第一篇：對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(一)61教案示例

對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(一)·教案示例

目的要求

1．掌握函數(shù)lnx、logax的導(dǎo)數(shù)公式．

2．能用公式求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 內(nèi)容分析

1．教科書直接給出對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，目的在于減輕學(xué)生理解上的負(fù)擔(dān)，注重了知識(shí)的直觀性，而降低了理論的嚴(yán)謹(jǐn)性．接著通過幾道例題，介紹了對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用．

2．對(duì)于公式(logax)′＝1xlogae，我們將它改為證明題，理由如下：1x

為根據(jù)，首先，可復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)換底公式．其次，可用前一公式(lnx)′＝這就成了熟悉和使用前一公式的一次機(jī)會(huì)．再次，這一公式有一個(gè)常數(shù)

因子logae即．通過證明，可以加深對(duì)此公式的理解和記憶，學(xué)生lnalnx1由logax＝這一步運(yùn)算看到了的來歷．這樣對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征lnalna就加深了印象，于是先入為主，可以避免與公式(a)′＝alna及xx1

?axdx?ax

?C中的“l(fā)na”的位置相混淆．lna3．本節(jié)重點(diǎn)是結(jié)合函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，使學(xué)生能求簡單的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

給出對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式后，安排了兩道例題，都是求對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例1比較簡單，不僅可讓學(xué)生說出中間變量u＝2x2＋3x＋1，而且整個(gè)解題過程都可交給學(xué)生完成．例2比較復(fù)雜，兩個(gè)

解法中，解法1略顯繁瑣，因1－x的求導(dǎo)還是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)．而解法

22中的1－x2的求導(dǎo)都是簡單的二次函數(shù)式求導(dǎo)，解法2中使用了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將函數(shù)解析式先進(jìn)行了變形．大學(xué)里的取對(duì)數(shù)法求導(dǎo)，就是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)來簡化求導(dǎo)過程的．

4．由于加強(qiáng)公式的應(yīng)用是本節(jié)重點(diǎn)，所以增加了一道例題，其中注意增加了含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)．

教學(xué)過程 1．復(fù)習(xí)

(1)問題 回憶換底公式；敘述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．(2)練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

Ⅰ．y＝1－x；x1?x22Ⅱ．y＝sin2x．

答案：Ⅰ．－；Ⅱ．2cos2x．

2．新授

1．直接給出對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(lnx)′＝2．求證對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(2)(logax)′＝證明：(logax)′＝(lnxlna)′＝1lna·1x＝1x1x1x．logae．

logae．注：以上兩個(gè)公式均是對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式． 公式(1)尤其簡單易記，lnx的導(dǎo)數(shù)等于x-1．

公式(2)略顯復(fù)雜，logax的導(dǎo)數(shù)除了x，還有另一因子logae，即1lna?1，由證明過程看出是由使用換底公式而來．試思考：求冪函數(shù)xm的導(dǎo)數(shù)能得x-1嗎？ 3．公式的應(yīng)用

讓學(xué)生解答教科書例1，用多媒體展示其過程，需強(qiáng)調(diào)中間變量u＝2x2＋3x＋1． 讓學(xué)生解答教科書例2，并分組交流、討論、比較各種解法的優(yōu)劣，引導(dǎo)學(xué)生歸納方法和技巧，尋找規(guī)律性的策略．

這樣，突出了學(xué)生的主體地位，學(xué)生感到自己會(huì)學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)求知的興趣和信心．

此處可向?qū)W生說明，真數(shù)中若含乘方或開方、乘法或除法的，均可先變形再求導(dǎo)．此例中解法2優(yōu)于解法1，實(shí)際上，解法1中y＝lgu，u＝12v，v＝1－x，取了兩個(gè)中間變量，屬于多重復(fù)合．而解法2中y＝22

lgu，u＝1－x，僅有一次復(fù)合，所以其解法顯得簡單，不易出錯(cuò)．增例：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y＝log2(x＋1＋x)；(3)y＝lnsin2xx； 2(2)y＝ln1+x1?x222；

(4)y＝lnsin(e－x)．邊分析，邊講解．

解：(1)y′＝log2ex?＝1?x2(x?1?x)′2

[1?x1?x2log2ex?1?x2121?x)22·(1?x)′]2＝log2ex?1?x2(1?

