第一篇：[初中數(shù)學]正多邊形和圓教案2 人教版

《正多邊形和圓》教案2 教學目標 ：

（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；

（2）通過正多邊形定義教學，培養(yǎng)學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養(yǎng)學生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學重點：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關系的第一個定理．

教學難點 ：

對定理的理解以及定理的證明方法．

教學活動設計：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點．

教師組織學生進行，并可以提問學生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

問題：正多邊形與圓有什么關系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進行證明．

已知：⊙O中，= = = =，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導學生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．

（五）初步應用

P157練習

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么? 2．求證：正五邊形的對角線相等．

3．如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．

（六）小結：

知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業(yè) 教材P172習題A組2、3． 教學設計示例2 教學目標 ：

（1）理解正多邊形與圓的關系定理；

（2）理解正多邊形的對稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質(zhì)的教學培養(yǎng)學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學重點：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．

教學難點 ：

對“正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解．

教學活動設計：

（一）提出問題：

問題：上節(jié)課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓呢？

（二）實踐與探究：

組織學生自己完成以下活動．

實踐：

1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點．)（2）根據(jù)正方形的哪個性質(zhì)證明對角線的交點是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD．

同理，點E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O．

因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內(nèi)切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上

它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓．

定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于 ．

（3）鞏固練習：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

（四）正多邊形的性質(zhì)：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？

3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．

4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

以上性質(zhì)，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學生的探究問題的能力、培養(yǎng)學生的研究意識，也培養(yǎng)學生的協(xié)作學習精神．

（五）總結

知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關系定理、正多邊形的性質(zhì)．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點共圓的方法．

（六）作業(yè) P159中練習1、2、3．

教學設計示例3 教學目標 ：

（1）鞏固正多邊形的有關概念、性質(zhì)和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養(yǎng)學生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識．

教學重點：

綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯(lián)想和化歸．

教學難點 ：綜合運用知識證題．

教學活動設計：

（一）知識回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)4．正n邊形的每個中心角都等于 ．

5．正多邊形的有關的定理．

（二）例題研究：

例

1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導學生分析，學生動手證明．

證法1：連結OA、OB、OC，∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚．

例

2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．

作法：1過A、B、C三點作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．

練習：P161

1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

（三）小結

知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．

能力與方法：重點復習了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．

（四）作業(yè)

教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4．

探究活動

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形．

（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）

（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應用把一個直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對折成小正方形ABCD；

②對折小正方形ABCD的中線；

③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問題：

（安徽省2002）某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：

甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；

乙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形, 形，= =，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時，它可能也 是正多邊形．

(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內(nèi)角相等．

(2)請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說明]（2）[證明]（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對 ．因為 =，而∠DAF對的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．

（2）因為∠A對，∠B對，又因為∠A=∠B，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當邊數(shù)是奇數(shù)時(或當邊數(shù)是3，5，7，9，……時)，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形

第二篇：正多邊形和圓反思

正多邊形和圓教學反思

孫葉

這一節(jié)課，我花了十分鐘的時間已經(jīng)讓學生通過看書感知了中心、中心角、半徑、邊心距的定義，這節(jié)的教學重點是特殊的正多邊形和圓中邊心距、邊長、半徑的關系。

我先給了學生五分鐘看書上正六邊形的例題，在黑板上畫了半徑為R的正四邊形、正六邊形、正三角形及其外接圓，點撥例題后我以表格的形式給出學生的第一個問題是：分別用R表示正四邊形、正六邊形、正三角形的邊長、周長、邊心距和面積。以前一直習慣于我講學生聽，這節(jié)我試著讓學生講，學生在黑邊前的講解的時候我發(fā)現(xiàn)其他學生聽的更認真，雖然講解的學生還存在著聲音小、講解不是太透徹等缺點，但整體還可以，多給學生機會肯定會有提高。整節(jié)課我圍繞這個問題花了很長的時間，目的是讓更多的學生體會并且學會這種構造直角三角形的思想。其中我給學生補充的知識有：有一個角是30度的直角三角形的三邊比和等腰直角三角形的三邊比的推導及結論，我覺得這樣可以為學生的運算節(jié)省時間。

這節(jié)課的第二個問題是：探究正三角形的外接圓半徑R和內(nèi)切圓的半徑r的數(shù)量關系，以及它們與正三角形的高之間的數(shù)量關系。在這個過程由兩個同學去講解，田禮厚同學通過連接半徑轉(zhuǎn)化R構造直角三角形，而鄭文豪同學通過構造弦心距轉(zhuǎn)化r構造直角三角形，同樣都是轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化的不一樣，我覺得學生的思維表現(xiàn)的很活躍。

