第一篇：Excel數(shù)組公式及運(yùn)用

第一部分：了解數(shù)組公式

在開始講數(shù)組公式之前，我們先來(lái)認(rèn)識(shí)幾個(gè)必要的概念。

1、數(shù)組

什么是數(shù)組？仁者見仁，智者見智。

我個(gè)人的感覺是：數(shù)組是具有某種聯(lián)系的多個(gè)元素的組合。某班級(jí)里有50個(gè)學(xué)生，這里，如果班級(jí)是數(shù)組，50個(gè)學(xué)生就是數(shù)組里的50個(gè)元素。當(dāng)然，班級(jí)里的元素是可變的，可以是20個(gè)，可以是30個(gè)，也可以是60個(gè)。放到Excel里，班級(jí)就相當(dāng)于工作表，而學(xué)生就相當(dāng)于工作表里的單元格數(shù)值。所以，Excel里的數(shù)組，我還把它理解是為多個(gè)單元格數(shù)值的組合。

2、公式

如果你在使用Excel，如果你說(shuō)你還沒(méi)聽過(guò)“公式”這個(gè)名詞，我只能說(shuō)：“你太OUT了！” 什么是公式？我的理解是：在Excel里，凡是以半角符號(hào)“=”開始的、具有計(jì)算功能的單元格內(nèi)容就是所謂的Excel公式。如：=SUM(B2:D2)，=B2+C2+D2這些都是公式。

3、數(shù)組公式

數(shù)組公式是相對(duì)于普通公式而言的。普通公式（如上面的=SUM(B2:D2)，=B2+C2+D2等），只占用一個(gè)單元格，只返回一個(gè)結(jié)果。

而數(shù)組公式可以占用一個(gè)單元格，也可以占用多個(gè)單元格。它對(duì)一組數(shù)或多組數(shù)進(jìn)行多重計(jì)算，并返回一個(gè)或多個(gè)結(jié)果。

集合在教室外面的學(xué)生，老師把他們叫進(jìn)教室。老師說(shuō)：“第一組第一桌的同學(xué)進(jìn)教室?！庇谑堑谝唤M第一桌的同學(xué)走進(jìn)教室。老師接著叫：“第一組第二桌的同學(xué)進(jìn)教室?！比缓笫堑诙赖耐瑢W(xué)進(jìn)教室。老師再叫：“第一組第三桌的同學(xué)進(jìn)教室。”然后第三桌的同學(xué)走進(jìn)教室。接著是第四桌，第五桌……，就這樣一個(gè)學(xué)生一個(gè)學(xué)生的叫，這就是普通公式的做法，學(xué)生回到座位，就像數(shù)值回到工作表的單元格里，一個(gè)座位叫一次，就像一個(gè)單元格輸入一個(gè)公式。

如果老師說(shuō)：“第一組的全部進(jìn)教室?！睂W(xué)生聽到命令后，第一桌的同學(xué)走進(jìn)去，然后是第二桌，第三桌……，老師不用再下第二個(gè)命令，這是數(shù)組公式的處理方法。

4、數(shù)組公式的標(biāo)志

在Excel中數(shù)組公式的顯示是用大括號(hào)對(duì)“{}”來(lái)括住以區(qū)分普通Excel公式。如圖：

（1）數(shù)組公式：

（2）普通公式：

輸入數(shù)組公式：用Ctrl+Shift+Enter結(jié)束公式的輸入。

特別提醒：這是最關(guān)鍵的，這相當(dāng)于用戶告訴Excel：“我不是一般人，爺我是數(shù)組公式，你得對(duì)我特別關(guān)照?！庇谑?，Excel明白了，不能用常規(guī)的邏輯來(lái)對(duì)待這位大爺。當(dāng)你按下三鍵后，Excel會(huì)自動(dòng)給公式加上“{}”以和普通公式區(qū)別開來(lái)，不用用戶輸入“{}”，但如是是想在公式里直接表示一個(gè)數(shù)組，就需要輸入“{}”來(lái)把數(shù)組的元素括起來(lái)。如：

=IF({1,0},D2:D8,C2:C8)這個(gè)公式里的數(shù)組{1,0}的括號(hào)就是用戶自己輸入的。

5、數(shù)組的維數(shù)

“維數(shù)”是數(shù)組里的又一個(gè)重要概念。數(shù)組有一維數(shù)組，二維數(shù)組，三維數(shù)組，四維數(shù)組…… 在公式里，我們更多接觸到的只是一維數(shù)組和二維數(shù)組。

一維數(shù)組我們可以簡(jiǎn)單地看成是一行的單元格數(shù)據(jù)集合，比如A1:F1。一維數(shù)組的各個(gè)元素間用英文的逗號(hào)“,”隔開(如果是單獨(dú)的一列時(shí)，用英文分號(hào)“;”隔開）。

{1,2,3,4,5,6}，這就是一個(gè)有6個(gè)元素的一維數(shù)組，或者說(shuō)，只有一行的數(shù)組。數(shù)組的各個(gè)元素間用逗號(hào)“,”分隔。如果想把這個(gè)數(shù)組輸入到工作表的單元格里，同時(shí)選中同一行里相領(lǐng)的六個(gè)單元格，輸入：={1,2,3,4,5,6}后，三鍵結(jié)束公式，你就可以看到這個(gè)一維數(shù)組被輸入到工作表的單元格里了。自己動(dòng)手試一試。

二維數(shù)組可以看成是一個(gè)多行多列的單元各數(shù)據(jù)集合，也可以看成是多個(gè)一維數(shù)組的組合。如單元格A1:D3，就是一個(gè)三行四列的二維數(shù)組。我們可以把它看成是A1:D1、A2:D2與A3:D3這三個(gè)一維數(shù)組的組合。二維數(shù)組里同行的元素間用逗號(hào)“,”分隔，不同的行用分號(hào)“;”分隔。我們可以用上面的方法，在A1:D3區(qū)域輸入數(shù)據(jù)，并引用地址，按F9來(lái)查看。

可以看到在數(shù)組里，換行的時(shí)候，元素間的分隔符是“;”，所以，要判斷一個(gè)數(shù)組是幾行幾列的數(shù)組，只需要看里面的逗號(hào)和分號(hào)就知道了。

如果需要把數(shù)把數(shù)組返回到單元格區(qū)域里，首先得看數(shù)組是幾行幾列，然后再選擇相應(yīng)的單元格區(qū)域，輸入數(shù)組，三鍵結(jié)束。

對(duì)了，是哪三鍵你還不要忘記了：Ctrl+Shift+Enter 記住：

（1）一維數(shù)組是單獨(dú)的一行或一列。二維數(shù)組是多行多列。

（2）數(shù)組里的元素，同一行內(nèi)的各元素用英文逗號(hào)“,”分開，用英文分號(hào)“;”將各行分開。（3）二維數(shù)組的元素按先行后列的順序排列?？偸沁@樣：{第一行的第一個(gè),第一行的第二個(gè),第一行的第三個(gè)……;第二行的第一個(gè)，第二行的第二個(gè)，第二行的第三個(gè)……;第三行的第一個(gè)……}

第二部分：數(shù)組公式的初步認(rèn)識(shí)

在對(duì)數(shù)組公式有了一個(gè)簡(jiǎn)單的了解之后，這貼我們將通過(guò)一些簡(jiǎn)單的例子來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)組公式。問(wèn)題1：在D2:D4求出商品的銷售金額。

現(xiàn)在你解決這個(gè)問(wèn)題會(huì)用什么辦法呢？

我知道很小兒科，千萬(wàn)不要在心里罵我拿這種簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)考你。是的，很簡(jiǎn)單，在D2單元格輸入公式“=B2*C2”，下拉公式即可。

在這里，D2:D4三個(gè)單元格輸入了三個(gè)普通公式，分別返回了三個(gè)值在三個(gè)單元格里。這就是老師在點(diǎn)學(xué)生進(jìn)教室，第一組第一桌的同學(xué)進(jìn)教室入座，第一組第二桌的同學(xué)進(jìn)教室入座??

