第一篇：高中數(shù)學(xué)必修5新教學(xué)案：2.2等差數(shù)列(第2課時)（推薦）

必修5 2.2等差數(shù)列（學(xué)案）

（第2課時）

【知識要點】

1.等差中項的概念； 2.等差數(shù)列的性質(zhì);3.等差數(shù)列的判定方法； 4.等差數(shù)列的常用設(shè)法.【學(xué)習(xí)要求】

1.理解等差中項的概念；

2.探索并掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，并會運用等差中項和等差數(shù)列的性質(zhì)解題； 3.體會等差數(shù)列和一次函數(shù)的關(guān)系.【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 36 頁～第39頁）

1.等差中項

（1）如果a、A、b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的.（2）如果an?1?an?an?2對任意正整數(shù)n都成立，則數(shù)列?an?是.22.等差數(shù)列的性質(zhì)

*（1）若?an?是等差數(shù)列且m?n?p?q，（m,n,p,q?N）則有_____________.(2)若?an?是等差數(shù)列且m?n?2k，（m,n,k?N）則有______________.**(3)思考：若?an?是等差數(shù)列且m?p?q，（m,p,q?N）則有am?ap?aq嗎？

3.等差數(shù)列的設(shè)項技巧

（1）若三個數(shù)成等差數(shù)列，則這三個數(shù)一般可設(shè)為_________________，若四個數(shù)成等差數(shù)列，則這四個數(shù)一般可設(shè)為_____________________.【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.已知數(shù)列?an?的通項公式為an?pn?q,其中p,q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

2.已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列.（1）2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？為什么？（2）2an?an?1?an?1(n>1)是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？

2an?an?k?an?k(n>k>0)是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？ 【典型例題】

例1 等差數(shù)列?an?是遞增數(shù)列，a2?a4?16,a1?a5?28,試求an.變式1：等差數(shù)列?an?中，已知a2?a3?a10?a11?36,求a5?a8.例2 已知：111y?zz?xx?y，成等差數(shù)列，求證，也成等差數(shù)列.xyzxyz

變式2：若m和2n的等差中項為4，2m和n的等差中項為5，則m與n的等差中項是.例3 在等差數(shù)列?an?中，已知a2?a5?a8?9,a3a5a7??21,求數(shù)列的通項公式.變式3：已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列.1.在等差數(shù)列?an?中，a5?10,a1?a2?a3?3,則（）.（A）a1??2,d?3(B)a1?2,d??3(C)a1??3,d?2(D)a1?3,d??2.2.若a?b，兩個等差數(shù)列a,x1,x2,b與a,y1,y2,y3,b的公差分別是d1,d2，則（）.（A）

d1? d23243(B)(C)(D)2334則m?32,若am?8，3.已知等差數(shù)列?an?的公差為d?d?0?，且a3?a6?aa?01?31（）.（A）8(B)4(C)6(D)12 4.數(shù)列?an?中，a1?2,a2?1，211???n?2?，則an=.anan?1an?15.48，a,b,c，-12是等差數(shù)列中的連續(xù)五項，則a,b,c的值依次為______________.6．已知等差數(shù)列?an?中，a3和a15是方程x?6x?1?0的兩根，則

2=_________________.a7?a8?a9?a10?a 7．在等差數(shù)列?an?中,已知a2?a3?a4?a5?34,a2?a5?52,求公差d.8.三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求此三個數(shù).21.數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?n?n??an?n?1,2,??，?是常數(shù).??（1）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；

（2）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由.必修5 2.2 等差數(shù)列（教案）

（第2課時）

【教學(xué)目標(biāo)】

1．理解等差中項的概念.2.探索并掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，并會運用等差中項和等差數(shù)列的性質(zhì)解題.3.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的聯(lián)系.【重點】理解等差中項的概念，探索并掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，會用等差中項和性質(zhì)解決一些簡單的問題.【難點】正確運用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 36 頁～第39頁）

