第一篇：高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列教案 蘇教版必修5

等差數(shù)列（2）

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1．復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式（1）等差數(shù)列定義

（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an?a1?(n?1)d(an?am?(n?m)d或an?dn?p(p是常數(shù)))（3）公差d的求法：① d?an-an?1 ②d?2．等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）在等差數(shù)列?an?中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列?an?中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是AP

如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

an?a1a?am ③d?n n?1n?man?am(m?n)；

n?m（4）在等差數(shù)列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，則am?an?ap?aq（3）在等差數(shù)列?an?中，對任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?3．問題：（1）已知a1,a2,a3?,an,an?1,?,a2n是公差為d的等差數(shù)列。①an,an?1,?,a2,a1也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6?,a2n也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？（2）已知等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)為a1，公差為d。

①將數(shù)列?an?中的每一項(xiàng)都乘以常數(shù)a，所得的新數(shù)列仍是等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？

②由數(shù)列?an?中的所有奇數(shù)項(xiàng)按原來的順序組成的新數(shù)列?cn?是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？

（3）已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，當(dāng)m?n?p?q時(shí)，是否一定有am?an?ap?aq？（4）如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使得a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？

二、研探新知

1.等差中項(xiàng)的概念：

如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中A? a，A，b成等差數(shù)列?A?2.一個(gè)有用的公式：

（1）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列

①2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？為什么？ ②2an?an?1?an?1(n?1)是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？ ③2an?an?k?an?k(n?k?0)是否成立？？你又能得到什么結(jié)論？ 求證：①am?an?ap?aq ②ap?aq?(p?q)d 證明：①設(shè)首項(xiàng)為a1，則（2）在等差數(shù)列?an?中，d為公差，若m,n,p,q?N?且m?n?p?q

a?b 2a?b． 2am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(m?n?2)dap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d

∵ m?n?p?q ∴am?an?ap?aq

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

a?b?a,A,b,成等差數(shù)列，等差中項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)意義 22．在等差數(shù)列中，m?n?p?q?am?an?ap?aq（m，n，p，q?N?）1．A?3．等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；掌握證明等差數(shù)列的方法。

六、承上啟下，留下懸念

1.在等差數(shù)列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9項(xiàng)和S9.解：由等差中項(xiàng)公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由條件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90, ∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

判斷一個(gè)數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法 1．定義法：即證明 an?an?1?d(常數(shù))

例：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?3n2?2n，求證數(shù)列?an?成等差數(shù)列，并求其首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式。解：

n?2a1?S1?3?2?1 當(dāng)時(shí)

an?Sn?Sn?1?3n2?2n?[3(n?1)2?2(n?1)]?6n?5

n?1時(shí) 亦滿足

∴ an?6n?5

首項(xiàng)a1?1

an?an?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常數(shù))

∴?an?成AP且公差為6 2．中項(xiàng)法： 即利用中項(xiàng)公式，若2b?a?c 則a,b,c成AP。

111b?cc?aa?b 例：已知，成AP，求證，也成AP。

abcabc111211 證明： ∵，成AP ∴?? 化簡得：2ac?b(a?c)

abcbacb?ca?bbc?c2?a2?abb(a?c)?a2?c22ac?a2?c2

????acacacac(a?c)2(a?c)2a?cb?cc?aa?b= ∴，也成AP ??2?b(a?c)acbabc2 3．通項(xiàng)公式法：利用等差數(shù)列得通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

例：設(shè)數(shù)列?an?其前n項(xiàng)和Sn?n2?2n?3，問這個(gè)數(shù)列成AP嗎？

解：n?1時(shí) a1?S1?2

n?2時(shí) an?Sn?Sn?1?2n?3,?a1不滿足an?2n?3

n?1?2 ∴ an??

∴ 數(shù)列?an?不成AP 但從第2項(xiàng)起成AP。

n?2?2n?3

第二篇：高中數(shù)學(xué)必修5高中數(shù)學(xué)必修5《等差數(shù)列復(fù)習(xí)》教案

等差數(shù)列復(fù)習(xí)

知識(shí)歸納

1.等差數(shù)列這單元學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

定等差數(shù)列通義項(xiàng)前n項(xiàng)和主要性質(zhì)

2.等差數(shù)列的定義、用途及使用時(shí)需注意的問題: n≥2，an －an－1＝d(常數(shù))3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如何？結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？ an＝a1＋(n－1)d

an＝An＋B(d＝A∈R)4.等差數(shù)列圖象有什么特點(diǎn)？單調(diào)性如何確定？

d＜0annannd＞05.用什么方法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的?公式內(nèi)容? 使用時(shí)需注意的問題? 前n 項(xiàng)和公式結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)? n(a1?an)n(n?1)d ?na1?22Sn?Sn＝An2＋Bn(A∈R)注意: d＝2A!6.你知道等差數(shù)列的哪些性質(zhì)? 等差數(shù)列{an}中，(m、n、p、q∈N+): ①an＝am＋(n－m)d ；