我們?cè)囍脭?shù)組公式來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，老師嗓子不好，讓他叫一次我們就乖乖進(jìn)教室去得了。

選中D2:D4輸入公式“=B2:B4*C2:C4”，三鍵結(jié)束輸入數(shù)組公式，即可得到同樣的結(jié)果。

這就是一個(gè)多單元格的數(shù)組公式，多單元格數(shù)組公式是進(jìn)行批量計(jì)算，可節(jié)省計(jì)算的時(shí)間，同時(shí)，它還有一個(gè)特點(diǎn)。當(dāng)你輸入完數(shù)組公式后，請(qǐng)你嘗試修改公式區(qū)域里其中一個(gè)單元格的公式，看看會(huì)有什么結(jié)果。

是的，你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，會(huì)彈出一個(gè)對(duì)話框，提醒你：不能修改數(shù)組的某一部分。

這就是多單元格數(shù)組公式的一個(gè)重要的特點(diǎn)：保證公式集合的完整性不被修改。這可以防止用戶在操作時(shí)無(wú)意間修改到表格的公式。這是不是會(huì)安全得多？

當(dāng)然，如果你要修改公式的話，必須得選中公式所在的所有單元格。

問(wèn)題2：在F1求出商品的銷售總金額

這一題如果你用普通公式又怎么解決呢？我想象中可能有兩種方法： A、插入輔助列，先求出各商品的銷售額，然后再求總和。

B、直接在F1輸入公式“=SUM(B2*C2,B3*C3,B4*C4)”，這樣看上去不錯(cuò)，可是，如果有100行數(shù)據(jù)，一千行號(hào)數(shù)據(jù)呢？先不考慮單元格能容納多少字符的問(wèn)題，就光輸入公式，累也得把你累趴下，顯然是行不通的。

這時(shí)候就需要用數(shù)組公式來(lái)完成了。

選中F1單元格，輸入公式“=SUM(B2:B4*C2:C4)”，三鍵確認(rèn)輸入即可。

這是一個(gè)單個(gè)單元格的數(shù)組公式，B2:B4*C2:C4是兩個(gè)一維數(shù)組相乘，返回一個(gè)新的一維數(shù)組，最后用SUM函數(shù)對(duì)返回的數(shù)組進(jìn)行了求和。這里，用一個(gè)數(shù)組公式代替了多個(gè)公式的方式來(lái)完成了數(shù)據(jù)的計(jì)算。

做了這個(gè)問(wèn)題，總結(jié)一下，什么時(shí)候會(huì)用到數(shù)組公式？

是的，當(dāng)運(yùn)算中存在著一些只有通過(guò)復(fù)雜的中間運(yùn)算過(guò)程才會(huì)等到結(jié)果的時(shí)候，就需要使用數(shù)組公式了。這一貼的內(nèi)容非常簡(jiǎn)單，記住幾點(diǎn)：（1）三鍵輸入數(shù)組公式。

（2）數(shù)組公式同時(shí)進(jìn)行多個(gè)計(jì)算，可返回一個(gè)或多個(gè)結(jié)果。

（3）多單元格數(shù)組公式需選區(qū)多個(gè)單元格進(jìn)行輸入，多單元格數(shù)組公式具有保護(hù)公式的作用。（4）數(shù)組公式可以完成復(fù)雜的中間運(yùn)算得到最終想要的運(yùn)算結(jié)果

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第三部分：數(shù)組公式的計(jì)算

學(xué)習(xí)繼續(xù)，在對(duì)數(shù)組有了基本的認(rèn)識(shí)后，這貼我們將通過(guò)一些例子來(lái)講一講數(shù)組公式是怎么計(jì)算的。

1、行列數(shù)相同數(shù)組的運(yùn)算

數(shù)組1+數(shù)組2，這是一個(gè)多單元格的數(shù)組公式，第一個(gè)數(shù)組的第一個(gè)元素與第二個(gè)數(shù)組的第一個(gè)元素相加，結(jié)果作為數(shù)組公式結(jié)果的第一個(gè)元素，然后第一個(gè)數(shù)組的第二個(gè)元素與第二個(gè)數(shù)組的第二個(gè)元素相加，結(jié)果作為數(shù)組公式結(jié)果的第二個(gè)元素，接著是第三個(gè)元素??直到第N個(gè)。

這是橫向的一維數(shù)組的計(jì)算，原理同上。

這是二維數(shù)組與二維數(shù)組進(jìn)行計(jì)算，生成一個(gè)新的二維數(shù)組的多單元格數(shù)組公式。同樣的計(jì)算過(guò)程，第一個(gè)數(shù)組的第一行的第一個(gè)元素與第二個(gè)數(shù)組的第一行的第一個(gè)元素相乘，結(jié)果為數(shù)組公式的結(jié)果的數(shù)組的第一行的第一個(gè)元素，接著是第二個(gè)，第三個(gè)??直到第N個(gè)。

規(guī)律很簡(jiǎn)單：兩個(gè)同行同列的數(shù)組計(jì)算是對(duì)應(yīng)元素間進(jìn)行運(yùn)算，并返回同樣大小的數(shù)組。正如穿鞋要穿合腳的才走得了路一樣，在公式或函數(shù)中使用數(shù)組時(shí)，運(yùn)算對(duì)象或參數(shù)的數(shù)組維數(shù)要匹配，否則計(jì)算會(huì)出錯(cuò)。教室里，第一排的有8個(gè)同學(xué)，第二排有9個(gè)同學(xué)，老師說(shuō)：“第一排和第二排的同學(xué)交換作業(yè)，互相檢查。”第二排的第9個(gè)同學(xué)和誰(shuí)交換？這就是數(shù)組的不匹配。數(shù)組不匹配時(shí)，工作就不能完成了。你可以試著改一改數(shù)組的參數(shù)試試。

2、數(shù)組與單一的數(shù)據(jù)的運(yùn)算

這相當(dāng)于在E42單元格輸入公式=A42*$C$42，然后下拉復(fù)制公式實(shí)現(xiàn)。

等同于在B56輸入公式“=B52+$B$54”，然后右拉復(fù)制公式實(shí)現(xiàn)。

等同于在C67單元格輸入公式“=A60+$E$60”然后右拉下拉復(fù)制公式實(shí)現(xiàn)。

不難看出：一個(gè)數(shù)組與一個(gè)單一的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，是將數(shù)組的每一元素均與那個(gè)單一數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，并返回同樣大小的數(shù)組。

3、單列數(shù)組與單行數(shù)組的計(jì)算

兩個(gè)數(shù)組相加，查看結(jié)果是幾行幾列：在任意單元格輸入公式“=A80:A83+B87:E87”，抹黑公式，按F9鍵，可看到公式的計(jì)算結(jié)果為數(shù)組“{110,210,310,410;120,220,320,420;130,230,330,430;140,240,340,440}”通看看分號(hào)與逗號(hào)，我們知道這是一個(gè)四行四列的數(shù)組，選擇一個(gè)四行四列的單元格，輸入公式“=A80:A83+B87:E87”，三鍵結(jié)束，可看到返回的結(jié)果為：

相當(dāng)于在E80輸入公式“=$A80+B$87”右拉下拉復(fù)制公式的結(jié)果。單列數(shù)組與單行數(shù)組的計(jì)算：

A、計(jì)算結(jié)果返回一個(gè)多行列的數(shù)組；

B、返回?cái)?shù)組的行數(shù)同單列數(shù)組的行數(shù)相同、列數(shù)同單行數(shù)組的列數(shù)相同。

C、返回?cái)?shù)組中第R行第C列的元素是單列數(shù)組的第R個(gè)元素和單行數(shù)組的第C個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果。

4、行數(shù)（或列數(shù)）相同的單列（或單行）數(shù)組與多行多列數(shù)組的計(jì)算（1）單列數(shù)組的行數(shù)與多行多列數(shù)組的行數(shù)相同時(shí)：

（2）單行數(shù)組的列數(shù)與多行多列數(shù)組的列數(shù)相同時(shí)：

計(jì)算規(guī)律同單行單列的數(shù)組計(jì)算的規(guī)律大同小異： A、計(jì)算結(jié)果返回一個(gè)多行列的數(shù)組；

B、返回?cái)?shù)組的行、列數(shù)與多行多列數(shù)組的行列數(shù)相同；

C、單列數(shù)組與多行多列數(shù)組計(jì)算時(shí)，返回的數(shù)組的第R行第C列的數(shù)據(jù)等于單列數(shù)組的第R行的數(shù)據(jù)與多行多列數(shù)組的第R行第C列的數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果；

D、單行數(shù)組與多行多列數(shù)組計(jì)算時(shí)，返回的數(shù)組的第R行第C列的數(shù)據(jù)等于單行數(shù)組的第C列的數(shù)據(jù)與多行多列數(shù)組的第R行第C列的數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果。

＝＝＝＝＝＝＝留給你的思考題＝＝＝＝＝＝＝

講到這里，我們可以暫停一下進(jìn)度。課間休息，插播一段廣告： 你可以喝杯水，聽聽音樂(lè)，然后我們來(lái)看幾個(gè)例子：

圖1：

圖2：

圖3：

上面的三張圖，第一個(gè)公式是我們前面講的例子，第二個(gè)公式是在第一個(gè)公式的基礎(chǔ)上對(duì)參與計(jì)算的數(shù)組區(qū)域進(jìn)行了修改，但是，兩個(gè)不同參數(shù)的公式，返回的結(jié)果卻都是一樣的。這里我只是舉了三個(gè)例子，你可以把前面我們講過(guò)的公式里的數(shù)組參數(shù)都修改修改，什么情況下，會(huì)返回相同的結(jié)果呢？它們又有什么共同的地方？知識(shí)總是光顧那些善于總結(jié)和發(fā)現(xiàn)的人。否則，踩著別人的腳印走，想要看到別人沒(méi)看到的風(fēng)景，你要等到猴年馬月？