＝log2e1?x解：(2)由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，有

y＝12[ln(1＋x)－ln(1－x)]．22

1(1?x)′(1?x)′則y′＝[?]2221?x1?x＝＝121?x2x1?x422[2x2??2x1?x2]

解：(3)y′＝＝xsin2xxsin2x(sin2xx)′·cos2x·2·x?sin2x·1x1x2

＝2cot2x?[sin(e?x)]′sin(e?x)22解：(4)y′＝＝

2sin(e?x)·[sin(e?x)]′sin(e?x)2＝2sin(e?x)·cos(e?x)·(e?x)′sin(e?x)2

＝－2cot(e?x)請(qǐng)學(xué)生用先變形再求導(dǎo)的方法，再解第(4)小題． 4．反饋訓(xùn)練

Ⅰ．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y＝ln(cosx)；(3)y＝xlgx；(2)y＝1＋lnx；(4)y＝log2(1＋sinx)．2

答案：

(1)－tanx；(2)lnxx1+lnx2；(3)lgx＋lge；(4)cosx1+sinxlog2e．

Ⅱ．教科書練習(xí)． 5．課堂小結(jié)

知識(shí)：要記住并用熟對(duì)數(shù)函數(shù)的兩個(gè)求導(dǎo)公式．

技能：注意遇到真數(shù)中含有乘法、除法、乘方、開方這些運(yùn)算的，應(yīng)先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將函數(shù)解析式作變形處理，然后再求導(dǎo)，可使運(yùn)算較簡便．

布置作業(yè)

教科書習(xí)題3．5第1題． 增練 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝ln2(3x＋7)；(2)y＝lncos3(2x－3)；(3)y＝ln(x＋x2－1)；

答案：(1)(3)6ln(3x+7)3x+71；2x?1；(2)－6tan(2x－3)；(4)3xlnx＋x．22(4)y＝x3lnx．

第二篇：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)教案

一、指數(shù)函數(shù)

1．形如y?ax(a?0,a?0)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中自變量是x，函數(shù)定義域是R，值域是(0,??)．

2.指數(shù)函數(shù)y?ax(a?0,a?0)恒經(jīng)過點(diǎn)(0,1)． 3.當(dāng)a?1時(shí)，函數(shù)y?ax單調(diào)性為在R上時(shí)增函數(shù)； 當(dāng)0?a?1時(shí)，函數(shù)y?ax單調(diào)性是在R上是減函數(shù)．

二、對(duì)數(shù)函數(shù) 1． 對(duì)數(shù)定義：

一般地，如果a（a?0且a?1）的b次冪等于N, 即ab?N，那么就稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作 logaN?b，其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

b 著重理解對(duì)數(shù)式與指數(shù)式之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，理解，a?N與b?logaN所表示的是a,b,N三個(gè)量之間的同一個(gè)關(guān)系。2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

（1）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；（2）loga1?0；（3）logaa?1

這三條性質(zhì)是后面學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)和準(zhǔn)備，必須熟練掌握和真正理解。3.兩種特殊的對(duì)數(shù)是：①常用對(duì)數(shù)：以10作底 log10N簡記為lgN ②自然對(duì)數(shù)：以e作底（為無理數(shù)），e= 2.718 28……，loge4.對(duì)數(shù)恒等式（1）logaab?b；（2）alogaNN簡記為lnN．

?N

b 要明確a,b,N在對(duì)數(shù)式與指數(shù)式中各自的含義，在指數(shù)式a?N中，a是底數(shù)，b是指數(shù)，N是冪；在對(duì)數(shù)式b?logaN中，a是對(duì)數(shù)的底數(shù)，N是真數(shù)，b是以a為底N的對(duì)數(shù)，雖然a,b,N在對(duì)數(shù)式與指數(shù)式中的名稱不同，但對(duì)數(shù)式與指數(shù)式有密切的聯(lián)系：求b對(duì)數(shù)logaN就是求a?N中的指數(shù)，也就是確定a的多少次冪等于N。