1.等差中項

（1）如果a、A、b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項.（2）如果an?1?an?an?2對任意正整數(shù)n都成立，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列.2?N*）則有am?an?ap?aq.*2.等差數(shù)列的性質(zhì) ，,（1）若?an?是等差數(shù)列且m?n?p?q，（mnpq(2)若?an?是等差數(shù)列且m?n?2k，（m,n,k?N）則有am?an?2ak.*(3)思考：若?an?是等差數(shù)列且m?p?q，（m,p,q?N）則有am?ap?aq嗎？

分析：設(shè)等差數(shù)列?an?的首項為a1，公差為d，則am?a1?d，1??m?ap?aq?a1?a1??p?q?1?d?d?am?a1?d.所以當(dāng)首項和公差相等時成立，否則不成立.3.等差數(shù)列的設(shè)項技巧

（1）若三個數(shù)成等差數(shù)列，則這三個數(shù)一般可設(shè)為a?d,a,a?d，若四個數(shù)成等差數(shù)列，則這四個數(shù)一般可設(shè)為a?3d,a?d,a?d,a?3d.【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.已知數(shù)列?an?的通項公式為an?pn?q,其中p,q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

解：a1?p?q，an?1?an?p?n?1??q??pn?q??p.所以數(shù)列一定是等差數(shù)列.2.已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列.（1）2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？為什么？（2）2an?an?1?an?1(n>1)是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？

2an?an?k?an?k(n>k>0)是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？

解：（1）因為a5?a3?a7?a5，所以2a5?a3?a7.同理有2a5?a1?a9也成立.（2）2an?an?1?an?1(n>1)，此結(jié)論說明，在等差數(shù)列中，從第二項起，每一項（有限數(shù)列末項除外）都是它前后兩項的等差中項；同樣有2an?an?k?an?k(n>k>0)成立，結(jié)論說明在等差數(shù)列中，任取數(shù)列中的某項都是與它前后等距離兩項的等差中項（保證前后兩項存在）.【典型例題】

例1 等差數(shù)列?an?是遞增數(shù)列，a2?a4?16,a1?a5?28,試求an.【審題要津】以性質(zhì)m?n?p?q知a2?a4?a1?a5，運用方程思想求得a1和a5，則公差可求；也可都用a1和d表示，求解a1和d.解：?a1?a5?a2?a4?16，又a1?a5?28，且數(shù)列為遞增數(shù)列，?a1?2,a5?14.由a5?14?a1?4d?2?4d,?d?3.?an?2??n?1??3?3n?1.【方法總結(jié)】解題過程中運用性質(zhì)進(jìn)行了過度，而能用性質(zhì)求解的題目只是一部分，使用基本量a1與d列方程的方法適用于任何與等差數(shù)列通項有關(guān)的題目，是通法.變式1：變式1：等差數(shù)列?an?中，已知a2?a3?a10?a11?36,求a5?a8.解：?a2?a11?a3?a10?a5?a8.又a2?a3?a10?a11?36,2?a5?a8??36,?a5?a8?18.例2 已知：111y?zz?xx?y，成等差數(shù)列，求證，也成等差數(shù)列.xyzxyz【審題要津】由于所求證的是三個數(shù)成等差數(shù)列，可用等差中項.證明：111211，成等差數(shù)列，??? xyzyxz?2zxzxy?zx?yyzxy?11?zx??????y?????=y????2??.yxzxzxzxxzz?xz?xz 5

而2?z?xzxy?zx?yz?x?11?.??z?x????2??.???2???yxzxzy?xz??y?zz?xx?y成等差數(shù)列.，xyz【方法總結(jié)】對于證三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，常用等差中項法，即證2b?a?c即可.變式2 若m和2n的等差中項為4，2m和n的等差中項為5，則m與n的等差中項是3.解：?m和2n的等差中項為4，?m?2n?8.又2m和n的等差中項為5，?2m?n?10，兩式相加，得m?n?6.?m與n的等差中項為

