié)課的學習提供了知識準備。

從學生現(xiàn)有的學習能力看，學生已經(jīng)具備了一定的抽象概括的能力，因此從物理背景中抽象并概括出向量的概念不是太難。

學生在學習本節(jié)課內(nèi)容過程中，主要理解向量的概念和向量的表示方法，學生可能會對向量的幾何表示方法（有向線段）與平面向量進行混淆，因此在教學中應該對學生進行引導性的提問，讓學生理解它們的區(qū)別。

四、教學目標

（一）知識與技能

（1）通過對位移、力等實例的分析，抽象概括出平面向量的概念；

（2）理解平面向量的幾何意義及幾何表示；

（3）掌握向量的模、零向量及單位向量的概念。

（二）過程與方法

經(jīng)歷平面向量的概念的形成過程，提高抽象概括能力，引導用觀察、類比、歸納等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法解決數(shù)學問題。

（三）情感態(tài)度與價值觀

經(jīng)歷平面向量的概念的探索過程，提高自主探究能力，進一步提高學習數(shù)學的樂趣，由感性思維逐步提升到理性思維。

五、教學理念

（一）自主建構

知識不能被動接受、不能被傳遞，需要學生主動地自我建構。在學習向量概念之前，學生已經(jīng)學習了物理中矢量的概念，通過對原有知識框架的整合，達到學習新概念的目的，有利于學生對數(shù)學知識意義的理解、數(shù)學能力的提高、數(shù)學素質(zhì)的養(yǎng)成。

（二）具體與抽象相結合

向量是一個抽象出來的概念，因此要通過具體的實際背景，如位移等具體的概念引入，再進一步得出向量的概念。只有當學生形成了一定的感性認識之后，才可能形成抽象的概念。

六、教學方法

本節(jié)課采用講解法。本節(jié)課是對新概念的學習，采用講解法有利于保持知識的科學性和系統(tǒng)性。因此在講解時要注意把握向量的物理意義和它的實際背景，有助于學生認同新概念的合理性，便于加深學生對向量內(nèi)涵的理解，提高學生的抽象概括能力。

七、教學過程

（一）情境創(chuàng)設

思考：如何由A點確定B點位置，如圖

一種常用的方法是，以A點為參照點，用B點與A點之間的方位和距離確定B點的位置，如B點在A點東偏南45，30千米處。這樣，在A點與B點之間，我們可以用有向線段AB表示B點相對于A點的位置，有向線段AB就是A點與B點之間的位移。像位移這種既有大小又有方向的量，加以抽象，就是這節(jié)課我們要學的向量。設計意圖：為學生得出向量概念（位移、速度、力）提供依據(jù)。

（二）概念形成

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

強調(diào)：數(shù)量與向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；

向量既有大小，又有方向，不能比較大小。2.向量的表示方法

思考:物理學中如何畫物體所受的力? 用有向線段表示，線段的長度表示力的大小，箭頭表示方向。

設計意圖：啟發(fā)學生運用類比的數(shù)學思想，得出向量的表示方法。(1)幾何表示法：常用一條有向線段表示向量。

符號表示：以A為起點、B為終點的有向線段，記作AB。(注意起終點順序).(2)字母表示法：可表示AB為a.（注意課本上的表示是黑體，書寫的時候上面要標箭頭）

注意：向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段。

（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；

（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.3.向量的模

向量AB的大小——向量AB長度稱為向量的模.記作：|AB|.4.兩個特殊的向量

(1)零向量——長度為零的向量，記作0.規(guī)定0的方向是任意的。(2)單位向量——長度等于1個單位長度的向量．

（三）練習鞏固

課本P75頁例1，P77頁第一題

（四）歸納小結

本節(jié)課主要學習了向量的概念和向量的表示方法。我們要注意的是： 1.描述一個向量有兩個指標——模、方向。

2.向量的圖示，要標上箭頭、起點和終點，以體現(xiàn)它的直觀性.

第五篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學目標

1、使學生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學生經(jīng)歷類比方法學習向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學的學習方法。

3、通過本節(jié)的學習，讓學生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實世界，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣

三．教學類型：新知課

四、教學重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數(shù)學中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習1 對于下列各量：

①質(zhì)量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業(yè) 八．教學后記