第一篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—08比和比例

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—08比和比例

本教程共30講

比和比例

比的概念是借助于除法的概念建立的。

兩個(gè)數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比。例如，5÷6可記作5∶6。

比值。

表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判斷兩個(gè)比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個(gè)比的比值相等，這兩個(gè)比能組成比例，否則不能組成比例。

在任意一個(gè)比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。

兩個(gè)數(shù)的比叫做單比，兩個(gè)以上的數(shù)的比叫做連比。例如a∶b∶c。連比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把連比看成連除。把兩個(gè)比化為連比，關(guān)鍵是使第一個(gè)比的后項(xiàng)等于第二個(gè)比的前項(xiàng)，方法是把這兩項(xiàng)化成它們的最小公倍數(shù)。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因?yàn)閇6，4]=12，所以

5∶ 6=10∶ 12，4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。

例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。

解： 7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2 六年級(jí)一班的男、女生比例為3∶2，又來(lái)了4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。

分析與解：原來(lái)共有學(xué)生44-4=40（人），由男、女生人數(shù)之比為3∶2知，如果將人數(shù)分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出

女生增加4人變?yōu)?6+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為 24∶20=6∶5。

在例2中，我們用到了按比例分配的方法。

將一個(gè)總量按照一定的比分成若干個(gè)分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項(xiàng)相加得到總份數(shù)，各項(xiàng)與總份數(shù)之比就是各個(gè)分量在總量中所占的分率，由此可求得各個(gè)分量。

例3 配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。

分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數(shù)是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。

在按比例分配的問(wèn)題中，也可以先求出每份的量，再求出各個(gè)分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個(gè)分量。

例4 師徒二人共加工零件400個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？

分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率

有多少學(xué)生？

按比例分配得到

例6 某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過(guò)該收費(fèi)站的大客車和小客車數(shù)量之比是5∶6，小客車與小轎車之比是4∶11，收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元。求這天這三種車輛通過(guò)的數(shù)量。

分析與解：大客車、小轎車通過(guò)的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將5∶6中的6與4∶11中的4統(tǒng)一成[4，6]=12，就可以得到大客車∶小客車∶小轎車的連比。

由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到

大客車∶小客車∶小轎車=10∶12∶33。

以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因?yàn)槊拷M中收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多10×33-30×10=30（元），所以這天通過(guò)的車輛共有210÷30=7（組）。這天通過(guò)

大客車=10×7=70（輛），小客車=12×7=84（輛），小轎車=33×7=231（輛）。

練習(xí)8

1.一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比是5∶3，周長(zhǎng)是96米，求這塊地的面積。

2.一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)與寬的比是4∶3，寬與高的比是5∶4，體積是450分米3。問(wèn)：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各多少厘米？

3.一把小刀售價(jià)6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是3∶5；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是9∶11。問(wèn)：兩人原來(lái)共有多少錢？

5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問(wèn)：最后三人各分到多少只貝殼？

6.一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長(zhǎng)度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的時(shí)間之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/時(shí)，他走完全程用多少時(shí)間？

7.某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3∶2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10∶8∶7。如果甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3∶1，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是5∶3，那么丙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？

答案與提示練習(xí)8

1.540米2。

2.長(zhǎng)100厘米，寬75厘米，高60厘米。

解：長(zhǎng)∶寬∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。

長(zhǎng)=20×5=100（厘米），寬=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。

3.86元。

解：設(shè)小明有x元錢。根據(jù)小強(qiáng)的錢數(shù)可列方程

36+50=86（元）。

4.2640元。

5.甲50只，乙40只，丙48只。

解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。

6.12時(shí)。

7.5：9

第二篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案比和比例 2

小學(xué)六年級(jí)比和比例 姓名：

例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。

例2 六年級(jí)一班的男、女生比例為3∶2，又來(lái)了4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。

分析與解：原來(lái)共有學(xué)生44-4=40（人），由男、女生人數(shù)之比為3∶2知，如果將人數(shù)分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出

女生增加4人變?yōu)?6+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為 24∶20=6∶5。

在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個(gè)總量按照一定的比分成若干個(gè)分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項(xiàng)相加得到總份數(shù)，各項(xiàng)與總份數(shù)之比就是各個(gè)分量在總量中所占的分率，由此可求得各個(gè)分量。

例3 配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。

分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數(shù)是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。

在按比例分配的問(wèn)題中，也可以先求出每份的量，再求出各個(gè)分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個(gè)分量。

