第一篇：高中數學 第一章 第1課時—— 正弦定理學案(教師版) 蘇教版必修5

第1章解三角形

【知識結構】

聽課隨筆

正弦定理?

??解三角形?正、余弦定理的應用

余弦定理?

【重點難點】

一些簡單的三角形度量問題。

難點：能夠運用正弦定理、際問題

1.1正弦定理

第1課時

【例2】根據下列條件解三角形：

（1）b?B?60?,c?1；

（2）c?A?45?,a?2．

邊的對角，求其他邊和角的問題． 【解】

【學習導航】

知識網絡

直角三角形的邊角關系→任意三角形的邊角關系→正弦定理 學習要求

1．正弦定理的證明方法有幾種，但重點要突出向量證法；

2．正弦定理重點運用于三角形中“已知兩

角一邊”、“已知兩邊一對角”等的相關問題 【課堂互動】

自學評價

1．正弦定理：在△ABC中，abc

???______, sinAsinBsinC

2．正弦定理可解決兩類問題：

（1）________________________________；（2）_________________________________ ________________________________ 【精典范例】 【例1】在?ABC中，A?30?，C?105?，a?10，求b，c． 分析：正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題． 【解】

追蹤訓練一

c?5C?1050，B?450，1．在△ABC中，則b的值為（）

A5(3?1)B5(?1)C10D5(6?2)2．在△ABC中，已知a?3，b?4sinB?

2，則sinA=（）

3A

34B1

16C

2D 1 3．在△ABC中，（1）已知A?750，B?450，c?32，求a，b；

（2）已知A?300，B?1200，b?12，求a，c.4．根據下列條件解三角形：（1）b?40，c?20，C?250；（2）b?13，a?26，B?300。

【選修延伸】

【例3】在銳角三角形ABC中，A=2B，a、b、c所對的角分別為A、B、C，試求ab的范圍。分析：本題由條件銳角三角形得到B的范圍，從而得出a

b的范圍?！窘狻?/p>

【例4】在△ABC中，設

聽課隨筆

cosBcosCcosA

3b?2c?

a，求cosA的值?！窘狻?/p>

追蹤訓練二

（1）在?ABC中，已知b?c?8?B?30?，?C?45?，b?c?

（2）在?ABC中，如果?A?30??B?120?，b?12，那么a??ABC的面積是

（3）在?ABC中，bc?

30S?ABC?

?A?

【師生互動】

第二篇：高中數學必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學目標

1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數學規(guī)律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

（三）學法與教學用具 學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進行探索，發(fā)現也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現向量知識的簡捷，新穎。

教學用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學設想

[創(chuàng)設情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長精確到1cm）。

解：根據正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

[隨堂練習]第5頁練習第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設一參數k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結]（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

（五）評價設計

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個k與?ABC有

什么關系？

②課時作業(yè)：第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

第三篇：高中數學 《正弦定理》教案1 蘇教版必修5

第 1 課時：§1.1正弦定理（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容和推導過程；

2.能解決一些簡單的三角形度量問題（會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題）；能夠運用正弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題；

3.通過三角函數、正弦定理、向量數量積等多處知識間聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統(tǒng)一.4.在問題解決中,培養(yǎng)學生的自主學習和自主探索能力．

二、過程與方法

讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；

2.培養(yǎng)學生合情推理探索數學規(guī)律的數學思想能力，通過三角函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統(tǒng)一。

【教學重點與難點】：

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

【學法與教學用具】：

1.學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：abc??，接著就一般斜三角形sinAsinBsinC

進行探索，發(fā)現也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現向量知識的簡捷，新穎。

2.教學用具：多媒體、實物投影儀、直尺、計算器

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創(chuàng)設情景，揭示課題

1.在直角三角形中的邊角關系是怎樣的？

2.這種關系在任意三角形中也成立嗎？

3.介紹其它的證明方法

二、研探新知

1.正弦定理的推導

aB,sinB?,sinC?1，cC

abcabc 即 c?，c?，c?∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC（1）在直角三角形中：sinA?

能否推廣到斜三角形？

（2）斜三角形中

證明一：（等積法，利用三角形的面積轉換）在任意斜△ABC中，先作出三邊上的高AD、BE、CF，則AD?csinB，BE?asinC，CF?bsinA．所以S?ABC?111absinC?acsinB?

bcsinA，每項22

21abc

??同除以abc即得：．

2sinAsinBsinC

證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D

bcaa?2R，?2R ??CD?2R同理 ∴

sinAsinDsinBsinC

???????????????

證明三：（向量法）過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB?AB，兩邊同乘以單位向量j得j

????????????????

?(AC+CB)?j?AB，則j?AC+j?CB?j?AB

??????

????????????

∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

ac

∴asinC?csinA∴=

sinAsinC????cbabc

??同理，若過C作j垂直于CB得：=∴ sinAsinBsinCsinCsinB

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

2.理解定理

?

b

sinB

?

c

sin

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；

（2）

abcabbcac

==等價于=，=，=，即可得正弦定理的sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC

變形形式：

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；

abc,sinB?,sinC?； 2R2R2R

3）sinA:sinB:sinC?a:b:c．

2）sinA?