m?n6??3.22例3 在等差數(shù)列?an?中，已知a2?a5?a8?9,a3a5a7??21,求數(shù)列的通項公式.【審題要津】要求通項公式，需要求出首項a1及公差d，由直接求解很困難，這樣促使我們轉(zhuǎn)換思路.如果考慮到等差數(shù)a2?a5?a89?,a3a5a??172列的性質(zhì)，注意到a2?a8?2a5?a3?a7問題就好解了.解：?a2?a5?a8?9,a3a5a7??21,又?a2?a8?a3?a7?2a5, ?a3?a7?2a5?6,a3?a7??7,解得：a3??1,a7?7或a3?7,a7??1，?a3??1,d?2或a3?7,d??2.由an?a3??n?3?d，得an?2n?7或an??2n?13.【方法總結(jié)】等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)牢記，在解題中應(yīng)用非常廣泛.變式3 已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列.解：設(shè)成等差數(shù)列的這四個數(shù)依次為a?3d,a?d,a?d,a?3d.???a?3d???a?d???a?d???a?3d??26,由題設(shè)知?

???a?d??a?d??40.1313??a?,a?,????22解之得?或??這個數(shù)列為2，5，8，11或11，8，5，2.33?d?,?d??.???2?2

1.在等差數(shù)列?an?中，a5?10,a1?a2?a3?3,則（A）.（A）a1??2,d?3(B)a1?2,d??3(C)a1??3,d?2(D)a1?3,d??2.2.若a?b，兩個等差數(shù)列a,x1,x2,b與a,y1,y2,y3,b的公差分別是d1,d2，則（C）.（A）

d1? d23243(B)(C)(D)2334則m?32,若am?8，3.已知等差數(shù)列?an?的公差為d?d?0?，且a3?a6?aa?01?31（A）.（A）8(B)4(C)6(D)12 4.數(shù)列?an?中，a1?2,a2?1，2211???n?2?，則an=.nanan?1an?15.48，a,b,c，-12是等差數(shù)列中的連續(xù)五項，則a,b,c的值依次為33,18,3.6．已知等差數(shù)列?an?中，a3和a15是方程x?6x?1?0的兩根，則

2=15.a7?a8?a9?a10?a 7．在等差數(shù)列?an?中,已知a2?a3?a4?a5?34,a2?a5?52,求公差d.解：由a2?a3?a4?a5?34，知a2?a5?17，又a2?a5?52.?a2?4,a5?13或a2?13,a5?4.所以d?3或d??3.8.三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求此三個數(shù).解：設(shè)三個數(shù)分別為a?d,a,a?d，由題意有????a?d??a??a?d??9，??a?a?d??6?a?d?.解得：a?3,d??1.所以這三個數(shù)為4，3，2.21.數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1n?n??an?n?1,2,??，?是常數(shù).??（1）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；

（2）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由.2解：（1）由于an?1?n?n??an?n?1,2,??,且a1?1，所以當(dāng)a2??1時，得

???1?2??，故??3.從而a3??22?2?3????1???3.（2）數(shù)列?an?不可能為等差數(shù)列.證明如下：

2由a1?1，an?1?n?n??an得 ??a2?2??,a3??6????2???,a4??12????6????2???.若存在?，使?an?為等差數(shù)列，則a3?a2?a2?a1，即?5????2????1??，解得?=3.于是a2?a1?1????2,a4?a3??11????6????2?????24.這與?an?為等差數(shù)列矛盾.所以，對任意?，?an?都不可能是等差數(shù)列.

第二篇：高中數(shù)學(xué)必修5高中數(shù)學(xué)必修5《2.2等差數(shù)列(二)》教案

2.2等差數(shù)列

（二）一、教學(xué)目標(biāo)

1、掌握＂判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列＂常用的方法；

2、進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及應(yīng)用．

3、進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及應(yīng)用．

二、教學(xué)重點、難點

重點：等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及應(yīng)用．

難點：靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題．

三、教學(xué)過程

（一）、復(fù)習(xí)

1．等差數(shù)列的定義． 2．等差數(shù)列的通項公式：

an?a1?(n?1)d

(an?am?(n?m)d或 an=pn+q(p、q是常數(shù)))3．有幾種方法可以計算公差d: ① d=an－an?