好了，我也仿小學(xué)老師的口氣問(wèn)問(wèn)大家：“為什么兩個(gè)不同的公式，返回的結(jié)果都是一樣的呢？從上面的圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？把你的發(fā)現(xiàn)說(shuō)給你的伙伴聽一聽。” 這就是你今天的作業(yè)，如果你是真心想想學(xué)數(shù)組公式的，記得跟貼回復(fù)！

5、行、列數(shù)不相等的數(shù)組計(jì)算

（1）行數(shù)不相等的單列數(shù)組與與多行列數(shù)組的計(jì)算

（2）列數(shù)不相等的單行數(shù)組與多行多列數(shù)組的計(jì)算

（3）行、列數(shù)不相同的兩個(gè)多行多列數(shù)組的計(jì)算

有了對(duì)前面例子的分析，再來(lái)看這三個(gè)例子就相對(duì)簡(jiǎn)單了。它們的計(jì)算規(guī)則和前面都是一樣的，不難看出：

A、公式返回一個(gè)多行多列數(shù)組；

B、返回?cái)?shù)組的行數(shù)與參與計(jì)算的兩個(gè)數(shù)組中行數(shù)較大的數(shù)組的行數(shù)相同，列數(shù)與較大的列數(shù)的數(shù)組相同；

C、返回?cái)?shù)組的大于較小行數(shù)數(shù)組行數(shù)、大于較大列數(shù)數(shù)組列數(shù)的區(qū)域的元素均為#N/A。有效元素為兩個(gè)數(shù)組中對(duì)應(yīng)數(shù)組的計(jì)算結(jié)果。

需要提醒一點(diǎn)的是，對(duì)會(huì)返回#N/A的數(shù)組，在進(jìn)行再計(jì)算和處理時(shí)，考慮對(duì)#N/A值作相應(yīng)的處理！

比如我們想對(duì)上面數(shù)組與數(shù)組2相加后的結(jié)果進(jìn)行求和：

正確的公式（數(shù)組）：=SUM(IF(ISNA(A213:B216+D213:F215),0,A213:B216+D213:F215))通過(guò)ISNA函數(shù)對(duì)返回的數(shù)組里的各個(gè)元素進(jìn)行了判斷和處理，把把有的#N/A值替換成數(shù)值0，最后再用SUM函數(shù)對(duì)所有數(shù)值進(jìn)行求和。

我們說(shuō)，數(shù)組計(jì)算時(shí)，得注意行列數(shù)的匹配，其實(shí)如果了解了數(shù)組的計(jì)算原理后，能正確處理那些返回的#N/A值的話，很多時(shí)候，并不會(huì)出錯(cuò)的 第四部分：數(shù)組擴(kuò)充

這一貼的內(nèi)容相對(duì)比較簡(jiǎn)單，主要是對(duì)第三部分，數(shù)組的計(jì)算里提出的思考問(wèn)題作出回復(fù)。昔日關(guān)云長(zhǎng)溫酒斬華雄的故事聽過(guò)吧？如果你已認(rèn)真讀了前面的貼子，且用心總結(jié)了下，再來(lái)看此貼，相信你也會(huì)有“云長(zhǎng)提華雄之頭，擲于地上，其酒尚溫”的豪氣。

呵呵??嫌我唐僧了吧？那端上一杯熱茶，快快進(jìn)入主題，當(dāng)讀完貼后，你的茶是否喝完？

讀完上一貼，了解了數(shù)組公式的計(jì)算規(guī)律后，我們知道，數(shù)組與數(shù)組計(jì)算，返回一個(gè)新的數(shù)組。返回的數(shù)組的行數(shù)與參與計(jì)算的數(shù)組中行數(shù)較大的數(shù)組的行數(shù)相同，列數(shù)與列烽較大的數(shù)組的列數(shù)相同。

但“為什么兩個(gè)不同的公式，返回的結(jié)果卻相同呢？”，這就是我們今天要講的一個(gè)新概念——數(shù)組擴(kuò)充。

數(shù)組計(jì)算時(shí)，參與計(jì)算的兩個(gè)數(shù)組得具有相同的維數(shù)，也就是得注意行列數(shù)的匹配。

對(duì)于行列數(shù)不匹配的數(shù)組，在計(jì)算時(shí)Excel會(huì)將數(shù)組對(duì)象進(jìn)行擴(kuò)展，以符合計(jì)算需要的維數(shù)。每一個(gè)參與計(jì)算的數(shù)組的行數(shù)必須與行數(shù)最大的數(shù)組的行數(shù)相同，列數(shù)必須與列數(shù)最大的數(shù)組的列數(shù)相同。

例1：

公式：=SUM({10,20,30,40}*10)里，第一個(gè)參數(shù){10,20,30,40}是一行四列的數(shù)組，第二個(gè)參數(shù)不是數(shù)組，只是一個(gè)數(shù)值，為了讓第二個(gè)數(shù)值能與第一個(gè)數(shù)組進(jìn)行專題片，這時(shí)，Excel會(huì)自動(dòng)將第二參數(shù)的10擴(kuò)充成一個(gè)一行四列的數(shù)組{10，10，10，10}與第一參數(shù)匹配。所以，SUM({10,20,30,40}*10)最后是使用SUM({10,20,30,40}*{10,10,10,10})進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果是10*10，20*10，30*10，40*10的和。

例2：

公式：={10;20;30;40}+{100,200}的第一個(gè)參數(shù){10;20;30;40}是一個(gè)四行一列的數(shù)組，{100,200}是一個(gè)一行二列的數(shù)組，在計(jì)算時(shí)，Excel會(huì)將第一個(gè)數(shù)組自動(dòng)擴(kuò)充為一個(gè)四行二列的數(shù)組{10,10;20,20;30,30;40,40}，也會(huì)將第二個(gè)數(shù)組擴(kuò)充為一個(gè)四行二列的數(shù)組{100,200;100,200;100,200;100,200}，所以={10;20;30;40}+{100,200}這個(gè)公式最后是使用公式={10,10;20,20;30,30;40,40}+{100,200;100,200;100,200;100,200}進(jìn)行計(jì)算。公式最后返回的數(shù)組也是一個(gè)四行二列的數(shù)組，數(shù)組的第R行第C列的元素等于擴(kuò)充后的兩個(gè)數(shù)組的第R行第C列的元素的計(jì)算的結(jié)果。

好了，在這一貼要講的已經(jīng)講完了?！皵?shù)組擴(kuò)充”這個(gè)華雄是否已被你斬于馬下？也不知道你手里的茶喝完了沒(méi)？我希望聽到你回答的是：“華雄已斬，茶沒(méi)喝完，還溫著呢?！庇信d趣，記得跟貼告訴我一聲。呵呵??

繼續(xù)喝茶，休息。順便聽我再給你嘮叨幾句。

班里有50個(gè)學(xué)生，為了讓每個(gè)學(xué)生都有座位，需要預(yù)備50套課桌椅。如果只有30套課桌椅，那最后進(jìn)教室的20個(gè)同學(xué)將沒(méi)有座位，如果有60套課桌椅，將會(huì)有10套課桌椅空在教室里而別的班級(jí)需要課桌椅的同學(xué)又不能使用。浪費(fèi)啊??

學(xué)生就像數(shù)組里的元素，輸入數(shù)組公式返回?cái)?shù)組的元素就像叫學(xué)生進(jìn)教室，我們得給他們準(zhǔn)備好合適的座位。所以輸入多單元格數(shù)組公式時(shí)，應(yīng)先選中需要返回?cái)?shù)據(jù)的單元格區(qū)域，選中的單元格區(qū)域的行、列數(shù)應(yīng)與返回?cái)?shù)組的行、列數(shù)相同。否則，如果選中的區(qū)域小于數(shù)組返回的行列數(shù)，站在教室里，我們只能看到占了座位的這群學(xué)生。如果選擇的區(qū)域大于數(shù)組返回的行列數(shù)，那超出的區(qū)域?qū)?huì)沒(méi)有學(xué)生去坐而返回#N/A值。

第五部分：公式的解讀

有人說(shuō)，不喜歡數(shù)組公式。原因是太復(fù)雜，看不懂。

所以，先講一講公式的解讀，對(duì)初學(xué)的人來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是很有必要的。對(duì)于公式的解讀，論壇上已經(jīng)有很多的例子了，所以，我也沒(méi)有什么新的東西可以跟大家講。在這里，我把前輩們的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)一下，和大家分享。