三、冪函數(shù)

1．冪函數(shù)的概念：一般地，我們把形如y?x?的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，?是常數(shù)；

注意：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別． 2.冪函數(shù)的性質(zhì)：

（1）冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)；

（2）當(dāng)??0時(shí)，冪函數(shù)在[0,??)上單調(diào)遞增；當(dāng)??0時(shí)，冪函數(shù)在(0,??)上 單調(diào)遞減；

（3）當(dāng)???2,2時(shí)，冪函數(shù)是 偶函數(shù) ；當(dāng)???1,1,3,時(shí)，冪函數(shù)是 奇函數(shù) ．

四、精典范例 例

1、已知f(x)=x·（31311?)； x22?1(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)證明：f(x)>0.【解】：(1)因?yàn)?－1≠0，即2≠1，所以x≠0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}.x

x11x32x?1?)=·x又f(x)=x(x，22?12?123(?x)32?x?1x32x?1·?·f(－x)==f(x)，22?x?122x?1所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。

x32x?1?0.(2)當(dāng)x>0時(shí)，則x>0，2>1，2－1>0，所以f(x)=·x22?13

x

x又f(x)=f(－x),當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=f(－x)>0.綜上述f(x)>0.a·2x?a?2(x?R),若f(x)滿足f(－x)=－f(x).例

2、已知f(x)=x2?1(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性。

【解】：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，又f(x)滿足f(－x)= －f(x)，所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0.所以

2a?2?0，解得a=1，22(2x1?2x2)2x1?12x2?1(2)設(shè)x1

3、已知f(x)=log2(x+1)，當(dāng)點(diǎn)(x,y)在函數(shù)y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(，)在函數(shù)y=g(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)。(1)寫出y=g(x)的解析式；

(2)求出使g(x)>f(x)的x的取值范圍；

(3)在(2)的范圍內(nèi)，求y=g(x)－f(x)的最大值?！窘狻浚?1)令

xy32xy?s,?t，則x=2s,y=2t.32因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)在函數(shù)y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，所以2t=log2(3s+1)，11log2(3s+1)，所以g(x)= log2(3s+1)221(2)因?yàn)間(x)>f(x)所以log2(3x+1)>log2(x+1)

2即t=?3x?1?(x?1)23即??0?x?1(3)最大值是log23－

2?x?1?0x2.例

4、已知函數(shù)f(x)滿足f(x－3)=lg2x?62(1)求f(x)的表達(dá)式及其定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(3)當(dāng)函數(shù)g(x)滿足關(guān)系f[g(x)]=lg(x+1)時(shí)，求g(3)的值.解：(1)設(shè)x－3=t，則x=t+3, 所以f(t)=lg2

t?3t?3?lg

t?3?6t?3x?3x?3?0，得x<－3，或x>3.解不等式x?3x?3x?3所以f(x)-lg，定義域?yàn)?－∞，－3)∪(3，+∞).x?3所以f(x)=lg ?x?3x?3x?3?lg??lg=－f(x).?x?3x?3x?3x?3(3)因?yàn)閒[g(x)]=lg(x+1)，f(x)=lg，x?3(2)f(-x)=lg所以lgg(x)?3g(x)?3?lg(x?1)，所以g(x)?3g(x)?3?x?1，(g(x)?3g(x)?3?0,x?1?0).解得g(x)=3(x?2)x, 所以g(3)=5

第三篇：4指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

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4指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