②若 m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq ； ③由項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列；

④ 每n項(xiàng)和Sn , S2n－Sn ，S3n－S2n …組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列.知識(shí)運(yùn)用 1.下列說法:(1)若{an}為等差數(shù)列,則{an2}也為等差數(shù)列(2)若{an} 為等差數(shù)列,則{an＋an＋1}也為等差數(shù)列(3)若an＝1－3n,則{an}為等差數(shù)列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1, 則{an}為等差數(shù)列.其中正確的有（(2)(3))2.等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)分別為a－1,a＋2，2a＋3, 則an＝ 3n－2.3.等差數(shù)列{an}中, a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33, 則a3＋a6＋a9＝27.4.等差數(shù)列{an}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0.5.等差數(shù)列{an}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10，a3＋a15＝ 20.6.等差數(shù)列{an}, S15＝90, a8＝.7.等差數(shù)列{an}, a1= －5, 前11項(xiàng)平均值為5, 從中抽去一項(xiàng),余下的平均值為4, 則抽取的項(xiàng)為

（A)

A.a11

B.a10

C.a9

D.a8 8.等差數(shù)列{an}，Sn＝3n－2n2, 則(B)A.na1＜Sn＜nan

B.nan＜Sn ＜na1

C.nan＜na1＜Sn

D.Sn＜nan＜na1 能力提高

1.等差數(shù)列{an}中, S10＝100, S100＝10, 求 S110.2.等差數(shù)列{an}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0, S1、S2、… S12哪一個(gè)最大？

課后作業(yè)《習(xí)案》作業(yè)十九.

第三篇：高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列教案 蘇教版必修5

等差數(shù)列（4）

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題，研探新知

1.等差數(shù)列的定義：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）等差數(shù)列的求和公式。2.等差數(shù)列的性質(zhì)：

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則

（1）對任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?an?am(m?n)；

n?m（2）若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，則am?an?ap?aq

n(a1?an)n(n?1)或Sn?na1??d 22dd注意：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式又可化成式子：Sn?n2?(a1?)n，當(dāng)d?0，此

22dd式可看作二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為a1?，常數(shù)項(xiàng)為零的二次式；②當(dāng)d?0時(shí)，Sn22dd有最小值；當(dāng)d?0時(shí)，Sn有最大值；③圖象：拋物線y?x2?(a1?)x上的一群獨(dú)立

22（3）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn?點(diǎn)。

（4）利用an與Sn的關(guān)系：an??(n?1)?S1

?Sn?Sn?1(n?2)

二、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 在等差數(shù)列?an?中，S10?100，S100?10，求S110？

10910?9??a?10a?d?100?110??1?2解法一：設(shè)該等差數(shù)列首項(xiàng)a1，公差d，則?，所???100a?100?99d?10?d??11???25?以，S110?110a1?110?109d??110． 2解法二：在等差數(shù)列中，S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差數(shù)列，∴ 新數(shù)列的前10項(xiàng)和＝原數(shù)列的前100項(xiàng)和，10S10＋

10?9·D＝S100＝10, 解得D＝－222 ∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.拓展練習(xí)1：在等差數(shù)列中，Sp?q，Sq?p，則Sp?q??(p?q)．

拓展練習(xí)2：已知數(shù)列?an?,是等差數(shù)列，若Sm?n，求Sm?n Sn?m，Sn是其前n項(xiàng)和，拓展練習(xí)3：已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為a，前2n項(xiàng)和為b，求前3n項(xiàng)的和。（介紹依次k項(xiàng)成等差）例2 已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)的和為44，偶數(shù)項(xiàng)的和為33，求此數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)。

解：設(shè)項(xiàng)數(shù)為2k?1，奇數(shù)項(xiàng)和記為S奇，偶數(shù)項(xiàng)和記為S偶，由題意，(a1?a2k?1)?(k?1)?44 ① 2(a?a2k)S偶?a2?a4???a2k?2?k?33 ②

2k?144①?②得，解得k?3，∴ 項(xiàng)數(shù)為7項(xiàng)，又S奇?11?ak?1?44，∴ ?k33S奇?a1?a3???a2k?1?ak?1?11，即中間項(xiàng)為11．

說明：設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差為d，（1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n項(xiàng)，則①S奇?S偶?nd；②