例4 師徒二人共加工零件400個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？

分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率

有多少學(xué)生？

按比例分配得到

例6 某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過(guò)該收費(fèi)站的大客車和小客車數(shù)量之比是5∶6，小客車與小轎車之比是4∶11，收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元。求這天這三種車輛通過(guò)的數(shù)量。

分析與解：大客車、小轎車通過(guò)的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將5∶6中的6與4∶11中的4統(tǒng)一成[4，6]=12，就可以得到大客車∶小客車∶小轎車的連比。由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到大客車∶小客車∶小轎車=10∶12∶33。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因?yàn)槊拷M中收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多10×33-30×10=30（元），所以這天通過(guò)的車輛共有210÷30=7（組）。這天通過(guò)大客車=10×7=70（輛），小客車=12×7=84（輛），小轎車=33×7=231（輛）。

練習(xí): 1.一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比是5∶3，周長(zhǎng)是96米，求這塊地的面積。

2.一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)與寬的比是4∶3，寬與高的比是5∶4，體積是450分米3。問(wèn)：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各多少厘米？

3.一把小刀售價(jià)6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是3∶

5；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是9∶11。問(wèn)：兩人原來(lái)共有多少錢？

5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問(wèn)：最后三人各分到多少只貝殼？

6.一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長(zhǎng)度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的時(shí)間之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/時(shí)，他走完全程用多少時(shí)間？

7.某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3∶2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10∶8∶7。如果甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3∶1，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是5∶3，那么丙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？

第三篇：六年級(jí)奧數(shù)比和比例2

六年奧數(shù)綜合練習(xí)題十二答案（比和比例關(guān)系）

比和比例，是小學(xué)數(shù)學(xué)中的最后一個(gè)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ).有了“比”這個(gè)概念和表達(dá)方式，處理倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等問(wèn)題，要方便靈活得多.我們希望，小學(xué)同學(xué)學(xué)完這一講，對(duì)“除法、分?jǐn)?shù)、比例實(shí)質(zhì)上是一回事，但各有用處”有所理解.這一講分三個(gè)內(nèi)容：

一、比和比的分配；

二、倍數(shù)的變化；

三、有比例關(guān)系的其他問(wèn)題.一、比和比的分配

最基本的比例問(wèn)題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比.例1 甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的周長(zhǎng)相等.甲的長(zhǎng)與寬之比是3∶2，乙的長(zhǎng)與寬之比是7∶5.求甲與乙的面積之比.解：設(shè)甲的周長(zhǎng)是2.甲與乙的面積之比是

答：甲與乙的面積之比是864∶875.作為答數(shù)，求出的比最好都寫(xiě)成整數(shù).例2 如右圖，ABCD是一個(gè)梯形，E是AD的中點(diǎn)，直線CE把梯形分成甲、乙兩部分，它們的面積之比是10∶7.求上底AB與下底CD的長(zhǎng)度之比.解：因?yàn)镋是中點(diǎn)，三角形CDE與三角形CEA面積相等.三角形ADC與三角形ABC高相等，它們的底邊的比AB∶CD=三角形ABC的面積∶三角形ADC的面積

=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.答：AB∶CD=3∶14.兩數(shù)之比，可以看作一個(gè)分?jǐn)?shù)，處理時(shí)與分?jǐn)?shù)計(jì)算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分?jǐn)?shù)不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點(diǎn).例3 大、中、小三種杯子，2大杯相當(dāng)于5中杯，3中杯相當(dāng)于4小杯.如果記號(hào)表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.解：大杯與中杯容量之比是5∶2=10∶4，中杯與小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯與小杯容量之比是10∶4∶3.∶

=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）

=44∶75.答：兩者容量之比是44∶75.把5∶2與4∶3這兩個(gè)比合在一起，成為三樣?xùn)|西之比10∶4∶3，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個(gè)更一般的例子.甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，3∶5=3×7∶5×7=21∶35，7∶4=7×5∶4×5=35∶20，甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少錢？

解：根據(jù)比例與乘法的關(guān)系，連比后是

甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2

=32∶48∶63.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚長(zhǎng)短不相同的釘子，甲與乙，而它們留在墻外的部分一樣長(zhǎng).問(wèn)：甲、乙、丙的長(zhǎng)度之比是多少？