1、利用F9鍵

這好像是大家在解讀公式的時(shí)候用得最多的一個(gè)功能了。想知道某段公式的運(yùn)行結(jié)果是什么？在編輯里，用鼠標(biāo)選中需要進(jìn)行計(jì)算的某段公式，將其抹黑，然后按F9鍵，就得到了公式的計(jì)算結(jié)果。這個(gè)功能我們?cè)谇懊嬷v數(shù)組維數(shù)的時(shí)候已經(jīng)用到了，這里不再多講。需要提醒的是：當(dāng)你對(duì)公式按F9鍵進(jìn)行求值后，返回的時(shí)候記得按Esc鍵，或者點(diǎn)編輯欄左側(cè)的“取消”按鈕。否則公式就變成你求值后的樣子了。

2、利用公式求值

要看懂復(fù)雜的公式，公式審核的的幫助是很大的。選擇需要公式求值的單元格，點(diǎn)擊“工具—>公式審核—>公式求值”，調(diào)出公式求值對(duì)話框。

點(diǎn)擊“求值”銨鈕，可以逐步對(duì)公式進(jìn)行計(jì)算，將公式每一步的運(yùn)算結(jié)果展示出來(lái)。

3、利用插入函數(shù)

對(duì)于復(fù)雜公式的結(jié)構(gòu)分析、分段理解，使用插入函數(shù)功能是很方便的。

點(diǎn)鼠標(biāo)左鍵，將光標(biāo)定位到編輯欄里公式的某個(gè)地方。點(diǎn)擊“插入——>函數(shù)”菜單命令：

這時(shí)，彈出函數(shù)參數(shù)的對(duì)話框，它會(huì)對(duì)我們的公式進(jìn)行分段解析。

當(dāng)然，你也可以直接點(diǎn)擊編輯欄左邊的插入函數(shù)命令按鈕來(lái)調(diào)出對(duì)話框。

第二篇：藥劑學(xué)中運(yùn)用公式歸納

藥劑學(xué)中運(yùn)用公式歸納 1.Noyes-Whitney dc/dt=K·S·Cs溶出原理（K為溶出常數(shù)，S為藥物與溶出介質(zhì)的接觸面積，Cs是藥物的溶解度）方程說(shuō)明了藥物溶出的規(guī)律，所以增加溶解速度的方法有：

１）升高溫度，增加藥物分子的擴(kuò)散系數(shù)D；

２）攪拌，可減少擴(kuò)散層的厚度δ；

３）減小藥物粒徑，增加藥物與溶出介質(zhì)接觸的表面積S。

? dc/dt=DS /v? ×(Cs-C),K=D /v ?

?dc/dt—藥物的溶出速度

? D—藥物的擴(kuò)散系數(shù)

? V－溶出介質(zhì)的量 ?－擴(kuò)散邊界層厚

? K－溶出速度常數(shù)

? Cs－藥物的溶解度

? C－介質(zhì)中藥物的濃度

? S－溶出界面面積（表面積S將會(huì)極大的增加，溶出速率顯著加快，運(yùn)用于固體分

散體的速釋原理，藥物高度分散狀態(tài)）

? 在漏槽條件下，Cs》C，dc/dt=KSCs

1、S?，粉碎，P109圖4-4

2、K ?，攪拌，介質(zhì)的粘度

3、CS?，改變晶型、固體分散體——藥物高能狀態(tài)。在固體分散體中，藥物以無(wú)定

型或亞穩(wěn)態(tài)的晶型存在，處于高能狀態(tài)（即這些藥物分子的擴(kuò)散能量很高），所以溶出很快。

緩控釋制劑設(shè)計(jì)中的運(yùn)用

根據(jù)Noyes-Whitney溶出速度公式，通過(guò)減少藥物的溶解度，增大藥物粒徑，以降低藥物的溶出速度達(dá)到長(zhǎng)效作用，具體方法有：

?

1、制成溶解度小的鹽或酯，如青霉素普魯卡因鹽、睪丸素丙酯。

?

2、與高分子化合物生成難溶性鹽，如鞣酸與生物堿類藥物可形成難溶性鹽。?

3、控制粒子大小，藥物的表面積減小，溶出速度減慢。

?

4、藥物包藏于溶蝕性骨架中

2.液體的流動(dòng)符合Poiseuile公式V=Pπr4t/8ηl（V——液體的濾過(guò)體積，P——濾過(guò)時(shí)的操作壓力差，r——毛細(xì)管的半徑，l——濾層的厚度，η——濾液的粘度，t——濾過(guò)的時(shí)間）

濾過(guò)的影響因素濾過(guò)的壓力、藥液的粘度、濾過(guò)介質(zhì)的孔徑、濾餅中的毛細(xì)管半徑與長(zhǎng)度等

提高過(guò)濾速度的措施

１）改變壓力采用加壓或減壓的方法２）降低藥液粘度趁熱濾過(guò)

３）加入助濾劑減少濾材的毛細(xì)孔堵塞。常用的助濾劑有活性炭、紙漿、硅藻土等。４）更換濾材或動(dòng)態(tài)濾過(guò)減小濾渣的阻力

５）先粗濾再精濾濾過(guò)時(shí)先用孔徑大的濾過(guò)介質(zhì)（如濾紙、棉、綢布、尼龍布、滌綸布、砂濾棒等）濾過(guò)，再用孔徑小的濾過(guò)介質(zhì)（如垂熔玻璃、微孔薄膜等）濾過(guò)

3.stoke’s定律：V=2r2(ρ1-ρ2)g/9η

增加混懸劑的穩(wěn)定性措施

1.2.減少微粒與分散介質(zhì)之間的密度差

3.增大分散介質(zhì)的粘度

4.fick’s 定律：擴(kuò)散第二定律

擴(kuò)散過(guò)程尚未達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)前，物質(zhì)濃度隨時(shí)間和位置（只考慮方向）而變化的關(guān)系，服從偏微分式。對(duì)于具體的擴(kuò)散過(guò)程，要利用其特定的起始條件和邊界條件求解此式，得出的具體函數(shù)。該定律是處理各種擴(kuò)散傳質(zhì)過(guò)程理論的有力工具。關(guān)于藥劑學(xué)上的應(yīng)用：控緩釋制劑的應(yīng)用，浸出制劑的浸出因素

緩控釋藥原理：

以擴(kuò)散為主的緩、控制劑，藥物首先溶解成溶液后再?gòu)闹苿┲袛U(kuò)散出來(lái)進(jìn)入體液，其釋藥受擴(kuò)散速率控制。

第三篇：平方差公式的運(yùn)用

淺談平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

提要：平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2是初中階段的一個(gè)重要的公式，應(yīng)用也十分廣泛，必須引起教師的高度重視。

關(guān)鍵詞：平方差

整式乘法

因式分解

無(wú)理數(shù)

平方差公式在初中數(shù)學(xué)上占據(jù)了重要位置，在近幾年的中考和期末測(cè)試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以要求學(xué)生掌握并運(yùn)用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的運(yùn)用

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2，其形式是：兩項(xiàng)之和與這兩項(xiàng)的差的乘積等于這個(gè)項(xiàng)的平方差，其中的a、b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式?？捎霉降亩加袃蓚€(gè)共同特點(diǎn)：前一個(gè)因式與后一個(gè)因式中各有一項(xiàng)是相同，剩下的兩項(xiàng)是互為相反數(shù)。有些形式上不符合公式，但只要符合這個(gè)特點(diǎn)，可以根據(jù)公式的特點(diǎn)，應(yīng)用加法加換律、結(jié)合律進(jìn)行靈活變形，或者用提負(fù)號(hào)的方法把題轉(zhuǎn)化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的運(yùn)用 例1.(2x?3)(2x?3)

分析：本題是整式乘法中的最簡(jiǎn)單的，是這兩個(gè)項(xiàng)的和與這兩個(gè)項(xiàng)的差的積等于這兩項(xiàng)的平方差，可直接用公式進(jìn)行計(jì)算。

(2x?3)(2x?3)?(2x)2?32?4x2?9例2．(?3a?2b)(3a?2b)

分析：本類題是屬于兩個(gè)多項(xiàng)項(xiàng)式的乘積，這類題形首先要觀察是否符合公式特點(diǎn)，看出前一個(gè)因式中與后一個(gè)因式中都是-2b，剩下的一個(gè)是-3a，一個(gè)3a，它們互為相反數(shù)，可以用公式。計(jì)算本題有兩種方法（1）是利用加法加換律調(diào)整位置，把它轉(zhuǎn)化為一般式；（2）提一個(gè)負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化成一般式，再用公式計(jì)算。

解法

1、加法加換律進(jìn)行調(diào)整其位置

解法

2、提取負(fù)號(hào)

(?3a?2b)(3a?2b)

(?3a?2b)(3a?2b)

???2b?3a?(?2b?3a)

??(3a?2b)(3a?2b)

??(9a2?4b2)

22=??2b???3a?