作者：

來源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》2014年第03期

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的兩個(gè)基本初等函數(shù)，是各地高考數(shù)學(xué)試卷中考查函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)、圖象變換的重要載體；它也一直是高考的熱點(diǎn)問題之一，試題難度一般不大，通常在選擇題、填空題中單獨(dú)考查，或作為試題的載體在解答題中出現(xiàn).熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決相關(guān)問題的前提和基礎(chǔ)，對(duì)相關(guān)的基本概念的掌握出現(xiàn)細(xì)小的偏差也會(huì)造成致命的錯(cuò)誤，因此本考點(diǎn)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)是理清指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).比較困難的問題是有關(guān)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，因此同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)本考點(diǎn)時(shí)，要特別注意如何利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究與之相關(guān)的簡單復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì).（1）由于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)與其底數(shù)有直接的聯(lián)系，所以在具體的解題過程中要明確底數(shù)的大小，注意運(yùn)用分類討論的思想來解決問題.由于本考點(diǎn)所涉及的試題通常是選擇題和填空題，若能畫出問題所涉及的相關(guān)函數(shù)的圖象，則往往能事半功倍，所以在具體的解題過程中要熟悉圖象的對(duì)稱變換、平移變換、伸縮變換，通過這些變換畫出相關(guān)函數(shù)的圖象解決問題，即注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想.對(duì)于以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的新情景、新問題，往往可通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法來解決.

第四篇：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)-對(duì)數(shù)及其運(yùn)算法則-教案

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)·對(duì)數(shù)及其運(yùn)算法則·教案 ? 教學(xué)目標(biāo)

1．理解并記憶對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)的性質(zhì)． 2．理解并掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的內(nèi)容及推導(dǎo)過程． 3．熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則解題． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)是對(duì)數(shù)定義、對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則．難點(diǎn)是對(duì)數(shù)定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運(yùn)算法則的推導(dǎo)． 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2％，求20年后國民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？

生：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，則20年后國民生產(chǎn)總值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后國民生產(chǎn)總值是原來的1.07220倍．

師：這是個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，我們把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求冪值的問題．也就是上面學(xué)習(xí)的指數(shù)問題． 師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2％，問經(jīng)過多年年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍？ 師：（分析）仿照上例，設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，需經(jīng)x年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍．列方程

1.072x=4．

我們把這個(gè)應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為知道底數(shù)和冪值，求指數(shù)的問題，這是上述問題的逆問題，即本節(jié)的對(duì)數(shù)問題． 師：（板書）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，就是ab=N，那么數(shù)b就叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作 logaN=b，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對(duì)數(shù)式． 師：請(qǐng)同學(xué)談?wù)剬?duì)對(duì)數(shù)這個(gè)定義的認(rèn)識(shí)．

生：對(duì)數(shù)式logaN實(shí)際上就是指數(shù)式中的指數(shù)b的一種新的記法． 生：對(duì)數(shù)是一種新的運(yùn)算．是知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算．（此刻并不奢望學(xué)生能說出什么深刻認(rèn)識(shí)，只是給他們自己一個(gè)去思維認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)這個(gè)定義的機(jī)會(huì)．）

師：他們說得都非常好．實(shí)際上ab=N這個(gè)式子涉及到了三個(gè)量a，b，N，由方程的觀點(diǎn)可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面學(xué)過的指數(shù)運(yùn)算；知道b（為自然數(shù)時(shí)），N可求a，即初中學(xué)過的開

記作logaN=b．因此，對(duì)數(shù)是一種新的運(yùn)算，一種知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算．而每學(xué)一種新的運(yùn)算，首先要學(xué)習(xí)它的記法，對(duì)數(shù)運(yùn)算的記法為logaN，讀作：以a為底N的對(duì)數(shù)．請(qǐng)同學(xué)注意這種運(yùn)算的寫法和讀法． 師：實(shí)際上指數(shù)與對(duì)數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式．為了更深入認(rèn)識(shí)并記憶對(duì)數(shù)這個(gè)概念，請(qǐng)同學(xué)們填寫下列表格．（打出幻燈）? 式子 名稱?

a b N?

指數(shù)式 對(duì)數(shù)式 ab=N logaN=b ? ? ?