S奇a?n； S偶an?1S奇n?． S偶n?1（2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n?1項(xiàng)，則①S奇?S偶?an?a中；②例3 在等差數(shù)列中，a10?23，a25??22，（1）該數(shù)列第幾項(xiàng)開始為負(fù)？（2）前多少項(xiàng)和最大？

（3）求an前n項(xiàng)和？

解：設(shè)等差數(shù)列?an?中，公差為d，由題意得：????a25?a10?15d??45?a?50??1 ?d??3?23?a1?(10?1)?(?3)53，所以從第18項(xiàng)開始3為（1）設(shè)第n項(xiàng)開始為負(fù)，an?50?3(n?1)?53?3n?0，n?為負(fù)。（2）（法

一）

設(shè)

前

n項(xiàng)和

Sn，則n(n?1)31033103231032(?3)??n2?n??(n?)??()，2222626

所以，當(dāng)n?17時(shí)，前17項(xiàng)和最大。Sn?50n?（法二）??an?0?53?3n?05053，則?，?n?，所以n?17．

3?50?3n?03?an?1?0

（3）an?53?3n??'?53?3n,0?n?17，?3n?53,n?17∴Sn?a1?a2?a3???an?a1?a2???a17?(a18?a19???an)，當(dāng)

3103，S'n??n2?n2231033103S'n??(?n2?n)?2S17?n2?n?884，2222n?17時(shí)，當(dāng)

n?17時(shí)，?32103?n?n(n?17)??22'所以，Sn??．

31033103??(?n2?n)?2S17?n2?n?884(n?17)??2222說明：（1）a1?0，d?0時(shí)，Sn有最大值；a1?0，d?0時(shí)，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函數(shù)最值的求法（n?N?）；

?an?0?an?0②若已知an，則Sn最值時(shí)n的值（n?N?）可如下確定?或?．

a?0a?0?n?1?n?1

例4 已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為（1）Sn?2n?n；（2）Sn?n?n?1，求數(shù)列?an?22的通項(xiàng)公式。

例5（教材P42例5）某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑40mm，滿盤時(shí)直徑120mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，問：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長度大約是多少米（精確到0.1m）? 解：衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙近似地看作是一組同心圓，然后分別計(jì)算各圓的周長，再求總和。

由內(nèi)向外各圈的半徑分別為 20.05,20.15,?,59.9

5因此各圈的周長分別為 40.1?,40.3?,?,119.9?

∵各圈半徑組成首項(xiàng)為20.05，公差為0.1的等差數(shù)列，設(shè)圈數(shù)為n，則 59.95?20.05?(n?1)?0.1，∴n?400

∴各圈的周長組成一個(gè)首項(xiàng)為40.1?，公差為0.2?，項(xiàng)數(shù)為40的等差數(shù)列，Sn?400?40.1??400?(400?1)?0.2??32000?(mm)

232000?(mm)?100(m)

答：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長度約是100米．說明：各圈的半徑為該層紙的中心線至盤芯中心的距離。

第四篇：高中數(shù)學(xué) 2.2《等差數(shù)列》教案 新人教A數(shù)學(xué)必修5

2.2等 差 數(shù) 列(1)教學(xué)目標(biāo) 1．明確等差數(shù)列的定義．

2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決知道an,a1,d,n中的三個(gè)，求另外一個(gè)的問題

3．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力． 教學(xué)重點(diǎn) 1.等差數(shù)列的概念； 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

教學(xué)難點(diǎn)

等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用 教學(xué)方法 :啟發(fā)式數(shù)學(xué),歸納法.一.知識(shí)導(dǎo)入

1.觀察下列數(shù)列,寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式和遞推公式,并說出它們的特點(diǎn).1)2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.課本41頁的三個(gè)實(shí)際問題

【歸納】共同特點(diǎn):每一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起與前一項(xiàng)的差相同。二．等差數(shù)列

1.定義: 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。以上三個(gè)例子的公差d分別為2,-1,3.定義說明:1)同一個(gè)常數(shù)的含義.2)公差d的取值范圍.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: 設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列.由定義有:思路1: a2?a1?a3?a2???an?an?1?d

a2?a1?d

a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d?a1?3d……………

an?an?1?d?a1?(n?1)d,n?N*

思路2: a2?a1?d a3?a2?d

a4?a3?d

……………

an?1?an?2?d

an?an?1?d

兩端相加:

an?a1?(n?1)d n?N故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:

*

an?a1?(n?1)d n?N其中:

*

an為第n項(xiàng),a1為首項(xiàng),d為公差.(共有四個(gè)量,知三求一)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式驗(yàn)證三個(gè)引例.廣義通項(xiàng)公式: an?am?(n?m)d