解：設(shè)甲的長(zhǎng)度是6份.∶x=5∶4.乙與丙的長(zhǎng)度之比是

而甲與乙的長(zhǎng)度之比是 6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答：甲、乙、丙的長(zhǎng)度之比是30∶25∶26.于利用已知條件6∶5，使大部分計(jì)算都整數(shù)化.這是解比例和分?jǐn)?shù)問(wèn)題的常用手段.例6 甲、乙、丙三種糖果每千克價(jià)分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問(wèn)他買的這些糖果每千克的平均價(jià)是多少元？ 解一：設(shè)每種糖果所花錢數(shù)為1，因此平均價(jià)是

答：這些糖果每千克平均價(jià)是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但計(jì)算卻使人感到不易.最好的計(jì)算方法是，用22，30，33的最小公倍數(shù)330，乘這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子與分母，就有：

事實(shí)上，有稍簡(jiǎn)捷的解題思路.解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比.不妨設(shè)，所花錢數(shù)是330，立即可求出，所買數(shù)量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均數(shù)是（15+11+10）÷3=12.單價(jià)33元的可買10份，要買12份，單價(jià)是

下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問(wèn)題，即“比的分配”問(wèn)題，當(dāng)一個(gè)數(shù)量被分成若干個(gè)數(shù)量，如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量.例7 一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比2∶3.因此

例8 加工一個(gè)零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個(gè)零件要加工，為盡早完成任務(wù)，甲、乙、丙應(yīng)各加工多少個(gè)？所需時(shí)間是多少？

解：三人同時(shí)加工，并且同一時(shí)間完成任務(wù)，所用時(shí)間最少，要同時(shí)完成，應(yīng)根據(jù)工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是

他們分別需要完成的工作量是

所需時(shí)間是

700×3=2100分鐘）=35小時(shí).答：甲、乙、丙分別完成700個(gè)，600個(gè)，525個(gè)零件，需要35小時(shí).這是三個(gè)數(shù)量按比例分配的典型例題.例9 某團(tuán)體有100名會(huì)員，男會(huì)員與女會(huì)員的人數(shù)之比是14∶11，會(huì)員分成三個(gè)組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會(huì)員與女會(huì)員人數(shù)之比是：

甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男會(huì)員？

解：甲組的人數(shù)是100÷2=50（人）.乙、丙兩組男會(huì)員人數(shù)是 56-24=32（人）.答：丙組有12名男會(huì)員.上面解題的最后一段，實(shí)質(zhì)上與“雞兔同籠”解法一致，可以設(shè)想，“兔

例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長(zhǎng)之比依次是1∶2∶3.小龍走各段路程所用時(shí)間之比依次是4∶5∶6.已知他上坡時(shí)速度為每小時(shí)3千米，路程全長(zhǎng)50千米.問(wèn)小龍走完全程用了多少時(shí)間？

解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是

走完全程所用時(shí)間

答：小龍走完全程用了10小時(shí)25分.上面是通常思路下解題.1∶2∶3計(jì)算中用了兩次，似乎重復(fù)計(jì)算，最后算式也頗費(fèi)事.事實(shí)上，靈活運(yùn)用比例有簡(jiǎn)捷解法.解二：全程長(zhǎng)是上坡這一段長(zhǎng)的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的時(shí)

設(shè)小龍走完全程用x小時(shí).可列出比例式

二、比的變化

已知兩個(gè)數(shù)量的比，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也發(fā)生變化.通過(guò)變化的描述，如何求出原來(lái)的兩個(gè)數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容.例11 甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是5∶7.甲、乙原來(lái)各得多少分？

解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒(méi)有變化.原來(lái)要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來(lái)？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來(lái)算.5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來(lái)

甲得22.5÷5×20=90（分），乙得 22.5÷5×16=72（分）.答：原來(lái)甲得90分，乙得72分.我們?cè)俳榻B一種能解本節(jié)所有問(wèn)題的解法，也就是通過(guò)比例式來(lái)列方程.解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7

即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）

15x=12×22.5

x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的數(shù)量沒(méi)有改變.增加8個(gè)紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是

5∶（14-5）=5∶9.在沒(méi)有球增加時(shí)，紅球與其他球數(shù)量之比是

1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.因此8個(gè)紅球是5-4.5=0.5（份）.現(xiàn)在總球數(shù)是

答：現(xiàn)在共有球224個(gè).本題的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)量中，有一個(gè)數(shù)量沒(méi)有變.把1∶2寫(xiě)成4.5∶9，就是充分利用這一特點(diǎn).本題也可以列出如下方程求解：