練習(xí)1 ?把下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)形式：

練習(xí)2 ?把下列對(duì)數(shù)形式寫成指數(shù)形式：

練習(xí)3 ?求下列各式的值：

（兩名學(xué)生板演練習(xí)1，2題（過程略），一生板演練習(xí)三．）因?yàn)?2=4，所以以2為底4的對(duì)數(shù)等于2．

因?yàn)?3=125，所以以5為底125的對(duì)數(shù)等于3．（注意糾正學(xué)生的錯(cuò)誤讀法和寫法．）

師：由定義，我們還應(yīng)注意到對(duì)數(shù)式logaN=b中字母的取值范圍是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．

師：N∈R？（這是學(xué)生最易出錯(cuò)的地方，應(yīng)一開始讓學(xué)生牢牢記住真數(shù)大于零．）生：由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因而ab=N中N總是正數(shù)． 師：要特別強(qiáng)調(diào)的是：零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)． 師：定義中為什么規(guī)定a＞0，a≠1？（根據(jù)本班情況決定是否設(shè)置此問．）

生：因?yàn)槿鬭＜0，則N取某些值時(shí)，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，則當(dāng)N不為0時(shí)，b不存在，如log02不存在；當(dāng)N為0時(shí)，b可以為任何正數(shù)，是不唯一的，即log00有無數(shù)個(gè)值；若a=1，N不為1時(shí)，b不存在，如log13不存在，N為1時(shí)，b可以為任何數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)多個(gè)值．因此，我們規(guī)定：a＞0，a≠1．（此回答能培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想．這個(gè)問題從ab=N出發(fā)回答較為簡單．）師：下面我來介紹兩個(gè)在對(duì)數(shù)發(fā)展過程中有著重要意義的對(duì)數(shù)． 師：（板書）對(duì)數(shù)logaN（a＞0且a≠1）在底數(shù)a=10時(shí)，叫做常用對(duì)數(shù)，簡記lgN；底數(shù)a=e時(shí)，叫做自然對(duì)數(shù)，記作lnN，其中e是個(gè)無理數(shù)，即e≈2.718 28??． 練習(xí)4? 計(jì)算下列對(duì)數(shù)：

lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 師：請(qǐng)同學(xué)說出結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想． 生：2log24=4．這是因?yàn)閘og24=2，而22=4．

生：3log327=27．這是因?yàn)閘og327=3，而33=27． 生：10lg105=105．

生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．

師：非常好．這就是我們下面要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)恒等式． 師：（板書）

alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線）（再次鼓勵(lì)學(xué)生，并提出更高要求，給出嚴(yán)格證明．）（學(xué)生討論，并口答．）生：（板書）

證明：設(shè)指數(shù)等式ab=N，則相應(yīng)的對(duì)數(shù)等式為logaN=b，所以ab=alogaN=N． 師：你是根據(jù)什么證明對(duì)數(shù)恒等式的？ 生：根據(jù)對(duì)數(shù)定義． 師：（分析小結(jié)）證明的關(guān)鍵是設(shè)指數(shù)等式ab=N．因?yàn)橐C明這個(gè)對(duì)數(shù)恒等式，而現(xiàn)在我們有關(guān)對(duì)數(shù)的知識(shí)只有定義，所以顯然要利用定義加以證明．而對(duì)數(shù)定義是建立在指數(shù)基礎(chǔ)之上的，所以必須先設(shè)出指數(shù)等式，從而轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)等式，再進(jìn)行證明． 師：掌握了對(duì)數(shù)恒等式的推導(dǎo)之后，我們要特別注意此等式的適用條件． 生：a＞0，a≠1，N＞0．

師：接下來觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶．（給學(xué)生一分鐘時(shí)間．）師：（板書）2log28=？2log42=？ 生：2log28=8；2log42=2． 師：第2題對(duì)嗎？錯(cuò)在哪兒？

師：（繼續(xù)追問）在運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式時(shí)應(yīng)注意什么？（經(jīng)歷上面的錯(cuò)誤，使學(xué)生更牢固地記住對(duì)數(shù)恒等式．）生：當(dāng)冪的底數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)相同時(shí)，才可以用公式 alogaN=N．