整節(jié)課設計的問題較少，重點在于讓學生體會構造思想和轉(zhuǎn)化思想，學生表現(xiàn)很積極，但是沒有練習以及反饋的時間，在接下來的練習課上我覺得困擾學生的不是構造直角三角形的思想而是計算的速度及準確性，但快速準確運算又不是一天兩天的功夫，我認為對于我的學生而言，每節(jié)課還得給適當?shù)倪\算來鍛煉學生。

第三篇：24.3 正多邊形和圓(教案)

24.3正多邊形和圓

【知識與技能】

了解正多邊形和圓的關系，了解正多邊形半徑和邊長，邊心距，中心，中心角等概念.會應用正多邊形的有關知識解決圓中的計算問題.會用圓規(guī)、量角器和直尺來作圓內(nèi)接正多邊形.【過程與方法】

結合生活中的正多邊形形狀的圖案，發(fā)現(xiàn)正多邊形和圓的關系，然后學會用圓的有關知識，解決正多邊形的問題.【情感態(tài)度】

學生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、探究等數(shù)學活動，感受到數(shù)學來源于生活、又服務于生活，體現(xiàn)事物之間是相互聯(lián)系，相互作用的.【教學重點】

正多邊形與圓的相關概念及其之間的運算.【教學難點】

探索正多邊形和圓的關系，正多邊形半徑，中心角、弦心距，邊長之間的關系.一、情境導入，初步認識

觀察這些美麗的圖案，都是在日常生活中，我們經(jīng)常能看到的利用正多邊形得到的物體.（1）你能從圖案中找出多邊形嗎？

（2）你知道正多邊形和圓有什么關系嗎？怎樣就能作出一個正多邊形來？ 【教學說明】學生通過觀察美麗的圖案，欣賞生活中正多邊形形狀的物體.讓學生感受到數(shù)學來源于生活，并從中感受到數(shù)學美.問題（2）的提出是為了創(chuàng)設一個問題情境，激起學生主動將所學圓的知識與正多邊形聯(lián)系起來，激發(fā)學生積極探索、研究的熱情，并有意將注意力集中在正多邊形和圓的關系上.二、思考探究，獲取新知 1.正多邊形和圓的關系

問題1將一個圓分成5等份，依次連接各分點得到一個五邊形，這五邊形一定是正五邊形嗎？如果是，請你證明這個結論.教師引導學生根據(jù)題意畫圖，并寫出已知和求證.已知：如圖，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分點.依次連接ABCDE形成五邊形.問：五邊形ABCDE是正五邊形嗎？如果是，請證明你的結論.答案：五邊形ABCDE是正五邊形.???證明：在⊙O中，∵?AB??BC?CDDE??EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，??CDA??3?BCEAB，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五邊形ABCDE是正五邊形.【教學說明】教師引導學生從正多邊形的定義入手證明，即證明多邊形各邊都相等，各角都相等；引導學生觀察、分析，教師帶領學生完成證明過程.問題2如果將圓n等分，依次連接各分點得到一個n邊形，這個n邊形一定是正n邊形嗎？

答案：這個n邊形一定是正n邊形.【教學說明】在這個問題中，教師重點關注學生是否會仿照證明圓內(nèi)接正五邊形的方法證明圓內(nèi)接正n邊形.從問題1到問題2是將結論由特殊推廣到一般，這符合學生的認知規(guī)律，并教導學生一種研究問題的方法，由特殊到一般.問題3各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？如果是，說明理由；如果不是，舉出反例.答案：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.因為：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形的各角也相等.各角相等的圓內(nèi)接多邊形不是正多邊形.如：矩形.【教學說明】問題3的提出是為了鞏固所學知識，使學生明確判定圓內(nèi)接多邊形是正多邊形，必須滿足各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，這兩個條件缺一不可.同時教會學生學會舉反例.培養(yǎng)學生思維的批判性.2.正多邊形的有關概念

綜合圖形，給出正多邊形的中心，半徑，中心角，邊心距等概念.正n邊形：中心角為：

360°n；內(nèi)角的度數(shù)為：180°（n-2）n 3.正多邊形和圓有關的計算問題

例1（課本106頁例題）有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結果保留小數(shù)點后一位）.分析：根據(jù)題意作圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.解：如圖.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等邊三角形.∴R=BC=4m，∴這個亭子地基的周長為:4×6=24（m）.過O點作OP⊥BC，垂足為P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教學說明】例1是讓學生了解有關正多邊形的概念后，掌握正多邊形的計算.同時，通過例1引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，將多邊形化歸為三角形來解決.例2通過網(wǎng)格來呈現(xiàn)問題，在解決例2時，教師指導學生用數(shù)形結合的方法來解決問題，加深對有關概念的理解.4.畫正多邊形