（x+8）∶2x=5∶9.例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是8∶5，開(kāi)支的錢數(shù)之比是8∶3，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問(wèn)每家各收入多少元？

解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.如果他們開(kāi)支的錢數(shù)之比也是8∶5，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是8∶5.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余x元.有

240∶x=8∶5，x=150（元）.實(shí)際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是8∶5中5份與8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

答：張家收入720元，李家收入450元.解二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開(kāi)支的3倍與李家開(kāi)支的8倍的錢一樣多.我們畫(huà)出一個(gè)示意圖：

張家開(kāi)支的3倍是（8份-240）×3.李家開(kāi)支的8倍是（5份-270）×8.從圖上可以看出

5×8-8×3=16份，相當(dāng)于

270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.張家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.本題也可以列出比例式：

（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.然后求出x.事實(shí)上，解方程求x的計(jì)算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù)味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些.例14 A和B兩個(gè)數(shù)的比是8∶5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個(gè)數(shù).解：減少相同的數(shù)34，因此未減時(shí)，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒(méi)有變，解題時(shí)要充分利用這一點(diǎn).8∶5，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2∶1，兩者相差1.將前項(xiàng)與后項(xiàng)都乘以3，即2∶1=6∶3，使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.A數(shù)是17×8=136，B數(shù)是17×5=85.答：A，B兩數(shù)分別是136與85.本題也可以用例13解一“假設(shè)”方法求解，不過(guò)要把減少后的2∶1，改寫(xiě)成8∶4.例15 小明和小強(qiáng)原有的圖畫(huà)紙之比是4∶3，小明又買來(lái)15張.小強(qiáng)用掉了8張，現(xiàn)有的圖畫(huà)紙之比是5∶2.問(wèn)原來(lái)兩人各有多少?gòu)垐D畫(huà)紙？

解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來(lái)總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，新的1份=原來(lái)1份+1

原來(lái)4份，新的5份，5-4=1，因此

新的1份有15-1×4=11（張）.小明原有圖畫(huà)紙11×5-15=40（張），小強(qiáng)原有圖畫(huà)紙11×2+8=30（張）.答：原來(lái)小明有40張，小強(qiáng)有30張圖畫(huà)紙.解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法.先要將兩個(gè)比中的前項(xiàng)化成同一個(gè)數(shù)（實(shí)際上就是通分）

4∶3=20∶15

5∶2=20∶8.但現(xiàn)在是20∶8，因此這個(gè)比的每一份是

當(dāng)然，也可以采用實(shí)質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法.解三：設(shè)原來(lái)小明有4“份”，小強(qiáng)有3“份”圖畫(huà)紙.意圖：

把小明現(xiàn)有的圖畫(huà)紙張數(shù)乘2，小強(qiáng)現(xiàn)有的圖畫(huà)紙張數(shù)乘5，所得到的兩個(gè)結(jié)果相等.我們可以畫(huà)出如下示

從圖上可以看出，3×5-4×2=7（份）相當(dāng)于圖畫(huà)紙15×2+8×5=70（張）.因此每份是10張，原來(lái)小明有40張，小強(qiáng)有30張.例11至15這五個(gè)例題是同一類型的問(wèn)題.用比例式的方程求解沒(méi)有多大差別.用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡(jiǎn)捷的解法，也啟示一些隨機(jī)應(yīng)變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運(yùn)算，對(duì)小學(xué)生說(shuō)來(lái)是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運(yùn)用.從課外的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進(jìn)思維.例16 粗蠟燭和細(xì)蠟燭長(zhǎng)短一樣.粗蠟燭可以點(diǎn)5小時(shí)，細(xì)蠟燭可以點(diǎn)4小時(shí).同時(shí)點(diǎn)燃這兩支蠟燭，點(diǎn)了一段時(shí)間后，粗蠟燭長(zhǎng)是細(xì)蠟燭長(zhǎng)的2倍.問(wèn)這兩支蠟燭點(diǎn)了多少時(shí)間？

我們把問(wèn)題改變一下：設(shè)細(xì)蠟燭長(zhǎng)度是2，每小時(shí)點(diǎn)

等需要時(shí)間是

答：這兩支蠟燭點(diǎn)了3小時(shí)20分.把細(xì)蠟燭的長(zhǎng)度和每小時(shí)燒掉的長(zhǎng)度都乘以2，使原來(lái)要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡(jiǎn)捷了.解這類問(wèn)題這是常用的技巧.再請(qǐng)看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經(jīng)過(guò)若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來(lái)紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？