1② d=

an?a1a?am

③ d=n

n?mn?14.{an}是首項a1=1, 公差d=3的等差數(shù)列, 若an =2005,則n =()

A.667

B.668

C.669

D.670 5.在3與27之間插入7個數(shù), 使它們成為等差數(shù)列,則插入的7個數(shù)的第四個數(shù)是()

A.18

B.9

C.12

D.15

二、新課

1．性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中,若m + n=p + q, 則am + an = ap + aq

特別地,若m+n=2p, 則am+an=2ap 例1.在等差數(shù)列{an}中

(1)若a5=a, a10=b, 求a15;

(2)若a3+a8=m, 求a5+a6;

(3)若a5=6, a8=15, 求a14;

(4)若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解:(1)2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;(2)∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m(3)a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，從而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33(4)?6?6?11?1, 7?7?12?2,?2a6?a1?a11, 2a7?a2?a12從而(a11?a12???a15)?(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10)?a11?a12???a15?2(a6?a7???a10)?(a1?a2???a5)?2?80?30?130.2．判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法：（1）定義法: 證明an-an-1=d(常數(shù))例2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=3n2-2n, 求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列,并求其首項、公差、通項公式.解: 當(dāng)n=1時,a1=S1=3﹣2=1;

當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;

∵n=1時a1滿足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5

首項a1=1,an﹣an﹣1=6(常數(shù))

∴數(shù)列{an}成等差數(shù)列且公差為6.（2）中項法: 利用中項公式, 若2b=a+c,則a, b, c成等差數(shù)列.（3）通項公式法: 等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù).例3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an?pn?q,其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

分析：判定{an}是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看an?an?1（n＞1）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。

解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an與an?1（n＞1），求差得 an?an?1?(pn?q)?[p{n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q]?p

它是一個與n無關(guān)的數(shù).所以{an}是等差數(shù)列。

課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少？

這個數(shù)列的首項a1?p?q,公差d?p。由此我們可以知道對于通項公式是形如an?pn?q的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.如果一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。[探究] 引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖研究完成以下探究：

⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項公式為an?3n?5的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點？ ⑵在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列an?pn?q與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。

分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，??時，對應(yīng)的an可以利用通項公式求出。經(jīng)過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；

⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應(yīng)的點的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列an?pn?q的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應(yīng)的點的集合。該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列an?pn?q中的p的幾何意義去探究。

三、課堂小結(jié)：

1.等差數(shù)列的性質(zhì)；

2.判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列常用的方法．

四、課外作業(yè)

1.閱讀教材第110～114頁；

2.教材第39頁練習(xí)第4、5題． 作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)十二

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修5新教學(xué)案：1.1.2余弦定理(第1課時)

【知識要點】

1.三角形的邊角關(guān)系；2.余弦定理；3.余弦定理與勾股定理之間的關(guān)系.2.余弦定理；3.余弦定理與勾股定理之間的關(guān)系.3.余弦定理與勾股定理之間的關(guān)系.【學(xué)習(xí)要求】

1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理；

2.會運用余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 5 頁～第6 頁）

1．如果已知一個三角形的兩邊及其所夾的角,那么這個三角形的大小、形狀是否完全確定?

2.如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊.3.教材中給出了用向量法證明余弦定理的方法,體現(xiàn)了向量在解決三角形度量問題中的作用.另外思考用坐標(biāo)法和三角法如何證明余弦定理.4.討論余弦定理和勾股定理之間的聯(lián)系.5.應(yīng)用余弦定理解三角形(閱讀例3).【基礎(chǔ)練習(xí)】

1．在?ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到0.10,邊長精確到0.1cm):

0（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.2;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.30.【典型例題】

例1 在?ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c邊的長.例2 在?ABC中,已知b=5, c