畫正多邊形，通常是通過等分圓周的方法來畫的.等分圓周有兩種方式：（1）用量角器等分圓周.方法一：由于在同圓或等圓中相等的圓心角所對弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓.方法二：先用量角器畫一個等于360°/n的圓心角，這個圓心角所對的弧就是圓的1/n，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的幾等分點.【教學說明】這兩種方法可以任意等分圓，但不可避免地存在誤差.（2）用尺規(guī)等分圓

正方形的作法:如圖（1)在⊙O中，尺規(guī)作兩條垂直的直徑，把⊙O四等分，從而作出正方形ABCD.再逐次平分各邊所對弧，則可作正八邊形、正十六邊形等邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.正六邊形的作法：方法一：如圖（2）任意作一條直徑AB，再分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑作弧，與⊙O交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D為⊙O的六等分點，順次連接各等分點，得到正六邊形ACEBFD.方法二：如圖（3）由于正六邊形的半徑等于邊長.所以在圓上依次截取等于半徑的弦，就將圓六等分，順次連接各等分點即可得到正六邊形.【教學說明】尺規(guī)作圖法是一種比較準確的等分圓的方法，但有較大的局限性，它不能將圓任意等分.三、運用新知，深化理解

1.如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，對角線AC與BD相交于點P，則∠APB的度數(shù)為_______.2.邊長為2/π的正方形的內(nèi)切圓與外接圓所組成的圓環(huán)的面積為_____.3.如果一個正六邊形的面積與一個正三角形的面積相等，求正六邊形與正三角形的內(nèi)切圓的半徑之比.4.如圖，點M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，??正n邊形的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON.（1）求圖1中的∠MON的度數(shù)；

（2）在圖2中，∠MON的度數(shù)為_____，在圖3中，∠MON的度數(shù)為_____；（3）試探索∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n之間的關系.（直接寫出答案）【教學說明】題1、2可由學生自主探索完成，題3、4可先讓學生思考，然后教師加以提示，最后共同解答.完成教材第106頁、108頁的練習.【答案】1.72°

4.解：（1）連接OB、OC.∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法與（1）相同)(3)∠MON=360°/n.四、師生互動，課堂小結

通過這節(jié)課的學習，你知道正多邊形和圓有怎樣的關系嗎？你知道正多邊形的半徑、邊心距、內(nèi)角、中心角等概念嗎？你能畫出正多邊形嗎？

【教學說明】教師先提出問題，然后讓學生自主思考并回顧，教師再予以補充和點評.1.布置作業(yè)：從教材“習題24.3”中選取.2.完成練習冊中本課時 練習的“課后作業(yè)”部分.1.本節(jié)課首先從復習正多邊形的定義入手，通過創(chuàng)設問題情境，將正多邊形與圓緊密聯(lián)系，讓學生發(fā)現(xiàn)它們之間的密切關系，并將結論由特殊推廣到一般，符合學生的認識規(guī)律，通過學習正多邊形中的一些基本概念，引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，體現(xiàn)了化歸的思想.其次，在這一基礎上，又教給學生用等分圓周的方法作正多邊形，這可以發(fā)展學生的作圖能力.2.等分圓周法是一種作正多邊形的常見方法，通過作簡單的正三角形、正方形、正六邊形，一直推廣到作正八邊形的情況，可以向?qū)W生灌輸極限的思想，極限是微積分中最主要、最基本的概念，它從數(shù)量上描述變量在變化過程中的變化趨勢，在高中數(shù)學中，極限思想滲透到函數(shù)、數(shù)列等章節(jié)，又銜接高等數(shù)學，起著承上啟下的作用.