解：因?yàn)榧t球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對(duì)3倍的白球，每次取15只，最后應(yīng)剩51只.因?yàn)榘浊蛎看稳?只，最后剩下3只，所以對(duì)3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后應(yīng)剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51-3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.紅球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.白球有 7×7＋3＝52（只）.原來(lái)紅球比白球多 158-52＝106（只）.答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.三、比例的其他問(wèn)題，這里必須用分?jǐn)?shù)來(lái)說(shuō)，而不能用比.實(shí)際上它還是隱含著比例關(guān)系：

（甲-7）∶乙= 2∶3.因此，有些分?jǐn)?shù)問(wèn)題，就是比例問(wèn)題.加33張，他們兩人取的畫(huà)片一樣多.問(wèn)這些畫(huà)片有多少?gòu)垼?/p>

答：這些畫(huà)片有261張.解：設(shè)最初的水量是1，因此最后剩下的水是

樣重，就有

因此原有水的重量是

答：容器中原來(lái)有8.4千克水.例18和例19，通常在小學(xué)數(shù)學(xué)中，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.“比”有前項(xiàng)和后項(xiàng)，當(dāng)兩項(xiàng)合在一起寫(xiě)成一個(gè)分?jǐn)?shù)后，才便于與其他數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算.這就是把比（或除法）寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的好處.下面一個(gè)例題卻是要把分?jǐn)?shù)寫(xiě)成比，計(jì)算就方便些.例20 有兩堆棋子，A堆有黑子 350個(gè)和白子500個(gè)，B堆有黑子

堆中拿到 A堆黑子、白子各多少個(gè)？

子100個(gè)，使余下黑子與白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要從 B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持3∶1的比.現(xiàn)在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450個(gè)），與已有白子500個(gè)，相差

從B堆再拿出黑子與白子，要相差50個(gè)，又要符合3∶1這個(gè)比，要拿出白子數(shù)是

50÷（3-1）＝25（個(gè)）.再要拿出黑子數(shù)是 25×3＝ 75（個(gè)）.答：從B堆拿出黑子 175個(gè)，白子25個(gè).人，問(wèn)高、初中畢業(yè)生共有多少人？

解一：先畫(huà)出如下示意圖：

6-5＝1，相當(dāng)于圖中相差 17-12＝5（份），初中總?cè)藬?shù)是 5×6＝30份，因此，每份人數(shù)是

520÷（30-17）= 40（人）.因此，高、初中畢業(yè)生共有

40×（17＋12）＝ 1160（人）.答：高、初中畢業(yè)生共1160人.計(jì)算出每份是

例21與例14是完全一樣的問(wèn)題，解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現(xiàn)？）解二是通常分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，顯然計(jì)算不如解一簡(jiǎn)便.例18，19，20，21四個(gè)例題說(shuō)明分?jǐn)?shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當(dāng)然關(guān)鍵還是在于靈活運(yùn)用.下的錢共有多少元？

解：設(shè)鋼筆的價(jià)格是1.這樣就可以求出，鋼筆價(jià)格是

張剩下的錢數(shù)是

李剩下的錢數(shù)

答：張、李兩人剩下的錢共28元.題中有三個(gè)分?jǐn)?shù)，但它們比的基準(zhǔn)是不一樣的.為了統(tǒng)一計(jì)算單位，設(shè)定鋼筆的價(jià)格為1.每個(gè)人原有的錢和剩下的錢都可以通過(guò)“1”統(tǒng)一地折算.解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，設(shè)定統(tǒng)一的計(jì)算單位是常用的解題技巧.作為這一講最后的內(nèi)容，我們通過(guò)兩個(gè)例題，介紹一下“混合比”.用100個(gè)銀幣買了100頭牲畜，問(wèn)豬、山羊、綿羊各幾頭？

這是十八世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（1707～1783）提出的問(wèn)題.們?cè)O(shè)1頭豬和5頭綿羊?yàn)锳組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數(shù)，B表示B組的數(shù)，要使