例

3、?2x?y?z??2x?y?z? ?4b2?9a??9a?4b

分析：本類題每一個(gè)因式中都是三個(gè)或三個(gè)以上的項(xiàng)，所以先利用加法結(jié)合律，把一個(gè)因式中的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)式子的和差形式，再觀察是否符合公式特點(diǎn)。前一個(gè)因式中的?2x?y?z?結(jié)合成[(2x?y)?z]，后一個(gè)因式?2x?y?z?結(jié)合成[(2x?y)?z]，(2x?y)與(2x?y)為相等，z與-z互為相反數(shù)，可用公式進(jìn)行計(jì)算。

?2x?y?z??2x?y?z?

??2x?y?z??2x?y?z? ???2x?y??z???2x?y??z?

??2x?y??z2 2?4x2?4xy?y2?z2

小結(jié)：注意平方差進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的的誤區(qū)有（1）對(duì)因式中各項(xiàng)的系數(shù)，符號(hào)要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式，如(3a?2b)(2a?3b)、如（2）公式中的字母是多種形式(?3a?2b)(3a?2b)，此類題目不能運(yùn)用平方差公式；的，所以當(dāng)這個(gè)字母表示一個(gè)負(fù)數(shù)、或分?jǐn)?shù)、或單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，應(yīng)加上括號(hào)，避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯(cuò)誤。

二、因式分解中的應(yīng)用

因式分解我們一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分組，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a?b)(a?b)?a2?b2的逆用：a2?b2?(a?b)(a?b)，其題可以是二項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。能用公式的共同特點(diǎn)：題目中都可以轉(zhuǎn)化成一項(xiàng)或一式的平方減去一項(xiàng)或一式的平方。如有這種形式的都能用平方差公式進(jìn)行了分解因式。分解因式時(shí)，要求掌握好逆用冪的運(yùn)算法則，弄清楚多項(xiàng)式中可轉(zhuǎn)化哪幾個(gè)數(shù)組成平方差，清楚題形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2?y2

分析：本題與公式是一樣的，可直接套用公式。

x2?y2?(x?y)(x?y)

例

2、分解因式x4y?16y

分析：此題先提公因式y(tǒng)，所剩下的x4?16轉(zhuǎn)化成(x2)2?42，其中a為x2、b為4，本題用平方差公式到各因式不能再分解為止。

x4y?16y?y(x4?16)

?y(x2?4)(x2?4)

?y(x2?4)(x?2)(x?2)例

3、因式分解x2?2xy?y2?9

分析：本題我們先要進(jìn)行分組成能轉(zhuǎn)化成平方差公式，前三項(xiàng)分在一組里，最后一項(xiàng)為一組，把x2?2xy?y2轉(zhuǎn)化成(x?y)2，從而形成(x?y)2?32

x2?2xy?y2?9?(x?y)2?32?(x?y?3)(x?y?3)

小結(jié)：因式分解中的平方差公式的運(yùn)用是必要的，有些題目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的應(yīng)用，整式乘法中如果不會(huì)用公式，也可以用一般的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法來(lái)計(jì)算，只是復(fù)雜而已。分解因式中時(shí)常的錯(cuò)誤有：（1）各項(xiàng)沒(méi)有轉(zhuǎn)化為平方就用公式，如4x2?y2?(4x?y)(4x?y)；（2）誤用公式，如x2?y2?(x?y)(x?y)

三、平方差公式在一些特殊題中的運(yùn)用

（一）、簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用

如某兩數(shù)的乘積，如果這兩個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)都要都相差相同的一個(gè)數(shù)時(shí)，就可以把這兩數(shù)的乘積轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)數(shù)與相同數(shù)的和與差的乘積，從而做到轉(zhuǎn)化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98與102都與100相差2，98轉(zhuǎn)化成100-2，102轉(zhuǎn)化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=1002?22 =9996 例2、2563?255?256?257

分析：本題的技巧在于三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，我們可以將第一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成中間數(shù)減1，第三個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化中間數(shù)加1。

(3)2563?255?256?257?2563?256?256?1??256?1? ?2563?256(2562?12)?2563?2563?256?256例3、1002?992?982?972???22?12

分析：本題中每?jī)山M都要可以轉(zhuǎn)化成平方差公式，計(jì)算后會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)等差數(shù)列。

1002?992?982?972???22?12?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)???(2?1)(2?1)?100?99?98?97???2?1100(100?1)?2?5050小結(jié)：有關(guān)復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算中，如能抓住數(shù)字特點(diǎn)，巧用平方差公式，可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算效率，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)字中的平方差公式的運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)識(shí)有：98×102=（100-2）（100+2）=1002?22?982

（二）、二次根式計(jì)算及分母有理化中的運(yùn)用

用平方差公式進(jìn)行二次根式計(jì)算及分母有理化，是初三二次根式計(jì)算和化簡(jiǎn)中的重點(diǎn)。它的方法在于分子分母同時(shí)乘以一個(gè)式子，使其分母轉(zhuǎn)化成一平方差公式，從而做到分母去根號(hào)（有理化）的效果。

例1：(6?2)(6?2)

分析：本類題是二次根式的計(jì)算，是這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，用公式6為a，2為b進(jìn)行計(jì)算。

(6?2)(6?2)?(6)2?(2)2?6?2?4

例2化簡(jiǎn) 45?2

分析：觀察此題分母中含有二次根式，要進(jìn)行有理化，分母本身是5?2，分子分母同時(shí)乘以5?2，使分母轉(zhuǎn)化成平方差公式。

45?2?4(5?2)(5?2)(5?2)?45?4245?42?223(5)?(2)

小結(jié)：這種類型題分母有理化中要抓住分母的特點(diǎn)，想辦法使其轉(zhuǎn)化為平方差公式，做題時(shí)切記，如果是單用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式進(jìn)行有理化。例如：

除了初中價(jià)段的應(yīng)用外，以后的數(shù)學(xué)學(xué)科都有其有關(guān)的知識(shí)，可見平方差公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用及其廣泛，值得一提的是這個(gè)公式從初中到大學(xué)都有不同程度的應(yīng)用，教學(xué)上初中至關(guān)重要，因此我們應(yīng)該從不同的角度去掌握并運(yùn)用平方差公式。

44216 ??25?2(5?2)5?210?2

淺談平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

玉龍縣魯?shù)橹袑W(xué)

和祺劍

提要：平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2是初中階段的一個(gè)重要的公式，應(yīng)用也十分廣泛，必須引起教師的高度重視。

關(guān)鍵詞：平方差

整式乘法

因式分解

無(wú)理數(shù)

平方差公式在初中數(shù)學(xué)上占據(jù)了重要位置，在近幾年的中考和期末測(cè)試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以要求學(xué)生掌握并運(yùn)用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的運(yùn)用

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2，其形式是：兩項(xiàng)之和與這兩項(xiàng)的差的乘積等于這個(gè)項(xiàng)的平方差，其中的a、b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式?？捎霉降亩加袃蓚€(gè)共同特點(diǎn)：前一個(gè)因式與后一個(gè)因式中各有一項(xiàng)是相同，剩下的兩項(xiàng)是互為相反數(shù)。有些形式上不符合公式，但只要符合這個(gè)特點(diǎn)，可以根據(jù)公式的特點(diǎn)，應(yīng)用加法加換律、結(jié)合律進(jìn)行靈活變形，或者用提負(fù)號(hào)的方法把題轉(zhuǎn)化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的運(yùn)用 例1.(2x?3)(2x?3)

分析：本題是整式乘法中的最簡(jiǎn)單的，是這兩個(gè)項(xiàng)的和與這兩個(gè)項(xiàng)的差的積等于這兩項(xiàng)的平方差，可直接用公式進(jìn)行計(jì)算。

(2x?3)(2x?3)?(2x)2?32?4x2?9例2．(?3a?2b)(3a?2b)

分析：本類題是屬于兩個(gè)多項(xiàng)項(xiàng)式的乘積，這類題形首先要觀察是否符合公式特點(diǎn)，看出前一個(gè)因式中與后一個(gè)因式中都是-2b，剩下的一個(gè)是-3a，一個(gè)3a，它們互為相反數(shù)，可以用公式。計(jì)算本題有兩種方法（1）是利用加法加換律調(diào)整位置，把它轉(zhuǎn)化為一般式；（2）提一個(gè)負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化成一般式，再用公式計(jì)算。

解法

1、加法加換律進(jìn)行調(diào)整其位置

解法

2、提取負(fù)號(hào)

(?3a?2b)(3a?2b)

(?3a?2b)(3a?2b)

???2b?3a?(?2b?3a)

??(3a?2b)(3a?2b)

??(9a2?4b2)

22=??2b???3a?

例

3、?2x?y?z??2x?y?z? ?4b2?9a??9a?4b

分析：本類題每一個(gè)因式中都是三個(gè)或三個(gè)以上的項(xiàng)，所以先利用加法結(jié)合律，把一個(gè)因式中的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)式子的和差形式，再觀察是否符合公式特點(diǎn)。前一個(gè)因式中的?2x?y?z?結(jié)合成[(2x?y)?z]，后一個(gè)因式?2x?y?z?結(jié)合成[(2x?y)?z]，(2x?y)與(2x?y)為相等，z與-z互為相反數(shù)，可用公式進(jìn)行計(jì)算。

?2x?y?z??2x?y?z?