（師用紅筆在兩處a上重重地描寫．）師：最后說說對(duì)數(shù)恒等式的作用是什么？ 生：化簡！

師：請(qǐng)打開書74頁，做練習(xí)4．（生口答．略）

師：對(duì)對(duì)數(shù)的定義我們已經(jīng)有了一定認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在，我們根據(jù)定義來進(jìn)一步研究對(duì)數(shù)的性質(zhì)． 師：負(fù)數(shù)和零有沒有對(duì)數(shù)？并說明理由．

生：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．因?yàn)槎x中規(guī)定a＞0，所以不論b是什么數(shù)，都有ab＞0，這就是說，不論b是什么數(shù)，N=ab永遠(yuǎn)是正數(shù)．因此，由等式b=logaN可以看到，負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．

師：非常好．由于對(duì)數(shù)定義是建立在指數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，所以我們要充分利用指數(shù)的知識(shí)來研究對(duì)數(shù)． 師：（板書）性質(zhì)1：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)． 師：1的對(duì)數(shù)是多少？

生：因?yàn)閍0=1（a＞0，a≠1），所以根據(jù)對(duì)數(shù)定義可得1的對(duì)數(shù)是零． 師：（板書）1的對(duì)數(shù)是零． 師；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于多少？

生：因?yàn)閍1=a，所以根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1． 師：（板書）底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1．

師：給一分鐘時(shí)間，請(qǐng)牢記這三條性質(zhì)．

師：在初中，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)的運(yùn)算法則，請(qǐng)大家回憶一下．

生：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am·an=am+n．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即am÷an=am-n．還有（am）n=amn；

師：下面我們利用指數(shù)的運(yùn)算法則，證明對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．（板書）（1）正因數(shù)積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和．即 loga（MN）=logaM+logaN．（請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)讀法則（1），并給時(shí)間讓學(xué)生討論證明．）師：（分析）我們要證明這個(gè)運(yùn)算法則，用眼睛一瞪無從下手，這時(shí)我們?cè)撓氲?，關(guān)于對(duì)數(shù)我們只學(xué)了定義和性質(zhì)，顯然性質(zhì)不能證明此式，所以只有用定義證明．而對(duì)數(shù)是由指數(shù)加以定義的，顯然要利用指數(shù)的運(yùn)算法則加以證明，因此，我們首先要把對(duì)數(shù)等式轉(zhuǎn)化為指數(shù)等式． 師：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q，由對(duì)數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以 M·N=ap·aq=ap+q，所以

loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．

即

loga（MN）=logaM+logaN．

? 師：這個(gè)法則的適用條件是什么？

生：每個(gè)對(duì)數(shù)都有意義，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 師：觀察法則（1）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶．

生：等號(hào)左端是乘積的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的和，從左往右看是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算． 師：非常好．例如，（板書）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．

師：通過此例，同學(xué)應(yīng)體會(huì)到此法則的重要作用——降級(jí)運(yùn)算．它使計(jì)算簡化． 師：（板書）log62+log63=？

生：log62+log63=log6（2×3）=1．

師：正確．由此例我們又得到什么啟示？ 生：這是法則從右往左的使用．是升級(jí)運(yùn)算． 師：對(duì)．對(duì)于運(yùn)算法則（公式），我們不僅要會(huì)從左往右使用，還要會(huì)從右往左使用．真正領(lǐng)會(huì)法則的作用！師：（板書）（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)．

師：仿照研究法則（1）的四個(gè)步驟，自己學(xué)習(xí)．（給學(xué)生三分鐘討論時(shí)間．）生：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q．根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以

師：非常好．他是利用指數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的定義加以證明的．大家再想一想，在證明法則（2）時(shí)，我們不僅有對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)，還有法則（1）這個(gè)結(jié)論．那么，我們是否還有其它證明方法？ 生：（板書）

師：非常漂亮．他是運(yùn)用轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，借助于剛剛證明的法則（1）去證明法則（2）．他的證法要比書上的更簡單．這說明，轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，在化難為易、化復(fù)雜為簡單上的重要作用．事實(shí)上，這種思想不但在學(xué)習(xí)新概念、新公式時(shí)常常用到，而且在解題中的應(yīng)用更加廣泛．