A=300求a、B、C及面積S.變式: 在?ABC中，已知a=8，c=

41），面積s，解此三角形.必修51.1.2余弦定理（學(xué)案）（第1課時）

11.在?ABC中，若C為鈍角,下列結(jié)論成立的是().(A)a2+b2> c2(B)a2+b2

2-2根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數(shù);(2)求AB的長.x+2=0的兩

1.已知a,b, c是?ABC中∠A, ∠B,∠C的對邊, S是?ABC的面積,若a=4,b=5,S

=5,求c的長度.必修51.1.2 余弦定理（教案）

【教學(xué)目標(biāo)】

1．通過對三角形邊角關(guān)系的探索, 能證明余弦定理, 了解可以從向量、解析法和三角法等多種途徑證明余弦定理.2．了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系.3.能夠應(yīng)用余弦定理解三角形.【重點】: 通過對三角形邊角關(guān)系的探索, 證明余弦定理, 并能應(yīng)用它解三角形.【難點】: 余弦定理的證明.【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 5頁～第6頁）

1．如果已知一個三角形的兩邊及其所夾的角,那么這個三角形的大小、形狀是否完全確定?(完全確定)

2.如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊(a2=b2+c2-2bccosA,22222

2b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC．)

3.教材中給出了用向量法證明余弦定理的方法,體現(xiàn)了向量在解決三角形度量問題中的作用.另外思考用坐標(biāo)法和三角法如何證明余弦定理.證法１（向量法）：見教材.證法２（解析法）：如圖,以A點為原點，以?ABC的邊AB,所在直線為x軸，以過A與AB垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),C(bcosA,bsinA)，B(c,0)，由連點間的距離公式得：BC2?(bcosA?c)2?(bsinA?0)2，即

a?bcosA?2bccosA?c?bsinA

所以 a?b?c?2bccosA,同理可證b2?a2?c2?2accosB ,c2?a2?b2?2abcosC

證法３（三角法）：提示：先分銳角，鈍角兩種情況。過C作CD?AB(或其延長線)于D，則CD=bsinA，然后求出BD,在Rt?ABC中，用勾股定理得

222

BC?CD?BD,化簡即可.4.討論余弦定理和勾股定理之間的聯(lián)系.余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例． 5.應(yīng)用余弦定理解三角形(閱讀例3).【基礎(chǔ)練習(xí)】

1．在?ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到0.10,邊長精確到0.1cm):（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.20;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.3.解：（１）A≈43.50, B≈58.20，c≈4.2cm;(2)a≈10.5cm, B≈55.80, C≈0

81.9.【典型例題】

例1 在?ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c邊的長.【審題要津】 由條件知可直接用余弦定理求解.解：由余弦定理,得

22222)=28, c=a+b-2abcosC=2+4-2ⅹ2ⅹ4ⅹ(-12

∴c

=2【方法總結(jié)】已知三角形的兩邊及其夾角可直接用余弦定理求解

例2在?ABC中,已知b=5, c，A=30求a、B、C及面積s.【審題要津】根據(jù)已知條件,可用余弦定理求a,然后可用正弦定理求角B和C,面積用

S=

cbsinA求解.解：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25, ∴a=5.由正弦定理,得sinB?

bsinAa

?12,∴B=300, C=1800-A-B=1200

.S?abc?

absinC?【方法總結(jié)】(1)解三角形時往往同時用到正弦定理與余弦定理.(2)一般地,使用正弦定理求角時,有時要討論解的個數(shù)問題.變式: 在?ABC中，已知a=8，c=4

1），面積S

.解:由正弦定理,得S?

acsinB,即B=60,或B?120(舍),由余弦定理,得

00

b=a+c-2accosB

=8??4

?

?1??2?8?4

?

?

?1?

?

?96,∴b?,cosA?

b?c?a

2bc

222

?,?A?45.?C?180?A?B?180?45?60?75.0000

1.在?ABC中，若C為鈍角,下列結(jié)論成立的是(B).222222

(A)a+b> c(B)a+b

解: 由余弦定理,得c=a+b-2abcosC=1+1-2ⅹ1ⅹ1ⅹ(-1)=3, 2

∴c

=3.在?ABC中, a=3, b=4, c,求最大角.解: 顯然C最大,由c?a?b?2abcosC,得cosC

?

a?b?c

2ab

222

?