??2x?y?z??2x?y?z?

???2x?y??z???2x?y??z?

??2x?y??z2 2?4x2?4xy?y2?z2

小結(jié)：注意平方差進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的的誤區(qū)有（1）對(duì)因式中各項(xiàng)的系數(shù)，符號(hào)要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式，如(3a?2b)(2a?3b)、如（2）公式中的字母是多種形式(?3a?2b)(3a?2b)，此類題目不能運(yùn)用平方差公式；的，所以當(dāng)這個(gè)字母表示一個(gè)負(fù)數(shù)、或分?jǐn)?shù)、或單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，應(yīng)加上括號(hào)，避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯(cuò)誤。

二、因式分解中的應(yīng)用

因式分解我們一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分組，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a?b)(a?b)?a2?b2的逆用：a2?b2?(a?b)(a?b)，其題可以是二項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。能用公式的共同特點(diǎn)：題目中都可以轉(zhuǎn)化成一項(xiàng)或一式的平方減去一項(xiàng)或一式的平方。如有這種形式的都能用平方差公式進(jìn)行了分解因式。分解因式時(shí)，要求掌握好逆用冪的運(yùn)算法則，弄清楚多項(xiàng)式中可轉(zhuǎn)化哪幾個(gè)數(shù)組成平方差，清楚題形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2?y2

分析：本題與公式是一樣的，可直接套用公式。

x2?y2?(x?y)(x?y)

例

2、分解因式x4y?16y

分析：此題先提公因式y(tǒng)，所剩下的x4?16轉(zhuǎn)化成(x2)2?42，其中a為x2、b為4，本題用平方差公式到各因式不能再分解為止。

x4y?16y?y(x4?16)

?y(x2?4)(x2?4)

?y(x2?4)(x?2)(x?2)例

3、因式分解x2?2xy?y2?9

分析：本題我們先要進(jìn)行分組成能轉(zhuǎn)化成平方差公式，前三項(xiàng)分在一組里，最后一項(xiàng)為一組，把x2?2xy?y2轉(zhuǎn)化成(x?y)2，從而形成(x?y)2?32

x2?2xy?y2?9?(x?y)2?32?(x?y?3)(x?y?3)

小結(jié)：因式分解中的平方差公式的運(yùn)用是必要的，有些題目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的應(yīng)用，整式乘法中如果不會(huì)用公式，也可以用一般的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法來(lái)計(jì)算，只是復(fù)雜而已。分解因式中時(shí)常的錯(cuò)誤有：（1）各項(xiàng)沒(méi)有轉(zhuǎn)化為平方就用公式，如4x2?y2?(4x?y)(4x?y)；（2）誤用公式，如x2?y2?(x?y)(x?y)

三、平方差公式在一些特殊題中的運(yùn)用

（一）、簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用

如某兩數(shù)的乘積，如果這兩個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)都要都相差相同的一個(gè)數(shù)時(shí)，就可以把這兩數(shù)的乘積轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)數(shù)與相同數(shù)的和與差的乘積，從而做到轉(zhuǎn)化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98與102都與100相差2，98轉(zhuǎn)化成100-2，102轉(zhuǎn)化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=1002?22 =9996 例2、2563?255?256?257

分析：本題的技巧在于三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，我們可以將第一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成中間數(shù)減1，第三個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化中間數(shù)加1。

(3)2563?255?256?257?2563?256?256?1??256?1? ?2563?256(2562?12)?2563?2563?256?256例3、1002?992?982?972???22?12

分析：本題中每?jī)山M都要可以轉(zhuǎn)化成平方差公式，計(jì)算后會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)等差數(shù)列。

1002?992?982?972???22?12?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)???(2?1)(2?1)?100?99?98?97???2?1100(100?1)?2?5050小結(jié)：有關(guān)復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算中，如能抓住數(shù)字特點(diǎn)，巧用平方差公式，可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算效率，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)字中的平方差公式的運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)識(shí)有：98×102=（100-2）（100+2）=1002?22?982

（二）、二次根式計(jì)算及分母有理化中的運(yùn)用

用平方差公式進(jìn)行二次根式計(jì)算及分母有理化，是初三二次根式計(jì)算和化簡(jiǎn)中的重點(diǎn)。它的方法在于分子分母同時(shí)乘以一個(gè)式子，使其分母轉(zhuǎn)化成一平方差公式，從而做到分母去根號(hào)（有理化）的效果。

例1：(6?2)(6?2)

分析：本類題是二次根式的計(jì)算，是這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，用公式6為a，2為b進(jìn)行計(jì)算。

(6?2)(6?2)?(6)2?(2)2?6?2?4

例2化簡(jiǎn) 45?2

分析：觀察此題分母中含有二次根式，要進(jìn)行有理化，分母本身是5?2，分子分母同時(shí)乘以5?2，使分母轉(zhuǎn)化成平方差公式。

45?2?4(5?2)(5?2)(5?2)?45?4245?42?223(5)?(2)

小結(jié)：這種類型題分母有理化中要抓住分母的特點(diǎn)，想辦法使其轉(zhuǎn)化為平方差公式，做題時(shí)切記，如果是單用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式進(jìn)行有理化。例如：

除了初中價(jià)段的應(yīng)用外，以后的數(shù)學(xué)學(xué)科都有其有關(guān)的知識(shí)，可見平方差公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用及其廣泛，值得一提的是這個(gè)公式從初中到大學(xué)都有不同程度的應(yīng)用，教學(xué)上初中至關(guān)重要，因此我們應(yīng)該從不同的角度去掌握并運(yùn)用平方差公式。

44216 ??25?2(5?2)5?210?2

第四篇：運(yùn)用平方差公式因式分解求值

運(yùn)用平方差公式因式分解求值

【知識(shí)點(diǎn)】

①

利用平方差公式分解因式

②

整體代入求值

③

聯(lián)立方程組，解方程組

【練習(xí)題】

1.已知，則

2.已知，則

3.已知，則

4.已知，則

5.已知，則

6.已知，則

7.已知，則，8.已知，則，9.已知，則，10.已知，則，11.已知，則，12.已知，則，13.已知，則

14.已知，則

15.已知，則

16.已知，則

17.已知，則

答案

1.2

2.3

3.4

4.2

5.4

6.3

7.2；

8.5；1

9.5；

10.4；

11.-1；2

12.2；1

13.21

14.7

15.2

16.4

17.4

第五篇：二倍角公式的運(yùn)用

學(xué)科：數(shù)學(xué)

教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲?、函數(shù)在連續(xù)區(qū)間［a，b］上的最大（?。┲担囵B(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力．

【高考試題剖析】

91．曲線y＝x在點(diǎn)（3，3）處的切線傾斜角α＝__________．

92923【解析】∵y′＝－x，∴y′|x＝3＝－x|x＝3＝－1，∴α＝4π．

3【答案】4π

x－x2．函數(shù)f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的單調(diào)性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，f′（x）>0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)． 【答案】增函數(shù)

3．函數(shù)y＝1＋3x－x3有（）A．極小值－1，極大值1

B．極小值－2，極大值3 C．極小值－2，極大值2

D．極小值－1，極大值3

2【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝±1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函數(shù)y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15

B．5，4

C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）檢驗(yàn)知，當(dāng)x＝2時(shí)，y極小＝－15．

又f（0）＝5，f（3）＝2×27－3×9－12×3＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面說(shuō)法正確的是（）

A．函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大 B．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值

C．對(duì)于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<6，則f（x）無(wú)極值 D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上一定存在最值

【解析】極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，因此，極大值不一定是最大值，A錯(cuò)．由于函數(shù)的最值可能在端點(diǎn)取得，因此最大值不一定是極值，B錯(cuò)．

22對(duì)于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，當(dāng)|p|<6時(shí)無(wú)實(shí)根，而f（x）在R內(nèi)可導(dǎo)，因此f（x）無(wú)極值．

【答案】C 【典型例題精講】

1［例1］研究函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的單調(diào)性，其中a≠0．

1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a

2?b?當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，則x＜

2b?33a或

22x??b?b?33a，2?b?f′（x）＜0時(shí)，b?33a2?x??b?b?33ab?32，(??,所以f（x）在在[?b?b3a2?b?2b?33a],[?b?3a,??)上單調(diào)遞增，?3,?b?b3a?3]上單調(diào)遞減．

[當(dāng)a＜0時(shí)，同樣可得f（x）在?b?b?3?b?b?3,]3a3a上單調(diào)遞增，b?3222?b?b?323a3a在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞減．

432［例2］偶函數(shù)f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，1），且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的極值．

【解】（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴b＝d＝0．又圖象過(guò)點(diǎn)P（0，1），則e＝1，此時(shí)f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1