3.等差數(shù)列的遞推公式: an?1?an?d,n?N*

三.例題分析

1.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng).(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

2.在等差數(shù)列{an}中,已知a5?10,a12?31求首項(xiàng)a1與公差d

3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)證明

Sn?n?2n

2{an}是等差數(shù)列.m?1,m?3,m?9 4.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為(1)求m的值.(2)求該數(shù)列的第10項(xiàng).5.梯子最高一級(jí)寬33cm，最低一級(jí)寬為110cm，中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬度。

解設(shè)?an?表示梯子自上而上各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12?a1?(12?1)d,即時(shí)10=33+11d

解之得：d?7

因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103, 答：梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小結(jié) 五.作業(yè)

1.已知下列等差數(shù)列,求通項(xiàng)公式(1)1,4,7,10…

(2)32, 26, 20, 14…(3)127, , … 35152.已知等差數(shù)列{an}中(1)a3?4,a7?16,求a1,d ,11a?,d?求a5(2)232(3)

an

a3?2,d?4,an?30求n

2S?2n?4n 3.數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和n(1)求通項(xiàng)公式an

(2)證明{an}是等差數(shù)列

【探究】設(shè){an}是首項(xiàng)為m公差為d的等差數(shù)列，從中選取數(shù)列的第*k?N（）構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，你能求出{bn}的通項(xiàng)公式嗎？

4k?1項(xiàng)，

第五篇：高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列》教案2 蘇教版必修5

第 4 課時(shí)：§2.2等差數(shù)列（2）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)公式，掌握等差數(shù)列的特殊性質(zhì)及應(yīng)用；掌握證明等差數(shù)列的方法；

2.明確等差中項(xiàng)的概念和性質(zhì)；會(huì)求兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)；

3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；

4.能通過通項(xiàng)公式與圖像認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)，體會(huì)等差數(shù)列是用來刻畫一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；能用圖像與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問題。

二、過程與方法

通過等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透方程思想。

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過對等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：等差中項(xiàng)的概念及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用。難點(diǎn)：等差中項(xiàng)的概念及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用。【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1．復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式 ；（1）等差數(shù)列定義

（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an?a1?(n?1)d(an?am?(n?m)d或an?dn?p(p是常數(shù)))

an?a1n?

1an?amn?m

（3）公差d的求法：① d?an-an?1②d?2．等差數(shù)列的性質(zhì)：

③d?

（1）在等差數(shù)列?an?中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列?an?中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是AP如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

（3）在等差數(shù)列?an?中，對任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?

an?amn?m

(m?n)；

（4）在等差數(shù)列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，則am?an?ap?aq

用心愛心專心

3．問題：（1）已知a1,a2,a3?,an,an?1,?,a2n是公差為d的等差數(shù)列。①an,an?1,?,a2,a1也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6?,a2n也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？（2）已知等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)為a1，公差為d。

①將數(shù)列?an?中的每一項(xiàng)都乘以常數(shù)a，所得的新數(shù)列仍是等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？ ②由數(shù)列?an?中的所有奇數(shù)項(xiàng)按原來的順序組成的新數(shù)列?cn?是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？

（3）已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，當(dāng)m?n?p?q時(shí)，是否一定有am?an?ap?aq？

（4）如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使得a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？

二、研探新知

1.等差中項(xiàng)的概念：

如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中A?a，A，b成等差數(shù)列?A?

2.一個(gè)有用的公式：

（1）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列

①2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？為什么？ ②2an?an?1?an?1(n?1)是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？ ③2an?an?k?an?k(n?k?0)是否成立？？你又能得到什么結(jié)論？（2）在等差數(shù)列?an?中，d為公差，若m,n,p,q?N?且m?n?p?q 求證：①am?an?ap?aq②ap?aq?(p?q)d

am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(m?n?2)dap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d

a?b

2a?b2

．

證明：①設(shè)首項(xiàng)為a1，則

∵ m?n?p?q∴am?an?ap?aq

② ∵ap?a1?(p?1)daq?(p?q)d?a1?(q?1)d?(p?q)d?a1?(p?1)d ∴ ap?aq?(p?q)d

探究：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系

注意：（1）由此可以證明一個(gè)結(jié)論：設(shè){an}成AP，則與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等，即：

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???，同樣：若m?n?2p 則 am?an?2ap

（2）表示等差數(shù)列的各個(gè)點(diǎn)在一條直線上，這條直線的斜率是公差d

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（教材P37例3）已知等差數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式是an?2n?1，求首項(xiàng) a1和公差d。