第四篇：圓與正多邊形教案一

正多邊形與圓

田小華

一．學習目標：

1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關系；

2、會通過等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；

3、能夠用直尺和圓規(guī)作圖，作出一些特殊的正多邊形； 二．教學重難點

學習重點：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。學習難點：利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形。三．自學提綱

了解正多邊形的概念，掌握如何利用尺規(guī)做正多邊形的畫法，理解正多邊形與圓的的定理。

四．教學過程： 1.情境創(chuàng)設：

我們國旗上的五角星怎么畫的？能不能利用尺規(guī)作出正五邊形 及所有邊相等的正多邊形

提問：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？ 2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

拓展：如果圓內(nèi)接正三角形，正方形有什么性質(zhì)

二、探索活動：活動一 觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念

正多邊形的概念：（學生讀出，并及時理解）

（注：各邊相等與各角相等必須同時成立）

提問：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形等．

定理：

此定理講述了元與正多邊形的關系，和包含了做圓內(nèi)接正多邊形的方法，我們拿正五邊形來做事例 分析書上的例題 P33 拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA．（圖形師生共同作圖）

（1）求證：五邊形ABCDE是正五邊形． 探討：以圓心到弦AB的弦心距為半徑，還以O為圓心畫圓。這個圓與正五邊形什么關系？

活動二 用量角器作正多邊形，探索正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系

1、用量角器將一個圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點所得的n邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；圓的內(nèi)接正n邊形將圓n等分；

2、正多邊形的外接圓的圓心叫正多邊形的中心。

活動四 利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形 問題：用直尺和圓規(guī)作出正方形，正六多邊形。

思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？

拓展2：各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形？

五、課堂練習

課本P34練習1,2和P35習題3，4

六．小結：本節(jié)課主要講的是圓與正多邊形聯(lián)系，及如何作正（四，五，六，八）多邊形，及進一步探討正多邊形的對稱性。

第五篇：《正多邊形和圓》第二課時參考教案

24.3 正多邊形和圓

第二課時

教學目標：

1、使學生了解用量角器等分圓心角來等分圓，從而可以作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形．

2、使學生會用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形，在這個基礎上能作圓內(nèi)接正八邊形、正三角形、正十二邊形．

3、通過畫圖培養(yǎng)學生的畫圖能力；

4、通過畫正方形到會畫正八邊形，通過畫六邊形到畫三角形、正十二邊形，培養(yǎng)學生觀察、抽象、遷移能力．

5、通過畫圖中需減小積累誤差的思考與操作，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力． 教學重點：

(1)用量角器等分圓心角來等分圓，然后作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形；(2)用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形． 教學難點：

準確作圖． 教學過程：

一、新課引入：

前幾課我們學習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)、判定，尤其學習了正多邊形與圓關系的兩個定理，而后我們又學習了正多邊形的有關計算，本堂課我們一起學習畫正多邊形．

二、新課講解：

由于正多邊形在生產(chǎn)、生活實際中有廣泛的應用性，所以會畫正多邊形應是學生必備能力之一，前面已學習了正多邊形和圓的關系的第一個定理，即把圓分成n(n≥3)等份，依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形，所以想到只要知道外接圓半徑R或內(nèi)切圓半徑rn，畫出圓來，然后n等分圓周就能畫出所需的正n邊形．

n等分圓周的方法有兩種，一種是量角器法，這一種方法簡單易學，它是一種常用的方法．其根據(jù)是因為相等的圓心角所對弧相等，所以使用量角器等分圓心角，可以達到把圓任意等分的目的，由于學生已具備使用量角器的能力，所以只要講明根據(jù)，讓學生動手操作即可．

另一種方法是用尺規(guī)等分圓周法，其實質(zhì)也是等分圓心角，但尺規(guī)不能任意等分圓，只適用于一些特殊情況，其中重點是正方形和正六邊形的作法，這是因為正八邊形、正三角形、正十二邊形都是由此作基礎而畫出來的．

由于尺規(guī)作圖在理論上準確，但在實際操作中有誤差積累，如何減少誤差使圖形趨于準確？這是一個鍛煉學生解決問題的好時機，應讓學生親手實驗、觀察對比，從而得出結論．

(三)重點、難點的學習與目標完成過程

復習提問：1．哪位同學記得正多邊形與圓關系的第一個定理？(安排中下生回答)2．哪位同學記得在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧有什么性質(zhì)？(安排中下生回答：相等的圓心角所對的弧相等)現(xiàn)在我們要畫半徑為R的正n邊形，從正多邊形與圓關系的第一個定理中，你有什么啟發(fā)？(安排學生相互討論后，讓中等生回答：只要把半徑為R的圓n等分，依次連結n個等分點就得正n邊形)那么怎樣把半徑為R的圓n等分呢？從剛才復習的第二問題中，你又受到什么啟發(fā)？大家相互間討論．(安排中等生回答：把360°的圓心角n等分)如果要作半徑2cm的正九邊形，你打算如何作呢？大家互相討論看看．(安排中等生回答：先畫半徑2cm的圓，然后把360°的圓心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我們本堂課所講畫正多邊形的第一種方法就是用量角器等分圓，大家用量角器畫出半徑為2的內(nèi)接正九邊形．