師：法則（2）的適用條件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．

師：觀察法則（2）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶．

生：等號(hào)左端是商的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的差，從左往右是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算，從右往左是一個(gè)升級(jí)運(yùn)算．

師：（板書）lg20-lg2=？

師：可見法則（2）的作用仍然是加快計(jì)算速度，也簡化了計(jì)算的方法． 師：（板書）例1 ?計(jì)算：

生：（板書）解

（1）log93+log927=log93×27=log981=2；

（3）log2（4+4）=log24+log24=4；

（由學(xué)生判對(duì)錯(cuò)，并說明理由．）

生：第（2）題錯(cuò)！在同底的情況下才能運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則．（板書）

生：第（3）題錯(cuò)！法則（1）的內(nèi)容是：

生：第（4）題錯(cuò)！法則（2）的內(nèi)容是：

師：通過前面同學(xué)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，我們?cè)谶\(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則時(shí)要特別注意什么？ 生：首先，在同底的情況下才能從右往左運(yùn)用法則（1）、（2）；其次，只有在正因數(shù)的積或兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)的情況下，才能從左往右運(yùn)用運(yùn)算法則（1）、（2）． 師：（板書）（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)．即 loga（N）n=n·logaN． 師：（分析）欲證loga（N）n=n·logaN，只需證 Nn=an·logaN=（a·logaN）n，只需證 N=alogaN．

? 由對(duì)數(shù)恒等式，這是顯然成立的． 師：（板書）設(shè)N＞0，根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式有 N=alogaN． 所以

Nn=（alogaN）n=an·logaN．

? 根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有

loga（N）n=n·logaN．

師：法則（3）的適用條件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0．

師：觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶． 生：從左往右仍然是降級(jí)運(yùn)算． 師：例如，（板書）log332=log525=5log52．練習(xí)計(jì)算（log232）3．（找一好一差兩名學(xué)生板書．）錯(cuò)解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15． 正確解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．（師再次提醒學(xué)生注意要準(zhǔn)確記憶公式．）師：（板書）（4）正數(shù)的正的方根的對(duì)數(shù)等于被開方數(shù)的對(duì)數(shù)除以根指數(shù)．即

師：法則（4）的適用條件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0．

師：法則（3）和法則（4）可以合在一起加以記憶．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（師板書）例2 ?用logax，logay，logaz表示下列各式：

（生板書）解

（注意（3）的第二步不要丟掉小括號(hào)．）（師板書）例3 ?計(jì)算：

（生板書）解

（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．

師：請(qǐng)大家在筆記本上小結(jié)這節(jié)課的主要內(nèi)容． 作業(yè)? 課本P78．習(xí)題第1，2，3，4題． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本節(jié)的教學(xué)過程是：

1．從實(shí)際問題引入，給出對(duì)數(shù)定義； 2．深刻認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)定義；

3．對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化； 4．對(duì)數(shù)恒等式alogaN=N； 5．對(duì)數(shù)的性質(zhì)； 6．對(duì)數(shù)運(yùn)算法則； 7．例題·小結(jié)·作業(yè)．

通過本節(jié)課，應(yīng)使學(xué)生明確如何學(xué)習(xí)一種運(yùn)算（從定義、記法、性質(zhì)、法則等方面來研究）；如何學(xué)習(xí)公式或法則（從公式推導(dǎo)，適用條件，結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和記憶以及公式作用四方面來研究）．針對(duì)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多、密度大、進(jìn)度快的特點(diǎn)，應(yīng)使學(xué)生盡早地掌握適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法．

第五篇：指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)與圖像的練習(xí)題解讀

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)與圖像的練習(xí)題

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

一、選擇題

1、使x2＞x3成立的x的取值范圍是（）

A．x＜1且x≠0 C．x＞1

a

b

cB．0＜x＜1 D．x＜1

d

2、若四個(gè)冪函數(shù)y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐標(biāo)系中的圖象如右圖，則a、b、c、d的大小關(guān)系是（）