3?4?372?3?4

??1

2,∴C=1200.4.在?ABC中, BC=a,AC=b,且a,b是方程x-2

x+2=0的兩

根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數(shù);(2)求AB的長.由根與系數(shù)關(guān)系知a?b?ab?2, ,?C?120, 又2cos?a?b??1,?cosC??12

222

c=a+b-2abcosC=?a?b??2ab?2abcosC=12-4-4×??

?=10,?C

?

1.已知a,b, c是?ABC中∠A, ∠B,∠C的對邊, S是?ABC的面積,若a=4,b=5,S

=5求c的長度.12

解:由S?absinC,得

=

?4?5?sinC,所以sinC

?,∵C為三角形的內(nèi)

角，∴C?60或C?120，當(dāng)C?60時，c?a?b?2abcosC?4?5?2?4?5?cos60?

21，∴C?

00

當(dāng)C?120時，222220

c?a?b?2abcosC?4?5?2?4?5?cos120?

61，∴C?

第四篇：高中數(shù)學(xué) 2.2《等差數(shù)列》教案 新人教A數(shù)學(xué)必修5

2.2等 差 數(shù) 列(1)教學(xué)目標(biāo) 1．明確等差數(shù)列的定義．

2．掌握等差數(shù)列的通項公式，解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題

3．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力． 教學(xué)重點 1.等差數(shù)列的概念； 2.等差數(shù)列的通項公式

教學(xué)難點

等差數(shù)列“等差”特點的理解、把握和應(yīng)用 教學(xué)方法 :啟發(fā)式數(shù)學(xué),歸納法.一.知識導(dǎo)入

1.觀察下列數(shù)列,寫出它的一個通項公式和遞推公式,并說出它們的特點.1)2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.課本41頁的三個實際問題

【歸納】共同特點:每一個數(shù)列，從第二項起與前一項的差相同。二．等差數(shù)列

1.定義: 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。以上三個例子的公差d分別為2,-1,3.定義說明:1)同一個常數(shù)的含義.2)公差d的取值范圍.2.等差數(shù)列的通項公式: 設(shè)數(shù)列{an}是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列.由定義有:思路1: a2?a1?a3?a2???an?an?1?d

a2?a1?d

a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d?a1?3d……………

an?an?1?d?a1?(n?1)d,n?N*

思路2: a2?a1?d a3?a2?d

a4?a3?d

……………

an?1?an?2?d

an?an?1?d

兩端相加:

an?a1?(n?1)d n?N故等差數(shù)列的通項公式為:

*

an?a1?(n?1)d n?N其中:

*

an為第n項,a1為首項,d為公差.(共有四個量,知三求一)利用等差數(shù)列的通項公式驗證三個引例.廣義通項公式: an?am?(n?m)d

3.等差數(shù)列的遞推公式: an?1?an?d,n?N*

三.例題分析

1.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項.(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？

2.在等差數(shù)列{an}中,已知a5?10,a12?31求首項a1與公差d

3.已知數(shù)列{an}的前n項和公式(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)證明

Sn?n?2n

2{an}是等差數(shù)列.m?1,m?3,m?9 4.已知等差數(shù)列的前三項分別為(1)求m的值.(2)求該數(shù)列的第10項.5.梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度。

解設(shè)?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12?a1?(12?1)d,即時10=33+11d

解之得：d?7

因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103, 答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小結(jié) 五.作業(yè)

1.已知下列等差數(shù)列,求通項公式(1)1,4,7,10…

(2)32, 26, 20, 14…(3)127, , … 35152.已知等差數(shù)列{an}中(1)a3?4,a7?16,求a1,d ,11a?,d?求a5(2)232(3)

an

a3?2,d?4,an?30求n

2S?2n?4n 3.數(shù)列{an}中,前n項和n(1)求通項公式an

(2)證明{an}是等差數(shù)列

【探究】設(shè){an}是首項為m公差為d的等差數(shù)列，從中選取數(shù)列的第*k?N（）構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn}，你能求出{bn}的通項公式嗎？