（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，或簡(jiǎn)寫(xiě)成 6A＋5B＝100.就恰好符合均價(jià)是1.類似于第三講雞兔同籠中例17，很明顯，A必定是5的整數(shù)倍.A＝5，B＝ 4，6×5＋ 5×4＝50，50是 100的約數(shù)，符合要求.A＝5，豬 5頭，綿羊 25頭，B=4，山羊12頭，綿羊8頭.豬∶山羊∶綿羊=5∶12∶（25＋8）.現(xiàn)在已把1∶5和3∶2兩種比，組合在一起通常稱為混合比.要注意，這樣的問(wèn)題常常有多種解答.A= 5，B＝14或 A＝15，B＝2才能產(chǎn)生解答，相應(yīng)的豬、山羊、綿羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.答：有三組解答.買豬、山羊、綿羊的頭數(shù)是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一種很實(shí)用的方法，對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的小學(xué)同學(xué)，學(xué)會(huì)這種方法是有好處的，會(huì)增加靈活運(yùn)用比例的技巧.通常求混合比可列下表：

下面例題與例23是同一類型，但由于題目的條件，解法上稍有變化.例24 某商品76件，出售給33位顧客，每位顧客最多買三件，買 1件按定價(jià)，買2件降價(jià) 10％，買 3件降價(jià) 20％.最后結(jié)算，平均每件恰好按原定價(jià)的 85％出售，那么買3件的顧客有多少人？

解：題目已給出平均數(shù) 85％，可作比較的基準(zhǔn).1人買3件少 5％×3；

1人買2件多 5％×2；

1人買1件多 15％ ×1.1人買3件與1人買1件成A組，即按1∶1比例，2人買3件與3人買2件成B組，即按2∶3的比例.A組是2人買4件，每人平均買2件.B組是5人買12件，每人平均買2.4件.現(xiàn)在已建立了一個(gè)雞兔同籠型問(wèn)題：總腳數(shù)76，總頭數(shù)33，兔腳數(shù)2.4，雞腳數(shù)2.B組人數(shù)是

（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），A組人數(shù)是 33-25＝8（人），其中買 3件4人，買 1件4人.10＋ 4＝ 14（人）.答：買3件的顧客有14位.建立兩種比的A組和B組，與例23的解題思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因?yàn)閷?duì)A組和B組，不僅要從人數(shù)考慮滿足2A+5B＝33，還要從買的件數(shù)考慮滿足 4A＋12B＝76.這已完全確定了A組和B組的數(shù)，不必再求混合比.

第四篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案：行程問(wèn)題

第一講 行程問(wèn)題

走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量： 距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等;速度在單位時(shí)間內(nèi)(例如1小時(shí)內(nèi))行走或移動(dòng)的距離;時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來(lái)表示： 距離=速度×?xí)r間

很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見(jiàn)的，例如

總量=每個(gè)人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×?xí)r間.因此，我們從行程問(wèn)題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問(wèn)題.當(dāng)然，行程問(wèn)題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問(wèn)題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問(wèn)題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及與相遇

有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×?xí)r間-乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度-乙的速度)×?xí)r間.通常，“追及問(wèn)題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車和面包車同時(shí)從學(xué)校開(kāi)出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9千米，問(wèn)學(xué)校到城門的距離是多少千米? 解：先計(jì)算，從學(xué)校開(kāi)出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間.此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此

所用時(shí)間=9÷6=1.5(小時(shí)).小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9千米，說(shuō)明小轎車的速度是

面包車速度是 54-6=48(千米/小時(shí)).城門離學(xué)校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問(wèn)家到公園多遠(yuǎn)? 解一：可以作為“追及問(wèn)題”處理.假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是

×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是

一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上;如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上.問(wèn)自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時(shí)走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了

自行車多走20分鐘，走了

因此，自行車的速度是

答：自行車速度是20千米/小時(shí).解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離÷速度差

1小時(shí)與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請(qǐng)看下面示意圖：

馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時(shí)).解二的想法與第二講中年齡問(wèn)題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分? 解：畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問(wèn)題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度+乙的速度)×?xí)r間.“相遇問(wèn)題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長(zhǎng)的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說(shuō)，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時(shí)間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫(huà)一張示意圖

離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米

小張比小王每小時(shí)多走(5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是 2÷(5-4)=2(小時(shí)).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎?對(duì)小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡(jiǎn)單地說(shuō)這是什么問(wèn)題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對(duì)題目中的條件好好想一想.千萬(wàn)不要“兩人面對(duì)面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請(qǐng)?jiān)倏匆粋€(gè)例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫(huà)一張行程示意圖如下

設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來(lái)都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)

(或E點(diǎn))相遇所用時(shí)間是 28÷5= 5.6(小時(shí)).比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6=0.4(小時(shí)).甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小時(shí)).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時(shí)).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡(jiǎn)單地說(shuō)成是“相遇問(wèn)題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).問(wèn)：(1)小張和小王分別從A，D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問(wèn)多少時(shí)間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了