解：a1?2?1?1?1,a2?2?2?1?3，∴d?a2?a1?2或d?an?1?an?2(n?1)?1?(2n

?1)?2，等差數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式是an?2n?1，是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示這個(gè)數(shù)列的各

點(diǎn)(n,an)均在直線y?2x?1上（如圖）

例2 ①在等差數(shù)列?an?中，a2?a7?a8?a13?6，求a6?a9．②在等差數(shù)列?an?中，a1?a4?a8?a12?a15?2，求a3?a13的值。解：①由條件：a6?a9?a7?a8?a2?a13?3；

②由條件：∵2a8?a1?a15?a4?a12∴a8??2∴a3?a13?2a8??4． 例3若 a1?a2???a5?30a6?a7???a10?80 求a11?a12???a15解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2……∴ 2a6?a1?a11,2a7?a2?a12……從而

(a11?a12???a15)+(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10)

∴a11?a12???a15=2(a6?a7???a10)?(a1?a2???a5)=2×80?30=130一般的：若{an}成等差數(shù)列那么Sn、S2n?Sn、S3n?S2n、…也成等差數(shù)列

例4 如圖，三個(gè)正方形的邊AB,BC,CD的長組成等差數(shù)列，且AD?21cm，這三個(gè)正方形的面積之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的長；（2）以AB,BC,CD的長為等差

數(shù)列的前三項(xiàng)，以第10項(xiàng)為邊長的正方形的面積是多少？

解：（1）設(shè)公差為d(d?0)，BC?x則AB?x?d,CD?x?d

A

B

C

D

?(x?d)?x?(x?d)?21?x?7?x?7

由題意得：?解得：? 或?（舍去）22

2d?4d??4(x?d)?x?(x?d)?179???

∴AB?3(cm),BC?7(cm),CD?11(cm)

（2）正方形的邊長組成已3為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列?an?，∴a10?3?(10?1)?4?39，∴a10?392?1521(cm)2所求正方形的面積是1521(cm)2。

四、鞏固深化，反饋矯正1.教材P37練習(xí)

2.在等差數(shù)列?an?中, 若 a5?6a8?15 求a1

4解：a8?a5?(8?5)d即 15?6?3d ∴ d?3從而 a14?a5?(14?5)d?6?9?3?33 變題：在等差數(shù)列?an?中，（1）若a5?a，a10?b 求a15；（2）若a3?a8?m 求 a5?a6 解：（1）2a10?a5?a15 即2b?a?a15∴ a15?2b?a；（2）a5?a6=a3?a8?m

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．A?

a?b

2?a,A,b,成等差數(shù)列，等差中項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)意義

2．在等差數(shù)列中，m?n?p?q?am?an?ap?aq（m，n，p，q?N?）3．等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；掌握證明等差數(shù)列的方法。

六、承上啟下，留下懸念

1.在等差數(shù)列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9項(xiàng)和S9.解：由等差中項(xiàng)公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由條件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90,∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

判斷一個(gè)數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法

1．定義法：即證明 an?an?1?d(常數(shù))

例：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?3n2?2n，求證數(shù)列?an?成等差數(shù)列，并求其首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式。

解：a1?S1?3?2?1當(dāng)n?2時(shí)an?Sn?Sn?1?3n2?2n?[3(n?1)2?2(n?1)]?6n?5

n?1時(shí) 亦滿足∴ an?6n?5首項(xiàng)a1?1an?an?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常數(shù))

∴?an?成AP且公差為6

2．中項(xiàng)法： 即利用中項(xiàng)公式，若2b?a?c 則a,b,c成AP。例：已知1?ca?ba，1b，1c成AP，求證

ba，c?b，ac

也成AP。

證明： ∵

111成AP∴

2?1a，b，c

b?

1a

c

化簡得：2ac?b(a?c)

b?c2

?a2

?c

ac?a2?c

a

?

a?ba?ab

b(a?c)c

?

bc?c?ac

?

ac

?

2ac

=

(a?c)?c)

?

a?cb?ca?bac

?

(ab(a?c)

?2b

∴a，c?ab，c

也成AP

3．通項(xiàng)公式法：利用等差數(shù)列得通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

例：設(shè)數(shù)列?a2

n?其前n項(xiàng)和Sn?n?2n?3，問這個(gè)數(shù)列成AP嗎？

解：n?1時(shí) a1?S1?2n?2時(shí) an?Sn?Sn?1?2n?3,?a1不滿足an?2n?3∴ a?2?1n??

?a?2n?3

nn?2

∴ 數(shù)列n?不成AP但從第2項(xiàng)起成AP。