4k?1項，

第五篇：高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列》教案2 蘇教版必修5

第 4 課時：§2.2等差數(shù)列（2）

【三維目標(biāo)】：

一、知識與技能

1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)公式，掌握等差數(shù)列的特殊性質(zhì)及應(yīng)用；掌握證明等差數(shù)列的方法；

2.明確等差中項的概念和性質(zhì)；會求兩個數(shù)的等差中項；

3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；

4.能通過通項公式與圖像認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì)，體會等差數(shù)列是用來刻畫一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；能用圖像與通項公式的關(guān)系解決某些問題。

二、過程與方法

通過等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式的運用，滲透方程思想。

三、情感、態(tài)度與價值觀

通過對等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點。

【教學(xué)重點與難點】：

重點：等差中項的概念及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用。難點：等差中項的概念及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用。【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀.【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1．復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義、通項公式 ；（1）等差數(shù)列定義

（2）等差數(shù)列的通項公式：an?a1?(n?1)d(an?am?(n?m)d或an?dn?p(p是常數(shù)))

an?a1n?

1an?amn?m

（3）公差d的求法：① d?an-an?1②d?2．等差數(shù)列的性質(zhì)：

③d?

（1）在等差數(shù)列?an?中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列?an?中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是AP如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

（3）在等差數(shù)列?an?中，對任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?

an?amn?m

(m?n)；

（4）在等差數(shù)列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，則am?an?ap?aq

用心愛心專心

3．問題：（1）已知a1,a2,a3?,an,an?1,?,a2n是公差為d的等差數(shù)列。①an,an?1,?,a2,a1也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6?,a2n也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？（2）已知等差數(shù)列?an?的首項為a1，公差為d。

①將數(shù)列?an?中的每一項都乘以常數(shù)a，所得的新數(shù)列仍是等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？ ②由數(shù)列?an?中的所有奇數(shù)項按原來的順序組成的新數(shù)列?cn?是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？

（3）已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，當(dāng)m?n?p?q時，是否一定有am?an?ap?aq？

（4）如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使得a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？

二、研探新知

1.等差中項的概念：

如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。其中A?a，A，b成等差數(shù)列?A?

2.一個有用的公式：

（1）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列

①2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？為什么？ ②2an?an?1?an?1(n?1)是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？ ③2an?an?k?an?k(n?k?0)是否成立？？你又能得到什么結(jié)論？（2）在等差數(shù)列?an?中，d為公差，若m,n,p,q?N?且m?n?p?q 求證：①am?an?ap?aq②ap?aq?(p?q)d

am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(m?n?2)dap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d

a?b

2a?b2

．

證明：①設(shè)首項為a1，則

∵ m?n?p?q∴am?an?ap?aq

② ∵ap?a1?(p?1)daq?(p?q)d?a1?(q?1)d?(p?q)d?a1?(p?1)d ∴ ap?aq?(p?q)d

探究：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系

注意：（1）由此可以證明一個結(jié)論：設(shè){an}成AP，則與首末兩項距離相等的兩項和相等，即：

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???，同樣：若m?n?2p 則 am?an?2ap

（2）表示等差數(shù)列的各個點在一條直線上，這條直線的斜率是公差d

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（教材P37例3）已知等差數(shù)列?an?的通項公式是an?2n?1，求首項 a1和公差d。

解：a1?2?1?1?1,a2?2?2?1?3，∴d?a2?a1?2或d?an?1?an?2(n?1)?1?(2n

?1)?2，等差數(shù)列?an?的通項公式是an?2n?1，是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示這個數(shù)列的各

點(n,an)均在直線y?2x?1上（如圖）

例2 ①在等差數(shù)列?an?中，a2?a7?a8?a13?6，求a6?a9．②在等差數(shù)列?an?中，a1?a4?a8?a12?a15?2，求a3?a13的值。解：①由條件：a6?a9?a7?a8?a2?a13?3；