A．d＞c＞b＞a

B．a(chǎn)＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b

D．a(chǎn)＞b＞d＞c

3、在函數(shù)y＝

132，y＝2x，y＝x＋x，y＝1中，冪函數(shù)有（）2x

B．1個(gè)

xA．0個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

4、如果函數(shù)f（x）＝（a2－1）在R上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2

C．｜a｜＞3

D．1＜｜a｜＜2

x－

25、函數(shù)y＝a

＋1（a＞0，a≠1）的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）

B．（1，1）

C．（2，0）

D．（2，2）A．（0，1）

x6、函數(shù)y＝a在［0，1］上的最大值與最小值和為3，則函數(shù)y＝3ax－1在［0，1］上的最大值是（）

A．6

xB．1

C．3

D．

27、設(shè)f（x）＝()，x∈R，那么f（x）是（）

A．奇函數(shù)且在（0，＋∞）上是增函數(shù)

B．偶函數(shù)且在（0，＋∞）上是增函數(shù)

C．函數(shù)且在（0，＋∞）上是減函數(shù)

D．偶函數(shù)且在（0，＋∞）上是減函數(shù)

8、下列函數(shù)中值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)的是（）

A．y＝512?x1

2B．y＝()

31?x

C．y＝()－1 12x

D．y＝1－2x

9、函數(shù)y＝ －x＋1＋2的圖象可以由函數(shù)y＝（1x）的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到（）2A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位 C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位

10、在圖中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝（bx）的圖象只可為（）a

11、若－1＜x＜0，則不等式中成立的是（）

A．5＜5＜0.5xx－xxx x

B．5＜0.5＜5 D．0.5＜5＜

5x

－x

xx－xC．5＜5－＜0.5

x

二、填空題

12、函數(shù)y＝－2－x的圖象一定過____象限．

x－113、函數(shù)f（x）＝a14、函數(shù)y＝3－x＋3的圖象一定過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

與__________的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．

1?x2115、已知函數(shù)f（x）＝()

3三、解答題

16、已知冪函數(shù)f（x）＝x，其定義域是____________，值域是___________．

13?p2?p?22（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（x）．

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

一、選擇題

1、log5(?a)2（a≠0）化簡得結(jié)果是（）

B．a(chǎn)2

?12A．－a

C．｜a｜

D．a(chǎn)

2、log7［log3（log2x）］＝0，則x

A．

等于（）

C．B．

12312

2D．

133

3、log

n?1?n（n＋1－n）等于（）

B．－1

C．2

D．－2 A．1

1)的定義域是（）

4、函數(shù)f（x）＝log1(x－ A．（1，＋∞）C．（－∞，2）

B．（2，＋∞），2] D．（15、函數(shù)y＝log1（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（－∞，1）C．（－∞，B．（2，＋∞）D．（3）

23，＋∞）

26、若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，則

A．4

C．1或4

y的值為（）x

1B．1或

D．

47、若定義在區(qū)間（－1，0）內(nèi)的函數(shù)f（x）＝log2a（x＋1）滿足f（x）＞0，則a的取值范圍為（）

A．（0，C．（1）

2B．（0，1）21，＋∞）

D．（0，＋∞）228、函數(shù)y＝lg（－1）的圖象關(guān)于（）

1－x

A．y軸對(duì)稱

C．原點(diǎn)對(duì)稱

B．x軸對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱

二、填空題

9、若logax＝logby＝－則xy＝________．

10、若lg2＝a，lg3＝b，則log512＝________．

11、若3＝2，則log38－2log36＝__________．

12、已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是__________．

13、函數(shù)f（x）的圖象與g（x）＝（單調(diào)遞減區(qū)間為______．

14、已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，且f（則不等式f（log4x）的解集是______．

三、解答題

15、求函數(shù)y＝log1（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

31logc2，a，b，c均為不等于1的正數(shù)，且x＞0，y＞0，c＝ab，2a

1x）的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f（2x－x2）的31）＝0，216、設(shè)函數(shù)f（x）＝23－2x＋lg，3x＋53＋2x

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；

（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；

（3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f1（x），問函數(shù)y＝f1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎?

－

－

若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若無交點(diǎn)，說明理由．