① 又切線的切點(diǎn)（1，－1）在曲線上，∴a＋c＋1＝－1 ②

由①②得,],[?b?a?52,c??92，∴

f(x)?52x?4923x?12

（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝±10． 通過(guò)列表可知：

341當(dāng)x＝±10時(shí)，f（x）極?。剑?0

當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）極大＝1 1［例3］曲線y＝3x6上哪一個(gè)點(diǎn)的法線在y軸上截距最小?（所謂法線是指：過(guò)曲線上一點(diǎn)與以此點(diǎn)為切點(diǎn)的切線垂直的直線）

1【解】在曲線y＝3x6上任取一點(diǎn)（x，y），過(guò)該點(diǎn)切線的斜率為k＝2x5

1∴法線的斜率為－2x．

51∴法線的方程為Y－y＝－2x（z－x）

5Y?y?令z＝0，得法線在y軸上的截距：

12x4?x63?12x

4xx則

令Y′＝0，得x＝±1 當(dāng)x＜－1時(shí)，Y′＜0，則Y單調(diào)減??； 當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，Y′＞0，則Y單調(diào)增加； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，Y′＜0，則Y單調(diào)減小； 當(dāng)x＞1時(shí)，Y′＞0，則Y單調(diào)增加； Y??2x?525?2(x105?1)51從而當(dāng)x＝±1時(shí)，Y取得最小值為6，此時(shí)點(diǎn)（±1，3）為所求．

32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝±1時(shí)取得極值，且f（1）＝－1，（1）試求常數(shù)a、b、c的值；

（2）試判斷x＝±1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說(shuō)明理由．

【分析】考查函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f′（x）＝0的根建立起由極值點(diǎn)x＝±1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．

2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝±1是函數(shù)的極值點(diǎn)

2∴x＝±1是方程3ax＋2bx＋c＝0的兩根． 由根與系數(shù)的關(guān)系知：

又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0

② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③

2．1333233f(x)?x?xx??(x?1)(x?1)22，∴f′（x）＝222（2）

當(dāng)x<－1或x>1時(shí)f′（x）>0，當(dāng)－1

【注】本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問(wèn)題具體化，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中充分運(yùn)用了已知條件確定了解題的大方向．

［例5］證明方程sinx＝2x只有一個(gè)實(shí)根：x＝0．

【證明】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．

∵f′（x）＝2－cosx>0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)． 由①、②、③解得：

a?1,b?0,c??3a?12,b?0,c??3又當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一實(shí)根x＝0． 【注】本題體現(xiàn)了函數(shù)思想的應(yīng)用．

【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

1．函數(shù)y＝（x2－1）3＋1在x＝－1處（）A．有極大值

B．有極小值 C．無(wú)極值

D．無(wú)法確定極值情況

22【解析】∵y′＝3（x－1）·2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但當(dāng)x∈（－∞，－1）時(shí)，y′<0，當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，y′<0，因此當(dāng)x＝－1時(shí)無(wú)極值．

【答案】C 2．設(shè)y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，則a等于（）A．－1 B．1

C．0

D．任意實(shí)數(shù) 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函數(shù)y＝sin2x－x，x∈

[???,22上的最大值是___________，最小值是_________．

?32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±6

f(?而端點(diǎn)?6)??32??6,f(?6)???6 ,f(??2)??,f()??222

??????所以y的最大值是2，最小值是－2．

【答案】2 －2

4．如果函數(shù)f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞增，則a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞0

1∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．

1【答案】＞3

5．求證：當(dāng)|x|≤2時(shí)，|3x－x3|≤2． 【證明】設(shè)f（x）＝3x－x3

22f′（x）＝3－3x＝3（1－x）當(dāng)x＝±1時(shí)，f′（x）＝0 當(dāng)x＜－1時(shí)，f′（x）＜0 當(dāng)－1

16．設(shè)f（x）＝x－2x－2x＋５

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈［－1，2］時(shí)，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．

22∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－3）、（1，＋∞），單調(diào)減區(qū)間為（－3，1）（2）原命題等價(jià)于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．

2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．

27．求函數(shù)y＝xlnx的極值． f(?1)?11,f(?2)?522,f(1)?72，1【解析】定義域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x·x＝x（2lnx＋1）．

2?12?12?12?12令y′＝0，得：x＝e時(shí)，y′>0，?12，當(dāng)0e∴y在（e?12，＋∞）上是增函數(shù)．

?1211∴x＝e時(shí)，y有極小值（e）2（－2）＝－2e．

【解題指導(dǎo)】

掌握求給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值的一般方法，會(huì)求已知曲線在指定點(diǎn)處的切線的斜率．

【拓展練習(xí)】 備選題

1．求y＝excosx的極值．

?【解】y′＝ex（cosx－sinx），令y′＝0，即cosx－sinx＝0，得x＝2kπ＋4或x＝52kπ＋4π，k∈Z．

?35當(dāng)x∈（2kπ＋4，2kπ＋4π）（k∈Z）時(shí)，y′<0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（2k??π－4π，2kπ＋4），k∈Z時(shí)，y′>0，f（x）為增函數(shù)，因此，當(dāng)x＝2kπ＋4（k2∈Z）時(shí)，y有極大值2·e2k???4（k∈Z）．

52當(dāng)x＝2kπ＋4π（k∈Z）時(shí)，y有極小值－2·e（k∈Z）．

322．已知f（x）＝2x－6x＋m（m為常數(shù)），在［－2，2］上有最大值3，那么此函數(shù)在［－2，2］上的最小值為（）

A．－37

B．－29 C．－5

D．－11

2【解析】∵f′（x）＝6x－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或2．

∵f（0）＝m，f（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，有f（0）>f（2）>f（－2）∴m＝3，最小值為f（－2）＝－37． 【答案】A 3．函數(shù)y＝3x2－2lnx的單調(diào)增區(qū)間為_____；減區(qū)間為_____． 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，＋∞）

42k??5?2300，得x>3，∴單調(diào)增區(qū)間為（3，＋∞），由y′<0，得

3∴單調(diào)減區(qū)間為（0，3）．

33【答案】（3，＋∞）（0，3）

4．求曲線y＝4－x2（x>0）上與定點(diǎn)P（0，2）距離最近的點(diǎn)． 【解】設(shè)曲線y＝4－x2上任意一點(diǎn)為Q（x，y），則

?4|PQ|＝

2423設(shè)f（x）＝|PQ|＝x－3x＋4，則f′（x）＝4x－6x＝2x（2x2－3）(x?0)?(y?2)22?x2?(2?x)22?x4?3x23令f′（x）＝0，∵x>0，∴x＝

32，又當(dāng)0

32時(shí)取極小值，因?yàn)閒（x）只有一個(gè)極3當(dāng)x>2時(shí)，f′（x）>0，∴f（x）在x＝

35,值點(diǎn)，因此該極小值也是最小值，相應(yīng)地|PQ|也取得最小值，這時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（22），35,22）即與點(diǎn)P（0，2）最近的點(diǎn)是Q（．

注：如果函數(shù)f（x）在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)（單峰函數(shù)），那么極小值即為最小值，極大值即為最大值．

學(xué)科：數(shù)學(xué) 教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

利用導(dǎo)數(shù)求解一些實(shí)際問(wèn)題的最大值和最小值，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

【高考試題剖析】

x?1）的單調(diào)性是______________．

lgelgex2?(1?x?x)??(1?)222x?x?11?x 【解析】y′＝x?x?1lge??021?x，所以f（x）在R上是增函數(shù)． 1．函數(shù)f（x）＝lg（x＋【答案】增函數(shù)

212．已知一直線切曲線y＝10x于x＝2，且交此曲線于另一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)___________．

313【解析】∵k＝y(tǒng)′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝1.2 又切點(diǎn)為（2，0.8），切線方程為6x－5y－8＝0

?x?2?x??4,??聯(lián)立解得?y?0.8?y??6.4 所以另一交點(diǎn)為（－4，－6.4）． 【答案】（－4，－6.4）

3．等邊三角形當(dāng)高為8 cm時(shí)，其面積對(duì)高的改變率是__________． 13?x?y?10??6x?5y?8?0?1【解析】∵S＝162163h2，∴S′＝3h ∴S′|h＝8＝3

【答案】3

4．函數(shù)y＝x3＋3x2－24x＋12的極小值是_____．

【解析】∵y′＝3x2＋6x－24＝3（x2＋2x－8）＝3（x＋4）（x－2）令y′＝0，得x＝－4或x＝2，檢驗(yàn)知：當(dāng)x＝2時(shí)，y取極小值－16． 【答案】－16

【典型例題精講】

1［例1］當(dāng)x＞0時(shí)，證明ln（1＋x）＞x－2x．

21【證明】設(shè)f（x）＝ln（1＋x）＋2x2－x，其定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞），1x?1f′（x）＝x?1

∴f（x）在（－1，＋∞）上是增函數(shù)