②由條件：∵2a8?a1?a15?a4?a12∴a8??2∴a3?a13?2a8??4． 例3若 a1?a2???a5?30a6?a7???a10?80 求a11?a12???a15解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2……∴ 2a6?a1?a11,2a7?a2?a12……從而

(a11?a12???a15)+(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10)

∴a11?a12???a15=2(a6?a7???a10)?(a1?a2???a5)=2×80?30=130一般的：若{an}成等差數(shù)列那么Sn、S2n?Sn、S3n?S2n、…也成等差數(shù)列

例4 如圖，三個正方形的邊AB,BC,CD的長組成等差數(shù)列，且AD?21cm，這三個正方形的面積之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的長；（2）以AB,BC,CD的長為等差

數(shù)列的前三項，以第10項為邊長的正方形的面積是多少？

解：（1）設(shè)公差為d(d?0)，BC?x則AB?x?d,CD?x?d

A

B

C

D

?(x?d)?x?(x?d)?21?x?7?x?7

由題意得：?解得：? 或?（舍去）22

2d?4d??4(x?d)?x?(x?d)?179???

∴AB?3(cm),BC?7(cm),CD?11(cm)

（2）正方形的邊長組成已3為首項，公差為4的等差數(shù)列?an?，∴a10?3?(10?1)?4?39，∴a10?392?1521(cm)2所求正方形的面積是1521(cm)2。

四、鞏固深化，反饋矯正1.教材P37練習(xí)

2.在等差數(shù)列?an?中, 若 a5?6a8?15 求a1

4解：a8?a5?(8?5)d即 15?6?3d ∴ d?3從而 a14?a5?(14?5)d?6?9?3?33 變題：在等差數(shù)列?an?中，（1）若a5?a，a10?b 求a15；（2）若a3?a8?m 求 a5?a6 解：（1）2a10?a5?a15 即2b?a?a15∴ a15?2b?a；（2）a5?a6=a3?a8?m

五、歸納整理，整體認(rèn)識本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．A?

a?b

2?a,A,b,成等差數(shù)列，等差中項的有關(guān)性質(zhì)意義

2．在等差數(shù)列中，m?n?p?q?am?an?ap?aq（m，n，p，q?N?）3．等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；掌握證明等差數(shù)列的方法。

六、承上啟下，留下懸念

1.在等差數(shù)列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9項和S9.解：由等差中項公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由條件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90,∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板書設(shè)計（略）

八、課后記：

判斷一個數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法

1．定義法：即證明 an?an?1?d(常數(shù))

例：已知數(shù)列?an?的前n項和Sn?3n2?2n，求證數(shù)列?an?成等差數(shù)列，并求其首項、公差、通項公式。

解：a1?S1?3?2?1當(dāng)n?2時an?Sn?Sn?1?3n2?2n?[3(n?1)2?2(n?1)]?6n?5

n?1時 亦滿足∴ an?6n?5首項a1?1an?an?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常數(shù))

∴?an?成AP且公差為6

2．中項法： 即利用中項公式，若2b?a?c 則a,b,c成AP。例：已知1?ca?ba，1b，1c成AP，求證

ba，c?b，ac

也成AP。

證明： ∵

111成AP∴

2?1a，b，c

b?

1a

c

化簡得：2ac?b(a?c)

b?c2

?a2

?c

ac?a2?c

a

?

a?ba?ab

b(a?c)c

?

bc?c?ac

?

ac

?

2ac

=

(a?c)?c)

?

a?cb?ca?bac

?

(ab(a?c)

?2b

∴a，c?ab，c

也成AP

3．通項公式法：利用等差數(shù)列得通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

例：設(shè)數(shù)列?a2

n?其前n項和Sn?n?2n?3，問這個數(shù)列成AP嗎？

解：n?1時 a1?S1?2n?2時 an?Sn?Sn?1?2n?3,?a1不滿足an?2n?3∴ a?2?1n??

?a?2n?3

nn?2

∴ 數(shù)列n?不成AP但從第2項起成AP。