（3）利用正弦定理和三角形內角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如a?

bsinA

； sinB

a

sinB。b

2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．如sinA?一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形，有兩解或一解（見圖示）．

a?bsinAbsinA?a?ba?ba?b

一解兩解一解一解

abc

注意：（1）正弦定理的敘述：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，==

sinAsinBsinC

它適合于任何三角形。（2）可以證明

abc

?2R（R為△ABC外接圓半徑）==

sinAsinBsinC

（3）每個等式可視為一個方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

三、質疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 已知在?ABC中，c?10,A?450,C?300,求a,b和B 解：?c?10,A?45,C?30∴B?180?(A?C)?105由

ac

?得sinAsinC

csinA10?sin450bc

???2 a?由得 sinBsinCsinCsin300

csinB10?sin1050?20

b???20sin75?20??56?52 0

sinC4sin30

例2 在?ABC中，b?,B?600,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin6001解：∵?,?sinC???，?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，sinBsinCb2

3?C?300,B?900∴a?b2?c2?

2例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

accsinA6?sin450300

?,?sinC???解：? ?csinA?a?c,?C?60或120 sinAsinCa22csinB6sin750

?當C?60時，B?75,b???3?1，0

sinCsin60

csinB6sin150

?當C?120時，B?15,b????

1sinCsin600

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

例4 試判斷下列三角形解的情況：（1）已知b?11,c?12,B?600

（2）已知a?7,b?3,A?1100（3）已知b?6,c?9,B?450

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?ABC中，三個內角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于____ 2.在?ABC中，B?1350,C?150,A?5,則此三角形的最大邊長為_____

3.在?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____ 4.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度數

五、歸納整理，整體認識

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉化為直角三角形中的邊角關系；（2）利用向量的數量積．（3）外接圓法 2．理論上正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．

3.（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？

（2）此類問題常用正弦定理（或將學習的余弦定理）進行代換、轉化、化簡、運算，揭示出邊與邊，或角與角的關系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷．

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設計（略）

八、課后記：

第四篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（學案）

【學習要求】

1．發(fā)現并掌握正弦定理及證明方法。

2．會初步應用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面積公式

【學習過程】

1.正弦定理證明方法：（1）定義法（2）向量法（3法四：法一：（等積法）在任意斜△ABC當中，S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.兩邊同除以abc即得：

法三：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD?2R?.同理2R =＝.可將正弦定理推廣為：abc== =2R（R為△ABC外接圓半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC徑）.2.正弦定理：在一個三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等，都

等于這個三角形的外接圓的直徑，即

注意：正弦定理本質是三個恒等式：

三角形的元素：a,b,c,??,??,?C

已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫解三角形。

3.定理及其變形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

a?b?cabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解決的問題：

（1）_已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac??，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和兩角．（常見：大一小二）

5.常用面積公式：

對于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三邊的對角，則三角形的面積為：

111①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高）.②S?ABC?absinC?acsinB?____________ 22

2例1：在?ABC中，已知A?45?,B?30?,c?10,求b.例2：在?ABC中，已知A?45?,a?2,b?2,求B

例3：在?ABC中，已知B?45?,a?,b?2,求A,C和c

總結：（1）已知兩角和任意一邊，求解三角形時，注意結合三角形的內角和定理求出已知邊的對角；應用正弦定理時注意邊與角的對應性

（2）應用正弦定理時注意邊與角的對應性;注意由sinC求角C時，討論角C為銳角或鈍角的情況.例4不解三角形，判斷下列三角形解的個數．

(l)a=5,b=4，A=120?（2）a =7,b=l4,A= 150?(3)a =9,b=l0,A= 60?（4）c=50,b=72,C=135?練習：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosA?bcosBB、asinA?bsinBC、asinB?bsinAD、acosB?bcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則a:b:c?3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，則cosB=___________.4．在△ABC中，已知a?2,b?2,A?30?，解三角形。

5.（1）在?ABC中，已知b?,B?600,c?1,求a和A,C

（2）?ABC中，c?,A?450,a?2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a?求△ABC的面積。00

第五篇：鄭州一中 高中數學 01正弦定理學案 新人教A版必修5

正弦定理 余弦定理

1.已知：在?ABC中，?A?45，?C?30，c?10，解此三角形。

2.已知：在?ABC中，?A?45?，AB?

3.在?ABC中，若B?30，AB?23，AC?2，求?ABC的面積。

4．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，則∠B等于

5.在?ABC中，若a?2bsinA，則B等于

8.在?ABC中，A?60,a?3，則?0??6，BC?2，解此三角形。a?b?c?（）sinA?sinB?sinC

A.83239263B.C.D.2 333

9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c．若sinA:sinB:sinC=5:7:8，則a:b:c=

010、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=60,則a=()

A2B4C7D 911、在△ABC中，若a=3+1,b=-1,c=,則△ABC的最大角的度數為（）

A 120B 90C 6000 0D 150 012、在△ABC中，a:b:c=1::2,則A：B：C=（）

A 1：2：3B 2：3：1C 1：3：2D 3：1：2

22213、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a

A（??????，?）B（,）C（,）D（0，）42322214、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）

A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D非鈍角三角形

15、若三角形的三條邊的長分別為4、5、6，則這個三角形的形狀是（）。

A、銳角三角形 B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定

用心愛心專心-1-