學生在畫圖實踐中必然出現(xiàn)兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個40°的圓心角，然后在圓上依次截取40°圓心角所對弧的等弧，于是得到圓的9等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個等分點，使畫出的正九邊形的邊長誤差較大．對此學生必然迷惑不解，在此教師應肯定作法理論上的正確性，然后講出圖形不夠準確的原因是由于誤差積累的結果，然后引導學生討論，研究減小誤差積累的二個途徑：其一，調(diào)整圓規(guī)兩腳間的距離，使之盡可能準確的等于所畫正九邊形的邊長．其二，若有可能，盡可能減少操作次數(shù)，減少產(chǎn)生誤差的機會．

大家想想如何畫一個半徑為2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先畫半徑2cm的圓，用量角器作90°的圓心角．)畫出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圓心角；方法2，用圓規(guī)依次截取等于AB的弧，大家觀察有沒有更好的方法？(安排中等生回答：將AO與BO邊延長交⊙O于C、D)．正方形一邊所對的圓心角是90°角，不用量角器用尺規(guī)能不能做出90°的圓心角呢？用尺規(guī)如何作半徑為2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半徑2cm的圓，然后畫兩條互相垂直的直徑)

請同學們用尺規(guī)畫出半徑為2cm的正方形．

大家想想看，借助這個圖形，能否作出⊙O的內(nèi)接正八邊形？同學們互相研究研究，(安排中上生回答：能，過圓心O作正方形各邊的垂線與圓相交即得⊙O的八等分點)為什么？根據(jù)什么定理？(安排中上等生回答：垂徑定理)還有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分線．)請同學們用此二法在圖上畫出正八邊形．

照此方法，同學們想想看，你還能畫出邊數(shù)為幾的正多邊形？(安排中下生回答：16邊形等)綜上所述及同學們的畫圖實踐可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

大家再思考一個問題：如何畫半徑為2cm的正六邊形呢？你都有哪些方法？大家討論．

方法1．畫半徑2cm的⊙O，然后用量角器畫60°的圓心角，依次畫下去即六等分圓周．

方法2．畫半徑2cm的⊙O，然后用量角器畫出60°的圓心角，如果有同學想到方法3更好，若無則提示學生：前面在研究正多邊形的有關計算時，得到正六邊形的半徑與邊長有一種什么樣的數(shù)量關系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同學可不用量角器，僅用尺規(guī)作出半徑2cm的圓內(nèi)接正六邊形？(安排一名中等生到黑板畫圖，其余在下面畫圖)

在學生畫圖完畢后展示兩種不同的畫法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于誤差積累AB≠FA，其二，首先畫出⊙O的直徑AD，然后分別以A、D為圓心，2cm長為半徑畫弧交⊙O于B、F、C、E．畫出圖形比較準確．

請同學們用第二種方法畫半徑3cm的圓內(nèi)接正六邊形(安排學生在練習本上畫)如果我們沿用由正方形畫正八邊形的思路同學們想想看，會畫正六邊形就應會畫正多少邊形？(安排中下生回答：正十二邊形，正二十四邊形…)理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫．

大家再觀察，會畫正六邊形，除上述正多邊形外，還可得到正幾邊形？(安排中等生回答：正三角形)畫半徑為2cm的正三角形，尺規(guī)作圖時必得先畫出正六邊形嗎？哪位同學有好方法？(安排舉手同學回答：畫出⊙O直徑AB，以A為圓心，2cm為半徑畫弧交⊙O于C、D，連結B、D、C即可)請同學們按此法畫半徑為2cm的正三角形．

請同學們思考一下如何用尺規(guī)畫半徑為2cm的正十二邊形？

在學生充分討論研究的多種方案中送出：先作互相垂直的直徑，然后分別以直徑的四個端點為圓心2cm長為半徑畫弧，交⊙O的各點即得⊙O的12等分點．引導學生觀察∠DOE=∠DOB-∠EOB ∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°． ∴ DE是⊙O內(nèi)接正12邊形一邊．

三、課堂小結：

這堂課你學了哪些知識？(安排中等生回答：1．用量角器等分圓周作正n邊形；2．用尺規(guī)作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規(guī)作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形)

四、布置作業(yè)