因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發(fā)到相遇的時(shí)間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走

小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問(wèn)題

人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長(zhǎng)有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來(lái)跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個(gè)周長(zhǎng))，因此需要的時(shí)間是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米;在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).解：第一次相遇，兩人合起來(lái)走了半個(gè)周長(zhǎng);第二次相遇，兩個(gè)人合起來(lái)又走了一圈.從出發(fā)開(kāi)始算，兩個(gè)人合起來(lái)走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來(lái)所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問(wèn)小張和小王的速度各是多少? 解：畫(huà)示意圖如下：

如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是 40×3÷60=2(小時(shí)).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時(shí))，小王 8÷2=4(千米/小時(shí)).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回)，他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)? 解：畫(huà)示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問(wèn)題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘;小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問(wèn)：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：

12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了

此時(shí)兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是 5÷(4+6)=0.5(小時(shí)).2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.例14 一個(gè)圓周長(zhǎng)90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲(chóng)A，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針?lè)较蜓刂鴪A周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬蟲(chóng)出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲(chóng)，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開(kāi)始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 6，24，42，78，96，…

對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲(chóng)到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲(chóng)出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請(qǐng)思考，3只爬蟲(chóng)第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求

解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”，解題過(guò)程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.根據(jù)“走同樣距離，時(shí)間與速度成反比”，可得出

分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時(shí)間分別是24，12，16，18.從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們?cè)贏B中點(diǎn)相遇.P→D→A與 P→C→B所用時(shí)間相等.PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間 =DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間 =18-12 =6.而(PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間)是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得 PC上所需時(shí)間是(24+6)÷2=15，PD上所需時(shí)間是24-15=9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).P→D→A→N與C→B→N時(shí)間相等，就有 BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間 =P→D→A所需時(shí)間-CB所需時(shí)間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間 =16.立即可求BN上所需時(shí)間是15.5，AN所需時(shí)間是0.5.從這一例子可以看出，對(duì)要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單些.三、稍復(fù)雜的問(wèn)題

在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧：(1)在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn);(2)靈活地運(yùn)用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問(wèn)：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間? 解：畫(huà)一張示意圖：

圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時(shí)間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于

這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離，需要的時(shí)間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發(fā)到張、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度10.8千米/小時(shí)是小張速度5.4千米/小時(shí)的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時(shí)間是 130+65=195(分鐘)=3小時(shí)15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時(shí)15分.上面的問(wèn)題有3個(gè)人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時(shí)要分幾個(gè)層次，弄清相互間的關(guān)系，問(wèn)題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，使我們的思考直觀簡(jiǎn)明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問(wèn)姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說(shuō)：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過(guò)2千米時(shí)，回家取車才合算.”請(qǐng)推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫(huà)一張示意圖

設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時(shí)間，就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問(wèn)題就轉(zhuǎn)變成： 騎車從家開(kāi)始，步行從B點(diǎn)開(kāi)始，騎車追步行，能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計(jì)算如下：

不妨設(shè)B到A的距離為1個(gè)單位，因?yàn)轵T車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個(gè)單位，從家到B的距離是3個(gè)單位.公園到B是1.5個(gè)單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個(gè)單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計(jì)算單位給計(jì)算帶來(lái)方便，是值得讀者仿照采用的.請(qǐng)?jiān)倏匆焕?例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時(shí)開(kāi)出，相向而行.經(jīng)過(guò)5小時(shí)兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時(shí)，慢車到A停留半小時(shí)后返回.快車到B停留1小時(shí)后返回.問(wèn)：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時(shí)間? 解：畫(huà)一張示意圖：

設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時(shí)，從C到A用了12.5-5=7.5(小時(shí)).我們把慢車半小時(shí)行程作為1個(gè)單位.B到C10個(gè)單位，C到A15個(gè)單位.慢車每小時(shí)走2個(gè)單位，快車每小時(shí)走3個(gè)單位.有了上面“取單位”準(zhǔn)備后，下面很易計(jì)算了.慢車從C到A，再加停留半小時(shí)，共8小時(shí).此時(shí)快車在何處呢?去掉它在B停留1小時(shí).快車行駛7小時(shí)，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個(gè)單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-1=14(單位).現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時(shí)出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時(shí)間是 14÷(2+3)=2.8(小時(shí)).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時(shí)).答：從第一相遇到再相遇共需10小時(shí)48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來(lái)時(shí)順?biāo)?，比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時(shí)是行駛?cè)痰囊话霑r(shí)間，因?yàn)槿r(shí)逆水，小船到達(dá)不了B地.我們?cè)贐之前設(shè)置一個(gè)C點(diǎn)，是小船逆水行駛1小時(shí)到達(dá)處.如下圖