由增函數(shù)定義知：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）＝0 1即ln（1＋x）＋2x2－x＞0 ?x?1?x2?01所以當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1＋x）＞x－2x．

［例2］設(shè)f（x）＝ax3＋x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū)間．

2【解】∵f′（x）＝3ax＋1，若a>0，則f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），此時(shí)f（x）只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾；若a＝0，則f′（x）＝1>0，此時(shí)f（x）仍只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間．

2(x?若a<0，f′（x）＝3a·

1?3a)(x?11?3a，綜上可知a<0時(shí)，f（x）恰有

11?3a，＋∞），增區(qū)間為（－

?3a)三個(gè)單調(diào)區(qū)間，其中減區(qū)間為（－∞，－

?3a）和（，1?3a）．

［例3］用總長(zhǎng)14.8 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積? 【解】設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m，則另一邊長(zhǎng)為（x＋0.5）m，高為（3.2－2x）m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6 設(shè)容器的容積為y m3，則有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0＜x＜1.6)

整理y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6

4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．

從而，在定義域（0，1.6）內(nèi)只有在x＝1處使y′＝0，由題意，若x過(guò)小（接近0）或過(guò)大（接近1.6）時(shí)，y值很小（接近0），因此，當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1.8，此時(shí)高1.2 m．

3【答】容器的高為1.2 m時(shí)容積最大，最大容積為1.8 m． ［例4］一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10公里時(shí)燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問(wèn)此輪船以何種速度航行時(shí)，能使行駛每公里的費(fèi)用總和最小？

33【解】設(shè)船速為x（x>0）公里/小時(shí)，燃料費(fèi)是Q元，則Q＝kx，由6＝k·10得：k3＝500，331∴Q＝500x3，總費(fèi)用y＝（500x2＋96）·x?3500x?2966x，∵y′＝500x?96x，2令

y′＝0，得x＝20，由于該函數(shù)在（0，＋∞）內(nèi)有惟一的極值點(diǎn)是極小值點(diǎn)，所以該極小值是最小值．因此，當(dāng)船速為20公里/小時(shí)時(shí)，航行每公里的費(fèi)用總和最小．

［例5］直線y＝a與函數(shù)f（x）＝x3－3x的圖象有相異三個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）>0得單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）<0得單調(diào)減區(qū)間為（－1，＋1），檢驗(yàn)知x＝1時(shí)，f（1）＝－2是極小值，當(dāng)x＝－1時(shí)，f（－1）＝2是極大值，結(jié)合圖象知：

當(dāng)－2

【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

1．證明雙曲線xy＝a2上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為定值．

a2【證明】設(shè)y＝x上任一點(diǎn)為Q（x0，y0），則

k?y?|x?x??0ax22|x?x??0a22x0，∴切a22線方程為：y－y0＝－x0（x－x0）

令y＝0，則x?x0?y0x0a22?x0?ax0a222?2x0

y?y0?令x＝0，則

a2x02

?x0y0?ax0?2a2x0

1∴S＝2|x|·|y|＝2a（定值）

?22．當(dāng)0

?【證明】令f（x）＝x－sinx，則當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＝1－cosx＞0 ?∴f（x）在（0，2）上單調(diào)增加，而f（0）＝0，?∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＞0，即x＞sinx

222令ｇ（x）＝sinx－?x，∴ｇ′（x）＝cosx－?

當(dāng)0＜x＜arccos?時(shí)，ｇ′（x）＞0，則ｇ（x）單調(diào)增加；

2?＝0

?當(dāng)arccos?＜x＜2時(shí)，ｇ′（x）＜0，則ｇ（x）單調(diào)減小，而f（0）＝f（2）?2∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，ｇ（x）＞0，即sinx＞?x．

2?綜上，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，?x＜sinx＜x．

?3．如圖11—1，扇形AOB中，半徑OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)C，過(guò)C作CD與相切于點(diǎn)E，且與過(guò)點(diǎn)B所作的OB的垂線交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，直角梯形OCDB面積最??？

【解】設(shè)OC＝x（x＞0），過(guò)D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC

22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－

x?1

1221∴S＝2（BD＋OC）·OB＝2（2x－x?1）

x2∴S′＝1－2x?1＝0，∴x＝23

2所以當(dāng)OC＝3時(shí)，直角梯形OCDB面積最?。?/p>

4．如圖11—2，兩個(gè)工廠A、B相距0.6 km，變電站C距A、B都是0.5 km．計(jì)劃鋪設(shè)動(dòng)力線，先求C沿AB的垂線至D，再與A、B相連，D點(diǎn)選在何處時(shí)，動(dòng)力線最短？

【解】設(shè)CD⊥AB，垂足為E，DE的長(zhǎng)為x km．

由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5得CE＝0.5?0.3＝0.4，CD＝0.4－x AD＝BD＝x?0.3動(dòng)力線總長(zhǎng)l＝22222x?0.3＋0.4－x

2x2222?1?2x?2x?0.3x?0.3222l′＝（2x?0.3＋0.4－x）′＝2·2x?0.33．

令l′＝0，得x＝10≈0.17，由于該函數(shù)只有這一個(gè)極值點(diǎn)．因此它是最小值點(diǎn)． 【答】D點(diǎn)選在距AB0.17 km處時(shí)，動(dòng)力線最短．

【解題指導(dǎo)】

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系）．如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0的情形，此時(shí)函數(shù)在此點(diǎn)有極大（小）值，那么不與端點(diǎn)比較，也可以知道這就是最大（?。┲担?/p>

【拓展練習(xí)】 備選題

1．已知x、y為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式x2－2x＋4y2＝0，求x·y的最大值．

1【解法一】4y＝2x－x，∵y>0，∴y＝2

222x?x2

?x?0?2x2x?x2x?x?0∴xy＝2，由?得0

12?2xx(3?2x)2(2x?x?x?)?22222x?x22x?x∵f′（x）＝

312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）

3333333檢驗(yàn)知x＝2是極大值點(diǎn)，由極值點(diǎn)是惟一的，知當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（2）＝8，即x·y的最大值為8．

2222【解法二】由x－2x＋4y＝0，得（x－1）＋4y＝1（x>0，y>0）

1設(shè)x－1＝cosα，y＝2sinα（0<α<π）

111111333∴xy＝2sinα（1＋cosα），設(shè)f（α）＝ 2sinα（1＋cosα）

則f′（α）＝ 2［sinα（－sinα）＋cosα（1＋cosα）］＝2（2cos2α＋cosα－1）＝（cosα＋1）·（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2

??3338333∵0<α<π，∴α＝3，此時(shí)x＝2，y＝4，∴［f（α）］max＝8，即當(dāng)x＝2，y＝4時(shí)［x·y］max＝8． 2．如圖，一條河寬1千米，相距4千米（直線距離）的兩座城市A和B分別位于河的兩岸（城市A、B與岸邊的距離忽略不計(jì)），現(xiàn)需鋪設(shè)一條電纜連通城市A與B，已知地下電纜的修建費(fèi)為2萬(wàn)元／千米，水下電纜的修建費(fèi)為4萬(wàn)元／千米．假設(shè)兩岸是平行直線，問(wèn)應(yīng)如何鋪設(shè)電纜可使總費(fèi)用最省?（15?3.813,f()?333?1.732，精確到百米、百元）

【解】過(guò)B作對(duì)岸所在直線的垂線，垂足記為O，設(shè)在到O距離為x km的點(diǎn)C，分別鋪設(shè)BC、CA間的水下、地下電纜可使費(fèi)用最?。畡tBC＝x?1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，總費(fèi)用為y，則y＝2（15－x）＋41?x（0≤x≤15）

4x求導(dǎo)y′＝1?x21－2，令y′＝0，∴x＝

1所以當(dāng)x＝3＝0.6千米時(shí)，費(fèi)用最?。?x23．過(guò)曲線4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一點(diǎn)引切線分別與x軸正半軸和y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)線段|AB|最小時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)．

【解】設(shè)|AB|＝l，切點(diǎn)為P（x0，y0），則所求切線方程為：x0x＋4y0y－4＝0（x0>0，y0>0），16141?22x0y0x0y02切線在x軸、y軸上的截距分別為、，∴l(xiāng)＝，∵P（x0，y0）在曲線上，∵y＝1?x24，∴

y?|x?x??0x04y0x02∴y02＝1－4，164?22x04?x02∴l(xiāng)＝（0

16令Y＝l＝2x02?44?x0232x（0

2226當(dāng)Y′＝0時(shí)，有x0＝得極小值，也是最小值．

3，在（0，2）內(nèi)Y只有一個(gè)極值點(diǎn)，檢驗(yàn)知，在這點(diǎn)Y取26∴當(dāng)x0＝

3時(shí)，l2取得最小值9，∴l(xiāng)的最小值為3，此時(shí)，y0＝3，切點(diǎn)為326（3,33）．