第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r(shí)多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r(shí)間是1小時(shí).現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭?，與C至B逆水行駛3千米時(shí)間一樣多.因此 順?biāo)俣取媚嫠俣?5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出

A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行.1小時(shí)20分后，在第二段的

解一：畫(huà)出如下示意圖：

當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的

到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分

時(shí)20分相當(dāng)于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分鐘);

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過(guò)“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例

8、例13也是類似思路，僅僅是問(wèn)題簡(jiǎn)單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.第一段所用時(shí)間∶第三段所用時(shí)間=5∶2.時(shí)間一樣.第一段所用時(shí)間∶第二段所用時(shí)間=5∶9.因此，三段路程所用時(shí)間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時(shí)間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開(kāi)往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá);如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設(shè)原速度是1.%后，所用時(shí)間縮短到原時(shí)間的

這是具體地反映：距離固定，時(shí)間與速度成反比.用原速行駛需要

同樣道理，車速提高25%，所用時(shí)間縮短到原來(lái)的

如果一開(kāi)始就加速25%，可少時(shí)間

現(xiàn)在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說(shuō)明有一段路程未加速而沒(méi)有少這個(gè)32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時(shí)間

真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時(shí)間一樣.因此全程長(zhǎng)

答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實(shí)上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時(shí)間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長(zhǎng)還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長(zhǎng)為x，就有 x∶120=72∶32

第五篇：六年級(jí)奧數(shù)教案

思源學(xué)校第二課堂（第六周）

判斷與推理 2 授課人：雍堯

教學(xué)要求:(1)理解邏輯推理的四條基本規(guī)律，學(xué)會(huì)運(yùn)用分析、推理方法解決問(wèn)題。

(2)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.教學(xué)重點(diǎn):學(xué)會(huì)運(yùn)用分析、推理方法解決問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn): 理解、掌握分析、推理方法。

教學(xué)方法:講解法、圖表法、練習(xí)法。

（一）教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)。

上節(jié)課的習(xí)題例2

二、教學(xué)新課 教學(xué)例3

甲乙丙三人被蒙上眼睛，告訴他們每個(gè)人頭上都戴了一頂帽子，帽子的顏色不是紅的就是綠的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每個(gè)人如果看見(jiàn)別人（一個(gè)或兩個(gè)）戴的是紅帽子就舉手，并且誰(shuí)能斷定自己頭上帽子的顏色，誰(shuí)就馬上離開(kāi)房間。三人碰巧戴的都是紅帽子，因此三個(gè)人都舉了手，幾分鐘后，丙首先走開(kāi)了，他是怎么推導(dǎo)出自己頭上帽子的顏色的？

（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。

（3）分析：此題關(guān)鍵：注意到甲乙兩人沒(méi)有立即離開(kāi)房間這個(gè)事實(shí)。丙推理，我的帽子如果是綠的，甲根據(jù)乙舉手立即知道自己的帽子是紅的，那他應(yīng)走出房間，乙會(huì)做同樣的推理離開(kāi)房間。甲乙不能很快判斷自己帽子的顏色，說(shuō)明我的帽子不是綠的，而是紅的。（4）說(shuō)說(shuō)你的推理過(guò)程。

3、比較前面例2例3有什么相同不同之處。

三、鞏固練習(xí)。教學(xué)例4 學(xué)田小學(xué)舉行科技知識(shí)競(jìng)賽，同學(xué)們對(duì)一貫刻苦學(xué)習(xí)愛(ài)好讀書(shū)的四名學(xué)生的成績(jī)作了如下估計(jì)：（1）丙得第一，乙得第二；

（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。

比賽結(jié)果一公布，果然是這四名學(xué)生獲得前四名。但以上三種估計(jì)，每一種都對(duì)了一半錯(cuò)一半。他們各得第幾名？（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。（3）分析：利用圖表幫助學(xué)生去推理判斷。

第一種假定“丙第一錯(cuò)，乙第二對(duì)”出現(xiàn)矛盾。照此推理“丙第一對(duì)，乙第二錯(cuò)”沒(méi)有出

現(xiàn)矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理過(guò)程。

四、小結(jié)。

這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？